Exakt 60 Minuten braucht der große Zeiger einer Uhr für eine Runde. Beim kleinen Zeiger sind es immerhin schon zwölf Stunden. Das Rotieren der Zeiger ist mit bloßem Auge kaum zu erkennen - erlaubt aber knifflige Knobeleien wie die folgende.

Um 12.00 Uhr zeigen kleiner und großer Zeiger zugleich auf die 12, sie stehen genau übereinander. Schon einige Minuten später hat der große Zeiger den kleinen hinter sich gelassen. Nach einer Stunde ist er wieder bei der 12 angelangt, während der kurze Zeiger auf der 1 steht.

Wie spät ist es in dem Moment, in dem beide Zeiger zum ersten Mal nach 12.00 Uhr wieder exakt zusammentreffen?

Noch ein Hinweis: Wir gehen davon aus, dass sich die Zeiger mit konstanter Geschwindigkeit drehen und keine Sprünge vollführen.

Hier geht es zur Lösung

Offensichtlich vergeht bis zum nächsten Rendezvous der Zeiger etwas mehr als eine Stunde. Irgendwann kurz nach Eins dürfte es soweit sein. Aber wann genau?

Es gibt verschiedene Lösungswege - am elegantesten finde ich den folgenden: Um 12.00 Uhr und um 0.00 Uhr stehen die Zeiger exakt übereinander. Zwischen 12.00 und 0.00 Uhr gibt es zehn Überholmanöver - und zwar genau eins pro Stunde außer zwischen 12.00 Uhr und 13.00 Uhr und zwischen 23.00 Uhr und 0.00 Uhr.

Diese zehn Überholvorgänge teilen die zwölf Stunden in elf gleich lange Zeiträume ein, denn beide Zeiger bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit. Der Abstand zwischen zwei Begegnungen ist deshalb 12/11 Stunden. Eine elftel Stunde entspricht etwa 5 Minuten und 27 Sekunden. Beim ersten Wiedertreffen der Zeiger nach dem Mittag ist es demnach 13:05:27.

Wo sind die Zeiger?

Wer mag, kann auch etwas komplizierter mit einer Formel für die Position der Zeiger rechnen. Der große Zeiger legt pro Minute 6 Grad zurück (=360 Grad/60 Minuten). Wenn sich der Zeiger nach 13.00 Uhr eine Zeit von m Minuten bewegt hat, wo steht der dann? (m ist eine Variable und steht für die Anzahl der nach 13.00 Uhr vergangenen Minuten.) Für die Position - gemessen in Grad - gilt folgendes:

Position (Groß) = 6 Grad * m

Die Geschwindigkeit des kleinen Zeigers liegt bei 1/2 Grad je Minute. Denn in einer Stunde dreht sich der kurze Zeiger 30 Grad (=360 Grad/12) - das ergibt 30/60 = 1/2 Grad pro Minute.

Für die Position des kurzen Zeigers - zum Zeitpunkt m Minuten nach 13.00 Uhr - gilt daher folgende Formel:

Position (Klein) = 30 Grad + 1/2 Grad * m

Wir suchen den Moment, in dem beide Positionen gleich sind und setzen daher beide Ausdrücke gleich:

6 Grad * m = 30 Grad + 1/2 Grad * m

Wir multiplizieren beide Seiten mit 2 und ziehen dann 1 Grad ab:

12 Grad * m = 60 Grad + 1 Grad * m
11 Grad * m = 60 Grad

Die Lösung lautet: m = 60/11

60/11 Minuten sind etwa 5,45 Minuten, was 5 Minuten und 27,3 Sekunden entspricht. Die gesuchte Uhrzeit lautet daher 13:05:27.

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