Die mehrdimensionale Normalverteilung

Kapitel 2 

Die mehrdimensionale 

Normalverteilung 

Zunächst etwas Wiederholung aus WTII. 

Sei (Ω, F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilung P X und 

Verteilungsfunktion F. Die charakteristische Funktion ψ X ist erklärt durch 

∫ 

∫ 

ψ X (t) := Ee itX = e itx P X (dx) = e itx F(dx). 

Einige wichtige Eigenschaften: 

1) Sind X,Y Zufallsvariablen mit X = aY + b, dann folgt ψ X (t) = e itb ψ Y (at). 

2) Sind X 1 ,... ,X n unabhängig und ist S n = ∑ n 

i=1 X i, so gilt ψ Sn = ∏ n 

i=1 ψ X i 

(t). 

3) Sei X nach N(µ,σ 2 )-verteilt, d.h. P(X ≤ α) = ∫ α 

−∞ 

ψ X (t) = exp(itµ − 1 2 σ2 t 2 ). 

√ 1 

2πσ 2 e−(x−µ)2 2σ 2 

Wir weisen 3) nach: 

Sei Y = X−µ 

σ 

. Dann ist Y nach N(0,1)-verteilt und es gilt wegen 1) 

ψ X (t) = e itµ ψ Y (σt). 

Daher genügt es, ψ Y (t) = e − t2 2 nachzuweisen. Mit majorisierter Konvergenz folgt: 

∞∑ 

ψ Y (t) = Ee itY (itY ) n ∞∑ (it) n 

= E = EY n 

n! n! 

n=0 n=0 

∞∑ (it) 2k 

= 

(2k)! EY 2k (aus Symmetriegründen) 

= 

= 

k=0 

∞∑ 

k=0 

∞∑ 

k=0 

= e −t2 /2 . 

(it) 2k (2k)! 

(2k)! 2 k k! 

(− t2 2 )k 

k! 

5 

dx, α ∈ R. Dann gilt

6 Kapitel 2: Die mehrdimensionale Normalverteilung 

Dabei haben wir die Identität EY 2k = (2k)! benutzt, die in den Übungen nachgerechnet worden 

2 k k! 

ist. 

Notation: 

Ein Zufallsvektor ist ein Vektor X = (X 1 ,... ,X n ) T von Zufallsvariablen X i ,(1 ≤ i ≤ n). 

Der Erwartungswert von X wird komponentenweise definiert: EX := (EX 1 ,... ,EX n ) T . Die 

Kovarianzmatrix von X wird durch Kov(X) := (Kov(X i ,X j )) 1≤i,j≤n definiert, falls EX 2 i < ∞ 

ist für i = 1,... ,n. Dann gilt 

Kov(X) ij = Kov(X i ,X j ) = E((X i − EX i )(X j − EX j )) 

= E(X i X j − EX i EX j ) 

= E((X − EX)(X − EX) T ) ij . 

Kov(X) ist also offensichtlich eine symmetrische n×n-Matrix. Außerdem ist Kov(X) nichtnegativdefinit 

(d.h. für alle a ∈ R n gilt a T Kov(X)a ≥ 0), denn 

a T Kov(X)a = a T E((X − EX)(X − EX) T )a 

= E ( a T (X − EX)(X − EX) T a ] 

= E((a T (X − EX)) 2 ) 

( n∑ 

= E a i (X i − EX i ) 

i=1 

≥ 0. 

Im Folgenden sehen wir, dass umgekehrt jede nichtnegativ-definite symmetrische Matrix Kovarianzmatrix 

eines Zufallsvektors ist. Hierzu bemerken wir: Zu jeder nichtnegativ-definiten 

symmetrischen n × n-Matrix Σ gibt es eine nichtnegativ-definite und symmetrische “Wurzel” 

Q mit Σ = Q · Q T : Ist Σ nichtnegative und symmetrische n × n-Matrix, dann gibt es eine 

orthogonale Matrix O mit 

⎛ 

˜Σ = OΣO −1 und ˜Σ = ⎜ 

⎝ 

˜σ 2 1 

) 2 

. .. 

˜σ 2 n 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

Dabei sind ˜σ 2 i ≥ 0,(i = 1,... ,n), denn für a ∈ Rn gilt a T ˜Σa = a T OΣO −1 a = (O T a) T ΣO T a ≥ 

0. 

Definition 2.1 Ein Zufallsvektor X : Ω → R n , X = (X 1 ,... ,X n ) T heißt n-dimensional 

normalverteilt, wenn für jedes a ∈ R n die Zufallsvariable a T X = ∑ n 

i=1 a iX i eindimensional 

normalverteilt ist. 

Bemerkung 2.2 Ist X n-dimensional normalverteilt und ist A eine m×n-Matrix, so ist AX 

m-dimensional normalverteilt.

7 

Satz 2.3 Sei Σ eine symmetrische und nichtnegativ-definite n × n-Matrix und sei µ ∈ R n . 

Dann existiert ein Zufallsvektor X mit EX = µ und Kov(X) = Σ, der n-dimensional normalverteilt 

ist. Außerdem gilt Ee itT X = exp{it T µ − 1 2 tT Σ t} für t ∈ R n . 

Beweis: 1. Schritt: Wir zeigen die Behauptung für µ = 0 und Σ = E (wobei E die 

Einheitsmatrix in R n × R n bezeichnet). 

Seien Y 1 ,... ,Y n u.i.v. nach N(0,1), dann ist der Zufallsvektor Y = (Y 1 ,...,Y n ) T n-dimensional 

normalverteilt mit EY = 0 und Kov(Y ) = E. Weiter gilt für s ∈ R 

⎧ ⎫ 

⎨ n∑ ⎬ 

Ee isaT Y 

= E exp 

⎩ is a j Y j 

⎭ 

= 

= 

n∏ 

j=1 

n∏ 

j=1 

= exp 

Ee isa jY j 

e −1 2 (sa j) 2 

j=1 

{ 

− 1 } 

2 s2 a T a . 

Dies ist die charakteristische Funktion einer N(0,a T a)-verteilten Zufallsvariablen. Daher ist 

a T Y normalverteilt. 

2. Schritt: Sei Q symmetrisch und nichtnegativ-definit mit Σ = QQ T und sei Y wie in Schritt 

1. Dann ist X := QY +µ nach Bemerkung 2.2 n-dimensional normalverteilt mit EX = µ und 

Kov(X) = E((X − µ)(X − µ) T ) = E(QY (QY ) T ) = QQ T = Σ. 

Die charakteristische Funktion ist 

Ee itT X = Ee itT (QY +µ) = e itT µ Ee itT QY 

und 

{ 

Ee itT QY = Ee i(QT t) T Y = exp − 1 } { 

2 (QT t) T Q T t = exp − 1 } 

2 tT Σ t . ✷ 

Satz 2.4 Seien Σ = QQ T und X = µ + QY mit Y = (Y 1 ,...Y n ) T und Y 1 ,... ,Y n u.i.v. nach 

N(0,1). Ist det(Σ) > 0, so hat die Verteilung L(X) eine Dichte f bezüglich des Lebesgue- 

Maßes λ n auf R n mit 

f(x) = 

1 

√ 

{− √ 

(2π) n det(Σ) exp 1 } 

2 (x − µ)T Σ −1 (x − µ) 

für x ∈ R n . 

Beweis: Für eine beliebige Borelmenge A ⊂ R n gilt 

∫ 

P(X ∈ A) = P(µ + QY ∈ A) = P(Y ∈ Q −1 (A − µ)) = 

Y ∈Q −1 (A−µ) 

g(y)dy

8 Kapitel 2: Die mehrdimensionale Normalverteilung 

mit 

g(y) = 

n∏ 

i=1 

1 

√ 

2π 

e −y2 i/ 2 

, 

da Y 1 ,... ,Y n unabhängig verteilt sind. Mit der Transformationsformel für Lebesgue-Integrale 

folgt 

∫ 

P(X ∈ A) = g(Q −1 1 

(x − µ)) 

A 

|det(Q)| dx 

∫ 

1 

( ) 

= √ g Σ −1 / 2 

(x − µ) dx 

det(Σ) 

= 

A 

1 

√ 

(2π) n det(Σ) 

∫ 

A 

{ 

exp − 1 } 

2 (x − µ)Σ−1 (x − µ) dx. 

✷ 

Korollar 2.5 Sei X n-dimensional normalverteilt. Die Komponenten X 1 ,... ,X n sind genau 

dann unabhängig, wenn Kov(X) Diagonalgestalt hat. 

Beweis: Sei Rg(Σ) = n, so ist 

⎛ ⎞ 

Σ = ⎜ 

⎝ 

σ 2 1 

. .. ⎟ 

⎠ mit σ2 i > 0 und Σ−1 = ⎜ 

⎝ 

σn 

2 

⎛ 

σ −2 

1 

. .. 

σ −2 

n 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

Mit dem vorangehenden Satz folgt, dass die Verteilung von X eine λ n -Dichte f der Gestalt 

{ 

} 

1 

f(x) = √ √ (2π) n σ1 2 · · · exp − 1 n∑ (x i − µ i ) 2 

σ2 2 2σ 

n 

2 i=1 i 

n∏ 1 

= √ e −1 (x i −µ i ) 

2 2 σ 

i 

2 

i=1 2π σi 

2 

hat. Da die Dichte in ein Produkt von Wahrscheinlichkeitsdichten zerfällt, ist P X ein Produktmaß 

und X 1 ,...,X n sind stochastisch unabhängig. 

✷

Die mehrdimensionale Normalverteilung

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