Lineare Gleichungssysteme

1. An der Kinokasse 

Variationen: 

Lineare Gleichungssysteme 

(a) Schüler sollen die Fragestellung selbst entwickeln 

(b) Ändert den Comic so ab, dass die Informationen nicht ausreichen für eine 

eindeutige Bestimmung der Preise. 

1

Lösung: Erwachsene: $ 5,25 

Kinder: $ 3,75 

2. In der Kneipe 

Variationen: 

2

(a) nur erste Situation vorgeben 

(b) unmögliche Zahlen vorgeben 

(c) eine Sprechblase leer lassen 

Lösung: Erdnüsse: 3,90€ 

Bier: 4,20€ 

3. Magie der Münzen 

Quelle: Schröder/Wurl: Mat(h)erialien 7-10 Algebra, Schroedel 1996, S. 150 

(a) Versuche herauszufinden, wie der Zaubertrick des Magiers funktioniert. 

3

(b) Erfinde selber einen (ähnlichen) ” mathematischen Zaubertrick“ und teste ihn 

an deinem Nachbar. 

Variationen der Aufgabe: 

Verwenden der Original-Fragestellungen: 

(a) 34 wird als Rechenergebnis genannt. Welche Gleichung gilt für x = Anzahl der 

Münzen links und y = Anzahl der Münzen rechts? 

(b) Es gibt noch eine zweite Gleichung für x und y. An sie denkt der Zauberer im 

zweiten Bild bei einem schnellen Blick auf die Münzen. Welche ist es? 

(c) KönntederZaubererauchmitanderenZahlenals3und4multiplizieren lassen? 

Lösung: Das Ergebnis liegt zwischen 27, falls alle Münzen in der linken Hand sind und 36, falls alle 

Münzen in der rechten Hand sind. Zieht man als Zauberer das genannte Ergebnis von 36 

ab, so erhält man die Anzahl der Münzen in der rechten Hand. 

Dahinter steckt, dasssichderZaubererirgendwanneinmaldiebeidenlinearenGleichungen 

3x+4y = 34 und x+y = 9 gedacht, für y = 9−x eingesetzt und so die Gesetzmäßigkeit 

erkannt hat. 

4. Wanderung im Odenwald 

Familie Müller wandert 12km im Odenwald auf einem Rundweg und plant, da sie 

mit Freunden und mehreren Kindern unterwegs sind, dafür 4 Stunden ein. Sie starten 

nach dem Mittagessen um 14 Uhr. 

Eine Stunde später tropft es bei ihrem Untermieter Herrn Muffig durch die Decke. 

Müllers Waschmaschine ist defekt! 

Herr Muffig ist wütend und macht sich auf den Weg, um Familie Müller zu benachrichtigen. 

Er läuft mit einem Tempo von 5 km 

h . 

Variationen: 

(a) Schüler entwickeln eigene Fragestellung 

(b) graphische Lösung 

(c) Graphen durch Gleichung beschreiben 

(d) Lösung mit linearem Gleichungssystem 

4

Lösung: Wenn Herr Muffig hinter der Familie herläuft: nach 2,5 Stunden. Er kann ihnen aber auch 

entgegen laufen. 

5. Fahrpläne 

Die Bewegungen der Züge im Schienennetz der Bundesbahn werden in Bildfahrplänen 

dargestellt (siehe nebenstehende Grafik). 

Im Gegensatz zu der üblichen Darstellung mit horizontaler Zeitachse, sind hier die 

Strecken waagrecht und die Zeit senkrecht abgetragen. 

(a) WaskönntendieVorteileeinessolchenBildfahrplansimGegensatzzuherkömmlichen 

Fahrplänen sein? 

Für die normalen Passagiere werden jedoch lediglich herkömliche Fahrpläne 

erstellt, in denen man die An- und Abfahrtszeiten eines einzelnen Zuges von 

bestimmten Bahnhöfen nachlesen kann. Die nächste Grafik zeigt einen Fahrplanausschnitt 

der Züge 8025/E3665/D319/E3020/8020/D248für die Strecke 

Aachen - Düren - Köln: 

5

(b) Erstelle für vier Züge deiner Wahl einen Bildfahrplan der Strecke (Hin- oder 

Rückfahrt) Aachen - Düren - Köln. Bestimme die Zeitpunkte und Orte, wann 

und wo sich die verschiedenen Züge treffen. Wann und wo finden Überholvorgänge 

statt? 

In der Realität werden Computer für die Erstellung von Fahrplänen benötigt, 

da eine riesige Anzahl an (linearen) Gleichungen zu lösen ist. 

6

(c) Versuche in einem kurzen Text zu beschreiben, welche Bedeutung lineare Gleichungen 

bei der Erstellung von Fahrplänen haben könnten. 

Quelle: Schnittpunkte 9, 1995 

Lösung: (a) An den Unterbrechungen der Linien erkennt man die Haltestationen der Züge. Die 

verschiedenen Richtungen der Strecken lassen Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit 

und die Fahrtrichtung der Züge zu. Die Überschneidungen zweier Linien markieren 

die Anschlussmöglichkeit von einem zum anderen Zug. 

6. Dreiecke mit verschlüsselten Maßangaben 

Acht Dreiecke verraten so viel von ihren Maßen, dass man sie konstruieren kann. 

Allerdings haben sie ihre Angaben ein wenig verschlüsselt. - Berechne die Maße und 

konstruiere dann die Dreiecke. 

Übrigens: Eins der Dreiecke hat sich wohl geirrt. Mit seinen Maßen ist beim besten 

Willen kein Dreieck zu konstruieren. Welches Dreieck ist es? 

Dreieck 1: 

Die Seite c ist 8cm lang. a und b sind zusammen 10cm lang, b ist 3cm größer als a. 

Dreieck 2: 

Die Höhe hc und die Seite a sind gleich lang, und zwar 4cm. Die vierfache Länge 

von b ist gleich der siebenfachen Länge von a. 

Dreieck 3: 

Es gilt: a 

a ist halb so groß wie c. 

Dreieck 4: 

Der Umfang beträgt 20cm. c ist 4cm länger als b. Die dreifache Länge von b ist um 

2cm länger als die doppelte Länge von c. 

Dreieck 5: 

Die Winkel α und β sind gleich groß. Die doppelte Länge von a ist die dreifache 

Länge von c. Der Umfang des Dreiecks beträgt 16cm. 

Dreieck 6: 

Der Winkel α beträgt 60 ◦ . Die sechsfache Länge von hc ist die dreifache Länge von 

c. Die Differenz von hc und c beträgt 4cm. 

Dreieck 7: 

a und b sind zusammen 21cm lang. Die Länge von b beträgt 75% der Länge von a. 

c 2 ist um 1 größer als das Vierfache von a. 

7

Dreieck 8: 

Der Umfang des Dreiecks beträgt 12cm. Die Länge von c beträgt 80% der Länge 

von b. a und b zusammen sind doppelt so lang wie c. 

Quelle: www.a-paulitsch.de/website/rundumsdreieck.doc 

Lösung: Dreieck 1: 

Es wird angegeben: I : c = 8 II : a+b = 10 III : b = a+3 

Lösung: a = 3,5 b = 6,5 c = 8 

Dreieck 2: 

Es wird angegeben: I : β = 90 ◦ (da hc = a) II : a = 4 III : 4b = 7a 

Lösung: a = 4 b = 7 ? = 90 ◦ 

Dreieck 3: 

Es wird angegeben: I : a+3 = b II : a+6 = c III : 2a = c 

Lösung: a = 6 b = 9 c = 12 

Dreieck 4: 

Es wird angegeben: I : a+b+c = 20 II : c = b+4 III : 3b = 2c+2 

Lösung: a = −4 b = 10 c = 14 

Dieses Dreieck kann nicht konstruiert werden! 

Dreieck 5: 

Es wird angegeben: I : a = b(da α = β) II : 2a = 3c III : a+b+c = 16 

Lösung: a = 6b = 6 c = 4 

Dreieck 6: 

Es wird angegeben: I : α = 60 ◦ II : 6hc = 3c III : c−hc = 4 

Lösung: ? = 60 ◦ hc = 4 c = 8 

Dreieck 7: 

Es wird angegeben: I : a+b = 21 II : b = 0,75a III : c 2 = 4a+1 

Lösung: a = 12 b = 9 c = 7 

Dreieck 8: 

Es wird angegeben: I : a+b+c = 12 II : c = 0,80b III : a+b = 2c 

Lösung: a = 3 b = 5 c = 4 

7. Katz und Hund 

Die Nachbarshündin Senta jagt oft unsere Katze Minka. 

(a) Erfinde sinnvolle Geschichten zu den folgenden Graphen (sie sollen Teile von 

Geraden darstellen): 

8

(b) Stelle zu den drei Abbildungen passende Geradengleichungen auf. 

(c) Versuche jeweils die Geschwindigkeit von der Hündin und der Katze zu bestimmen. 

Wo findest du diese in der jeweiligen Geradengleichung wieder? 

Quelle: MatheNetz 9, Westermann 

Variationen: 

eigene Graphen und Geschichten finden lassen 

Lösung: (I)K : y = 1 

3 

4x+5 (II)K : y = 7 (III)K : y = 4x+4 (I)H : y = 3 

4 

8. Zahnbürstenmüll 

x (II)H : y = 3 

4 

x (III)H : y = 3 

4 x 

Griff behalten, Köpfe wechseln = weniger Müll? 

(a) Durch die vollständige Umstellung auf Wechselkopfzahnbürsten kann viel Abfall 

vermieden werden. Stimmt die Angabe zur Müllreduzierung? Bitte einen 

vollständigen Satz notieren! 

(b) Mit welchem Gewicht für eine Zahnbürste wurde gerechnet? 

(c) Mit welchem Gewicht für einen Wechselkopf wurde gerechnet, wenn der Griff 

” ewig“ hält? 

(d) Mit welchem Gewicht für einen Wechselkopf undfür denGriffwurde gerechnet, 

wenn jedes Jahr ein neuer Griff fällig ist? 

Tipp: Benenne 2 Variablen und stelle zwei Gleichungen auf! 

(e) Was stimmt denn das Wechselkopfgewicht aus (c) oder das aus (d)? Bitte 

recherchieren 

Wybert Lörrach elmex Forschung 

Durch Wegfall der üblichen Metallverankerungen besteht der Wechselkopf aus 

nur einem Material und ist damit recyclebar. Griff behalten, Köpfe wechseln = 

weniger Abfall. 

Für die BRD, mit ca. 80 Millionen Einwohnern, würde z.B. die vollständige 

Umstellung auf Wechselzahnbürsten bedeuten, dass bei einem durchschnittlichen 

Verbrauch von 3 Zahnbürsten pro Person jährlich, bei denen 3360 Tonnen 

Abfall entsteht, dieser auf 1440 Tonnen reduziert würde. D.h. 192 Tonnen 

weniger Abfall! 

9

(f) Wenn du der ” Forderung der Zahnmedizin“ folgst und etwa jeden Monat den 

Wechselkopf wechselst, wie viel Gramm Müll sparst du dann gegenüber der 

monatlich ganz neuen Zahnbürste? - Nimm an, der Griff hält ein Jahr. 

(g) Wie viele Tonnen wären das im Jahr für die BRD? 

(h) Wechselkopfzahnbürste - ” umweltfreundlich, weilabfallvermeidendundentsorgungsfreundlich“ 

(Diedenhof) Nimm Stellung dazu! 

Diedenhofen Gesundheitspflege 

Abfallvermeidend. 

3 Zahnbürsten, 1 Stiel - einfaches Wechseln des Bürstenkopfes. 

Alle 4−6 Wochen die Zahnbürste zu wechseln ist die Forderung der Zahnmedizin 

Quelle: MUED 

Lösung: (a) 3360 Tonnen - 1440 Tonnen = 1920 Tonnen - Werden in der BRD Wechselköpfe statt 

normaler Zahnbürsten benutzt, so fallen 1920t weniger Müll an. 

(b) Beim durchschnittlichen Verbrauch von drei Zahnbürstenpro Person im Jahr ergeben 

sich bei 80 Millionen Einwohnern 3360 Tonnen Abfall. Pro Person: 3360 Tonnen/80 

Mio. = 33360000000g/80000000 = 42g für 3 Zahnbürsten. Gewicht einer Zahnbürste 

(Griff + Kopf) = 42g : 3 = 14g. 

(c) 3.1440t/80 Mio. = 18g pro Person und Jahr für 3 Wechselköpfe. Ein Wechselkopf 

wiegt 6g. 

(d) Werden pro Person im Jahr durchschnittlich ein Griff und drei Köpfe verbraucht, so 

entsteht der Müll aus (c), nämlich 18g dafür. Sei G das Gewicht des Griffes, K das 

Gewicht des Kopfes dann gilt: 

(I) : G+K = 14 

(II) : G+3K = 18 

⇒ K = 2 und G = 12 

Der Griff wiegt 12g. Ein Wechselkopf wiegt 2g. 

(e) Auswiegen liefert: Ein Wechselkopf wiegt 2g. Da immer 1 Griff und 3 Wechselköpfe 

in einer Packung sind, ist wohl auch gemeint, dass ein Griff ein Jahr lang hält und in 

der Zeit 3 Wechselköpfe gebraucht werden (sollten) - also alle 4 Monate ein neuer. 

(f) 12 vollständige Zahnbürsten à14g macht 168g Müll. 1 Griff von 12g und 12 Wechselköpfe 

à2g (die können auch ohne Griff gekauft werden) ergeben pro Person 36g 

Müll im Jahr und somit eine Ersparnis von 132g. 

(g) Wenn alle Einwohner vollständige Zahnbürsten verwenden würden wären das 13440 

Tonnen Müll für die BRD pro Jahr. Bei Wechselköpfen würde der Zahnbürstenmüllberg 

jedoch nur 2880 Tonnen wiegen, also 10560 Tonnen Ersparnis. 

9. Geometrie 

10

Quelle: Schröder/Wurf: Mat(h)erialien 7-10, Schroedel 1996, S. 152 

Lösung: 1. M - U - R - C - I - A (Stadt im Südosten Spaniens, Hauptstadt der Provinz und der 

autonomen Region Murcia (11.317 Quadratkilometer, 1,1 Millionen Einwohner) am 

Ufer des Segura. 

2. x = 17 y = 32 

3. x = 21 y = 30 

4. α = 66 γ = 48 

11

5. x = 120 y = 240 

6. x = 50 y = 120 

7. x = 7 y = 21 

10. Unterwegs mit der Bahn 

Ein Interregio wird um 6 Uhr in Arbeitsstedt eingesetzt und fährt dann mit einer 

Durchschnittsgeschwindigkeit von 120km pro Stunde über Freital nach Schlafhausen. 

Ein Vorortszug startet um 6 Uhr in Freital auf einem Gleis, das neben dem 

des Interregio verläuft. Sein Ziel ist ebenfalls Schlafhausen, seine Durchschnittsgeschwindigkeit 

100 km. 

Arbeitsstedt und Freital sind 10km(20km,30km,?) vonein- 

h 

ander entfernt, Arbeitsstedt und Schlafhausen 500km. 

(a) Versuche möglichst einfach - ggf. auf verschiedenen Wegen - herauszufinden, 

wann der Interregio den Vorortszug einholt. Du darfst hierbei auch sinnvoll 

probieren. 

(b) Bei welcher Entfernung zwischen Arbeitsstedt und Freital treffen sich die Züge 

vor (in, nach) Schlafhausen? 

(c) Versucht selbst Probleme zu entwerfen und zu lösen, in denen es um die Frage 

geht, wann ein schnelleres Fahrzeug (oder eine schnellere Person) ein langsameres 

(eine langsamere) einholt bzw. sich deren Wege kreuzen(Raumschiff 

Enterprise; Wettlauf beim Sport; ?). 

(d) Denkt euch passende Aufgaben aus, bei denen die zugehörigen Geraden im 

Koordinatensystem zusammenfallen oder sich nicht schneiden. Was bedeutet 

das jeweils für die Lösung des entsprechenden Problems? Begründe deine Vermutung. 

(e) Fasst zusammen, welche Methoden ihr bislang entwickelt habt, um Probleme 

mit zwei Unbekannten zu lösen. Diskutiere Vor- und Nachteile. 

Variation: Schüler selbst Fragestellungen finden lassen 

Lösung: (a) 120x = y 

100x−30 = y 

⇒ x = 1,5; y = 180 

(bei einer Entfernung von 30km zwischen Arbeitsstedt und Freital) 

12

(b) Die Züge treffen sich bei weniger (genau, mehr) als 100km Entfernung zwischen 

Arbeitsstedt und Freital vor (in, nach) Schlafhausen. (individuell) 

11. Jonglieren mit den Tarifen 

Die Deutsche Telekom bietet ihren Kunden verschiedene Tarife für ihre Telefonanschlüsse 

an. Die unten abgebildete Tabelle zeigt die beiden Tarife der Anschlüsse 

T-Net und T-Net 100 in den Zeiten von 7−18 Uhr (Stand: März 2002). 

T-NET (Mo.-Fr. 7−18 Uhr) T-NET 100 

City (Orts- und Nahbereich) 4 Cent pro Minute 3,1 Cent pro Minute 

Deutschland 12,3 Cent pro Minute 4,6 Cent pro Minute 

Monatliche Grundgebühr 13,33€ 15,93€ 

(a) Wie viel muss man telefonieren, wenn sich der T-Net 100 Tarif für einen lohnen 

soll, vorausgesetzt man ruft nur im Citybereich (nur im Deutschlandbereich) 

an? 

(b) Angenommen bei dir sind 80% aller Gespräche Ortsgespräche und 20%Ferngespräche 

innerhalb Deutschlands, ab wie viel Minuten lohnt sich dann für dich 

der T-Net 100 Tarif? 

(c) Die Telekom wirbt mit der neben stehenden Anzeige für den neuen T-Net 100 

Tarif. Nimm in einem kurzen Aufsatz (ca. 10 Zeilen) Stellung dazu! 

Lösung: (a) 289 Minuten (34 Minuten) 

(b) 115 

13

12. Hasenfüße 

In einem Stall sind Hasen und Hennen und zwar 9 Tiere mit insgesamt 24 Füßen. 

Wie viele Hasen und Hennen sind es jeweils? 

Lösung: Es sind 6 Hennen und 3 Hasen. 

13. Zahlenrätsel 

Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 15, dieDifferenz der Ziffernist 3. Welche 

beiden Zahlen können das sein? 

Lösung: Es kann entweder die Zahl 69 oder die Zahl 96 sein. 

14. Fahrenheit 

In den Vereinigten Staaten von Amerika wird die Temperatur in Grad Fahrenheit 

gemessen. BeiderUmrechnung vonCelsius inFahrenheitmusszueinembestimmten 

Betrag jeweils ein Vielfaches der Celsius-Zahl addiert werden. 

Wie lautet die Umrechnungsformel, wenn 68 ◦ F = 20 ◦ C und 104 ◦ F = 40 ◦ C ist? 

Bei welcher Fahrenheittemperatur schmilzt also Eis? Trage die fehlenden Werte in 

die Grafik ein. 

14

Lösung: Laut Rechnung bei > 31 Fahrenheit. 

15. Legierung 

Lötzinn ist eine Legierung aus Zinn und Blei. Aus zwei Sorten mit 30% bzw. 40% 

Zinngehalt sollen 80kg einer neuen Sorte Lötzinn mit 33% Zinngehalt hergestellt 

werden. Berechne, wie viel kg man von jeder Sorte braucht! 

Lösung: Man benötigt 53,33kg der Sorte A (30%) und 26,66kg der Sorte B (40%) 

16. Gleichgewicht 

Begründe anhand der unten abgebildeten Zeichnungen, warum Addieren (entsprechender 

Seiten) zweier Gleichungen I und II eine neue, richtige Gleichung liefert! 

Zeichne eine analoge Figur für die Subtraktion zweier Gleichungen und erkläre! 

17. Eulers Aufgabe 

+ 

Aus dem Buch ” Vollständige Anleitung zur Algebra“ von Leonhard Euler (1707− 

1783): 

15

” Zwei Personen sind 29 Rubel schuldig; nun hat zwar jeder Geld, doch nicht so 

viel, dass er diese gemeinschaftliche Schuld allein bezahlen könnte; drum sagt der 

Erste zum anderen: Gibst du mir zwei Drittel deines Geldes, so kann ich die Schuld 

sogleich allein bezahlen. Der andere antwortet dagegen: Gibst du mir drei Viertel 

deines Geldes, so kann ich die Schuld allein bezahlen.“ 

Wie viel Geld hat jeder? 

Lösung: Der eine hat 14,5 Rubel; der andere hat 19 1 

3 Rubel. 

18. Gleichungssysteme aufstellen 

Bilde aus den vorgegebenen Gleichungen jeweils zwei Gleichungssysteme mit einer 

Lösung, mit keiner Lösung und unendlich vielen Lösungen. Zeichne. 

16

19. Schifffahrt 

Ein Schiff fährt stromabwärts mit 23km, stromaufwärts mit 9km. 

Berechne die Ei- 

h h 

gengeschwindigkeit des Schiffes und die Fließgeschwindigkeit des Wassers? 

Bemerkung: Es wird angenommen, dass das Schiff stromaufwärts und stromabwärts 

die gleiche Eigengeschwindigkeit hat. 

Lösung: Die Flussgeschwindigkeit beträgt 7 km 

h 

und das Schiff fährt mit 16km 

h . 

20. Geradenschnittpunkte (1) 

Kleine Ursache - große Wirkung. Löse beide Gleichungssysteme rechnerisch. 

(a) 123x−124y = 61 

248x−250y = 123 

(b) 123,01x−124y = 61 

248x−250y = 123 

In welchen Quadranten liegen die Schnittpunkte? Vergleiche die Ergebnisse und 

versuche zu erklären! 

Lösung: (a) x = 1 und y = 0,5 

(b) x = −4 und y = −4,46 

Die Ursache dafür liegt darin, dass die beiden Geraden fast die gleiche Steigung haben und 

folglich eine geringfügige Änderung der Steigung einer Geraden den Schnittpunkt beider 

Geraden erheblich verschiebt. 


Welches Gleichungssystem wird in den Grafiken jeweils graphisch gelöst? 

17

Lösung: (a) y = 0,5x+0,5 

y = −x+2 

(b) y = 0,25x+0,25 

y = −0,5x+1 

(c) y = 2x+4 

y = −0,5x 

(d) y = −3x+4 

y = x 


Drei verschiedene Geraden können unterschiedlich viele Schnittpunkte miteinander 

haben. Erstelle für alle vier Fälle ein Gleichungssystem. 

23. Obst 

Das Alte Land ist ein wichtiges Obstanbaugebiet in Norddeutschland. Hier befindet 

sich eine kleine Fabrik, die aus dort angebautem Obst drei Sorten von Produkten 

herstellt: Obstsalat, Multivitaminsaft und Marmelade. 

18

In der Hauptsaison sollen aus Äpfeln, Birnen und Kirschen pro Monat 100kg Obstsalat, 

500l Saft (1l ∼ = 1kg) und 200kg Marmelade hergestellt werden. Für den 

Obstsalat werden zu gleichen Anteilen Äpfel, Birnen und Kirschen verwendet. Pro 

Liter Multivitaminsaft werden an Gewicht dreimal so viele Äpfel wie Kirschen und 

doppelt so viele Birnen wie Kirschen verwendet. Für die Herstellung der Marmelade 

kommen auf ein Kilogramm jeweils gleich viele Äpfel und Birnen. 

Welche Fruchtmengen sind für die Herstellung dieser Produkte erforderlich? 

Lösung: Man benötigt 383,33kg Äpfel, 300,33kg Birnen und 216,33kg Kirschen. 

Lösung: 

24. Lösungswege 

DenkdirselbsteinlinearesGleichungssystem mitzweiVariablenaus,dasdieLösungsmenge 

L = {−2;5} hat und sich besonders gut 

(a) mit dem Einsetzungsverfahren; 

(b) mit dem Gleichsetzungsverfahren; 

(c) mit dem Additionsverfahren 

lösen lässt. 

25. Lineare Gleichungssysteme 

Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. 

(I) 2(x+3)+4y = 3(x−2)+7 

(II) 5x−2(y +3) = 4x+8(y−2,5) 

19

Lineare Gleichungssysteme

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