M10-Kreiszahl Pi- Berechnung

Mathematik * Jahrgangsstufe ngsstufe 10 * Näherungsweise <strong>Berechnung</strong> der <strong>Kreiszahl</strong> <br />

Einem nem Kreis mit Radius r wird eein<br />

regelmäßiges n-Ecke (Kantenlänge sn und Umfang uun<br />

= n·sn )<br />

einbeschrieben. Im Bild beginnt man z.B. mit n = 4.<br />

Anschließend wird die Eckenzahl verdoppelt. Das neue 2n-Eck 2n hat nun die Kantenlänge ss2n<br />

und<br />

den Umfang u2n = 2n·s2n . Offensichtlich<br />

ffensichtlich gilt: un < u2n < Kreisumfang = 2 r .<br />

Je öfter man die Seitenzahl verdoppelt, um so besser wird sich der Umfang des Vielecks dem Kreis-<br />

umfang annähern. Damit erhält man eine Möglichkeit die Zahl näherungsweise zu ermitteln.<br />

Zwischen sn , s2n und r besteht der folgende Zusammenhang:<br />

s = 2r − r ⋅ 4r − s<br />

2 2 2<br />

2n n<br />

Bestätigen Sie die folgende Begründung:<br />

(1) s = x + (0,5 ⋅ s )<br />

2 2 2<br />

2n n<br />

(2) r = (r − x) + (0,5 ⋅ s ) ⇒ r − x = r − (0,25s )<br />

⇒<br />

2 2 2 2 2<br />

n n<br />

x = ( r − r − (0, 25s ) ) = r − 2r ⋅ r − (0, 25s ) + (r −<br />

(0,25s ) ) ⇒<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />

n n n n<br />

2 2 2 2 2<br />

x = 2r − 2r ⋅ r − (0, 25s n ) − (0, 25s n ) liefert in (1) eingeset<br />

x 2r 2 r 2r r (0, 25s ) (0, 25s ) liefert in (1) eingesetzt<br />

s = 2 r − 2r ⋅ r − (0, 25s ) = 2r 2 r − r ⋅ 44r r − s .<br />

2 2 2 2 2 2 2<br />

2n n n<br />

Wählt man nun den Radius r = 11,<br />

so folgt<br />

2<br />

n ⋅ sn < 2n ⋅ s2n < 2⋅ π⋅ r und mit r = 1 damit n ⋅ s s2n < π d.h. π > n ⋅ s s2n = n ⋅ 2 − 4 − s sn<br />

,<br />

2<br />

wobei für sehr großes n immer besser die Näherung π ≈ n ⋅ s s2n = n ⋅ 2 − 4 − s<br />

n gilt.<br />

Aufgabe:<br />

Berechnen Sie nun die Werte für ss4,<br />

s8, s16, … , s1024 und auch die Werte 22·s4,<br />

4·s8, … , 512·s1024 .<br />

Vergleichen Sie den n Näherungswert<br />

mit dem Taschenrechnerwert von π = 3,1415926535….<br />

Welcher Näherungswert ergibt sich für die <strong>Kreiszahl</strong> <strong>Pi</strong>,<br />

wenn man mit einem einbeschriebenen 6-Eck beginnt<br />

und bis zum 192-Eck Eck weiterrechnet?<br />

2<br />

= − − und für den Umfang gilt:<br />

s2n 2 4 sn<br />

1024⋅ s = 1024⋅ 2 − 4 − s für <strong>Pi</strong><br />

s4<br />

s4<br />

2n 2n n<br />

2n n<br />

2<br />

2048 1024<br />

r<br />

r<br />

s4<br />

s8<br />

r<br />

x<br />

s4<br />

s8

---

Mathematik * Jahrgangsstufe ngsstufe 10 * Näherungsweise <strong>Berechnung</strong> der <strong>Kreiszahl</strong> <br />

Lösung der Aufgabe:<br />

s4 = 2<br />

s8 = 2 − 2<br />

s16 = 2 − 2+ 2<br />

s32 = 2 − 2+ 2+ 2<br />

s = 2 − 2+ 2+ 2 + 2<br />

s64 2 2 2 2 2 64<br />

s = 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2<br />

π ≈ 64 ⋅ s 128 = 3,1412...<br />

128<br />

s = 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2<br />

π ≈ 128 ⋅ s 256 = 3,14151...<br />

256<br />

s s512 = 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2<br />

π ≈ 256 ⋅ s 512 = 3,14157...<br />

s s1024 = 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 π ≈ 512 ⋅ s 1024 = 3,1415877...<br />

s = 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 π ≈ 1024 ⋅ s = 3,14159142...<br />

2048<br />

Vergleiche: π = 3,141592653589<br />

3,141592653589…<br />

s6 = 1<br />

s12 = 2 − 3<br />

s24 = 2 − 2 + 3<br />

s48 = 2 − 2 + 2+ 3<br />

s = 2 − 2 + 2 2+ 2 2+ 3<br />

96<br />

π ≈ 2⋅ s4 = 2⋅ 2 = 2,8...<br />

π ≈ 4 4⋅ s = 4 4⋅ 2 − 2 = 3,06...<br />

s s192 = 2 − 2 + 2 + 2 + 2 + 3 und damit π ≈ 96 96⋅ s s192 = 3,14145...<br />

8<br />

π ≈ 8 ⋅ s = 8 ⋅ 2 − 2 + 2 = 3,121...<br />

16<br />

π ≈ 16 ⋅ s = 16 ⋅ 2 − 2 + 2 + 2 = 3,136...<br />

32<br />

π ≈ 32 32⋅ ⋅ s =<br />

3,1403...<br />

2048