Abtastregelung - Theorie und Praxis - Dr. Freitag

Abtastregelung - Theorie und Praxis 

Abtast- 

Regler 

Prozess 

FHD Prof. Dr. Gernot Freitag Seite 1 Regelungstechnik für Energie, Elektronik und Umwelt

• Historie 


- Einführung Einf hrung / Historie 

- In den 50er Jahren erstmals Überlegungen zum Einsatz von 

Digitalrechnern für Regelungszwecke 

- Damalige industrielle Digitalrechner hatten Zimmergröße und 

waren unzuverlässig (Röhrentechnik) 

- Regelungen wurden analog ausgeführt (mechanisch, 

pneumatisch oder auf Basis von analoger Rechentechnik) 

- Größere Verbreitung von digitalen Prozessrechnern mit 

Einführung der Mikroelektronik ab ca. 1970-72 

- Heute: Analoge Regelungstechnik in der industriellen Praxis 

nahezu völlig abgelöst 



- Einführung Einf hrung / Abtastregler 

• Vorteile digitaler Abtastregler (u.a.) 

- Preiswerte Standard-Hardware verfügbar 

(oft z.B. auf PC- oder SPS-Basis) 

- Mehrere Regelkreise pro Prozessrechner 

- Wiederverwendung erprobter Algorithmen 

- Einfache Fehlerdiagnose durch weltweite Fernwartung 

- Komplexeste Algorithmen preiswert implementierbar 

• Identifikation / Adaption 

• Strukturumschaltung 

- Höhere Reglerentwurfsverfahren einsetzbar 

• Moderne Mehrgrößenregelungen 

- Schnelle Entwicklungszyklen durch Einsatz höherer 

Entwicklungswerkzeuge (z.B. MATLAB/Simulink) 


w 


- Typischer Aufbau eines Abtastregelkreis 

_ 

z 

x A 

d Regler 

u Prozess 

y 

D 

Prozessrechner 

T A 

• Prozessrechner ersetzt den analogen Regler 

• Kommunikation mit dem Prozess 

- A/D (analog/digital) Wandlung zur Istwert-Erfassung 

- D/A (digital/analog) Wandlung zur Stellgrößen-Ausgabe 

- Synchrone „Abtastung“ 

D 

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A 

Sensor 

Abb. 2

w 

_ 


- Der Abtastregelkreis im Detail 

z 

Halteglied 

xd Regler 

u Prozess 

y 

• Zeitdiskretisierung 

A/D 

D/A 

• Halteglied sorgt für zeitliche Verzögerungen 

• Amplitudendiskretisierung (Quantisierung, meist vernachlässigt) 

Sensor 

Abb. 3 


ω Soll 


- Beispiel: Drehzahlregelung (analog) 

_ 

• PIDT 1 –Regler 

• IT 1-Strecke 

x d u = M M ω Ist 

PIDT 1 

F 

F 

() s 

() s 

= 

K 

R 

= 

θ s 


IT 1 

1+ 

Tns 

+ TnT 

T s 

1 

1 

n 

( + T s) 

S S1 

v 

s 

( 1+ 

T s) 

1 

2 

Abb. 5


- Beispiel: Drehzahlregelung (analog) 

Abb. 6 



- Beispiel: Diskretisierung des Reglers 

Nach Tustin (bilineare Transformation) gilt der Näherungsansatz: 

F 

() s 

= 

K 

R 

s 

2 

≈ 

T 

1+ 

Tns 

+ TnT 

T s 

n 

A 

z −1 

z + 1 

Nach Einsetzen in die s-Übertragungsfunktion des Reglers 

( 1+ 

T s) 

Erhält man die z-Übertragungsfunktion: 

−1 

−2 

b0 

+ b1z 

+ b2z 

F( 

z) 

= = 

−1 

−2 

1+ 

a z + a z 

a i , b j abhängig von K R, T n, T v, T 1 und T A 

1 


2 

1 

v 

s 

2 

= 

u 

x 

u 

x 

( s) 

() s 

d 

( z) 

( z) 

d


- Beispiel: Diskretisierung des Reglers 

Auflösen der Gleichung nach u(z) liefert: 

( ) ( ) ( ) −1 

( ) −2 

( ) −1 

( ) −2 

z = b x z + b x z z + b x z z − a u z z − a u z z 

u 0 d 

1 d 

2 d 

Rechtsverschiebungssatz der z-Transformation liefert die 

Differenzengleichung des PIDT 1-Abtastreglers 

( k) 

= b x ( k) 

+ b x ( k − ) + b x ( k − 2) 

− a u( 

k −1) 

− a u( 

k − 2) 

u 1 0 d 

1 d 

2 d 

1 

2 

• Linearkombination aktueller und vergangener Ein- und 

Ausgangsgrößen 

• Direkt auf einem Prozessrechner implementierbar 

• Ordnung der Diff.-Gleichung in z gleich der Ordnung der 

s-Übertragungsfunktion 


1 

2


- Beispiel: Drehzahlregelung (T A = 10msec) 

Abb. 7 



- Beispiel: Drehzahlregelung (T A = 100msec) 

Abb. 8 



- Aliasing / Abtastung (f A = 5*f S ) 

Abb. 12 



- Aliasing / Abtastung (f A = 2*f S ) 

Abb. 13 



- Aliasing / Abtastung (f A = f S ) 

Abb. 14 



- Aliasing / Abtastung (f A = 0,8*f S ) 

Abb. 15 



- Aliasing / Shannon‘sches Shannon sches Abtasttheorem 

• Ein Signal s(t) sei bandbeschränkt und besitze eine maximale 

Frequenz f S 

• Durch die Abtastung des Signals geht genau dann keine 

Information verloren, wenn gilt: 

f A >= 2 * f S 

Die Abtastfrequenz muss daher mindestens doppelt so groß sein 

wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz 

• Für f A = 2 * f S (Shannon‘scher Grenzfall) ist bereits die Amplitude 

nicht mehr eindeutig rekonstruierbar 



- Das Anti-Aliasing 

Anti Aliasing-Filter Filter 

• Problem: Messsignal enthält mittel- und hochfrequente 

Signalfrequenzen > 2*fA (z.B. Sensorrauschen) 

• Lösung: Ein Anti-Aliasing-Tiefpassfilter (AAF) 

- Angepasstes analoges Tiefpassfilter mit fF < fA/2 Durchlassbereich 

Sperrbereich 

Abb. 16 

• Kein digitales Filter kann Alias-Frequenzen wieder entfernen !! 



- Wahl der Abtastzeit einer Abtastregelung 

• Orientierung an den dominanten Zeitkonstanten (langsamen 

Polen) oder Totzeit der Regelstrecke 

• Shannon‘sches Abtasttheorem beachten / Anti-Aliasing-Filter 

• Vermeidung zu kleiner Abtastzeiten 

- Numerische Stabilität 

• Faustregel: 5*f S < f A < 50*f S 

• Typische Abtastzeiten 

- Temperaturregelungen: 1 – 10 sec 

- Verfahrenstechnik: 100 – 1000 msec 

- Dynamische Antriebsregelungen: 0,1 – 10 msec 



- Wahl der Abtastzeit einer Abtastregelung

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