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Klausur: Informatik III, 

1. März 2001 Blatt 2 von 8 

Lösungsvorschlag 

Name: Matrikelnummer: 

Aufgabe 1. Multiple Choice 10 Punkte 

Geben Sie zu folgenden Aussagen durch Ankreuzen an, ob sie richtig oder falsch sind. 

Achtung! Jede richtige Antwort gibt 1 Punkt. Für jede falsche Antwort wird 1 Punkt abgezogen. 

Fehlende Antworten werden mit 0 Punkten bewertet. Die gesamte Aufgabe wird nie mit 

einer negativen Punktzahl bewertet. 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Zu jeder endlichen Sprache L gibt es eine Chomsky- 

Grammatik G vom Typ 3 mit L = L( 

G). 

Die Vereinigung kontextfreier Sprachen ist kontextfrei. 

Die Ableitbarkeitsrelation ist eine Äquivalenzrelation. 

( 1) 

ist total 

Die Menge { i ∈ Nat | ϕi } ist aufzählbar 

Der Schnitt aufzählbarer Mengen ist aufzählbar. 

Jede aufzählbare Menge ist auch entscheidbar. 

Jede Teilmenge einer aufzählbaren Menge ist aufzählbar. 

Für beliebige Alphabete A und B ist ( A∪B)* = A* ∪ B* . 

Wenn uw → uz, 

dann w→z. Wenn w→z, dann uw → 

uz. 

richtig falsch 

✔ 

✔ 

✔ 

✔ 

✔ 

✔ 

✔ 

✔ 

✔ 

✔


Klausur: Informatik III, 18. April 2001 Blatt 2 von 10 







1. Die Sprache a ist regulär. 

nbnc n { : n ∈ Nat} 

2. Mit der Teilmengenkonstruktion bestimmt man den 

zustandsminimalen Quotientenakzeptor eines Akzeptors. 

3. Die Ackermannfunktion ist primitiv rekursiv. 

4. Es gibt loop-Programme, die nicht terminieren. 

5. Jede Turing-berechenbare Funktion ist auch von einem 

loop-Programm berechenbar. 

6. Die kontextfreien Sprachen sind abgeschlossen unter der 

Komplementbildung. 

7. Wenn eine Menge entscheidbar ist, dann ist ihr Komplement 

aufzählbar. 

8. Die regulären Sprachen sind abgeschlossen unter der 

Komplementbildung. 

9. Jede reflexive, transitive und symmetrische Relation ist eine 

Äquivalenzrelation. 

10. Die Ableitbarkeitsrelation ist eine Ordnung. 


✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕


Klausur: Informatik III, 7. März 2002 Blatt 2 von 10 







1. Jede Teilmenge einer entscheidbaren Menge ist entscheidbar. 

2. Der Schnitt entscheidbarer Mengen ist entscheidbar. 

3. Jede primitiv rekursive Funktion ist total. 

4. Jede totale Funktion ist primitiv rekursiv. 

5. Jede Obermenge einer aufzählbaren Menge ist aufzählbar. 

6. Jede Funktion f : IN → IN , die nur für endlich viele Argumente 

einen von Null verschiedenen Wert hat, ist berechenbar. 

7. In einem Bereich ( M, ≤) 

hat jede Kette ein Supremum in M . 


nbn { : n ∈ IN } 

9. Jede von einem endlichen Akzeptor akzeptierte Sprache ist 

endlich. 

10. Das Komplement einer aufzählbaren Menge ist aufzählbar. 


✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕


Klausur: Informatik III, 12. April 2002 Blatt 2 von 10 







1. Eine Satzform enthält nur Terminalzeichen. 

2. Zu jeder Sprache L gibt es eine Chomsky-Grammatik G vom 

Typ 0 mit LG ( ) = L . 


nb2n { : n ∈ IN } 

4. Die Sprache { ww : w ∈ T* } mit T = { a, b} 

ist vom Typ 1. 

5. Die leere Menge ist entscheidbar. 

6. Es gibt entscheidbare Mengen, deren Schnitt nicht aufzählbar 

ist. 

7. Wenn ( ab , ) und ( ac , ) zu einer Äquivalenzrelation gehören, 

dann auch ( bc , ) 

. 

8. Ein Bereich hat ein kleinstes Element. 

9. Jede stetige Funktion ist monoton. (*) 

10. Jede stetige Funktion hat Fixpunkte. (*) 


(*) Bitte beachten Sie, daß bei Aussage 9 und 10 der Stetigkeitsbegriff der Vorlesung 

„Informatik III“ gemeint ist. 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕ 

✕

Name: Matrikelnr.: Seite 8 

Aufgabe 5: (12x1=12 Punkte) 

Kreuzen Sie für folgende Aussagen an, ob diese wahr oder falsch sind. 

Hinweis: Für jede richtige Antwort gibt es einen Punkt, für jede falsche Antwort wird ein Punkt abgezogen. 

Es wird keine negative Gesamtpunktzahl für diese Aufgabe geben. 

Seien L1, L2 reguläre Sprachen. Dann ist auch L1 ∩ L2 regulär. Lösung: X Wahr Falsch 

Die regulären Ausdrücke (a ∗ b ∗ ) ∗ und (a ∗ b) ∗ sind äquivalent. Lösung: Wahr 

Jede Turingmaschine mit zwei Bändern kann durch eine Turingmaschine 

mit einem Band simuliert werden. 

Jeder Kellerautomat mit zwei Stacks kann durch einen Kellerautomat 

mit einem Stack simuliert werden. 

Sei L1 semientscheidbar und L2 entscheidbar. Dann ist L1 ∩ L2 immer 

entscheidbar. 

X 

Falsch 

Lösung: X Wahr Falsch 

Lösung: Wahr 

Lösung: Wahr 

Σ ∗ und ∅ sind N P-vollständig. Lösung: Wahr 

Für jede Sprache L gilt: Aus L ∈ P folgt L C ∈ P. Lösung: X Wahr Falsch 

Für jedes Optimierungsproblem Π gilt: Es gibt für Π einen Approximationsalgorithmus 

mit relativer Gütegarantie 2 wenn es ein PAS für Π 

gibt. 

Das KNAPSACK-Problem, eingeschränkt auf Kosten aus {0, 1} und Gewichte 

aus {3, 5, 7} ist in P. 

X 

Falsch 

X 

Falsch 

X 

Falsch 



Sei Σ ein endliches Alphabet. Dann ist Σ ∗ kontextfrei. Lösung: X Wahr Falsch 

Es existiert ein NEA, der die Sprache aller Java-Programme erkennt. Lösung: Wahr 

Wenn für eine Sprache L gilt: 

∃n ∈ IN : ∀w ∈ L, |w| > n : ∃ Zerlegung w = uvx, |uv| ≤ n, v = ε : 

∀i ∈ IN0 : uv i x ∈ L, dann ist L regulär. 

Lösung: Wahr 

X 

Falsch 

X 

Falsch





Es wird keine negative Gesamtpunktzahl für diese Aufgabe geben. 

Seien L1, L2 reguläre Sprachen. 

Dann ist auch L1 \ L2 = {w ∈ L1| w ∈ L2} regulär. Wahr Falsch 


Die regulären Ausdrücke a(b ∗ ∪ c ∗ ) und a(b ∪ c) ∗ sind äquivalent. 

Lösung: 

Das Komplement der universellen Sprache ist nicht semientscheidbar. 

Wahr Falsch 

X 

Wahr Falsch 

Wahr Falsch 


Seien L1 und L2 zwei semientscheidbare Sprachen. Dann ist auch 

L1 \ L2 = {w ∈ L1| w ∈ L2} semientscheidbar. Wahr Falsch 

Lösung: 

X 

Wahr Falsch 

Sei L ⊂ {0, 1} ∗ nicht entscheidbar. Dann gilt: Der Index der Neroderelation zu 

L ist unendlich. Wahr Falsch 


Aus 3SAT ∈ P folgt 2SAT ∈ N PC. 

Wahr Falsch 


Falls es einen Approximationsalgorithmus für CLIQUE mit absoluter Gütegarantie 

gibt, so gilt P = NP Wahr Falsch 


Es gibt ein Entscheidungsproblem Π ∈ N P, für das es keine polynomiale Transformation 

Π ∝ SAT gibt. Wahr Falsch 

Lösung: 

X 

Wahr Falsch


Sei k eine Konstante. Die Sprache VCk := {G| G = (V, E) ist ein Graph und 

hat eine Knotenüberdeckung V ′ ⊂ V mit |V | ≤ k} ist in P. Wahr Falsch 


Zu jeder entscheidbaren Sprache L existiert eine Chomsky-Typ-0-Grammatik, 

die L erzeugt. Wahr Falsch 


Jede Sprache der Form {xn 1 xn2 . . . xnk : n ∈ IN} ist kontextfrei. (Dabei sei k ≥ 1 

und die xi jeweils Buchstaben aus einem endlichen Alphabet mit xi = xj für 

i = j.) 

Lösung: 

Wahr Falsch 

Wahr 

X 

Falsch 

Zu jedem nichtdeterministischen Kellerautomat gibt es einen deterministischen 

Kellerautomaten, der dieselbe Sprache akzeptiert. Wahr Falsch 

Lösung: 

X 

Wahr Falsch 

Die Grammatik, die nur aus der Regel S → ε besteht, erzeugt dieselbe Sprache 

wie eine Grammatik ohne Regeln. Wahr Falsch 

Lösung: 

X 

Wahr Falsch

Aufgabe 5: (12 Punkte) 

Jede endliche Sprache ist regulär. X Wahr Falsch 

Falls P = N P, so ist 2SAT N P-vollständig. X Wahr Falsch 

Jedes N P-vollständige Problem ist entscheidbar. X Wahr Falsch 

Der Index der Nerode-Relation einer endlichen Sprache L ist echt kleiner 

als die Anzahl der Wörter in L. Wahr 

Alle Sprachen sind semientscheidbar. 

Die regulären Ausdrücke b ∗ (ab ∗ ) ∗ und (a ∗ ∪ b) ∗ sind äquivalent. X Wahr Falsch 

Es gibt eine Sprache, die entscheidbar und semientscheidbar ist. X Wahr Falsch 

Zu jeder regulären Sprache gibt es einen PDA, der sie erkennt. X Wahr Falsch 

Das Wortproblem für kontextfreie Sprachen ist entscheidbar. X Wahr Falsch 

Das Komplement jeder semientscheidbaren Sprache ist semientscheidbar. 

MAX3SAT ist N P -vollständig. X Wahr Falsch 

Um zu zeigen, dass eine Sprache nicht regulär ist, genügt es zu zeigen, 

dass sie nicht kontextfrei ist. 

Wahr 

Wahr 

X 

Falsch 

X 

Falsch 

X 

Falsch 

X 

Wahr Falsch





Es wird keine negative Gesamtpunktzahl für diese Aufgabe gegeben. 

Jede Sprache, die von einem endlichen Automaten, dessen Startzustand eine 

Schleife (Übergang auf sich selbst) besitzt, erkannt wird, ist unendlich. wahr falsch 

Lösung: 

X 

wahr falsch 

Sei A = (Q, Σ, δ, s, F ) ein endlicher Automat. Falls es p, q ∈ Q gibt, für die für 

alle w ∈ Σ ∗ gilt, dass wenn δ(p, w) ∈ F , dann auch δ(q, w) ∈ F ist, so ist A 

nicht zustandsminimal. 

Lösung: 

Sei L eine reguläre Sprache. Dann existiert ein n ∈ N so, dass falls es ein Wort 

w ∈ L mit |w| ≥ n gibt, w so in uvx mit |uv| ≤ n und v = ε zerlegt werden 

kann, dass uv i x ∈ L ist für mindestens ein i ∈ N0. 

Lösung: 

wahr falsch 

wahr 

X 

falsch 

wahr falsch 

X 

wahr falsch 

Sei L eine semientscheidbare Sprache, deren Komplement entscheidbar ist. 

Dann ist L entscheidbar. wahr falsch 

Lösung: 

X 

wahr falsch 

Sei Hε := {〈M〉 : TM M hält auf Eingabe ε}, dann ist die charakteristische 

Funktion von Hε berechenbar. wahr falsch 

Lösung: 

Die Sprache {wv : v ∈ L(Tw)} ist entscheidbar, wobei w das bitweise Komplement 

des Wortes w (jede 0 wird durch 1 ersetzt und umgekehrt) bezeichne. wahr falsch 

Lösung: 

Es existiert eine Transformation 2SAT ∝ 3SAT. 

Lösung: 

Falls CLIQUE ∈ co−N P, dann gilt N P = co−N P. 

wahr 

wahr 

X 

falsch 

X 

falsch 

wahr 

X 

falsch 

wahr falsch 

wahr falsch


Lösung: 

X 

wahr falsch 

Für KNAPSACK existiert ein Polynomialzeitalgorithmus, falls n 4 eine obere 

Schranke für das Gesamtgewicht W ist (wobei n die Anzahl der Objekte sei). wahr falsch 

Lösung: 

X 

wahr falsch 

Sei G eine Typ-k-Grammatik. Dann ist der maximale Chomsky-Typ von L(G) 

ebenfalls k. wahr falsch 

Lösung: 

Die Sprache 

 

 

({a n : n ∈ N0} · {c}) ∪ {a n b n 

: n ∈ N} · {b n 

: n ∈ N0} ∩ {a n cb n 

: n ∈ N0} 

ist kontextfrei. 

Lösung: 

wahr 

X 

falsch 

wahr falsch 

X 

wahr falsch 

Mit Grammatiken vom Typ 1 bzw. 2 lassen sich in n Ableitungsschritten nur 

Wörter der Länge höchstens n erzeugen. wahr falsch 

Lösung: 

wahr 

X 

falsch


Aufgabe 5: (12 × 1 = 12 Punkte) 



Es wird keine negative Gesamtpunktzahl für diese Aufgabe gegeben. 

Sei A ein NEA über einem Alphabet Σ. Dann akzeptiert A ein Wort w ∈ Σ ∗ 

genau dann, wenn A bei der Abarbeitung von w mindestens einen Endzustand 

benutzt. 

Lösung: 

Es existiert ein endlicher Automat, der die durch die Grammatik 

({a, b, c}, {S, A, B, C}, S, R) mit 

R = {S −→ ABC, A −→ C, A −→ AA | a, B −→ BB | b, C −→ CC | c} 

erzeugte Sprache erkennt. 

Lösung: 

Die Sprache L = 

Lösung: 

{0 

n∈N 

pn | p prim} ⊆ {0} ∗ hat endlichen Nerodeindex. 

Seien f1 und f2 turingberechenbare Funktionen und M eine deterministische 

Turingmaschine. Dann existiert keine nicht-deterministische Turingmaschine, 

die entscheidet, ob M Funktion f1 oder f2 berechnet. 

Lösung: 

wahr falsch 

wahr 

X 

falsch 

wahr falsch 

X 

wahr falsch 

wahr 

X 

falsch 

wahr falsch 

wahr falsch 

X 

wahr falsch 

Sei L eine semientscheidbare Sprache über dem Alphabet {0, 1}. Dann 

ist χ ∗ L∩Lu berechenbar, wobei Lu die universelle Sprache bezeichne. wahr falsch 

Lösung: 

Sei L eine Sprache über dem Alphabet {0, 1} und w ∈ {0, 1} ∗ . Dann gibt es 

eine Gödelnummer g so, dass die universelle Turingmaschine die Eingabe (g, w) 

genau dann akzeptiert, falls w ∈ L. 

Lösung: 

Es gilt: co-2SAT /∈ N P. 

Lösung: 

X 

wahr falsch 

wahr falsch 

wahr 

X 

falsch 

wahr falsch 

X 

wahr falsch 

Falls P = N P, dann kann mit Hilfe eines Algorithmus für SET COVER eine 

Instanz von INDEPENDENT SET in polynomieller Gesamtzeit gelöst werden. wahr falsch


Lösung: 

Falls es ein PAS für COLOR gibt, dann ist P = N P. 

Lösung: 

Jede Sprache, die durch einen nicht-deterministischen endlichen Automaten erkannt 

wird, kann auch durch einen deterministischen Kellerautomaten erkannt 

werden. 

Lösung: 

Die Sprache 

{an n k ∗ ∗ ∗ 

cb cd : k, n ∈ N} ∩ a cb cd ∪ a ∗ cb ∗ 

 

∩ a ∗ c · {b n cd n 

: n ∈ N} 

ist kontextfrei. 

Lösung: 

wahr 

X 

falsch 

wahr 

X 

falsch 

wahr falsch 

wahr falsch 

X 

wahr falsch 

wahr falsch 

Sei G eine kontextfreie Grammatik und α ein regulärer Ausdruck. Es ist nicht 

entscheidbar, ob L(G) ∩ L(α) = ∅ ist. wahr falsch 

Lösung: 

wahr 

wahr 

X 

falsch 

X 

falsch


Klausur: Informatik III, 8. März 2006 Blatt 2 von 9 Lösungsvorschlag 






1. Die Ackermannfunktion wächst schneller als jede durch ein 

LOOP-Programm berechenbare Funktion. 

2. Ist L in P und L NP-hart, dann ist P = NP. Ù 


3. S µ aBb ist eine Regel vom Typ 3. Ù 

4. Es gibt einen pseudopolynomiellen Algorithmus für das 

SUBSET-SUM-Problem. 

5. Jede totale Funktion ist LOOP-berechenbar. Ù 

6. Kellerautomaten akzeptieren Sprachen des Typs 2. Ù 

7. Komplemente entscheidbarer Mengen sind rekursiv aufzählbar. Ù 

8. Sprachen vom Typ 2 sind unter der Komplementbildung abgeschlossen. 

9. Mit der Teilmengenkonstruktion bestimmt man einen minimalen 

Automaten. 

10. Die Anzahl der Äquivalenzklassen einer Nerode-Relation ist 

stets endlich. 

Ù 

Ù 

Ù 

Ù 

Ù


Klausur: Informatik III, 20. April 2006 Blatt 2 von 8 Lösungsvorschlag 






1. Sei L definiert durch eine kontextfreie Grammatik mit dem 

Alphabet {0, 1}. 

Läßt sich in polynomieller Zeit entscheiden, ob es ein Wort w 

in L mit |w| = 3 gibt? 

2. Die Ackermannfunktion wächst schneller als jede durch ein 

While-Programm berechenbare Funktion. 


3. {a i b i c k d k : i, k ≥ 0} œ {a i b k c k d i : i, k ≥ 0} ist eine Typ-2-Sprache. Ù 

4. S µ aBb ist eine Regel vom Typ 2. Ù 

5. Jede Teilmenge einer regulären Sprache ist regulär. Ù 

6. Der Schnitt zweier entscheidbarer Mengen ist entscheidbar. Ù 

7. {a n b n : n ≥ 1} ist regulär. Ù 

8. Jede durch eine Turingmaschine realisierte Funktion ist loopberechenbar. 

9. Jede Sprache enthält das leere Wort. Ù 

10. {ww R : w S*} ist vom Typ 1. Ù 

Ù 

Ù 

Ù

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