Beurteilende Statistik - Testen von Hypothesen ... - MatheNexus
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<strong>Beurteilende</strong> <strong>Statistik</strong> - <strong>Testen</strong> <strong>von</strong> <strong>Hypothesen</strong><br />
Übungsaufgaben (1)<br />
Eine Firma möchte bei einem Signifikanztest das Fehlerrisiko bzw. Signifikanzniveau bei α = 0 halten.<br />
Welche Konsequenzen zieht diese Festlegung mit sich?<br />
(2) Bei einem Signifikanztest wurde die Nullhypothese auf dem 1% Signifikanzniveau verworfen.<br />
Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch?<br />
A: Die Nullhypothese ist nachweislich eindeutig falsch.<br />
B: Die Alternativhypothese ist nachweislich eindeutig wahr .<br />
C: Mit einer Wahrscheinlichkeit <strong>von</strong> 99% gilt H 1 .<br />
D: Die Nullhypothese kann man mit einer Wahrscheinlichkeit <strong>von</strong> 1% verwerfen.<br />
In einer Klinik wird ein neues Medikament, das die Konzentrationsfähigkeit für Patienten mit einem<br />
Schädel-Hirn-Trauma verbessern soll, getestet. Mit einem Signifikanztest soll festgestellt werden, ob dieses<br />
Programm erfolgreich ist. Wie lautet die Null- und die Alternativhypothese?<br />
Bei einem Würfel wird geprüft ob es sich um einen Laplace-Würfel handelt.<br />
Beschreiben Sie die Fehler 1.Art und 2.Art.<br />
Ein Arzneimittel, das das Überleben eines Patienten sichern soll, wird getestet. Beschreibe Fehler 1.Art und<br />
2.Art. Welcher ist der verhängnisvollere?<br />
Eine LKW-Ladung Computer wird vor der Übergabe an ein Geschäft noch einmal überprüft.<br />
Was sind hier Fehler 1.Art und 2.Art?<br />
Welches Risiko bezeichnet man als Produzentenrisiko, welches als Konsumentenrisiko?<br />
Eine Waschmittelfirma will durch eine Befragung herausfinden, ob durch einen intensive Werbekampagne<br />
mehr Kunden erreicht werden können. Was sind die Risiken 1. und 2.Art?<br />
Jemand möchte einen zugefrorenen See betreten. Um sicher zu sein, dass das Eis ihn trägt wirft er Steine<br />
auf die Eisoberfläche. Ermittlen Sie den Fehler 1.Art bzw. 2.Art.<br />
In einer Regierungswahl erhielt eine Partei 55% der Stimmen und bildet damit die Mehrheit im Parlament.<br />
Nach der Wahl wurden einige fragwürdige Gesetze verabschiedet. Bei einer Umfrage unter 900 Bürgern gaben<br />
521 an, die besagte Partei erneut zu wählen, wenn demnächst Wahlen wären.<br />
Hat die Regierungspartei durch ihre Maßnahmen die mehrheitliche Unterstützung der Bevölkerung - bei einer<br />
Irrtumswahrscheinlichkeit <strong>von</strong> 3% - verloren?<br />
Die Tabelle für die Binomialverteilung<br />
Monika Knobel, MK 07.05.2005 <strong>Hypothesen</strong>test_Ueb_1.mcd
Lösungen:<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)<br />
Antwort: Mögliche <strong>Hypothesen</strong>:<br />
Nullhypothese: "Das Medikament verbessert die Konzentrationsfähigkeit <strong>von</strong> Schädel-Hirn-Trauma-Patienten"<br />
Alternative Hypothese: "Das Medikament verbessert nicht die Konzentrationsfähigkeit der Patienten."<br />
(4)<br />
Eine Firma möchte bei einem Signifikanztest das Fehlerrisiko bzw. Signifikanzniveau bei α = 0 halten.<br />
Welche Konsequenzen zieht diese Festlegung mit sich?<br />
Antwort:<br />
Möchte man das Risiko 1.Art verringern, muss man entweder seine Entscheidungsregel verändern oder den<br />
Umfang des Tests erhöhen.<br />
Beides hat Nachteile: Verändert man die Entscheidungsregel zugunsten <strong>von</strong> α, erhöht sich automatisch das<br />
Risiko 2.Art. Erhöht man den Umfang des Tests, zieht sich das Verfahren zeitlich in die Länge und<br />
wird aufwendiger.<br />
α = 0 bedeutet, alles zu testen.<br />
Bei einem Signifikanztest wurde die Nullhypothese auf dem 1% Signifikanzniveau verworfen.<br />
Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch?<br />
A: Die Nullhypothese ist nachweislich eindeutig falsch.<br />
Antwort:<br />
FALSCH. Es ist nicht bewiesen, dass die Nullhypothese eindeutig falsch ist. Man glaubt lediglich, dass die<br />
Wahrscheinlichkeit groß ist, dass sie falsch ist.<br />
B: Die Alternativhypothese ist nachweislich eindeutig wahr .<br />
Antwort:<br />
FALSCH. Es ist nicht eindeutig bewiesen, dass sie wahr ist. Man hat durch das Signifikanzniveau die<br />
Nullhypothese verworfen und nimmt die alternative Hypothese an. Dennoch besteht eine geringe<br />
Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese zutrifft.<br />
C: Mit einer Wahrscheinlichkeit <strong>von</strong> 99% gilt H 1 .<br />
Antwort:<br />
FALSCH. Mit einer Wahrscheinlichkeit <strong>von</strong> 99% gilt H 0 .<br />
Begründung:<br />
D: Die Nullhypothese kann man mit einer Wahrscheinlichkeit <strong>von</strong> 1% verwerfen.<br />
Antwort: WAHR.<br />
α = 0.01<br />
Begründung: α = 0.01<br />
In einer Klinik wird ein neues Medikament, das die Konzentrationsfähigkeit für Patienten mit einem<br />
Schädel-Hirn-Trauma verbessern soll, getestet. Mit einem Signifikanztest soll festgestellt werden, ob dieses<br />
Programm erfolgreich ist. Wie lautet die Null- und die Alternativhypothese?<br />
Bei einem Würfel wird geprüft ob es sich um einen Laplace-Würfel handelt.<br />
Beschreiben Sie die Fehler 1.Art und 2.Art.<br />
Antwort:<br />
Nullhypothese: "Der Würfel ist ein Laplace-Würfel"<br />
Alternative Hypothese: " Der Würfel ist kein Laplace-Würfel"<br />
Fehler 1.Art: H 0 ist wahr, H 1 wird angenommen:<br />
⇒<br />
⇒<br />
P(H 0 ) = 1-α = 0.99 = 99%<br />
Fehler 1.Art: H 0 ist wahr und man entscheidet gegen H 0 aufgrund des Tests.<br />
"Der Würfel ist ein Laplace Würfel, aber man nimmt an, dass es keiner ist."<br />
Fehler 2.Art: H 1 ist wahr, H 0 wird angenommen:<br />
"Der Würfel ist kein Laplace-Würfel, aber man nimmt an, dass es einer ist."
(5)<br />
⇒<br />
(6)<br />
⇒<br />
(7)<br />
Antwort:<br />
H 0 : "Mehr Kunden werden erreicht."<br />
H 1 : "Es ist werden nicht mehr Kunden durch eine intensive Werbekampagne gewonnen."<br />
Fehler 1.Art: "Es gibt keine intensive Werbekampagne, obwohl mehr Kunden gewonnen werden könnten."<br />
Fehler 2.Art: "Es wird eine intensive Werbekampagne gestartet, trotzdem gewinnt man keine neuen Kunden."<br />
(8)<br />
Ein Arzneimittel, das das Überleben eines Patienten sichern soll, wird getestet. Beschreibe Fehler 1.Art und<br />
2.Art. Welcher ist der verhängnisvollere?<br />
Antwort:<br />
H 0 : "Das Arzneimittel sichert das Überleben des Patienten." Oder: "Der Patient überlebt mit Hilfe des<br />
Medikaments."<br />
H 1 : "Das Arzneimittel wirkt nicht."<br />
Fehler 1.Art: "Das Medikament kann das Überleben des Patienten sichern, wird aber nicht angewendet."<br />
Fehler 2.Art: "Das Medikament wird dem Patienten verabreicht mit der Annahme, dass es wirkt, was jedoch nicht<br />
zutrifft."<br />
In diesem Fall ist der Fehler 1.Art (für den Patienten) der schwerwiegendere. (Im Zuge der laufenden<br />
Reformierung unseres Gesundheitssystems wird es irgendwann der Fehler 2. Art werden.)<br />
Eine LKW-Ladung Computer wird vor der Übergabe an ein Geschäft noch einmal überprüft.<br />
Was sind hier Fehler 1.Art und 2.Art?<br />
Welches Risiko bezeichnet man als Produzentenrisiko, welches als Konsumentenrisiko?<br />
Antwort:<br />
H 0 : "Die Computer sind einwandfrei."<br />
H 1 : "Die Computer sind defekt."<br />
Fehler 1.Art: "Die Computer sind in Ordnung, werden aber reklamiert."<br />
Fehler 2.Art: "Die Computer sind defekt, werden aber im Geschäft zum Verkauf angeboten."<br />
Der Fehler 1.Art ist das Produzentenrisiko, weil sich der Fehler zu seinem Nachteil auswirkt,<br />
der Fehler 2.Art ist das Konsumentenrisiko.<br />
Eine Waschmittelfirma will durch eine Befragung herausfinden, ob durch einen intensive Werbekampagne<br />
mehr Kunden erreicht werden können. Was sind die Risiken 1. und 2.Art?<br />
Jemand möchte einen zugefrorenen See betreten. Um sicher zu sein, dass das Eis ihn trägt wirft er Steine<br />
auf die Eisoberfläche. Ermittlen Sie den Fehler 1.Art bzw. 2.Art.<br />
Antwort:<br />
H 0 : "Das Eis trägt die Person."<br />
H 1 : "Das Eis bricht."<br />
Fehler 1.Art: "Die Person nimmt an, dass das Eis bricht, obwohl es ihn tragen würde."<br />
Fehler 2.Art. "Die Person betritt das Eis und bricht ein."
(9) In einer Regierungswahl erhielt eine Partei 55% der Stimmen und bildet damit die Mehrheit im Parlament.<br />
Nach der Wahl wurden einige fragwürdige Gesetze verabschiedet. Bei einer Umfrage unter 900 Bürgern gaben<br />
521 an, die besagte Partei erneut zu wählen, wenn demnächst Wahlen wären.<br />
Hat die Regierungspartei durch ihre Maßnahmen die mehrheitliche Unterstützung der Bevölkerung - bei<br />
einer Irrtumswahrscheinlichkeit <strong>von</strong> 3% - verloren?<br />
Antwort: Gegeben: n := 900 p := 0.55 α := 0.03 521 Stimmen für die Partei<br />
n = 900 1 − α = 0.97 ≤ P k0 := 520<br />
MIt Mathcad: m := 0 .. n C := SPBinTabelle( n , p)<br />
k := k0.. k0 + 6 Bk−k0 := Ck 520<br />
521<br />
522<br />
0.967530368<br />
k = 523 B = 0.972127376 ⇒ Ab ks := 523 ist P > 0.97<br />
524<br />
525<br />
526<br />
4. Graphik:<br />
C m<br />
Gesucht: k = ?<br />
1. Formulierung der <strong>Hypothesen</strong>:<br />
H 0 : "Die Partei hat die mehrheitliche Unterstützung (55%) noch"<br />
H 1 : "Die Partei hat Wählerstimmen verloren"<br />
2. Entscheidungsregel:<br />
X:= "Anzahl der Stimmen, die für die Partei sind"<br />
k ≤ X ≤ 900 : Annahme <strong>von</strong> H0 0 ≤ X ≤ k − 1 : Ablehnung <strong>von</strong> H0 3. Fehler 1.Art: P H 1<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
( ) = α ≤ 0.03<br />
1 P( H0) − = α ≤ 0.03<br />
1 − α = 0.97 ≤ P H0 Suche im Tafelwerk: p =<br />
0.55<br />
( )<br />
0.956462095<br />
0.962326395<br />
0.976169741<br />
0.979708201<br />
0.98279146<br />
⇒ für 0 ≤ X ≤ 522<br />
gilt P < 0.97<br />
Die Partei hat die mehrheitliche Unterstützung bei 523 und mehr<br />
Stimmen. (Also hat sie wahrscheinlich Stimmen verloren)<br />
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900<br />
m<br />
ks<br />
1−α
n<br />
Binomialkoeffizient: bk( n , k)<br />
wenn k < 1 , 1 bk n − 1 k 1<br />
k − , ( )<br />
⋅ ,<br />
:= ⎜<br />
⎛<br />
⎝<br />
Wahrscheinlichkeit nach Bernoulli: PBinver( n , p , k)<br />
bk( n , k)<br />
p k n k<br />
⋅ ( 1 − p)<br />
−<br />
:=<br />
⋅<br />
n: Anzahl der Versuche<br />
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer<br />
k: Anzahl der Treffer<br />
Summenwahrscheinlichkeit, höchstens z Treffer:<br />
z<br />
SPBin_h( n , p , z)<br />
:= ∑<br />
k = 0<br />
PBinver( n , p , k)<br />
Summenwahrscheinlichkeit, mindestens z Treffer:<br />
n<br />
SPBin_m( n , p , z)<br />
:= ∑<br />
k = z<br />
PBinver( n , p , k)<br />
B(n,p) in Tabellenform, für große n : F(n,p) in Tabellenform, für große n :<br />
PBinTabelle( n , p)<br />
:= k ← 0<br />
SPBinTabelle( n , p)<br />
:=<br />
m ← PBinTabelle( n , p)<br />
q ← p if p > 0.5<br />
q ← 1 − p otherwise<br />
b q n<br />
←<br />
m0 ← b<br />
while<br />
if<br />
m<br />
k < n<br />
k ← k + 1<br />
( 1 − q)<br />
⋅ ( n − k + 1)<br />
b ← b ⋅<br />
q ⋅ k<br />
mk ← b<br />
p > 0.5<br />
⎛<br />
⎝<br />
z ceil n<br />
← ⎜<br />
2<br />
for<br />
s ← mk<br />
mk ←<br />
mn−k ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
k ∈ 0 .. z<br />
mn−k ← s<br />
⎞ ⎟⎠<br />
s ← 0<br />
for<br />
k ∈ 0 .. n − 1<br />
s ← s + mk mk ← s<br />
mn ← 1<br />
m