Geometrische Folgen und Reihen

Lösung:<br />

<strong>Geometrische</strong> <strong>Folgen</strong> <strong>und</strong> <strong>Reihen</strong><br />

1. In der Formelsammlung findet man zum Thema ” geometrische <strong>Reihen</strong>“:<br />

ν=1<br />

aν = a1 ·q ν−1 =⇒ sn =<br />

n<br />

ν=1<br />

Beweisen Sie damit folgende Formeln:<br />

n<br />

(a) q ν = qn+1 −q n−1<br />

(b) q<br />

q −1<br />

ν = qn −1<br />

q −1<br />

ν=0<br />

aν = a1<br />

(c)<br />

q n −1<br />

q −1<br />

n<br />

ν=0<br />

q ν = qn+1 −1<br />

q −1<br />

2. Eine Folge von Zahlen, in welcher der Unterschied je zweier unmittelbar aufeinanderfolgender<br />

Zahlen konstant ist, heißt arithmetische Folge.<br />

Betrachtet werde nun eine aufsteigende arithmetische Folge mit vier Gliedern. Addiert<br />

man zum ersten <strong>Folgen</strong>glied 1, zum zweiten 8, zum dritten 35 <strong>und</strong> zum vierten<br />

122, so erhält man eine geometrische Folge. Bestimmen Sie die Glieder der beiden<br />

<strong>Folgen</strong>!<br />

Lösung: arithmetische Folge: 4,7,10,13 geometrische Folge: 5,15,45,135<br />

3. Die Summe aus den ersten fünf Gliedern einer geometrischen Folge mit q = 0,8 hat<br />

den Wert 420,2. Wie heißen der erste <strong>und</strong> der letzte Summand?<br />

Lösung: a1 = 125; a5 = 51,2<br />

4. In einer geometrischen Folge mit positiven Gliedern ist die Summe aus dem 2. <strong>und</strong><br />

4. Glied 102. Das 6. Glied ist 1536.<br />

Berechnen Sie die Summe der ersten 7 Glieder.<br />

Lösung: Anfangswert a = 1,5; Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder q = 4; s7 = 8191,5<br />

5. Ineiner geometrischen Folgemitpositiven GliedernistdasProdukt ausdemzweiten<br />

<strong>und</strong> vierten Glied gleich 1296, das fünfte Glied ist 16. Berechnen Sie die Summe der<br />

ersten 10 Glieder.<br />

Lösung: Es ist a1 = aq0 = 81, q = 2<br />

3 <strong>und</strong> s10 = 9 i=0aqi = a q10−1 58025<br />

q−1 = 243<br />

6. Berechnen Sie den Wert der Summe −3 + 6 − 12 + 24 − ... − 3072 mit Hilfe der<br />

Summenformel für geometrische <strong>Folgen</strong>.<br />

1

---

Lösung: −2049<br />

7. Bei einer geometrischen Folge mit positiven rationalen Gliedern beträgt die Summe<br />

des ersten <strong>und</strong> dritten Gliedes 20, die Summe des ersten <strong>und</strong> fünften Gliedes 17.<br />

Wie lautet das erste <strong>und</strong> das zehnte Glied dieser Folge?<br />

Lösung: 16, 1<br />

32<br />

8. Bei einer geometrischen Folge mit lauter positiven Gliedern beträgt das Produkt<br />

der beiden ersten Glieder 324, die Summe der Quadrate dieser Glieder 1377.<br />

(a) Berechnen Sie das erste Glied sowie den Quotienten dieser Folge!<br />

(b) Berechnen Sie die Summe der ersten sieben Glieder!<br />

Lösung: (a): 2 Lösungen: a1 = 9, q = 4 bzw. a1 = 36, q = 1<br />

4<br />

(b): 49149 bzw. 47 1021<br />

1024<br />

9. Die Summe der geraden Glieder einer geometrischen Folge von 5 rationalen Zahlen<br />

beträgt 5<br />

21<br />

, die der ungeraden Glieder . Wie lauten die einzelnen Glieder?<br />

2 4<br />

Hinweis: Das mittlere Glied sei x; verwenden Sie 1<br />

q2 +q2 <br />

1<br />

=<br />

q +q<br />

2 −2!<br />

Lösung: 0,25; 0,5; 1; 2; 4 bzw. 4; 2; 1; 0,5; 0,25<br />

10. Der Brahmane Sissa, Erfinder des Schachspiels, erbat sich auf Aufforderung des<br />

indischen Königs Shehram hin als Belohnung für seine Erfindung diejenige Summe<br />

Weizenkörner, die sich ergibt, wenn man auf das erste Feld des Schachbretts ein<br />

einziges Weizenkorn, auf das zweite Feld zwei, auf das dritte Feld 4, auf das vierte<br />

Feld acht Körner usw. legt.<br />

(a) Welche Summe von Weizenkörnern ergäbe sich?<br />

(b) Welches Gewicht hätten diese insgesamt, wenn 20 Körner durchschnittlich 1g<br />

wiegen?<br />

(c) Wie hoch könnte eine quadratische Fläche der Seitenlänge 100km damit bedeckt<br />

werden, wenn 15 Körner etwa 1cm 3 Raum einnehmen?<br />

Lösung: (a): 2 64 −1 ≈ 1,84·10 19 (b): 9,22·10 11 t (c): ca. 120m<br />

2

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Lösung:<br />

11. Zwischen 2 Tönen mit den Schwingungszahlen 1000Hz <strong>und</strong> 2000Hz (Oktave!) sollen<br />

elf Töne eingeschaltet werden, so dass die Folge der Schwingungszahlen dieser<br />

dreizehn Töne eine geometrische Folge bildet. Wie lautet der Quotient dieser Folge?<br />

12 √ 2<br />

12. Schiebt man zwischen die Töne einer Oktave 11 Zwischentöne derart ein, dass<br />

deren Frequenzen eine geometrische Folge bilden, so entsteht eine Tonleiter mit<br />

” gleichmäßig-temperierter Stimmung “.<br />

Beispiel: Der Ton c’ hat eine Frequenz von 261Hz, seine Oktave c” eine doppelt so<br />

große. In C-Dur heißen die 11 Zwischentöne cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a, ais <strong>und</strong><br />

h.<br />

(a) Berechnen Sie den Quotienten dieser geometrischen Folge auf zwei Dezimalen<br />

genau.<br />

(b) Der 9. Zwischenton ist der Kammerton a’, der zum Stimmen von Musikinstrumenten<br />

benutzt wird. Berechnen Sie seine Frequenz!<br />

Lösung: 1,06; 441Hz<br />

13. Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein<br />

zweites Quadrat derart einbeschreiben, dass dessen<br />

Ecken in den Seitenmitten des ersten liegen.<br />

Setzt man dieses Verfahren fort, so ersteht eine<br />

Folge von Quadraten. (vgl. Abb) .<br />

(a) Stellen Sie den Flächeninhalt <strong>und</strong> den Umfang des n-ten Quadrats mit Hilfe<br />

der Seitenlänge a des ersten Quadrats dar.<br />

(b) Berechnen Sie die Summe der Umfänge der ersten 10 Quadrate für a = 15cm.<br />

Lösung: An = a 2 ·( 1<br />

2 )n−1 ; Un = 4a·( 1<br />

√ 2 ) n−1 ; S10 ≈ 198.5cm<br />

14. Ein Quadrat mit der Seitenlänge a wird durch eine<br />

Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt.<br />

In eines der beiden Dreiecke wird ein weiteres<br />

Quadrat einbeschrieben, das wiederum durch seineDiagonaleinzwei<br />

rechtwinklige Dreiecke zerlegt<br />

wird.WiederholtmandiesesVerfahren,soentsteht<br />

eine Folge von Quadraten. (vgl. Abb.)<br />

3<br />

.<br />

. . . . . . . . . . . . . . . . .<br />

. .......................................................................<br />

.

---

(a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des n-ten Quadrats in Abhängigkeit der Seitenlänge<br />

a des ersten Quadrats.<br />

(b) Berechnen Sie die Summe der Flächeninhalte der ersten 8 Quadrate für a =<br />

10cm.<br />

Lösung: An = a 2 ·( 1<br />

4 )n−1 ; S8 ≈ 133cm 2<br />

4