Bruchteile Anteile gibt man in Bruchschreibweise an. Anteil : 1 8 ...

Bruchteile 

Anteile gibt man in Bruchschreibweise an. 

3 

8 

nennt man einen Bruch. 

Anteil : 

1 

8 

Bruchteil : 1 cm 2 


1 

8 

Bruchteil : 0,5 cm 2 


3 

8 

Bruchteil : 3 cm 2 


3 

8 

Bruchteil : 1,5 cm 2 

8 heißt Nenner des Bruches. Er gibt an, in wie viele Teile die Gesamtgröße geteilt wird. 

3 heißt Zähler des Bruches. Er gibt an, aus wie vielen Teilen der Anteil besteht.

Bestimmung von Anteilen 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Beispiele : 

a) 

b) 

3 € von 5 € = 3 

5 

3 Cent von 4 € = 3 Cent von 400 Cent = 3 

400 

Ist B der Bruchteil einer Größe G gemessen in der gleichen Einheit, dann ist der Anteil von 

B an G 

B von G = B 

G 

___________________________________________________________________________ 

Bestimmung von Bruchteilen 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Beispiele : 

a) 

b) 

3 

4 

5 

24 

von 1 € = (1 € : 4) ⋅ 3 = (100 Cent : 4) ⋅ 3 = 25 Cent ⋅ 3 = 75 Cent 

von 3 h = (3 h : 24) ⋅ 5 = (5400 s : 24) ⋅ 5 = 225 s ⋅5 = 1125 s = 18 min 45 s 

z 

Den Bruchteil B, den der Anteil einer Größe G ausmacht, ist gegeben durch 

n 

Merke : 

B = z 

n 

von G = (G : n) ⋅ z 

Bruchteile von Einheitsgrößen gibt man verkürzt an. 

Beispiele :

a) 

b) 

1 

4 

3 

4 

von 1 € = 1 

4 € 

von 1 g = 3 

4 g 

___________________________________________________________________________ 

Bestimmung einer Größe aus Anteil und Bruchteil 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Beispiele : 

3 

a) Herr K. zahlt 720 € Miete, dass sind seines Nettoverdienstes. 

10 

3 

10 

von G = 720 € 

(G : 10) ⋅ 3 = 720 € 

G : 10 = 720 € : 3 

G : 10 = 240 € 

G = 240 € ⋅ 10 

G = 2400 € 

Gleichung Schlussrechnung 

3 

G j 720 € 

10 

Herr K hat einen monatlichen Nettoverdienst von 2400 €. 

1 

G j 720 € : 3 = 240 € 

10 

G j 240 € ⋅ 10 = 2400 € 

4 

b) Bei einer Bürgermeisterwahl gingen aller Wahlberechtigten nicht zur Wahl. Es wurden 

25 

945 Stimmen abgegeben. 

21 

25 

von G = 945 ergibt G = 1125 

Es gibt 1125 wahlberechtigte Bürger in der Gemeinde. 

___________________________________________________________________________

Kreisdiagramme 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Beispiel : 

1 

2 

7 

Bei der Klassensprecherwahl erhält Andreas . Bernhard und Claudia aller abgege- 

12 

9 

12 

benen Stimmen. 

Der Rest der Stimmen ist ungültig. 

1 j 360° ⇒ 1 

12 

1 j 360° ⇒ 1 

9 

1 j 360° ⇒ 1 

12 

j 30° 

j 40° ⇒ 2 

9 

j 72° ⇒ 7 

12 

j 80° 

j 210° 

Claudia 

Bernhard 

Andreas 

___________________________________________________________________________

Relative Häufigkeit 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Beispiel : 

Eine Klasse erhält ihre Schulaufgabe zurück. 

Die Anzahl der Schüler, die in der Mathematikschulaufgabe die Note 1 erhalten, nennt man 

die absolute Häufigkeit der Note 1 in der Schulaufgabe. Analog gibt es eine absolute Häufigkeit 

der Note 2; der Note 3 usw. 

Den Anteil der Schulaufgaben mit der Note 1 an allen Schulaufgaben nennt man die relative 

Häufigkeit der Schulaufgaben mit der Note 1. 

Note 

absolute 

Häufigkeit 

relative 

Häufigkeit 

1 

2 

2 

= 8% 

25 

2 

5 

5 

= 20% 

25 

Veranschaulichung durch Diagramme 

3 

9 

9 

= 36% 

25 

4 

6 

6 

= 24% 

25 

Die absolute Häufigkeit der Noten im Säulendiagramm 

Die relative Häufigkeit stellt man im Kreisdiagramm dar. 

5 

2 

1 

= 8% 

25 

1 

25 

6 

1 

= 4% 

gesamt 

25 

100%

Tritt ein Merkmal bei den n Elementen einer Menge z-mal auf, dann heißt 

z die absolute Häufigkeit dieses Merkmals 

und 

z 

n 

die relative Häufigkeit dieses Merkmals. 

Aufgaben 

1. Gib in der angegebenen Einheit an 

1 

1 

1 

1 

a) km (m) b) t (kg) c) h (min) d) 

8 5 5 20 ha (m2 ) 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

2. Gegeben ist ein Quadrat. M und N sind die Mittelpunkte von zwei 

N 

Quadratseiten. 

Welcher Teil der gesamten Quadratfläche wird durch die schraffierte 

Fläche dargestellt ? 

M 

Begründung 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

1 

3. Schraffiere der Quadratfläche 

20 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

4. Gib in der angegebenen Einheit an 

3 

3 

3 

4 

a) m (cm) b) kg (g) c) min (s) d) 

4 8 20 5 Ar (dm2 ) 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

5. Welcher Bruchteil der Fläche ist jeweils schraffiert ? 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Im Durchschnitt erlernen 76 von 80 Erwachsenen das Autofahren vor Erreichen des 45. Lebensjahres. 

Welcher Bruchteil ist das ? 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

7. Welchen Bruchteil des Bodens eines 21,6 m großen Zimmers wird von einem gro- 

2 

8,1 m 2 

ßem Teppich bedeckt. 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

1 

8. Bei einem Ausverkauf werden die Preise um reduziert. 

20 

Was war der ursprüngliche Preis eines Fernsehapparats, der jetzt 570 € kostet ? 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

4 

9. Bei einer Kommunalwahl gingen der Wahlberechtigten zur Wahl. 64 Stimmen waren 

5 

1 

ungültig, das sind der abgegebenen Stimmen. 

15 

Wie viele Leute in der Gemeinde sind wahlberechtigt ? 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

10. Im Durchschnitt sind 15 von 800 gelegten Eiern verdorben. 

a) Gib den Bruchteil verdorbener Eier in einfacher Form an. 

b) Wie viele Eier muss man demnach mindestens kaufen, damit man 800 der gekauften 

Eier unverdorben sind ? 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

11. Wenn Wasser friert, nimmt sein Volumen um 1/11 zu. 

Um welchen Bruchteil nimmt sein Volumen ab, wenn es wieder schmilzt ? 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

12. Das Säulendiagramm zeigt das Ergebnis einer einer Mathematikschulaufgabe. 

Anzahl 

8 

6 

4 

2 

1 2 3 4 5 6 Note 

Gib den Anteil jeder einzelnen Note an. 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

BMT 2001

Welcher Bruchteil des Rechtecks ABCD ist grau gefärbt ? 

7 

5 

1 

3 

1 1 

+ 

2 6 

5 

12 

___________________________________________________________________________ 

5 

7

Bruchzahlen 

Anteile lassen sich auf dem Zahlenstrahl angeben. 

0 

0/2 

1 

1/2 2/2 3/2 4/2 

0/3 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/6 

0/6 

1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6 8/6 9/6 10/6 11/6 12/6 

Damit hat man neue Zahlen die sog. Bruchzahlen entdeckt. Verschiedene Brüche können ein 

und dieselbe Bruchzahl darstellen. Es ist auch sinnvoll, Anteile größer als 1 einzuführen, 

Ein und dieselbe Bruchzahl kann durch verschiedene Brüche dargestellt werden. 

1 2 3 

1 2 3 

So ist = = = ..... und = = = ..... . 

2 4 6 3 6 9 

z 

Ist ein Bruch, dann unterscheidet man 

n 

a) Stammbrüche z = 1 wie z. B. 

1 1 1 

, , 

2 3 100 

2 3 1 

b) Echte Brüche z < n wie , , . Sie sind kleiner als 1. 

3 5 4 

c) Scheinbrüche . Sie stellen natürliche Zahlen dar wie z. B 

d) Unechte Brüche z > n , z ƒ n wie z. B. 

3 

2 

= 1 + 1 

2 

4 

4 

= 1, 12 

6 

1 7 

= 1 , 

2 3 

2 

= 2, 9 

3 

= 2 + 1 

3 

Sie sind größer als 1 sind, und lassen sich als gemischte Zahlen schreiben. 

= 3 

= 2 1 

3 

Erweitert man den Zahlenstrahl zur Zahlengeraden, dann erhält man zusätzlich die negativen 

Bruchzahlen. 

-7/6 -1 -5/6 -2/3 -1/2 -1/3 -1/6 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1 

Die Menge aller Bruchzahlen bezeichnet man als rationale Zahlen Q. 

Die Menge der ganzen Zahlen Z ist in der Menge der Bruchzahlen enthalten : 

Z ⊂ Q 

___________________________________________________________________________

Aufgaben 

================================================================== 

1. Verwandle in einen unechten Bruch : a) 2 b) c) 

3 

3 

4 

1 

− 2 

5 

1 

3 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

17 60 

2. Vewandle in eine gemischte Zahl : a) b) c) − 

3 9 

23 

5 

___________________________________________________________________________

Die Division in Q 

Drei Ganze lassen sich mit Hilfe der Bruchzahlen durch Vier teilen (vierteln). 

Sinnvoll ist daher auch 

3 : 4 = 3 

4 

− 3 : 4 = − , und 

3 

3 : ⎛ − 4⎞ 

3 

= − − 3 : ⎛ − 4⎞ 

4 ⎝ ⎠ 4 ⎝ ⎠ 

zu rechnen. 

= 3 

4 

In der Menge Q ist die Division z : n mit z ∈ Z und n ∈ Z\{0} durchführbar. Es ist 

Beispiele . 

a) 

b) 

13 : 5 = 13 

5 

− 5 : 8 = − 5 

8 

= 2 3 

5 

z : n = z 

n 

Speziell gilt 1 : z = . Man nennt den 

1 

1 

Kehrwert oder den Kehrbruch von z. 

z 

z 

Die Zahl 0 hat keinen Kehrbruch. 

___________________________________________________________________________

Erweitern und Kürzen von Brüchen 

2 4 2 ⋅ 2 2 6 2 ⋅ 3 

Es ist = = ; = = usw. 

3 6 3 ⋅ 2 3 9 3 ⋅ 3 

Erweitern : 

Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man den Zähler und den Nenner des Bru- 

ches mit derselben natürlichen Zahl multipliziert. 

Umgekehrt gilt : 

Kürzen : 

z 

n 

= z ⋅ k 

n ⋅ k 

z ∈ Z, n, k ∈ Z\{0} 

Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man den Zähler und den Nenner des Bru- 

ches durch dieselbe natürliche Zahl dividiert. 

Beispiele : 

a) 

6 

8 = 2 

6 : 2 

8 : 2 

= 3 

4 

b) 132 

180 = 4 

z 

n = 

k 

z : k 

n : k 

132 : 4 

180 : 4 

z ∈ Z, n, k ∈ Z\{0} 

= 33 

45 = 3 

11 

15 

⇔ 132 

180 = 12 

11 

15

Beachte : 

6 ⋅ 4 

Es ist , jedoch 

45 = 2 ⋅ 4 8 

= 

3 15 15 

Bemerkungen : 

6 + 4 

45 

= 10 

45 = 5 

a) Ein Bruch heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. 

b) Gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner findet man mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln 

oder der Primfaktorzerlegung von z und n 

c) Die größte Zahl k mit der man kürzen kann ist kmax = ggT(z; n) 

___________________________________________________________________________ 

Aufgaben 

1 3 5 

1. Erweitere auf den Nenner 24 : a) b) c) d) − 

3 4 6 

3 

8 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

36 75 

2. Kürze vollständig : a) b) c) − 

90 120 

126 

270 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

2 

3. Ein Bruch ist gleich . Die Summe aus seinem Zähler und seinem Nenner beträgt 63. 

7 

Wie lautet der Bruch ? 

___________________________________________________________________________ 

2 

9

Größenvergleich von Brüchen 

Es ist 

5 

8 

> 3 

8 

Sind zwei Brüche nennergleichen (gleichnamig), dann stellt der mit dem größeren Zähler 

die größere Zahl dar. 

Es ist 

2 

3 

> 2 

3 

z 1 

n > z 2 

n ⇔ z 1 > z 2 

Sind zwei Brüche zählergleich, dann stellt der mit dem kleineren Nenner die größere Zahl 

dar. 

z 

n 1 

> z 

n 2 

⇔ n 1 < n 2 

Beliebige Brüche vergleicht man, indem man sie so erweitert, dass sie nenner- oder zähler- 

gleich sind. 

Beispiel : 

2 3 

Zum Vergleich von und rechnet man 

3 5 

2 

3 

10 

= 

15 3 

5 

= 9 

15 

⇒ 2 

3 

> 3 

5 

Als gemeinsamen Nenner für mehrere Brüche wählt man meist kleinste gemeinsame Vielfache 

(kgV) der Nenner (Hauptnenner). 

Das kgV bestimmt man mit Hilfe der Primfaktorzerlegung. 

___________________________________________________________________________

Aufgaben 

5 4 5 

1. Ordne die Zahlen , , der Größe nach in einer fallenden Ungleichungskette 

12 9 11 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

7 x 17 

2. Bestimme alle natürlichen Zahlen x mit < < 

12 18 24 

___________________________________________________________________________

Das Rechnen mit positiven Brüchen 

Addition und Subtraktion 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

5 2 

+ 

9 9 

= 5 + 2 

9 

= 7 

9 

5 2 

− 

9 9 

= 3 

9 

= 1 

3 

Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Zähler addiert bzw. 

subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. 

a 

c 

+ b 

c 

= a + b 

c 

a 

c 

− b 

c 

= a − b 

c 

Sind die Brüche ungleichnamig, dann macht man sie gleichnamig. 

Beispiel : 

3 2 

+ 

8 3 

9 16 

= + 

24 24 

= 25 

24 

= 1 1 

24 

Addiert oder subtrahiert man gemischte Zahlen, dann kann man das Assoziativgesetz benutzen. 

2 3 1 

+ 3 

4 2 

Kurz 

3 4 

5 

3 2 

= 2 + 3 

4 4 

2 3 1 

+ 3 

4 2 

− 1 2 

3 

3 2 

= 2 + 3 

4 4 

12 10 

= 3 − 1 

15 15 

⎛ 3 ⎞ 

= ⎜2 

+ ⎟ + 3 + 

⎝ 

4 

⎠ 

2 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎛2 

+ 3⎞ 

⎛ 3 2 ⎞ 

+ + 

⎝ 

4 

⎠ 

⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ 

⎝ 

4 4 

⎠ 

= 5 5 

4 

= 2 2 

15 

= 6 1 

4 

= 5 + 5 

4 

= 5 5 

4 

= 6 1 

4 

5 2 4 10 12 25 12 13 

− 3 = 5 − 3 = 4 − 3 = 1 

3 5 15 15 15 15 15 

___________________________________________________________________________

Multiplikation 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

3⋅ 4 

5 

4 4 4 

= + + 

5 5 5 

3 3 

⋅5 = 5⋅ 

4 4 

= 5⋅3 

4 

= 12 

5 

= 15 

4 

= 3⋅4 

5 

= 3 3 

4 

Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem sein Zähler mit der natürli- 

chen Zahl multipliziert wird und der Nenner beibehalten wird. 

a a 

⋅n = n⋅ 

b b 

= n⋅a 

b 

a, b, n ∈ N, b ≠ 0 

Beim Vervielfachen gemischter Zahlen lässt sich das Distributivgesetz benützen. 

2 3 15 

⋅5 = 10 

4 4 

oder 

2 3 ⎛ 3 

⋅5 = ⎜2 

+ 

4 

⎝ 

4 

Kurz 

= 13 3 

4 

2 3 15 

⋅5 = 10 

4 4 

Die Figur zeigt : 

2 3 

4 

⎞ 

⎟⋅5 

= 2⋅5 + 

⎠ 

3 

4 

= 13 3 

4 

11 55 

⋅5 = ⋅5 = 

4 4 

⋅5 = 10 + 15 

4 

1 

5 dm 

1 

3 dm 

= 13 3 

4 

= 10 + 3 3 

4 

1 dm 

= 13 3 

3 

1 

Der Flächeninhalt eines Rechteck mit der Länge und der Breite beträgt . 

3 dm 

1 

5 dm 

1 

15 dm2 

1 dm

1 1 1 

Deshalb ist dm ⋅ dm = bzw. . 

3 5 15 dm2 

1 1 1 

⋅ = 

3 5 15 

Damit ist sinnvoll 

2 4 

⋅ 

3 5 

⎛ 1 ⎞ 

= ⎜2⋅ 

⎟ 4⋅ 

⎝ 

3 

⎠ 

1 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ = ⎛2⋅4⎞ 

⎛ 1 1 ⎞ 

⋅ ⋅ 

⎝ 

5 

⎠ 

⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ 

⎝ 

3 5 

⎠ 

= (2⋅4)⋅ 1 

15 

= 2⋅4 

3⋅5 

Brüche werden miteinander multipliziert,indem ihre Zähler und ihre Nenner multipliziert. 

a c 

⋅ 

b d 

= a⋅c 

b⋅d 

a, b, c, d ∈ N 

Gemischte Zahlen werden vor der Produktbildung in unechte Brüche verwandelt. 

a) 

b) 

1 1 3 

⋅ 

2 4 

2 1 2 

⋅1 

2 3 

c) 1 1 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 

3 

⎠ 

2 

3 3 

= ⋅ 

2 4 

5 5 

= ⋅ 

2 3 

= 4 ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 

3 

⎠ 

2 

= 9 

8 

= 25 

6 

= 4 4 

⋅ 

3 3 

1 1 3 

= 4 1 ⋅ 

6 2 4 

= 16 

9 

= 1 7 

9 

3 3 

= ⋅ 

2 4 

___________________________________________________________________________ 

= 9 

8

Division 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

Es ist 

6 

25 

2 

5 

: 2 = 6:2 

25 

: 3 = 6 

15 

= 3 

25 

: 3 = 2 

15 

= 2 

5⋅3 

Ein Bruch wird durch eine natürliche Zahl dividiert, indem man entweder den Zähler durch 

diese Zahl dividiert oder den den Nenner mit dieser Zahl multipliziert. 

Beachte : 

a) 

b) 

1 2 

3 

8 4 

5 

Es ist 

6 

25 

2 

5 

: 4 = 5 

3 

: 4 = 5 

12 

⎛ 4 ⎞ 

: 3 = ⎜6 

+ 2 ⎟ 

⎝ 

5 

⎠ 

: 2 

25 

: 3 

4 

= 6 : 2 = 3 

= 8 

20 

: 15 

20 

: 3 = 6 : 3 + 14 

5 

= 8 : 15 = 8 

15 

= 2⋅4 

5⋅3 

: 3 = 2 14 

15 

= 2 

5 

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. 

Beachte : 

a 

b 

3 3 1 3 3 

a) : 5 = ⋅ = = b) 

4 4 5 4 ⋅ 5 20 

c) 

1 1 

2 

: 2 1 

2 

= 3 

2 

: 5 

2 

= 3 

2 

⋅ 2 

5 

= 3 

5 

: c 

d 

1 1 

2 

= a 

b 

: 2 1 

2 

⋅ 4 

5 

⋅ d 

c 

= 3 

2 

= a ⋅ d 

b ⋅ c 

___________________________________________________________________________ 

: 5 

2 

= 3 

5

Bruchteile Anteile gibt man in Bruchschreibweise an. Anteil : 1 8 ...

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