Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen ...

20 Andreas Gathmann 

3. ZUSAMMENHANG 

Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er ” zusammenhängend“ 

ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept des Zusammenhangs 

nun mathematisch exakt einführen. Es stellt sich heraus, dass es zwei ganz verschiedene Arten 

gibt, es zu definieren. 

Definition 3.1 (Wegzusammenhängende und zusammenhängende Räume). Es sei X ein topologischer 

Raum. 

(a) X heißt wegzusammenhängend, wenn es zu jeder Wahl von zwei Punkten x,y ∈ X eine 

stetige Abbildung γ :[a,b]→X mit γ(a)=x und γ(b)=y gibt (wobei das abgeschlossene 

reelle Intervall [a,b] mit der Standardtopologie versehen ist). Eine solche Abbildung nennt 

man einen Weg von x nach y. 

γ 

x y 

a b X 

(b) X heißt zusammenhängend, wenn man X nicht als disjunkte Vereinigung X = U ∪V von 

zwei nicht-leeren offenen Teilmengen U,V ⊂ X schreiben kann. 

Oft werden wir auch sagen, dass eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X wegzusammenhängend 

bzw. zusammenhängend ist. Dies ist dann natürlich so zu verstehen, dass der topologische 

Raum A mit der Teilraumtopologie (siehe Konstruktion 1.6) die entsprechende Eigenschaft 

hat. 

Bemerkung 3.2. 

(a) Das Konzept des Wegzusammenhangs erlaubt eine naheliegende Verfeinerung: auf einem 

topologischen Raum X ist die Relation 

x∼y :⇔ es gibt einen Weg in X von x nach y 

offensichtlich eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen dieser Relation nennt man 

Wegzusammenhangskomponenten. Mit dieser Definition ist der Raum X also genau dann 

wegzusammenhängend, wenn er genau eine Wegzusammenhangskomponente besitzt (die 

dann ganz X ist). 

(b) Ist X in Definition 3.1 (b) die disjunkte Vereinigung von zwei Mengen U und V, so ist 

natürlich V = X\U. Die Bedingung, dass U und V offen sind, ist also äquivalent dazu, dass 

U zugleich offen und abgeschlossen ist. Wir können Definition 3.1 (b) damit auch so umformulieren: 

ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn die leere Menge /0 

und der ganze Raum X die einzigen Teilmengen von X sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen 

sind. 

Die Idee hinter der Definition 3.1 (a) eines wegzusammenhängenden Raumes ist natürlich sofort einleuchtend 

und vermutlich auch schon aus den ” Grundlagen der Mathematik“ bekannt [G3, Definition 

23.25]. Sie wirkt aus topologischer Sicht jedoch recht unnatürlich, da sie die Standardtopologie von 

reellen Intervallen, also topologische Eigenschaften eines willkürlich gewählten Beispielraums benutzt. 

Diesen Nachteil hat die Definition 3.1 (b) des Zusammenhangs nicht — dafür ist bei ihr aber 

anschaulich zunächst einmal überhaupt nicht klar, wieso die Existenz von gleichzeitig offenen und 

abgeschlossenen Teilmengen etwas damit zu tun haben soll, ob ein Raum ” aus mehreren Teilen besteht“. 

Wir wollen die beiden eingeführten Zusammenhangsbegriffe daher zunächst anhand von ein 

paar Beispielen untersuchen.

Beispiel 3.3. 

3. Zusammenhang 21 

(a) Die Menge X = [0,1]∪[2,3] ⊂ R ist nicht wegzusammenhängend, denn nach dem Zwischenwertsatz 

[G3, Satz 7.20] kann es keine stetige Abbildung γ : [a,b]→R mit γ(a) = 1 

und γ(b)=2 geben, deren Bild ganz in X liegt, die also z. B. nirgends den Wert 3 2 annimmt. 

In der Tat sind[0,1] und[2,3] genau die beiden Wegzusammenhangskomponenten von X. 

Ebenso einfach sieht man, dass X nicht zusammenhängend ist: die Teilmengen U = [0,1] 

und V =[2,3] von X sind nämlich offen (in der Teilraumtopologie, siehe Konstruktion 1.6), 

nicht leer und vereinigen sich disjunkt zu X. 

(b) Die rationalen Zahlen X = Q sind nicht wegzusammenhängend: wie in (a) sieht man mit 

dem Zwischenwertsatz, dass sich in der Tat überhaupt keine zwei verschiedenen Punkte von 

Q durch einen Weg miteinander verbinden lassen, also jeder Punkt seine eigene Wegzusammenhangskomponente 

ist. Wegen der disjunkten offenen Zerlegung 

Q= x∈R:x< √ 2 ∪ x∈R:x> √ 2 

ist Q auch nicht zusammenhängend. 

(c) Ein abgeschlossenes Intervall X = [a,b] ⊂ R ist natürlich wegzusammenhängend, da sich 

zwei beliebige Punkte x,y ∈ [a,b] immer durch einen Weg miteinander verbinden lassen, 

z. B. mit γ :[0,1]→[a,b], γ(t)=x+ t(y−x). 

In der Tat ist ein solches Intervall auch zusammenhängend: 

angenommen, wir könnten X als disjunkte Vereinigung X = 

U∪V von nicht-leeren offenen Mengen schreiben (im Bild 

rechts seien die fett eingezeichneten Punkte diejenigen, die 

in U liegen, die dünn eingezeichneten die in V). 

a c s d 

Da U und V nicht leer sind, gibt es c ∈ U und d ∈ V; wir können ohne Einschränkung 

annehmen, dass c


Da X als wegzusammenhängend vorausgesetzt ist, gibt es nun einen Weg γ :[a,b]→X von 

x nach y. Wegen X = U∪V ist dabei natürlich 

[a,b]=γ −1 (U)∪γ −1 (V). 

Diese Vereinigung ist disjunkt, da U und V es sind. Die beiden vereinigten Mengen sind 

auch beide nicht leer (da sie den Punkt a bzw. b enthalten) und nach Satz 2.4 (b) offen. 

Damit müsste[a,b] unzusammenhängend sein, im Widerspruch zu Beispiel 3.3 (c). 

(b) Wir fixieren einen Punkt x∈X und betrachten die zugehörige Wegzusammenhangskomponente 

U :={y∈X : es gibt einen Weg in X von x nach y}. 

Es seien nun y ∈ X beliebig und Uy eine wegzusammenhängende 

Umgebung von y. Beachte, dass wir dann 

entweder keinen oder alle Punkte von Uy durch einen Weg 

mit x verbinden können: sind nämlich wie im Bild rechts 

z1,z2 ∈ Uy und gibt es einen Weg von x nach z1, so können 

wir daran einen Weg von z1 nach z2 anfügen (der ja existieren 

muss, weil Uy wegzusammenhängend ist) und erhalten 

auch einen von x nach z2. 

Also liegt Uy entweder komplett in U oder komplett in X\U. Weil dies für alle y gilt, sind 

damit sowohl U als auch X\U offen. Da X aber als zusammenhängend vorausgesetzt wurde, 

muss nun in der disjunkten offenen Zerlegung X = U ∪(X\U) eine der beiden Mengen 

leer sein. Wegen x ∈ U kann dies nicht U sein. Damit ist X\U = /0, d. h. es ist U = X 

und wir können jeden Punkt in X durch einen Weg mit x verbinden. Also ist X wegzusammenhängend. 

 

Bemerkung 3.5. Die Zusatzbedingung in Satz 3.4 (b), dass jeder Punkt x ∈ X eine wegzusammenhängende 

Umgebung besitzt, ist z. B. für offene Mengen in R n stets erfüllt. In diesem Fall 

stimmen die Begriffe ” wegzusammenhängend“ und ” zusammenhängend“ also überein. Wie schon 

angekündigt werden wir allerdings in Beispiel 3.8 gleich noch sehen, dass diese beiden Begriffe im 

Allgemeinen verschieden sind. Um die Zusammenhangseigenschaften in diesem Beispiel besser untersuchen 

zu können, wollen wir aber zunächst noch zwei Aussagen beweisen, die generell nützlich 

sind, um herauszufinden, ob ein gegebener Raum wegzusammenhängend bzw. zusammenhängend 

ist oder nicht. Das erste ist einfach die anschauliche Aussage, dass ein zusammenhängender Raum 

durch eine stetige Abbildung nicht ” auseinander gerissen“, also unzusammenhängend gemacht werden 

kann. 

Lemma 3.6. Es sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. 

(a) Ist X wegzusammenhängend, so auch f(X). 

(b) Ist X zusammenhängend, so auch f(X). 

Beweis. 

(a) Es seien x,y ∈ f(X), also x = f(x ′ ) und y= f(y ′ ) für gewisse x ′ ,y ′ ∈ X. Da X wegzusammenhängend 

ist, gibt es einen Weg γ : [a,b] → X mit γ(a) = x ′ und γ(b) = y ′ . Der Weg 

f ◦ γ :[a,b]→ f(X) verbindet dann die Punkte x und y miteinander. 

(b) Angenommen, f(X) wäre unzusammenhängend, d. h. es gäbe eine disjunkte Vereinigung 

f(X) = U ∪ V mit nicht-leeren und in f(X) offenen Mengen U und V. Dann wäre auch 

X = f −1 (U)∪ f −1 (V) eine disjunkte Vereinigung von nicht-leeren offenen Mengen (siehe 

Satz 2.4 (b)). Dies ist ein Widerspruch dazu, dass X als zusammenhängend vorausgesetzt 

wurde. 

x 

X 

z2 

z1 

Uy 

y

3. Zusammenhang 23 

Das zweite Lemma, das wir noch benötigen, ist zwar auch einfach, aber schon weit weniger anschaulich 

— und in der Tat auch einer der Punkte, in denen sich Wegzusammenhang und Zusammenhang 

unterschiedlich verhalten. 

Lemma 3.7. Es sei A eine Teilmenge eines topologischen Raumes X. Weiterhin sei B ⊂ X eine 

Teilmenge mit A⊂B⊂A, d. h. B entstehe aus A durch Hinzunehmen einiger Randpunkte. 

Ist dann A zusammenhängend, so auch B. 

(Die entsprechende Aussage für ” wegzusammenhängend“ ist falsch, wie wir in Beispiel 3.8 (b) sehen 

werden.) 

Beweis. Wäre B unzusammenhängend, so gäbe es eine disjunkte Zerlegung B = U ∪ V in nichtleere 

und in B offene Teilmengen U und V. Die Mengen U und V enthalten wegen B⊂A also einen 

Berührpunkt von A und müssen nach Definition 1.18 (b) damit auch einen Punkt von A enthalten, 

d. h. A∩U und A∩V sind nicht leer. Schneiden wir die Zerlegung B = U ∪V also mit A, erhalten 

wir die disjunkte Zerlegung A=(A∩U)∪(A∩V) in zwei nicht-leere Teilmengen, die in der Teilraumtopologie 

von A offen sind. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass wir A als zusammenhängend 

vorausgesetzt haben. 

Beispiel 3.8 (Ein zusammenhängender, aber nicht wegzusammenhängender Raum). Der folgende 

Raum ist wohl eines der einfachsten Beispiele dafür, dass die Begriffe des Wegzusammenhangs und 

des Zusammenhangs i. A. verschieden sind: es sei 

 

X ={(0,0)}∪ x,sin 1 

 

: x∈R>0 ⊂R 

x 

2 . 

Dann gilt: 

X 

(a) X ist zusammenhängend: nach Beispiel 3.3 (d) ist R>0 zusammenhängend, 

nach Lemma 3.6 (b) also auch das Bild 

von R>0 unter der stetigen Abbildung x↦→ (x,sin 1 

x ), d. h. 

der Raum X\{(0,0)}. Das Hinzufügen des Randpunktes 

(0,0) ändert nach Lemma 3.7 nun ebenfalls nichts mehr 

am Zusammenhang dieser Menge. 

(b) X ist nicht wegzusammenhängend: es sei γ :[a,b]→X ein beliebiger Weg mit γ(a)=(0,0). 

Wir betrachten den Punkt s := sup{t ∈[a,b] : γ(t)=(0,0)}. Wegen der Stetigkeit von γ ist 

γ(s)=(0,0); es ist also s der letzte Punkt, an dem der Weg noch auf dem Nullpunkt ist. 

Angenommen, es wäre s < b. Wir behaupten, dass γ dann im Punkt s unstetig wäre. Dazu 

sei δ > 0 beliebig, allerdings klein genug, so dass s+δ ≤ b ist. Es gilt also γ(s+δ)=(0,0), 

und damit muss die erste Koordinate γ1(s+δ) von γ(s+δ) größer als Null sein. Wählen 

1 

wir nun ein n ∈ N, so dass x := 2nπ+π/2 kleiner als γ1(s+δ) ist, so finden wir nach dem 

Zwischenwertsatz [G3, Satz 7.20] ein t ∈[s,s+δ) mit γ1(t)=x und damit γ2(t)=sin 1 x = 1. 

Wegen γ2(s)=0 bedeutet dies||γ(t)−γ(s)||≥1. Also wäre γ dann in s unstetig. 

Damit muss s=b gelten, d. h. der Endpunkt von γ ist genau wie der Anfangspunkt gleich 

dem Nullpunkt. Man kann den Nullpunkt also mit keinem anderen Punkt von X durch 

einen Weg verbinden. Die Wegzusammenhangskomponenten von X sind daher{(0,0)} und 

X\{(0,0)}, insbesondere ist X nicht wegzusammenhängend. 

Beachte, dass dieses Argument auch zeigt, dass die Aussage von Lemma 3.7 nicht auch 

analog für wegzusammenhängende Mengen gelten kann — andernfalls könnte man nämlich 

das Argument von (a) wörtlich genauso auch für ” wegzusammenhängend“ aufschreiben und 

würde im Widerspruch zu unserem gerade gezeigten Resultat erhalten, dass X auch wegzusammenhängend 

ist. 

Beispiel 3.9. Mit Hilfe des (Weg-)Zusammenhangs können wir nun in einigen Fällen bereits zeigen, 

dass zwei topologische Räume nicht homöomorph sind. Offensichtlich ist natürlich, dass ein 

03


zusammenhängender Raum nicht zu einem unzusammenhängenden homöomorph sein kann; analog 

gilt das auch für den Wegzusammenhang. Mit einem kleinen Trick kann man aus dieser Idee aber 

noch etwas mehr herausholen: 

(a) Das Einheitsintervall I1 =[0,1]⊂R ist nicht homöomorph zu einem anderen Einheitswürfel 

In =[0,1] n⊂R n für n>1: angenommen, es gäbe einen Homöomorphismus f : I1→ In . Nehmen 

wir dann aus I1 den Punkt 1 2 heraus, würden wir durch Einschränken von f natürlich 

auch einen Homöomorphismus von I1 \{ 1 2 } nach In \{ f( 1 2 )} bekommen. Dies ist aber ein 

Widerspruch, denn I1 \{ 1 2 } ist nicht wegzusammenhängend, während In für n > 1 offensichtlich 

auch nach Herausnahme eines Punktes noch wegzusammenhängend ist (siehe Bild 

unten für n=2). 

(b) Das Achsenkreuz X = {(x,y) ∈ R 2 : xy = 0} in R 2 ist nicht zur reellen Gerade R homöomorph: 

das Argument ist hier analog zu dem in (a). Nehmen wir nämlich aus X den Nullpunkt 

heraus, so erhalten wir vier Wegzusammenhangskomponenten, währendR nach Herausnehmen 

eines Punktes P in nur zwei Wegzusammenhangskomponenten zerfällt. 

1 

2 

I 1 \{ 1 2 } 

nicht 

wegzusammenhängend 

f( 1 

2 ) 

I 2 \{ f( 1 2 )} 

wegzusammenhängend 

X\{(0,0)} 

vier Wegzusammenhangskomponenten 

(a) (b) 

P 

R\{P} 

zwei Wegzusammenhangskomponenten 

Aufgabe 3.10. Zeige, dass ein topologischer Raum X genau dann zusammenhängend ist, wenn 

in ihm ” der Zwischenwertsatz für stetige Abbildungen nach R gilt“, d. h. wenn zu jeder stetigen 

Abbildung f : X →R und je zwei Punkten x,y∈X jeder Wert zwischen f(x) und f(y) von f auf X 

angenommen wird. 

Aufgabe 3.11. Anschaulich erklärt man Stetigkeit ja oft so, dass eine Funktion genau dann stetig 

ist, wenn man ihren Graphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. 

Beweise die folgende mathematisch exakte Version dieser Aussage: eine Funktion f : R → R ist 

genau dann stetig, wenn ihr Graph 

wegzusammenhängend ist. 

Γ :={(x, f(x)) : x∈R}⊂R 2

Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen ...

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