Versuch 3: Interferometrische Distanzmessung

Medizinische Meßtechnik 

Fachbereich 06: Feinwerktechnik/Physikalische Technik 

4. Semester 

Versuch 3: Interferometrische Distanzmessung 

Michelson-Interferometer 

Der Aufbau des Interferometers ist aus Abbildung 1 zu ersehen. Der linear polarisierte 

Laserstrahl wird durch das Teleskop auf ca. 10 mm aufgeweitet. Die λ/4 

Verzögerungsplatte erzeugt eine zirkulare Polarisation. Der Strahlteilerwürfel spaltet den 

einfallenden Strahl in die Arme 1 und 2 auf. Die beiden Teilstrahlen werden von den 

Spiegeln 1 und 2 in sich selbst zurückreflektiert und am Strahlteiler wieder vereinigt. Ein 

Teil der Überlagerten Strahlen wird auf den Detektor B fokussiert, der andere Teil wird 

durch die λ/4 Verzögerungsplatte in linear polarisiertes Licht umgewandelt. Dessen 

Polarisationsebene steht allerdings senkrecht zu der des He-Ne-Lasers so daß es von 

dem Polarisationsabhängigen Spiegel transmittiert wird und auf dem Detektor A registriert 

werden kann. Mit diesem relativ einfachen Aufbau wird die Interferenzfigur von den 

Detektoren A und B elektrisch erfaßt und kann auch am Beobachtungsschirm visuell 

verfolgt werden. 

Interferometrische Distanzmessung 1

Abb.1 : Versuchsaufbau FH-Interfrometer 

Im folgenden soll das Zustandekommen der Interferenzfiguren etwas genauer untersucht 

werden. Hierbei wird ein verlustloser Strahlteilerwürfel mit der Reflexion R und der 

Transmission T angenommen (R + T = 1). Der vom Laser auf den Strahlteiler auftreffende 

Laserstrahl hat die Leistung P 0 . Betrachtet wird die Interferenzfigur auf Detektor B (Der 

zweite Strahlteiler für den Beobachtungsschirm wird vernachlässigt). Unabhängig davon, 

welchen Arm (1/2) das Laserlicht durchlaufen hat, hätte am Detektor jeder der beiden 

Teilstrahlen die Intensität 

I 1/2 = R T I 0 

(1) 

Beide Strahlen werden an dem Spiegel S 1 oder S 2 in sich selbst zurückgeworfen und 

treffen auf dem Rückweg wieder auf den Strahlteiler, wo die Asymmetrie der beiden 

Strahlen E 1 + E 2 aufgehoben wird, so daß sie nun vollkommen gleichwertig sind.Da es 

sich aber um eine kohärente Überlagerung handelt, müssen die Amplituden und nicht die 

Leistung der beiden Teilstrahlen addiert werden. Für die Feldstärken der beiden Wellen gilt 

dann : 

mit dem Wellenvektor: 

E 1 

= A 1 

cos (!t - kx 1 - " 1 

) 

E 2 

= A 2 

cos (!t - kx 2 - " 2 

) 

k = 2 ! 

" 

(2) 

(3) 

(4) 

Dabei bedeuten A 1 und A 2 die beiden Amplituden, f = c/λ die Frequenz des Laserlichtes, 

x 1/2 die Wege, die die beiden Wellen von ihrem Ausgangspunkt zurückgelegt haben und 

ϕ 1/2 eine konstante Phasenverschiebung der beiden Teilstrahlen. Die Überlagerung der 

beiden Teilwellen im Strahlteiler entspricht der Zeigeraddition von E 1 + E 2 . Die 

Gesamtintensität I, proportional zum Strom in der Photodiode, ergibt sich damit mit dem 

Wellenwiderstand Z : 

I = (E 1+E 2 ) 2 

Z 

(5) 

Unter Anwendung der Additionstheoreme für die cos-Funktionen und den Intensitäten I 1 

und I 2 wird die Gesamtintensität: 

I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos k x 1 – x 2 + ! 1 - ! 2 

(6) 

Das Argument in der Kosinusinusfunktion beschreibt die Phasendifferenz zwischen 

Teilstrahl 1 und Teilstrahl 2. Wird die Differenz !" = " 1 - " 2 als konstant angenommen so 

berechnet sich die Phasendifferenz zwischen den beiden Teilstrahlen zu 

! = k x 1 – x 2 +"# 

(7) 


Ist ! ein Vielfaches von 2π, dann treffen die beiden Strahlen ohne Gangunterschied auf 

der Beobachtungsebene auf und verstärken sich. Ist dagegen das Argument in der 

Kosinusinusfunktion ein ungeradzahliges Vielfaches von π, dann verlaufen die beiden 

Teilstrahlen gegenphasig und löschen sich aus. Bei einer Messung mit dem Interferometer 

soll nicht x 1 – x 2 

vermessen werden, sondern eine Ortsänderung !x von einen der beiden 

Spiegel z.B. von Spiegel 1 detektiert werden. In diesen Fall wird x 1 

in Gleichung 7 ersetzt 

durch x 1 + 2 !x . Die Änderung der Phasendifferenz !" verursacht durch !x wird 

beschrieben durch: 

!" = 2 k !x = 4# 

$ !x (8) 

Berücksichtigt man diese Änderung in Gleichung 6, so erhält man für den 

Photodiodenstrom 

i = i 0 

1 + cos ! + "! 

(9) 

Zu beachten ist jetzt die Mehrdeutigkeit des Stromes i in Abhängigkeit der 

Phasenverschiebung. Das heißt, daß bei einer kontinuierlichen Erhöhung von !x und 

damit von !" ändert sich der Strom entsprechend Gleichung 9 gemäß einer Cosinus 

Funktion. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima oder Minima des Stromes i 

entspricht einer Phasenänderung !" = 2 # , und damit einer Verschiebung 

!x des 

Spiegels um !x = " 2 . 

Frage: Wenn ein Spiegel um eine ganze Wellenlänge verschoben wird, wie groß ist 

dann die Änderung der Phasendifferenz und damit des Stromes i? 

Die entstehenden Interferenzbilder sind auch noch vom Winkel unter dem sich die 

Wellenzüge überlagern, abhängig. D.h. die Verkippung / Iustage der Spiegel hat einen 

großen Einfluß auf Die Interferenzfigur und damit auf den Strom der Photodiode. Man 

kann das am Versuchsaufbau beobachten. Wenn man die Spannung am Piezoelement 

erhöht, ändert sich abgesehen von den Hell- Dunkel-Übergängen auch das Aussehen der 

Interferenzfigur. Dieser Effekt wird verursacht durch eine minimale Verkippung des 

Spiegels aufgrund einer Verbiegung des Piezoelements (unerwünschter Effekt). 

Der Aufbau des Interferometers ist aus Abbildung 2 zu ersehen. Der linear polarisierte 

Laserstrahl wird durch das Teleskop auf ca. 10 mm aufgeweitet. Die λ/4 

Verzögerungsplatte erzeugt eine zirkulare Polarisation. Der Strahlteilerwürfel spaltet den 

einfallenden Strahl in die Arme 1 und 2 auf. Die Beiden Teilstrahlen werden von den 

Spiegeln 1 und 2 in sich selbst zurückreflektiert und am Strahlteiler wieder vereinigt. Mit 

diesem relativ einfachen Aufbau wird die Interferenzfigur von den Detektoren A und B 

elektrisch erfaßt und kann auch am Beobachtungsschirm visuell verfolgt werden. 


Durchführung 

Es wird ein He-Ne-Laser mit einer Wellenlänge von λ = 632,8nm verwendet. 

Da zwischen den beiden Wellen ein Gangunterschied erzeugt wird, entsteht eine Folge 

von beobachtbaren Hell-Dunkelstreifen. Jedesmal wenn ein Übergang zwischen hell nach 

dunkel erfolgt, wurde die Meßwelle gegenüber der Referenzwelle gerade um λ/2, also um 

316,4nm verschoben. Die Auswertung einer Meßstrecke(S) bedeutet daher das 

“Abzählen”(N) der Hell-Dunkelringe bzw: 

Das “Abzählen”wird in diesem Fall vom Detektor übernommen (dunkel ⇒ Signal: low; hell 

⇒ Signal: high). 

Ein Spiegel ist auf einem Piezoelement befestigt, das auf das Anlegen einer Spannung mit 

einer Längenänderung reagiert. 

Die Spannungsversorgung des Piezoelements erfolgt über einen 

Hochspannungsverstärker mit einer Nennspannung von 0 – -1000V. Wird die anliegende 

Spannung erhöht, kann beobachtet werden wie sich die Interferenzfigur bewegt. Ab etwa 

200V ist die Auslenkung des Piezoelements nicht mehr rein transversal linear, sondern 

zeigt zusätzlich eine Rotationskomponente (vgl. Korkenzieher), die den Spiegel verkippt. 

Um diesen Effekt zu vermeiden sollen nur Meßkurven nur in einem Bereich von 0 – -150V 

aufgenommen werden. 

In einer ersten Meßreihe wurde die Wegänderung des Piezos bei manueller 

Spannungsänderung ermittelt. 

Da im Spannungsbereich von 0 – -121V 10 Minima registriert wurden, ergibt sich daraus 

eine Wegänderung von S = 3,164µm. Der Spannungswert -100V entspricht somit einer 

Verschiebung von 2,615µm. Bei einer Spannungsänderung von ∆Umax -1000V würde der 

Gesamtstellweg 26,15µm betragen. 

Die Wegänderung eines Piezos ist nicht auf jeden Fall linear zur Spannungsänderung. Bei 

einer Richtungsumkehr tritt meist der Effekt der Hysterese auf. Dieser Effekt soll im 

folgenden näher untersucht werden. 

Dazu wurde der Piezo linear ansteigend in einem Spannungsbereich von 0 bis -114Volt 

verstellt, und dann wieder auf 0 Volt zurückgefahren. Der Voltbetrag bei den jeweiligen 

Minima wurde notiert und in die Kurve Abb.2 eingetragen. Dabei zeigt die mit den hellen 

Kreisen den Vorlauf des Piezos, während die Kurve mit den dunklen Kreisen den Rücklauf 

darstellt. Die Ausdehnung des Piezo ist nicht proportional zur elektrischen Feldstärke. 

Welche Ausdehnung der Translator bei einer bestimmten Spannung einnimmt, hängt 

davon ab, ob er vorher bei einer höheren oder niederen Spannung betrieben wurde. 

Dieses nichtlineare Verhalten läßt sich in einem Spannungs/Ausdehnungsdiagramm 

zeigen. 


Vorlauf 

Rücklauf 

Minima 

10 

3 

9 

8 

7 

6 

2 

5 

4 

3 

1 

2 

1 

0 0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 

Volt 

Weg [µm] 

Abb. 2: Hysteresekurve 

In der Grafik erkennt man am siebten Minima eine Spannungsdifferenz von 14V. Da 

durchschnittlich alle 13 Volt ein Minima zu erwarten ist, beträgt die maximale 

Positionsabweichung 0,340µm. 

Versuch: Führen Sie die oben beschriebene Messung durch und bestimmen Sie die 

Wegänderung bei einer Spannungserhöhung, die Wegänderung beim Rückweg sowie 

mittlere und maximale Hysterese (= Wegunterschied bei gleicher Spannung). 

Zusätzlich ist eine Darstellung über den Rechner vorbereitet. Ein Rampengenerator 

steuert einen Verstärker, der Output am Rampengenerator geht einmal zum Verstärker 

(High Voltage Amplifier) und zum anderen ( rechts) zum Oszillographen. Der High Voltage 

Generator ist mit dem Piezo verbunden. Zur Einstellung am Oszillografen sollte 2.5s/ 

Intervall ausgewählt werden. Abbildung 3 zeigt das Bild am Oszillographen und am 

Rechner (über Labview). 


prog 

Amplitude [V] vs. sample [s] 

80.0 

60.0 

ch1 

ch2 

40.0 

20.0 

0.0 

-20.0 

-40.0 

-60.0 

-80.0 

-100.0 

-120.0 

-140.0 

0E+0 2E+0 4E+0 6E+0 8E+0 1E+1 1E+1 1E+1 2E+1 2E+1 2E+1 2E+1 

2E+1 

Cursor 0 12.19 -9.0E+0 

Abbildung 3: LabVIEW bild der Darstellung einer Rampe und der gleichzeitig erfassten 

Bewegung des Spiegels. Man erkennt schon grob eine unterschiedliche Zeitkonstante der 

Schwingung . 

Mittels des Cursors kann bei Einstellung auf das Maximum die Amplitude der Rampe 

abgelesen werden ( im Beispiel -9.00 Volt im Kasten unten). Trägt man diese Werte über 

einen Vor-und Rücklauf auf, erhält man eine Darstellung wie sie in Abbildung 2 zu sehen 

ist. 

Versuch: Auch die thermische Ausdehnung eines Aluminiumblockes lässt sich mit dem 

Interferometer vermessen. Hierzu wird der Aluminiumblock durch ein Peltierelement 

abgekühlt. 

Das Peltierelement besitzt die Funktion einer elektrischen Wärmepumpe - das 

Funktionsprinzip beruht auf einer Umkehrung des thermoelektrischen Effekts. Fließt ein 

Strom durch eine Grenzschicht zwischen zwei unterschiedlichen Metallen, so entsteht an 

der Kontaktstelle eine Temperaturdifferenz. Durch Umkehrung der Stromrichtung ergibt 

sich auch eine Temperaturdifferenz mit umgekehrtem Vorzeichen. Peltierelemente werden 

beispielsweise dazu genutzt, Infrarotdetektoren zu kühlen um deren Rauschen zu 

verringern. (siehe Anhang) 

Die folgende Messung ist im Team durchzuführen (einer mißt zwei schreiben). Durch das 

Anlegen eines Stromes von 1 A an das Peltierelement wird der Aluminiumblock und die 

dahinterliegende Platte abgekühlt, und zieht sich daher zusammen. Es ist jetzt bei jedem 

Maximum und Minimum die Zeit und die Temperatur zu notieren, bis innerhalb von 30 s 


keine nennenswerte Änderung mehr auftritt. Die Ergebnisse sind in ein Zeit-Weg- bzw. in 

ein Zeit-Temperaturdiagramm einzutragen (zur Hilfe Abbildung 6-Anhang). Wie groß ist die 

Zeitkonstante des Systems Alublock - Peltierelement - Kühkörper? 

Der gemessene Temperatur-Zeitverlauf entspricht der Sprungantwort des Systems. 

Berechnen Sie daraus die Implsantwort unter der Annahme eines linearen Systems. 

Die Aufnahme der Messwerte in den ersten 50 Sekunden geschieht folgendermaßen: 

Das Temperaturmessgerät ALMEMO (Meßfühler ist ein PT 100) ist mit dem Oszillografen 

verbunden (statt der Rampe im vorherigen Versuch). Zeitachse ist 5s pro Intervall, die 

Empfindlichkeit sollte mit 20mV bei Kanal 1 gewählt werden. 

Nach dem Einschalten des Stromes (möglichst zu der Zeit, wo der Oszillograf auf der x- 

Achse neu beginnt) und dem Betätigen der Stoppuhr können die ersten 45 Sekunden 

aufgezeichnet werden. Es erfordert ein Stop am Oszillografen vor Erreichen des 

Bildschirmendes. Die Messung sollte dann tabellarisch weitergeführt werden (Zeit, 

Temperatur bei jedem Maximum. Durch das Auslesen des Oszillografen gleich nach dem 

ersten vollen Bildschirm dürfte nur ein Maximum verloren gehen. 

Die Auswertung des Anfangsbereichs läßt sich mit dem Cursor bewerkstelligen (Abbildung 

4). 

prog 

Amplitude [V] vs. sample [s] 

100.0 

80.0 

ch1 

ch2 

60.0 

40.0 

20.0 

0.0 

-20.0 

-40.0 

-60.0 

-80.0 

-100.0 

-120.0 

-140.0 

0E+0 5E+0 1E+1 2E+1 2E+1 2E+1 3E+1 4E+1 4E+1 4E+1 

5E+1 

Cursor 0 45.68 3.1E+1 

Abbildung 4: Beispiel für die Abkühlung des Aluminium-Blocks und seine Wirkung auf die 

Längenänderung des Interferometer-Arms. 

Man erkennt, dass nach dem Einschalten der Abstand der Maxima immer größen wird. 

Durch die Cursorstellung kann man jedem Maximum eine Zeit- (x-Achse) und eine 


Temperatur (y-Achse) zuordnen.(Beispiel Maximum 9 nach 45.68s (minus Startwert 

beachten) bei einer Spannung von 31 Volt (Umrechnung in Temperatur)). 


Anhang: 

Die durch den eigentlichen Peltier-Effekt erzielte Temperaturänderung verläuft linear mit 

der angelegten Stromstärke I (Abb. 5). Zusätzlich jedoch führt der Strom I auch zu einer 

Erwärmung des gesamten Peltierelements, da dieses einen ohmschen Widerstand 

aufweist. Die Erwärmung der Metalle ist dabei proportional zur elektrischen Energie W, die 

ihrerseits eine quadratische Abhängigkeit gegenüber der Stromstärke I aufweist: W = R • 

I 2 (Abb. 5). Die Kennlinie eines Peltierelements ergibt sich somit aus der Addition der 

beiden Teileffekte und besitzt daher einen asymmetrischen Verlauf bezüglich der 

Ausgangstemperatur (Abb.5). Dieser Kennlinie ist zu entnehmen, daß ein Peltier-Element 

grundsätzlich nur eine gegebene Minimaltemperatur T min erreicht werden kann.. Die 

Minimaltemperatur T min wird nur im Leerlauf erreicht - bei Wärmetransport über das 

Peltierelement ist die maximal erreichbare Temperaturdifferenz deutlich geringer als T min . 

Aus der Kennlinie ist auch zu entnehmen, daß sich die Temperaturdifferenz bei 

Stomumkehr (Erwärmung) wesentlich vergrößert, da in diesem Fall der Peltier-Effekt und 

die ohmsche Erwärmung in die gleiche Richtung wirken. 

Abb. 5: Kennlinie eines Peltierelements 

Die charakteristische Zeit τ und die Totzeit t Tot 

In Abb. 6a ist die Systemantwort eines idealen Tiefpasses auf eine Stufenfunktion x e (t) = 

u(t) dargestellt. Das Ausgangssignal x a (t) des Systems enthält eine Exponentialfunktion, 

die sich mit der charakteristischen Zeit t nach unendlich langer Zeit an einen Endwert x ∞ 

annähert: 

(10) 

x a (t) = x ! 1 - exp - t ! 

Das reale thermische System zeigt einen etwas unterschiedlichen Verlauf, da das 

Thermometer erst nach einer bestimmten „Totzeit" nach dem Einschalten des Stromes 

eine Reaktion zeigt (Abb. 6b). Die Systemantwort besteht somit aus zwei 

unterschiedlichen Effekten, die in der folgenden Analyse voneinander zu separieren sind. 

Subtrahiert man den Grenzwert x ∞ von den einzelnen Meßwerten, so erhält man bei 

einem reinen Tiefpaßsystem eine reine Exponentialfunktion: 


(11) 

x a (t) - x ! = x ! • exp - t ! 

Das Realsystem zeigt auch in dieser Darstellung ein abweichendes Verhalten (Abb. 6c). 

Logarithmiert man nun die Funktion x a (t) - x ∞ , so liefert das ideale Tiefpaßsystem eine 

Gerade mit der Steigung - 1/τ: 

(12) 

ln x a (t) - x ! = ln x ! - t ! 

Das reale thermische System zeigt dieses lineare Verhalten erst nach einer gewissen Zeit 

(Abb. 6d). Der lineare Teil der Funktion kann nun für die Ermittlung der charakteristischen 

Zeit τ verwendet werden. Die Totzeit t Tot läßt sich durch Parallelverschiebung des linearen 

Anteils feststellen (Abb. 6d). 


Abb. 6: Ermittelung von Kenngrößen zur Beschreibung des Zeitverhaltens des 

thermischen Systems

Versuch 3: Interferometrische Distanzmessung

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