Du hast richtig Lust darauf, ein Meister der Dreiecke zu werden? Dann bist du hier auf StudySmarter in unserer Dreiecks-Staffel genau richtig!
Im Matheunterricht bist du sicherlich schon oft über den Begriff Dreieck gestolpert und hast erste Dreiecks-Hürden überwältigt. Weißt du noch, was genau ein Dreieck ausmacht? Das werden wir dir in diesem Artikel genauer erklären.
Spitzwinkliges Dreieck: Grundlagenwissen
Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur in der Geometrie, die drei Seiten, drei Winkel und drei Ecken aufweist und daher den Namen Dreieck trägt.
In den nächsten zwei Unterpunkten erfährst du alles Wissenswerte über das Dreieck, die korrekte Beschriftung, Winkeln, bis hin zu den verschiedenen Dreiecksarten.
Allgemeines Dreieck
Damit du in Zukunft blitzschnell erkennen kannst, ob es sich bei einer Figur um ein Dreieck handelt oder nicht, zeigen wir dir, wie ein allgemeines Dreieck aussieht. Das kannst du in Abbildung 1 erkennen.
Abbildung 1: Allgemeines Dreieck
Solltest du bei Aufgaben ein Dreieck zeichnen müssen, dann musst du dich bei der Beschriftung an wichtige Regeln halten, die wie folgt lauten:
- Die Eckpunkte werden entgegen dem Uhrzeigersinn mit Großbuchstaben (beginnend bei A in der linken Ecke) beschriftet.
- Die Seiten des Dreiecks werden wie die gegenüberliegenden Eckpunkte bezeichnet, sie werden jedoch als Kleinbuchstaben geschrieben.
- Die Seite a befindet sich somit, wie in Abbildung 1 dargestellt, gegenüber vom Eckpunkt A.
- Die Winkel werden wie die Eckpunkte entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet, jedoch mit griechischen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet, beginnend bei Alpha. Das heißt der Winkel Alpha ist dort, wo der Eckpunkt A ist.
Hier findest du eine kurze Übersicht über die Zusammenhänge der Bezeichnung der Eckpunkte, der Seiten und deren Winkel:
Eckpunkte | Winkel | Seiten |
A | α | a |
B | β | b |
C | γ | c |
Die drei Winkel ergeben zusammen im Dreieck immer eine Summe von 180°. Dies wird auch als Winkelsumme bezeichnet.
Ein Dreieck kann verschiedenste Seitenlängen oder Größen der Winkel aufweisen, was auch bedeutet, dass diese immer anders aussehen und verschiedene Eigenschaften haben können. Deshalb unterscheidet man die folgenden sechs Dreiecksarten, um einen besseren Überblick schaffen zu können.
Dreiecksarten
Die folgende Übersicht wird dir bestimmt helfen, in Zukunft jedes Dreieck seiner Art perfekt zuordnen zu können. Dreiecke werden nach zwei verschiedenen Merkmalen kategorisiert:
- Der Seitenlänge
- Den größten Winkel
Schauen wir uns die verschiedenen Dreiecke einmal an, die es so gibt.
Dreiecksarten nach Seitenlänge |
Abbildung 2: Allgemeines Dreieck | 
Abbildung 3: Gleichschenkliges Dreieck | 
Abbildung 4: Gleichseitiges Dreieck |
Wenn mehrere Seitenlängen mit dem gleichen Buchstaben beschriftet werden, dann handelt es sich hierbei um gleich lange Seiten. Dies ist ein schneller Weg, um herauszufinden, wie viele Seiten eines Dreiecks gleich lang sind.
Dreiecksarten nach Winkel |
Abbildung 5: Spitzwinkliges Dreieck | 
Abbildung 6: Rechtwinkliges Dreieck | 
Abbildung 7: Stumpfwinkliges Dreieck |
Diese Dreiecke werden nach ihren größten Winkeln benannt. Mithilfe folgender Übersicht, kannst du schnell erkennen, um welche Art von Winkel es sich handelt.
- Spitzwinkliges Dreieck
- Unter diese Kategorie fallen alle Dreiecke, bei denen alle Winkel im Dreieck kleiner als 90° sind.
- Rechtwinkliges Dreieck
- Diese Dreiecksart besitzt genau einen Winkel mit einem Wert von 90°, also einem rechten Winkel.
- Stumpfwinkliges Dreieck
- Unter diese Kategorie fallen alle Dreiecke, die einen Winkel besitzen, welcher größer als 90° ist.
Übrigens: Die Größe eines Winkels wird in Grad angegeben und kann mit einem Geodreieck bzw. Winkelmesser gemessen werden. Je größer der Winkel, umso größer die "Öffnung" des Winkels.
Da du nun sicherlich schon ganz neugierig darauf wartest, was ein spitzwinkliges Dreieck besonders macht und wie man Kennzahlen wie Höhe, Fläche oder Umfang berechnet, lassen wir dich nicht länger damit warten.
Spitzwinkliges Dreieck: Definition und Beispiel
Unter einem spitzwinkligen Dreieck versteht man alle Dreiecke, bei welchen alle Winkel kleiner als 90° sind, wobei die Seitenlänge keine Rolle spielt.
Beispielweise könnte ein spitzwinkliges Dreieck wie folgt aussehen:
Abbildung 8: Spitzwinkliges Dreieck
Untersuchen wir erneut unsere Abbildung der Dreiecksarten, fällt auf, dass das allgemeine und gleichschenklige Dreieck ebenso spitzwinklig sein können bzw. jedes gleichseitige Dreieck immer gleichzeitig auch spitzwinklig ist. Es gibt also folgende spezielle Ausprägungsformen:
Besondere spitzwinklige Dreiecksarten |
Abbildung 9: gleichseitiges spitzwinkliges Dreieck | 
Abbildung 10: gleichschenkliges spitzwinkliges Dreieck | 
Abbildung 11: allgemeines spitzwinkliges Dreieck |
In diesem Beitrag werden wir uns auf die Eigenschaften des allgemeinen spitzwinkligen Dreiecks fokussieren.
Möchtest du dich mit den Eigenschaften des gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecks befassen, dann sieh dir unbedingt die hier verlinkten Beiträge dazu an.
Eigenschaften des allgemeinen spitzwinkligen Dreiecks
In den folgenden Abschnitten werden wir uns mit den wichtigsten Eigenschaften des spitzwinkligen Dreiecks beschäftigen und im Anschluss daran versuchen, mithilfe von Übungsbeispielen unser erlerntes Wissen zu vertiefen.
Winkel
Unter einem Winkel versteht man einen Teil der Ebene, welche durch zwei sich kreuzenden Strahlen eingegrenzt wird.
Wie bereits der Name dieser Dreiecksausprägung vermuten lässt, müssen beim spitzwinkligen Dreieck alle drei Winkel zwingend spitz sein, also kleiner als 90°. In den folgenden Abbildungen werden wir versuchen zu verstehen, wann ein Winkel spitz ist und was es bedeutet, wenn ein Winkel kleiner als 90° ist.
Abbildung 12 13 14: Spitzer Winkel
Ein Winkel ist dann spitz, wenn seine Öffnung ähnlich wie eine Spitze aussieht.
Seiten
Die Seiten des Dreiecks können beliebig lang sein, wobei je nach Seitenlänge zwischen einem der drei Ausprägungsformen, wie in der vorherigen Tabelle ersichtlich, unterschieden werden kann.
Höhe
Unter der Höhe versteht man in einem Dreieck eine Senkrechte auf die Grundlinie, welche zum gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.
Das spitzwinklige Dreieck hat jeweils eine Höhe pro Seite, das heißt insgesamt drei Höhen.
Abbildung 15: Die Höhen
Alle Höhen des spitzwinkligen Dreiecks befinden sich immer innerhalb der Figur.
Du fragst dich bestimmt, warum wir überhaupt eine Höhe benötigen. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.
Aufgabe 1
Stell dir ganz einfach einen Sachverhalt aus dem alltäglichen Leben vor. Deine Familie möchte euer Haus mit einem neuen Dach ausstatten. Es ist wichtig zu wissen, dass die rechte Seite 8 Meter lang ist. Hingegen ist die andere Seite des Dachs steiler und dadurch 2 Meter kürzer als die andere. Das bedeutet, dass es sich hierbei, bildlich vorgestellt, um ein wie in Abbildung 16 dargestelltes allgemeines spitzwinkliges Dreieck handelt.
Abbildung 16: Dach als Dreieck
Dein Vater möchte nun dein Mathematik-Wissen unter Beweis stellen und bietet dir 50 €, falls du es schaffst, die Höhe des Dachs auszurechnen. Als Zusatzinformation sagt er noch, dass eine horizontale Linie von der rechten Seite zum Punkt, welcher direkt unter der Dachspitze liegt, genau 6,5 Meter beträgt.
Du nimmst das Angebot voller Freude an, denn du kannst dich noch an die Formel aus den Mathestunden erinnern, welche man verwendet, um im spitzwinkligen Dreieck die Höhe auszurechnen.
Lösung
Schauen wir uns die Berechnung der Höhe des Beispiels in folgender Abbildung an. Die hier mit "b" beschriftete Seite stellt die linke Seite des Dachs und "a" die rechte längere Seite dar. Die gesamte horizontale Linie zwischen den Dachenden wird mit "c" bezeichnet, welche wiederum je nach Seite des Dachs mit "q" und "p" beschriftet werden.
Abbildung 17: Skizze
Da es im spitzwinkligen Dreieck aufgrund der Vielfalt der Ausprägungen der Figur keine allgemeine Formel zur Berechnung der Höhe gibt, müssen wir auf den Lehrsatz des Pythagoras zurückgreifen.
Sieh dir den hier verlinkten Beitrag zum Satz des Pythagoras an, um dein Wissen aufzufrischen.
Wenn wir uns die gezeichnete Skizze des spitzwinkligen Dreiecks ansehen, können wir erkennen, dass die Höhe das gesamte Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, wie in Abbildung 18 verdeutlicht wird.
Abbildung 18: Rechtwinklige Dreiecke
Das bedeutet, dass wir uns nun in einem der rechtwinkligen Dreiecke die Höhe mithilfe des Satzes nach Pythagoras ausrechnen können. Da wir nur die Seite "p" gegeben haben, müssen wir uns dem orange markierten rechtwinkligen Dreieck bedienen.
Berechnung der Höhe
Folgende Abbildung wird dir helfen, den Unterschied zwischen Katheten und Hypotenuse verstehen zu können.
Abbildung 19: Pythagoras
Die Berechnung der Höhe mithilfe des Satzes von Pythagoras sieht demnach wie folgt aus:
Hier die Buchstaben bitte nicht mit den Dreiecksseiten verwechseln!
In unserem Fall können wir dies umformulieren zu:
Wir nehmen an, dass "K1" unsere unbekannte Seite (die Höhe) darstellt. "K2" steht hingegen für die Seite "p" und die Hypotenuse "H" steht für die Länge der linken Seite des Dachs. Setzen wir nun die Werte anstelle der Buchstaben ein, müssten wir demnach die Höhe als Ergebnis erhalten.
Somit beträgt die Höhe des Dachs bzw. die Seite K1 in unserer Abbildung 4,66 Meter.
Symmetrie
Unter dem Begriff Symmetrie versteht man, dass sich eine Figur an einem bestimmten Punkt oder einer Linie spiegelt. Diese Linie wird auch als Symmetrieachse bezeichnet.
Wenn wir uns die folgende Abbildung 20 anschauen, stellen wir fest, dass es keine Linie oder keinen Punkt im Dreieck gibt, an welchem dieses gespiegelt werden kann, bzw. symmetrisch ist. Die beiden Ausprägungen gleichschenkliges und gleichseitiges spitzwinkliges Dreieck hingegen haben sogenannte Symmetrieachsen, wie du in dieser Abbildung feststellen kannst.
Abbildung 21: Symmetrie gleichseitiges Dreieck
Abbildung 22: Symmetrie gleichschenkliges Dreieck
Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierende ist die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ergibt den Schwerpunkt des Dreiecks.
Sieh dir dazu die Abbildung 23 an. So sehen die Seitenhalbierenden eines beliebigen spitzwinkligen Dreiecks aus.
Abbildung 23: Die Seitenhalbierenden
Die Seitenhalbierenden werden mit dem Buchstaben "S" bezeichnet, gefolgt von der Beschriftung der Seiten im Index.
Winkelhalbierende
Unter dem Begriff der Winkelhalbierenden versteht man einen Strahl, welcher in den Eckpunkten entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Der Schnittpunkt, der zugleich den Mittelpunkt des Inkreises darstellt.
Auch die Winkelhalbierenden der drei Winkel können wir in unserem Beispiel einzeichnen.
Abbildung 24: Die Winkelhalbierenden
Die Winkelhalbierenden werden mit dem Buchstaben "W", gefolgt von der Beschriftung der Winkel im Index, bezeichnet.
Der Inkreis
Der Inkreis ist der größtmögliche Kreis innerhalb der Figur, welcher alle Seiten der Figur berührt.
Wie du sehen kannst, berührt der Inkreis in der Abbildung 25 allen drei Seiten a, b, und c des spitzwinkligen Dreiecks. Dabei besitzt der Inkreis den Radius r.
Abbildung 25: Der Inkreis
Um den Inkreis einzeichnen zu können, benötigt man den Mittelpunkt, welcher den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden darstellt. Als Nächstes ziehst du eine Senkrechte auf eine der Seiten, welche vom Mittelpunkt ausgeht und schon hast du den Radius des Kreises. Zeichne nun mithilfe des gefundenen Radius und einem Zirkel einen Kreis, welcher alle drei Seiten leicht berührt.
Hier eine Schritt-für-Schritt-Anweisung, um dies besser verstehen zu können.
Abbildung 26: Schritt 1
Abbildung 27: Schritt 2
Abbildung 28: Schritt 3
Der Umkreis
Der Umkreis stellt einen Kreis dar, welcher die Figur umschließt und dabei alle Eckpunkte berührt. Den Mittelpunkt des Umkreises stellt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dar, welcher beim spitzwinkligen Dreieck immer innerhalb der Figur liegt.
Abbildung 29: Schritt 1 - Mittelpunkt
Abbildung 30: Schritt 2 – Umkreis
Die Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte auf dem Mittelpunkt einer Seite.
Fläche
Eine Fläche gibt an, wie groß etwas im zweidimensionalen Raum ist. Die Formel für die Berechnung der Fläche des spitzwinkligen Dreiecks lautet:
Diese Definition soll in Abbildung 31 verdeutlicht werden.
Abbildung 31: Flächeninhalt Erklärung mit Rechteck
Die in dieser Abbildung blau markierte Größe, auch Fläche genannt, hilft dir, damit du mehrere Figuren auf ihre Größe vergleichen kannst. Du siehst, dass das hier dargestellte Rechteck größer als das Dreieck ist, es hat also eine größere Fläche als das Dreieck.
Die Fläche wird immer mit einem großen "A" gekennzeichnet.
Um bei Dreiecken allgemein die Fläche ausrechnen zu können, benötigt man meistens die senkrechte Linie auf der Grundlinie, auch Höhe genannt. Wenn wir nun die Grundlinie bzw. die Seite c mit der Höhe multiplizieren, also genau wie uns die erste Formel vorschreibt, erhalten wir folgende Figur:
Abbildung 32: Flächeninhalt spitzwinkliges Dreieck
Wie man in Abbildung 32 erkennen kann, erhält man, indem man die Grundseite mal die Höhe rechnet, ein Rechteck, welches die Figur umschließt. Bei genauerem Hinsehen merkt man, dass das Rechteck genau doppelt so groß ist wie das Dreieck. Dies bestätigt die Aussage, dass für die Fläche jedes Dreiecks gilt:
Umfang
Unter dem Umfang versteht man die Summe aller Seitenlängen, welche die Figur begrenzen.
Somit gilt für das allgemeine spitzwinklige Dreieck:
Abbildung 33: Der Umfang
Den Umfang benötigst du im täglichen Leben öfter als du vielleicht denkst. Stell dir vor, du musst deine Wiese einzäunen und möchtest wissen, wie viel Meter Zaun du insgesamt benötigst. Genau hier kommt der Umfang ins Spiel.
Der Umfang wird immer mit einem großen U gekennzeichnet.
Spitzwinkliges Dreieck: Übungsaufgaben
Hier findest du eine Sammlung an Aufgaben, um die Berechnung des spitzwinkligen Dreiecks besser zu verstehen.
Aufgaben
Aufgabe 2
Welches der folgenden Dreiecke fällt unter die Kategorie "spitzwinkliges Dreieck"?
Abbildung 34: Dreieck Abbildung 35: Dreieck
Abbildung 36: DreieckDie Lösung findest du unterhalb dieses Hinweises. Achtung: Sie ist rückwärts geschrieben.
Lösung
"githcir tsi kceierD ettird saD"
Aufgabe 3
Folgende Seiten eines allgemeinen spitzwinkligen Dreiecks sind gegeben:
a = 7 cm
b = 5 cm
c = 10 cm
h = 5 cm
Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks!
Abbildung 37: Skizze zum Beispiel
Achtung: Skizze nicht maßstabsgetreu!
Lösung
Berechnung des Umfangs
Um den Umfang des Dreiecks auszurechnen, bedienen wir uns der Formel U = a + b + c.
Wir zählen also alle Seitenlinien, welche die Figur begrenzen, zusammen.
Auf unser Beispiel bezogen sieht dies wie folgt aus:
Somit beträgt der Umfang des Dreiecks 22 cm.
Berechnung der Fläche
Für die Berechnung der Fläche verwenden wir die Formel
Setzen wir unsere Werte ein, sieht dies wie folgt aus:
Die Fläche des Dreiecks beträgt somit 25 cm².
Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch "2" versehen wird, da wir uns nun im Zweidimensionalen befinden.
Aufgabe 4
Folgende Seiten eines allgemeinen spitzwinkligen Dreiecks sind gegeben:
p = 4 cm
q = 5 cm
a = 9 cm
Berechne die Fläche!
Abbildung 38: Skizze
Achtung: Skizze nicht maßstabsgetreu!
Lösung
Um die Fläche berechnen zu können, benötigen wir die Seite "c" und die Höhe auf "c". Wenn wir uns die Skizze ansehen, fällt auf, dass die Summe aus "q" und "p" die Seite c ergeben, somit gilt:
Um jetzt die Höhe ausrechnen zu können, verwenden wir den Satz des Pythagoras K1² + K2² = H². Denn unser spitzwinkliges Dreieck kann durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgespalten werden, wodurch wir den Satz des Pythagoras anwenden können.
Abbildung 39: Skizze
Da auf unser Beispiel bezogen, die Höhe gesucht ist, müssen wir den Satz des Pythagoras nach K1 freistellen.
Setzen wir nun statt "K1" den Wert von "p" und anstelle von "H" den Wert von "a" ein, erhalten wir folgendes Ergebnis für unsere Höhe:
Da wir nun sowohl die Höhe als auch die Seite "c" berechnet haben, können wir diese Werte in die Formel für die Berechnung der Fläche einsetzen.
Die Fläche des Dreiecks beträgt folglich 36,27 cm.
Spitzwinkliges Dreieck - Das Wichtigste
- Alle Winkel des Dreiecks sind kleiner als 90°.
- Es gibt drei Ausprägungsformen: gleichseitig spitzwinklig, gleichschenklig spitzwinklig und allgemeines spitzwinkliges Dreieck.
- Es gibt im allgemeinen spitzwinkligen Dreieck keine Symmetrieachse.
- Die Seiten können beliebig lang sein.
- Die Umfangsformel lautet
. - Die Flächenformel lautet .
- Seiten von den Eckpunkten A und B zum Mittelpunkt werden als "q" und "p" bezeichnet.
- Die Summe aus "q" und "p" ergibt die Seite "c".
- Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden stellt den Mittelpunkt des Inkreises dar.
- Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden stellt den Schwerpunkt des Dreiecks dar.
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