Definition Eine kontextfreie Grammatik G mit Îµ â L(G) ist in Greibach ...

DefinitionEine kontextfreie Grammatik G mit ε ∉ L(G) ist inGreibach Normalform, falls alle Regeln die folgendeForm haben:A → aB 1 B 2 . . . B k (k ≥ 0)wobei a ∈ Σ und A, B 1 , . . . , B k ∈ V .SatzZu jeder kontextfreien Grammatik G mit ε ∉ L(G)gibt es eine Greibach Normalform Grammatik G ′ mitL(G) = L(G ′ ).Beweis:Vorüberlegung: Enthält G die A-RegelnA → Aα 1 | . . . | Aα k | β 1 | . . . | β l ,so kann man hiermit genau die Wörter in( β 1 | . . . | β l )( α 1 | . . . | α k ) ∗herleiten. Hierfür können genau auch die folgendenRegeln verwendet werden, wobei B eine neueVariable ist:A → β 1 | . . . | β l | β 1 B | . . . | β l BB → α 1 | . . . | α k | α 1 B | . . . | α k B80

Sei G in Chomsky Normalform mit V = {A 1 , . . . , A m }.(1.) Regeln modifizieren, sodass (A i → A j α) ∈ Pstets i < j erfüllt:FOR i := 1 TO m DOFOR j := 1 TO i − 1 DOFOR ALL A i → A j α ∈ P DOSeien A j → β 1 | . . . β n alle A j -Regeln.Füge hinzu: A i → β 1 α | β n αStreiche: A i → A j αEND;END;IF es gibt Regeln der Form A i → A i α THENwende Vorüberlegung an mit neuer Variabler B iENDEND.81

(2.) Jede A m -Regel beginnt auf der rechten Seitemit einem Terminalzeichen. Wir erzwingen diesnun für alle A i -Regeln,i = m − 1, m − 2, . . . , 1:FOR i := m − 1 DOWNTO 1 DOFOR All (A i → A j α) ∈ P, j > i, DOSeien A j → β 1 | . . . | β n alle A j -Regeln.Füge hinzu: A i → β 1 α | . . . | β n αStreiche: A i → A j αENDEND(3.) B i -Regeln modifizieren: B i → A j α:Seien A j → β 1 | . . . | β n alle A j -Regeln.Füge hinzu: B i → β 1 α | . . . | β n αStreiche: B i → A j α.✷82

Beispiel:G : A 1 → A 2 A 3 , A 2 → A 3 A 1 | b, A 3 → A 1 A 2 | a(1.) A 3 → A 1 A 2 , ersetzen durch:A 3 → A 2 A 3 A 2 , ersetzen durch:A 3 → A 3 A 1 A 3 A 2 | bA 3 A 2Vorüberlegung: A 3 → A 3 A 1 A 3 A 2 ersetzen durch:A 3 → bA 3 A 2 B 3 | aB 3B 3 → A 1 A 3 A 2 | A 1 A 3 A 2 B 3G 1 : A 1 → A 2 A 3A 2 → A 3 A 1 | bA 3 → bA 3 A 2 B 3 | aB 3 | bA 3 A 2 | aB 3 → A 1 A 3 A 2 | A 1 A 3 A 2 B 3(2.)G 2 : A 1 → bA 3 A 2 B 3 A 1 A 3 | aB 3 A 1 A 3 |bA 3 A 2 A 1 A 3 | aA 1 A 3 | bA 3A 2 → bA 3 A 2 B 3 A 1 | aB 3 A 1 | bA 3 A 2 A 1 |aA 1 | bA 3 → bA 3 A 2 B 3 | aB 3 | bA 3 A 2 | aB 3 → A 1 A 3 A 2 | A 1 A 3 A 2 B 3(3.) B 3 -Regeln ersetzen: 10 neue Regeln. ✷83

1.3.2 Das Pumping LemmaSatz (Pumping Lemma, uvwxy-Theorem)Sei L eine kontextfreie Sprache. Dann gibt eseine Zahl n ∈ N, sodass sich alle Wörter z ∈ Lmit |z| ≥ n zerlegen lassen als z = uvwxy mitfolgenden Eigenschaften:1. |vx| ≥ 1,2. |vwx| ≤ n,3. für alle i ≥ 0 gilt uv i wx i y ∈ L.Beweis:G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik in ChomskyNormalform für L − {ε} mit k = |V |.Wähle n := 2 k .Sei z ∈ L mit |z| ≥ n.Ableitungsbaum für z:S❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏B✡ ✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡❏← Binärbaum← Terminalregelnz84

B hat |z| ≥ n = 2 k Blätter.Also enthält B einen Pfad der Länge l ≥ k.Betrachte einen Pfad P f maximaler Länge l:S❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏✁✁✁❅ ❅❅ ❅ ❅❅P f✡ ✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡❏P f enthält l + 1 ≥ k + 1 Variable, d.h. mindestenseine Variable tritt in P f mehrfach auf.z❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏A✡ ❏✡ ❏❏❏❏❏❏❏❏✡✡ A✡✡ ✁ ❆✡ ✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡❏ ✡ ✁ ❆❆❆✡ ✁✡ ✁u v w x yBestimme erste solche Situation auf P f von unten.z85

S ⇒ ∗ uAyA ⇒ BC ⇒ ∗ vAxA ⇒ ∗ wChomsky Normalform : |vx| ≥ 1Höhe des oberen A ≤ k : |vxw| ≤ 2 k = nPumpen:❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏A✡ ❏✡ ❏❏❏❏❏❏❏❏✡✡✡✡ w✡ ✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡❏ ✡✡✡uyuv 0 wx 0 y❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏❏A✡ ❏✡ ❏❏❏❏❏❏❏❏✡✡✡ A✡✡ ✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡❏ ✡ ✡✡✡ ✡✡❏❏❏❏❏❏A✡u v ✡✁ ✁ ❚ ❚x y✡ ✁ ❚vwxuv 2 wx 2 y86

LemmaSei B ein Binärbaum, bei dem jeder innere Knoten2 Söhne hat. Enthält B wenigstens 2 k Blätter, sogibt es in B mindestens einen Pfad der Länge ≥ k.Beweis Induktion über k:k = 0 : Anzahl Blatter ≥ 2 0 = 1B hat Pfad der Länge ≥ 0.k ❀ k + 1 : B habe ≥ 2 k+1 Blätter:✡✡✡✡B✎☞✧✍✌✧✧✧✡❏❏❏❏❏❜ ❜❜❜B ′☞☞☞☞☞☞☞☞▲▲▲▲▲▲▲▲≥ 2 k BlätterI.V.: B ′ hat Pfad der Länge ≥ kAlso: B hat Pfad der Länge ≥ k + 1.✷87

Beispiel 1: L = { a m b m c m | m ≥ 1 }Behauptung:L ist nicht kontextfrei.Beweis: indirekt : Angenommen, L ist kontextfrei.Dann erfüllt L das Pumping Lemma, d.h.∃n ∈ N + ∀z ∈ L : |z| ≥ n ❀ ∃z = uvwxy :- |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ n unduv i wx i y ∈ L für alle i ≥ 0.Betrachte z := a n b n c n : z ∈ L mit |z| = 3n ≥ n.Also: ∃z = uvwxy mit vx ≠ ε, |vwx| ≤ n unduv i wx i y ∈ L für alle i ≥ 0.|vwx| ≤ n : |vx| a = 0 oder |vx| c = 0❀ uv 0 wx 0 y = uwy ∉ L. !✷L ist kontextsensitiv (1.1.1)Folgerung: L 2 L 1 .88

SatzJede kontextfreie Sprache über einemeinelementigen Alphabet ist bereits regulär.Beweis:Sei L eine kontextfreie Sprache über {a}, und sei ndie Zahl aus dem Pumping Lemma für L:∀z ∈ L : |z| ≥ n ❀ ∃z = uvwxy : vx ≠ ε,|vwx| ≤ n und uv i wx i y ∈ L f.a. i ≥ 0.Aber L ⊆ {a} ∗ : |z| = m ❀ z = a m .∀m ≥ n : ∃k, l ≥ 0 : m = k + l,1 ≤ l ≤ n, und a k a i·l ∈ L f.a. i ≥ 0.Nur endlich viele l-Werte l 1 , l 2 , . . . , l p treten auf.Wähle q := n! : Jedes l i teilt q.Wähle q ′ ≥ q, sodass folgendes gilt:∀m ≥ q : a m ∈ L ❀ ∃q ≤ p ≤ q ′ : m ≡ p mod qund a p ∈ L.L ′ := { x ∈ L | |x| < q } ∪{ a r a iq | q ≤ r ≤ q ′ , a r ∈ L, i ∈ N }Behauptung: L = L ′ .Beweis: L ′ ⊆ L : klar.L ⊆ L ′ : klar nach Wahl von q mod q ′ .✷✷89

Definition Eine kontextfreie Grammatik G mit Îµ â L(G) ist in Greibach ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?

Definition Eine kontextfreie Grammatik G mit Îµ â L(G) ist in Greibach ...