Lineare Interpolation

Die lineare Interpolation hilft dir, bestimmte Werte einer Funktion annähernd herauszufinden (man sagt: zu „interpolieren“), auch wenn du die Funktionsgleichung nicht kennst. Deshalb hat die lineare Interpolation auch ganz praktische Anwendungen. Hast du Lust, dir gleich mal ein Beispiel anzusehen?

Anwendungsbeispiel

Stell dir vor, du hast einen kleinen Laden aufgemacht und verkaufst Handytaschen. Du hast ein wenig getestet, welcher Preis am sinnvollsten ist, und weißt daher, dass

• du 100 Handytaschen verkaufen kannst, wenn du sie für 8 € verkaufst, aber
• nur noch 30 Leute kaufen, wenn die Handytaschen 15 € kosten.

Wenn du 100 Taschen für jeweils 8 € verkaufst, nimmst du 100⋅8 € = 800 € ein. Bei 30 Taschen zu jeweils 15 € sind es nur noch 30 ⋅15 € = 450 €. Natürlich möchtest du so viel wie möglich verdienen. Daher fragst du dich: Wie viele Leute würden die Taschen wohl zu einem Preis von 9 € kaufen?

Genau das kannst du mit der linearen Interpolation herausfinden. Wir schauen uns zuerst an, wie sie mathematisch funktioniert, und lösen dann diese Frage auf.

Es gibt eine recht einfache Formel, mit der du die lineare Interpolation durchführen kannst. Sie lautet:

Was hat es mit diesen ganzen Buchstaben auf sich? Das ist einfach. Du kennst zwar nicht die Funktion, mit der du arbeitest, aber zwei Punkte der Funktion sind dir bereits bekannt. Wir nennen sie:

P1(x1∣y1)

P2(x2∣y2)

In der Gleichung steht außerdem noch x. Das ist der x-Wert des Punktes, den du interpolieren (also annähernd berechnen) möchtest. Das kann ein beliebiger Punkt zwischen P1 und P2 sein.

Im Graphen der Funktion kannst du Folgendes beobachten: Du verbindest deine zwei bekannten Punkte mit einer Geraden, also der Darstellung einer linearen Funktion. Anhand dieser Geraden kannst du dann jeden Wert zwischen den beiden Punkten einfach ablesen bzw. ihn berechnen.

Jetzt schauen wir uns an, wie das mathematisch funktioniert, bevor wir zu unserem Beispiel vom Anfang zurückkehren.

Nehmen wir an, du hast folgende zwei Punkte gegeben:
P1(1∣−2)

P2(3∣5)

Außerdem möchten wir herausfinden, wie der y-Wert an der Stelle x=2 ungefähr ist. Dieser Stelle möchten wir uns also annähern. Nun haben wir alles beisammen, um in unsere Formel einzusetzen:

y(x)=y1+y2−y1x2−x1⋅(x−x1)

y(x)=−2+5−(−2)3−1⋅(2−1)

y(x)=−2+72⋅1

y(x)=−2+72=32

Prima! Wir haben nun erfahren, dass die Funktion an der Stelle x=2 ungefähr den Wert y=32 hat.

Jetzt, da du die lineare Interpolation in Aktion gesehen hast, kehren wir zu unserem Beispiel vom Anfang zurück und schauen uns an, wie uns dieses Vorgehen ganz praktisch nutzen kann.

Wir sagten am Anfang: Du kannst 100 Handytaschen für jeweils 8 € zu einem Gesamtpreis von 800 € verkaufen. Für einen Preis von 15 € verkaufst du nur 30 Taschen und nimmst daher nur 450 € ein.
Diese Informationen können wir mathematisch als Punkte einer Funktion darstellen:

P1(8∣100)

P2(15∣30)

Nun brauchen wir noch ein „x“, dem wir uns annähern wollen. Untersuchen wir also, wie viel du annähernd einnehmen würdest, wenn du deine Handytaschen für x = 9 (€) verkaufst. Das alles setzen wir einfach wieder in die bekannte Formel ein, um uns dem y-Wert anzunähern:

y(x)=100+30−10015−8⋅(9−8)

y(x)=100+−707⋅1

y(x)=100−10=90

Ergebnis: Für einen Stückpreis von 9 € könntest du etwa 90 Handytaschen verkaufen. Multiplizierst du nun diese Werte, findest du heraus:

9⋅90=810(€)

Auf diese Weise könntest du deine Einnahmen sogar ein bisschen steigern! Und das hast du mithilfe des Näherungswertes der linearen Interpolation herausgefunden.