TM I,II UND ETM I,II - Lehrstuhl für Technische Mechanik ...

ERGEBNISSE 

TM I,II UND ETM I,II 

Lehrstuhl für Technische Mechanik, Universität Kaiserslautern 

1. Aufgabe: (TM, ETM) 

a 

Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann 

g 

2a 

SS 2002 07.09.2002 

q0 

√ 2 

a 

q0 

α 

D E 

x 

A C 

B 

a 

0000 1111 

Das dargestellte System besteht aus zwei masselosen Rahmen, die im Punkt C gelenkig miteinander 

verbunden sind. Der untere Rahmen ist im Punkt A unverschieblich, sowie im Punkt B verschieblich 

gelagert. Der obere Rahmen ist durch die abschnittsweise konstanten Streckenlasten q0 bzw. q0 

√2 

belastet. 

Durch die Masse m und das von den Rollen I und II geführte Seil wird der obere Rahmen in der 

dargestellten Position gehalten. 

Bestimmen Sie: 

a) die Masse m in Abhängigkeit von q0, sowie die Seilkkraft; 

b) die Auflagerkräfte in A und B, sowie die Gelenkkräfte in C; 

c) die Schnittgrößen im Bereich DE. Verwenden Sie die eingezeichnete Laufkoordinate x. Skizzieren 

Sie die Schnittgrößenverläufe. 

Gegeben: q0, a, α = 45 ◦ 

I 

II 

m

a) m = 

4 

g sin α q0a bzw. mit α = 45◦ m = 4 √ 2 q0a 

g 

S = 2 √ 2 q0a 

b) Ax = −2q0a Ay = 0 B = 0 

Cx = −2q0a Cy = 0 

c) N (x) = 2q0a Q (x) = q0x − 2q0a M (x) = 1 

2 q0x 2 − 2q0ax 

a 

N(x) 

x 

−q0a 

a 

2q0a 

Q(x) 

x 

−2q0a 

a 

−3 2 q0a 2 

M(x) 

x 

0


l 

β 

A 

2G 

g 

l 

B 

Ein Klotz mit dem Gewicht G wird durch die gezeichnete Vorrichtung, bestehend aus einer festen 

Rolle, einem abgewinkelten Balken und einer Last 2G, an die Wand gedrückt. Zwischen Klotz und 

Balken wirkt der Haftreibungskoeffizient µ1, zwischen Klotz und Wand µ2. Der Klotz wird durch eine 

Kraft F in der eingezeichneten Richtung belastet. 


a) die maximale Kraft F am Klotz, damit das System in Ruhe bleibt; 

b) die maximale Kraft F am Klotz, wenn der Winkel α = 0 beträgt. 

Gegeben: 

a) F = 

b) F = 

a 

l = 0.4, α = 15◦ , β = 45 ◦ µ1 = 0.2, µ2 = 0.3 

⎡ 

a 

 

⎤ 

G 

1 − µ1 (µ2 cosα − sin α) 

⎣ l 

a 

+ 2µ1⎦ 

= 0.3957 G 

+ 1 µ2 sin α + cosα 

l 

G 

 

a 

 

a 1 − µ1 µ2 + 2µ1 = 0.6259 G 

+ 1 l 

l 

µ1 

µ1 

l 

µ2 

C 

G 

α 

µ1 

F 

a

3. Aufgabe: (TM) 

a 

a 

a 

A α B 

a 

s s 

P 

z 

y 

a 

x 

Gegeben ist das dargestellte, räumliche System, bestehend aus zwei starren homogenen Platten, die 

mit einem Scharniergelenk verbunden sind. Beide Platten sind vertikal mit der Schneelast s = L/a 2 

belastet, auf die rechte Platte greift zusätzlich eine Windlast von w = L/a 2 an. Darüberhinaus ist das 

Scharniergelenk mit einer Einzellast P in y–Richtung belastet. Das System ist mit Hilfe der sieben 

Pendelstützen A bis F in der xz–Ebene sowie G in y– Richtung gelagert. 

Bestimmen Sie 

a) die Resultierenden aus Schnee- und Windlasten sowie deren Angriffspunkte 

b) die Stabkräfte in den Pendelstützen A bis G 

c) die Größe der Einzellast P so, dass die Pendelstütze D gerade unbelastet ist 

Gegeben: a, s = L/a 2 , w = L/a 2 , P , α = 45 0 

a) Schneelast: S = 2 L Windlast: W = 2 L 

b) AH = AV = 2 L; BH = BV = 1 

2 

E = 2 L + 1 

P; 

2 

1 

F = P − L; 

2 

G = P 

c) P = L 

C 

L; C = −1 

2 

D 

P − 1 

2 

G 

E F 

w 

1 

L; D = −1P 

+ 

2 2 L


τxy 

σy 

D τyx 

h = 100 

l = 200 

C 

A B 

σy 

0,2 

199,9 

199,9 

0,2 

[cm] 

100,2 

Eine dünne Scheibe (t=1cm) mit den Abmessungen h = 100 cm und l = 200 cm wird in einem 

zweiachsigen Spannungszustand (σx, τxy, τyx) belastet. Die auftretenden Eckverschiebungen sind in 

obiger Abbildung dargestellt. Es soll von einem elastischen Materialverhalten (Hooke’sches Gesetz 

gilt) ausgegangen werden. 


a) die Verschiebungsfunktion ux(x, y) und uy(x, y). Gehen Sie dabei von folgendem allgemeinen 

Verschiebungsansatz aus: 

ux(x, y) = a + bx + cy + dxy und uy(x, y) = â + ˆ bx + ĉy + ˆ dxy 

mit (a, b, c, d; â, ˆ b, ĉ, ˆ d) Konstanten, die aus der Verschiebung der Eckpunkte A, B, C, D zu bestimmen 

sind; 

b) die Spannungen σy, τxy, τyx , die Querkontraktionszahl ν und den Gleitmodul G; 

c) die Hauptspannungen und in welchen Richtungen sie wirken; 

d) qualitativ den zugehörigen Mohrschen Spannungskreis und kennzeichnen Sie die ermittelten 

Spannungswerte. 

Gegeben: h = 100 cm, l = 200 cm, E = 2 · 10 5 N/mm 2 , σx = 0 

Hinweis: In der Scheibe kann ein ”Ebener Spannungszustand“ (ESZ) angenommen werden. 

a) 

uA( 0, 0) = 0.0 −→ a = 0.0 

uB( 200, 0) = − 0.1 −→ b = − 0.5 · 10 −3 

uD( 0, 100) = 0.2 −→ c = 2.0 · 10 −3 

uC( 200, 100) = 0.1 −→ d = 0.0 

=⇒ ux(x, y) = −0.5 · 10 −3 x+ 2 · 10 −3 y

) 

uA( 0, 0) = 0.0 −→ â = 0.0 

uB( 200, 0) = 0.0 −→ ˆ b = 0.0 

uD( 0, 100) = 0.2 −→ ĉ = 2.0 · 10 −3 

uC( 200, 100) = 0.2 −→ ˆ d = 0.0 

Hooke’sches Gesetz: 

c) 

d) 

−200 

−200 

0000 1111 

ǫx = − 0.5 · 10 −3 

ǫy = 2.0 · 10 −3 

γxy = 2.0 · 10 −3 

σy = − 400 N/mm 2 

ν = 0.25 

G = 8 · 10 4 N/mm 2 

τxy = 160 N/mm 2 

σI = 456 N/mm 2 

σII = −56 N/mm 2 

τmax = 256 N/mm 2 

α0 = −19.33 ◦ 

01 

σII α0 

σI 

01 01 

200 

τ 

0 

00 11 

00 11 σx, τxy 

0000 1111 

x 

τmax 

01 

τmax 

=⇒ uy(x, y) = 2 · 10 −3 y 

01 

400 

σy, τxy 

y 

σ

5. Aufgabe: (TM) 

y 

s1 

ϕ1 

r 

z 

F 

Der dargestellte Querschnitt eines offenen dünnwandigen Profils mit konstanter Wanddicke h ist 

durch eine Querkraft F entsprechend obiger Abbildung belastet. 


ϕ2 

a) die Schwerpunktskoordinaten des Profils in Bezug auf das gegebene Koordinatensystem y, z; 

b) das Flächenträgheitsmoment I˜y˜y bezüglich der Schwerpunktachse ˜y; 

c) die Funktion für den Schubfluß t im gesamten Profil infolge der Querkraft F ; 

d) zeichnerisch den qualitativen Verlauf des Schubflusses im gesamten Profil. 

Gegeben: F, r, R = 2r, h 

b 

a 

b 

a 

cos 2 kϕ dϕ = 1 1 

ϕ + sin 2kϕ 

2 4k 

sin kϕ coskϕ dϕ = 1 

2k sin2 kϕ 

a) y ges 

S = −2r z 

π 

ges 

 

r 10 

S = + 1 

3 π 

b) I ges 

˜y˜y = r3 

31π 4 50 

h − − 

12 3 3π 

c) t(ϕ1) = − F 

t(ϕ2) = F 

Iyy 

Iyy 

b 

a 

R 

rh [rϕ1 − r cosϕ1 + r − z ges 

S ϕ1] 

2rh[z ges 

S ϕ2 − R + R cosϕ2] 

h 

s2 

sin 2 kϕ dϕ = 1 1 

ϕ − sin 2kϕ 

2 4k 

d)


A F 

x1 

a 

Ein in A fest eingespannter und in B gelenkig gelagerter Rahmen (a, EI, EA) wird gemäß der obigen 

Abbildung durch eine Einzelkraft F belastet. 


a) die Auflagerreaktionen in A und B; 

b) die Verschiebung uF des Auflagers infolge der Kraft F ; 

c) die Verlängerung der linken Rahmenhälfte. 

Gegeben: a, F, 

1 

EA 

= 4a2 

3EI 

Hinweis: Energieanteile infolge Querkräfte können vernachlässigt werden. 

a) B = − 1 

4 F Az = 1 

4 F; Ax = −F; MA = 1 

2 aF 

b) uF = 7√2 Fa 

4EIy 

3 

c) ∆l = 3 Fa 

4 EA 

a 

x2 

B 

a

7. Aufgabe: (ETM) 

x1 

r 

ϕ 

1 

S 

Eine homogene Walze m1 ist durch ein Seil über masselose Umlenkrollen mit einer Einzelmasse m2 

verbunden. Das System bewegt sich im Erdschwerefeld, wobei sich das Seil von der Walze abwickelt. 


a) die Schwerpunktsbeschleunigung der Walze; 

b) die Winkelbeschleunigung der Walze; 

c) das Massenverhältnis m1 

, damit die Masse m2 in Ruhe bleibt. 

Gegeben: r , m1 , m2 , g 

a) ¨x1 = − m1 + m2 

m1 + 3m2 

b) ¨ϕ = 

c) m1 = 3m2 

g 

 

1 − m1 + m2 

m1 + 3m2 

m2 

2g 

r 

g 

2 

x2

8. Aufgabe: (ETM) 

h 

a 

m1 

A 

α 

b 

l 

Ein Massenpunkt mit der Masse m1 wird aus der Höhe h losgelassen und bewegt sich reibungsfrei 

auf vorgeschriebener Bahn. Er verlässt die Bahn im Punkt A waagrecht und trifft nach einem Flug 

ohne Luftwiderstand auf einen Balken und bleibt dort haften. Der homogene Balken mit der Masse 

m2 ist in der Mitte gelenkig gelagert. 


a) den Auftreffpunkt des Massenpunktes auf dem Balken (b =?); 

b) den Auftreffwinkel α; 

c) die Winkelgeschwindigkeit des Balkens nach dem Auftreffen der Masse m1; 

d) den Energieverlust durch den Aufprall. 

Gegeben: h = 1 m, a = 0, 5 m, l = 2 m, m1 = 10 kg, m2 = 20 kg, g = 10 m/s 2 

a) b = 2 √ ah = √ 2 m 

 

a 

b) tan α = = 0, 707 α = 35, 26◦ 

h 

m1v1y 

c) ω∗ = 

2 m2l 

m1(l − b) + 

3(l − b) 

d) ∆T = 1 

2 m1(2gh + 2ga) − 1 

2 

= 0, 615 s −1 

 

m1(l − b) 2 + 

B 

m2l 2 

3 

l 

g 

 

ω ∗2 = 144, 3 J 

m2

TM I,II UND ETM I,II - Lehrstuhl für Technische Mechanik ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?