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Surjektivität und Bijektivität
Surjektiv
Eine Relation ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal vorkommt. Es wird sozusagen alles gebraucht aus der Zielmenge.
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes $y$ aus der Zielmenge mindestens einmal vorkommt.
links: surjektiv, rechts: nicht surjektiv
Bijektiv
Wenn eine Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, nennt man sie bijektiv. Wenn jedes $y$ gleichzeitig maximal 1 mal (injektiv) und mindestens 1 mal (surjektiv) vorkommt, muss es genau 1 mal vorkommen. In einer bijektiven Funktionen treten alle Werte aus der Zielmenge genau 1 mal auf und 2 Werte aus dem Definitionsbereich werden nie auf den gleichen Wert der Zielmenge abgebildet.
links: bijektiv, rechts: nicht bijektiv
Aufgaben
1.
Gegeben sind folgende Kurven.
Die Definitions- und Zielmenge seien beide $\mathbb R$. Welche der Kurven sind surjektiv?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Alle Kurven sind Funktionen, da eine vertikale Linie immer 1 Schnittpunkt mit der Kurve hat.
a) nimmt keine negativen y-Werte an, es kommen also nicht alle Werte aus der Zielmenge vor. Die Funktion ist nicht bijektiv.
b), e) und f) sind nicht bijektiv, weil eine Horizontale teilweise mehr als 1 Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen hat.
c) und d) sind bijektiv. $y$ nimmt alle Werte an und eine Horizontale hat immer nur 1 Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen.
2.
Welche Aussagen sind korrekt?
In einer surjektiven Funktion werden jeweils 2 Werte auf 1 Wert abgebildet
In einer surjektiven Funktion können 2 Werte auf 1 Wert abgebildet werden
In einer bijektiven Funktion werden jeweils 2 Werte auf 1 Wert abgebildet
In einer bijektiven Funktion können 2 Werte auf 1 Wert abgebildet werden
In einer surjektiven Funktion hat jedes Element aus der Zielmenge ein zugehöriges Element aus der Definitionsmenge. Es können 2 Werte aus der Definitionsmenge auf 1 Wert abgebildet werden, muss aber nicht so sein.
Eine bijektive Funktion ist eine surjektive (und injektive) Funktion und in einer bijektiven Funktion werden nie 2 Werte auf 1 Wert abgebildet.