Normalverteilung / Gaußsche Glockenkurve

Normalverteilung / Gaußsche Glockenkurve

  • 16. April 2018
  • Posted by: Mika
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Die Normalverteilung ist die in der Statistik wohl am häufigsten verwendete Verteilung. Das kommt zum einen daher, dass Du die Realisationen vieler naturwissenschaftlicher, technischer und wirtschaftlicher Variablen recht gut durch die Normalverteilung beschreiben kannst; zum anderen besagt der Zentrale Grenzwertsatz, dass der Mittelwert von n unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen X_1,…,X_n für große n gegen die Normalverteilung konvergieren, unabhängig von der Verteilung der X_i.

Eigenschaften der Normalverteilung

Die Normalverteilung wird oft auch Gauß-Verteilung oder Gaußsche Glockenkurve genannt, da sie maßgeblich von dem Mathematiker Carl-Friedrich Gauß analysiert wurde und ihre Dichtefunktion eine Glockenform besitzt. Die Dichtefunktion ist symmetrisch und besitzt zudem die beiden Parameter Mittelwert \mu und Varianz \sigma^2.

    \begin{equation*} f(x;\mu,\sigma^2) = \frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac 1 2 (\frac {x-\mu}{\sigma})^2} \end{equation*}

Integrierst Du die Dichtefunktion, so erhältst Du die zugehörige Verteilungsfunktion:

    \begin{equation*} F(x;\mu,\sigma^2) = \frac 1 {\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 1 2 (\frac {t-\mu}{\sigma})^2} \nobreakspace dt \end{equation*}

Visualisierung der Normalverteilung

Grafisch ergibt die Dichtefunktion der Normalverteilung wie links eine Glocke: Diese Form zeigt, dass Abweichungen vom Mittelwert nach oben oder nach unten umso unwahrscheinlicher werden, je weiter sie vom Mittelwert entfernt sind; die rechte Grafik zeigt die zugehörige Verteilungsfunktion:

Normalverteilung / Gaußsche Glockenkurve

Je größer der Mittelwert der jeweiligen Verteilung ist, desto weiter rücken Dichte- und Verteilungsfunktion nach rechts; je größer die Varianz ist, umso breiter fallen beide aus.

Spezialfall: Standardnormalverteilung

Einen häufig verwendeten Spezialfall stellt die Standardnormalverteilung mit Mittelwert \mu=0 und Varianz \sigma^2=1 dar, in die Du jede beliebige Normalverteilung überführen kannst, indem Du x in z standardisierst. Dazu subtrahierst Du den Mittelwert \mu von Deinem x und dividierst die Differenz durch die Standardabweichung \sigma, die Wurzel aus der Varianz.

    \begin{equation*} z = \frac {x-\mu}{\sigma}\end{equation*}

Die Standardnormalverteilung liegt übrigens tabelliert vor und viele parametrische Schätz- und Testverfahren greifen auf sie zurück.

Anwendung der Normalverteilung

Eine Maschine soll beispielsweise Zucker in Paketen zu 1kg verpacken. Das Abfüllgewicht ist normalverteilt mit dem Mittelwert \mu=1 und hat außerdem eine Varianz von \sigma^2=0,0004. Du möchtest dann wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens ein Gewicht von 1,010 kg realisiert wird. Dazu standardisierst Du Deinen x-Wert in z und bestimmst den Wert der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an dieser Stelle:

    \begin{equation*} F_{NV}(x;\mu,\sigma^2) = F_{NV}(z;0,1) = F_{NV} \left( \frac {1,010-1}{0,02}\right) = F_{NV}(0,5)=0,6915 \end{equation*}

Du erhältst folglich 69,15\% Deiner Zuckerpakete mit einem Gewicht von höchstens 1,01 kg.

Im Gegensatz dazu kannst Du ermitteln, welches Gewicht mit einer Wahrscheinlichkeit von 95\% nicht überschritten wird. Dazu schaust Du in der Tabelle nach, welcher z-Wert zur Verteilungsfunktion an der Stelle F_{NV}=0,95 gehört und findest den Wert z=1,645. Nach Umstellen obiger Formel der Standardisierung erhältst Du also:

    \begin{equation*} x=z \cdot \sigma + \mu = 1,645 \cdot 0,02 + 1,0 = 1,0329 \end{equation*}

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95\% liegt das Abfüllgewicht eines Paketes nicht über 1,0329 kg.

Ausnutzen von Symmetrie

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt:

    \begin{equation*} F_{NV}(z) = 1 -F_{NV}(-z) \end{equation*}

bzw.

    \begin{equation*} F_{NV}(z)=1-\alpha \quad \to \quad F_{NV}(-z)=\alpha \end{equation*}

Hiermit kannst Du aus Deinem obigen Ergebnis ganz leicht auch den Wert bestimmen, der nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5\% unterschritten wird. Du erhältst für -z=-1,645

    \begin{equation*} x=-z \cdot \sigma + \mu = -1,645 \cdot 0,02 + 1,0 = 0,9671\end{equation*}

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 5\% liegt das Abfüllgewicht unterhalb von 0,9671 kg.

Interessant ist zudem auch, wieviel Prozent der Realisationen der Zufallsvariablen maximal einen Abstand in Höhe des Vielfachen der Standardabweichung vom Mittelwert aufweisen: Hier gilt für eine beliebige Normalverteilung:

    \begin{equation*} Prob(\mu - \sigma \le x \le \mu + \sigma) = 0,6827 \end{equation*}

    \begin{equation*} Prob(\mu - 2\cdot \sigma \le x \le \mu + 2 \cdot \sigma) = 0,9545\end{equation*}

und

    \begin{equation*} Prob(\mu - 3\cdot \sigma \le x \le \mu + 3 \cdot \sigma) = 0,9973\end{equation*}

Damit kannst Du erste Abschätzungen Deiner Verteilung sehr einfach vornehmen.

Für Dein Beispiel und das Zweifache der Standardabweichung ergeben sich als Intervallgrenzen, innerhalb derer 95,45\% der Realisationen liegen entsprechend

    \begin{equation*} x_u=\mu - 2\cdot \sigma = 1-2\cdot 0,02 = 0,96 \quad und \quad x_o=\mu - 2\cdot \sigma = 1+2\cdot 0,02 = 1,04 \end{equation*}

Damit wiegen 95,45\% der Pakete also mindestens 960 g und höchstens 1040g. Der Hersteller sollte aber darüber nachdenken, die Maschine neu einzustellen, damit sich eine geringere Schwankungsbreite ergibt.

Im Falle, dass bestimmte Bedingungen vorliegen, insbesondere für große Stichprobenumfänge n, kannst Du andere Verteilungen durch die sehr einfach handhabbare Normalverteilung approximieren:

Verteilung Bedingung
Binomialverteilung n\cdot p \cdot q > 9
Hypergeometrische Verteilung n\cdot p \cot q >9 und \frac n N \le 0,1
Poissonverteilung \lambda > 9
Student-Verteilung n \ge 30, vorsichtiger n \ge 100
\chi^2-Verteilung n \ge 30, vorsichtiger n \ge 100
F-Verteilung n \ge 30 und m \ge 30, vorsichtiger n \ge 100 und m \ge 100