Vektorielle Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen

<strong>Vektorielle</strong> <strong>Darstellung</strong> <strong>von</strong> <strong>Punkten</strong>, <strong>Geraden</strong> <strong>und</strong> <strong>Ebenen</strong><br />

vektorielle <strong>Darstellung</strong> <strong>von</strong> <strong>Punkten</strong> durch den Ortsvektor, der vom Koordinatenursprung<br />

zum Punkt im Koordinatensystem führt<br />

⎛1<br />

⎞<br />

⎜ ⎟<br />

Bsp: zum Punkt A(1; 2; 3) gehört der Ortsvektor OA = a = ⎜2<br />

⎟<br />

⎜ ⎟<br />

⎝3<br />

⎠<br />

Veranschaulichung der Verschiebung <strong>von</strong> <strong>Punkten</strong> oder geometrischen Figuren mit<br />

GeoGebra:<br />

http://www.geogebra.org/de/examples/vektor_einfuehrung/verschiebung.html<br />

vektorielle <strong>Darstellung</strong> <strong>von</strong> <strong>Geraden</strong> durch 2 Punkte A <strong>und</strong> B oder mittels einem<br />

Aufsprungpunkt A (zugehöriger Ortsvektor ist OA = a ) <strong>und</strong> einem Richtungsvektor v<br />

g: x = a + r (b - a ) oder g: x = a + r v<br />

Bsp: Gerade durch die Punkte A (1; 2; 3) <strong>und</strong> B (-1; 3; -2)<br />

⎛1<br />

⎞ ⎛ −1<br />

−1<br />

⎞ ⎛1<br />

⎞ ⎛−<br />

2⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

g: x = ⎜2<br />

⎟ + r ⎜ 3 − 2 ⎟ = ⎜2<br />

⎟ + r ⎜ 1 ⎟ ,<br />

⎜ ⎟<br />

⎝3<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

2 − 3 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝3<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ − 5⎠<br />

wobei der Differenzvektor zwischen den <strong>Punkten</strong> A <strong>und</strong> B dem Richtungsvektor v entspricht<br />

Veranschaulichung mit GeoGebra:<br />

http://www.rahubdf.de/mathematik/analytische_geometrie/<strong>Geraden</strong>gleichung/<strong>Geraden</strong>gleichu<br />

ng.html<br />

http://www.rahubdf.de/mathematik/analytische_geometrie/<strong>Geraden</strong>schnittpunkt/<strong>Geraden</strong>schni<br />

ttpunkt.html<br />

vektorielle <strong>Darstellung</strong> <strong>von</strong> <strong>Ebenen</strong>, die durch 3 Punkte A, B, C im Raum oder durch einen<br />

Punkt <strong>und</strong> zwei linear unabhängige Richtungsvektoren v <strong>und</strong> u eindeutig bestimmt sind<br />

E: x = a + r(b - a ) + s( c - a ) oder E: x = a + r v + su<br />

Bsp: Ebene durch die Punkte A (1; 2; 3), B (-1; 3; -2) <strong>und</strong> C (2; 0; -3)<br />

⎛1<br />

⎞ ⎛ −1<br />

−1<br />

⎞ ⎛ 2 −1<br />

⎞ ⎛1<br />

⎞ ⎛−<br />

2⎞<br />

⎛ 1 ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

E: x = ⎜2<br />

⎟ + r ⎜ 3 − 2 ⎟ + s ⎜ 0 − 2 ⎟ = ⎜2<br />

⎟ + r ⎜ 1 ⎟ + s ⎜−<br />

2⎟<br />

,<br />

⎜ ⎟<br />

⎝3<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

2 − 3 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

3 − 3 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝3<br />

⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝ − 5 ⎜ ⎟<br />

⎠ ⎝−<br />

6⎠<br />

wobei die Differenzvektoren zwischen den <strong>Punkten</strong> A <strong>und</strong> B, bzw. A <strong>und</strong> C den<br />

Richtungsvektoren v <strong>und</strong> u entsprechen.

---

Veranschaulichung mit GeoGebra:<br />

http://www.rahubdf.de/mathematik/analytische_geometrie/Ebene/Ebene2.html<br />

(Hinweis: Aufsprungpunkt der schräg nach vorn liegenden Ebene ist I (0; 0; 6), die<br />

Richtungsvektoren sind u = IK <strong>und</strong> v = IL , der Ortsvektor zu allen <strong>Punkten</strong> der Ebene wird<br />

mit r bezeichnet; durch Veränderung der Parameter s <strong>und</strong> t lassen sich alle Punkte der Ebene<br />

darstellen)<br />

Mögliche Problemstellungen:<br />

- Liegt ein Punkt auf einer <strong>Geraden</strong>?<br />

- Liegt ein Punkt in einer Ebene?<br />

- Wie liegen <strong>Geraden</strong> zueinander?<br />

- Wie liegen <strong>Ebenen</strong> zueinander?<br />

- Wie liegen <strong>Geraden</strong> <strong>und</strong> <strong>Ebenen</strong> zueinander?