Aufgabenblatt 3: ¨Offentliche Güter

Ressourcenallokation und Wirtschaftspolitik WS 09/10<br />

<strong>Aufgabenblatt</strong> 3:<br />

Öffentliche <strong>Güter</strong><br />

Aufgabe 1 (Bereitstellung unteilbarer öffentlicher <strong>Güter</strong>)<br />

Individuum i ∈ {1, 2} einer 2-Personen-Ökonomie werde charakterisiert durch<br />

seine Anfangsausstattung wi sowie seinen Nutzen ui(xi, G) aus dem Konsum<br />

von xi ≥ 0 Einheiten eines privaten Gutes mit Preis px = 1 und der<br />

Durchführung eines öffentlichen Projektes G ∈ {0, 1}. Im Falle der Bereitstellung<br />

(G = 1) ergeben sich Kosten in Höhe von C > 0, die über individuelle<br />

Beiträge in Höhe von gi gedeckt werden müssen.<br />

(a) Leiten Sie mit Hilfe des Pareto-Kriteriums (notwendige) Bedingungen<br />

für die Durchführung des Projektes her.<br />

Betrachten Sie nun folgende Spezifikation:<br />

ui(xi, G) := xi + 3 √ G, wi = 10, C = 4.<br />

(b) Zeigen Sie, dass es effizient ist, das Projekt durchzuführen.<br />

(c) Zeigen Sie, dass es bei privater Bereitstellung nicht zur Durchführung<br />

des Projektes kommt. Nehmen Sie dazu an, dass die Individuen sich die<br />

Kosten hälftig aufteilen, wenn beide das Gut bereitstellen, und sonst<br />

die vollen Kosten tragen.<br />

Aufgabe 2 (Bereitstellung und Finanzierung öffentlicher <strong>Güter</strong>)<br />

Eine Volkswirtschaft bestehe aus n ≥ 2 Haushalten i mit identischen Nutzenfunktionen<br />

∀i ∈ {1, . . . , n} : ui(xi, fi, G) := xifi + √ G.<br />

Dabei bezeichne xi die von Haushalt i konsumierte Menge eines privaten Gutes<br />

mit Preis px = 1, fi die von Haushalt i konsumierte Menge an Freizeit<br />

und G die Höhe der Staatsausgaben. Ein Haushalt besitzt als Anfangsausstattung<br />

ausschließlich T Stunden Freizeit, hat aber die Möglichkeit, li := T − fi<br />

Stunden Arbeit zum konstanten Lohnsatz w anzubieten.<br />

(a) Geben Sie die Gleichung der Transformationskurve an und berechnen<br />

Sie mit Hilfe der Samuelson-Regel die optimale Höhe der Staatsausgaben<br />

G ∗ = G(n, w) in Abhängigkeit von der Größe der Ökonomie n und<br />

dem Lohnsatz w.<br />

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Das Steuersystem der Volkswirtschaft sei durch eine für alle Haushalte einheitliche<br />

Kopfsteuer τ und einen proportionalen Einkommensteuersatz 0 ≤<br />

t < 1 charakterisiert.<br />

(b) Berechnen Sie in Abhängigkeit von den staatlichen Instrumenten t, τ<br />

und G das Arbeitsangebot l(t, τ, G) (bzw. die Nachfrage nach Freizeit)<br />

und die Nachfrage nach privaten <strong>Güter</strong>n x(t, τ, G). Stellen Sie anschließend<br />

die indirekte Nutzenfunktion eines Haushaltes auf.<br />

(c) Zeigen Sie, dass eine effiziente Bereitstellung gelingt, wenn zur Finanzierung<br />

der Staatsausgaben ausschließlich Pauschalsteuern herangezogen<br />

werden können (t = 0), und berechnen Sie den optimalen Kopfsteuerbetrag<br />

τ.<br />

(d) Nehmen Sie nun an, dass zur Finanzierung der Staatsausgaben ausschließlich<br />

die lineare Einkommensteuer zur Verfügung steht (τ = 0).<br />

Zeigen Sie, dass es in diesem Fall zu einer Unterversorgung mit öffentlichen<br />

<strong>Güter</strong>n kommt, und berechnen Sie den second-best-Wert für t.<br />

Aufgabe 3 (Lindahl-Verfahren)<br />

Individuum i ∈ {1, 2} einer 2-Personen-Ökonomie werde charakterisiert durch<br />

seine Anfangsausstattung wi = 100 sowie seinen Nutzen<br />

u1(x1, G) = x1 + 20 √ G bzw. u2(x2, G) = x2 + 12 √ G<br />

aus dem Konsum von xi Einheiten eines privaten Gutes mit Preis px = 1 und<br />

G Einheiten eines öffentlichen Gutes mit Bereitstellungskosten in Höhe von<br />

K(G). Gehen Sie zunächst davon aus, dass der soziale Planer die individuellen<br />

Präferenzen kennt (vollständige Information).<br />

(a) Besteuerung gemäß dem Lindahl-Verfahren beruht auf dem Äquivalenzprinzip:<br />

Jeder trägt gemäß seiner individuellen Wertschätzung für das<br />

öffentliche Gut zu dessen Bereitstellung bei. Zeigen Sie, dass der Lindahl-<br />

Preis pi G für Individuum i gerade mit seiner Grenzrate der Substitution<br />

übereinstimmen muss.<br />

GRS i G,x<br />

(b) Die Bereitstellungskosten seien gegeben durch K(G) = G 2 . Berechnen<br />

Sie die sozial optimale Bereitstellungsmenge sowie die zugehörigen<br />

Lindahl-Preise und zeigen Sie, dass die staatlichen Einnahmen die Ausgaben<br />

übersteigen. Weshalb stellt der Budgetüberschuss im Kontext<br />

dieser Aufgabe kein Problem dar?<br />

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(c) Eine neue Technologie führt zu veränderten Bereitstellungskosten in<br />

Höhe von K(G) = 2G.<br />

(i) Welche Allokation ergibt sich nun durch den Lindahl-Mechanismus?<br />

(ii) Gehen Sie nun davon aus, dass der soziale Planer die individuellen<br />

Präferenzen nicht kennt (unvollständige Information), sondern<br />

die Individuen nach ihren maximalen Zahlungsbereitschaften<br />

fragt, bevor er über die Bereitstellungsmenge entscheidet. Zeigen<br />

Sie, dass der Lindahl-Mechanismus nicht anreizkompatibel ist, indem<br />

Sie folgende Aussage bestätigen: Wenn Individuum 2 seine<br />

maximale Zahlungsbereitschaft wahrheitsgemäß berichtet, ist es<br />

für Individuum 1 besser, seine eigene Zahlungsbereitschaft zu untertreiben<br />

und die gleiche Zahlungsbereitschaft wie Individuum 2<br />

zu berichten.<br />

Aufgabe 4 (Clarke-Groves-Mechanismus)<br />

Individuum i ∈ {1, 2} einer 2-Personen-Ökonomie werde charakterisiert durch<br />

seine Anfangsausstattung wi = 100 sowie seinen Nutzen<br />

u1(x1, G) = x1 + U1(G) bzw. u2(x2, G) = x2 + U2(G)<br />

aus dem Konsum von xi Einheiten eines privaten Gutes mit Preis px = 1 und<br />

G Einheiten eines öffentlichen Gutes mit Bereitstellungskosten in Höhe von<br />

K(G) = kG. Gehen Sie davon aus, dass der soziale Planer die individuellen<br />

Präferenzen Ui(G) nicht kennt (unvollständige Information), sondern die Individuen<br />

zuerst danach fragt, bevor er gemäß deren Angaben Zi(G) über die<br />

Bereitstellungsmenge entscheidet.<br />

(a) Bevor der Planer die Individuen über ihre Präferenzen befragt, kündigt<br />

er an, in Abhängigkeit von der letztlich bereitgestellten Menge G zur<br />

Finanzierung von i ∈ {1, 2}, i = j, einen individuellen Beitrag von<br />

zu erheben.<br />

Ti(G) = kG − Zj(G)<br />

(i) Zeigen Sie, dass es für Individuum i eine dominante Strategie ist,<br />

seine tatsächlichen Präferenzen zu enthüllen.<br />

(ii) Berechnen Sie für k = 2, U1(G) = 20 √ G und U2(G) = 12 √ G<br />

die individuellen Beiträge, wenn die sozial optimale Menge G ∗<br />

bereitgestellt werden soll, und zeigen Sie, dass diese nicht zur Finanzierung<br />

ausreichen.<br />

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Ressourcenallokation und Wirtschaftspolitik WS 09/10<br />

(b) Bevor der Planer die Individuen über ihre Präferenzen befragt, kündigt<br />

er an, in Abhängigkeit von der letztlich bereitgestellten Menge G zur<br />

Finanzierung von i ∈ {1, 2}, i = j, einen individuellen Beitrag von<br />

Ti(G) = kG − Zj(G) + Zj(G−i) − k<br />

2 G−i<br />

zu erheben, wobei G−i durch die Gleichung Z ′ j(G−i) = k<br />

2<br />

definiert ist.<br />

(i) Zeigen Sie, dass es für Individuum i weiterhin eine dominante<br />

Strategie ist, seine tatsächlichen Präferenzen zu enthüllen.<br />

(ii) Berechnen Sie für k = 2, U1(G) = 20 √ G und U2(G) = 12 √ G<br />

die individuellen Beiträge, wenn die sozial optimale Menge G ∗ bereitgestellt<br />

werden soll, und zeigen Sie, dass diese zu einem Budgetüberschuss<br />

führen. Inwiefern ist das problematisch?<br />

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