Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit 

Definitionen. 

• Sei X ⊆ R und f : X → R eine Abbildung. Sei x0 ∈ X, so dass ein ɛ > 0 

existiert, für das (x0 − ɛ, x0 + ɛ) ⊆ X. Dann heißt f differenzierbar in x0, 

falls eine Zahl f ′ (x0) ∈ R existiert, so dass die Abbildung 

 

f(x)−f(x0) 

, x = x0, 

x−x0 

x ↦→ 

f ′ (x0), x = x0, 

stetig ist. Mit anderen Worten: Es ist 

f(x) − f(x0) 

lim 

= f 

x→x0 x − x0 

′ (x0). 

Ist X ein offenes Intervall (oder eine Vereinigung von offenen Intervallen) 

und ist f differenzierbar in allen x0 ∈ X, dann heißt f differenzierbar. Die 

f ′ (x0) bilden dann eine Abbildung f ′ , genannt Ableitungsabbildung. Ihre 

Bilder heißen Ableitungen. 

• Seien X ein offenes Intervall und f : X → R eine Abbildung. Sei weiterhin 

x0 ∈ X ein Punkt, für den eine Umgebung B(ɛ, x0) ⊆ X existiert, so dass 

f(x) ≤ f(x0) für alle x ∈ B(ɛ, x0). Dann heißt f(x0) relatives Maximum 

von f. Man sagt auch: f hat ein relatives Maximum bei x0. Gilt hingegen 

f(x) ≥ f(x0) für alle x ∈ B(ɛ, x0), dann hat f ein relatives Minimum 

bei x0. Trifft eine dieser beiden Bedingungen zu, dann spricht man von 

einem relativen Extremum. Diese Definition hat zunächst nichts mit Differenzierbarkeit 

zu tun. Allerdings lassen sich die Extrema differenzierbarer 

Abbildungen leichter bestimmen als bei anderen Funktionen. 

• Sei f : X → R differenzierbar. Dann heißen die Nullstellen von f ′ kritische 

Punkte. 

• Sei f : X → R differenzierbar. Ist f ′ stetig, dann heißt f stetig differenzierbar. 

• Sei f : X → R eine (n − 1)-fach stetig differenzierbare Abbildung, so dass 

f (n−1) differenzierbar ist. Sei ferner x0 ∈ X. Dann definiert 

(Tn,x0f)(x) := 

n 

k=0 

f (k) (x0) 

(x − x0) 

k! 

k 

das Taylorpolynom n-ten Grades von f im Punkt x0. 

• Sei f : X → R beliebig oft differenzierbar, dann heißt die Potenzreihe 

(Tx0f)(x) := 

∞ 

n=0 

f (n) (x0) 

(x − x0) 

n! 

n 

Taylorreihe von f. Ist X im Konvergenzbereich von Tx0f enthalten und 

gilt f(x) = (Tx0f)(x) für alle x ∈ X, so sagt man, die Taylorreihe Tx0f stellt f dar. 

1

Wichtige Sätze. Die Ableitungen der Standardfunktionen finden sich auf 

dem Blatt mit der Funktionentabelle. 

• Differenzierbare Abbildungen sind stetig. 

• Seien f, g : X → R in x0 ∈ X differenzierbar. Dann sind auch f + g und 

fg differenzierbar in x0 und die Ableitungen sind f ′ (x0) + g ′ (x0) bzw. 

f ′ (x0)g(x0) + f(x0)g ′ (x0). Letztere Formel wird auch als Produktregel 

bezeichnet. 

• Sei g : Y → R in y0 ∈ Y differenzierbar und sei X ⊆ R eine Menge, die 

das Bild von g und insbesondere eine offene Umgebung von g(y0) enthält. 

Sei weiterhin f : X → R differenzierbar in g(y0). Dann ist die Verkettung 

f ◦ g differenzierbar in x0 und die Ableitung lautet f ′ (g(y0))g ′ (y0). 

(Kettenregel.) 

• Sei f : X → Y bijektiv und differenzierbar in x0 ∈ X mit f ′ (x0) = 0. Ist 

dann f −1 in f(x0) stetig, dann ist f −1 dort auch differenzierbar und es 

gilt: 

(f −1 ) ′ (f(x0)) = 1 

f ′ (x0) . 

• Seien f, g : X → R in x0 ∈ X differenzierbar und sei g(x0) = 0. Dann ist 

die Quotientenabbildung f/g in x0 differenzierbar und es gilt (Quotien- 

tenregel): 

′ 

f 

g 

(x0) = g(x0)f ′ (x0) − f(x0)g ′ (x0) 

g(x0) 2 . 

• Seien [a, b] ⊆ R ein abgeschlossenes Intervall und f, g : [a, b] → R stetig 

und differenzierbar in (a, b). Dann existiert ein x0 ∈ (a, b), so dass (f(b) − 

f(a))g ′ (x0) = (g(b)−g(a))f ′ (x0). Für den Spezialfall f(a) = g(a) = 0 und 

f(b) = g(b) = 1 gilt also g ′ (x0) = f ′ (x0). Ein weiterer wichtiger Spezialfall 

ist g = id, dann gilt der Mittelwertsatz: 

f ′ (x0) = 

f(b) − f(a) 

. 

b − a 

• Sei f : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar. Ist dann f ′ (x) ≥ 0 für 

alle x ∈ (a, b), dann ist f monoton steigend. Ist hingegen f ′ (x) ≤ 0, dann 

ist f monoton fallend. Insbesondere ist f konstant, falls f ′ (x) = 0 für alle 

x ∈ (a, b). Die Umkehrungen dieser Aussagen gelten auch. 

• Seien f : [a, b] → R stetig und x0 ∈ [a, b] ein relatives Extremum von f. 

Dann gilt genau eine der folgenden Aussagen: 

1. f ist nicht differenzierbar in x0 (das ist insbesondere der Fall wenn 

x0 = a oder x0 = b). 

2. f ist differenzierbar in x0 und x0 ist ein kritischer Punkt von f. 

• Sei f : (a, b) → R zweimal in x0 ∈ (a, b) differenzierbar und x0 sei ein 

kritischer Punkt von f. Ist dann f ′′ (x0) > 0, dann hat f in x0 ein relatives 

Minimum. Ist f ′′ (x0) < 0, dann hat f in x0 ein relatives Maximum. 

Ist hingegen f ′′ (x0) = 0, dann können alle Fälle eintreten (inklusive des 

Falls, dass gar kein lokales Extremum vorliegt) und man muss von Hand 

untersuchen, welcher Fall vorliegt. 

2

• Seien f, g : (a, b) → R differenzierbar und lim 

x→a 

lim 

x→a + 

f(x) = lim 

x→a + 

f(x) = lim g(x) = 0 oder 

+ x→a + 

g(x) = ±∞ (im letzteren Fall dürfen die Vorzeichen 

der beiden Grenzwerte unterschiedlich sein). Dann gilt 

lim 

x→a + 

f(x) 

= lim 

g(x) x→a + 

f ′ (x) 

g ′ (x) , 

sofern der rechte Grenzwert existiert. Die analoge Aussage gilt auch für 

x → b − . (De L’Hôpitalsche Regel.) 

• Ist f (n + 1)-mal stetig differenzierbar und 

Rn := f − Tn,x0 f 

das Restglied, dann gilt die Abschätzung 

|Rn(x)| ≤ sup |f (n+1) (x)| 

|x − x0| 

(n + 1)! 

n+1 . 

(Lagrangesche Restgliedabschätzung.) Ist f beliebig oft differenzierbar 

und konvergiert die Funktionenfolge (Rn)n∈N gleichmäßig gegen 0, dann 

wird die Abbildung f von ihrer Taylorreihe dargestellt. 

Diese Restgliedabschätzung ist nicht immer anwendbar. Gegebenenfalls 

muss das Restglied direkt abgeschätzt werden. Mit dem Hauptsatz erreicht 

man rekursiv folgende Moment- oder Integraldarstellung: 

Rn(x) = 1 

x 

n! 

x0 

(x − t) n f (n+1) (t)dt. 

Ein paar Eselsbrücken. Um sich die verschiedenen Ableitungsregeln merken 

zu können, haben sich insbesondere für die Kettenregel und für die Quotientenregel 

zwei Eselsbrücken eingebürgert. Bei der Kettenregel 

(f ◦ g) ′ = (f ′ ◦ g)g ′ 

hat sich die Mneme ” äußere Ableitung mal innere Ableitung“ etabliert. Die 

Multiplikation mit g ′ wird auch als ” Nachdifferenzieren“ bezeichnet. 

Bei der Quotientenregel 

′ 

f 

= 

g 

gf ′ − fg ′ 

g2 wir der Zähler gerne mit Z und der Nenner mit N bezeichnet, und für die 

jeweiligen Ableitungen ein A vorangestellt. Dann ergibt sich 

NAZ − ZAN 

N 2 . 

Das Vorzeichen merkt man sich mit ” Der ZAN wird gezogen.“ 

3

Kurvendiskussion. Die Kurvendiskussion ist eine recht abstrakte Analyse 

einer (zumindest stückweise) differenzierbaren Abbildung, bei der Eigenschaften 

wie beispielsweise relative und absolute Minima und Maxima, Monotonieeigenschaften 

und das Bild einer Abbildung f bestimmt werden sollen. Die Notwendigkeit, 

eine Kurvendiskussion durchzuführen rührt aber oft von einer ganz 

konkreten Problemstellung her, etwa beim Optimieren eines Prozesses. Wie man 

die gesuchten Eigenschaften findet, ergibt sich ja direkt aus den o.g. Sätzen. 

Hier nochmal einige Hilfestellungen, wie man eine Kurvendiskussion ordentlich 

durchführt und sich vor Fehlern schützt. Natürlich sollte man immer nur die 

Eigenschaften ausrechnen, die man gerade braucht. 

1. Bisweilen kann es sinnvoll sein, sich ein Schaubild aufzumalen. Anhand 

dieses Schaubilds kann man sich vergewissern, ob die berechneten Extrema 

und übrigen Daten korrekt sind. 

2. Zunächst mache man sich den Definitionsbereich der gegeben Abbildung 

klar. Dieser ist manchmal absichtlich kleiner als von der verwendeten Abbildung 

her eigentlich nötig. Das passiert beispielsweise bei zeitabhängigen 

Kurven, die nur für einen bestimmten, vorgegebenen Zeitraum untersucht 

werden sollen. 

3. Normalerweise ist f bis auf endlich viele Stellen offensichtlich differenzierbar 

(kurz begründen). Wenn der Definitionsbereich Ränder hat, ist f dort 

nicht differenzierbar. 

4. Man bestimme die kritischen Punkte von f. 

5. Man bestimme die relativen Minima und Maxima: bei den nicht differenzierbaren 

Stellen von f manuell, bei den kritischen Punkten durch Berechnen 

von f ′′ . Dazu muss natürlich f ′ selbst auch differenzierbar sein. Ist 

dies nicht der Fall, oder verschwindet f ′′ an einem der kritischen Punkte, 

so muss auch dort manuell vorgegangen werden (Überprüfung auf Vorzeichenwechsel 

der Ableitungsabbildung). Die absoluten Minima und Maxima 

sind dann jeweils das kleinste lokale Minimum und das größte lokale 

Maximum, sofern f nicht doch noch woanders kleinere bzw. größere Werte 

annimmt: zum Beispiel wenn f auf einem offenen Intervall definiert ist. 

Dann kann es passieren, dass eines oder beide absolute Extrema nicht 

existieren. Es kann auch passieren, dass zwei oder mehr absolute Minima 

bzw. Maxima existieren, wenn die Funktionswerte an den entsprechenden 

relativen Extrema gleich sind. 

6. Man bestimme die Monotonieabschnitte, also diejenigen abgeschlossenen 

Intervalle, auf denen f monoton steigend ist, und diejenigen abgeschlossenen 

Intervalle, auf denen f monoton fallend ist. 

7. Um das Bild von f zu berechnen, bietet sich oft der Zwischenwertsatz an. 

Überall dort, wo f differenzierbar ist, ist f ja auch stetig. Als Randwerte 

bieten sich, soweit vorhanden, die absoluten Extrema an. Andernfalls 

wendet man den Zwischenwertsatz zunächst auf ein im Definitionsbereich 

enthaltenes abgeschlossenes Intervall an und bildet dann die Vereinigung 

aller sich auf diese Weise ergebenden Bilder. 

4

Berechnung von Grenzwerten. Grenzwerte von differenzierbaren Funktionen 

müssen oft mit der l’Hôpitalschen Regel berechnet werden. Dazu überprüft 

man zunächst die Anwendbarkeit des L’Hôpitalschen Satzes und bildet einen 

Bruch. Also Schritt für Schritt: 

1. Zunächst sollte man überprüfen, ob man den Grenzwert nicht mit einem 

der normalen Grenzwertsätze berechnen kann. Nur wenn dabei Ausdrücke 

wie 0/0, 0 · ∞ o.ä. auftauchen, ist l’Hôpital anwendbar und nur dann wird 

er auch gebraucht. 

2. Wenn der Ausdruck, dessen Limes bestimmt werden soll, nicht bereits 

die kanonische l’Hôpital-Form hat, dann muss er erst auf diese gebracht 

werden. Eine beliebte Umformung ist 

fg = f 

. 

Eine weitere Möglichkeit ist der ” exp-ln-Trick“. Dabei wird eine positivwertige 

(!) Abbildung f umgeschrieben in exp ◦ ln ◦f. Mit den Logarithmengesetzen 

kann man dann Wurzeln in Brüche bzw. Exponenten in 

Faktoren umwandeln. Natürlich muss man dazu den Limes in die Exponentialfunktion 

ziehen, was nur geht, weil exp stetig ist. Ähnliche Tricks 

funktionieren mit jedem beliebigen Funktions-Umkehrfunktions-Paar, solange 

Stetigkeit vorliegt. 

3. Hat man erst einmal die l’Hôpitalform und die Voraussetzungen liegen vor, 

dann kann es immer noch passieren, dass der Grenzwert des Quotienten 

der Ableitungsabbildungen nicht einfach auszurechnen ist. In so einem Fall 

muss man die l’Hôpitalsche Regel nochmals, ggf. mehrmals anwenden. 

Taylorpolynome und -reihen. Bestimmung des Taylorpolynoms bzw. der 

Taylorreihe ist letztlich reines Ausrechnen von Ableitungen. Bei Taylorreihen 

kann es mitunter passieren, dass man einen Induktionsbeweis führen muss, um 

alle Koeffizienten zu berechnen. 

Um festzustellen, ob die ursprüngliche Abbildung von ihrer Taylorreihe dargestellt 

wird, sind die Restglieder zu untersuchen. 

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