Dynamik

Fakultät für Technik / Bereich Informationstechnik 

2.4 Dynamik (Dynamics) 

Def.: In der Dynamik wird die Kraft als Ursache der Bewegung betrachtet, 

hier wird die Statik (§2.2) mit der Kinematik (§2.3) zusammengeführt. 

Inhalt: Bewegungsgleichungen, Energiesatz, Arbeit, Leistung, Impuls, .... 

Translation 

Rotation 

Modellkörper Massepunkt Starrer Körper 

Grundgesetz F = m a M = J 

Vorlesungsbeispiel Wagen mit Gewicht Motor 

Ziel: Bewegungsgleichung aufstellen ! 

2.4.1 Translation 

2.4.1.1 Newtonsche Gesetze 

(Newton's Three Laws of Motion) 

1. Trägheitsgesetz 

Ein Körper bleibt in Ruhe (Statik) oder er bewegt 

sich gleichförmig (Kinnematik, a = const.), wenn 

keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken oder 

diese in Summe Null sind. 

Beispiele: 

- Gegenstand liegt auf Tisch - aber : Erde dreht sich um sich selbst und um Sonne 

- Auto prallt auf Baum: Nicht angeschnallte Insassen „fliegen“ unbeschleunigt weiter, 

das Auto wird beschleunigt, d.h. es wirken Kräfte auf das Auto (Deformation). 

Wirken Kräfte auf einen Körper, so ändert er seinen Bewegungszustand: 

Kraft und Masse aus Statik werden mit der Beschleunigung aus Kinematik im 

2. Grundgesetz der Mechanik zusammengeführt. 

Blankenbach / HS Pf / Physik Dynamik / WS 2012 1


2. Grundgesetz der Mechanik 

Vereinfachte Formulierung: 

Um einen Körper zu beschleunigen, ist eine Kraft notwendig, die 

gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung ist 

Speziell 

allgemein 

m = const. (Newton) 

m const., p: Impuls 

 

F 

 

F ma 

 

dmv 

dt 

 

 

p 

 

(MD - 1) 

Allgemeine Formulierung 

 

dmv 

dt 

 

 

mv mv 

 

 

mv 

 

ma 

mit m = Massenänderung pro Zeiteinheit (Massenstrom) 

Vgl: Strom in der ET: Ladung pro Zeiteinheit 

I = Q / t 

Sonderfälle: 

- m = m(t) : Rakete 

- m = m(v) : relativistische Massenzunahme (Einstein) 

Versuch: Wagen mit Fallgewicht an Umlenkrolle: Gewichtskraft beschleunigt Wagen 



3. Kraft erzeugt Gegenkraft 

aus der Statik: Summe aller Kräfte ist Null Fi = 0 ; Beispiel: Gewicht auf Unterlage 

Erweiterung auf Dynamik: 

Bsp: - Fahrt im Auto/Zug mit konstanter Geschwindigkeit 

bei Fahrt in Kurve bemerkt man Kräfte. 

= Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen : sogenannte Trägheitskräfte 

- Ruckartiges Anfahren oder Bremsen im Auto bzw. Zug: Flasche fällt um. 

- Aufzug: aufwärts fühlt man sich schwerer, abwärts leichter, 

aber eine Person im Aufzug „sieht“ die Bewegung nicht! 

Def.: Die Summe aller Kräfte ist auch bei einem bewegten Körper Null 

Dynamisches Gleichgewicht 

auch d’Alembertsches Prinzip 

(D'Alembert's Principle) 

Fi = 0 

(MD - 2) 

Versuche: 

- Ball auf Wagen und diesen beschleunigen: Ball fällt runter wegen Trägheit 

- Ball mit Hand unterstützen: Gewichtskraft wird durch Hand kompensiert. 

Hand wegnehmen - Ball fällt. Wo bleibt das Pendant zur 'Handkraft' ? 

- Gewicht an Federwage 

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach oben gezogen, 

nimmt das angezeigte Gewicht zu 

* wird aus der Ruhe die Federwaage schnell nach unten bewegt, 

nimmt das angezeigte Gewicht ab 

Deutung offenbar nur mit einer 'dynamisch' wirkenden 'trägen' Masse möglich ! 



Trägheitskraft und Formulierung des d'Alembertschen Prinzips 

 

aus F i 

0 

(d´Alembert) 

F b : beschleunigende Kraft, statisch, z.B. Gewichtskraft 

F t : Trägheitskraft 

mit: m : Gesamtmasse des Systems 

a : Beschleunigung des Systems 

F 

b 

F 

 

t 

0 

F t = m a 

(MD - 3) 

Trägkeitskraft 

- Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen (vgl. Zentrifugalkraft) 

- wirkt der Beschleunigenden Kraft entgegen 

Äquivalenzprinzip: (zum Weiterlesen) 

Ist die träge Masse gleich der schweren Masse ? 

- träge Masse : Dynamik - Trägheitskraft 

- schwere Masse : Statik - Gewicht in Ruhe 

Die Äquivalenz ist im Rahmen höchster Meßgenauigkeiten als erfüllt nachgewiesen. 

Aufgabe der Dynamik: 

Bewegungsgleichung aus Kraftansatz bzw. Energiesatz aufstellen und lösen. 

Mit Dynamik kann die Beschleunigung unter Einfluss von äußeren Kräften auf einen Körper 

berechnet werden. Dies ist in der Kinematik nicht möglich! 



Beispiele zum D'Alembertschen Prinzip (Übung) 

Freier Fall 

Kraftansatz 

Energieansatz (Vorgriff) 

F = m a t 

F G 

m (Massepunkt) 

0 

x 

Start 

1) d’Alembert: F = 0 

F b - F t = 0 

2) Kräfte bestimmen 

F b = m g = Fg 

F t = m a (immer, '-' im Ansatz) 

3) einsetzen 

m g - m a = 0 

a = g = x 

Eges = const 

Epot = Ekin 

m g x = ½ m v² 

 

x 

v 

2gx 

x(t);v(t) schwierig 

gleichmäßig beschl. Bewegung 

x = v = g t, x = ½ g t² 

 

x 

v 

2gx 

Der Kraftansatz berechnet aber das d'Alembertsche Prinzip die Beschleunigung des Systems! 

Energieansatz erscheint „leichter“, ist aber deutlich aufwendiger aufwändiger, 

wenn s(t) und v(t) gesucht sind! 

Der Kraftansatz liefert sowohl die Zeitabhängigkeiten als auch den Weg-Geschwindigkeits- 

Zusammenhang. 

Wenn Kraft- oder Energieansatz nicht „funktioniert“, den anderen Ansatz verwenden! 

Typisch für Kraftansatz: Zeit t gesucht oder zeitabhängige Größen s(t), v(t), a(t). 

Typisch für Energieansatz: Höhe h und Geschwindigkeit v(h) gegeben bzw. gesucht. 



Beschleunigung von Wagen und Gewicht über Seilrolle (Übung) 

„Kochrezepet“ für Kraftansatz nach 

d’Alembert: F = 0 

1) Fb - Ft = 0 

t = 0 0 

F t 

F b 

m W 

F G 

x 

2) Kräfte bestimmen 

Fb = m G g 

Ft = (mw + m G ) a 

m G 

mw + m G = Gesamtmasse des Systems 

3) einsetzen 

m G g - (mw + m G )a = 0 

mG 

a g const. 

m m 

W 

G 

JAVA Applett: 2. Gesetz von Newton 

(Fahrbahnversuch) 

Weitere Berechnungen dann wie Kinematik gleichmäßig beschleunigte Translation (a = const.): 

v = a t ; s = ½ a t² 

Stimmt das Rechenergebnis für die Beschleunigung a? 

Schnelle Prüfung von bei der Berechnung von Formeln: 

a) Stimmt die Einheit des Ergebnisses? 

b) Ergeben die Extremfälle aus Gedankenexperimenten Sinnvolles und Schlüssiges ? 

angewandt auf obiges Beispiel: 

a) Einheit : [a]= m/s² 

b) Extremfälle - mw 0 : a g 

- mw >> m G : a 0 

- m G = 0 : a = 0 



2.4.1.2 Arbeit (Work) 

Die Kraftwirkung wird erst durch Bewegung des Körpers sichtbar, 

die Wirkung wird mit dem Begriff Arbeit erfasst: 

'umgangssprachlich': 

Arbeit = Kraft x Weg 

Bsp: - Gewicht in Hand und laufen – es wird keine Arbeit verrichtet, da Gewicht nur gehalten wird 

(Kraft Weg) 

- Maßkrug-Haltewettbewerb: hier ist der Weg = 0; vergl. Übungsaufgabe Vektoren. 

Kraft F Arbeit [W] = Nm = J 

 

- konstant W F s 

- wegabhängig 

W 

 

s 

1 

 

 

s 

o 

 

(MD - 4) 

F(s) ds 

Die Wegabhängigkeit kann auch durch Summen mit konstanter Kraft ausgedrückt werden: 

Bsp: Leiterwagen in der Ebene mit verschiedenen Reibungswerten wie Eis, Kies, Sand 

Arbeit ist ein Skalar, da vektorielles Skalarprodukt 

Die Arbeit bei konstanter Kraft ist ein Spezialfall der wegabhängigen Arbeit: 

F = const. : 

s 

 

F 

 

s 

1 

 

o 

 

ds 

 

F s 

SI-fremd : „kWh“ = 3,6 MJ (Energiewirtschaft) ; „eV“ = 1,6 10 -19 J (Atomphysik) 

Arten Beispiele (Vereinfachung: 1D) 

Hubarbeit 

Beschleunigungsarbeit 

Reibungsarbeit 

Verformungsarbeit 

Gewichtheben, 

Flaschenzug: Kraft kleiner - Weg größer : Arbeit = const. 

Anfahren Auto 

Luftwiderstand, Quader auf schiefer Ebene 

Feder spannen (Hookesches Gesetz) 



Hubarbeit im Schwerefeld der Erde 

Annahme: g = const 

W hub 

W ~ h 

F = const, Weg klein 

W hub 

= F ds 

hub 

mit F = m g und s = h erhält man 

 

h 

Hubarbeit W hub 

= m g h (MD - 5) 

Versuche: 

- Wagen mit Seil und Fallgewicht über Umlenkrolle 

- Gewicht senkrecht hochheben mit Federwaage: Kraft x Weg = Arbeit 

- dasselbe auf Schiefer Ebene: Kraft kleiner, Weg länger Arbeit = const. 

- Flaschenzug: durch Umlenkrollen wird die aufzubringende Kraft kleiner aber der (Zug-) Weg 

dafür entsprechend länger Arbeit gleich groß wie beim Hochheben ohne Seilzug. 

Benefit: Flaschenzug wirkt als 'Getriebe' für Muskeln, sodass auch schwere Gegenstände 

hochgehoben werden können 

JAVA Applet: Flaschenzug 



Beschleunigungsarbeit 

Wenn sich v ändert ist Beschleunigungsarbeit notwendig, sonst W = 0 da a = 0 und v = 0 

Fall: a = const 

Fall: a const 

F beschl 

= m a = const 

W beschl 

= m a s 

gleichmäßig beschleunigte Translation: 

W beschl 

= F ds = m ads 

m 

 

dv 

dt 

ds 

v 2a s 

nach a auflösen und einsetzen 

W beschl 

= m s v²/2s 

 

m 

 

ds 

dv m 

dt 

V 

2 

 

V 

1 

v dv 

1 2 2 

W beschl 

= ½ m v² W beschl 

= mv 2 

v 

2 

1 

(MD - 6) 

Achtung: gilt nur, wenn 

Anfangsgeschwindigkeit = 0 

Immer verwenden, wenn 

Anfangsgeschwindigkeit 0 

Bsp: 

m = 2 kg 

v 5m s 

v 

1 

2 

6m s 

 

v 1m 

s 

W beschl 

W ~ v 2 

beschl 

1 

2 

m36 

25 11J 

W beschl 

so nicht: v = 1m/s 

1 m1 

2 1 J 

2 

! 

v 

Bei nichtlinearen, hier quadratischen Gesetzen immer Differenz der Potenzen bilden, nicht die 

beiden Zahlen subtrahieren und dann potenzieren ! 

Nur bei linearen Gesetzen (z.B. Hubarbeit) kann einfach die „Differenz“ gebildet werden. 



Spannarbeit (Verformungsarbeit) 

z.B. bei Feder (Bsp. Federwaage) 

s1 

 

Aus W F(s) 

ds 

 

 

s 

o 

W s 

W ~ x 2 

s 

mit s = x 

F = F(x) = F F 

= - D x (Hookes Gesetz) 

D : Federkonstante, [D] = N/m 

x 

x2 

1 x1 

2 2 

→ W D x dx 

D x² 

x 

x 

s 

 

x 

1 

2 

x 

2 

2 

1 

Spannarbeit 

x 

x 

 

 

2 

1 2 2 

Ws 

F 

dx 

D x2 

x1 

(MD - 7) 

2 

1 

wobei x 1/2 : Auslenkung aus unbeeinflusster Länge 

x = x 2 - x 1 : aktuell gedehnter Weg 

+ aus Sicht von außen 

- aus Sicht der Feder 

- x 1 = 0 bei Auslenkung aus Ruhelage ; vgl. Beschleunigungsarbeit 

Beispiel : Kraft ist wegabhängig x; Spannarbeit 

1. Bsp: ungespannte Feder um 1mm dehnen W s 

= ½ D x² = ½ D 

2. Bsp: vorgespannte (1mm) Feder um 1mm dehnen 

2 

W s 

= D x dx D x² 

 

1 

1 

2 

nicht additiv wie bei Hubarbeit !! 

2 

1 

 

1 

D(4 

2 

1) 

 

3 

2 

D 

Energiespeicher gespannte Feder: Mine aus geöffnetem Kugelschreiber springen lassen 




Versuch : Würfel fallen lassen - dasselbe schiefer Ebene: v geringer, da Reibung 

Reibung Fr Beispiel 

Festkörper µ F N 

Gleitreibung, F N 

: Auflagekraft, schiefe Ebene 

Flüssigkeit v Strömungswiderstand (laminar) 

Gas v² Luftwiderstand (turbulent) 

Verformung deform. Medien Feder spannen 

(MD - 8) 


bei wegunabhängiger Reibungskraft 

W r 

= F r 

s 

(MD - 9) 

Reibungsarbeit wird praktisch immer in Wärme umgewandelt. 

Bsp.: - 'glühende' Bremsscheiben bei Formel 1 oder DTM 

- Schutzschild Raumfähren 

- Mikrowellenherd (Mikrowellen versetzen „Speisemoleküle“ in Schwingungen) 

d’Alembertsches Prinzip mit Reibungskraft F b 

- F r 

- F t 

= 0 (MD - 10) 

Reibung wirkt der beschleunigenden Kraft entgegen ; siehe Bsp. Freier Fall mit Reibung 

Reibungsphänomene komplex: 

- Luftwiderstand Auto im Windkanal optimieren 

- Luftwiderstand Golfball 

Beispiele siehe Differentialgleichungen (Mathe 2). 



Beispiel Auto: 

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h : Motor- , Getriebereibung, Luftwiderstand, ... 

- Verbrauch 5 l bei konstant 90 km/h - 7 l bei konstant 120 km/h : 

Differenz höhere Luftreibung 

Höchstgeschwindigkeit hängt vom Luftwiderstand ab 

- Typischer Luftwiderstand beim Auto (Richtwerte): 

Geschwindigskeitsbereich 

Reibung 

< 50 km/h vernachlässigbar 

50 - 100 km/h 'naja', typ. ~ v 

> 100 km/h typ. ~ v² 

2.4.1.3 Energie (Energy) 

Def: An einem Körper verrichtete Arbeit vergrößert dessen Energie, die wiederum in Arbeit 

umgewandelt werden kann. 

Energiesatz 

[E] = J 

E ges = const. 

E ges (T o ) = E ges (T 1 ) 

(MD - 11) 

Ausnahme: Wärme kann nicht direkt in andere Energien umgewandelt werden: Stein kühlt sich von 

alleine ab und springt hoch! 

Einheit wie Arbeit 

Energie kann nicht verbraucht sondern nur von einer Art in eine andere umgewandelt werden! 

kein Perpetuum mobile 



Zusammenfassung und Übersicht zur Energie 

Energie - 

Arten 

Formel 

Beispiele 

Energie 

Energie- 

Speicher 

Energie- 

Transport 

Kinetisch 

(Translation) 

E kin = ½ m v² 

E kin bei Autounfall 

Rotation 

(§ 2.4.2) 

E rot = ½ J ² 

Motor beim 

Auslaufen 

Schwungrad 

Potentiell 

(Erde) 

E pot = m g h 

Freier Fall 

Speicherkraftwerk 

Pumpstation 

Reibung Siehe Arbeit Luftwiderstand 

Wärme E w = c m T Kochen 

Wasser- 

speicher 

Fernwärme 

Elektrisch 

E el = U I t 

Leiter = Transport 

von Energie !! 

Akku 

Hochspannungsleitung 

Chemisch Reaktionswärme Benzin Tank 

Photosynthese, 

Strahlung 

E 

Solarenergie, 

em. Wellen 

IR-Thermometer 

Beispiel Kinetische Energie 

Setzt man die Kinetische Energie E kin = ½ mv² eines Autos bei 100 km/h zu 100 %, so verdoppelt 

sich diese bei 140 km/h (1,4² 2) !! 

Hierzu kommt noch die physiologische Belastbarkeit des Menschen, die angenähert ebenfalls 

quadratisch verlaufen könnte. 

Daraus folgt dann ein vierfach größeres Risiko, wenn die Geschwindigkeit von 

100 auf 140 km/h gesteigert wird. 



Translativer Energiesatz 

ohne Reibung 

mit Reibung 

E kin (T o ) + E pot (T o ) = E kin (T 1 ) + E pot (T 1 ) = E ges 

E kin (T o ) + E pot (T o ) + E reib = E ges (T 1 ) = E ges 

(MD - 12) 

T o : Zeit bei „Versuchsbeginn“, T 1 : „Versuchsende“ bzw. Zustand zum Zeitpunkt T 1 . 

Zeitpunkte „fortsetzbar“ z.B. T 2 , …: E ges (T o ) = E ges (T 1 ) = E ges (T 2 ) … 

Bemerkungen: 

- E reib ~ W reib 

- Reibung ggf. bei T 0 und T 1 berücksichtigen 

- gilt nur in Gravitations- (mgh) und elektrischen (eE) Feldern wegen linearer Abhängigkeit! 

- gilt z. B. nicht in Wasserströmung: 

Aufzuwendende Energie für Weg von A nach B kann wegabhängig sein. 

Bsp.: Energieumwandlung E pot1 E kin E pot2 

Versuch : 

b) 

a) 

a) Würfel im Freien Fall 

E 

pot1 

W 

h 

E pot2 

b) Würfel über schiefe Ebene 

E kin 

G 

E pot1 ist in beiden Fällen gleich, aber bei b) ist die erreichte Höhe h ( = E pot2 ) des Gegenstandes G 

geringer, da ein Teil von E pot2 in Reibungswärme umgewandelt wird. Weitere Verlust durch Aufprall. 

Reibungsenergie ist im mechanischen Sinne verloren ! 



Bsp: Freier Fall ohne/mit Luftwiderstand (Übung) 

a) Energieansatz: E pot (T o ) = E kin (T 1 ) + E r (T 1 ) 

mit E r = F s 

Einsetzen: 

Kraft F ~ v; Weg h; k : Reibungskoeffizient Reibungsenergie E r = kv² h 

m g h = ½ m v² + k v² h 

m g h = v² (½ m + k h) 

 

v 

 

m 

2 

m g h 

k h 

Extremfälle: 

- keine Reibung (k = 0) : v 2 gh 

 

- große Reibung ( k ) : v 0 

aber : Wie groß ist a, Endgeschwindigkeit, s(t) ??? 

Integration nach Weg kompliziert, da der zurückgelegte Weg hier 

als h in der Formel steckt. Dasselbe gilt für die zeitabhängige 

Beschleunigung. 

b) Kraftansatz F = 0 

F b - F r - F t = 0 

 

mg - kv² - m a = 0 (DGL 2. Sem), a = dv/dt 

‘schlecht’ integrierbar, da a und v² gleichzeitig auftreten, aber 

Endgeschwindigkeit : a = v = 0 

mg - k v² = 0 

 

v end 

 

m g 

k 

Extremfälle: k 0 : v end 

k : v end 0 

 


v / m/s 


50 

Beispiel: Geschwindigkeit beim Freien 

Fall 

40 

30 

20 

10 

mit Luftwiderstand 

0 

0 50 100 150 

Fallweg / m 

Die Fallgeschwindigkeit v durch den Luftwiderstand „mit der Zeit“ konstant 

Beschleunigung a = 0 im „Endzustand“. 

weiteres Beispiel Energieansatz (Übung): 

Wagen mit Gewicht über Seilrolle (Kraftansatz s.o.) 

E pot = E kin 

m G g h = ½ (m w + m G ) v² 

 

v 

2m g h 

m m 

G 

v = v(h) ! 

w 

G 

Grenzfälle analog Kraftansatz 



2.4.1.4 Leistung (Power) 

Leistung ist ein weiterer Begriff aus dem täglichem Leben. 

„einfachste Formulierung“, gilt nur für W = F = v = const. : 

P 

W 

t 

 

F v 

aus 

P 

W 

t 

 

F s 

t 

 

F 

ds 

dt 

 

F v 

[P] = W = J/s 

(Normierung auf Zeit) 

„früher“: Auto : PS ; 

1 PS = 0,73 kW 

Leistung („Arbeit pro Zeit“) 

'genaue' Formulierung 

P 

W 

 

t 

Durchschni tt 

 

t 

0 

dW 

dt 

 

Momen tan 

(MD - 13) 

Durchschnittsleistung 

P m 

W 

 

t 

aktuelle Momentanleistung 

P a 

 

d W 

d t 

 

W 

(Definitionen analog Kinematik für v und a) 

erweiterte Betrachtung 

P 

dW 

dt 

 

 

d(Fs) 

dt 

 

F 

 

s 

 

0für F 

const 

F 

 

v 

 

kinetische und potentielle Leistung (zur Übung und Herleitung) 

P 

kin 

d W 

 

dt 

kin 

d 

 

 

1 

2 

m v(t)² 

dt 

 

 

m 

const 

1 

m 

2 

dv² 

dt 

 

m v v 

 

m a v 

F v 

P 

pot 

d W 

 

dt 

pot 

 

 

d m g x(t) 

dt 

 

 

m 

const 

dx 

m g 

dt 

 

F x 

 

F v 



Wirkungsgrad 

(Efficiency) 

 

P 

P 

nutz 

gesamt 

1 

(MD - 14) 

P nutz = P gesamt - P verlust 

P nutz : 

nutzbare, benutzte Leistung 

z.B: Auto Vortrieb : Beschleunigungsarbeit 

P gesamt : 

Summe aller Einzelleistungen 

z.B. Auto: Vortrieb + Wärme + Lichtmaschine + Lärm, ... 

d.h. alles was Reibung, Geräusche, … verursacht, mindert ! 

Beispiel (Übung): 

Wieviel PS sind nötig, um Auto (m = 1,5 t mit Fahrer) von 0 auf 100 in 8,6 s zu beschleunigen 

P m = W kin /t = ½ mv²/ 8,6 s = 67 kW 91 PS 

Prospekt VW GOLF 110 kW (150 PS) : t = 8,6s Wirkungsgrad 0,6 

Wirkungsgradverminderung durch: 

- Reibung 

- Schaltzeiten 

- Leistungs - Drehzahl- Charakteristik : Motor gibt nur bei best. Drehzahl 150 PS ab 

- ... 



„Leistung“ in der BWL 



2.4.1.5 Impuls (Momentum) 

Beispiele: 

- Billard : 2 Kugeln aufeinander - Energieerhaltung 

- Zusammenstoß Autos: 2x Auto, Auto gegen Mauer, Baum,… 

Fälle: „weich“, „hart“, „bewegt auf ruhend“, … 

Versuche : Stöße von Stahlkugeln, Tischtennisbällen, Holz-, Styroporkugel 

Einfachste Vorstellung :2 Kugeln prallen aufeinander 

Modellkörper : 2 Massepunkte 

Impuls 

[p] = kg m/s = Ns 

 

p m v 

 

Näherung m const. 

, 

 

p 

F 

 

allgemeiner Fall 

(MD - 15) 

allgemein: Vektor p 

JAVA Applett: 

- Elastischer und unelastischer Stoß 

- Newtons Wiege (Energie- und Impulserhaltung) 



Einfachster Fall : 

2 harte Kugeln prallen aufeinander 

eine ist vor dem Stoß in Ruhe 

Herleitung Impulserhaltung (nicht für Klausur, aber zur Übung) 

a) Kraftansatz F = 0 

b) Energieansatz E ges = const 

v = const. außer bei Zusammenprall 

d.h. keine Beschleunigung F t = 0 

E kin vor = E kin nach + E deformation 

(Edeformation hier Null) 

F 1 + F 2 = 0 

( 1 : vor, 2 nach Stoß) 

½ m 1 v 1 ² + ½ m 2 v 2 ² = ½ m 1 v’ 1 ² + ½ m 2 v’ 2 ² 

 

p 

1 

p 

2 

dp 

 

dt 

1 

dp 

 

dt 

2 

0 

' : nach dem Stoß 

 

d p1 

p 

dt 

 

 

d p p 

1 

2 

2 

 

 

0 

 

 

0 

dt 

dE 

ges 

mit 0 (für m = const) 

dt 

 

p 

1 

p 

2 

const. 

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v’ 1 + m 2 v’ 2 

 

p p2 

1 

 

c 

 

p p2 

p' 

1 

p' 

2 

1 

 

c 

Impulserhaltung 

(Conservation of momentum) 

p 

const 

i 

. 

(MD - 16) 

i 

Bsp.: 

Stein vom Surfbrett nach hinten ins Wasser werfen 

Surfbrett bewegt sich vorwärts ! 

p Stein = p Surfbrett Wasserreibung gering, vernachlässigt 

p Stein 

p Surfbrett 



allgemeine Impulsdefinition 

aus (MD - 15) 

1D, Vektoren ggf. ergänzen 

dp 

F 

dt 

d(m v) 

dt 

 

m v mv 

m 

 

v ma (MD - 15') 

Rakete 

 

Newton 

zeitlich veränderliche Masse: Massenstrom 

m 

 

t 

Durchschni tt 

 

dm 

 

dt 

akt.Momen tanwert 

 

m 

Anwendungen z. B. 

- Verfahrenstechnik: 'konstante Zugabemenge pro Zeiteinheit' 

z.B. Schüttgüter, Flüssigkeiten 

- Auto: Kraftstoffeinspritzung (z.B. Liter pro Minute) 

m 

m 

t 

t 

- Rakete : Masse verändert sich durch rasches Verbrennen des Treibstoffes 

Massenstrom vergleichbar mit elektrischem Strom : 

I 

Q 

 

t 

dQ 

 

dt 

Q 

rein physikalisch gesehen gelten bei Transportvorgängen dieselben Gleichungen (s.o.), d.h. es ist 

'egal', ob 

- Masse (Mechanik) 

- Ladung (ET) 

- Wärme (Kap. 3) 

- Wellen (Energie) (Kap. 5) 

transportiert wird. Man spricht in allen Fällen von einem Strom. 



Sonderfälle (einfachste Modellvorstellungen): 

Masse 

Relevante 

Stoß Merkmal Fall für 

Beispiele 

Größe 

m1 = m2 

v2 = 0 

‘v’ wird 

v1’ = 0 

Stahlkugeln, Billard, 

Material- 

Elastisch* 

weitergegeben 

v2’ = v1 

Reflexion an Wand 

eigenschaften 

Unelastisch* Gemeinsames v v1’ = v2’ 

kleben aneinander, Bsp. 

Kugel in Schwamm. 

bleibt 

= v1/ 2 

Ekin wird in Verformung 

umgewandelt Wärme 

konstant 

Massenpunkte auf 

Vektor- 

Zentral 

p 

Gerade, 

p ist hier ein Skalar 

eigenschaften 

Nicht zentral 

p 

Modellkörper: Starre bzw. 

deformierbar Körper 

Billard, seitlicher Stoß, 

p ist hier ein Vektor 

p = dF/dt 

ändert 

m = m(t) 

Rakete 

m ändert sich 

sich 

Rakete gibt Treibstoff 

ab, v nimmt zu 

* : ideale Grenzfälle 



Abschnitt „Raketen“ zum Weiterlesen für Interessierte 

2.4.1.6 ‘Raketenphysik’ einer Modellrakete 

Kinematik / Kraft- / Energieansatz 

Näherung : - m = const., da wenig Treibstoff im Vergleich zur Gesamtmasse 

- g = const., da niedrige Flughöhe 

- keine Reibung 

2 Antriebsphasen: 

- mit Gasausstoß 

h 

Antrieb 

-slos 

- ohne ‘’ , nach Brennschluß 

3 Flugphasen 

a) beschleunigte Bewegung 

b) Senkrechter Wurf nach oben 

c) Freier Fall nach unten 

b) und c) können zusammengefaßt werden, wenn 

Senkrechter Wurf mit Abwurfhöhe und - 

geschwindigkeit verwendet wird. 

beschl. 

Bewegung 

a 

senkr. 

Wurf 

b 

freier Fall 

c 

t 



a) Start : 

beschleunigt (Brenndauer 5s), a = const.; senkrechter, beschleunigter Wurf : 

F An - F G - F t = 0 

mit F An : Startschub 

F An – mg – ma = 0 

Startbeschleunigung : 

a 

S 

 

FAn 

m 

g 

bei Brennschluß (t = 5 s) 

Geschwindigkeit : v Bs = a s t 

Höhe : h Bs = 1 / 2 a s t² 

hier F an = 2N , m = 0,1kg a s = 10 m/s² 

v Bs = 50 m/s, h Bs = 125m 

nach Brennschluß 

b) Senkrechter Wurf 

Max. Steighöhe: h max = h bs + h sw 

h 

sw 

2 

vbs 

(z.B. aus Energiesatz h 

2g 

v 2g ) 

= 125m 

h max = 250m 

nach Gipfelpunkt 

c) Freier Fall 

aus Energiesatz bzw. Kinematik : 

v 

auftreff 

 

2 gh 

max 

 

m 

70 

s 

tatsächlich geringer, da Reibung 

aber : Masse nicht konstant, also Impulsansatz 



Impulsansatz 

Grundlage aus (MD - 15’): F 

 

dp 

dt 

 

d(m v) 

dt 

 

m v m v 

m 

v ma 

(*) 

aus (*), falls keine äußere Kräfte F = 0 : 

0 mv 

ma 

v 

Gas 

= w 

m(t) 

v Rakete 

 

m(t) v 

m 

w 

x 

dv dm 

m w | dt 

(DGL 2. Sem.) 

dt dt 

1 

w 

dv 

 

1 

m 

dm 

| 

 

1 

w 

 

dv 

 

 

1 

m 

dm 

v 

w 

 

ln(m) C 

Aus Anfangsbedingungen : t = 0 : v = 0 , m = m o (Startmasse) 

C = ln(m o ) 

 

v 

 

mo 

 

w ln 

 

m 

mit m = m(t) z.B. m(t) = m o - kt > m BS 

bis hierher: parallel zur Erdoberfläche 

bei Start nach oben : 

mo 

v w ln 

g(h) t Achtung g = g(h) ! 

m 

max. Höhe: v integrieren, schwierig 



Modellrakete: 

w = 1000 m/s, m o = 0,1 kg, m BS = 0,08 kg, t = 5 s 

v BS = 173 m/s 

aus Formelsammlung : h BS = 550 m 

(50 m/s Kinematik) 

(125 m Kinematik) 

d. h. Faktor 2 - 3 ‚mehr’ bei lediglich 20% Differenz der Masse (100 g → 80 g) 

zwischen (falschem) Kinematikansatz im Vergleich zu Impulsansatz ! 

Reale Raketen 

m 

w ln 

 

m 

v 

o 

w 3 km/s 

mo 

1-stufig : typisch: 6 

m 

BS 

v end 2w 

v BS 6 km/s also schneller als Treibstoffausstoß !! 

aber: 

Erreichen einer Erdumlaufbahn erfordert v min = 8 km/s . Dies ist mit 1-stufiger Rakete nicht möglich, 

da das Massenverhältnis aus konstruktiven Gründen und der Treibstoff nicht beliebig optimiert 

werden können. Dies erreicht man aber bei gleichen Parametern (Startmasse, Nutzlast, Treibstoff) 

mit einer dreistufigen Rakete: 

Geschwindigkeit nach Brennschluß der i–ten Stufe: 

M 

 

01 

M02 

M0Z 

v 

B 

we 

ln 

... 

. 

MB1 

MB2 

MBZ 

 

M0 

Das Argument des Logarithmus heißt „totales Massenverhältnis“ : 

M 

B 



Im folgenden Rechenbeispiel werde dieselbe Nutzlast bei denselben 

Massen von Rakete und Treibstoff beschleunigt; w = 2,7 km/s. 

Einstufenrakete 

Dreistufenrakete 

Nutzlast 

MH = 0,04 t 

Nutzlast MN = 0,04 t 

Rakete MR = 8,44 t 

Treibstoff Mt = 42,20 t 

Startmasse M0 = 50,68 t 

3. Stufe MR3 = 0,04 t ; MT3 = 0,20 t 

2. Stufe MR2 = 0,40 t ; MT2 = 2,00 t 

1. Stufe MR1 = 8,00 t ; MT1 = 40,00 t 

M R = 8,44 t ; M T = 42,20 t 

→ Startmasse M0 = 50,68 t 

1. Stufe 

Masse bei Zündung M01 = 50,68 t 

Brennschlußmasse MB1 = 10,68 t 

v 1 = 4,21 km/s 

2. Stufe 



v 2 = 3,71 km/s 

Brennschlußmasse MB = 8,48 t 

Brennschlußgeschwindigkeit 

v BS 

 

km 

2,7 

s 

 

ln 

 

50,68 

 

8,48 

3. Stufe 



v 3 = 3,39 km/s 

Brennschlußgeschwindigkeit der 3. Stufe 

v BS = v 1 + v 2 + v 3 

v BS = 4,8 km/s 

v BS = 11,31 km/s 

Dies bedeutet: Mit einer einstufigen Rakete kann man keine Kreisbahn um die Erde erreichen, da die 

erste kosmische Geschwindigkeit (für eine Kreisbahn an der luftleer gedachten Erdoberfläche) 

bereits 7,9 km/s beträgt. Für das Verlassen des Erdschwerefeldes sind bereits 11,8 km/s nötig, die 

kosmische Geshwindigkeit der Erde („Fluchtgeschwindigkeit“). 



Raketenstart und Flugstabilisierung 

Schwierigkeit beim Start : v o = 0 : instabil, da keine Ruderwirkung, Triebwerke schwenken ! 

besser bei Sylvesterraketen, da SWP unter Antriebsangriffspunkt 

SWP oberhalb Unterstützung : labil 

Stabil, da SWP unterhalb Kraftangriff 

SWP 

Seilrolle 

Kraft 

SWP 

SWP 

Kraft 

Kraft 

SWP 

Kraft 

analog Seiltänzer mit Stange bzw. Motorradartist 

Seil : 

'Auflagekraft' 

SWP 

Weltraumraketen: komplexe Schubvektorsteuerung (Triebwerk bewegt“ sich – Vektorcharakter des 

Impulses erfordert schnelle Winkelmessungen und Regelungen. 



2.4.2 Rotation (Rotation) 

Anwendungen: Motor, Fahrdynamik, Fliehkraftregler, 

Modellkörper: Starrer Körper 

Versuch zur Fliehkraft 

Erreichen in diesem Versuch unterschiedlich schwere Kugeln 

bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit dieselbe Höhe? 

2.4.2.1. Zentripetalkraft 

Bsp: 

Anpressdruck Karusell merkt Ausenstehender nicht , 

daher Typ 'Trägheitskraft, Scheinkraft' 

Zentrifugalkraft 

Zentripetalkraft 

Fr : ‘rückhaltende’ Kraft , Zentripetalkraft Fzp 

Praxis: meist nur Betrag interessant 

D 

r 

Zentrifugalkraft Fzf ist die Kraft, die ein mitrotierender 

Beobachter spürt (Fliehkraft) 

Zentripetalkraft Fzp 

Zentrifugalkraft Fzf 

 

F 

r 

 

F 

zp 

 

 

m a 

 

m v 

 

r 

2 

 

v r 

 

m 

² 

 

r 

 

 

 

F 

Zf 

(MD - 17) 

Bem.: F zp ~ ² 



2.4.2.2 Dynamisches Grundgesetz 

Modellkörper: starrer Körper 

Translation Kraft F M Drehmoment Rotation : 

Drehmoment 

 

M 

g 

 

 

 

M 

i 

 

 

 

r 

i 

 

F 

i 

m1 

r1 

m2 

D 

r2 

Herleitung eindimensional (zum Üben) 

1D : F = m a 

r F = r m a 

| r 

| a = r (Winkelbeschleunigung) 

D r m 

M = (mr²) = J 

J : Massenträgheitsmoment (mass moment of inertia) 

aus Tabellen, Mehrfach-Integralen, bzw. experimentelle Bestimmung 

bei zusammengesetzten Körpern : M M J 

 

 

ges 

 

i 

i 

 

Dynamisches Grundgesetz 

[J] = kgm² 

 

M J 

(MD - 18) 

Vergleich Translation : 

 

F 

m 

 

a 

d’Alembertes Prinzip der Rotation M = 0 (MD - 19) 

Vergleich Translation: F = 0 



Tabelle Massenträgheitsmoment (Formel wird in Klausur angegeben) 

hier: Schwerpunkt auf Drehachse, sonst Unwucht, z.B. Autoreifen 

Messung des Trägheitsmomentes durch Drehschwingungen Kapitel Schwingungen 

2 

Stabile Drehung um Hauptträgheitsachsen J m r 

(Anwendungsbeispiel Volumenintegral) 

i 

i 

 

i 

Vol 

 

r 

2 

dV 

z 

Kugel 

r 

massiv 

2 

J J J 

x 

y 

z 

2 

mr 

5 

x 

y 

dünne Schale 

2 

J J J 

x 

y 

z 

2 

m r 

3 

z 

Vollzylinder 

1 

2 

1 

4 

1 

12 

2 

2 

2 

Jx 

m r Jy 

Jz 

mr m l 

dünner Stab (l >> r) 

1 

2 

1 

12 

2 

2 

Jx 

m r Jy 

Jz 

m l 

ra 

x 

r 

i 

z 

l 

y 

dünner Scheibe (l


Drehpunkt außerhalb Schwerpunkt 

Bsp: Kugel an Seil – Pendel Starrer Körper 

D 

d 

m 

m 

SWP 

d 

D 

Satz von Steiner 

d : Abstand A - SWP 

J a = J SWP + m d² 

(MD - 20) 

Bsp.: MP an gewichtsloser Stange J a = m d² da J SWP = 0 (s.o.) 

2.4.2.3 Arbeit und Energie bei Rotation 

Versuch: JoJo - Maxwellsches Rad 

- fallen lassen mit abgewickelter Schnur : Fall schnell, bleibt unten 

- fallen lassen mit aufgewickelter Schnur : Fall langsamer, kommt wieder hoch 

Untersuchung : E kin JoJo < E kin Kugel (da v geringer) 

Wo steckt Energiedifferenz ? Offenbar in der Rotation ! 

E pot E kin + E rot Energiespeicher Rotation 

Anwendung : Schwungrad Golf ECO (ca. 1985) beim Bremsen 

Frage zur Systemauslegung (Warum gibt es das nicht mehr?) 

Arbeit 

W rot = Md 

Energieerhaltung 

Rotationsenergie 

E kin + E pot + E rot = const. 

E rot = 1/2 J ² 

(MD - 21) 

Leistung 

(vgl. Translation) 

 

P M 



2.4.2.4 Impuls bei Rotation : Drehimpuls (Angular Momentum) 

Drehimpuls [L] = kg m² /s 

 

L 

 

 

J 

 

r p 

Drehmoment - Drehimpuls 

 

M L 

 

J 

 

 

 

0,falls J 

const. 

 

 

J 

(MD - 23) 

Drehimpulserhaltung 

 

L 

const. 

Bsp. Drehimpulserhaltung: 

- Einfangen eines rotierenden Satelliten ‚schwierig’, da Impulsübertrag auf Raumschiff 

- Kreiselstabilisierung, Richtung von L ist raumfest, Anwendung: Kreiselkompass 



2.4.2.6 Transformation Translation - Rotation und Gegenüberstellung 

In der nachfolgenden Tabelle erhält man die Formeln der Rotation aus denjenigen der Translation 

durch „Buchstabentauschen“: 

s v a m J F M p L 

(skalar, Vektoren ggf. ergänzen) 

Translation Variable/Formel Rotation Variable/Formel 

Weg s Winkel = s / r 

Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit 

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung 

Masse m Massenträgheitsmoment J = mr² 

Kraft F = ma Drehmoment M = J 

Kraftansatz F = 0 Drehmomentansatz M = 0 

Impuls p = mv ; p F Drehimpuls L = J ; L 

M 

Impulserhaltung p = const. Drehimpulserhaltung L = const. 

Arbeit W = Fds Arbeit W = Md 

Energie E kin = 1 / 2 mv² Energie E kin rot = 1 / 2 J² 

Leistung P = F v Leistung P = M 

entsprechend verhalten sich alle weiteren Definitionen etc. 



Übungsblatt Dynamik 

1. Stellen Sie die Bewegungsgleichung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre im Elektrischen 

und Magnetischen Feld auf. Tip: Zuerst Skizze, dann Kraft- oder Energieansatz. 

 

 

Formeln: F eE ; E eU ; F e v B 

el 

pot 

mag 

a) Bewegung in einem Elektrischen Feld mit einer Spannung von 30 kV 

(Elektron ruht zu Beginn). 

v = 10 5 km/s 

b) Ablenkung in einem Elektrischen Querfeld (Elektron bewegt sich senkrecht zum Feld 

der Länge d. Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Bewegungsform. Parabel 

c) Welche Bewegung beschreibt das Elektron in einem magnetischen Querfeld, in das es 

mit einer Geschwindigkeit v einfliegt. Wie sieht es hier mit der Arbeit aus? 

Kreis, Arbeit = 0 

2. An einer Rolle sind mittels einer idealen Schnur 2 Gewichte der Massen m 1 und m 2 befestigt. 

Berechnen Sie die Beschleunigung 

a) bei masseloser Rolle m1 m2 

a g 

m m 

1 

2 

b) bei massebehafteter Rolle mit Radius r 

a 

m m2 

 

J 

m1 

m2 

 

2 

r 

1 

 

g 

3. Sie setzen mit Ihrem Auto zum Überholen an. Ihre Geschwindigkeit steigert sich hierbei innerhalb 

von 15s von 50 auf 90km/h; m = 1t. Berechnen Sie die Beschleunigungsarbeit (ideal) 

216 kJ 

4. Ihr Auto rollt in San Francisco mit 6m/s an Ihnen vorbei. Da Sie aber vorsichtshalber wegen des 

Gefälles von 4° die Handbremse angezogen haben, schätzen Sie den Reibungskoeffizienten µ mit 

0,1 ab. Wie weit müssen Sie laufen? 

61,2 m 

5. Sie fahren an der Ampel mit Ihrem Auto (1000kg) mit einer Kraft von 4000N für 3s an und fahren 

1s mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Danach bremsen Sie mit 3000N. Zeichnen Sie den 

zeitlichen Verlauf der Momentanleistung, wann stehen Sie wieder? 

8 s

Dynamik

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