Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für ... - next-internet.com

INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK WS 2003/04 

UNIVERSITÄT KARLSRUHE 

Dr. B. Klar 

Aufgabe B1 

Klausur 

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 

für Informatiker 

vom 26.2.2004 

Musterlösungen 

B 

Gegeben sei eine Urliste mit den Paaren (x1, y1), . . . , (x10, y10) 

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

xj 1.1 1.6 2.9 3.9 5.2 6.1 7.1 7.6 8.9 9.8 

yj 14.2 14.3 1.2 7.4 5.6 3.9 −0.9 1 −8.9 −7.5 

a) Berechnen Sie die Stichprobenmittel ¯x, ¯y, die Stichproben-Standardabweichungen sx, 

sy und den empirischen Korrelationskoeffizienten rxy. 

Lösung: Direkt aus den Daten ergibt sich gemäß Definition 1.8 und Paragraph 1.5 

unter Ausnützung der Beziehung 

n 

(xj − ¯x) · (yj − ¯y) = 

j=1 

n 

xj · yj − n · ¯x · ¯y 

j=1 

¯x = 5.42 sx = 3.005 

¯y = 3.03 sy = 7.848 

rxy = − 0.9043 

b) Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade y = a∗ + b∗ · x von y auf x. 

Lösung: Nach Paragraph 1.5 ist b ∗ = rxy · sy 

und a 

sx 

∗ = ¯y − b∗ · ¯x, also 

b ∗ = −2.361 

a ∗ = 15.83 

und die Regressionsgerade y = 15.83 − 2.361 · x.

y 

−5 0 5 10 15 

2 4 6 8 10 

Punkte und Regressionsgerade y = a ∗ + b ∗ · x 

Für die Lösung der nächsten drei Aufgabenteile benötigen wir die aufsteigend sortierten 

y-Werte. Es ist 

y() = (−8.9, −7.5, −0.9, 1, 1.2, 3.9, 5.6, 7.4, 14.2, 14.3) 

c) Berechnen Sie das 0.15-getrimmte Stichprobenmittel ¯y0.15 von (y1, . . . , y10). 

Lösung: Mit k = [10 · 0.15] = 1 ergibt sich 

¯y0.15 = 

1 

10 − 2 · 1 · (y(2) + . . . + y(9)) = 3.112 

d) Berechnen Sie den Quartilsabstand von (y1, . . . , y10). 

Lösung: Da 0.25 · 10 = 2.5 und 0.75 · 10 = 7.5 beide nicht ganzzahlig sind, ergibt sich 

mit k1 = [2.5] = 2 und k2 = [7.5] = 7 

˜y0.25 = y(k1+1) = y(3) = −0.9 

˜y0.75 = y(k2+1) = y(8) = 7.4 

und damit der Quartilsabstand zu ˜y0.75 − ˜y0.25 = 8.3. 

x

Aufgabe B2 

X, Y seien zwei Zufallsvariablen mit Werten in {0, 1, c}, c ∈ {2, 3, 4, . . .}, bzw. {0, 1, 2}. Die 

folgende Tabelle gibt die gemeinsame Verteilung IP(X = i, Y = j) des Zufallsvektors (X, Y ) 

für die Werte (i, j) ∈ {0, 1, c} × {0, 1, 2} an. 

Y 

X 

j = 0 

j = 1 

j = 2 

i = 0 i = 1 i = c 

1 

12 

1 

12 

1 

12 

a) Berechnen Sie die Randverteilung von X und den Erwartungswert IEX. Für welche c 

gilt IEX = 5 

4 ? 

Lösung: 

IP(X = 0) = 1 

4 

IEX = 0 · 1 

4 

Für c = 3 ist IEX = 5/4. 

1 

4 

1 

6 

1 

12 

1 

12 

1 

12 

1 

12 

1 

1 

, IP(X = 1) = , IP(X = c) = 

2 4 

1 1 

+ 1 · + c · 

2 4 

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit IP(X > 0, Y = 1). 

Lösung: 

1 1 

= c + 

4 2 

IP(X > 0, Y = 1) = IP(X = 1, Y = 1) + IP(X = c, Y = 1) = 1 1 

+ 

6 12 

c) Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit IP(Y = 1|X > 0). 

Lösung: 

IP(Y = 1|X > 0) = 

= 

IP(X > 0, Y = 1) 

IP(X > 0) 

1 1 + 6 12 

1 1 + 2 4 

= 1 

3 

= IP(X = 1, Y = 1) + IP(X = c, Y = 1) 

= 1 

4 

IP(X = 1) + IP(X = c) 

d) Es sei c = 3 sowie Z := X · Y . Berechnen Sie den Erwartungswert IEZ, das zweite 

Moment IEZ 2 und die Varianz V (Z). 

Lösung: 

Es sei f(i, j) := IP(X = i, Y = j). Dann gilt 

IEZ = IE[X · Y ] = 

i,j: f(i,j)>0 

IEZ 2 = IE[X 2 · Y 2 ] = 

= 17 

4 , 

i,j: f(i,j)>0 

V (Z) = IEZ 2 − (IEZ) 2 = 17 

4 

i · j · f(i, j) = 1 · 1 1 1 1 

+ 2 · + 3 · + 6 · 

6 12 12 12 

= 13 

12 , 

i 2 · j 2 · f(i, j) = 1 · 1 1 1 1 

+ 4 · + 9 · + 36 · 

6 12 12 12 

− 169 

144 

= 443 

144 .

Aufgabe B3 

Es sei X eine standardnormal-verteilte Zufallsvariable, kurz X ∼ N (0, 1). Weiter sei Y := 

3X − 1. 

a) Berechnen Sie den Erwartungswert IEY und die Varianz V (Y ). 

Lösung: Mit IEX = 0 und V (X) = 1 folgt 

IEY = 3IEX − 1 = −1, 

V (Y ) = 9V (X) = 9. 

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit IP(−1 < Y ≤ 2). 

Lösung: Mit der Definition von Y und 8.11 Satz folgt 

IP(−1 < Y ≤ 2) = IP(−1 < 3X − 1 ≤ 2) = IP(0 < X ≤ 1) = Φ(1) − Φ(0). 

Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion von X. Wegen Φ(2) = 0.8413 und Φ(0) = 0.5 (aus 

Tabelle A.1) folgt 

IP(−1 < Y ≤ 2) = 0.3413. 

c) Bestimmen Sie das 0.975-Quantil q0.975 der Zufallsvariablen Y . 

Lösung: Die Verteilungsfunktion von Y sei mit FY bezeichnet. Dann ist q0.975 die Lösung 

q der Gleichung 

 

q − (−1) 

FY (q) = Φ 

= 0.975. 

3 

Wegen Φ(1.96) = 0.975 (aus Tabelle A.1) gilt also 

und damit 

q + 1 

3 

= 1.96 

q0.975 = q = 3 · 1.96 − 1 = 4.88. (1) 

Der Zusammenhang (1) kann auch direkt aus Bemerkung 12.20 c) abgelesen werden. 

d) Bestimmen Sie die Kovarianz C(X, Y ). 

Lösung: Wegen IEX = 0 und IEX 2 (= V (X) + (IEX) 2 ) = 1 gilt 

C(X, Y ) = IE[X · Y ] − IEX · IEY = IE[X · (3X − 1)] − 0 · (−1) = IE[3X 2 − X] 

= 3IEX 2 − IEX = 3.

Aufgabe B4 

Zwischen 3 Punkten P1, P2 und P3 verläuft folgendes Leitungsnetz: 

P1 

S1 

¡ 

P2 

¢ 

S2 

S3 

£ ¤ 

Dabei sind S1, S2, S3 störanfällige Stellen. Die Zufallsvariablen Xi seien definiert als 

 

0, 

Xi = 

1, 

Si ist unterbrochen, 

Si ist nicht unterbrochen, 

i = 1, 2, 3. 

Ferner seien X1, X2, X3 stochastisch unabhängig mit IP(Xi = 1) = p, i = 1, 2, 3, für ein 

0 

a) Stellen Sie das Ereignis A := { ” P2 ist mit P3 verbunden“} mit Hilfe der Zufallsvariablen 

X2 und X3 dar. 

Lösung: 

A = {X2 = 1} ∪ {X3 = 1} = {max{X2, X3} = 1} = {X2 + X3 ≥ 1} 

b) Stellen Sie das Ereignis B := { ” P1 ist mit P3 verbunden“} mit Hilfe der Zufallsvariablen 

X1 und des Ereignisses A dar. 

Lösung: B = {X1 = 1} ∩ A 

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit IP(B). 

Lösung: Zunächst erhält man mit dem Additionssatz und der Unabhängigkeit von X2 

und X3 

IP(A) = IP({X2 = 1} ∪ {X3 = 1}) 

= IP(X2 = 1) + IP(X3 = 1) − IP({X2 = 1} ∩ {X3 = 1}) 

= p + p − IP(X2 = 1) · IP(X3 = 1) = 2p − p 2 = p(2 − p). 

Wegen der Unabhängigkeit von {X1 = 1} und A (Blockungslemma) gilt 

IP(B) = IP(X1 = 1) · IP(A) = p · p(2 − p) = p 2 (2 − p). 

d) Die Zufallsvariable Y := X1 + X2 besitzt die Binomial-Verteilung Bin(n, q). Bestimmen 

Sie die Parameter n und q. 

Lösung: Die Zufallsvariable Y ist die Faltung zweier Bin(1, p)-verteilten Zufallsvariablen. 

Mit Tabelle S.114 erhält man damit n = 2 und q = p. 

P3

e) Bestimmen Sie die erzeugende Funktion gY (s), |s| ≤ 1, von Y . 

Lösung: Nach 13.1 Definition gilt 

gX1(s) = 

1 

k=0 

IP(X1 = k)s k = IP(X1 = 0)s 0 + IP(X1 = 1)s 1 

= (1 − p) + p · s 

für |s| ≤ 1. Weiter ist gX1 = gX2. Nach 13.3c) folgt 

gY (s) = gX1(s) · gX2(s) = ((1 − p) + p · s) 2 

für |s| ≤ 1. 

Da Y ∼ Bin(2, p) ist, siehe auch 13.2 Beispiel a). 

Aufgabe B5 

Ein Merkmal habe die Dichte 

⎧ 

⎨ 

t ↦→ fϑ(t) := 

⎩ 

1 

√ π t exp −(log(t) − ϑ) 2 , falls t > 0, 

0 , falls t ≤ 0, 

wobei ϑ ∈ IR ein unbekannter Parameter ist. Der Parameter ϑ soll aufgrund einer unabhängigen 

Stichprobe x = (x1, . . . , xn) geschätzt werden, wobei x1 > 0, . . . , xn > 0 sind. 

Der Maximum-Likelihood-Schätzer ˆ ϑ(x1, . . . , xn) für ϑ ist von der Form 

ˆϑ(x1, . . . , xn) = c1 · 

n 

log(c2 · xj − c3) 

mit gewissen Konstanten c1, c2, c3. Bestimmen Sie die Konstanten c1, c2 und c3. 

Lösung: Es ist 

also 

Wegen 

Mx(ϑ) = 

j=1 

log(fϑ(t)) = − log( √ π) − log(t) − (log(t) − ϑ) 2 , t > 0, 

M ′ x(ϑ) = 2 

n 

log(fϑ(xj)) = 

j=1 

= −n log( √ π) − 

n √ 

− log( π) − log(xj) − (log(xj) − ϑ) 2 

j=1 

n 

log(xj) − 

j=1 

n 

(log(xj) − ϑ) = 2 

j=1 

M ′′ 

x (ϑ) = −2n < 0. 

n 

(log(xj) − ϑ) 2 , 

j=1 

n 

log(xj) − 2nϑ, 

j=1 

M ′ x(ϑ) = 0 ⇐⇒ ϑ = 1 

n 

n 

log(xj) 

j=1

ist 

(x1, . . . , xn) ↦→ ˆ ϑ(x) := 1 

n 

der gesuchte Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ. 

Aufgabe B6 

n 

log(xj) 

Eine Münze mit den Symbolen ” Zahl“ und ” Wappen“ soll auf ihre Echtheit überprüft werden, 

d.h es soll überprüft werden ob, 

IP({ ” Zahl“ geworfen}) = IP({ ” Wappen“ geworfen}) = 1 

2 

gilt. Dem folgenden Zufallsexperiment werden die Zufallsvariablen 

Xi = 

 

1, 

0, 

falls Zahl“ geworfen, 

” 

falls Wappen“ geworfen, 

” 

i = 1, . . . , n, 

zugrunde gelegt. Dabei seien X1, X2, . . . , Xn stochastisch unabhängig und jeweils Bin(1, ϑ)verteilt. 

Der Parameter 0 < ϑ < 1 sei unbekannt. Nun wird die Münze n = 1000 Mal 

geworfen und 487 Mal das Symbol ” Zahl“ beobachtet. 

a) Bestimmen Sie das Stichproben-Mittel ¯ Xn = 1 

n 

Xi. 

n 

i=1 

Lösung: Mit n i=1 Xi = 487 erhält man ¯ Xn = 487 = 0.487. 

1000 

b) Ein asymptotisches Konfidenzintervall C = [l ∗ n, L ∗ n] für ϑ zum (Konfidenz-)Niveau 1 − α, 

0 < α < 1, ist durch 

l ∗ n = l ∗ n(X1, . . . , Xn) = ¯ Xn 

L ∗ n = L ∗ n(X1, . . . , Xn) = ¯ Xn 

j=1 

 

h 

√ ¯Xn(1 − 

n 

¯ Xn) , 

 

h 

√ ¯Xn(1 − 

n 

¯ Xn) 

gegeben, wobei h = ist. Vervollständigen Sie die fehlenden Angaben 

in den Formel für l∗ n, L∗ n und h. Berechnen Sie C für α = 0.05. 

Lösung: Mit 18.10 Beispiel und 18.11 Bemerkung 1. folgt 

l ∗ n = l ∗ n(X1, . . . , Xn) = ¯ Xn − h 

 

√ ¯Xn(1 − 

n 

¯ Xn) , 

L ∗ n = L ∗ n(X1, . . . , Xn) = ¯ Xn + h 

 

√ ¯Xn(1 − 

n 

¯ Xn) , 

wobei h = u1−α/2 = Φ −1 (1 − α/2) ist. Für α = 0.05 ist h = u0.975 = 1.96 (aus Tabelle 

A.1). Mit n = 1000 und ¯ Xn = 0.487 erhält man l ∗ n = 0.456 und L ∗ n = 0.518.

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