mechanischen Schwingungen II

Übungsaufgaben zu <strong>mechanischen</strong> <strong>Schwingungen</strong> <strong>II</strong> 2004<br />

Aufgabe 1 Ein horizontales Federpendel besteht aus zwei Federn mit je D = 40 N/m und einer<br />

schwingenden Masse m = 800 g.<br />

a) M sei um s m = -20 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und wird zur Zeit t o = 0,0 s losgelassen. Nach<br />

welcher Zeit besitzt es zur ersten Mal maximale Geschwindigkeit?<br />

b) Berechne die Maximalgeschwindigkeit einmal über den EES, dann mit Hilfe der<br />

Bewegungsgleichungen.<br />

c) Berechne die Geschwindigkeit für den Augenblick, in dem die Auslenkung zum ersten Mal<br />

s 1 = +5,0 cm beträgt.<br />

Aufgabe 2) Ein Fadenpendel (l = 1,5 m; m = 800 g) wird um s = 20 cm ausgelenkt und losgelassen.<br />

a) Darf man die nun folgende Schwingung als harmonisch betrachten?<br />

b) Wie viel Energie steckt in der Schwingung und wie schnell ist die Kugel im untersten Punkt?<br />

Aufgabe 3)<br />

Ein U-Rohr (Innenradius r = 1,0 cm) wird mit 60 ml Wasser gefüllt.<br />

Nun wird aus dem rechten Schenkel so viel Luft gesaugt, dass der<br />

rechte Wasserspiegel um 60 mm höher liegt als der linke.<br />

a) Berechne die rücktreibende Kraft.<br />

b) Liegt ein lineares Kraftgesetz vor?<br />

c) Berechne die Periodendauer der nun folgenden gedämpften<br />

Schwingung.<br />

∆h<br />

s<br />

0<br />

Aufgabe 1 Ein horizontales Federpendel besteht aus zwei Federn mit je D = 40 N/m und einer<br />

schwingenden Masse m = 800 g.<br />

a) M sei um s m = -20 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und wird zur Zeit t o = 0,0 s losgelassen. Nach<br />

welcher Zeit besitzt es zur ersten Mal maximale Geschwindigkeit?<br />

b) Berechne die Maximalgeschwindigkeit einmal über den EES, dann mit Hilfe der<br />

Bewegungsgleichungen.<br />

c) Berechne die Geschwindigkeit für den Augenblick, in dem die Auslenkung zum ersten Mal<br />

s 1 = +5,0 cm beträgt.<br />

Aufgabe 2) Ein Fadenpendel (l = 1,5 m; m = 800 g) wird um s = 20 cm ausgelenkt und losgelassen.<br />

a) Darf man die nun folgende Schwingung als harmonisch betrachten?<br />

b) Wie viel Energie steckt in der Schwingung und wie schnell ist die Kugel im untersten Punkt?<br />

Aufgabe 3)<br />

Ein U-Rohr (Innenradius r = 1,0 cm) wird mit 60 ml Wasser gefüllt.<br />

Nun wird aus dem rechten Schenkel so viel Luft gesaugt, dass der<br />

rechte Wasserspiegel um 60 mm höher liegt als der linke.<br />

a) Berechne die rücktreibende Kraft.<br />

b) Liegt ein lineares Kraftgesetz vor?<br />

c) Berechne die Periodendauer der nun folgenden gedämpften<br />

Schwingung.<br />

∆h<br />

s<br />

0

---

Übungsaufgaben zu <strong>mechanischen</strong> <strong>Schwingungen</strong> <strong>II</strong> 2004<br />

Aufgabe 1 Ein horizontales Federpendel besteht aus zwei Federn mit D 1 = D 2 = 40 N/m und einer<br />

schwingenden Masse m = 800 g.<br />

a) m sei um s m = -20 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und wird zur Zeit t o = 0,0 s losgelassen. Nach<br />

welcher Zeit besitzt es zur ersten Mal maximale Geschwindigkeit?<br />

b) Berechnen Sie die Maximalgeschwindigkeit einmal über den EES, dann mit Hilfe der<br />

Bewegungsgleichungen.<br />

c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit für den Augenblick, in dem die Auslenkung zum ersten Mal<br />

s 2 = +5,0 cm beträgt.<br />

a) Gegeben: D 1 = 40 N/m; m = 0,80 kg<br />

Gesucht: t 1 = ¼ T<br />

Lösung: ω = 2·π / T = D/m<br />

=> T = 2 · π · m/D<br />

Für hor. Federpendel ist D = D 1 + D 2 = 80 N/m<br />

=> T = 0,63 S<br />

=> t 1 = 0,16 s<br />

b) Gesucht: v max = v (t1)<br />

Lösung mit Bewegungsgleichungen:<br />

s (t1) = - s m · cos(ωt 1 ) mit ω = D/m = 10 1/s<br />

v (t1) = + s m · ω · sin(ωt 1 ) = 2,0 m/s<br />

Lösung über EES:<br />

E B, max = E sp,max<br />

2<br />

½ m v m =<br />

2<br />

½ D s m<br />

v 2 m<br />

2<br />

= D/m · s m => v m = 2,0 m/s<br />

c) Gesucht: v (t2) wenn s 2 = + 5,0 cm<br />

EES: E B,2 = E ges - E elong, 2<br />

½ m v 2 2 = ½ D s 2 2<br />

m - ½ D s 2<br />

2<br />

v 2 = D/m · (s 2 m - s 2 2 )<br />

= ½ D · (s m 2 - s 2 2 )<br />

v 2 = 1,9 m/s nach oben

---

Übungsaufgaben zu <strong>mechanischen</strong> <strong>Schwingungen</strong> <strong>II</strong> 2004<br />

Aufgabe 2) Ein Fadenpendel (l = 1,5 m; m = 800 g) wird um s = 20 cm ausgelenkt und losgelassen.<br />

a) Darf man die nun folgende Schwingung als harmonisch betrachten?<br />

b) Wie viel Energie steckt in der Schwingung und wie schnell ist die Kugel im untersten Punkt?<br />

a) α/2π = s / 2πr => α = s/r = 1,33 entspricht 7,6°<br />

Der Winkel ist so klein, dass man in guter Näherung<br />

x = s setzen kann.<br />

α<br />

Dann gilt: F/F g = x/l = s/l => F = F g /l · s<br />

=> lineares Kraftgesetz mit D = F g /l<br />

=> Schwingung darf als harmonisch betrachtet werden.<br />

x<br />

s<br />

F<br />

F g<br />

2<br />

b) W = ½ D s m<br />

W = 0,10 J<br />

mit<br />

D = m·g / l<br />

α<br />

v m = D/m · s m (s. Afg. 1)<br />

v m = 0,511 m/s<br />

Aufgabe 3)<br />

Ein U-Rohr (Innenradius r = 1,0 cm) wird mit 60 ml Wasser gefüllt.<br />

Nun wird aus dem rechten Schenkel so viel Luft gesaugt, dass der<br />

rechte Wasserspiegel um 60 mm höher liegt als der linke.<br />

a) Berechnen Sie die rücktreibende Kraft.<br />

b) Liegt ein lineares Kraftgesetz vor?<br />

c) Berechnen Sie die Periodendauer der nun folgenden gedämpften<br />

Schwingung.<br />

∆h<br />

s<br />

0<br />

a) F = F g = m · g = ρ ·V· g mit V = π·r 2·h (ρ = 1000 kg/m 3 )<br />

F = 0,18 <br />

b) Da F ~ h und h = 2·s liegt ein lineares Kraftgesetz vor.<br />

c) ω = 2·π·f = D/m<br />

=> f = D/m / 2π<br />

Mit D = F/s = 0,18.. N / 30 mm = 6,16.. N/m<br />

und m = ρ · V = 1,0 kg/l · 0,06 l = 0,06 kg<br />

ergibt sich: f = 1,6 Hz => T = 0,625s

---

Übungsaufgaben zu <strong>mechanischen</strong> <strong>Schwingungen</strong> <strong>II</strong> 2004<br />

Aufgabe 4)<br />

Bei älteren Autos kann man bemerken, dass bei gewissen Drehzahlen plötzlich laute Geräusche<br />

auftreten, die bei anderen Drehzahlen wieder verschwinden. Erklären Sie dieses Phänomen.<br />

Ein PKW enthält viele schwingungsfähige Systeme (Blechstücke,<br />

Kunststoffverkleidungen . . . ) mit jeweils spezifischen Eigenfrequenzen. Sobald die<br />

Motordrehzahl in die Nähe dieser Eigenfrequenzen kommt tritt Resonanz auf, die<br />

entsprechenden Teile schwingen mit großer Amplitude und erzeugen dabei Geräusche.<br />

Aufgabe 5)<br />

Für einen guten Fahrkomfort enthalten alle modernen Fahrzeuge nicht nur eine Federung, sondern<br />

auch Schwingungsdämpfer. Welchen Sinn haben diese und warum könnten Fahrten ohne<br />

Schwingungsdämpfer ungemütlich bis gefährlich werden?<br />

Aufgabe 6)<br />

Ein Wagen (m = 500 g) hängt als horizontales Federpendel<br />

zwischen zwei gleichen Federn. Die rechte Feder wird mit<br />

variabler Frequenz um einige mm hin- und her bewegt. Die<br />

Messung der Amplitude in Abhängigkeit von der Frequenz<br />

ergibt nebenstehendes Diagramm.<br />

a) Zeichnen Sie das dazugehörende Phasendiagramm.<br />

b) Berechnen Sie die Federkonstanten der beiden Federn.<br />

s m<br />

1,0 2,0<br />

a) Phasendiagramm:<br />

π<br />

φ<br />

f err in Hz<br />

π/2<br />

b) Berechnung von D 1 = D 2<br />

ω = D/m<br />

=> D = ω 2 · m = (2πf) 2 · m<br />

1,0 2,0<br />

f err in Hz<br />

Die Eigenfrequenz f erhält man aus dem Diagramm: f = 1,4 Hz.<br />

=> D = 38,6… N/m<br />

da D 1 = ½ · D folgt: D 1 = 19 /m