Vortrag 1 Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie - Fakultät für ...

Vortrag 1 

Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie 

Seminar Theor. Informatik (WS 2010/11) Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie 1 / 39

Übersicht 

In diesem einführenden Vortrag werden Grundlagen aus der 

Berechenbarkeitstheorie kurz zusammengefasst, die bereits in der 

Vorlesung “Einführung in die Theoretische Informatik” ausführlicher 

behandelt wurden und die Grundlage für die folgenden Vorträge sind. 

1 Der intuitive Algorithmenbegriff und die Grundbegriffe der 

Berechenbarkeitstheorie (Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, 

Aufzählbarkeit) 

2 Formalisierung: Turingmaschinen und die Church-Turing-These 

3 Universelle Maschinen und universelle Funktionen 

4 Approximationen partiell berechenbarer Funktionen und aufzählbarer 

Mengen 

5 Das Rekursionstheorem (Fixpunktsatz) 


Teil 1: 

Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie 

Wir führen kurz die Begriffe der Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit 

und Aufzählbarkeit ein. 

Dann betrachten wir die grundlegenden Beziehungen zwischen diesen 

Konzepten. 


Algorithmen 

Ein Algorithmus oder eine Rechenvorschrift ist ein effektives Verfahren 

zur Transformation von Daten 

Bestimme den grössten gemeinsamen Teiler von x und y! 

oder Berechne die Summe von x und y! 

oder zur Überprüfung von Eigenschaften von Daten 

Ist x eine Primzahl? 

oder zur Generierung (möglicherweise unendlicher) Datenmengen 

Zähle alle Primzahlen auf! 

NB: Der Algorithmenbegriff ist kein formaler mathematischer Begriff. Eine 

mögliche Formalisierung liefert der Begriff der Turingmaschine. 


Daten und Zahlen 

Hierbei sind Daten endliche Darstellungen mathematischer Objekte. 

Im Rahmen des Seminars werden die betrachteten Daten natürliche 

Zahlen (oder endliche Tupel natürlicher Zahlen) sein. 

Genauer: Nicht die Zahlen selbst sondern deren Unär-, oder Binäroder 

Dezimaldarstellung. 

Die Arbeitsweise von Algorithmen hängt nämlich durchaus von der 

gewählten Zahldarstellung ab (Beispiel: Addition). 

Da es aber Algorithmen zur wechselseitigen Überführung der 

Zahldarstellung gibt, spielt für die Frage der im Folgenden 

betrachteten Berechenbarkeit (Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit) die 

gewählte Zahldarstellung keine Rolle. 


Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit 

Ein Berechnungsverfahren für eine Funktion f : N n → N ist ein Algorithmus 

B, der bei Eingabe von ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n den Wert f (⃗x) berechnet und 

ausgibt. 

f : N n → N heisst berechenbar, wenn es ein Berechnungsverfahren für f gibt. 

Ein Entscheidungsverfahren für eine (n-dim.) Menge A ⊆ N n ist ein 

Algorithmus E, der bei Eingabe von ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ N n feststellt, ob ⃗x in 

A liegt (und entsprechend JA oder NEIN ausgibt). 

A ⊆ N n heisst entscheidbar, wenn es eine Entscheidungsverfahren für A gibt. 

Ein Aufzählungsverfahren für eine (n-dim.) Menge A ⊆ N n ist ein 

Algorithmus A, der (ohne Eingabe) die Elemente von A (in beliebiger 

Reihenfolge) ausgibt. 

A ⊆ N n heisst aufzählbar, wenn es ein Aufzählungsverfahren für A gibt. 


Partielle Berechenbarkeit 

Eine partielle (n-st.) Funktion ψ : N n → N ist eine Funktion (nach N), deren 

Definitionsbereich (domain) dom(ψ) eine (nicht notwendigerweise echte) 

Teilmenge von N n ist. 

Ist dom(ψ) = N n , so ist ψ eine totale Funktion. 

Notation: 

◮ ψ, ϕ, etc.: partielle Funktionen; f , g, etc.: totale Funktionen. 

◮ ψ(⃗x) ↓ :⇔ ⃗x ∈ dom(ψ) (ψ(⃗x) definiert) 

ψ(⃗x) ↑ :⇔ ⃗x ∉ dom(ψ) (ψ(⃗x) undefiniert) 

Ein (partielles) Berechnungsverfahren für eine partielle Funktion ψ : N n → N 

ist ein Algorithmus B, der bei Eingabe ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ dom(ψ) den Wert 

ψ(⃗x) berechnet und ausgibt. Für ⃗x ∉ dom(ψ) liefert B keine Ausgabe und 

terminiert möglicherweise nicht (d.h. läuft unendlich lange). 

Eine partielle Funktion ψ : N n → N ist partiell berechenbar, wenn es eine 

partielles Berechnungsverfahren für ψ gibt. 

NB Eine totale Funktion f is genau dann berechenbar, wenn f partiell 

berechenbar ist. 


Beziehungen: Berechenbarkeit vs. Aufzählbarkeit 

Eine partielle Funktion ψ : N n → N ist genau dann partiell berechenbar, 

wenn deren Graph 

aufzählbar ist. 

Graph(ψ) = {(⃗x, y) : ψ(⃗x) = y} 

NB Für totales f , ist der Graph genau dann aufzählbar, wenn er 

entscheidbar ist. 

Für totales f sind also folgende Aussagen äquivalent: 

◮ 

◮ 

◮ 

f berechenbar 

Graph(f ) aufzählbar 

Graph(f ) entscheidbar 


Beziehungen: Entscheidbarkeit vs. Berechenbarkeit und 

Aufzählbarkeit 

Eine Menge A ⊆ N n ist genau dann entscheidbar, wenn deren 

charakteristische Funktion 

{ 

1 falls ⃗x ∈ A 

c A (⃗x) = 

0 sonst 

berechenbar ist. 

Eine Menge A ⊆ N n ist genau dann entscheidbar, wenn die Menge A und 

deren Komplement A = N n \ A aufzählbar sind. 

Insbesondere ist also jede entscheidbare Menge aufzählbar. (Die Umkehrung 

gilt i.a. nicht! Siehe z.B. das in Vortrag 2 behandelte Halteproblem!) 


Beziehungen: Entscheidbarkeit vs. Berechenbarkeit und 

Aufzählbarkeit (Forts.) 

Eine Menge A ⊆ N n ist genau dann entscheidbar, wenn A monoton 

aufzählber ist. 

Eine nichtleere Menge A ⊆ N ist genau dann entscheidbar, wenn A der 

Wertebereich einer (1-st.) schwach monotonen berechenbaren Funktion ist. 

Eine unendliche Menge A ⊆ N ist genau dann entscheidbar, wenn A der 

Wertebereich einer (1-st.) streng monotonen berechenbaren Funktion ist. 


Beziehungen: Aufzählbarkeit vs. Berechenbarkeit 

Für eine Menge A ⊆ N n sind folgende Aussagen äquivalent: 

◮ 

◮ 

◮ 

A is aufzählbar. 

Die partielle charakteristische Funktion χA von A 

{ 

1 falls ⃗x ∈ A 

χ A (⃗x) = 

↑ sonst. 

ist partiell berechenbar. 

A ist der Definitionsbereich einer partiell berechenbaren Funktion. 


Beziehungen: Aufzählbarkeit vs. Berechenbarkeit (Forts.) 

Für 1-dim. Mengen erhalten wir weitere Charakterisierungen der Aufzählbarkeit: 

Für eine Menge A ⊆ N sind folgende Aussagen äquivalent: 

◮ 

◮ 

◮ 

◮ 

◮ 

A is aufzählbar. 

A ist der Wertebereich (range) einer (1-st.) partiell berechenbaren 

Funktion. 

Es gibt eine 1-st. partiell berechenbare Funktion ψ mit 

A = dom(ψ) = range(ψ). 

A = ∅ oder A ist der Wertebereich einer (1-st.) totalen berechenbaren 

Funktion. 

A ist endlich oder A ist der Wertebereich einer (1-st.) totalen 

injektiven berechenbaren Funktion. 


Beziehungen: Aufzählbarkeit vs. Entscheidbarkeit 

PROJEKTIONSLEMMA. Eine Menge A ⊆ N n ist genau dann aufzählbar, wenn A 

die Projektion einer entscheidbaren Menge B ⊆ N n+1 ist: 

⃗x ∈ A ⇔ ∃ y [(⃗x, y) ∈ B] 

(D.h. aufzählbare Mengen sind gerade Suchprobleme mit entscheidbarem 

Lösungsraum.) 


Teil 2: 

Formalisierung des Berechenbarkeitsbegriffes: 

Turingmaschinen und die Church-Turing-These 

Wir rufen das Turingmaschinenmodell kurz in Erinnerung. 

Hiermit wird der Berechenbarkeitsbegriff formalisiert. 

Da sich Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit auf die (partielle) 

Berechenbarkeit zurückführen lassen, erhalten wir so auch Formalisierungen 

dieser Begriffe. 

Die Church-Turing-These besagt, dass die Formaliserungen adäquat sind. 


Schematische Darstellung einer Turingmaschine 


Intuitive Beschreibung der Komponenten einer 

Turingmaschine 

SPEICHER (STRUKTUR, OPERATIONEN) 

• Nach beiden Seiten hin unendliches, in Felder aufgeteiltes Band. 

• Jedes Feld ist mit einem Buchstaben aus dem Bandalphabet Γ 

beschrieben. 

(Leere Felder sind mit dem Blank b (Leerzeichen) beschriftet.) 

• Der Zugriff auf die Daten erfolgt mit einem Lese/Schreibkopf, 

der auf einem Feld (dem Arbeitsfeld) sitzt und dessen Inschrift 

lesen und/oder überschreiben kann. 

Danach kann der Kopf um ein Feld (nach links oder rechts) 

verlegt werden. 

In einem Rechenschritt wird 

(1) die Inschrift des Arbeitsfeldes gelesen 

(2) die Inschrift des Arbeitsfeldes überschrieben 

(eventuell mit der alten Inschrift) 

(3) das Arbeitsfeld (um ein Feld nach links oder rechts) verlegt 

(oder beibehalten) 




EIN- UND AUSGABE 

Ein- und Ausgabe sind Wörter über festgelegtem Eingabe- bzw. 

Ausgabealphabet. (Diese Alphabete sind Teil des Bandalphabets.) 

EINGABE 

• Die Eingabe wird rechts des Arbeitsfeldes auf das ansonsten 

leere Band geschrieben. 

(Dabei werden mehrere Eingaben durch Blanks getrennt.) 

Da die Turingmaschine auf Wörtern operiert, müssen Zahleingaben 

durch ihre Darstellungen ersetzt werden. Wir benutzen hierbei für 

die Zahl n die Unärdarstellung n = 1 n . 




AUSGABE 

• Die Ausgabe wird dem Band rechts des Arbeitsfeldes entnommen. 

Genauer: Die Ausgabe ist das längste Wort über dem Ausgabealphabet, 

das direkt rechts des Arbeitsfeldes steht. 




STEUERUNG (PROGRAMM) 

• Die Maschine befindet sich zu jedem Zeitpunkt in einem von 

endlich vielen möglichen (Programm-)Zuständen. 

Zu Beginn der Rechnung ist die Maschine in einem 

ausgezeichneten Startzustand. 

• Die Rechenschritte der Maschine werden durch eine endliche Folge 

von Instruktionen, dem Programm, festgelegt. 

• Eine Instruktion ist dabei eine bedingte Anweisung der folgenden Form: 

Falls die Maschine im Zustand z ist und der Buchstabe a auf dem 

Arbeitsfeld steht, so überdrucke das Arbeitsfeld mit dem Buchstaben 

a ′ , bewege den LS-Kopf nach links (oder rechts oder lasse ihn stehen) 

und gehe in den neuen Zustand z ′ . 

• Zu jeder Bedingung (Paar aus Zustand und Inschrift des Arbeitsfeldes) 

gibt es höchstens eine zutreffende Instruktion (→ Determinismus). 

Das Programm lässt sich daher auch als eine partielle Funktion 

δ : Z × Γ → Γ × Bew × Z 

darstellen. 

Seminar • Theor. Lässt Informatik sich keine (WS 2010/11) Instruktion Grundbegriffe anwenden, der Berechenbarkeitstheorie ist die Rechnung beendet. 

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Formale Spezifikation einer Turingmaschine 

FORMALE SPEZIFIKATION EINER TURINGMASCHINE M = (Γ, Z, z 0 , δ) 

zur Berechnung einer (partiellen) Funktion ψ : N m → N: 

(Ein- und Ausgabealphabet sind {1}, da wir ja eine Zahl n durch n = 1 n 

darstellen.) 

Γ ist ein (endliches) Alphabet, das zumindest die Zeichen 1 und b (Blank, 

Leerzeichen) enthält, genannt das Bandalphabet von M. 

Z ist eine endliche Menge, genannt die Zustandsmenge von M, 

z 0 ist ein Element aus Z, genannt der Startzustand, 

δ ist eine partielle Funktion δ : Z × Γ → Γ × Bew × Z, genannt das 

Programm oder die Übergangsfunktion, wobei Bew = {L, S, R} die Menge 

der Bewegungen ist. 


Arbeitsweise einer Turingmaschine 

Die Turingmaschine M = (Γ, Z, z 0 , δ) zur Berechnung einer (partiellen) Funktion 

ψ : N m → N arbeitet in Schritten, wobei die aktuelle Gestalt der Maschine in 

jedem Schritt durch eine Konfiguration beschrieben ist. 

Hierbei besteht jede Konfiguration aus dem aktuellen Zustand und dem aktuellen 

Speicher (= Bandinschrift + Position des Arbeitsfeldes): 

Startkonfiguration ist bei Eingabe ⃗x = (x 0 , . . . , x m ) das Paar 

(z 0 , . . . b b 1 x0 b . . . 1 xm b b . . . ) 

Die Nachfolgekonfiguration einer Konfiguration wird durch das Programm δ 

bestimmt (wie zuvor intuitiv beschrieben; wir verzichten auf die formale 

Definition). 

Gibt es zu einer Konfiguration keine Nachfolgekonfiguration, so stoppt (hält, 

terminiert) die Maschine M und die Ausgabe der zuletzt erreichten 

Konfiguration ist der Wert ψ(⃗x) der von M berechneten Funktion. (Wird 

keine Stoppkonfiguartion erreicht, so terminiert M nicht und ψ(⃗x) ist 

undefiniert.) 

Die von M berechnete (partielle) m-st. Funktion wird mit ϕ (m) 

M 

bezeichnet. 


Turingberechenbarkeit 

Eine (partielle) n-st. Funktion ψ : N n → N heisst (partiell) 

Turing-berechenbar oder (partiell) rekursiv, wenn es eine Turingmaschine M 

gibt, die ψ berechnet, d.h. für die ψ = ϕ (m) 

M 

gilt. 

Eine Menge A ⊆ N n heisst Turing-entscheidbar oder rekursiv, wenn die 

charakteristische Funktion von A Turing-berechenbar ist. 

Eine Menge A ⊆ N n heisst Turing-aufzählbar oder rekursiv aufzählbar (r.a.), 

wenn A der Definitionsbereich einer n-st. partiell Turing-berechenbaren 

Funktion ist. 


Die Church-Turing These 

Die Church-Turing-These besagt, dass eine Funktion genau dann im intuitiven 

Sinne (partiell) berechenbar ist, wenn sie (im formalen, mathematischen Sinne) 

(partiell) Turing-berechenbar ist: 

CHURCH-TURING-THESE. ψ ist genau dann (partiell) berechenbar, wenn ψ 

(partiell) Turing-berechenbar ist. 

FOLGERUNG. A ist genau dann entscheidbar (aufzählbar), wenn A 

Turing-entscheidbar (Turing-aufzählbar) ist. 

Im Folgenden werden wir die Church-Turing-These annehmen! 


Teil 3: 

Universelle Maschinen und Funktionen 

Wir normieren zunächst Turingmaschinen zur Berechnung 

zahlentheoretischer Funktionen und ordnen jeder derart normierten Maschine 

eine Gödelnummer (Code) zu. 

Eine universelle Turingmaschine simuliert dann alle normierten Maschinen. 

Die von ihr berechnete partielle Funktion ist universell für die Klasse der 

partiell berechenbaren Funktionen (gegebener Stelligkeit). 


Normierung von Turingmaschinen 

Zwei Turingmaschinen M und M ′ zur Berechnung zahlentheoretischer 

Funktionen heißen äquivalent, falls sie für jede Stelligkeit m ≥ 1 dieselbe 

partielle Funktion berechnen, d.h. falls ϕ (m) 

M 

= ϕ(m) M 

für alle m ≥ 1 gilt. 

′ 

Zu einer gegebenen Turingmaschine M = (Γ, Z, z 0 , δ) kann mann leicht und 

effektiv eine äquivalente Maschine M ′ = (Γ ′ , Z ′ , z ′ 0 , δ′ ) konstruieren mit 

◮ Γ ′ = {0, 1, 2}, wobei 2 das Leerzeichen b ist. 

◮ Z ′ = {0, . . . , k} für geeignetes k ≥ 0 

◮ z 

′ 

0 = 0 

Weiter ist kein Zustand z ′ von M ′ überflüssig (d.h. zu z ′ gibt es a, a ′ , z ′′ , B 

mit δ ′ (z ′ , a) = (a ′ , B, z ′′ ) oder δ ′ (z ′′ , a) = (a ′ , B, z ′ )). 

Eine Turingmaschine diesen Typs heisst normiert. 

Es genügt daher normierte Turingmaschinen zu betrachten. 

Im Folgenden gehen wir stillschweigend davon aus, dass alle 

Turingmaschinen normiert sind. 


Gödelnummern (normierter) Turingmaschinen 

Eine normierte Turingmaschine M ist durch ihre Programmfunktion 

bestimmt. 

δ : {0, . . . , k} × {0, 1, 2} → {0, 1, 2} × Bew × {0, . . . , k} 

Ersetzt man die Bewegungen R, L, S durch die Zahlen 0, 1, 2, so kann man 

jede Programmzeile durch ein Zahltupel 

(z, a, a ′ , b, z ′ ) ∈ {0, . . . , k} × {0, 1, 2} × {0, 1, 2} × {0, 1, 2} × {0, . . . , k} 

oder durch das entsprechende Binärwort 1 z+1 01 a+1 01 a′ +1 01 b+1 01 z′ +1 

darstellen. 

Die Programmfunktion insgesamt lässt sich dann durch die Binärzahl 

ˆδ := 1 0 0 ˆδ 0 0 0 ˆδ 1 0 0 . . . ˆδ p 

beschreiben, wobei die Binärwörter ˆδ 0 , . . . , ˆδ p die Programmzeilen von δ 

w.o. kodieren. 

ˆδ heisst Gödelnummer von M. 


Gödelnummern von Turingmaschinen und Indizes partiell 

rekursiver Funktionen 

Wir bezeichnen die (normierte) Turingmaschine mit Gödelnummer e mit M e 

(oder P e ) und wir bezeichnen die von M e berechnete partielle m-st. 

Funktion ϕ (m) 

M e 

kurz mit ϕ (m) 

e . (Weiter schreiben wir statt ϕ (1) 

e kurz ϕ e .) 

Man beachte, dass man zu einer normierter Turingmaschine M die 

Gödelnummer e effektiv berechnen kann. Umgekehrt kann man für eine 

gegebene Zahl e entscheiden, ob diese Gödelnummer einer Turingmaschine 

ist und gegebenenfalls die zugehörige Turingmaschine M e effektiv angeben. 

Ist e keine Gödelnummer so identifizieren wir M e mit einer festen 

Turingmaschine M, die bei keiner Eingabe terminiert. 

Es ist also {M e } e≥0 eine Aufzählung aller (normierten) Turingmaschinen und 

{ϕ (m) 

e } e≥0 eine Aufzählung aller m-stelligen partiell rekursive Funktionen. 

(Hierbei ist ϕ (m) 

e 

ist.) 

die nirgends definierte Funktion, falls e keine Gödelnummer 


Universelle Turingmaschinen und universelle partiell 

rekursive Funktionen 

SATZ ÜBER DIE EXISTENZ UNIVERSELLER TURINGMASCHINEN. Es gibt 

eine Turingmaschine U die sich bei Eingabe (e,⃗x) wie die e-te Turingmaschine 

M e bei Eingabe ⃗x verhält, d.h. 

(für alle m ≥ 0, e ≥ 0,⃗x ∈ N m ). 

ϕ (m+1) 

U 

(e,⃗x) = ϕ (m) 

M e 

(⃗x) = ϕ (m) 

e (⃗x) 

KOROLLAR (SATZ ÜBER DIE EXISTENZ UNIVERSELLER PART. REK. 

FUNKTIONEN oder AUFZÄHLUNGSSATZ FÜR DIE PARTIELL REKURSIVEN 

FUNKTIONEN) Für jedes m ≥ 1 gibt es eine (m + 1)-st. partiell rekursive 

Funktion ϕ (m) , deren Zweige gerade die m-st. partiell rekursiven Funktionen sind. 

Nämlich 

ϕ (m) (e,⃗x) = ϕ e (⃗x) (für alle (e,⃗x) ∈ N m+1 ) 

ist partiell rekursiv. 


Universelle Turingmaschinen und universelle partiell 

rekursive Funktionen: Beweis 

BEWEISIDEE. Verwendet man die Church-Turing These, so beweist man 

zunächst das Korollar indem man beobachtet, dass die Funktion 

ϕ (m) (e,⃗x) := ϕ e (⃗x) partiell berechenbar also auch part. rek. ist, und schliesst 

hieraus (mit C-T-These) auf die Existenz einer Turingmaschine U, die ϕ (m) 

berechnet. 

Ohne Church-Turing These konstruiert man die Maschine U direkt, wobei U bei 

Eingabe (e,⃗x) zunächst aus e die Binärdarstellung von e konstruiert und mit 

deren Hilfe M e auf Eingabe ⃗x Schritt-für-Schritt simuliert (s. Vorlesung 

Theoretische Informatik). 


Uniforme Rekursivität 

Eine Folge {ψ e } e≥0 von partiell rekursive Funktionen (fester Stelligkeit) heisst 

uniform rekursiv, wenn die Funktion ψ, deren Zweige die Funktionen ψ e sind (d.h. 

die Funktion ψ(e,⃗x) = ψ e (⃗x)) partiell rekursiv ist. 

Entsprechend heisst eine Menge Ψ von partiell partiell rekursiven Funktionen 

(fester Stelligkeit) uniform rekursiv, falls es eine partiell rekursive Funktion ψ mit 

Ψ = {ψ e : e ≥ 0} gibt. 

Der Satz über die Existenz universeller partiell rekursiver Funktionen besagt 

gerade, dass für jedes m ≥ 1 die Klasse aller m-st. part. rek. Funktionen uniform 

rekursiv ist. 

Auf der anderen Seite kann man durch ein einfaches Diagonalargument zeigen, 

dass die Klasse aller m-st. total rekursiven Funktionen nicht uniform rekursiv ist. 


Teil 4: 

Approximationen partiell berechenbarer Funktionen 


Approximationen partiell rekursiven Funktionen 

Da Turingmaschinen effektiv und in Schritten arbeiten, kann man effektiv 

feststellen, ob eine Turingmaschine M bei Eingabe ⃗x innerhalb einer vorgegebenen 

Schrittzahl s stoppt und gegebenfalls den Wert von ϕ M (x) effektiv bestimmen. 

Wir benutzen folgende Notation (⃗x = (x 0 , . . . , x m−1 )) 

Es gilt: 

ϕ e,s (⃗x) = y :⇔ x 0 , . . . , x m−1 , y, e < s & M e stoppt bei Eingabe 

⃗x in ≤ s Schritten und ϕ e (⃗x) = y 

lim s→∞ ϕ e,s (⃗x) = ϕ e (⃗x) 

Das heisst, dass ϕ e,s (⃗x) = ϕ e (⃗x) für alle hinreichend grossen s gilt. 

Weiter gilt: ϕ e,s (⃗x) = y ⇒ ∀ s ′ ≥ s [ϕ e (⃗x) = ϕ e,s ′(⃗x) = y] 

Die Relationen {(e,⃗x, s) : ϕ e,s (⃗x) ↓} und {(e,⃗x, y, s) : ϕ e,s (⃗x) = y} sind 

entscheidbar. (Die Relationen {(e,⃗x) : ϕ e (⃗x) ↓} und {(e,⃗x, y) : ϕ e (⃗x) = y} 

sind dagegen nur aufzählbar aber nicht entscheidbar; s. Vortrag 2.) 


Teil 5: 

Das Rekursionstheorem (Fixpunktsatz) 


Gödelnummerierungen der partiell rekursiven Funktionen 

DEFINITION. Eine Gödelnummerierung oder Standardaufzählung der m-st. 

partiell rekursiven Funktionen ist eine universelle Funktion ψ für diese Klasse (d.h. 

eine (m + 1)-st. partiell rekursive Funktion ψ, deren Zweige gerade die m-st. 

partiell Funktionen sind) mit folgender Eigenschaft: 

Zu jeder (m + 1)-st. partiell rekursiven Funktion ˆψ gibt es eine total rekursive 

Funktion h : N → N mit ˆψ e = ψ h(e) für alle e (h heisst Übersetzungsfunktion von 

ˆψ nach ψ). 

SATZ. ϕ (m) ist eine Gödelnummerierung der m-st. partiell rekursiven Funktionen. 

BEWEISIDEE. Aus einer Turingmaschine M zur Berechnung von ˆψ kann man 

effektiv Turingmaschinen M ′ e angeben, die ˆψ e berechnen. (Nämlich M ′ e schreibt 

zunächst 1 e vor die gegebenen Eingaben und simuliert dann M.) Die Funktion h 

zur Berechnung des Index von M ′ e ist daher berechenbar und damit nach 

C-T-These rekursiv. Nach Definition gilt aber ˆψ e = ϕ M ′ e 

= ϕ Mh(e) = ϕ h(e) . 


Gödelnummerierungen der partiell rekursiven Funktionen 

Gödelnummerierungen haben interessante Eigenschaften, die nicht alle 

universellen Funktionen haben. Z.B. gilt für alle Gödelnummerierungen: 

Jede partiell rekursive Funktion besitzt unendlich viele Indizes. 

Es gelten das s-m-n-Theorem und das Rekursionstheorem (Fixpunktsatz) 

Ersteres gilt offensichtlich für die aus der Gödelisierung von Turing-Maschinen 

erhaltenen Gödelnummerierung ϕ, da man zu der Programmfunktion einer 

(normierten) Turingmaschine M beliebig Programmzeilen hinzufügen kann, die 

nie ausgeführt werden, und so unendlich viele zu M äquivalente Turingmaschinen 

erhält. 

Das s-m-n-Theorem und Rekursionstheorem (Fixpunktsatz) formulieren wir auf 

den nächsten Folien für die Gödelnummerierung ϕ und skizzieren die Beweise. 


s-m-n-Theorem 

SATZ (s-m-n-Theorem). Für alle m, n ≥ 1 gibt es eine rekursive Funktion S m n 

mit 

(∗) ϕ (n) 

S m n (e,y1,...,ym)(x 1, . . . , x n ) = ϕ (m+n) 

e (y 1 , . . . , y m , x 1 , . . . , x n ). 

BEWEISIDEE. Ein Berechnungsverfahren für S m n 

sieht wie folgt aus: 

Eingabe: e, y 1 , . . . , y m 

Rekonstruiere zunächst aus e die Maschine M e . 

Definiere hieraus eine Maschine M ′ , die zunächst links des Arbeitsfeldes die 

Unärdarstellungen von y 1 , . . . , y m schreibt (also eine Eingabe (x 1 , . . . , x n ) zu 

(y 1 , . . . , y m , x 1 , . . . , x n ) erweitert) und dann wie M e arbeitet. 

Es gilt also: ϕ M ′(x 1 , . . . , x n ) = ϕ (m) 

e (y 1 , . . . , y m , x 1 , . . . , x n ). 

Berechne die Gödelnummer gn(M ′ ) von M ′ und setze 

S m n (e, y 1 , . . . , y m ) := gn(M ′ ). 

Offensichtlich ist S m n 

berechenbar - also nach C-T-These rekursiv - und erfüllt (∗). 


Rekursionstheorem (Fixpunktsatz) 

SATZ (Fixpunktsatz, Rekursionstheorem). Zu jeder rekursiven Funktion 

f : N → N gibt es einen Index k mit ϕ f (k) = ϕ k . 

BEWEISIDEE: nächste Folie 

Wegen der Uniformität des Beweise erhält man folgende allgemeinere 

parametrisierte Version des Fixpunktsatzes: 

SATZ (Fixpunktsatz mit Parametern). Zu jeder rekursiven Funktion 

f : N n+1 → N gibt es eine rekursive Funktion k : N n → N mit 

ϕ f (k(⃗x),⃗x) = ϕ k(⃗x) . 


Rekursionstheorem: Beweisidee 

Wir zeigen zunächst, dass es eine rekursive Funktion h : N → N gibt mit 

(∗) ϕ h(x) = ϕ ϕx (x) 

(wobei für x mit ϕ x (x) ↑ die Funktion ϕ ϕx (x) die nirgends definierte Funktion sei). 

Die Funktion ψ(x, y) = ϕ ϕx (x)(y) ist partiell berechenbar. Nämlich, bei 

Eingabe (x, y) berechne zunächst ϕ x (x) und dann - falls ϕ x (x) ↓ - ϕ z (y) 

wobei z = ϕ x (x). 

Nach der C-T-These ist ψ also partiell rekursiv und es gibt einen Index e mit 

ψ = ϕ (2) 

e . 

Nach dem s-m-n-Theorem gilt daher für die rekursive Funktion S 1 1 

ϕ S 1 

1 (e,x)(y) = ϕ (2) 

e (x, y) = ψ(x, y) = ϕ ϕx (x)(y) 

Die durch h(x) := S1 1 (e, x) definierte rekursive Funktion h erfüllt daher die 

Bedingung (∗). 


Rekursionstheorem: Beweisidee (Fortsetzung) 

Sei h im Folgenden eine rekursive Funktion mit 

(∗) ϕ h(x) = ϕ ϕx (x) 

Wegen der Rekursivität von f ist dann auch f ◦ h rekursiv, und es gibt einen 

Index e ′ mit f ◦ h = ϕ e ′, d.h. f (h(x)) = (f ◦ h)(x) = ϕ e ′(x). 

Insbesondere gilt also (für x = e ′ ) f (h(e ′ )) = ϕ e ′(e ′ ) und daher 

(∗∗) ϕ f (h(e ′ )) = ϕ ϕe ′ (e ′ ) 

Es folgt 

ϕ f (h(e′ )) = ϕ ϕe ′ (e ′ ) (wegen (∗∗)) 

= ϕ h(e ′ ) (wegen (∗)) 

Für k := h(e ′ ) gilt also ϕ f (k) = ϕ f (h(e ′ )) = ϕ h(e ′ ) = ϕ k . 

D.h. k ist der gesuchte Fixpunkt.

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