2. Natürliche Zahlen

2. Natürliche Zahlen 

Definition (Induktionsmengen) 

Sei M ⊆ R. M heißt eine Induktionsmenge (IM ) : ⇐⇒ 

(1) 1 ∈ M 

(2) Aus x ∈ M folgt stets x + 1 ∈ M 

Beispiel 

R, [1, ∞], und {1} ∪ [2, ∞] sind Induktionsmengen. 

J := {A ⊆ R : A ist eine IM }; N := 

A heißt die Menge der natürlichen Zahlen. 

Satz 2.1 (Induktionsmengen) 

(1) N ∈ J 

(2) N ⊆ A ∀A ∈ J 

A∈J 

(3) N ist nicht nach oben beschränkt. 

(4) ∀x ∈ R ∃n ∈ N : n > x 

(5) Prinzip der vollständigen Induktion: Ist A ⊆ N und A ∈ J =⇒ A = N 

Beweis 

(1) 1 ∈ A ∀A ∈ J =⇒ x + 1 ∈ A ∀xinA ∀A ∈ J =⇒ x + 1 ∈ N ∀xinN 

(2) folgt aus der Definition von N 

(3) Annahme: N ist nach oben beschränkt. (A15): s := sup N. 1.3 =⇒ ∃n ∈ N : n > s − 1; 

(1) =⇒ n + 1 ∈ N =⇒ n + 1 > s; Widerspruch 

(4) folgt aus (3) 

(5) A Vor. 

⊆ N (2) 

⊆ A =⇒ A = N 

Satz 2.2 (Beweisverfahren durch vollständige Induktion) 

Für jedes n ∈ N sei eine Aussage A(n) gemacht. Es gelte: (I) A(1) ist wahr und (II) aus 

n ∈ N und A(n) wahr folgt stets A(n + 1) ist wahr. 

Behauptung: A(n) ist wahr für jedes n ∈ N. 

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Beweis 

A := {n ∈ N : A(n) ist wahr}. Dann: A ⊆ N, aus (I) und (II) folgt A ∈ J. 

Beispiele: 

(1) A(n) := n ≥ 1. A(n) ∀n ∈ N. Beweis (induktiv): 

Induktionsanfang (IA): 1 ≥ 1, also ist A(1) wahr. 

Induktionsvorausseztung (IV): Sei n ∈ N und A(n) wahr (also n ≥ 1) 

Induktionsschritt (IS, n n + 1): n + 1 

(2) Für n ∈ N sei An := (N ∩ [1, n]) ∪ [n + 1, ∞). 

Behauptung: An ist eine Induktionsmenge ∀n ∈ N 

 

A(n) 

(IV ) 

≥ 1 + 1 ≥ 1, also A(n + 1) wahr. 

(3) Sei n ∈ N, x ∈ R und n < x < n + 1. Behauptung: x /∈ N. Beweis: Annahme: x ∈ N. Sei 

Am wie im oberen Beispiel (2) =⇒ Am ∈ J =⇒ N ⊆ Am =⇒ x ∈ Am =⇒ x ≤ m 

oder x ≥ m + 1, Widerspruch! 

n(n + 1) 

(4) Behauptung: 1 + 2 + · · · + n = ∀n ∈ N 

 

2 

 

A(n) 

Beweis: (induktiv) 

IA: 1+1 

2 = 1 =⇒ A(1) ist wahr. 

IV: Sei n ∈ N und 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) 

2 . 

IS: (n n + 1) 

1 + 2 + · · · + n + (n + 1) 

A(n+1) ist wahr 

(IV ) 

= n(n+1) 

n 

(n+1)(n+2) 

2 + (n + 1)(IV ) = (n + 1)( 2 + 1) = 2 

Definition (Summen- und Produktzeichen) 

(1) Seien a1, a2, . . . , an ∈ R, n ∈ N. 

n 

ak := a1 + a2 + . . . + an 

14 

k=1 

n 

ak := a1 · a2 · . . . · an 

k=1 

(2) N0 := N ∪ {0}, 

Z := N0 ∪ {−n : n ∈ N} (ganze Zahlen), 

: p ∈ Z, q ∈ N} (rationale Zahlen). 

Q = { p 

q 

Satz 2.3 (Ganze Zahlen) 

Sei ∅ = M ⊆ R. 

(1) Ist M ⊆ N, so existiert min M 

(2) Ist M ⊆ Z nach oben beschränkt, so existiert max M; ist M ⊆ Z nach unten beschränkt, 

so existiert min M. 

(3) Ist a ∈ R, so existiert genau ein k ∈ Z : k ≤ a < k + 1. Bezeichnung: [a] := k. 

=⇒

Beweis 

(1) 1 ≤ n ∀n ∈ M =⇒ M ist nach unten beschränkt. 1.2 =⇒ ∃α = inf M mit α + 1 

ist keine untere Schranke von M. =⇒ ∃m ∈ M : m < α + 1. Sei n ∈ M. Annahme: 

n < m =⇒ n < m < α + 1 ≤ n + 1 =⇒ n < m < n + 1. Da n ∈ N: Widerspruch. 

(2) Zur Übung 

(3) M := {z ∈ Z : z ≤ a}. Annahme: M = ∅ =⇒ z > a ∀z ∈ Z =⇒ −n > a ∀n ∈ N =⇒ 

n < −a ∀n ∈ N. Widerspruch zu 2.1(3); also: M = ∅. (2) =⇒ ∃k := max M. 

Satz 2.4 (Zwischen zwei reellen Zahlen liegt stets eine rationale) 

Sind x, y ∈ R und x < y, so existiert ein r ∈ Q : x < r < y. 

Beweis 

y − x > 0 2.1(4) =⇒ ∃n ∈ N : n > 1 

y − x 

m := [nx] ∈ Z =⇒ m < nx < m+1 =⇒ m 

n 

≤ x < m + 1 

n 

1 

1 

=⇒ < y − x =⇒ x + < y 

n n 

m 1 1 

= + ≤ x+ 

n n n 

=⇒ x < 

:=r 

m + 1 

< y 

n 

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