Gleichsetzungsverfahren - Learnable

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M110<br />

ALGEBRA:<br />

<strong>Gleichsetzungsverfahren</strong><br />

Gegeben sind zwei Gleichungen I. und II. mit den Unbekannten x und y:<br />

I. 4 = 5x + y<br />

II. 6 = 8x + 2 y<br />

Beide Gleichungen nach einer Unbekannten auflösen (hier: y):<br />

I. 4 = 5x + y | - 5x ⇔ 4 - 5x = y<br />

II. 6 = 8x + 2y | -8x ⇔ 6 - 8x = 2y | :2 ⇔ 3 - 4x = y<br />

Beide Gleichungen gleichsetzen und nach einer Unbekannten auflösen (hier x):<br />

4 -5x = 3-4x |+5x ⇔ 4 = 3 + x| -3 ⇔ 1 = x<br />

Das Ergebnis setzen Sie in eine der beiden Gleichungen (hier: Gleichung I.) ein und lösen Sie nach der<br />

anderen Unbekannten (hier: y) auf:<br />

I. 4 = 5 ∗ 1 + y | - 5 ⇔ -1 = y<br />

Zur Überprüfung der Lösung setzen Sie die Lösung in beide Gleichungen ein:<br />

I. 4 = 5 ∗ 1 + (-1) = 4<br />

II. 6 = 8 ∗ 1 + 2 ∗ (-1) = 6<br />

Übung 1<br />

Bestimmen Sie x und y nach dem <strong>Gleichsetzungsverfahren</strong>:<br />

a) I. 10 = x + y c) I. 10 = 3x + 2y<br />

II. 4 = y - x<br />

II. 12 = 3x + 3y<br />

b) I. 15 = x + y d) I. 2 = 3x + 2y<br />

II. 6 = 2x - y<br />

II. 5 = 6x + 6y<br />

Übung 2<br />

Bestimmen Sie die Gleichungen und lösen Sie diese mit dem <strong>Gleichsetzungsverfahren</strong>.<br />

a) Peter kauft 3 Äpfel und 4 Birnen. Er muss 4,30 € bezahlen. Lisa erhält für ihre 3,90 € 5 Äpfel und<br />

2 Birnen. Wie viel kosten ein Apfel und eine Birne?<br />

b) Die Oma von Lisa ist fünfmal mal so alt wie sie. In 4 Jahren ist sie nur noch viermal mal so alt wie<br />

Lisa. Wie alt sind Lisa und ihre Oma heute?<br />

c) Max und Paul haben zusammen 100 Murmeln. Nachdem Max 25 Murmeln von Paul gewonnen hat,<br />

hat Max dreimal soviel wie Paul. Wie viele Murmeln hatten Max und Paul jeweils am Anfang?<br />

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LÖSUNG:<br />

1. a) I. 10 = x + y | - x ⇔ 10 - x = y<br />

II. 4 = y - x | + x ⇔ 4 + x = y<br />

Gleichsetzen:<br />

10 - x = 4 + x | + x 10 = 4 + 2x | - 4 ⇔ 6 = 2x | :2 ⇔ x = 3<br />

Einsetzen in die Gleichung I.:<br />

I. 10 = 3 + y | -3 ⇔ 7 = y<br />

Überprüfen:<br />

I. 10 = 7 + 3 = 10<br />

II. 4 = 7 - 3 = 4<br />

b) I. 15 = x + y | - x ⇔ 15 - x = y<br />

II. 6 = 2x - y | + y ⇔ 6 + y = 2x | -6 ⇔ y = 2x -6<br />

Gleichsetzen:<br />

15 - x = 2x -6 | + x ⇔ 15 = 2x - 6 | + 6 ⇔ 21 = 3x | :3 ⇔ x = 7<br />

Einsetzen in die Gleichung I.:<br />

I. 15 = 7 + y | -7 ⇔ 8 = y<br />

Überprüfen:<br />

I. 15 = 7 + 8 = 15<br />

II. 6 = 2 ∗ 7 - 8 = 6<br />

c) I. 10 = 3x + 2y | - 2y ⇔ 10 - 2y = 3x<br />

II. 12 = 3x + 3y | -3y ⇔ 12 - 3y = 3x<br />

Gleichsetzen:<br />

10 -2y = 12 - 3y | + 3y ⇔ 10 + y = 12 | -10 ⇔ y = 2<br />

Einsetzen in die Gleichung I.:<br />

I. 10 = 3x + 2∗2 | -4 ⇔ 6 = 3x | :3 ⇔ 2 = x<br />

Überprüfen:<br />

I. 10 = 3 ∗ 2 + 2 ∗ 2 = 10<br />

II. 12 = 3 ∗ 2 + 3 ∗ 2 = 12<br />

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M110<br />

d) I. 2 = 3x + 2y | - 3x ⇔ 2 - 3x = 2y | : 2 ⇔ 1 - 3 2 x = y<br />

II. 5 = 6x + 6y | -6x ⇔ 5 - 6x = 6y | : 6 ⇔ 5 6 - x = y<br />

Gleichsetzen:<br />

1 - 3 2 x = 5 6 - x | + 3 2 x ⇔ 1 = 5 6 + 1 2 x | - 5 6 ⇔ 1 6 = 1 2 x | ∗ 2 ⇔ 1 3 = x<br />

Einsetzen in die Gleichung I.:<br />

I. 2 = 3 ∗ 1 3 + 2y | -1 ⇔ 1 = 2y | :2 ⇔ 1 2 = y<br />

Überprüfen:<br />

I. 2 = 3 ∗ 1 3 + 2 ∗ 1 2 = 2<br />

II. 5 = 6 ∗ 1 3 + 6 ∗ 1 2 = 5<br />

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Übung 2<br />

a) Sei a der Preis für einen Apfel und b der Preis für eine Birne.<br />

I. 3a + 4b = 4,30 | - 3a ⇔ 4,30 - 3a = 4b | : 4 ⇔ 1,075 - 0,75a = b<br />

II. 3,90 = 5a + 2b | -5a ⇔ 3,90 - 5a = 2b | :2 ⇔ 1,95 - 2,5a = b<br />

Gleichsetzen:<br />

1,075 - 0,75a = 1,95 - 2,5a | + 2,5a ⇔ 1,075 +1,75a = 1,95 | - 1,075<br />

⇔ 1,75a = 0,875 | :1,75 ⇔ a = 0,5<br />

Einsetzen in die Gleichung I.:<br />

I. 3,9 = 5 ∗ 0,5 + 2b | -2,50 ⇔ 1,4 = 2b | :2 ⇔ b = 0,7<br />

Überprüfen:<br />

I. 4,30 = 3 ∗ 0,5 + 4 ∗ 0,7 = 4,30<br />

II. 3,90 = 5 ∗ 0,5 + 2 ∗ 0,7 = 3,90<br />

Ein Apfel kostet 0,50€. Die Birne kostet 0,70€<br />

b) Sei O das Alter der Oma heute und L das Alter von Lisa heute.<br />

I. O = 5L<br />

II. O + 4 = (L+4) ∗ 4 = 4L + 16 | -4 ⇔ O = 4L + 12<br />

Gleichsetzen:<br />

5L = 4L + 12 | -4L ⇔ L = 12<br />

Einsetzen in die Gleichung I.:<br />

I. O = 5 ∗ 12 = 60<br />

Überprüfen:<br />

I. 60 = 5 ∗ 12 = 60<br />

II. 64 = 60 + 4 = (12 +4) ∗ 4 = 64<br />

Die Oma ist heute 60 und Lisa 12 Jahre alt.<br />

c) Sei M die Anzahl der Murmeln von Max am Anfang und P die Anzahl der<br />

Murmeln von Paul am Anfang.<br />

I. M + P = 100 | - P ⇔ M = 100 - P<br />

II. M + 25 = 3 ∗ (P - 25) = 3P - 75 | + 25 ⇔ M = 3P - 100<br />

Gleichsetzen:<br />

100 - P = 3P - 100 | + P ⇔ 200 = 4P | :4 ⇔ P = 50<br />

Einsetzen in die Gleichung I.:<br />

I. M + 50 = 100 | - 50 ⇔ M = 50<br />

Überprüfen:<br />

I. 100 = 50 + 50 = 100<br />

II. 75 = 50 +25 = 3 ∗ (50 - 25) = 75<br />

Max und Paul hatten am Anfang jeweils 50 Murmeln.<br />

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