Aufgabenblatt 1

Übungen zur Wahlfach-Vorlesung ”Halbleiter-Quantenoptik” (SS 2011)<br />

Prof. Dr. Peter Michler und Dr. Sven Ulrich<br />

Übungblatt 1<br />

Ausgabe am 02.05.2011<br />

Besprechung am 11.05.2011<br />

Aufgabe 1.1: De Broglie-Wellenlänge (I) – Freies Elektron im elekrischen Feld<br />

(6 Punkte)<br />

Wie erstmals im Jahre 1924 von Louis de Broglie postuliert wurde, kann jedem Körper<br />

bekannter Masse m und kinetischer Energie E kin die Eigenschaft einer Materie-Welle mit<br />

Wellenlänge<br />

λ De Broglie h<br />

= √ 2m0 · E kin<br />

zugeschrieben werden, die die effektive Längenskala von beobachtbaren Beugungs- und Interferenzphänomenen<br />

bezeichnet. In der Tat wird diese vielfach verifizierte grundlegende<br />

Eigenschaft heutzutage benutzt, um Strukturanalysen z.B. mittels TEM (Transmissions-<br />

Elektronenmikroskopie) an Kristallen mit hoher räumlicher Auflösung durchzuführen.<br />

Hierbei wird die Beugung von Elektronen geeigneter Wellenlänge an den Netzebenen<br />

des Kristallgitters ausgenutzt, um Aufschluß über die Qualität der Kristallstruktur zu<br />

gewinnen.<br />

(a) In einem Elektronenmikroskop werden Elektronen mittels elektrischem Feld auf eine<br />

Energie von E kin = 70 keV beschleunigt. Bestimmen Sie die Wellenlänge eines<br />

solchen Elektrons. (m 0 Ruhemasse des Elektrons; h Planck’sches Wirkungsquantum)<br />

(3 Punkte)<br />

(b) Sie wollen Elektronenbeugungsexperimente an den Gitterebenen eines Lithium--<br />

Chlorid-Kristalls durchführen, bei denen der Abstand d zwischen je einem Li + - und<br />

einem Cl − -Ion gerade d = 0.257 nm beträgt. Berechnen Sie die Energie (in Joule<br />

und eV), die ein Elektron besitzen muß, damit die De Broglie-Wellenlänge λ gerade<br />

dem Gitterabstand d entspricht. (3 Punkte)<br />

Aufgabe 1.2: De Broglie-Wellenlänge (II) – Makroskopischer Körper<br />

(5 Punkte)<br />

Bestimmen Sie mit Hilfe des in Aufgabe 1.1 angegebenen Ausdrucks die De Broglie-<br />

Wellenlänge eines Baseballs der Masse m = 0.145 kg, der mit einer Geschwindigkeit von<br />

De Broglie<br />

v = 30 m/s geschossen wird. Hat die Größenskala von λ in diesem Fall noch<br />

meßbare Auswirkungen?

---

Aufgabe 1.3: De Broglie-Wellenlänge (III) – Elektronen und Löcher im HL<br />

(5 Punkte)<br />

Verwenden Sie nun die in der Vorlesung gegebene Formel für die De Broglie-Wellenlänge<br />

De Broglie<br />

λe,h =<br />

h<br />

√ 3 m<br />

⋆<br />

e,h<br />

k B T<br />

,<br />

um diese speziell für Elektronen und Löcher in verschiedenen Halbleiter-Materialsystemen<br />

und für unterschiedliche Temperaturen zu berechnen. Die in der folgenden Tabelle gegebenen<br />

Parameter sollen zu ihrer Berechnung herangezogen werden. Beachten Sie, daß hier<br />

die effektiven Elektronen- und Lochmassen in die Rechnung eingehen, welche jeweils auf<br />

die Ruhemasse des Elektrons m 0 bezogen sind! In der o.g. Gleichung bezeichnen k B die<br />

Boltzmann-Konstante, h das Planck’sche Wirkungsquantum und T die absolute Temperatur.<br />

Materialsystem: T (K) = eff. Elektronenmasse m ⋆ e = eff. Lochmasse m ⋆ h =<br />

GaAs 4 0.0665 · m 0 –<br />

70 0.0672 · m 0 0.45 · m 0<br />

300 0.069 · m 0 0.5 · m 0<br />

GaN 300 0.27 · m 0 0.8 · m 0<br />

InP 300 0.077 · m 0 0.45 · m 0<br />

CdSe 1.8 0.13 · m 0 0.45 · m 0<br />

300 0.15 · m 0 –<br />

ZnSe 200 0.16 · m 0 0.75 · m 0