Musterlösung der Klausur vom 20.07.

Name Vorname Matrikelnummer 

□ Mathematik 

□ Wirtschaftsmathematik 

□ Lehramt 

□ Sonstiges: 

Abschlussklausur zur Veranstaltung 

Lineare Algebra II (SS 13) 

Als Konzeptpapier sind die am Ende angefügten und vor Beginn der Aufgabenbearbeitung 

herauszulösenden Seiten zu verwenden. 

In die Bewertung werden nur die Ausführungen auf den dafür vorgesehenen numerierten Heftseiten 

und auf dem von der Klausuraufsicht ausgegebenen Zusatzpapier einbezogen. 

□ bestanden 

Klausurergebnis 

□ nicht bestanden 

Prüfer 

Prüfer 

Hinweise 

(a) Seitenzahl: 9 Seiten 

(b) Dauer: 

• 180 Minuten (Bearbeitungszeit) 

(c) Hilfsmittel: Keine 

(d) Vor Beginn der Klausur sind auf diesem Blatt oben Name, Matrikelnummer und Studiengang 

einzutragen. Die Klausur muss auf der letzten Seite unterschrieben werden! 

(e) Die Klausur besteht aus einem Teil. Dieser besteht aus mehreren Aufgaben. Alle Aufgaben 

sind zu bearbeiten. Bei den Aufgaben 2, 3, 4, 5, 7 und 8 sind alle Aussagen zu 

begründen. 

(f) Die Lösungen sind mit Füllhalter oder Kugelschreiber, nicht mit Bleistift, auf dem zugeteilten 

Papier einzutragen. 

(g) Auf Verlangen wird von der Klausuraufsicht weiteres Papier zugeteilt. Dieses ist mit 

Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer zu beschriften. 

Interne Prüfvermerke 

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Gesamt 

Erreichte Punkte

Aufgabe 1. (20 Punkte) Bei den folgenden Teilaufgaben ist jeweils genau eine Antwort 

richtig; diese ist anzukreuzen. Beweise oder Begründungen sind nicht erforderlich. 

Für jede richtige Antwort erhalten Sie 2 Punkte, falsch beantwortete und nicht bearbeitete 

Teilaufgaben werden nicht gewertet. 

(a) Sei b eine symmetrische Bilinearform b auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V , 

sei B ein Basis von V und sei A die Matrix der Bilinearform bezüglich dieser Basis. Das 

Radikal von b ist 

□ {v ∈ V |b(v, v) = 0} 

□X der Unterraum der Lösungen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0 

(b) Sei b eine symmetrische Bilinearform b auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum 

V . Ein Vektor v ∈ V heißt anisotrop falls 

□X b(v, v) ≠ 0 □ ∀w ∈ V : b(v, w) ≠ 0 □ b(v, v) = 0 

(c) Welche der folgenden Matrizen ist in Jordan-Normalform? 

⎛ 

1 1 

⎞ 

0 

⎛ 

1 0 

⎞ 

1 

□X ⎝ 0 1 0 ⎠ 

□ ⎝ 0 2 0 ⎠ 

0 0 1 

0 0 1 

□ 

⎛ 

⎝ 

1 1 0 

0 2 0 

0 0 1 

⎞ 

⎠ 

(d) Welche der folgenden Matrizen hat das Minimalpolynom (t − 1) 2 ? 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ 

1 1 0 0 0 0 

1 1 0 0 0 0 

1 1 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 0 

0 1 1 0 0 0 

□ 

0 0 1 0 0 0 

⎜ 0 0 0 1 1 0 

□X 

0 0 1 1 0 0 

⎟ ⎜ 0 0 0 1 0 0 

□ 

0 0 1 1 0 0 

⎟ ⎜ 0 0 0 1 1 0 

⎝ 0 0 0 0 1 1 ⎠ ⎝ 0 0 0 0 1 1 ⎠ ⎝ 0 0 0 0 1 1 

0 0 0 0 0 1 

0 0 0 0 0 1 

0 0 0 0 0 1 

(e) Eine reelle symmetrische n × n-Matrix A ist positiv definit wenn welche der folgenden 

Bedingungen erfüllt ist: 

□ es gibt ein g ∈ GL n (R) mit A = t gg −1 , 

□ die Signatur von A ist (0, n), 

□X alle Hauptminoren sind positiv. 

(f) Welcher der folgenden Moduln ist isomorph zu Z/350Z als Z-Modul? 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

□X Z/7Z ⊕ Z/25Z ⊕ Z/2Z 

□ Z/70Z ⊕ Z/5Z 

□ Z/35Z ⊕ Z/10Z 

(g) Welche der folgenden n × n-Matrizen sind über R NICHT IMMER diagonalisierbar? 

□ reelle symmetrische Matrizen, 

□X reelle normale Matrizen, 

□ reelle Matrizen mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten. 

Lineare Algebra II Seite 1/9

(h) Der C n sei versehen mit der standard hermiteschen Form 〈·, ·〉. Eine komplexe n × n- 

Matrix g ist unitär dann und nur dann wenn für alle v, w ∈ C n gilt: 

□X 〈gv, gw〉 = 〈v, w〉 □ 〈gv, w〉 = 〈v, gw〉 □ 〈gv, w〉 = 〈v, g t w〉 

(i) Sei R = C[x]/(x 2 − 2x + 1). Für welche der folgenden Polynome p(x), q(x) gilt in R: 

¯p(x) · ¯q(x) = ¯0? 

□ p(x) = x + 1, q(x) = x + 1. 

□ p(x) = x + 1, q(x) = x − 1. 

□X p(x) = x − 1, q(x) = x − 1. 

(j) Sei V ein endlichdimensionaler komplexer hermitescher Vektorraum und sei Ψ : V → V 

ein Endomorphismus. Man nennt Ψ selbstadjungiert falls: 

□ Ψ ◦ Ψ a = Ψ a ◦ Ψ 

□X Ψ a = Ψ 

□ Ψ ◦ Ψ a = −Ψ a ◦ Ψ 


Aufgabe 2. (10 Punkte) Gegeben sei die folgende Bilinearform b(x, y) auf dem R 4 : 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

x 1 y 1 

b( ⎜x 2 

⎟ 

⎝x 3 

⎠ , ⎜y 2 

⎟ 

⎝y 3 

⎠ ) = 2x 1y 1 + 2x 2 y 2 − 2x 3 y 3 − 2x 4 y 4 − x 1 y 2 − y 1 x 2 − 2y 3 x 4 − 2x 3 y 4 

x 4 y 4 

(a) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Matrix C B b = (b(e i, e j )) i,j=1,2,3,4 der Bilinearform 

bezüglich der kanonischen Basis B = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } des R 4 . 

(b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Matrix Cb A = (b(a i, a j )) i,j=1,2,3,4 der Bilinearform 

bezüglich der folgenden Basis: 

⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ 

1 

1 

0 0 

⎪⎨ 

A = a 1 = ⎜1 

⎟ 

⎝0⎠ ⎪⎩ 

2 = ⎜−1 

⎟ 

⎝ 0 ⎠ , a 3 = ⎜0 

⎟ 

⎝1⎠ 4 = ⎜ 0 

⎪⎬ 

⎟ 

⎝ 1 ⎠ 

⎪⎭ 

0 

0 

1 −1 

(c) (3 Punkte) Zeigen oder widerlegen Sie: Die Bilinearform b(x, y) ist symmetrisch und 

nicht ausgeartet auf dem R 4 . 

(a) 

(b) 

⎛ 

Cb B = ⎜ 

⎝ 

⎛ 

Cb A = ⎜ 

⎝ 

2 −1 0 0 

−1 2 0 0 

0 0 −2 −2 

0 0 −2 −2 

2 0 0 0 

0 6 0 0 

0 0 −8 0 

0 0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(c) Die Matrix in Teil (a) ist symmetrisch, die Form ist somit symmetrisch. Allerdings gilt 

det Cb B = 0, die Form ist somit ausgeartet. 


Aufgabe 3. (10 Punkte) Sei A eine hermitesche n × n-Matrix, n ≥ 1. 

(a) (5 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie: Alle Eigenwerte von A sind reelle Zahlen. 

(b) (5 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie: A ist eine normale Matrix. 

Lösung: 

(a) Sei 〈·, ·〉 die standard hermitesche Form auf dem C n , sei λ ein (möglicherweise komplexer) 

Eigenwert von A und sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Da A eine hermitesche 

Matrix ist, gilt sowohl 

〈v, Av〉 = 〈v, λv〉 = λ〈v, v〉 als auch 〈v, Av〉 = 〈Av, v〉 = 〈λv, v〉 = ¯λ〈v, v〉. 

Da 〈λv, v〉 eine positive reelle Zahl ist folgt ¯λ = λ, also ist λ eine reelle Zahl. 

(b) Eine n × n-Matrix B heißt normal wenn B( t ¯B) = ( 

t ¯B)B gilt. Da A eine hermitesche 

Matrix ist gilt A = ( t Ā) und somit 

was zu beweisen war. 

A( t Ā) = AA = ( t Ā)A, 


Aufgabe 4. (5 Punkte) Sei A die Matrix 

⎛ 

A = ⎝ 

0 0 0 

−1 1 0 

0 1 1 

Berechnen Sie das Minimalpolynom q A (x) von A. 

Lösung: 

Das charakteristische Polynom ist 

⎞ 

⎠ 

det(x1I − A) = x(x − 1) 2 . 

Da das Minimalpolynom q A (x) ein Teiler von p A (x) ist hat es höchstens Grad 3. Da die 

Matrizen ⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

1 0 0 

0 0 0 

0 0 0 

1I = ⎝ 0 1 0 ⎠ , A = ⎝ −1 1 0 ⎠ , A 2 = ⎝ −1 1 0 ⎠ 

0 0 1 

0 1 1 

−1 2 1 

linear unabhänging sind hat das Minimalpolynom mindestens Grad 3, also q A (x) = p A (x). 


Aufgabe 5. (15 Punkte) Sei A die reelle symmetrische Matrix 

⎛ 

⎝ 

2 −1 0 

−1 2 −1 

0 −1 2 

(a) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Signatur von A. 

(b) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. 

(c) (5 Punkte) Bestimmen Sie die Eigenvektoren von A. 

⎞ 

⎠ 

Lösung: 

( 2 −1 

(a) det(2) = 2 > 0, det 

−1 2 

ist die Signatur (3, 0). 

) 

= 3 > 0 und det A = 4 > 0, A ist positiv definit, also 

(b) Das charakteristische Polynom von A ist: 

⎛ 

p A (x) = det(x · 1I − A) = det ⎝ 

x − 2 1 0 

1 x − 2 1 

0 1 x − 2 

⎞ 

⎠ = (x − 2) 3 − 2(x − 2), 

also p A (x) = (x − 2)(x 2 − 4x + 2) = (x − 2)(x − (2 + √ 2))(x − (2 − √ 2)), die Eigenwerte 

sind also λ = 2, λ = 2 − √ 2 und λ = 2 + √ 2. 

(c) Die Eigenvektoren erhält man wie folgt: 

λ = 2 : 

λ = 2 − √ 2 : 

λ = 2 + √ 2 : 

⎛ 

Ker(A − 2 · 1I) = Ker ⎝ 

Ker(A − (2 − √ 2) · 1I) = Ker ⎝ 

0 −1 0 

−1 0 −1 

0 −1 0 

⎛ 

Ker(A − (2 + √ 2) · 1I) = Ker ⎝ 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎠ = C ⎝ 

√ 

2 −1 0 

−1 √ 2 −1 

0 −1 √ 2 

⎞ 

− √ 2 −1 0 

−1 − √ 2 −1 

0 −1 − √ 2 

1 

0 

−1 

⎞ 

⎠ 

⎛ 

1 

√ 

2 

⎠ = C ⎝ 

1 

⎞ ⎛ 

⎠ = C ⎝ 

⎞ 

⎠ 

1 

− √ 2 

1 

⎞ 

⎠ 


Aufgabe 6. (15 Punkte) Sei n ≠ 0 eine natürliche Zahl. 

(a) (2 Punkte) Geben Sie die Definition einer normalen Matrix an. 

(b) Vervollständigen Sie die Definitionen der unterstrichenen Begriffe (jeweils (2 Punkte)). 

(i) Die orthogonale Gruppe O n (R) ist .... 

(ii) Ein kommutativer Ring R mit 1 heißt nullteilerfrei, wenn .... 

(iii) Ein Modul M über C[x] heißt zyklisch falls ... 

(iv) Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis B. Die duale Basis B ∗ von 

V ∗ zur Basis B ist ... 

(v) Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und sei v ∈ V − {0I}. Die 

orthogonale Spiegelung von V an v ist die eindeutig bestimmte lineare Abbildung ... 

(c) (3 Punkte) Schreiben Sie die 2 × 2-Matrix auf, die eine Drehung der Ebene um den 

Winkel π 4 beschreibt: ⎛ 

⎞ 

? ? 

A = ⎜ 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

Lösung: 

? ? 

(a) Man nennt eine reelle oder komplexe n × n-Matrix A normal wenn A( t A) = ( t A)A. 

(b) 

(c) 

(i) Die orthogonale Gruppe O n (R) ist die Untergruppe der GL n (R) bestehend aus den 

Elementen 

O n (R) = {g ∈ GL n (R) | t gg = 1}. 

(ii) Ein kommutativer Ring R mit 1 heißt nullteilerfrei, wenn für alle r, s ∈ R gilt: Aus 

r · s = 0 folgt r = 0 oder s = 0. 

(iii) Ein Modul M über C[x] heißt zyklisch falls er von einem Element erzeugt wird, 

d.h., es gibt ein Element m ∈ M mit 

M = C[x] ◦ m = {r ◦ m | r ∈ C[x]}. 

(iv) Sei V ein endlicher Vektorraum mit Basis B. Die duale Basis B ∗ von V ∗ zur Basis 

B ist die Menge der linearen Abbildungen {v1 ∗, . . . , v∗ n} ⊂ V ∗ , wobei vi 

∗ ∈ B ∗ die 

eindeutig bestimmte lineare Abbildung ist mit der Eigenschaft: 

{ 

vi ∗ (v j ) = δ i,j , d.h. vi ∗ 1 falls i = j 

(v j ) = 

0 falls i ≠ j 

(v) Sei V ein euklidischer Vektorraum und sei v ∈ V −{0I}. Die orthogonale Spiegelung 

von V an v ist die eindeutig bestimmte Abbildung, die v auf −v schickt und den 

Orthogonalraum v ⊥ punktweise invariant läßt. 

A = 

( cos 

π 

4 

− sin π 4 

sin π 4 

cos π 4 

) 


Aufgabe 7. (10 Punkte) Gegeben sei die Abbildung 

〈·, ·〉 : M n (R) × M n (R) → R 

(A, B) ↦→ 〈A, B〉 := Spur(( t A)B). 

Hinweis: Sie dürfen die folgenden Eigenschaften der Spur verwenden ohne sie zu beweisen: 

Die Spur ist linear, d.h. Spur(λF + µG) = λSpur(F ) + µSpur(G), und Spur( t F ) = Spur(F ). 

(a) (3 Punkte) Zeigen Sie: 〈·, ·〉 definiert eine symmetrische Bilinearform auf M n (R). 

(b) (3 Punkte) Zeigen Sie: 〈·, ·〉 definiert ein Skalarprodukt auf M n (R). 

(c) (4 Punkte) Sei im Folgenden G = (g i,j ) 1≤i,j≤n eine fest gewählte reelle n × n-Matrix 

und sei Ψ die lineare Abbildung definiert durch 

Lösung: 

Ψ : M n (R) → M n (R), A ↦→ GA. 

Zeigen oder widerlegen Sie: die lineare Abbildung definiert durch 

Φ : M n (R) → M n (R), A ↦→ ( t G)A 

ist die adjungierte Abbildung (bezüglich 〈·, ·〉) zu Ψ. 

(a) Es gilt 〈A, B〉 = Spur(( t A)B) = Spur( t (( t A)B)) = Spur(( t B)A) = 〈B, A〉, 〈·, ·〉 ist also 

symmetrisch. Weiter gilt: 

〈A, λB + µC〉 = Spur(( t A)(λB + µC)) 

= λSpur(( t A)B) + µSpur(( t A)C) 

= λ〈A, B〉 + µ〈A, C〉 

〈·, ·〉 ist also linear in der zweiten Komponente und, wegen der Symmetrie, auch in der 

ersten Komponente, womit gezeigt wurde, dass 〈·, ·〉 eine symmetrische Bilinearform ist. 

(b) Es bleibt zu zeigen, dass 〈·, ·〉 positiv definit ist. Da für A = (a i,j ) 1≤i,j≤n gilt: 

〈A, A〉 = 

∑ 

1≤i,j≤n 

a 2 i,j ≥ 0 

und man hat 〈A, A〉 = 0 ⇔ ∀ i, j : a i,j = 0 ⇔ A = 0I folgt: 〈·, ·〉 ist positiv definit. 

(c) Es gilt 

〈Ψ(A), B〉 = Spur(( t (GA))B) = Spur(( t A)( t G)B) = Spur(( t A)Φ(B)) = 〈A, Φ(B)〉. 

Es folgt: Φ ist die adjungierte Abbildung (bezüglich 〈·, ·〉) zu Ψ. 

, 


Aufgabe 8. (15 Punkte) Sei R = Z und sei M der R-Modul Z/4Z ⊕ Z/8Z, wobei die 

Moduloperation gegeben ist durch 

Z × (Z/4Z ⊕ Z/8Z) → Z/4Z ⊕ Z/8Z, (x, (ā, ¯b)) ↦→ (xa, xb) 

(a) (4 Punkte) Sei n = 8q + r mit 0 ≤ r < 8. Zeigen Sie: 

n ◦ (ā, ¯b) = (ra, rb). 

(b) (3 Punkte) Sei M (ā,¯b) = {n ◦ (ā, ¯b) | n ∈ Z}. Benutzen Sie Teil a) um zu zeigen: 

M (ā,¯b) = {r ◦ (ā, ¯b) | r = 0, 1, 2, . . . 7} 

(c) (4 Punkte) Wieviele Elemente enthält M genau? Wieviele Elemente enthält M (ā,¯b) 

höchstens? 

(d) (4 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie: M ist ein zyklischer Modul. 

Lösung: 

(a) Sei n = 8q + r mit 0 ≤ r < 8. Dann gilt 

n ◦ (ā, ¯b) = (na, nb) = ((8q + r)a, (8q + r)b) = (ra, rb), 

(b) Also gilt wegen Teil a): M (ā,¯b) = {n ◦ (ā, ¯b) | n ∈ Z} = {r ◦ (ā, ¯b) | r = 0, 1, 2, . . . , 7} 

(c) Deswegen enthält M (ā,¯b) höchstens 8 verschiedene Elemente, der Modul M enthält genau 

4 · 8 = 32 verschiedene Elemente. 

(d) M ist nicht zyklisch, denn: 

M enthält 32 verschiedene Elemente. Wenn M zyklisch wäre, dann gäbe es ein Element 

(ā, ¯b) mit M = {n ◦ (ā, ¯b) | n ∈ Z}, diese Menge würde also 32 verschiedene Elemente 

enthalten, was nach Teil b) und Teil c) nicht möglich ist.

Musterlösung der Klausur vom 20.07.

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