Tiefinelastische Streuung, Strukturfunktionen

Quantenchromodynamik 

Gliederung: 

2.4 : Die QCD als Eichfeldtheorie (29.11.07) 

2.5 : Experimentelle Bestätigung (05.12.07) 

2.6 : Tiefinelastische Streuung, Strukturfunktionen (06.12.07) 

Stichworte aus Teil 1: 

Spin-Statistik-Problem, drei Farben, Farbwellenfunktion immer antisymmetrisch 

Dirac-Lagrangedichte, lokale Eichinvarianz, Eichfelder, kovariante Ableitung 

Gell-Mann-Matrizen, Strukturkonstanten 

Feynman-Diagramme, Feynman-Regeln, Gluon-Selbstkopplung 

Renormierung, laufende Kopplungskonstante, asymptotische Freiheit 

WS 2007/2008 1

2.5 Experimentelle Bestätigung der QCD 

2.5.1 Experimentelle Bestätigung der Farbladung 

a) Baryonresonanzen 

b) e + e - → Hadronen 

c) τ → Hadronen 

d) Zerfallsrate des π 0 

2.5.2 Existenz des Gluons 

2.5.3 Laufende Kopplungskonstante 

2.5.4 Die OZI-Regel 

2.5.5 Quark-Antiquark-Bindungszustände 

WS 2007/2008 Wolfgang Wagner 2

Experimenteller Nachweis der Farbladung 

(1) Baryonresonanzen 

Existenz der Zustände 

|∆ ++ 〉 = |u ↑ u ↑ u ↑ 〉 , |∆ - 〉 = |d ↑ d ↑ d ↑ 〉 

und |Ω - 〉 = |s ↑ s ↑ s ↑ 〉 

nur mit Hilfe der Farbladung mit 

den Regeln der Spin-Statistik in 

Einklang zu bringen. 

Ursprüngliche Motivation zur 

Einführung der Farbladung. 


(2) e + e - → Hadronen 

Messung des R-Verhältnises in e + e - Annihilation 

Photon koppelt an elektrische 

Ladung der Quarks 

Summe geht über aktive 

Quark-Flavor 

Experimenteller Befund: N Farbe = 3 

Quarks bilden Jets von 

Teilchen im Detektor. 

Jets werden inklusiv in 

einem Kalorimeter 

gemessen. 


Jet-Ereignisse 

OPAL Zwei-Jet-Ereignis (LEP) 

ALEPH Drei-Jet-Ereignis 


σ(e + e - → Hadronen) 

Quelle: PDG Report 2004 

charakteristischer Abfall mit 1/s 


R-Verhältnis 

Aktive Flavor u,d,s u,d,s,c u,d,s,c,b u,d,s,c,b,t 

R Vorhersage 2 3.33 3.66 5 


R-Verhältnis: Schlussfolgerungen und Einschränkungen 

Daten zeigen gute Übereinstimmung mit einfachem Modell in nichtresonanten 

Bereichen. 

Farbfaktor N Farbe 

= 3 wird bestätigt 

Resonanzeffekte: Quark-Antiquark-Resonanzen 

Resonanzproduktion dieser Zustände bei E CMS 

= M R 

Typischerweise unterhalb der Schwelle für offene Quark- 

Antiquark-Produktion. 

Bei höheren Energien E CMS 

>≈ 50 GeV wird der Prozess 

e + e - → Z* → Hadronen immer wichtiger. 

Über der Z 0 -Schwelle werden reelle Z 0 Bosonen erzeugt. 


(3) τ →Hadronen 

W Boson koppelt mit gleicher 

Stärke an Fermionmultipletts 

Erwartung aus diesem einfachen Modell: 

= 0.2 

Gemessener Wert: B e 

= 0.1784 ±0.0006 

Unterschied durch Korrekturen 

höherer Ordnung bedingt. 


(4) Zerfallsrate des π 0 

π 0 

u, d 

u, d 

u, d 

γ 

γ 

Dreiecks-Diagramm 

Jede Farbe trägt zur Zerfallsamplitude 

bei. 

Drei Farben verändern die 

Zerfallsrate um einen Faktor 9. 


2.5.2 Existenz des Gluons 

Entdeckung von Gluon-Jets am 

PETRA Ring (DESY) 1979 

Abstrahlung harter Gluonen 

von Quarks im Endzustand 

erzeugt Ereignisse mit 3 

Jets. 

⇒ Mercedes-Stern Signatur 

Circa 10% aller Ereignisse 

sind Drei-Jet-Ereignisse 

⇒ 

Messung der Dreizu 

Zwei-Jet-Rate 

ermöglicht die 

Bestimmung von α s 

Jade Detektor 


Spin des Gluons 

Winkelanalyse von Drei-Jet-Ereignissen 

Messung der Ereignisrate 

als Funktion von cos θ, 

wobei θ der Winkel 

zwischen der Jet-Achse 

des höchstenergetischsten 

Jets und der Richtung der 

beiden anderen Jets in 

deren Schwerpunktssystem 

ist. 

Schlussfolgerung: 

Gluon hat Spin 1 

Spin 0 

Daten: TASSO-Detektor am 

PETRA-Speicherring des 

DESY, Hamburg 

Spin 1 

Jet 3, der mit der niedrigsten 

Energie, ist höchstwahrscheinlich 

der aus dem Gluon. 

Quelle: D. Perkins, Kap. 8.11 


2.5.3 Laufende Kopplungskonstate α s 

Korrekturen höherer Ordnung: α s 

→α s 

(Q 2 ) 

α s 

ist abhängig von der Energieskala 

N flavor 

= Anzahl der Quarkflavor mit 2m q 

< |Q| 

Λ = Abschneideparameter unterhalb dessen die 

Störungsreihe zusammenbricht 

Asymptotische Freiheit 

perturbativer Bereich 

Confinement 

Störungstheorie bricht zusammen 


Messung von α s 

(1) Jetraten 

(2) Ereignistopologie 

Messung mit Hilfe von Variablen, welche die Ereignistopologie 

beschreiben, z.B. Thrust T: 

QCD Vorhersage für 

T liefert α s 

(3) Inklusive Messung des hadronischen Wirkungsquerschnitts 

Berechnung von α s 

mit Hilfe von QCD Korrekturen zum R-Verhältnis 


Zerfallsraten des Φ-Mesons 

•Das Φ-Meson zerfällt über die starke Wechselwirkung. 

• Zerfallsmoden in Kaonen sind bevorzugt gegenüber dem Zerfall in 

drei Pionen, obwohl dies kinematisch günstiger wäre. 

( ⇒ größerer Phasenraum) 

BR (φ→K + K - ) = 49.1±0.6% 

BR (φ→K L K S ) = 34.1±0.5% 

BR (φ→π + π - π 0 ) = 15.6±1.2% 

Φ =ss 

M = 1020 MeV/c 2 

I G (J PC ) = 0 - (1 -- ) 

Der verfügbare Phasenraum hängt mit der Massendifferenz zwischen 

Mutter- und Tochterteilchen zusammen. 

∆m (φ→π + π - π 0 ) = (1020 - 415) = 605 MeV/c 2 

∆m (φ→Κ + Κ - ) = (1020 - 990) = 30 MeV/c 2 

φ→π + π - ist aufgrund von 

“G-Paritätserhaltung” verboten. 

Warum ist der Pionzerfall trotz größeren Phasenraums unterdrückt? 


2.5.4 OZI-Regel 

Okubo-Zweig-Iizuka-Regel* 

Zerfälle über die starke Wechselwirkung, in denen der Endzustand nur durch 

Quark-Antiquark-Annihilation in Gluonen erreicht werden kann, sind unterdrückt. 

* manchmal auch 

nur Zweig-Regel 

genannt 

Nach der OZI-Regel ist 

der Zerfall Φ →π + π - π 0 

gegenüber Φ →K + K - 

und Φ →K s K L 

unterdrückt. 


Erklärung der OZI-Regel durch die QCD 

• Mesonen (wie alle Hadronen) sind Farbsinglets. 

⇒ Da Gluonen Farbe tragen müssen Anfangs- und Endzustand durch 

mehrere Gluonen verbunden werden, denn auch der 

Zwischenzustand muss farbneutral sein. 

• Der Gluonzwischenzustand muss alle Quantenzahlen der QCD erhalten, 

darunter auch die Ladungskonjugation C. 

2-Gluon-Zustand C = +1 

3-Gluon-Zustand C = -1 

Die Vektormesonen Φ, J/Ψ und ϒ haben C = -1. 

⇒ Zerfall erfolgt über Austausch von 3 Gluonen (Γ ∝α s3 

) 

• Die Vektormesonen Φ, J/Ψ und ϒ sind schwer, d.h. M > 1 GeV. 

Die Gluonen müssen die gesamte Energie auf den Endzustand 

übertragen, es sind sogenannte “harte” Gluonen, q 2 > Λ 2 . 

⇒ asymptotische Freiheit: Kopplungskonstante α s 

ist klein 

⇒ Zerfallsamplitude ist unterdrückt 


Erklärung der Φ-Zerfallsraten 

Bei den Zerfällen 

Es werden harte Gluonen ausgetauscht. 

⇒ α s 

ist relativ klein 

Die Zerfallsamplitude in drei Pionen ist 

durch die asymptotische Freiheit 

unterdrückt. 

und 

werden niederenergetische 

Gluonen ausgetauscht, da die 

Strange-Quarks nicht annihilieren. 

⇒ α s 

ist groß 

Gluonen hier nicht 

eingezeichnet. 


OZI-Regel und Lebensdauer von Charmonium und Bottonium 

Charmonium: 

Bottonium: 

Die Zustände Ψ(1S), Ψ(2S) und ϒ(1S), ϒ(2S), ϒ(3S) liegen unterhalb der 

Energieschwelle, ab der Zerfälle in D- bzw. B-Mesonen möglich sind. 

⇒ nur starke Zerfälle über Quark-Antiquark-Annihilation sind möglich 

⇒ Zerfallsraten sind OZI-unterdrückt 

⇒ Lebensdauer τ = 1/Γ ist Faktor 250 bis 1000 höher als ohne 

OZI-Unterdrückung erwartet 

Gluonen hier 

nicht 

eingezeichnet. 

Y(1S), Y(2S), Y(3S) 

or b 

OZI unterdrückte Zerfälle 

Y(4S) 

b or 

or u 

B - 

B + 

Ψ(3S) und ϒ(4S) sind 

schwer genug, so dass 

OZI-erlaubte Zerfälle in 

DD und BB Paare 

möglich sind. 

Γ(ψ(1S)) = 87 keV 

Γ(ψ(3S)) = 24 MeV 

Γ(ϒ(3S)) = 26 keV 

Γ(ϒ(4S)) = 21 MeV 


2.5.5 Quark-Antiquark-Bindungszustände 

Quark-Antiquark-Wechselwirkung 

Analogie: 

Electron-Positron-Wechselwirkung 

⇒ Bindungszustand: Positronium 

⇒ Coulompotential 

ersetze α durch α s 

plus Farbfaktor f 

Bei größeren 

Abständen bewirkt 

die laufende 

Kopplungskonstane 

das Auftreten eines 

linearen Zusatzterms. 

Randnotiz: 

im Farboktett-Zustand f = -1/3 

⇒ anti-bindender Zustand 

Farb-Singlett-Zustand f = 4/3 

⇒ Potential ist bindend 

⇒ Mesonen ist Farbsingletts 


Charmonium- und Bottoniumspektren 

Die Spektren der Bindungszustände schwerer Quark-Antiquarkpaare lassen sich 

gut durch nicht-relativistische Potentialmodelle beschreiben. 

Charmonium-Spektrum 

M(2S)=3.7 GeV/c 2 

Bottomonium-Spektrum 

M(4S)=10.58 GeV/c 2 

M(3S)=10.36 GeV/c 2 

M(2S)=10.02 GeV/c 2 

M(1S)=3.1 GeV/c 2 

M(1S)=9.4 GeV/c 2 

Singlett Triplett Triplett 

S-Zustände 

P-Zustände 


QCD-Potential 

• Potential bei großen Abständen 

aus Fragmentationsstudien 

• Gebundene Zustände im 

Potential sind sensitiv auf die 

Potentialform 

• Potential bei kleinen Abständen 

aus Streuexperimenten 


QCD-Potential aus Gitterrechnungen 


Farbdipol / Confinement 

QED 

QCD 

Feldlinien eines elektrischen 

Dipols reichen ins Unendliche 

Feldlinien eines Farbdipols bilden einen 

engen Flussschlauch 

Grund: Selbstkopplung der Gluonen 

Die Feldenergie des Farbdipols wächst proportional zur Länge: 

V(x) = k⋅x mit k ≈ 1 GeV / fm 

Bei Abständen von x > 1 fm ist es 

energetisch günstiger neue Quark-Antiquark- 

Paare zu bilden, als das Farbfeld weiter in die 

Länge zu ziehen. 


Confinement / Fragmentation / Jets 

Quarks, d.h. einzelne Farbladungen, lassen sich nicht isolieren. 

Beobachtbare Systeme sind Farbsinguletts. 

In einer Partonreaktion der starken Wechselwirkung entstehen zunächst harte 

farbgeladene Quarks und Gluonen, die auseinander streben. 

Sobald das Farbfeld genug Energie hat, bilden sich neue Quark-Antiquark- 

Paare. 

Es kommt zur einer Kaskade von Quark-Antiquark-Bildungsprozessen. 

Die entstehenden Quarks formieren sich zu farbneutralen Hadronen. 

⇒ Fragmentationsprozess 

Die Hadronen behalten im Wesentlichen die Richtung der primären Quarks bei. 

Der Endzustand sind kollimierte Bündel von Hadronen (Hadron-Jets), denn der 

Lorentz-Boost der Mutterteilchen wird an die Tochterteilchen weitergegeben. 


Harter Prozess / Fragmentation 

harter Prozess: hoher Impulsübertrag (hohes Q2) 

→ auf Grund der asymptotischen Freiheit in Störungstheorie berechenbar 

Quarks und Gluonen können während des harten Porzesses als freie Teilchen 

bertrachtet werden. 

Anschließend an den harten Prozess bestehen (noch) Farbfelder zwischen den 

beteiligten farbgeladenen Elementarteilchen (Quarks u. Gluonen). 

Auf Grund der hohen Energiedichte des Farbfeldes entstehen typischerweise 

zusätzliche Quark-Antiquark-Paare. 

Schließlich sorgt die Farbkraft dafür, dass die Quarks und Antiquarks in 

farbneutralen Hadronen gebunden werden. 

Dieser Prozess heißt Fragmentation oder Hadronisierung. 

Fragmentation ist ein weicher, nicht-perturbativer Prozess. Nicht 

störungstheoretisch behandelbar. 


Fragmentation in ep-Streuung 

Protonrest 

herausgeschlagenes 

Quark 


Fragmentation / Jet-Formation in e + e - 

Die Eigenschaften der 

Quark-Jets sind im 

Wesentlichen durch die 

Eigenschaften des Quarks 

selbst gegeben (Impuls, 

Quantenzahlen). 

In erster Näherung 

fragmentieren die 

farbgeladenen Teilchen 

der harten Wechselwirkung 

unabhängig von einander. 


Fragmentation schwerer Quarks 

schwere Quarks = Charm, 

Bottom 

(Top-Quark: keine Hadronen) 

Wahrscheinlichkeit für Bildung eines Mesons ist am größten, wenn Quark und 

Antiquark gleiche Geschwindigkeit haben. 

Schwere Quarks müssen nur einen kleinen Teil ihrer Energie verlieren, bis 

leichte Antiquarks gleicher Geschwindigkeit entstehen. 

⇒ das schwere Meson trägt einen großen Anteil der ursprünglichen 

Quarkenergie. 

z = E H /E Q ~ 1 harte Fragmentation 


Quantitativ: Fragmentationsfunktion 

Petersen- 

Fragmentationsmodell 

ε = Petersen-Parameter 

Fragmentation schwerer Quarks (c,b) ist hart, 

d.h. die c- bzw. B-Hadronen tragen den größten 

Teil der Quarkenergie weg. 


Zusammenfassung QCD Teil 2 

Stichworte 

• Nachweis der Farbladung: Baryonresonanzen, R-Verhältnis von e + e - → 

Hadronen, Verzweigungsverhältnisse des τ-Leptons, Zerfallsrate des π 0 

• Nachweis des Gluons, Spin des Gluons 

• Laufende Kopplungskonstante, asymptotische Freiheit, OZI-Regel, 

Charmonium-Lebensdauer 

• QCD-Potential, Cofinement, Fragmentation, Hadron-Jets

Tiefinelastische Streuung, Strukturfunktionen

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