1.8 Zweidimensionales Elektronengas und Quanten-Hall-Effekt

1.8 Zweidimensionales Elektronengas 

und Quanten-Hall-Effekt 91 


und Quanten-Hall-Effekt 

Ausbildung eines 2dim. Elektronengases in → n-Kanal im MOSFET 

(2DEG) oder 

→ Potentialmulde bei 

Heteroübergängen 

typischer Potentialverlauf: 

→ Potentialtopf ∼ 10 nm dick; 

∼ Dreiecksform 

diskrete Energiebänder mit 

rein 2-dim. Bewegung in jedem Subband; 

falls k B T ≪ ∆E: nur Grundzustand besetzt 

Zustandsdichte in 2 Dimensionen: 

Betrachtung äquivalent zur Herleitung der Zustandsdichte in 3 Dimensionen: 

Aus periodischen Randbedingungen für System das in 2 Dimensionen die Ausdehnung 

L besitzt: 

Zustände im Abstand 2π/L im 2-dim ⃗ k-Raum 

Zahl N(k), bzw. N(E) der besetzten Zustände bis zum (maximalen) k-Wert, bzw. 

Energie E = 2 k 2 /2m ist 

( ) 2 L 

N = 2 · · πk 2 = 2 · L2 

2π 4π · π · 2m 

2 · E = L2 m 

2 π E (1.89) 

2 

↑ 

Spin 

↑ 

E = 2 k 2 

2m 

Damit gilt für die 2-dimensionale Zustandsdichte 

D(E) = dN 

dE = L2 m 

π 2 unabhängig von E (1.90)

92 Kapitel 1 Halbleiter 

Der Quanten-Hall-Effekt 

Entdeckung: 

K. v. Klitzing untersuchte 1980 die Hall-Spannung von Si-MOSFETs in hohen Magnetfeldern 

(B ≤ 18 T) und bei tiefen Temperaturen (T ≈ 1.5 K). 

Hierbei waren die n-Kanal-MOSFETs zusätzlich mit seitlich am Inversionskanal angebrachten 

Hall-Kontakten versehen 

Geometrie: 

Abb. 1.75: Quanten-Hall- 

Effekt. Zuordnung von 

Geometrie und Spannung 

[aus Bergmann-Schaefer, 

Lehrbuch der Experimentalphysik, 

Bd. 6, Festkörper 

(1992); Abb.6.87]. 

Erwartung: 

|U H | = R H 

I x 

H B = 

I D · B 

e · n(U GS ) · D(U GS ) = 

I D · B 

Q S (U GS ) 

(1.91) 

Source-Drain-Strom: I x = I D , 

Dicke des SD-Kanals: H = D(U GS ) 

(abhängig von Gate-Spannung U GS ) 

magnetische Induktion: B, 

Ladungsträgerdichte im SD-Kanal: n(U GS ) 

(abhängig von Gate-Spannung U GS ) 

Flächenladungsdichte im SD-Kanal: Q S (U GS ) = e · n(U GS ) · D(U GS ) 

d.h. mit steigender Gate-Spannung U GS sollte aufgrund der steigenden Ladungsträgerdichte 

Q S im SD-Kanal der Hall-Widerstand fallen, gemäß |U H | ∝ Q −1 

S .



Messergebnis: 3,4 

Abb. 1.76: Quanten-Hall-Effekt (nach von Klitzing et al.). Topologie der MOS-Probe und Ergebnisse 

[aus Bergmann-Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 6, Festkörper (1992); 

Abb.6.88]. 

Hall-Widerstand fällt in der Tat mit steigender Gate-Spannung, aber 

⇒ Plateaus in Hall-Widerstand 

U H 

I D 

= 

B 

Q S (U DS ) = 1 i 

h 

, i = 1, 2, 3 . . . 

e2 Effekt wird mittlerweile zur Definition des Ohms verwendet; h/e 2 = 25.8 kΩ 

weitere Beobachtung: 

der longitudinale Widerstand ∆U/I D wird sehr klein bei Werten für U GS bei denen der 

Hall-Widerstand konstant ist (auf den Plateaus); 

∆U/I D ist maximal gerade im Übergang von einem Plateau zum nächsten. 

3 K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, New Method for High-Accuracy Determination of the 

Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980). 

4 K. von Klitzing erhielt 1985 den Nobelpreis in Physik für die Entedeckung des Quantenhalleffetks.


Anordnung mit GaAlAs/GaAs-Heterostruktur: 

Abb. 1.77: 

GaAsAs/GaAs- 

Heteroübergang 

zur Messung des 

Quanten-Hall- 

Effektes (nach 

Störmer [13]). 

[aus Bergmann- 

Schaefer, Lehrbuch 

der Experimentalphysik, 

Bd. 6, 

Festkörper (1992); 

Abb.6.89]. 

Die Phasengrenze des Heteroübergangs ist weniger ”rauh” als die Si/SiO 2 Phasengrenze 

des MOS-FETs 

→ Vermeidet die Ausbildung parasitärer Ladungen an der Grenzfläche 

⇒ noch deutlicher ausgeprägte Stufenstuktur; 

wird weiter verbessert durch Messung bei sehr tiefer Temperatur: 

Abb. 1.78: Quanten-Hall- 

Effekt am AlGaAs/GaAs- 

Heteroübergang 

(siehe auch Abb. 6.58 

und 6.89 in Bergmann- 

Schäfer(6)). 

Oben: Tieftemperatur- 

Hall-Widerstand | U H /I |, 

unten: Tieftemperatur- 

Längswiderstand | ∆U/I |, 

beide als Funktion der 

magnetischen Induktion B 

(nach Tsui et al. [23] ). 

[aus Bergmann-Schaefer, 

Lehrbuch der Experimentalphysik, 

Bd. 6, Festkörper 

(1992); Abb.6.90].



Zur Erklärung des Quanten-Hall-Effektes 

• Problemstellung: 

2-dimensionale Bewegung von Elektronen 

im senkrechten Magnetfeld ⃗ B 

- Klassisch: Kreisbahnen mit Zyklotronfrequenz ω c = eB/m 

- Quantenmechanisch: 

Löse Schrödinger-Gleichung HΨ = EΨ für ein freies Elektron im Magnetfeld (ohne 

Spin) 

1 

2m ∗ (−i⃗ ∇ − e ⃗ A) 2 Ψ = EΨ 

Mit ⃗ B = rot ⃗ A gilt für das Vektorpotential ⃗ A eines gleichförmigen Magnetfelds ⃗ B = Bê z 

in der Landau-Eichung ⃗ A = −Byê x . 

Damit gilt für den Hamilton-Operator 

( ) 

H = − 2 ∂ 

2 

2m ∂y + ∂2 

+ 1 [ 

−i ∂ ] 2 

2 ∂z 2 2m ∂x − eyB 

Dieses Problem ist auf das Problem eines 2-dim. harmonischen Oszillator mit der Frequenz 

ω c zurückführbar. 5 

Dies liefert die diskrete Energieeigenwerte [im (k x , k y )-Raum] 

E i = (i − 1 2 )ω c + 2 k 2 z 

2m 

; i = 1, 2 . . . (1.92) 

Der Term 2 k 2 z/2m beschreibt die kinetische Energie der Bewegung ’freier’ Elektronen 

in z-Richtung, parallel zum Magnetfeld. 

Im 2DEG ist diese Bewegung unterdrückt (in unserem Fall für ein Magnetfeld senkrecht 

zur Grenzfläche des MOS-FETs, bzw. der Heterostruktur in Abb.1.77). 

Damit gilt für die Energie der Elektronen 

E i = (i − 1 2 )ω c ; i = 1, 2 . . . (1.93) 

Im 2DEG bezeichnet man diese diskreten Energiewerte auch als die Landau-Niveaus. 

5 siehe z.B. Kittel, Einführung in die Festköperphysik (1999), S.288.


⇒ das für B = 0 kontinuierliche Spektrum des 2DEG 

mit D(E) = L 2 m/(2π 2 ) = const 

kollabiert im starken Magnetfeld (ω c τ ≫ 1) auf die diskreten Landau-Niveaus ! 

gesucht: Zahl der Zustände/Landau-Niveau 

Abb. 1.79: 2-dimensionales 

Elektronengas: Auspaltung 

der kontinuierlichen Energieniveaus 

(Nullfeld) auf die 

Landau-Niveaus im Magnetfeld 

∆N = Zustandsdichte (B = 0) · Intervallbreite ω c 

= L2 m 

2π · ω 2 c 

= L2 m 

2π · eB 2 m = 1 L 2 

2π l 2 B 

mit 

l B ≡ 

√ 

 

eB = ′′ Landau − Länge ′′ 

= L 2 e h B (1.94) 

Anmerkung: 

Die Zahl der Zustände ∆N ist auf jedem Landau-Niveau gleich. 

Die Landau-Länge l B ist gerade der klassische Radius der Elektronenbahn auf dem 

ersten Landau-Niveau. 6 

Die von der ”klassischen” Bahn eingeschlossene Fläche ist πl 2 B . 

Im Magnetfeld B ist damit der magnetische Fluss durch diese Fläche gerade 

Φ = B · π · /(eB) = 1 2 h/e ≡ Φ 0/2 (mit Φ 0 ≡ h/e = 4.14 · 10 −15 Vs/m 2 ). 

Allgemein folgt für das i-te Landau-Niveau ein klassischer Bahnradius √ 2i − 1 · l B . 

Der von diesen Bahnen eingeschlossene magnetische Fluss ist Φ = 2i−1 

2 Φ 0. 

6 Mit i = 1 gilt E = ω c /2 = mv 2 /2 = mω 2 c r 2 /2 ⇒ r 2 = /(eB) = l 2 B



Die Gleichung (1.93) beschreibt auch die Quantisierung der Zyklotron-Bahnbewegung 

im 2-dim. ⃗ k-Raum: 

Mit 

E i = (i − 1 2 )ω c = 2 k 2 i 

2m 

folgt für die Fläche der Orbits im ⃗ k-Raum (mit ω c = eB/m und Φ 0 = h/e) 

A i = πk 2 i = π 2m 

2 (i − 1 2 )ω c = Φ 0 · B(i − 1 2 ) . 

D.h. die Fläche der Orbits im ⃗ k-Raum ist quantisiert in ganzahligen Vielfachen von 

Φ 0 · B = A i+1 − A n . 

Die Zahl der Zustände in jedem Landau-Niveau, bezogen auf die Einheitsfläche 

(Flächendichte je Landau-Niveau) ist 

∆N 

L 2 = e h B = B Φ 0 

(1.95) 

Wenn nun das Fermi-Niveau zwischen zwei Landau-Niveaus liegt dann verhält sich das 

2DEG wie ein Halbleiter mit einer Energielücke ω c . 

Für genügend tiefe Temperaturen und/oder starke Magnetfelder (ω c ∝ B) gilt dann 

k B T ≪ ω c , so dass das 2DEG isolierend wird, d.h. die Diagonalelemente des Leitfähigkeitstensors 

σ xx , σ yy gehen gegen Null. 

Wir betrachten im folgenden die Situation T = 0. 

Die Zahl der Elektronen im 2DEG N e sei so, dass E i < E F < E i+1 , 

d.h. das Fermi-Niveau liege gerade über dem i-ten Landau-Niveau. 

Damit gilt mit (1.94) dass die Gesamtzahl der Elektronen in den i besetzten Landau- 

Niveaus gegeben ist durch 

N e = i · ∆N = i · L 2 B Φ 0 

= i · Φ 

Φ 0 

= i · N Φ (1.96) 

Hierbei ist N Φ ≡ Φ/Φ 0 die Anzahl an Flussquanten und Φ = B · L 2 der Gesamtfluss 

in der Struktur. 

D.h. wenn i Landau-Niveaus vollständig gefüllt sind ist die Zahl N e der besetzten 

Zustände gerade i mal der Zahl der Flussquanten. 

Der Füllfaktor definiert sich als 

ν ≡ N e 

N Φ 

= 

F lächendichte der Elektronen 

F lächendichte der F lussquanten 

(1.97) 

D.h. bei vollständig besetzten Landau-Niveaus ist der Füllfaktor gerade die Zahl der 

vollständig besetzten Niveaus. 

Der inverse Wert ν −1 beschreibt die durchschnittliche Zahl von Flussquanten pro Elektron 

im 2DEG. 

Für ν ≥ 1: Regime des integralen QHE 

Für ν ≤ 1: Regime des fraktionalen QHE


• wachsende Gate-Spannung U GS (bei B = const.) 

→ Ladungsträgerdichte steigt mit U GS 

→ E F wandert über Landau-Niveaus 

→ Flächendichte der besetzten Zustände nimmt um ∆N/L 2 = eB/h = B/Φ 0 

bei Überqueren eines Niveaus zu. 

→ Elektronendichte: 

Q S (U GS ) = e · Ne 

L = e · i B = i e2 

· B , i = 1, 2, 3 . . . 

2 Φ 0 h 

⇒ Hall-Widerstand 

U H 

I D 

= 

B 

Q S (U GS ) = 1 i · h 

e 2 

• wachsendes Magnetfeld B (bei Gate-Spannung U GS = const.) 

Die Fermi-Energie bleibt konstant; 

Der Abstand der Landau-Niveaus erhöht sich 

⇒ Landau-Niveaus schieben sich durch E F , 

dadurch ändert sich deren Besetzung 

Linearer Anstieg des Hall-Widerstands zerfällt in Plateaus (s. Abb.1.78).



an Plateaus von U H → keine ungefüllten Landau-Niveaus 

→ kein Beitrag zum (longitudinalen) Stromtransport 

es gilt (in 2D) 

d.h.: 

analog: 

( 

jx 

) 

= 

j y 

⃗j = ⃗σ · ⃗E , 

( )( ) 

σxx σ xy Ex 

σ yx σ yy E y 

⃗E = ⃗ ⃗ρ · ⃗j 

( 

⃗⃗ρ 

) −1 

= ⃗σ = 

( ) 

1 ρyy − ρ xy 

ρ xx ρ yy − ρ xy ρ yx −ρ yx ρ xx 

an Plateaus: ρ xx = ρ yy = 0 ⇒ auch σ xx , σ yy = 0 

Realistische Festkörper (inkl. Unordnung, Streuung) 

→ Verbreiterung der Landau-Niveaus zu Peaks 

Mit steigendem Magnetfeld bleibt der Hall-Widerstand konstant solange E F sich zwischen 

Landau-Niveaus befindet. 

Wandert ein (verbreitertes) Landau-Niveau in die Fermi-Kante 

→ die Besetzung von beweglichen Ladungsträgern im Fermi-Niveau 

ändert sich kontinuierlich 

→ Widerstandplateaus sollten stark ausgeschmiert sein.


Es zeigt sich aber: 

• nur Zustände nahe Peak-Maximum sind über Festkörper delokalisiert 

• Plateaus erreicht, sobald alle delokalisierten Zustände besetzt 

→ gut ausgeprägte Plateaus 

• neben ganzzahligem QHE existiert auch fraktionaler QHE 

hier: i = 1/3, 2/3, . . . 2/5, 3/5, 4/5, . . . 

Theorie (R.B. Laughlin) 

→ Ausbilden eines kollektiven Vielteilchenzustands 

mit gebrochenzahligen Ladungen 

(z.B. 1 · e bei 1 -zahligen Niveaus, etc.) 

3 3 

Teilchen gebildet aus Elektronen +m Flussquanten h/e 

(m = 3 für 1 -zahligen Niveaus, etc.) 

3 

Weiter reduzierte Dimensionen 

durch Methoden der Nanostrukturierung herstellbar 

→ 1-dim Elektronengas (”Quantendrähte”) 

→ 0-dim ”e − -Gas” → ”Quantenpunkte” 

”künstliche Atome” 

mit zahlreichen ungewöhnlichen Eigenschaften ! 

→ Spezialvorlesungen über Halbleiterphysik

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