Prädikatenlogik Teil 4

Elementare Beweistechniken 

Übersicht: 

1 Teil 1: Syntax und Semantik 

2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe 

3 Teil 3: Modellierung und Beweise 

4 Teil 4: Substitution, Unifikation und Resolution 

Prädikatenlogik H. Kleine Büning 1/32

Substitution 

Unter einer Substitution [x/t] verstehen wir die simultane Ersetzung aller 

Vorkommen der Variablen x durch einen Term t. Dieser Ersetzungsvorgang 

wird induktiv für Terme und Formeln definiert durch: 

(1) x[x/t] = t und für eine Individuenvariable y ≠ x ist y[x/t] = y. 

(2) Für eine Individuenkonstante a ist a[x/t] = a. 

(3) Für eine n-stellige Funktion f und Terme t 1 , . . . , t n ist 

f (t 1 , . . . , t n )[x/t] = f (t 1 [x/t], . . . , t n [x/t]). 


Substitution 

Unter einer Substitution [x/t] verstehen wir die simultane Ersetzung aller 

Vorkommen der Variablen x durch einen Term t. Dieser Ersetzungsvorgang 

wird induktiv für Terme und Formeln definiert durch: 

(1) x[x/t] = t und für eine Individuenvariable y ≠ x ist y[x/t] = y. 

(2) Für eine Individuenkonstante a ist a[x/t] = a. 

(3) Für eine n-stellige Funktion f und Terme t 1 , . . . , t n ist 

f (t 1 , . . . , t n )[x/t] = f (t 1 [x/t], . . . , t n [x/t]). 

(4) Für ein n-stelliges Prädikat P und Terme t 1 , . . . , t n ist 

P(t 1 , . . . , t n )[x/t] = P(t 1 [x/t], . . . , t n [x/t]). 

(5) Ist α eine Formel und ist α[x/t] definiert, so ist (¬α)[x/t] = ¬α[x/t]. 

(6) Sind α und β Formeln und sind α[x/t] und β[x/t] definiert, so ist 

(α ∨ β)[x/t] = α[x/t] ∨ β[x/t] und (α ∧ β)[x/t] = α[x/t] ∧ β[x/t]. 

(7) Für eine Formel α und eine Variable y gilt: 

(a) Gilt x ∉ freevars(α), so ist (∃yα)[x/t] = ∃yα und (∀yα)[x/t] = ∀yα. 

(b) Gilt x ∈ freevars(α), y ∉ vars(t) und ist α[x/t] definiert, so ist 

(∃yα)[x/t] = ∃yα[x/t] und (∀yα)[x/t] = ∀yα[x/t]. 


Substitution 

Beispiele: 

1. f (x, x, a, y)[x/g(z)] = f (g(z), g(z), a, y) 

2. f (x)[x/f (x)] = f (f (x)) 

3. f (a, g(y))[a/z] oder f (a, g(y))[g(y)/z] 

Unzulässige Substitutionen: Nur Variable dürfen ersetzt werden. 

4. P(x) ∨ S(x, y)[x/f (g(z)] = P(f (g(z))) ∨ S(f (g(z), y) 

5. ∀xP(x)[x/y] = ∀xP(x) 

6. ∃xP(x, y)[y/b] = ∃xP(x, b) 

7. ∃xP(x, y)[y/g(x)] undefiniert 


Substitution 

Definition 1 (Substitution) 

Für paarweise verschiedene Variablen x 1 , . . . , x n bezeichnen wir mit 

[x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ] die Substitution, die simultan alle passenden Vorkommen 

der Variablen x 1 , . . . , x n durch die Terme t 1 , . . . , t n ersetzt entsprechend 

der Vorgaben auf der vorletzten Folie. 

Eine Ersetzungsliste [x 1 /t 1 ] . . . [x n /t n ] darf nicht mit einer Substitution 

[x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ] verwechselt werden. 

Eine Ersetzungsliste [x 1 /t 1 ] . . . [x n /t n ] beschreibt die Ausführung der 

Einzelsubstitutionen von links nach rechts hintereinander in genau dieser 

Reihenfolge. 


Substitution 

Beispiele: 

f (x, y, z)[x/g(a), y/h(x), z/b] = f (g(a), h(x), b) 

P(x, f (x), z)[x/f (x), z/x] = P(f (x), f (f (x)), x) 

Q(x, y, z)[x/y, y/z, z/x] = Q(y, z, x) 

[x/y][y/z][z/a] = [x/z, y/z][z/a] 

= [x/a, y/a, z/a] 


Unifikation 

Satz 2 

Seien x eine freie Variable der prädikatenlogischen Formel α und seien 

weiter x 1 , . . . , x n die Variablen des Terms t. Wenn die Variablen x 1 , . . . , x n 

in α nicht vorkommen, dann gilt für die Substitution [x/t]: 

∀xα |= ∀x 1 . . . ∀x n α[x/t] 


Satz 3 

Sei α eine quantorfreie prädikatenlogische Formel mit Variablen x 1 , . . . x n 

sowie σ eine Substitution. Seien y 1 , . . . , y m die Variablen in ασ, dann gilt: 

Beispiel: 

∀x 1 . . . ∀x n α |= ∀y 1 . . . ∀y n (ασ) 

α = (P(x 1 , g(x 2 )) ∨ ¬S(a, x 3 , x 2 )) und σ = [x 1 /f (y 1 ), x 2 /b, x 3 /y 2 ] 

ασ = (P(f (y 1 ), g(b)) ∨ ¬S(a, y 2 , b)) 

∀x 1 ∀x 2 ∀x 3 α |= ∀y 1 ∀y 2 (P(f (y 1 ), g(b)) ∨ ¬S(a, y 2 , b)) 


Unifikation 

Definition 4 (Unifikator) 

Seien α 1 und α 2 prädikatenlogische Formeln. Eine Substitution 

[x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ] heißt Unifikator von α 1 und α 2 , falls gilt 

α 1 [x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ] = α 2 [x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ]. 

α 1 und α 2 heißen dann unifizierbar. 

Beispiele: 

α 1 = P(x) ∨ ¬S(x, y, a) und α 2 = P(z) ∨ ¬S(x 1 , b, u) 

für σ = [x/z, x 1 /z, y/b, u/a] gilt 

α 1 σ = α 2 σ = P(z) ∨ ¬S(z, b, a) 


Unifikation 

Definition 4 (Unifikator) 

Seien α 1 und α 2 prädikatenlogische Formeln. Eine Substitution 

[x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ] heißt Unifikator von α 1 und α 2 , falls gilt 

α 1 [x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ] = α 2 [x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ]. 

α 1 und α 2 heißen dann unifizierbar. 

Beispiel: 

α 1 = P(x) ∨ ¬S(x, a, a) und α 2 = P(z) ∨ ¬S(x 1 , b, u) 

Es gibt keinen Unifikator, da a und b Konstantensymbole sind. 

Beispiel: 

R(f (x)) und R(g(y)) sind nicht unifizierbar (verschiedene 

Funktionssymbole). 


Unifikation 

Definition 5 (Allgemeinster Unifikator) 

Ein Unifikator σ der prädikatenlogischen Formeln α 1 und α 2 heißt 

allgemeinster Unifikator (most general unifier, mgu) von α 1 und α 2 , 

wenn es zu jedem anderen Unifikator τ von α 1 und α 2 eine Substitution τ ′ 

existiert, so dass gilt σ ◦ τ ′ = τ. 

σ ◦ τ ′ bezeichnet die Hintereinanderausführung der beiden Substitutionen 

σ und τ ′ (erst σ anwenden, dann τ ′ ). 

Für σ = [y 1 /s 1 , . . . , y m /s m ] und τ ′ = [x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ] gilt dann, 

σ ◦ τ ′ = [x 1 /t 1 , . . . , x n /t n ][y 1 /s 1 , . . . , y m /s m ] 

= [x 1 /(t 1 [y 1 /s 1 , . . . , y m /s m ]), . . . , x n /(t n [y 1 /s 1 , . . . , y m /s m ]), y 1 /s 1 , . . . , y m /s m ] 


Allgemeinster Unifikator 

Suche nach allgemeinsten Unifikatoren: 

Sind P(t 1 , . . . , t n ) und P(t ′ 1 , . . . , t′ n) zwei verschiedene Primformeln, so 

wird das erste Paar korrespondierender, verschiedener Terme (s, s ′ ) von 

P(t 1 , . . . , t n ) und P(t ′ 1 , . . . , t′ n) dadurch bestimmt, dass man in der 

Argumentliste von P von links nach rechts das erste Termpaar sucht, das 

in beiden Primformeln verschieden ist. Dabei werden auch die 

Argumentlisten der vorkommenden Funktionen in gleicher Weise von links 

nach rechts durchsucht. 

Beispiele: 

1. P(a, x) und P(x ′ , y ′ ): Termpaar (a, x ′ ) 

2. P(a, x) und P(a, b): Termpaar (x, b), 

3. P(a, f (x, b)) und P(a, f (b, x)): Termpaar (x, b) 

4. P(a, f (g(x), y)) und P(a, f (h(z), u)): Termpaar (g(x), h(z)). 


Unifikation 

Unifikationsverfahren nach Robinson: 

Seien P(t 1 , . . . , t n ) und P(t ′ 1 , . . . , t′ n) zwei Primformeln. 

1 Setze σ = [ ] (leere Substitution) und α 1 = P(t 1 , . . . , t n ), sowie 

α 2 = P(t ′ 1 , . . . , t′ n). 

2 Falls α 1 und α 2 zeichenweise gleich sind, ist σ der allgemeinste 

Unifikator. 

3 Bestimme in α 1 und α 2 das erste Paar korrespondierender, 

verschiedener Terme (s, s ′ ). 

1 Falls s eine Variable ist und s nicht in s ′ vorkommt, setze 

σ = σ ◦ [s/s ′ ] und α 1 := α 1 [s/s ′ ], sowie α 2 := α 2 [s/s ′ ]. Gehe zu 2. 

2 Falls s ′ eine Variable ist und s ′ nicht in s vorkommt, setze 

σ = σ ◦ [s ′ /s] und α 1 := α 1 [s ′ /s], sowie α 2 := α 2 [s ′ /s]. Gehe zu 2. 

3 Sonst: Die Ausgangsformeln sind nicht unifizierbar. 


Unifikations 

Beispiel: 

α 1 = P(x, x, f (y), a, x) und α 2 = P(x, z, f (w), z, u) 

1. σ = [ ], Paar korrespondierender, verschiedener Terme (x, z) 

2. σ = [x/z] 

α 1 := α 1 [x/z] = P(z, z, f (y), a, z) und 

α 2 := α 2 [x/z] = P(z, z, f (w), z, u) 

3. σ := [x/z][y/w] Termpaar (w, y) 

α 1 := α 1 [y/w] = P(z, z, f (w), a, z) und 

α 2 := α 2 [y/w] = P(z, z, f (w), z, u) 

4. σ = [x/z][y/w][z/a] Termpaar (a, z) 

α 1 := α 1 [z/a] = P(a, a, f (w), a, a) und 

α 2 := α 2 [z/a] = P(a, a, f (w), a, u) 

5. σ = [x/z][y/w][z/a][u/a] Termpaar (a, u) 

α 1 := α 1 [z/a] = P(a, a, f (w), a, a) und 

α 2 := α 2 [z/a] = P(a, a, f (w), a, a) 

Allgemeinster Unifikator ist σ = [x/a, y/w, z/a, u/a] 


Unifikation 

Beispiele: 

1. α 1 = P(x, b) und α 2 = P(x, a) 

Es gibt keinen allgemeinsten Unifikator: 

erstes Paar korrespondierender, verschiedener Terme ist (b, a), beide 

Terme sind Konstanten. 

2. α 1 = P(f (x)) und α 2 = P(g(x)) 


erstes Paar korrespondierender, verschiedener Terme ist (f (x), g(x)), 

verschiedene Funktionssymbole. 

3. α 1 = P(x) und α 2 = P(f (x)) 


erstes Paar korrespondierender, verschiedener Terme ist (x, f (x)), x 

kommt in f (x) vor. 

4. α 1 = P(f (y)) und α 2 = P(f (x)) 

σ = [y/x] ist ein allgemeinster Unifikator, σ ′ = [x/y] ebenso. 


Resolution 

Voraussetzung: 

Geschlossene Formel in Skolem Normalform mit Kern in KNF 

Φ = ∀x 1 . . . ∀x n (α 1 ∧ . . . ∧ α r ) 

1. α i sind Klauseln für 1 ≤ i ≤ r 

2. α i enthalten keine Quantoren für 1 ≤ i ≤ r 

3. Φ enthält keine freien Variablen 

Ziel: 

Kalkül (Beweisregeln), um zu entscheiden, ob Φ widerspruchsvoll ist, 

analog zur aussagenlogischen Resolution. 


Resolution 

In der Prädikatenlogik benötigen wir eine stärkere Regel, um Literale 

zusammenziehen zu können. Betrachten wir beispielsweise die Klausel 

∀x∀y(P(x, y) ∨ P(y, x)) 

Als Spezialfall dieser Aussage erhalten wir die Klausel ∀x P(x, x). Wenn 

also zwei Literale einer Klausel α mit einer Substitution σ unifiziert werden 

können, dann enthält ασ zwei gleiche Literale, die mit Hilfe der 

Idempotenzregel zu einem Literal zusammengezogen werden können. Für 

das Beispiel bedeutet dies mit σ = [y/x]: 

∀x∀y(P(x, y) ∨ P(y, x)) |= ∀x(P(x, x) ∨ P(x, x)) |= ∀xP(x, x) 

Notation : Klauseln {L 1 ∨ . . . ∨ L r } in Mengenschreibweise {L 1 , . . . , L r } 


Faktorisierung 

Definition 6 

Binäre Faktorisierungsregel 

{L 1 , . . . , L k , L, L ′ } 

{L 1 σ, . . . , L k σ, Lσ} (Fakt) 

mit σ allgemeinster Unifikator von L und L ′ . 

Die so gewonnene neue Klausel heißt Faktor der Ausgangsklausel. 


Faktorisierung 

Beispiel: 

{P(x), ¬R(x, z), P(y), P(a)} 

(Fakt) 

{P(y), ¬R(y, z), P(a)} 

mit allgemeinstem Unifikator σ = [x/y] für P(x) und P(y) 

{P(y), ¬R(y, z), P(a)} 

(Fakt) 

{P(a), ¬R(a, z)} 

mit allgemeinstem Unifikator σ = [y/a] für P(y) und P(a) 

Es gilt: 

∀x∀y∀z (P(x) ∨ ¬R(x, z) ∨ P(y) ∨ P(a)) |= ∀z (P(a) ∨ ¬R(a, z)) 


Resolution 

Konjunktion von allquantifizierten Klauseln. 

α = ∀x∀z(¬P(a, x) ∨ ¬P(x, z)) ∧ ∀x∀y(P(a, b) ∨ P(x, y) ∨ P(y, x)) 

Umbennenung 

α ≈ α ∧ ∀x∀y(¬P(a, x) ∨ ¬P(x, y)) ∧ ∀u∀v(P(a, b) ∨ P(u, v) ∨ P(v, u)) 

Die beiden variablenfremden Klauseln können wir unter einem 

gemeinsamen Präfix zusammenfassen durch die Quantifizierungsregeln. 

α ≈ α ∧ ∀x∀y∀u∀v((¬P(a, x) ∨ ¬P(x, y)) ∧ (P(a, b) ∨ P(u, v) ∨ P(v, u))) 

Auswahl von Literalen für die Resolution 

Wähle ¬P(a, x) aus Klausel 1 und P(u, v) aus Klausel 2. 


Resolution 

Unifikation 

P(a, x), P(u, v) unifizieren =⇒ σ = [u/a, v/x] allgemeinster Unifikator 

Falls ein allgemeinster Unifikator σ existiert, bilden wir die beiden 

entsprechend spezialisierten Klauseln. 

α ≈ α ∧ ∀x∀y((¬P(a, x) ∨ ¬P(x, y)) ∧ (P(a, b) ∨ P(a, x) ∨ P(x, a))) 

Die Anwendung der Resolutionsregel auf die spezialisierten Klauseln 

entspricht dann einem Kettenschluss. 

α ≈ α ∧ ∀x∀y((P(a, x) → ¬P(x, y)) ∧ ((¬(P(a, b) ∨ P(x, a)) → P(a, x))) 

Die Resolvente ist insgesamt eine Folgerung der Ausgangsformel. 

α ≈ α ∧ ∀x∀y(¬P(x, y) ∨ P(a, b) ∨ P(x, a)) 


Resolution 

Auch diese Schritte werden zu einer einzigen Regel, der sogenannten 

Resolutionsregel, zusammengefasst, die zwei Klauseln einer Formel über 

ein Literalpaar resolviert. 

Definition 7 

Binäre Resolutionsregel 

{L 1 , . . . , L k , L} {K 1 , . . . , K r , ¬L ′ } 

(Res) 

{L 1 σ, . . . , L k σ, K 1 σ, . . . , K r σ} 


Beachte, dass durch die binäre Resolutionsregel genau zwei Literale in der 

Resolvente eliminiert wurden. 


Resolution 

Beispiele: 

{¬P(a, x), ¬P(x, z)} 

{¬P(a, a)} 

{P(a, b), P(x, y), P(y, x)} 

[x/a, z/a] 

{P(a, b), P(x, x)} 

{P(a, b)} 

[y/x] 

[x/a] 

{¬P(x), P(f (x)))} 

{¬P(x), P(f (f (x))))} 

{¬P(y), P(f (y)))} 

[y/f (x)] 


Resolution 

Binäre Faktorisierung: 

1 Wähle eine Klausel κ aus. 

2 Wähle in der Klausel κ zwei Literale L und L ′ mit gleichem 

Vorzeichen (negiert oder nicht negiert) und dem gleichen Prädikat. 

3 Bestimme den allgemeinsten Unifikator σ für L und L ′ . 

4 Bestimme den Faktor: 

Bilde κσ und eliminiere darin ein Vorkommen von Lσ. 


Resolution 

Binäre Resolution: 

1 Wähle zwei Klauseln κ 1 und κ 2 aus. 

2 Benenne die Variablen so um, dass keine Variable in beiden Klauseln 

vorkommt. Die Klauseln sind dann variablenfremd. 

3 Wähle in der Klausel κ 1 ein Literal L und in κ 2 ein komplementäres 

Literal L ′ (d.h. L negiert und L ′ positiv oder umgekehrt), wobei L und 

L ′ Literale über dem gleichen Prädikat sind. 

4 Bestimme den allgemeinsten Unifikator σ für L und L ′ . 

5 Bestimme die Resolvente: 

Zusammenfassung der Literale von κ 1 σ und von κ 2 σ ohne die von L 

un L ′ abgeleiteten Instanzen Lσ und von L ′ σ. 


Resolution 

Satz 8 

Sei α eine geschlossene prädikatenlogische Formel in Skolem Normalform 

mit Kern in KNF. Dann gilt: 

α widerspruchsvoll genau dann, wenn α | FAKT+RES 

⊔ gilt. 


Resolution 

Sei k eine beliebige, aber feste natürliche Zahl: 

Die leere Klausel wurde nach höchstens k Resolutionsschritten (binäre 

Faktorisierung und binäre Resolution) hergeleitet. 

Dann ist α widerspruchsvoll. 

Nach höchstens k Resolutionen war keine neue Klausel mehr 

generierbar und die leere Klausel wurde nicht generiert. Dann ist α ist 

erfüllbar. 

Nach k Resolutionsschritten war die leere Klausel noch nicht generiert 

worden und die Bildung neuer Resolventen war noch nicht beendet. 

Dann ist offen, ob α erfüllbar ist. 

Bemerkung: 

Das Erfüllbarkeitsproblem für die Prädikatenlogik erster Stufe ist 

unentscheidbar. 

(Nachweis z.B. durch Beschreibung des Halteproblems für 

Turingmaschinen, vgl. Vorlesung EBKfS) 


Unit-Resolution 

analog zur Aussagenlogik 

Definition 9 (Unit-Resolutionsregel) 

Unter der Unit-Resolutionsregel verstehen wir den Spezialfall der binären 

Resolutionsregel, bei dem eine der Elternklauseln nur aus einem Literal 

besteht: 

{L} {K 1 , . . . , K r , ¬L ′ } 

(Unit-Res) 

{K 1 σ, . . . , K r σ} 


Beobachtung: 

Die Unit-Resolution ist nicht widerlegungsvollständig (siehe Ausagenlogik). 

Φ = (P(a) ∨ R(a)) ∧ (¬P(a) ∨ R(a)) ∧ (P(a) ∨ ¬R(a)) ∧ (¬P(a) ∨ ¬R(a)) 

ist widerspruchvoll, aber es gilt nicht Φ | Unit-Res 

⊔. 



Beispiel: 

Jeder Student hat einen Studentenausweis. Jeder Studentenausweis hat 

eine Matrikelnummer. Meier ist Student und Müller ist Student. 

β = Stud(meier) ∧ Stud(mueller)∧ 

∀x((Stud(x) → Ausweis(x)) ∧ (Ausweis(x) → Matnr(x))) 

logisch äquivalent zu 

α = ∀x(Stud(meier) ∧ Stud(mueller)∧ 

(Stud(x) → Ausweis(x)) ∧ (Ausweis(x) → Matnr(x))) 

Anfrage: 

Hat Müller eine Matrikelnummer? 

Folgt Matnr(mueller) aus der Formel? 

Gilt α |= Matnr(mueller)? 



Beispiel (Fortsetzung): 

α = ∀x(Stud(meier) ∧ Stud(mueller)∧ 

(Stud(x) → Ausweis(x)) ∧ (Ausweis(x) → Matnr(x))) 

Gilt α |= Matnr(mueller)? 

α |= Matnr(mueller) 

gdw. α ∧ ¬Matnr(mueller) ist widerspruchsvoll 

gdw. α ∧ ¬Matnr(mueller) | FAKT+RES 

⊔ 

Unit-Resolutionswiderlegung 

Stud(mueller), (¬Stud(x) ∨ Ausweis(x)) | Unit-Res 

σ = [x/mueller] 

Ausweis(mueller), (¬Ausweis(x) ∨ Matnr(x)) | Unit-Res 

σ = [x/mueller] 

Matnr(mueller), ¬Matnr(mueller) | Unit-Res 

⊔ 

Ausweis(mueller), 

Matnr(mueller), 


Folgerung - Resolution 

Frage: Gilt α |= β für geschlossene Formeln α und β? 

1 Bilde α ∧ ¬β (indirekt). 

2 Transformiere α ∧ ¬β in eine erfüllbarkeits-äquivalente Skolem 

Normalform mit Kern in KNF; sei dies Φ. 

3 Versuche Φ | FAKT+RES 

⊔ zu zeigen. 

Es gilt α |= β, falls die leere Klausel herleitbar ist 


Folgerung - Resolution 

Beispiel: 

Transformationsschritte 

1 1. ∀x∀yP(x, y, a) |= ∃y∀xP(x, x, y) 

2 2. ∀x∀yP(x, y, a) ∧ ¬(∃y∀xP(x, x, y)) 

3 3. ∀x∀yP(x, y, a) ∧ ∀y∃x¬P(x, x, y) 

4 4. ∀x∀yP(x, y, a) ∧ ∀y 1 ∃x 1 ¬P(x 1 , x 1 , y 1 ) 

5 5. ∀y 1 ∃x 1 ∀x∀y (P(x, y, a) ∧ ¬P(x 1 , x 1 , y 1 ) 

6 6. ∀y 1 ∀x∀y (P(x, y, a) ∧ ¬P(f (y 1 ), f (y 1 ), y 1 )) 

Es gibt eine Herleitung zur leeren Klausel, also gilt die Folgerung. 

(Der allgemeinste Unifikator ist [x/f (a), y/f (a), y 1 /a])

Prädikatenlogik Teil 4

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