Umdruck - Institut für Thermodynamik und Wärmetechnik

Umdruck zur Vorlesung: Grundlagen der Wärmeübertragung 

apl. Prof. Dr.-Ing. K. Spindler 

Dipl.-Ing. A. Frank 

Institut für Thermodynamik und Wärmetechnik 

Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 6, 70550 Stuttgart

Inhaltsverzeichnis 

dimensionslose Kennzahlen .................................................................................................. 1 

1. Wärmeleitung .................................................................................................................... 2 

1.1 Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung) ...................... 2 

1.2 Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe ......... 4 

1.3 Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des 

Anpressdrucks ................................................................................................................... 5 

1.4 Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung ......................... 6 

1.5 Wärmeleitung durch Rippen ......................................................................................... 8 

1.6 instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle ............................................ 9 

1.6.1 unendliche Platte ..................................................................................................10 

1.6.2 unendlicher Zylinder .............................................................................................12 

1.6.3 Bi unendlich .....................................................................................................13 

1.6.4 halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte ..........................14 

2. konvektiver Wärmeübergang ............................................................................................17 

2.1 Erhaltungssätze für strömende Fluide .........................................................................17 

2.1.1 Kontinuitätsgleichung ...........................................................................................17 

2.1.2 Energiegleichung ..................................................................................................19 

2.1.3 Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen ..............21 

2.2 Prandtl’sche Grenzschichttheorie ................................................................................22 

2.3 hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien ...........................................23 

2.4 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion .............24 

2.5 Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion .............................................................25 

2.6 freie Konvektion an einer senkrechten Wand ..............................................................34 

2.7 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion .........................36 

2.8 Nu-Korrelationen für freie Konvektion .........................................................................37 

3. Kondensation ...................................................................................................................40 

3.1 Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt’sche Wasserhauttheorie .......40 

3.2 Nu-Korrelationen für Kondensation .............................................................................43 

4. Sieden ..............................................................................................................................46 

4.1 Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden ..................................46 

4.2 Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden ............................50 

5. typische -Werte ..............................................................................................................52 

6. Wärmestrahlung ...............................................................................................................53 

6.1 Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten .....................53 

6.2 Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien ....................................................54 

6.3 Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe ...............................................................55 

7. Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom .................56

Literatur zur Vorlesung 

[1] Baehr, H.D./Stephan, K. (Springerlink) Wärme- und Stoffübertragung 

Springer Verlag 2010 

[2] Baehr, H.D./Stephan, K. Heat and Mass Transfer 

(englische Version von [1]) Springer Verlag 2011 

[3] Böckh, P.v./ Wetzel, T. (Springerlink) Wärmeübertragung 

Springer Verlag, 2011 

[4] Herwig H./ Moschallski, A. (Springerlink) Wärmeübertragung 

Springer Verlag, 2006 

[5] Incropera, F.P./ DeWitt, D.P. Introduction to Heat Transfer 

5 th Edition, John Wiley & Sons, New York, 2007 

[6] Marek, R./ Nitsche, K. Praxis der Wärmeübertragung 

Carl Hanser Verlag München, 2007 

[7] Merker, G.P./ Eiglmeier, C. Fluid- und Wärmetransport Wärmeübertragung 

B.G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, 1999 

[8] Polifke, W./ Kopitz, J. Wärmeübertragung 

Pearson Studium, 2005 

[9] Wagner, W. Wärmeübertragung 

Vogel Verlag 5. Auflage, Würzburg 1998 

Konvektion 

[10] Merker, G.P. Konvektive Wärmeübertragung 

Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1987 

Konvektion mit Phasenübergang 

[11] Stephan, K. Wärmeübergang beim Kondensieren und Sieden 

Springer Verlag, Berlin, 1988 

Strahlung 

[12] Siegel, R./ Howell, J.R./ Lorengel, J. Wärmeübertragung durch Strahlung Teil 1: 

Grundlagen und Materialeigenschaften 

Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1987 

Wärmeleitung 

[13] Tautz, H. Wärmeleitung und Temperaturausgleich 

Verlag Chemie GmbH, Weinheim/Bergstr., 1971 

Nachschlagewerke 

[14] Rohsenow, W.M./ Hartnett, J.P./ Handbook of Heat Transfer 

Young I.C 3 rd Edition, McGraw – Hill Book Co., New York, 1998 

[15] VDI-Wärmeatlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang 

VDI-Verlag, 10. Auflage 2006 

[16] VDI Heat Atlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang 

2 nd Edition, VDI-Verlag, 2010

Formelzeichen 

a c m 2 /s Temperaturleitfähigkeit 

A, f m 2 Fläche 

( c) 2 Ws 1/2 /m 2 K Wärmeeindringkoeffizient 

B m Breite, Tiefe 

c J/kgK spezifische Wärmekapazität 

C 1,2 W/m 2 K 4 Strahlungsaustauschkonstante 

c i kg/m 3 , kmol/m 3 Konzentration 

C 

Konstante 

C s W/m 2 K 4 Strahlungskonstante des schwarzen 

Körpers 

d, D m Durchmesser 

d h m hydraulischer Durchmesser 

D w m Durchmesser der Rohrwendel 

D m 2 /s Diffusionskoeffizient 

E J Energie 

̇ W Energiestrom 

F N Kraft 

F p N Druckkraft 

F * m Formkoeffizient 

- Formfaktor 

g m/s 2 Erdbeschleunigung 

H m Höhe 

h J/kg spezifische Enthalpie 

i W/m 2 Intensität 

i W/m 2 m monochromatische Intensität 

k W/m 2 K Wärmedurchgangskoeffizient 

l, L m Länge 

M kg Masse 

̇ kg/s Massenstrom 

̇ kg/m 2 s Massenstromdichte 

p Pa, bar, N/m 2 Druck 

P W Leistung 

Q J Wärmemenge 

̇ W Wärmestrom 

̇ W/m 2 Wärmestromdichte 

̇ W/m 2 Wärmestromdichte an der 

Wandoberfläche

̇ W/m 3 Quellendichte 

r, R m Radius 

s m Spaltbreite 

t s Zeit 

t s Zeitdifferenz 

T K thermodynamische Temperatur 

T s K Sättigungstemperatur bei geg. Druck 

T w K Wandtemperatur 

u J/kg spezifische innere Energie 

U m Umfang 

V m 3 Volumen 

v m 3 /kg spezifisches Volumen 

w m/s Geschwindigkeit 

w p J/kg spezifische Druckänderungsarbeit 

m/s 

Geschwindigkeit der ungestörten 

Strömung 

x m Koordinate ab Beginn Wandströmung 

m 

Koordinate ab Beginn Wandheizung 

y m Ortskoordinate 

Z 

Zustandsgröße 

W/m 2 K 

W/m 2 K 

W/m 2 K 

Wärmeübergangskoeffizient 

* - Absorptionsgrad 

mittlerer Wärmeübergangskoeffizient 

örtlicher Wärmeübergangskoeffizient 

( ) 1/K isobarer thermischer Ausdehnungskoeffizient 

m/s 

Stoffübergangskoeffizient 

° Neigungswinkel 

m 

Grenzschichtdicke 

- Emissionsgrad 

Pas, Ns/m 2 , kg/ms 



dynamische Viskosität 

dynamische Viskosität bei 

Fluidtemperatur 

dynamische Viskosität bei 

Wandtemperatur 

- Sichtfaktor, Einstrahlzahl 

1/s 2 Dissipationsfunktion 

°C Temperatur 

°C Bezugstemperatur für Stoffwerte

°C Anfangstemperatur 

°C Rippentemperatur 

°C Temperatur der ungestörten Strömung 

°C Temperatur der Wandoberfläche 

°C mittlere Eintrittstemperatur 

2 °C mittlere Austrittstemperatur 

- 2 

K Temperaturänderung eines Fluids 

- 2 

K Temperaturdifferenz, Übertemperatur 

W/mK 

Wärmeleitfähigkeit 

m 2 /s 

kinematische Viskosität 

- Druckverlustbeiwert 

kg/m 3 

Dichte 

kg/m 3 

Fluiddichte bei Wandtemperatur 

- Reflexionsgrad 

N/m 

Oberflächenspanung 

W/m 2 K 4 

Stefan-Boltzmann-Konstante 

( 2 ) 

- 

W 

2 

- Isentropenexponent 

N/m 2 

Schubspannung 

- Transmissionsgrad 

weitere Indizes 

D 

F 

G 

R 

x,y,z 

Stoffdaten des Dampfes 

Stoffdaten der Flüssigkeit 

Stoffdaten des Gases 

Rippe 

Vektorkomponente in x-/y-/z-Richtung 

Superscripts 

gesättigte Flüssigkeit (x=0) 

gesättigter Dampf (x=1)

mathematische Hilfsmittel und Operatoren 

Divergenz eines Vektorfeldes (Skalar) ( ⃗⃗ ) 

Gradient eines Skalars (Vektor) ( ) [ ] 

Laplace-Operator eines Skalars (Skalar) ( ( )) 

Nabla-Operator eines Skalars ( ) 

Nabla-Operator eines Vektors ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) 

partielle Ableitung 

Rotation eines Vektorfeldes (Vektor) ( ⃗⃗ ) [ ] 

Satz von Taylor ̇ ( ) ̇ ( ) 

̇ ̇ 

substantielle Ableitung (vgl. totale Ableitung) 

( ) 

⃗⃗ ( ) 

totale Ableitung einer Zustandsgröße nach der Zeit 

( ) 

⃗⃗ ( )

dimensionslose Kennzahlen 

Archimedes-Zahl 

Biot-Zahl 

( des Feststoffs) 

Euler-Zahl 

Fourier-Zahl 

Froude-Zahl 

√ 

Galilei-Zahl 

Grashof-Zahl 

Graetz-Zahl 

Jakob-Zahl 

Kondensations-Zahl 

Lewis-Zahl 

Nußelt-Zahl 

( des Fluids) 

Peclet-Zahl 

Prandtl-Zahl 

Rayleigh-Zahl 

Reynolds-Zahl 

Schmidt-Zahl 

Sherwood-Zahl 

Stanton-Zahl 

Weber-Zahl 

1

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

1. Wärmeleitung 

1.1 Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung) 

q̇z dz 

infinitesimaler Würfel 

mit den Kantenlängen 

dx, dy, dz 

q̇y dy 

q̇x 

q̇x dx 

z 

y 

x 

q̇y 

q̇z 

Energiebilanz 

( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ̇ (1) 

volumenbezogene Wärmequelle 

volumenbezogene Wärmesenke 

ourier’sches Gesetz 

̇ (2) 

̇ (3) 

̇ (4) 

Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen) 

( ) (5) 

( ) (6) 

2

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

( ) (7) 

innere Energie für Feststoffe und Flüssigkeiten 

( ) 

( ) 

(8) 

setzt man die Gleichungen (2)-(8) in (1) ein, so folgt für konstante Stoffwerte mit 

[ ] 

volumenbezogene Wärmequelle 

volumenbezogene Wärmesenke 

Zusammenstellung der Gleichungen für den allgemeinen Fall eines Temperaturfeldes mit konstanten 

Stoffwerten 

kartesische Koordinaten [ ] 

Zylinder-Koordinaten [ ] 

Kugel-Koordinaten [ 

( ) 

( ) ( ) 

] 

̇ 

3

1.2 Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe 

4

1.3 Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des 

Anpressdrucks 

aus: [14] 

5

1.4 Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung 

̇ ( ) 

ebene Wand 

koaxiale Rohre ( ) 

exzentrische Rohre 

( ) 

Rohr im 

Dreickskanal ( ) 

Rohr im 

quadratischen Kanal ( ) 

Quadratischer Kanal 

in einem Rohr ( ) 

6

konzentrische 

Quadrate 

( ) 

( ) 

für 


Rohr in einem 

Rechteck-Kanal 

( ) 

b/a 1 1,5 2 3 5 

K 0,0829 0,01781 0,0037 0,00016 3,01*10 -7 0 

Rohr im 

ausgedehnten 

Medium 

( ) 

Rohr im Erdboden 

( ) 

Hohlkugel 

Einzelkugel im 

ausgedehnten 

Medium 

Zwei Kugeln im 

unendlich – 

ausgedehnten 

Medium 

( ) 

Literatur: International Journal of Heat and Mass Transfer Vol. 18 (1975) pp 751-767 

7

̇ 

̇ 

1.5 Wärmeleitung durch Rippen 

Q̇G 

dQ̇konv 

Q̇ 

Q̇R Q̇x Q̇x dx 

dx 

L 

Energiebilanz für ein infinitesimales Rippenelement (Annahme: Temperatur über Querschnittsfläche A 

konstant) 

mit 

̇ ̇ ̇ (1) 

̇ ( ) (2) 

̇ ̇ ( 

̇ 

) ( ) ( 

( ( ) ) ) (3) 

̇ ( ) ( ) (4) 

(2), (3), (4) in (1) eingesetzt folgt für konstante Querschnittsfläche , konstanten Umfang mit der 

Übertemperatur 

und 

Mit den Randbedingungen ( ) 

(Rippengrundfläche und Rippenfuß haben dieselbe 

Temperatur) und ( ) (adiabate Rippenspitze) lautet die Lösung für die DGL 

( ) 

[ ( )] 

( ) 

Rippenwirkungsgrad 

∫ ( ) 

( ) 

( ) 

Wegen des Wärmeleitwiderstands ist die Temperatur der Rippe 

Rippengrundfläche 

kleiner als die Temperatur an der 

Wärmestrom durch berippte Geometrie (vgl. Skizze) 

̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) 

8

1.6 instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle 

Normierung: 

( ) 

( ) 

für einfache Geometrie 

(unendliche Platte, Zylinder, 

Kugel): 

Reihenentwicklung 

θ 

θ(x t) 

Bi1 

(Wärmeleitwiderstand 

dominant) 

für t → oder t → 

Error-Funktion 

θ θ(x t) 

9

1.6.1 unendliche Platte 

X 

Q̇ 

Q̇ 

x 

Normierung: 

Anfangsbedingung: ( ) 

Randbedingungen: ( ) 

( ) 

Lösung: ∑ ( ) ( ) 

Eigenwerte für verschiedene -Zahlen 

0,000 0,000 

0,001 0,032 3,142 6,283 9,425 

0,002 0,044 3,142 6,284 9,425 

0,005 0,071 3,143 6,284 9,425 

0,01 0,100 3,145 6,285 9,426 

0,02 0,141 3,148 6,286 9,427 

0,05 0,222 3,157 6,291 9,430 

0,1 0,311 3,173 6,299 9,435 

0,2 0,433 3,204 6,315 9,446 

0,5 0,653 3,292 6,362 9,447 

1,0 0,861 3,426 6,437 9,529 

2,0 1,079 3,644 6,578 9,630 

5,0 1,314 4,034 6,910 9,893 

10 1,428 4,305 7,229 10,200 

20 1,498 4,491 7,495 10,513 

50 1,536 4,619 7,703 10,783 

10

X 

Q̇ 

Q̇ 

θ w 

θ 0 

θ w θ ∞ 

θ 0 θ ∞ 

normierte Temperatur der Plattenoberfläche 

θ m 

θ 0 

θ m θ ∞ 

θ 0 θ ∞ 

normierte Temperatur der Plattenmitte 

θ 

θ 0 

θ θ ∞ 

θ 0 θ ∞ 

Bi α X λ 

normierte kalorische Mitteltemperatur der Platte 

θ 

θ 0 

∫ θ 

dV 

V θ 0 

11

1.6.2 unendlicher Zylinder 

R 

θ w 

θ 0 

θ w θ ∞ 

θ 0 θ ∞ 

normierte Temperatur der Zylinderoberfläche 

θ m 

θ 0 

θ m θ ∞ 

θ 0 θ ∞ 

normierte Temperatur der Zylinderachse 

θ 

θ 0 

θ θ ∞ 

θ 0 θ ∞ 

Bi α R λ 

normierte kalorische Mitteltemperatur des Zylinders 

θ 

θ 0 

∫ θ 

dV 

V θ 0 

12

1.6.3 Bi unendlich 

13

1.6.4 halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte 

θ 

θ(x t ) 

θ(x t ) 

θ 

t 

t 

θ W 

x 

DGL der eindimensionalen Wärmeleitung für eine ebene, halbunendliche Platte mit der Normierung 

( ) ( ) ( ) 

Mit den Anfangs- und Randbedingungen 

einheitliche Anfangstemperatur ( ) 

sprunghafte Änderung der Wandtemperatur auf 

t>0 konstant bleiben soll 

, die für 

( ) 

halbunendlicher Körper bzw. Kurzzeitlösung: Temperatur 

ändert sich nur im Randbereich; für → gilt 

( → ) 

Mit Hilfe der Laplace-Transformation ( ) ( ( )) ∫ ( ) 

lässt sich diese partielle DGL in eine gewöhnliche DGL im Frequenzbereich umformen. 

Zu diesem Zweck kann eine Korrespondenztabelle verwendet werden (z.B. [1]). 

Die allgemeine Lösung für die DGL im Frequenzbereich lautet 

( ) 

√ 

√ 

Die Randbedingungen müssen ebenfalls transformiert werden. 

Die resultierenden Integrationskonstanten sind in der folgenden Tabelle dargestellt. 

14

Zeitbereich 

Frequenzbereich 

( ) ( ) 

( → ) ( → ) 

Lösung im Frequenzbereich ( ) 

√ 

Diese Lösung kann mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich 

zurücktransformiert werden. Hierfür können ebenfalls Korrespondenztabellen verwendet werden (vgl. 

[1]). 

Lösung ( ) mit 

√ 

( ) 

√ 

∫ : Gauß’sches ehlerintegral rror unction 

Für die Erwärmung einer halbunendlichen Platte und sonst identischen Anfangs- und 

Randbedingungen ergibt sich dieselbe Lösung. (hier: umgeformt) 

Lösung ( ) mit 

√ 

Für den übertragenen Wärmestrom gilt 

̇ ( ) 

Nach Auflösen der Lösung nach 

und Einsetzen der Definition der Error-Funktion erhält man 

( ( )) ( ) 

√ 

∫ 

Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich 

folgendermaßen berechnen 

( ) 

√ √ 

Für den Wärmestrom gilt schließlich 

Q̇ 

λA ( ∂θ 

∂x ) x 

λA(θ 

θ w ) 

√πat 

15

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

2. konvektiver Wärmeübergang 

2.1 Erhaltungssätze für strömende Fluide 

2.1.1 Kontinuitätsgleichung 

Ṁ 

z dz 

Ṁ 

y dy 

infinitesimaler Würfel mit 

den Kantenlängen dx, 

dy, dz 

z 

y 

Ṁ 

x 

Ṁ 

x dx 

x 

Ṁ 

y 

Ṁ 

z 

Bilanz ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (1) 

(2) 

̇ (3) 

̇ (4) 

̇ (5) 

Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen) 

( ) (6) 

( ) (7) 

( ) (8) 

Durch Einsetzen von (2)-(8) in (1) und anschließende Division durch 

folgt 

[ ( ) ( ) ( )] (9) 

17

Sonderfälle Vereinfachungen resultierende Gleichung 

stationäre Strömung ( ) ( ) ( ) 

inkompressible Strömung ( ⃗⃗ ) 

18

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

2.1.2 Energiegleichung 

infinitesimaler Würfel mit 

den Kantenlängen dx, 

dy, dz 

Ḣz dz Q̇z dz 

Ḣy dy Q̇y dy 

z 

y 

Ḣx Q̇x 

Ḣx dx Q̇x dx 

x 

Ḣy Q̇y 

Ḣz Q̇z 

Unter Vernachlässigung von kinetischer und potentieller Energie gilt: 

Bilanz: 

( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) 

(1) 

mit 

̇ ̇ 

̇ ̇ 

Wärmeleitung volumenbezogene Wärmequelle (+) 

/Wärmesenke (-) 

Enthalpiestrom volumenbezogene zeitl. Arbeit der Reibungskräfte 

zeitliche Druckänderungsarbeit 

( ) (2) 

Die Terme in der x-Richtung können durch folgende Gleichungen ersetzt werden. 

(analog für y- und z-Richtung) 

(3) 

̇ ̇ (4) 

(5) 

( ̇ 

) ( ( ) ) 

(6) 

( ) (7) 

19

̇ 

̇ 

setzt man die Gleichungen (2)-(8) für alle Koordinatenrichtungen in die Bilanzgleichung (1) ein, folgt 

( ) ( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

(8) 

Durch teilweises Ausdifferenzieren und Einsetzen der Kontinuitätsgleichung kann Gleichung (8) 

folgendermaßen geschrieben werden 

( ) ( ) ( ) 

(9) 

wobei 

werden kann 

für ein Newton‘sches Fluid mit Hilfe des Stokes‘schen Reibungsgesetzes ausgedrückt 

[ (( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 

( ) ( ) ] 

(10) 

Sonderfälle 

ideales Gas, ohne Reibungsterme 

resultierende Gleichung 

( ) ( ) 

( ) ( ) ( ) ̇ 

inkompressible Flüssigkeit mit konstanten 

Stoffwerten und ohne Reibungsterme 

( ) 

(( ) ( ) ( ) ) ̇ 

( ⃗⃗ ( )) 

( ⃗⃗ ( )) 

( ⃗⃗ ( )) 

eingesetzt in (9) 

20

2.1.3 Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen 

für ein inkompressibles ( ) Ne ton’sches luid it gilt für die x-,y- und z-Richtung 

( ) 

(1) 

( ) (2) 

( ) (3) 

21

2.2 Prandtl’sche Grenzschichttheorie 

Für eine ebene, stationäre Plattenströmung eines inkompressiblen Fluids lauten die Gleichungen für 

Masse, Energie und Impuls wie folgt 

( ) 

( ) 

( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 

Nach Einführung dimensionsloser Größen, abschätzen der Größenordnungen und Rücktransformation 

auf dimensionsbehaftete Größen folgt schließlich (siehe z.B. [1]) 

22

2.3 hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien 

allgemeine Gleichung: 

Kreisrohr 

Rechteckkanal 

Ringrohr 

Spalt 

Rohrbündel 

offener 

Rechteckkanal 

Halbkreis 

Dreieckkanal 

( ) 

23

2.4 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion 

- Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf 

der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu- 

Zahl. 

- Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im 

Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation 

eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen. 

- Als Bezugstemperatur für die Stoffwerte ist bei der erzwungenen Konvektion der arithmetische 

Mittelwert zwischen Ein- und Austritt zu verwenden 

Die Nusseltkorrelationen, die dem VDI-Wärmeatlas entnommen wurden, können zur Erhöhung der 

Genauigkeit um einen zusätzlichen Term ergänzt werden, der die Temperaturabhängigkeit der 

Stoffwerte berücksichtigt: 

Geometrie Fluid Kühlen ( ) Heizen ( ) 

Flüssigkeit ( ) für 

( ) für 

durchströmte Rohre, 

Ringspalt 

Gas 

( ) für CO 2 : 

( ) für überhitzten H 2O-Dampf : 

längsangeströmte 

Platte 

querangeströmte 

Rohre, Drähte und 

Profilzylinder 

Flüssigkeit ( ) 

Flüssigkeit ( ) 

Gas ( ) 


Rohrbündel Flüssigkeit ( ) ( ) 

Gas 

für Luft 

24

̇ 

2.5 Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion 

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich 

Re 

Pr 

längsangeströmte 

ebene Platte √ √ Pohlhausen 

√ 

√ 

laminar 

Petukhov/Popov 

turbulent 

( ⁄ ) 

√ 

Gnielinski 

√ 

√ 

√ 

→ 

Eckert/Drake 

laminar 

√ 

√ 

√ 

√ √ Leveque → 

turbulent 

Reynolds-Analogie 

Colburn 

Kays/Crawford 

laminar 

teilweise beheizt 

Kays/Crawford 

Chapman/Rubesin 

turbulent 

√ 

√ 

laminar 

[ ( ) ] 

[ ( ) ] 

√ 

turbulent 

25


Re 

Pr 

durchströmte Rohre 

Martin 

[ ( ) ] 

mit 

( ) 

laminar 

turbulent 

im Einlaufbereich ( ) ( ) 

sonst 

Gnielinksi 

⁄ 

[ ( ) ] 

mit ( ( ) ) 

√ ( ) 

( ) 

Gnielinski 

Übergangsbereich 

mit 

Hausen 

[ 

( ) 

( ) 

] ( ) 

laminar 

√ 

Schlünder 

laminar 

( ) Kraussold 

laminar 

genau für L/d=200 

( ) Elser 

laminar 

( ) ( ) 

( ) 

( ) 

Sieder /Tate 

Stephan 

( ) 

laminar ( ) 

laminar 

26


Re 

Pr 


Gnielinski 

turbulent 

( ) [ ( ) ] 

( ) [ ( ) ] 

Gnielinski 

turbulent 

( ) Hausen 

turbulent 

Hausen 

( )( ) 

turbulent 

[ ( ) ] ( ) 

( ) Kraussold 

Elser 

( ) Michejew 

Prandtl-Taylor-Analogie 

̇ 

( ) 


[ ( ) ] 

mit 

( ) 

laminar 

turbulent 

im Einlaufbereich ( ) 

sonst 

Gnielinski 

⁄ 

[ ( ) ] 

mit ( ( ) ) 

√ ( ) 

( ) 

Gnielinski 


mit 

27


Re 

Pr 

Rohrwendel 

Schmidt 

( ( ( ) ) ) ( ) 

mit ( ) 

laminar 

( ( ) ) 

( ( ) ) 

Gnielinski 

⁄ 

√ ( ) 

( ) 

turbulent 

mit 0 ( ) 

Gnielinski 

mit 

( ) 


( ( ) ) 

28


Re 

Pr 

Ringspalt 

Martin 

3 Fälle der 

Wärmeübertragung 

I. am Innenrohr 

(Außenrohr ̇ ) 

II. am Außenrohr 

(Innenrohr ̇ ) 

III. an beiden Rohren 

( ( ) ( ) ) 


sonst 

I. ( ) ( ( ) ) 

( ) 

laminar 

II. ( ) ( ( ) ) 

( ) 

III. ( ) ( ( ) ) 

[ ] ( ) 


sonst 

I. Petukhov/Roizen 

( ) 

II. 

Petukhov/Roizen 

( ) 

turbulent 

III. 

Stephan 

( ) [ ( ) ] 

Gnielinski 

( ) 


mit 

29

θ 


Re 

Pr 


Rohre, Drähte und 

Profilzylinder 

: 

√ 

mit √ √ 

Gnielinski 

w 

D 

( ⁄ ) 

w 

θ 

w 

θ 

w 

θ 

w 

θ 

w 

θ 

w 

θ 

w 

θ 

querangeströmter 

Zylinder 

w 

θ 

D 

( ) Hilpert 

( ) Reiher 

( ) Hilpert 

( ) Reiher 

( ) Hilpert 

( ) Hilpert 

( ) Hilpert 

( ) Reiher 

( ) Reiher 

( ) Reiher 

Ulsamer 

Ulsamer 

Hilpert/Ulsamer 

Ulsamer 

King 

Reiher 

Hilpert/Ulsamer 

( ) Eckert 

( ) Eckert 

( ) Eckert 

Whitaker 

( ) ( ) 

30


Re 

Pr 

Kugel 

Gnielinski 

w 

θ 

D 

mit 

√ 

√ 

√ 

( ⁄ ) 

Brunn/Isewin 

( ) ( ) 

( ) Kutjaktschev 

( → ) 

laminare Grenzschicht 

Whitaker 

( ) ( ) 

Brauer/Sucker 

( ( ) ) 

( ) 

( ) 

Mc Adams turbulente 

Grenzschicht 

( ) 

Brunn/Isewin 

( → ) 

31


Re 

Pr 


Rohrbündel 

Hohlaumanteil 



Einfluss der Anzahl an Rohrreihen 

fluchtend 

( ) 



fluchtend 

( ) 

versetzt 

versetzt 

fluchtend (Michejew) 

( ) 

versetzt (Michejew) 

( ) 

√( ) 

32


Re Pr 


Rohrbündel 

fluchtend (Zhukauskas) 

fluchtend 

( ) 

Stoffwerte außer 

bei 




versetzt 

versetzt (Zhukauskas) 

( ) 

( ) 

für ( ) 





( ) bei 

bei 

33

2.6 freie Konvektion an einer senkrechten Wand 

x 

δ t 

θ 

δ t : thermische Grenzschichtdicke 

δ : hydraulische Grenzschichtdicke 

w x 

θ θ θ 

δ 

y 

Für freie Konvektion gelten ebenso wie für erzwungene Konvektion die Grenzschichtgleichungen aus 

Kapitel 2.2. Zusätzlich werden folgende Annahmen getroffen: 

1) alle Stoffwerte außer ( ) in den Impulsgleichungen sind konstant 

2) Energiedissipation vernachlässigt 

3) mit ( ) und dynamische Druckänderungen 

gering ( ( ) ) 

aus 1) folgt, dass die Dichte in einer Taylorreihe um den Referenzpunkt entwickelt werden kann 

(Abbruch nach dem ersten Glied). Des Weiteren wird der thermische Ausdehnungskoeffizient und 

( ) eingeführt. 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 

Durch Einsetzen der Annahmen 1)-3) und Gleichung (1) in die Grenzschichtgleichungen aus 2.2 erhält 

man die folgenden Gleichungen 

Bewegungsgleichung 

( ) 

Kontinuitätsgleichung 

Energiegleichung 

( ) 

Des Weiteren gelten folgende Randbedingungen 

: 

→ : 

34

Diese Gleichungen können durch Einführen einer Stromfunktion ( 

auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert werden. 

) unter Analogiebetrachtungen 

Le Fevre ermittelte aus der numerischen Lösung von Ostrach folgende Interpolationsgleichung. 

Für detaillierte Informationen sei auf [7] und [10] verwiesen. 

Nu L Ra L 

( 

Pr 

√Pr Pr ) 

35

2.7 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion 

- Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf 

der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu- 

Zahl 

- Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im 

Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation 

eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen. 

- Bezugstemperatur für Stoffwerte 

alle Stoffwerte außer 

- Es besteht die Möglichkeit, mit Hilfe der Grashofzahl eine äquivalente Reynoldszahl zu 

berechnen und Gleichungen für erzwungene Konvektion zu verwenden. 

√ 

36

2.8 Nu-Korrelationen für freie Konvektion 


Ra 

senkrechte Wand 

( [ ( )] ) 

Churchill/Chu 

turbulent/laminar 

Pr 

mit ( ) ( ( ) ) 

( ) 

( ) 

horizontale und schwach 

geneigte Platte 

Wärmeabgabe 

Oberseite/ Kühlung 

Unterseite 

√ 

√ 

( ( )) 

mit 

( ) ( ( ) 0 ) 

laminar 

turbulent 

laminar 

( ) 

( ( )) 

turbulent 

( ) 

Stewartson 

allgemein: 

Reckteckplatte: 

Kreisplatte: 

( ) 

Wärmeabgabe 

Unterseite/ Kühlung auf 

Oberseite 

( ( )) 

mit ( ) ( ( ) ) 

laminar 

( ) 

allgemein: 

Reckteckplatte: 

Kreisplatte: 

( ) 

quadratische Platte 

Kreisplatte 

unendlich langer Streifen 

37


Ra 

Pr 

steil geneigte Platte 

Fuji/Imura 

( ( )) ( 

mit der Näherungsfunktion 

) 

turbulent 

( ) 

senkrechter Zylinder 

horizontaler Zylinder 

Churchill/Chu 

( ( ( )) ) 

mit ( ) ( ( ) ) 

Hermann/ Jodlbauer 

( ) 

speziell: dünne Drähte 

laminar 

( ) 

Kugel 

Raithby/Hollands 

( ) 

→ 

( [ ( )] ) 

mit ( ) ( ( ) ) 

38


Ra 

Pr 

Würfel 

Sparrow/Stretton 

( ) ( ) 

mit ( ) ( ( ) ) 

: Projektionsfläche des Würfels auf 

eine Fläche senkr. zur Erdbeschleunigung 

: gesamte Oberfläche 

Bovy/Woelk 

( ( ) 

) 

mit ( ) ( ( ) ) 

( ) 

horizontales 

Rippenrohr 

„glattes Rohr 

reisri en“ 

it 

( ) 

lichter Abstand zwischen den Rippen 

Durchmesser des Kernrohres 

Rippenhöhe 

39

3. Kondensation 

w 

m 

s 

Kondensation 

w 

m 

s 

ruhende Dämpfe 

strömende Dämpfe 

Benetzbarkeit 

der Wand 

Filmkondensation 

Tropfenkondensation 

3.1 Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt’sche Wasserhauttheorie 

(W. Nusselt: Die Oberflächenkondensation des Wasserdampfes; Zeitschrift VDI 60 (1916), S.541 ff.) 

δ x 

y 

Kondensatfilm 

Kräftebilanz für die 

Flüssigkeit 

Energiebilanz für die 

Flüssigkeit 

p x 

θ w 

w x 

θ s 

τ y 

F g 

τ y dy 

dQ̇ 

dx 

dḢ 

x w x θ 

Annahmen: 

p x dx 

- Stoffwerte sind konstant, stationäre, eindimensionale Strömung, Tiefe B 

- Grenzfläche Flüssigkeit-Dampf hat Sättigungstemperatur 

- Temperaturverteilung im Film ist laminar 

- Kondensatfilm strömt laminar 

- Enthalpieunterschiede im Film infolge Unterkühlung sind vernachlässigbar 

Aus der Bilanz der wirkenden Kräfte (1) im Kondensatfilm (vgl. Skizze) folgt Gleichung (2) 

Bilanz ( ( )) (( ) ) (1) 

(2) 

Für ein Ne ton’sches luid gilt 

. Eingesetzt in (2) folgt 

40

̇ 

̇ 

(3) 

Der Dampf befindet sich in Ruhe. Somit entfallen bei der Impulsbilanz des Dampfraums die 

Schubspannungen. Man erhält somit 

(4) 

Mit Hilfe von Gleichung (4) kann der Druckterm in Gleichung (3) eliminiert werden. Dadurch erhält man 

folgende gewöhnliche Differentialgleichung 

(5) 

Durch zweimalige Integration von Gleichung (5) mit den Randbedingungen erhält man eine Gleichung 

für die Geschwindigkeit des Kondensatfilms (6). 

: 

: 

( ) [ ( ) ] (6) 

Aus der Geschwindigkeit lässt sich mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung der Kondensatmassenstrom 

berechnen, der ausschließlich eine Funktion von ist. 

̇ ( ) ∫ ( ) (7) 

Bei der Kondensation wird die Verdampfungsenthapie frei. Dabei wird angenommen, dass dieser 

Enthalpiestrom mittels reiner Wärmeleitung durch den Kondensatfilm an die Wand abgegeben wir, da 

der thermische Widerstand des Kondensatfilm am größten ist. 

̇ ̇ ̇ ( ) (8) 

In Gleichung (8) ist sowohl der Massenstrom ̇ als auch die Kondensatfilmdicke unbekannt. 

Dementsprechend wird eine weitere Gleichung benötigt. Zu diesem Zweck wird das totale Differential 

des Kondensatmassenstroms mit Hilfe von Gleichung (7) herangezogen. 

(9) 

41

Mit Hilfe von Gleichung (9) und der Randbedingung ( ) kann Gleichung (8) integriert 

werden. Man erhält 

( ) [ 

( ) 

( ) 

] (10) 

Der örtliche Wärmeübergangskoeffizient berechnet sich zu 

( ) 

[ 

( ) 

( ) ] (11) 

Daraus lässt sich schließlich der mittlere Wärmeübergangskoeffizient über der Höhe 

berechnen 

∫ [ 

( ) 

( ) 

] 

(12) 

Unter der Voraussetzung, dass 

folgt 

α m 

[ ρ F g Δ v λ F 

η F (θ s θ w ) H ] 

42

̇ 

̇ 

3.2 Nu-Korrelationen für Kondensation 


Re 

Filmkondensation an 

senkrechter Platte, 

Innen- und Außenseite 

senkrechter Rohre 

[ 

( ) 

] 

laminar 

Pr 

Rohr: 

Isashenko 

Platte: 

( ) 

B: Filmbreite 

Reynoldszahl des Kondensats an der Stelle x 

turbulent 

: Filmdicke 

̇ : Kondensatmassenstrom 

[ ( ) ( )] 

: mittlere 

Geschwindigkeit 

Kondensats 

des 

( ) 

( ) 

√( ) 


Filmkondensation am 

waagerechten Rohr 

(außen) 

[ 

( ) ] ( ) 

laminar 

Filmkondensation am 

Rohrbündel mit z 

übereinander liegenden 

waagerechten Rohren 

[ 

Bezugstemperatur für Stoffwerte 

( ) 

( )] 

Chen 

laminar 

43

̇ 


Re Pr 

Tropfenkondensation 

an senkrechten 

Flächen 

für reinen H 2 O-Dampf 

- für Kupferflächen 

mit 

in [kW/(m 2 K)] 

̇ in [kW/m 2 ] 

- für Flächen, die nicht aus Kupfer sind 

( ) ̇ 

44

̇ 

̇ 


Re Pr 


strömender Dämpfe 

im senkrechten Rohr 

̇ √ 

Carpenter & Colburn 

mit ̇ Massenstrom des Dampfes 

Strömungsquerschnitt 

( ) Widerstandsbeiwert, z.B. nach 

Blasius 

mittlere Massenstromdichte 

√ 

√ ( ̇ ̇ ̇ ̇ ) 

̇ und ̇ sind Massenstromdichten am Ein- bzw Austritt des Rohres. 

Die Reynoldszahl 

ist zu berechnen, als ob kein Kondensat im Rohr sei. 


strömender Dämpfe 

im waagerechten 

Rohr 

[ 

( ) 

( ) 

] 

Chato 

mit ( ) 

Schichtenströmung tritt auf, wenn am Rohreintritt gilt: 

Bezugstemperaturen: 

für den Dampf 

für das Kondensat 

45

̇ 

4. Sieden 

Sieden 

w 

m 

s 

w 

m 

s 

Behältersieden 

Strömungssieden 

4.1 Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden 

(α) 

( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

Q̇ 

(T w T s ) 


Ra 

Pr 

(1): konvektives 

laminare 

Sieden ( ) Grenzschicht 

( ) Grenzschicht 

turbulente 

(2): Blasensieden Gorenflo 

( ̇ ) ( ) ( ) 

̇ 

arithmetischer Mittenrauwert 

Bezugswert 

Für die Druckabhängigkeit des Exponenten n gilt: 

für Fluide außer Wasser und Helium: ( ) 

für Wasser: ( ) 

46

Die Druckfunktion ( ) ist für : 

für Fluide außer Wasser: ( ) ( ) ( ) 

für Wasser: ( ) ( ) ( 

( ) 

) ( ) 

Der Bezugswert 

kann der folgenden Tabelle entnommen werden 

bar 

aus [15] 

47

̇ 

̇ 


Ra Pr 

(2): Blasensieden 

Rohsenow 

( ) 

( 

) 

wobei √ 

( ) 

Laplace-Koeffizient 

Stoffwerte bei Sättigungszustand 

Konstante (Material/Fluid-Paarung) 

Wandmaterial Flüssigkeit p [bar] C 1 

Platindraht Ø 6mm Wasser 1 bis 170 0,013 

Chromplatte 

waagerecht 

Chromplatte 

waagerecht 

Chromplatte 

waagerecht 

Messingrohr 

waagerecht 

Ø 38mm 

Benzol 1 bis 44 0,010 

Ethanol 1 bis 52 0,003 

n-Pentan 1,5 bis 29 0,015 

Wasser 0,1 bis 15 0,006 

Blasenabreißdurchmesser 

√ ( ) 

mit Randwinkel 

im Bogenmaß 

für Wasser, Benzol 

für andere Flüssigkeiten 

für Tiefsieder 

Blasenablösefrequenz 

( ) 

48


Ra Pr 

̇ 

(3): kritische 

Wärmestromdichte [ ( )] Kutateladze/Zuber 

typisch: 

(4): Filmsieden Bromley 

[ ( ) ] 

mit 

( ( )) [ 

( ) ( ) 

] 

horizontale Rohre 0,62 Durchmesser 

vertikale Rohre 0,80 Länge 

49

4.2 Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden 

waagerechtes Rohr 

senkrechtes Rohr 

aus [15] 

50

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 


Re 

Strömungssieden 

Vaihinger 

Pr 

mit 

( ) 

, , , 

, , 

( ) 

, 

Sieden bei 

Ringströmung 

Blasenabreißdurchmesser 

Blasenablösefrequenz 

( ) 

Dengler und Addoms 

mit 

( ̇ 

) 

( 

) ( ) ( 

̇ 

) 

̇ 

Rohrdurchmesser 

Massenstromdichte 

Martinelli-Parameter 

51

5. typische -Werte 

Transportmechanismus Medium Bereich von Mittelwert von 

[ ] [ ] 

freie Konvektion 

Gas 1-60 10 

Wasser 300-600 500 

Gas 10-250 50 

erzwungene Konvektion 

Öl 50-1000 200 

Wasser 500-2500 1000 

Blasensieden Wasser 2500-50000 10000 


organische Dämpfe 1000-2000 1000 

Wasser 5000-15000 10000 

52

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

6. Wärmestrahlung 

6.1 Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten 

Annahme: Strahlung von Platte 1 trifft vollständig auf Platte 2 und umgekehrt 

̇ ̇ ̇ 

Q̇ 

ab 

̇ ̇ ( ) 

1 

2 

Q̇ 

ab 

eingesetzt 

̇ ̇ ( ) 

̇ ̇ ( ) 

aufgelöst nach ̇ 

bzw. ̇ 

( ) 

( )( ) 

( ) 

( )( ) 

übertragener Nettowärmestrom 

̇ ̇ ̇ 

Q̇ 

ε ε A C s (T T ) 

ε ε ε ε 

ε 

C s 

ε 

A (T T ) 

53

̇ 

̇ 

6.2 Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien 

Für konzentrische Kugeln, konzentrische 

Zylinder: 

A 1 : umschlossene Fläche 

A 2 : umschließende Fläche 

( ) 

( ) ⁄ 

Für parallele Platten: 

A 1 =A 2 =A 

( ) 

Für A 2 >>A 1 

̇ ( ) 

Diffuse Strahler mit : 

Q̇ ε ε A φ C s (T T ) 

Sichtfaktor für die geometrische Anordnung, siehe folgende Tabelle 

( ) 

( ) 

( ) 

[ ( ) ( ) √ ( 

√ 

) ] 

[ 

( ) 

( ) ( ) 

( ) 

( ) ( ) ( ) ( ) ] 

54

6.3 Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe 

Emissionsverhältnis der Strahlung in Richtung der Flächennormalen und über den halben 

Raumwinkel für verschiedene Oberflächen bei Temperaturen 

Oberfläche [ ] 

Gold 

130 0,018 

400 0,022 

Kupfer, poliert 20 0,030 

Kupfer, leicht angelaufen 20 0,037 

Kupfer, oxidiert 130 0,76 0,725 

170 0,039 0,049 

Aluminium, walzblank 

500 0,050 

Aluminiumbronzeanstrich 100 0,20-0,40 

Eisen, blank geschmirgelt 20 0,24 

Eisen, angerostet 20 0,61 

Eisen, stark verrostet 20 0,85 

Heizkörperlack 100 0,925 

schwarzer Lack, matt 80 0,970 

Ziegelstein, Mörtel, Putz 20 0,93 

Glas 90 0,94 0,876 

Eis (glatt), Wasser 0 0,966 0,918 

Eis, rauher Reifbelag 0 0,985 

Holz (Buche) 70 0,935 0,91 

Dachpappe 20 0,93 

(nach E. Eckert und E. Schmidt) 

Näherung: 

- für blanke Metalloberflächen 

- für blanke Metalloberflächen 

55

̇ 

̇ 

7. Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom 

θ ein 

Ṁ c p 

Ḣ dQ̇ 

x Ḣ 

x dx 

θ aus 

θ ein 

Ṁ c p 

Ḣ 

x 

Ḣ 

x dx 

θ aus 

x 

dx 

θ 

θ 

θ ein θ ein θ ein 

θ 

θ aus θ aus θ aus 

x 

Energiebilanzen für beide Stoffströme 

Abkühlung des warmen Mediums 1 ̇ ̇ (1) 

Erwärmung des kalten Mediums 2 ̇ ̇ (2) 

wobei ̇ ̇ und ̇ ( ) 

Umfang 

eingesetzt und umgeformt 

( ) (3) 

( ) (4) 

Subtraktion (3)-(4) ( ) ( ̇ ̇ 

) ( ) (5) 

nach Einführen der Übertemperatur 

kann Gleichung (5) integriert werden, wobei 

angenommen wird, dass und unabhängig von x sind 

∫ ( ̇ ̇ 

) ∫ (6) 

mit ( ) ( ̇ ̇ 

) (7) 

56

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ 

̇ ̇ 

Um aus Beziehung (7) eine Gleichung für den übertragenen Wärmestrom zu gewinnen, müssen die 

Wärmekapazitätsströme und mit den Energiebilanzen für die beiden Stoffströme 

eliminiert werden 

̇ ̇ ( ) ̇ ( ) 

( ) 

(8) 

( ) 

(9) 

nach Einsetzen von (8) und (9) in (7) und Auflösen 

( ) 

mit 

mittlere treibende Temperaturdifferenz 

Neben der mittleren treibenden Temperaturdifferenz soll im Folgenden der Temperaturverlauf der 

beiden Fluidströme bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird Gleichung (5) unbestimmt integriert. Mit 

der Randbedingung ( ) 

folgt 

( ) ( ) ( ) 

( ̇ ̇ 

) 

(10) 

Durch Einsetzen von (10) in (3) bzw. (4) und der Randbedingung ( ) 

( ) bestimmt werden 

kann eine Gleichung für 

( ) 

[ 

( ̇ ̇ 

) 

] 

( ) 

[ 

( ̇ ̇ 

) 

] 

57

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