Formeln und Tabellen Maschinenbau - REDITECH Automation GmbH

Alfred Böge (Hrsg.) 

Formeln und Tabellen 

Maschinenbau

Aus dem Programm 

Grundlagen Maschinenbau und Verfahrenstechnik 

Klausurentrainer Technische Mechanik 

von J. Berger 

Lehrsystem Technische Mechanik mit Lehrbuch, 

Aufgabensammlung, Lösungsbuch sowie Formeln 

und Tabellen 

von A. Böge und W. Schlemmer 

Vieweg Handbuch Maschinenbau 

herausgegeben von A. Böge 

Technische Strömungslehre 

von L. Böswirth 

Technische Mechanik mit Mathcad, 

Matlab und Maple 

von G. Henning, A. Jahr und U. Mrowka 

Thermodynamik für Ingenieure 

von K. Langeheinecke, P. Jany und G. Thieleke 

Technische Mechanik. Statik 

von H.-A. Richard und M. Sander 

Technische Mechanik. Festigkeitslehre 

von H.-A. Richard und M. Sander 

Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung 

von W. Weißbach 

Aufgabensammlung Werkstoffkunde 

und Werkstoffprüfung 

von W. Weißbach und M. Dahms 

vieweg

Alfred Böge (Hrsg.) 

Formeln und Tabellen 

Maschinenbau 

Für Studium und Praxis 

Mit über 1200 Stichworten 

Autoren: 

Alfred Böge: Mathematik, Thermodynamik, 

Fluidmechanik, Festigkeitslehre, Zerspantechnik 

Alfred Böge/Wolfgang Böge: Maschinenelemente 

Gert Böge: Physik, Mechanik 

Peter Franke: Elektrotechnik 

Wolfgang Weißbach: Chemie, Werkstofftechnik 

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek 

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der 

Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über 

abrufbar. 

1. Auflage März 2007 

Alle Rechte vorbehalten 

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 

Lektorat: Thomas Zipsner 

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Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff, Wiesbaden 

Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de 

Satz: Zerosoft, Temeswar 

Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm 

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. 

Printed in Germany 

ISBN 978-3-8348-0032-9

Vorwort 

Ingenieure und Techniker in Ausbildung und Beruf finden hier Größengleichungen und 

Formeln, Diagramme, Tabellenwerte, Regeln und Verfahren, die zum Lösen von Aufgaben 

aus den technischen Grundlagenfächern erforderlich sind. 

Die Berechnungs- und Dimensionierungsgleichungen aus Mathematik, Physik, Chemie, 

Werkstofftechnik, Elektrotechnik, Thermodynamik, Mechanik, Fluidmechanik, 

Festigkeitslehre, Maschinenelemente, Zerspantechnik sind in Tabellen so geordnet, 

dass sie der speziellen Aufgabe zugeordnet werden können: 

� das umfangreiche Sachwortverzeichnis führt schnell zu den gesuchten technischphysikalischen 

Größen 

� die zugehörige Tabelle zeigt die erforderlichen Größengleichungen 

� die zusätzlichen Erläuterungen sichern die richtige Anwendung der Gleichungen, 

Diagramme und Tabellenwerte 

Herausgeber, Autoren und Verlag sind für Hinweise zur Verbesserung des Werkes 

dankbar. Verwenden Sie dazu bitte die E-Mail-Adresse: 

aboege@t-online.de 

Braunschweig, Februar 2007 Alfred Böge 

V

Inhaltsverzeichnis 

1 Mathematik ................................................................................................................... 1 

1.1 Mathematische Zeichen....................................................................................... 1 

1.2 Griechisches Alphabet......................................................................................... 2 

1.3 Häufig gebrauchte Konstanten............................................................................. 2 

1.4 Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte.................. 3 

1.5 Potenzrechnung (Potenzieren) ............................................................................ 4 

1.6 Wurzelrechnung (Radizieren) .............................................................................. 5 

1.7 Logarithmen......................................................................................................... 6 

1.8 Komplexe Zahlen................................................................................................. 7 

1.9 Quadratische Gleichungen .................................................................................. 8 

1.10 Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in 

Beispielen ............................................................................................................ 9 

1.11 Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch)...................... 10 

1.12 Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang).................................................................. 12 

1.13 Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke..... 13 

1.14 Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche)............................................ 14 

1.15 Rechtwinkliges Dreieck........................................................................................ 16 

1.16 Schiefwinkliges Dreieck ....................................................................................... 17 

1.17 Einheiten des ebenen Winkels............................................................................. 19 

1.18 Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11).................................................. 20 

1.19 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen ................................. 21 

1.20 Arcusfunktionen ................................................................................................... 23 

1.21 Hyperbelfunktionen.............................................................................................. 25 

1.22 Areafunktionen..................................................................................................... 26 

1.23 Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene....................................................... 26 

1.24 Analytische Geometrie: Gerade........................................................................... 27 

1.25 Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz ..... 28 

1.26 Analytische Geometrie: Kreis............................................................................... 29 

1.27 Analytische Geometrie: Parabel........................................................................... 30 

1.28 Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel ...................................................... 30 

1.29 Reihen ................................................................................................................. 32 

1.30 Potenzreihen........................................................................................................ 33 

1.31 Differenzialrechnung: Grundregeln ...................................................................... 35 

1.32 Differenzialrechnung: Ableitungen elementarer Funktionen................................. 36 

1.33 Integrationsregeln ................................................................................................ 36 

1.34 Grundintegrale ..................................................................................................... 38 

1.35 Lösungen häufig vorkommender Integrale........................................................... 38 

1.36 Uneigentliche Integrale ........................................................................................ 42 

1.37 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung ......................................... 42 

1.38 Geometrische Grundkonstruktionen .................................................................... 49 

2 Physik ........................................................................................................................... 55 

2.1 Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten ............................. 55 

2.1.1 Mechanik ............................................................................................... 55 

2.1.2 Thermodynamik ..................................................................................... 57 

2.1.3 Elektrotechnik ........................................................................................ 58 

2.1.4 Optik ...................................................................................................... 59 

VII

VIII Inhaltsverzeichnis 

2.2 Allgemeine und atomare Konstanten ................................................................... 59 

2.3 Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten............................................... 60 

2.4 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von 

Grundeinheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen.......... 60 

2.5 Umrechnungstafel für Leistungseinheiten ............................................................ 60 

2.6 Schallgeschwindigkeit c, Dichte r und Elastizitätsmodul E einiger fester 

Stoffe ................................................................................................................... 61 

2.7 Schallgeschwindigkeit c und Dichte r einiger Flüssigkeiten................................. 61 

2.8 Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis � = p c 

einiger Gase bei t = 0 °C ............... 

c 

61 

2.9 Schalldämmung von Trennwänden...................................................................... 61 

2.10 Elektromagnetisches Spektrum ........................................................................... 62 

2.11 Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische 

Mittel..................................................................................................................... 62 

3 Chemie .......................................................................................................................... 63 

3.1 Atombau und Periodensystem ............................................................................. 63 

3.2 Metalle ................................................................................................................. 67 

3.3 Nichtmetalle ......................................................................................................... 69 

3.4 Elektronegativität ................................................................................................. 69 

3.5 Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe ......................................................... 70 

3.6 Systematische Benennung anorganischer Verbindungen.................................... 73 

3.7 Systematische Benennung von Säuren und Säureresten.................................... 74 

3.8 Systematische Benennung organischer Verbindungen........................................ 74 

3.9 Benennung von funktionellen Gruppen ................................................................ 77 

3.10 Ringförmige Kohlenwasserstoffe.......................................................................... 77 

3.11 Basen, Laugen..................................................................................................... 78 

3.12 Gewerbliche und chemische Benennung von Chemikalien, 

chemische Formeln.............................................................................................. 79 

3.13 Säuren ................................................................................................................. 80 

3.14 Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen............................................... 80 

3.15 Ionenlehre............................................................................................................ 83 

3.16 Elektrochemische Größen und Gesetze .............................................................. 85 

3.17 Größen der Stöchiometrie.................................................................................... 87 

3.18 Beispiele für stöchiometrische Rechnungen ........................................................ 89 

3.19 Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen................................................. 91 

3.20 Heizwerte von Brennstoffen ................................................................................. 92 

3.21 Bildungs- und Verbrennungswärme einiger Stoffe ............................................... 92 

4 Werkstofftechnik .......................................................................................................... 93 

4.1 Werkstoffprüfung.................................................................................................. 93 

4.2 Eisen-Kohlenstoff-Diagramm ............................................................................... 96 

4.3 Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 ...................................................... 97 

4.4 Baustähle DIN EN 10025-2/05............................................................................. 99 

4.5 Schweißgeeignete Feinkornbaustähle ................................................................. 100 

4.6 Warmgewalzte Flacherzeugnisse aus Stählen mit hoher Streckgrenze zum 

Kaltumformen, thermomechanisch gewalzte Stähle DIN EN 10149-2/95 ............ 100 

4.7 Vergütungsstähle DIN EN 10083/06 .................................................................... 100 

4.8 Einsatzstähle DIN EN 10084/98........................................................................... 101 

4.9 Nitrierstähle DIN EN 10085/01............................................................................. 101 

4.10 Stahlguss DIN EN 10293/05 ................................................................................ 101 

4.11 Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 1560/97 ........................................... 101 

v

Inhaltsverzeichnis IX 

4.12 Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 1561/97 ......................................... 102 

4.13 Gusseisen mit Kugelgraphit GJS DIN 1563/05 ................................................... 103 

4.14 Temperguss GJM DIN EN 1562/06 .................................................................... 103 

4.15 Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit DIN EN 1564/06 .................................. 104 

4.16 Gusseisen mit Vermiculargraphit GJV VDG-Merkblatt W-50/02 .......................... 104 

4.17 Bezeichnung von Aluminium und Aluminiumlegierungen..................................... 104 

4.18 Aluminiumknetlegierungen, Auswahl ................................................................... 105 

4.19 Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98................................. 105 

4.20 Bezeichnung von Kupfer und Kupferlegierungen nach DIN 1412/95 ................... 106 

4.21 Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95 .................................................. 106 

4.22 Kupferknetlegierungen, Auswahl ......................................................................... 107 

4.23 Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98..................................... 107 

4.24 Anorganisch nichtmetallische Werkstoffe ............................................................ 108 

4.25 Bezeichnung von Si-Carbid, SiC und Siliciumnitrid, Si 3N 4 nach der 

Herstellungsart..................................................................................................... 108 

4.26 Druckgusswerkstoffe............................................................................................ 108 

4.27 Lagermetalle und Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme.......... 109 

4.28 Lagermetalle auf Cu-Basis (DKI) ......................................................................... 110 

4.29 Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren, Auswahl .......................................... 110 

4.30 Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl .......................................... 112 

5 Elektrotechnik .............................................................................................................. 115 

5.1 Grundbegriffe der Elektrotechnik ......................................................................... 115 

5.1.1 Elektrischer Widerstand......................................................................... 115 

5.1.1.1 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes ............................ 116 

5.1.2 Elektrische Leistung und Wirkungsgrad................................................. 116 

5.1.3 Elektrische Energie................................................................................ 117 

5.1.4 Elektrowärme......................................................................................... 118 

5.2 Gleichstromtechnik .............................................................................................. 118 

5.2.1 Ohm’sches Gesetz, nicht verzweigter Stromkreis.................................. 118 

5.2.2 Kirchhoff’sche Sätze .............................................................................. 119 

5.2.3 Ersatzschaltungen des Generators........................................................ 119 

5.2.4 Schaltungen von Widerständen und Quellen......................................... 120 

5.2.4.1 Parallelschaltung von Widerständen........................................ 120 

5.2.4.2 Parallelschaltung von Quellen ................................................. 121 

5.2.4.3 Reihenschaltung von Widerständen ........................................ 122 

5.2.4.4 Reihenschaltung von Quellen.................................................. 122 

5.2.5 Messschaltungen................................................................................... 123 

5.2.5.1 Indirekte Widerstandsbestimmung........................................... 123 

5.2.5.2 Messbereichserweiterung bei Spannungs- und 

Strommessern ......................................................................... 123 

5.2.6 Spannungsteiler..................................................................................... 124 

5.2.7 Brückenschaltung .................................................................................. 124 

5.3 Elektrisches Feld und Kapazität........................................................................... 125 

5.3.1 Größen des homogenen elektrostatischen Feldes................................. 125 

5.3.2 Kapazität von Leitern und Kondensatoren............................................... 126 

5.4 Magnetisches Feld und Induktivität...................................................................... 128 

5.4.1 Größen des homogenen magnetischen Feldes ..................................... 128 

5.4.2 Spannungserzeugung............................................................................. 130 

5.4.3 Kraftwirkung........................................................................................... 132 

5.4.4 Richtungsregeln..................................................................................... 133 

5.4.5 Induktivität von parallelen Leitern und Luftspulen .................................. 135 

5.4.6 Induktivität von Spulen mit Eisenkern .................................................... 136 

5.4.7 Drosselspule.......................................................................................... 137

X Inhaltsverzeichnis 

5.4.8 Schaltungen von Induktivitäten .............................................................. 138 

5.4.9 Einphasiger Transformator .................................................................... 138 

5.5 Wechselstromtechnik ............................................................................................ 139 

5.5.1 Kennwerte von Wechselgrößen ............................................................. 139 

5.5.2 Passive Wechselstrom-Zweipole an sinusförmiger Wechselspannung.. 141 

5.5.2.1 Reihenschaltung von Blindwiderständen ................................. 142 

5.5.2.2 Parallelschaltung von Blindwiderständen................................. 144 

5.5.3 Umwandlung passiver Wechselstrom-Zweipole in gleichwertige 

Schaltungen........................................................................................... 146 

5.5.4 Blindleistungskompensation................................................................... 147 

5.6 Drehstromtechnik................................................................................................. 148 

5.6.1 Drehstromnetz ....................................................................................... 148 

5.6.2 Stern- und Dreieckschaltung.................................................................. 148 

5.6.3 Stern-Dreieck-Umwandlung ................................................................... 150 

5.7 Elementare Bauteile der Elektronik...................................................................... 151 

5.7.1 Halbleiterdioden..................................................................................... 151 

5.7.1.1 Dioden zum Gleichrichten und Schalten .................................. 151 

5.7.1.4 Z-Dioden .................................................................................. 154 

5.7.2 Transistoren........................................................................................... 155 

5.7.2.1 Bipolare Transistoren............................................................... 155 

5.7.2.2 Kennlinien und Kenngrößen bipolarer Transistoren................. 155 

5.7.3 Thyristoren............................................................................................. 157 

5.7.3.1 Grundschaltung und Kenndaten .............................................. 157 

5.7.3.2 Ausgewählte Thyristorbauelemente......................................... 158 

5.7.3.3 Phasenanschnittsteuerung ...................................................... 160 

6 Thermodynamik ........................................................................................................... 161 

6.1 Grundbegriffe....................................................................................................... 161 

6.2 Wärmeausdehnung.............................................................................................. 162 

6.3 Wärmeübertragung .............................................................................................. 163 

6.4 Gasmechanik....................................................................................................... 166 

6.5 Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess ............... 167 

6.6 Gleichungen für Gasgemische............................................................................. 171 

6.7 Temperatur-Umrechnungen................................................................................. 172 

6.8 Temperatur-Fixpunkte.......................................................................................... 172 

6.9 Spezifisches Normvolumen � n und Dichte r n (0 °C und 101325 N/m2 ) .............. 172 

6.10 Mittlere spezifische Wärmekapazität cm fester und flüssiger Stoffe 

zwischen 0 °C und 100 °C in J / (kg K) ................................................................ 173 

6.11 

6.12 

Mittlere spezifische Wärmekapazität cp, c� in J / (kg K) nach Justi und Lüder..... 173 

Schmelzenthalpie qs fester Stoffe in J / kg bei p = 101 325 N/m2 6.13 

........................ 173 

Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie qv in J / kg bei 101 325 N/m2 6.14 

........ 174 

Schmelzpunkt fester Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2 ....................................... 174 

6.15 Siede- und Kondensationspunkt einiger Stoffe in °C bei p = 101 325 N/m2 ......... 174 

6.16 Längenausdehnungskoeffizient � l fester Stoffe in 1/K zwischen 0 °C und 100 °C 

(Volumenausdehnungskoeffizient � V � 3 � l) ...................................................... 174 

6.17 Volumenausdehnungskoeffizient � V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C ............. 174 

6.18 Wärmeleitzahlen � fester Stoffe bei 20 °C in 103 J 

W 

; Klammerwerte in .. 175 

mhK mK 

6.19 Wärmeleitzahlen � von Flüssigkeiten bei 20 °C in 

J 

W 

; Klammerwerte in 

mhK mK 175

Inhaltsverzeichnis XI 

6.20 Wärmeleitzahlen � von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur 

(Ungefährwerte) in 

J 

mhK 

Klammerwerte in W 

mK 

................................................. 175 

6.21 Wärme-Übergangszahlen � für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen 

(Mittelwerte)..................................................................................... 175 

6.22 Wärmedurchgangszahlen k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte)................ 176 

6.23 Emissionsverhältnis � und Strahlungszahl C bei 20 °C........................................ 176 

6.24 Spezifische Gaskonstante Ri, Dichte r und Verhältnis � = p c 

einiger Gase....... 176 

cν 7 Mechanik fester Körper ............................................................................................... 177 

7.1 Freimachen der Bauteile...................................................................................... 177 

7.2 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r .............................................. 178 

7.3 Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r............................................... 178 

7.4 Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte .................................................. 180 

7.5 Rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte................................................... 181 

7.6 Fachwerke ........................................................................................................... 181 

7.7 Schwerpunkt ........................................................................................................ 182 

7.8 Guldin'sche Regeln.............................................................................................. 184 

7.9 Reibung ............................................................................................................... 185 

7.10 Reibung in Maschinenelementen......................................................................... 186 

7.11 Bremsen .............................................................................................................. 188 

7.12 Gleitreibzahl � und Haftreibzahl � 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für 

den Reibwinkel r bzw. r 0).................................................................................... 190 

7.13 Wirkungsgrad � r des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden 

Seilstränge (� = 0,96 angenommen).................................................................... 190 

7.14 Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung ......................... 190 

7.15 Wurfgleichungen.................................................................................................. 192 

7.15.1 Horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) ............................................... 192 

17.15.2 Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) ...................................... 192 

7.16 Gleichförmige Drehbewegung.............................................................................. 192 

7.17 Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung .................................... 193 

7.18 Sinusschwingung (harmonische Schwingung)..................................................... 194 

7.19 Pendelgleichungen .............................................................................................. 196 

7.20 Schubkurbelgetriebe............................................................................................ 197 

7.21 Gerader zentrischer Stoß..................................................................................... 198 

7.22 Mechanische Arbeit W......................................................................................... 199 

7.23 Leistung P, Übersetzung i und Wirkungsgrad �................................................... 200 

7.24 Dynamik der Verschiebebewegung (Translation)................................................. 201 

7.25 Dynamik der Drehung (Rotation) ......................................................................... 202 

7.26 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmomente 2. Grades)................... 203 

7.27 Gegenüberstellung einander entsprechender Größen und Definitions- 

gleichungen für Schiebung und Drehung............................................................. 204 

8 Fluidmechanik .............................................................................................................. 205 

8.1 Statik der Flüssigkeiten........................................................................................ 205 

8.2 Strömungsgleichungen ........................................................................................ 206 

8.3 Ausflussgleichungen............................................................................................ 208 

8.4 Widerstände in Rohrleitungen.............................................................................. 209 

8.5 Dynamische Zähigkeit �, kinematische Zähigkeit � und Dichte r von Wasser..... 211 

8.6 Staudruck q in N/m 2 und Geschwindigkeit w in m/s für Luft und Wasser ........... 211

XII Inhaltsverzeichnis 

8.7 Absolute Wandrauigkeit k .................................................................................... 211 

8.8 Widerstandszahlen � für plötzliche Rohrverengung............................................. 212 

8.9 Widerstandszahlen � für Ventile .......................................................................... 212 

8.10 Widerstandszahlen � von Leitungsteilen.............................................................. 212 

9 Festigkeitslehre ............................................................................................................ 215 

9.1 Grundlagen .......................................................................................................... 215 

9.2 Zug- und Druckbeanspruchung............................................................................ 217 

9.3 Biegebeanspruchung ............................................................................................ 218 

9.4 Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i ......... 219 

9.5 Elastizitätsmodul E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm 2 ...... 220 

9.6 Träger gleicher Biegebeanspruchung .................................................................. 221 

9.7 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen................................................ 222 

9.8 Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A und 

Trägheitsradius i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung und Knickung 

(die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen) ................................... 225 

9.9 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl .................................................................. 228 

9.10 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl................................ 229 

9.11 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach EN 10056-1 230 

9.12 Warmgewalzte schmale �-Träger nach DIN 1025-1 (Auszug)............................. 231 

9.13 Warmgewalzte �-Träger, �PE-Reihe ................................................................... 232 

9.14 Knickung im Maschinenbau (siehe auch 9.35)..................................................... 233 

9.15 Grenzschlankheitsgrad � 0 für Euler'sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen.. 234 

9.16 Abscheren und Torsion........................................................................................ 235 

9.17 Widerstandsmoment W p (W t) und Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t) ... 237 

9.18 Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen ................... 238 

9.19 Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen................ 239 

9.20 Beanspruchung durch Fliehkraft .......................................................................... 240 

9.21 Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung............................... 241 

9.22 Hohlzylinder unter Druck...................................................................................... 243 

9.23 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 ................................................................ 244 

9.24 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 .................................................... 245 

9.25 Metrisches ISO-Feingewinde ............................................................................... 246 

9.26 Geometrische Größen an Sechskantschrauben .................................................. 246 

10 Maschinenelemente ..................................................................................................... 247 

10.1 Toleranzen und Passungen ................................................................................. 247 

10.1.1 Normzahlen............................................................................................ 247 

10.1.2 Grundbegriffe zu Toleranzen und Passungen........................................ 248 

10.1.3 Eintragung von Toleranzen in Zeichnungen........................................... 250 

10.1.4 Grundtoleranzen der Nennmaßbereiche in �m...................................... 250 

10.1.5 Allgemeintoleranzen für Längenmaße nach DIN ISO 2768-1 ................ 251 

10.1.6 Allgemeintoleranzen für Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1 ................. 251 

10.1.7 Allgemeintoleranzen für Fasen und Rundungshalbmesser nach 

DIN ISO 2768-1 ..................................................................................... 251 

10.1.8 Allgemeintoleranzen für Form und Lage nach DIN ISO 2768-2 ............. 251 

10.1.9 Symbole für Form und Lagetoleranzen nach DIN ISO 1101.................. 252 

10.1.10 Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302 253 

10.1.11 Mittenrauwerte R a in �m ........................................................................ 253 

10.1.12 Verwendungsbeispiele für Passungen ................................................... 254 

10.1.13 Ausgewählte Passtoleranzfelder und Grenzabmaße (in µm) für das 

System Einheitsbohrung (H) ................................................................. 255

Inhaltsverzeichnis XIII 

10.1.14 Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangsund 

Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO 286 ........................... 257 

10.2 Schraubenverbindungen...................................................................................... 259 

10.2.1 Berechnung axial belasteter Schrauben ohne Vorspannung ................. 259 

10.2.2 Berechnung unter Last angezogener Schrauben................................... 259 

10.2.3 Berechnung einer vorgespannten Schraubenverbindung bei axial 

wirkender Betriebskraft ......................................................................... 260 

10.2.4 Kräfte und Verformungen in zentrisch vorgespannten 

Schraubenverbindungen........................................................................ 262 

10.2.5 Berechnung vorgespannter Schraubenverbindungen bei Aufnahme 

einer Querkraft....................................................................................... 267 

10.2.6 Berechnung von Bewegungsschrauben ................................................ 268 

10.2.7 Richtwerte für die zulässige Flächenpressung bei 

Bewegungsschrauben ........................................................................... 269 

10.2.8 Reibungszahlen und Reibungswinkel für Trapezgewinde...................... 269 

10.2.9 R p 0,2 0,2-Dehngrenze der Schraube ................................................... 269 

10.2.10 Geometrische Größen an Sechskantschrauben .................................... 270 

10.2.11 Maße an Senkschrauben mit Schlitz und an Senkungen für 

Durchgangsbohrungen .......................................................................... 270 

10.2.12 Einschraublänge l a für Sacklochgewinde............................................... 271 

10.2.13 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 .................................................. 271 

10.2.14 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103...................................... 272 

10.3 Federn ................................................................................................................. 273 

10.3.1 Federkennlinie, Federrate, Federarbeit, Eigenfrequenz......................... 273 

10.3.2 Metallfedern........................................................................................... 275 

10.3.3 Gummifedern......................................................................................... 287 

10.4 Achsen, Wellen und Zapfen................................................................................. 288 

10.4.1 Achsen................................................................................................... 288 

10.4.2 Wellen.................................................................................................... 289 

10.4.3 Stützkräfte und Biegemomente an Getriebewellen................................ 291 

10.4.4 Berechnung der Tragfähigkeit nach DIN 743......................................... 293 

10.5 Nabenverbindungen............................................................................................. 298 

10.5.1 Kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindungen (Beispiele).......... 298 

10.5.2 Formschlüssige Nabenverbindungen (Beispiele)................................... 299 

10.5.3 Zylindrische Pressverbände................................................................... 300 

10.5.4 Keglige Pressverbände (Kegelsitzverbindungen) .................................. 306 

10.5.5 Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde................................ 308 

10.5.6 Richtwerte für Nabenabmessungen....................................................... 308 

10.5.7 Klemmsitzverbindungen......................................................................... 309 

10.5.8 Keilsitzverbindungen.............................................................................. 310 

10.5.9 Ringfederspannverbindungen, Maße, Kräfte und Drehmomente........... 311 

10.5.10 Ermittlung der Anzahl n der Spannelemente und der axialen 

Spannkraft F a......................................................................................... 312 

10.5.11 Längsstiftverbindung.............................................................................. 313 

10.5.12 Passfederverbindungen......................................................................... 314 

10.5.13 Keilwellenverbindung ............................................................................. 316 

10.6 Zahnradgetriebe................................................................................................... 317 

10.6.1 Kräfte am Zahnrad................................................................................. 317 

10.6.2 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Gerad- und Schrägstirnräder. 320 

10.6.3 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Kegelräder............................. 323 

10.6.4 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Schneckengetriebe................ 325 

10.6.5 Wirkungsgrad, Kühlöldurchsatz und Schmierarten der Getriebe ........... 328

XIV Inhaltsverzeichnis 

11 Zerspantechnik ............................................................................................................. 329 

11.1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik.................................................... 329 

11.1.1 Bewegungen, Kräfte, Schnittgrößen und Spanungsgrößen ................... 329 

11.1.2 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c beim Drehen..................... 333 

11.1.3 Werkzeugwinkel..................................................................................... 334 

11.1.4 Zerspankräfte......................................................................................... 336 

11.1.5 Richtwerte für die spezifische Schnittkraft k c beim Drehen.................... 338 

11.1.6 Leistungsbedarf ..................................................................................... 339 

11.1.7 Standverhalten....................................................................................... 340 

11.1.8 Hauptnutzungszeit ................................................................................. 341 

11.2 Fräsen.................................................................................................................. 345 

11.2.1 Schnittgrößen und Spanungsgrößen ..................................................... 345 

11.2.2 Geschwindigkeiten................................................................................. 347 





11.3 Bohren ................................................................................................................. 355 

11.3.1 Schnittgrößen und Spanungsgrößen ..................................................... 355 


11.3.3 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c und den Vorschub f beim 

Bohren ................................................................................................... 358 

11.3.4 Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren .............................. 359 





11.4 Schleifen .............................................................................................................. 365 

11.4.1 Schnittgrößen......................................................................................... 365 






Sachwortverzeichnis ......................................................................................................... 373

1.1 Mathematische 

Zeichen 

(nach DIN 1302) 

~ proportional, ähnlich, 

asymptotisch gleich 

(sich ��angleichend), 

gleichmächtig 

≈ ungefähr gleich 

≅ kongruent 

�� entspricht 

�� ungleich 

< kleiner als 

� kleiner als oder gleich 

> größer als 

�� größer als oder gleich 

�� unendlich 

� parallel 

nicht parallel 

parallelgleich: parallel 

und gleich lang 

�� orthogonal zu 

�� gegen 

(bei Grenzübergang), 

zugeordnet 

�� aus... folgt... 

�� äquivalent (gleichwertig); 

aus... folgt... und 

umgekehrt 

�� und, sowohl... als auch... 

�� oder; das eine oder das 

andere oder beides (also 

nicht: entweder... oder...) 

|x| Betrag von x, 

Absolutwert 

{x|...} Menge aller x, für die 

gilt... 

{a, b, c} Menge aus den 

Elementen a, b, c; 

beliebige Reihenfolge 

der Elemente 

(a, b) Paar mit den geordneten 

Elementen 

(Komponenten) a und b; 

vorgeschriebene 

Reihenfolge 

(a,b,c) Tripel mit den 

geordneten Elementen 

(Komponenten) a, b und 

c; vorgeschriebene 

Reihenfolge 

AB Gerade AB; geht durch 

die Punkte A und B 

AB Strecke AB 

| AB | Betrag (Länge) der 

Strecke AB 

(A, B) Pfeil AB 

AB Vektor AB; Menge aller 

zu (A, B) parallelgleichen 

Pfeile 

Mathematik 

Mathematische Zeichen 

� Element von 

� nicht Element von 

| teilt; n|m: natürliche Zahl n 

teilt natürliche Zahl m ohne 

Rest 

� nicht teilt; n�m: m ist nicht 

Vielfaches von n 

� = {0, 1, 2, 3, ...} Menge der 

natürlichen Zahlen mit Null 

�* = {1, 2, 3, ...} Menge der 

natürlichen Zahlen ohne Null 

� = {...,– 3, – 2, – 1, 0, 1, 

2, 3, ...} Menge der ganzen 

Zahlen 

�* = {– 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, ...} 

Menge der ganzen Zahlen 

ohne Null 

⎧n⎫ � = ⎨ | n ∈ �∧m ∈ � * ⎬ 

⎩m⎭ Menge der rationalen Zahlen 

(Bruchzahlen) 

⎧n⎫ �* = ⎨ | n ∈Z* ∧m ∈ � * ⎬ 

⎩m⎭ Menge der rationalen Zahlen 

ohne Null 

� Menge der reellen Zahlen 

�* Menge � ohne Null 

� Menge der komplexen 

n! 

Zahlen 

= 1·2·3· ...·n, n Fakultät 

⎛n⎞ ⎜ ⎟ 

⎝k⎠ nn ( −1)( n−2)...( n− k+ 

1) 

k! 

gelesen: n über k; k � n; 

binomischer Koeffizient 

[a; b] = a ... b; geschlossenes 

Intervall von a bis b, d.h. 

a und b eingeschlossen: 

= {x|a � x � b} 

]a; b[ = {x|a < x < b}; offenes 

Intervall von a bis b, d.h. 

ohne die Grenzen a und b 

]a; b] = {x|a < x � b};halboffenes 

Intervall, a ausgeschlossen, 

b eingeschlossen 

lim Limes, Grenzwert 

log Logarithmus, beliebige Basis 

log a Logarithmus zur Basis a 

lg x = log 10 x Zehnerlogarithmus 

ln x = log e x natürlicher 

Logarithmus 

�x Delta x, Differenz von zwei 

x-Werten, z.B. x 2 – x 1 

1 

1

1 

2 

Mathematik 

Häufig gebrauchte Konstanten 

1.2 Griechisches 

Alphabet 

1.3 Häufig gebrauchte 

Konstanten 

dx Differenzial von x, 

symbolischer Grenzwert von 

�x bei �x�� 

dy 

dx 

dy nach dx, 

Differenzialquotient y’= f’(x), 

y” = f”(x), ... Abkürzungen für 

n 

∑ v 

v= 

1 

a =a 1 + a 2 + ... + a n, Summe 

∫...dx unbestimmtes Integral, 

Umkehrung des 

Differenzialquotienten 

b 

df( x) d2f ( x) d ⎛df( x) 

⎞ 

, = 

2 ⎜ ⎟,... 

∫ fxdx ( ) = [ Fx ( )] b 

a = Fb ( ) −Fa 

( ) 

dx dx dx⎝ dx ⎠ a 

erste, zweite,... Ableitung; mit F’(x) = f(x), bestimmtes 

Differenzialquotient erster, Integral 

zweiter, ... Ordnung 

� A Alpha 

� B Beta 

� � Gamma 

� � Delta 

� E Epsilon 

� Z Zeta 

� H Eta 

�� Theta 

2 = 1,4142 2 

3 = 1,7320 5 

� = 3,1415 93 

2� = 6,2831 85 

3� = 9,4247 78 

4� = 12,5663 71 

� : 2 = 1,5707 96 

� : 3 = 1,0471 98 

� : 4 = 0,7853 98 

��: 180 = 0,0174 53 

� 2 = 9,8696 04 

� = 1,7724 54 

2� = 2,5066 28 

� :2 = 1,2533 14 

3 π = 1,4645 92 

e = 2,7182 82 

e 2 = 7,3890 56 

�� J Jota 

� K Kappa 

� � Lamda 

� M My 

� N Ny 

� � Xi 

� O Omikron 

�� Pi 

e = 1,6487 21 

3 e = 1,3956 12 

e �/2 = 4,8104 77 

e � = 23,1406 93 

e 2� = 535,4916 56 

M = lg e = 0,4342 94 

g = 9,81 

g 2 = 96,2361 

g = 3,13209 

2g = 4,42945 

1 : � = 0,3183 10 

1 : 2� = 0,1591 55 

1 : 3� = 0,1061 03 

1 : 4� = 0,0795 77 

2 : � = 0,6366 20 

3 : � = 0,9549 30 

4 : � = 1,2732 40 

180 : � = 57,2957 80 

�� Rho 

� � Sigma 

� T Tau 

� � Ypsilon 

� � Phi 

� � Chi 

� � Psi 

� � Omega 

1 : � 2 = 0,1013 21 

1: � = 0,5641 90 

1: 2� = 0,3989 42 

2:� = 0,7978 85 

3 1: π = 0,6827 84 

1 : e = 0,3678 79 

1 : e 2 = 0,1353 35 

1: e = 0,6065 31 

3 1: e = 0,7165 32 

e –�/2 = 0,2078 80 

e –� = 0,043214 

e –2� = 0,0018 67 

1 : M = ln 10 = 2,3025 85 

1 : g = 0,10194 

1 : 2g = 0,050968 

� g = 9,83976 

� 2g = 13,91552

1.4 Multiplikation, 

Division, Klammern, 

Binomische 

Formeln, Mittelwerte 

Produkt n · a 

Vorzeichenregeln 

Rechnen mit Null 

Multiplizieren von 

Summen 

Quotient 

Brüche 

Klammerregeln 

Binomische Formeln, 

Polynome 

Mathematik 

Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte 

Multiplikation, Division, Klammern, Binomische Formeln, Mittelwerte 

n �a � a �� a �a �... �a 

n, a Faktoren 

n Summanden 

( + a)( + b) = ab ( + a)( − b) = −ab 

( − a)( + b) = −ab ( −a)( − b) = ab 

( + a):( + b) = a/ b ( + a):( − b) = −a/ 

b 

( − a):( + b) = −a/ b ( −a):( − b) = a/ b 

a · b = 0 heißt a = 0 oder b = 0; 0 · a = 0; 0 : a = 0 

( a � b)( c �d) � ac �ad � bc � bd 

a = b/n = b : n; n � 0; b Dividend; n Divisor 

Division durch 0 gibt es nicht 

a c ac 

⋅ = 

b d bd 

a c ad 

: � 

b d bc 

Brüche werden multipliziert, indem man ihre Zähler 

und ihre Nenner multipliziert. 

Brüche werden dividiert, indem man mit dem 

Kehrwert des Divisors multipliziert. 

a b c a+ b− c a+ b a b 

+ − = ; = + 

d d d d c c c 

a b c anp+ bmp−cmn + − = 

mx nx px mnpx 

m n p x Hauptnenner 

a �( b �c) � a � b �c 

a �( b �c) � a �b �c 

a �( b �c) � a �b �c 

Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, 

sind beim Weglassen der Klammer die 

Vorzeichen aller in der Klammer stehenden 

Summanden umzukehren. 

( ) 2 ( )( ) 2 2 2 2 2 

a+ b = a+ b a+ b = a + ab+ b a − b = 

( ) 2 ( )( ) 2 2 2 

a− b = a−b a− b = a − ab+ b 

( ) 2 2 2 2 2 2 2 

a + b + c = a + b + c + ab + ac + bc 

( ) 3 3 3 2 3 2 3 

a± b = a ± a b+ ab ± b 

3 3 ( )( 2 2) 

a + b = a+ b a − ab+ b 

3 3 ( )( 2 2) 

a − b = a− b a + ab+ b 

n n n− 

( a+ b)( a−b) 1 ( 1) 

( ) n n n− n−2 

2 

a+ b = a + a b+ a b + 

1 1⋅2 n( 

n−1)( n−2) 

+ 

an−3b3 + ... + bn 

1 2 3 

⋅ ⋅ 

3 

1

1 

4 

Mathematik 

Potenzrechnung (Potenzieren) 

arithmetisches Mittel 

geometrisches Mittel 

harmonisches Mittel 

Beziehung 

zwischen x a, x g, x h 

1.5 Potenzrechnung 

(Potenzieren) 

Definition 

(a Basis, n Exponent, 

c Potenz) 

Potenzen mit 

Basis a = (–1) 

n ist ganze Zahl 

erste und nullte 

Potenz 

negativer Exponent 

erst potenzieren, 

dann multiplizieren 

Addition und 

Subtraktion 

Multiplikation 

und Division bei 

gleicher Basis 


und Division bei 

gleichem Exponenten 

Potenzieren von 

Produkten und 

Quotienten 

Potenzieren einer Potenz 

gebrochene Exponenten 

+ + + 

x1 x2 ... xn 

xa = 

n 

2 �3 �6 

z.B. xa = � 3,67 

3 

n 3 3 

xg = x1⋅x2... x n z.B. xg = 2⋅3⋅ 6 = 36 = 3,3 

1 

1 

xh = 

z.B. x 

1⎛ 1 1 1 ⎞ h = 

� 3,0 

1�1 1 1� 

⎜ + + ... + ⎟ 

� � � � 

n⎝x1 x2 xn⎠ 

3�2 3 6� 

x a � x g � x h; Gleichheitszeichen nur bei x 1 = x 2 = ... = x n 

a a a a 

�� ... � 

n Faktoren 

= an = c 3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81 

0 ( 1) 

2 ( 1) 

1 

4 ( 1) 

2 ( 1) n 

� � 

� 

� � 

� � 

� � 

� 

� � 

1 ( 1) 

3 ( 1) 

1 

5 ( 1) 

2 1 ( 1) n+ 

− ⎫ 

⎪ 

− ⎪ 

⎬ =− 

− ⎪ 

⎪ 

− ⎭ 

a 1 = a; a 0 = 1 7 1 = 7; 7 0 = 1 

a –n 1 1 1 

= ; 

n a� 

� 7 –2 1 �1 1 

= ;7 � 

a a 

2 7 7 

ba n = b · a n = b · (a n ) 6 · 3 4 = 6 · 3 · 3 · 3 · 3 = 6 · (3 4 ) = 486 

aber: (6 · 3) 4 = 18 4 = 104976 

pa n + qa n = (p + q) a n 2 · 3 4 + 5 · 3 4 = 7 · 3 4 

a n · a m = a n + m 3 2 · 3 3 = 3 2 + 3 = 3 5 = 243 

a 

a 

n 

� 

m 

a 

n�m 35 

� 35�2 � 33 � 27 

32 

an �bn � ( ab) 

n 

23 �4 3 � (2�4) 3 

n n 

� � 

� 

n � 

b 

� 

� � 

a a 

b 

3 3 

2 �2� � (0,5) 3 

43 

� � 

4 

� 

� � 

n n n 

4 4 4 

( ab) � a �b (2 �3) � 2 �3 

n n 

�a� a 

� 

b 

� � 

n 

� � b 

4 4 

�2� 2 

� 

3 

� � 

34 

� � 

( an) m� anm� amn 

(2 3) 4� 23�4� 212� 24�3 

1/ n 1/ n 1/ n 

a ⋅ b = ( ab) = ab 

n 

1/ n 

⎛ 1/ n : 1/ n a⎞ n a 

a b = ⎜ ⎟ = 

⎝b⎠ b 

( 1/ m) 1/ n 1/ mn mn 

a = a = a ( 1/ n) m m/ n ( m) 1/ n n 

a = a = a = 

am

Zehnerpotenzen 

1.6 Wurzelrechnung 

(Radizieren) 

Definition 

(c Radikand, n Wurzelexponent, 

a Wurzel) 

Wurzeln sind Potenzen 

mit gebrochenen 

Exponenten, es gelten 

die Regeln der 

Potenzrechnung 

Addition und Subtraktion 


Division 

Wurzel aus 

Produkt und Quotient 

Wurzel aus Wurzel 

Potenzieren einer Wurzel 

Wurzel aus Potenz 

Kürzen von Wurzel- und 

Potenzexponent 

Erweitern der Wurzel 

teilweises Wurzelziehen 

Rationalmachen des 

Nenners 

Mathematik 

Wurzelrechnung 

10 0 = 1 10 6 ist 1 Million 10 –1 = 0,1 

10 1 = 10 10 9 ist 1 Milliarde 10 –2 = 0,01 

10 2 = 100 10 12 ist 1 Billion 10 –3 = 0,001 

10 3 = 1000 10 15 ist 1 Billiarde usw. 

Wurzelrechnung 

n 

= → n = 

0 und 0 

c a a c 

a � c � 

immer positiv 

n 

c = c1/ 

n 

4 4 

81 3 3 81 

= → = 

4 1/ 4 

81 81 3 

= = 

−n 1/ 1 1 1 n 

c = − c n = = = n = − c 1 

c1/ n n 

c c 

n n n 

p c + q c = ( p+ q) c 

n n n 

c⋅ d = c⋅d n n 

: n c 

c d = 

d 

4 4 4 

3 7 2 7 5 7 

⋅ + ⋅ = ⋅ 

4 4 4 

5⋅ 7 = 35 

4 4 4 5 

5: 7= 

7 

n n n 

cd = c⋅ d 

4�9 � 4 � 9 � 2�3 � 6 � 36 

n n n 

c/ d = c : d 

n m m n mn 

c = c = c 

4 2 

� 4: 9� 

9 3 

( ) m n n 

c = cm 

( ) 2 3 

3 2 2 3 6 

64 = 64 = 64 = 2 

3 2 3 

8 = 8 = 64 = 4 

( ) m 

= ( ) 2 

3 3 

n m n 

c c 

82 = 8 = 22 = 4 

( ) nq 

23 ⋅ 

= = 2 4 23 ⋅ 

⋅ 

3 

( ) ( ) 

np nq np 

c c 

( ) q 

p q p 

= c = c 

24 4 

⋅ 8 = 8 = 8 = 16 

c⋅ c = c2⋅ c = c3 

4 4 � 42 �4 � 43 � 64 � 8 

1 2 1 

c �1 � 1� 

c 2 c 

c3 � c2 �c � c � c 

3 2 

a a⋅a = = 

a a⋅a 3 3 3 2 

3 2 

a⋅a = = 

a 

3 2 

a 

3 3 3 

5⋅ c = c⋅ 

5 

a a( b−c) = = 

b+ c ( b+ c)( b− c) 

ab− c 

= 

b − 

c 

( ) 

2 

5 

1

1 

6 

Mathematik 

Logarithmen 

1.7 Logarithmen 

Definition 

(c Numerus, a Basis, 

n Logarithmus) 

Logarithmensysteme 

spezielle Fälle 

Logarithmengesetze 

(als dekadische 

Logarithmen 

geschrieben) 

Beziehungen zwischen 

dekadischen und 

natürlichen Logarithmen 

Kennziffern der 

dekadischen 

Logarithmen 

n natürliche Zahl 

Lösen von Exponentialgleichungen 

Exponentialfunktion und 

logarithmische Funktion 

Logarithmus c zur Basis a ist 

diejenige Zahl n, mit der man 

a potenzieren muss, um c zu 

erhalten. 

Dekadische (Briggs'sche) 

Logarithmen, Basis a = 10: 

log 10 c = lg c = n, 

wenn 10 n = c. 

a log a c = c 10 lg c = c e ln c = c 

log a (a n ) = n lg 10 n = n In e n = n 

log a a = 1 lg 10 = 1 In e = 1 

log a 1 = 0 lg 1 = 0 In 1 = 0 

log a c = n a n = c 

log 3 243 = 5 3 5 = 243 

„Logarithmus 243 zur Basis drei 

gleich fünf“ 

Natürliche Logarithmen, 

Basis a = e = 2,71828 ... : 

log e c = In c = n, 

wenn e n = c. 

In 1 

= – 1 

e 

lg (xy) = lg x + lg y lg (10 · 100) = lg 10 + lg 100 = 1 + 2 = 3 

lg x ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ = lg x – lg y 

⎝y⎠ ⎛ 10 ⎞ 

lg⎜ ⎟= 

lg10 − lg100 = 1− 2 =−1 

⎝100⎠ log x n = n lg x lg 10100 = 100 lg 10 = 100 

lg n x = 1 lgx 

n 

100 1 1 

lg 10 = lg10 = 

100 100 

lgx 

ln x = ln10⋅ lgx = = 2,30259 lgx 

lge 

ln x 

lgx = lge⋅ ln x = = 0,43429 ln x 

ln10 

lg 1 = 0 lg 0,1 = – 1 

lg 10 = 1 lg 0,01 = – 2 

lg 100 = 2 lg 0,001 = – 3 usw. 

lg 1000 = 3 usw. 

lg � = � lg 0 = – � 

lg 10 n = n lg 10 – n = – n 

ax = b 10x = 1000 

x lg a = lg b x lg 10 = lg 1000 

x = lgb 

lga 

lg1000 3 

x = = = 3 

lg10 1 

y=ex y= ln x 

y=10 x Umkehrfunktion 

Umkehrfunktion 

y= lg x

1.8 Komplexe Zahlen 

Komplexe Zahlen 

imaginäre Einheit i und 

Definition 

rein imaginäre Zahl 

komplexe Zahl z 

a Realteil 

b Imaginärteil 

goniometrische 

Darstellung der 

komplexen Zahl 

Darstellungsbeispiel 

Addition und Subtraktion 


z 1, z 2 sind konjugiert 

komplex 

z 1, z 2 

in goniometrischer 

Darstellung 

z 1, z 2 

in Exponentialform 

Division 

i = �1 

i 2 = – 1 

also auch: i 3 = – i; i 4 = 1; i 5 = i usw. 

bzw. i –1 = 1/i = – i; i –2 = –1 

i –3 = i; i –4 = 1; i –5 = – i usw. 

allgemein: i 4 n + m = i m 

Mathematik 

Komplexe Zahlen 

ist darstellbar als Produkt einer reellen Zahl mit der imaginären Einheit 

z.B.: − 4 == 4 − 1= 2i 

ist die Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären 

Zahl b i (a, b reell): 

z = a−bi⎫konjugiert komplexes 

z = a + b i 

⎬ 

z = a+ bi⎭Zahlenpaar 

z = a + b i = r (cos � + i sin �) = r e i� 

r = a2+ b2 = | z | absoluter Betrag 

oder Modul 

tan � = ; 

b 

� Argument 

a 

a = r cos �; b = r sin � 

z = 3 + 4 i = 5( cos 53° 8' + i sin 53° 8') 

= 5(0,6 + 0,8 i) 

z1+ z2 = ( a1+ b1i) + ( a2+ b2i) = ( a1+ a2) + ( b1+ b2)i 

z − z = ( a + b i) − ( a + b i) = ( a − a ) + ( b −b 

)i 

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 

Beispiel: (3 + 4 i) – (5 – 2 i) = – 2 + 6 i 

z ⋅ z = ( a + b i) ⋅ ( a + b i) = ( aa − bb ) + i( ba + ba ) 

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 

(3 + 4i) ⋅(5− 2i) = 23 + 14 i 

1⋅ 2 = ( 1+ 1i) ⋅( 1− 1⋅ 

i) = 2+ 2 = 

= (3 + 4i) ⋅(3 − 4i) = 25 

z z a b a b a b 

z1 · z2 = r1(cosϕ1+ isin ϕ1) ⋅ r2(cosϕ2+ 

isin ϕ2) 

= 

r r [cos( ϕ + ϕ ) + isin( ϕ + ϕ )] 

= 1 2 1 2 1 2 

o o o o 

5(cos30 + isin30 ) ⋅ 13(cos60 + isin60 ) = 

= 65(cos 90° + i sin 90°) = 65 i 

iϕ z1 · z2 = 1 iϕ2 i( ϕ1+ ϕ2) 

r1e ⋅ r2e = r1r2e = 

o o o 

= 3ei25⋅ 5ei30 = 15ei55 

z a b a b a b 

z a b a b a b 

1 

= 

2 

1+ 2+ 1i ( 1+ = 

2i ( 2+ 1i)( 2− 2i)( 2 − 

2i) 

= 

2i) 

= 1 2 1 2 2 1 1 2 

aa + bb a b −ab 

+ i 

2 2 2 2 

a2 + b2 a2 + b2 

(3 + 4i) (3 + 4i)(5 + 2i) 7 26 

= = + i 

(5 −2i) (5 − 2i)(5 + 

2i) 29 29 

7 

1

1 

8 

Mathematik 

Quadratische Gleichungen 

z 1, z 2 

in goniometrischer 

Darstellung 

z 1, z 2 

in Exponentialform 

Potenzieren mit einer 

natürlichen Zahl 

Potenzieren (radizieren) 

mit beliebigen 

reellen Zahlen (nur in 

goniometrischer 

Darstellung möglich) 

Ist der Wurzelexponent n 

eine natürliche Zahl, gibt 

es genau n Lösungen, 

z.B. bei 3 1 

Exponentialform der 

komplexen Zahl 

1.9 Quadratische 

Gleichungen 

Allgemeine Form 

Normalform 

Lösungsformel 

z r r 

z r r 

1 1(cos ϕ1+ isin ϕ1) 

1 

= = [cos( ϕ1− ϕ2) + isin( ϕ1−ϕ2)] 2 2(cos ϕ2+ isin ϕ2) 

2 

i ϕ 

o 

z 1 i25 

1 r1e r1 i( ϕ − − o 

= = 1 ϕ2) 

3e3 i5 

e = o = e 

z i ϕ2 

i30 

2 r2e r2 

5e 

5 

durch wiederholtes Multiplizieren mit sich selbst: 

(a + b i) 3 = (a 3 – 3 a b 2 ) + (3 a 2 b – b 3 ) i 

(4 + 3 i) 3 = – 44 + 117 i 

man potenziert (radiziert) den Modul und multipliziert (dividiert) das 

Argument mit dem Exponenten (durch den Wurzelexponenten): 

n n 

n n 

( a+ bi) = [ r(cosϕ+ isin ϕ) ] a+ bi = r(cosϕ+ 

isin ϕ) 

= 

= n r (cosnϕ+ isin nϕ) n ⎛ ϕ ϕ ⎞ 

= r⎜cos 

+ isin ⎟ 

⎝ n n⎠ 

(4 + 3 i) 3 = [5 (cos 36,87° � i sin 36,87°)] 3 

= 125 (cos 110,61° � i sin 110,619) 

= 125 ( –cos 69,39° � i sin 69,39°) 

= 125 ( – 0,3520 � 0,9360 i) 

= – 44,00 � 117,00 i 

w 1 = 

w 2 = 

3 o o 

1(cos0 + isin0 ) = 1 

3 o o 

1(cos360 + isin360 ) 

o o 

= 1(cos120 + isin120 ) 

= 1 i − + 3 

2 2 

e i � = cos � � i sin � 

|e –i � 2 2 

| = cos ϕ+ sin ϕ = 1 

iϕ+ −iϕ 

e e 

cos � = 

2 

lg z = ln r � i (� � 2 � n) 

w 3 = 

mit n = 0, � 1, � 2... und � in Bogemaß 

a 2 x 2 � a 1 x � a 0 = 0 (a 2 � 0) 

2 a1 

a0 

x + x+ = x2+ px+ q = 0 

a2 a2 

2 

p ⎛p⎞ x1,2 =− ± ⎜ ⎟ −q 

2 ⎝2⎠ 3 o o 

1(cos720 + isin720 ) 

= 1(cos240o + isin240 o) 

= 1 i − − 3 

2 2 

e –i � = cos � – i sin � = 

1 

= 

cos + isin 

iϕ− − iϕ 

e e 

sin � = 

2i 

ϕ ϕ 

Die Lösungen x 1, x 2 sind 

a) beide verschieden und 

reell, wenn der Wurzelwert 

positiv ist 

b) beide sind gleich und 

reell, wenn der Wurzelwert 

null ist 

c) beide sind konjugiert 

komplex, wenn der 

Wurzelwert negativ ist.

Mathematik 

Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in Beispielen 

Beispiel 

2 

2 

70 ⎛70⎞ 13 

25x − 70x+ 13 = 0⎫ 

x1,2 

=+ ± − 

⎪ 

⎜ ⎟ 

50 ⎝50⎠ 25 

2 70 13 ⎬ 

x − x+ 

= 0⎪ 25 25 ⎭ 7 49 13 13 1 

x1=+ + − = ; x2 

= 

5 25 25 5 5 

Kontrolle der Lösungen (Viéta) 

x1 � x2 = – p Im Beispiel ist p = 70 

− und q = 

25 

13 

, also 

25 

13 1 14 70 

x1+ x2 = + = = =−p 

5 5 5 25 

x1 · x2 = q 

13 1 13 

x1⋅ x2 = ⋅ = = q 

5 5 25 

1.10 Wurzel-, Exponential-, Logarithmische und Goniometrische Gleichungen in 

Beispielen 

Wurzelgleichungen: Logarithmische Gleichungen: 

a) 11− x + 3 = 6 

a) log7 (x 

x + 3 = 11−6 x � 3 = 25 x = 22 

2 � 19) = 3 

x2 � 19 = 73 b) log3 (x � 4) = x 

x � 4 = 3 

x1,2 = � 18 

x 

b) 2x− 3+ x + 5= 0 

3 + x =2 x � 5 

3 � x = 4 x2 � 20 x � 25 

2 19 11 

x + x+ 

4 2 

= 0 

x1 = – 2 x2 = 11 

− 

4 

Nur x1 ist Lösung der gegebenen Gleichung. 

Goniometrische Gleichungen: 

a) sin x = sin 75° 

x = arc 75° � 2 n � und 

x = arc (180° � 75°) � 2 n � mit 

n = 0 � 1; � 2; � 3; ... oder 

x = arc (90° � 15°) � 2 n �, also 

π π 

x = ± +2nπ 2 12 

b) sin2 x � 2 cos x = 1,5 

Man setzt sin2 x = 1 – cos2 x und erhält 

eine quadratische Gleichung für cos x: 

1 – cos2 x � 2 cos x = 1,5 

cos x 1,2 = 1± 1−0,5 cos x 1 = 

1 + scheidet aus, da | cos x | � 1 

2 

1 2 

1 

cos x2 = 1− 2 ≈0,293 

2 

x2� 73,0° � 1,274 rad ist Hauptwert 

Die Gleichung ist nicht geschlossen lösbar. 

Näherungslösung durch systematisches Probieren, 

z. B. mit Hilfe des programmierbaren Taschenrechners. 

x � 1,561919 

Exponentialgleichungen: 

lg5 

2x = 5; x = log25= log105 : log102= lg2 

lg5 0,699 

x = = = 2,32 

lg2 0,301 

c) sin x + cos x – 0,9 x = 0 

Diese transzendente Gleichung ist nicht geschlossen 

lösbar. Näherungslösung durch Probieren 

(Interpolieren in der Nähe der Lösung), z. B. mit 

dem programmierbaren Taschenrechner. 

x = 76°39' = 1,3377 rad ist näherungsweise die 

einzige reelle Lösung. 

9 

1

1 

10 

Mathematik 

Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch) 

1.11 Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch) 

Gerade: y = ax� b Parabel: y = x2 Parabel: y = ± x 

Kubische Parabel: y = x 3 

Kreis: y = � a2 − x2 

x 2 � y 2 = a 2 

3 

y = x 

Semikubische Parabel: 

b 

Ellipse: y = ± a2 −x2 

a 

2 2 

+ 

2 

= 1 

2 

x y 

a b 

y =± x3/2 =± x3 

Potenzfunktionen: 

y = x n für n � 0 

und x � 0

Potenzfunktionen: 

y = x n für n � 0 und x � 0 

Mathematik 

Graphische Darstellung der wichtigsten Relationen (schematisch) 

Exponentialfunktionen: 

y = a x für a � 0 

1 

b 

Hyperbel: y = Hyperbel: y =± x2 −a2 

x 

a 

Quadratisches Polynom: 

y = ax2 −b 

� bx� c mit xs = 

2a 

Trigonometrische Funktionen: 

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x 

2 2 

− 

2 

= 1 

2 

x y 

a b 

Logarithmische Funktionen: 

y = log a x für a � 0 und x � 0 

b 

Hyperbel: y =± x2+ a2 

a 

2 2 

− 

2 

= 1 

2 

y x 

b a 

Polynom dritten Grades: 

y = ax 3 � bx 2 � cx� d (kubische Parabel); Diskriminante 

� = 3 ac – b 2 

Hyperbelfunktionen: 

y = sinh x, y = cosh x, y = tanh x, 

y = coth x 

11 

1

1 

12 

Mathematik 

Flächen 

Inverse trigonometrische Funktionen: 

y = arcsin x, y = arccos x, 

y = arctan x, y = arccot x 

Archimedische 

Spirale: 

r = a � 

(1 + ϕ3 

) 

r = a 

2 + ϕ2 

3/2 

Logarithmische 

Spirale: 

r = a em � 

� = arccot m = 

konstant 

r = r m 2 + 1 

(r Radius des Krümmungskreises) 

1.12 Flächen (A Flächeninhalt, U Umfang) 

A = a 2 

U = 4 a 

d = a 2 

Zykloide: 

x = a (t – sin t) 

y = a (1 – cos t) 

(a Radius, t Wälzwinkel) 

Quadrat Rechteck 

Rhombus 

A = a h = 

U = 4 a 

d1d2 2 

Parallelogramm 

Inverse Hyperbelfunktionen: 

y = arsinh x = In (x � x 2 + 1 ) 

y = arcosh x = In (x � x2 − 1 ) 

1 1+ 

x 

y = artanh x = ln 

2 1−x 

1 x + 1 

y = arcoth x = ln 

2 x −1 

Kreisevolvente: 

x = a cos � + a � sin � 

y = a sin � – a � cos q 

A = a b 

U = 2 (a � b) 

d = a2+ b2 

A = a h = a b sin � 

U = 2 (a � b) 

2 2 

d1 = ( a+ hcot α) 

+ h 

2 2 

d2 = ( a− hcot α) 

+ 

h

Trapez 

regelmäßiges 

Sechseck 

Kreis 

Kreissektor 

Kreisabschnitt 

Mathematik 

Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke 

a+ c 

A = h 

2 

= m h 

a+ c 

m = 

2 

3 

A = 2 

2 

3 a 

Schlüsselweite: S = a 

Eckenmaß: e = 2a 

3 

A = r 2 d2π � = 

4 

U = 2 r � = d � 

� = 3,141592 

o br ϕ 

A = = πr 

o 2 360 

ϕ r 2 

= 

2 

Bogenlänge b: 

o ϕ πr 

b = ϕ r = 

A = 

o 180 

2 

⎛ o r 2 ϕ π ⎞ 

⎜ − sinϕ 

⎟ 

o 2 

⎟ 

⎝180 ⎠ 

= 1 [( rb− s) + sh] 

2 

� 2 

3 sh 

Sehnenlänge s: 

ϕ 

s = 2 r sin 

2 

Vieleck 

Dreieck 

Kreisring 

Kreisradius r: 

2 

⎛s⎞ 2 

⎜ ⎟ + h 

⎝2⎠ r = 

2h 

Bogenhöhe h: 

⎛ ϕ ⎞ 

h = r⎜1−cos 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

s ϕ 

= tan 

2 4 

A = A1 � A2 � A3 = 11 2 2 2 3 

ch+ ch + ch 

2 

gh 

A = 

2 

siehe auch unter 

1.15 und 1.16 

A = − 2 2 

π( rari ) 

π 2 2 

= ( da−di) 4 

= dm � s 

da − di 

s = 

2 

da+ di 

dm = 

2 

o ϕ ⋅ π 

A = ( R2 − r2) = l s 

o 360 

mittlere Bogenlänge l: 

l = + R r π o ⋅ ϕ o 2 180 

Ringbreite s: 

s = R – r 

Bogenlänge b: 

b = 2 16 

s + h2 

3 

o ϕ π r 

b = = ϕ r 

o 180 

1.13 Fläche A, Umkreisradius r und Inkreisradius r einiger regelmäßiger Vielecke 

Dreieck 

(gleichseitiges) 

2 

a 

A = 

4 

3 

a 

r = 

3 

3 

r = 

a 

6 

3 

Viereck (Quadrat) 

A = a2 a 

r = 2 

2 

a 

r = 

2 

13 

1

1 

14 

Mathematik 

Körper 

Fünfeck 

Achteck 

n-Eck 

2 

a 

A = 

4 

25 + 10 5 

a 

r = 

10 

50 + 10 5 

a 

r = 

10 

25 + 10 5 Sechseck 

A = 2 a2 ( 2+ 1) 

a 

r = 4+ 2 2 

2 

a 

r = ( 2+ 1) 

2 

2 

Zehneck 

an a 

a 

A = r 1 − r = r 1− 2 2 4r 

4r 

2 

2 

3 2 A = 

2 

3 a 

r = a 

a 

r = 

2 

3 

5 

A = a 2 

2 

5+ 2 5 

a 

r = ( 5+ 1) 

2 

a 

r = 

2 

5+ 2 5 

Ist a = a n die Seite des n-Ecks, dann gilt für das 2 n-Eck: 

a 

a2n = r 2− 4− 

r 

1.14 Körper (V Volumen, O Oberfläche, M Mantelfläche) 

Würfel 

Sechskantsäule 

Pyramidenstumpf 

Prismatoid 

(Prismoid) 

V = a 3 

O = 6 a 2 

d = a 3 

V = 

3 

ah sh 

2 

3 2 3 = 2 

2 

O = 3 aa ( 3+ 2 h) 

= 3 ss ( + 2 h) 

2 

n 

2 

h 

V = ( Au+ 3 

AA u o + Ao) 

� h 

Au+ Ao 

2 

h 

( A 4 A A ) 

6 

V = o+ m+ u 

Quader 

Pyramide 

Keil 

Kreiszylinder 

V = a b c 

O = 2 (a b � a c � b c) 

d = a2+ b2+ c2 

Ah 

V = 

3 

(gilt für jede Pyramide) 

h 

b (2 a a ) 

6 

V = u u+ o 

2 Volumen des 

d π 

V = h Hohlzylinders 

4 als Differenz 

M = d � h zweier Zylinder 

berechnen. 

π d 

O = ( d+ 2 h) 

2

Kreiszylinder, 

schief abgeschnitten 

V = 2⎛a 

b⎞ 

r 

2 

+ 

π ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

d π 

= h 

4 

M = d � h 

= � r (a � b) 

⎡ 2 

⎛ 

⎤ 

− ⎞ 

O = ⎢ + + + 2 b a 

π r a b r r +⎜ ⎟ ⎥ 

⎢ ⎝ ⎠ ⎥ 

⎣ 

2 

⎦ 

gerader 

Kreiskegel 

Kreisringtorus 

Kugel 

Kugelabschnitt 

(K.-Segment, 

K.-Kappe, K.-Kalotte) 

zylindrisch 

durchbohrte Kugel 

1 

V = r2h; M r s 

3 = π π 

s = r2+ h2 

O = r � (r � s) 

Abwicklung ist Kreissektor 

mit Öffnungswinkel �: 

o r o 

�° = 360 = 360 sin β 

s 

2 2 

d π D 

V = 

4 

= 2 r 2 � 2 R 

M = d � 2 D 

= 4 r � 2 R 

4 

V = 3 1 

r π = d3π 

3 6 

� 4,189 r 3 

O = 4 � r 2 = � d 2 

h⎛3⎞ 

⎜ s + h ⎟ 

6 ⎝4 ⎠ 

π 

V = 2 2 

= 2 π 

⎛ h⎞ 

h ⎜r − ⎟ 

⎝ 3⎠ 

π 

M = 2 � r h = ( s2+ 4 h2) 

4 

3 

π h 

V = 

6 

O = 2 � h (R � r) 

Zylinderhuf 

Mathematik 

Körper 

h 

V = [ a(3 r2− a2) 

+ 

3b 

� 3 r 2 (b – r) �] 

2rh 

M = [( b− r) ϕ + a] 

b 

(� in rad) 

Für Halbkreisfläche als Grundfläche ist: 

2 

V = r2h; M = 2r 

h 

3 

2 2 2 

r π r π r + h 

O = M + + 

2 2 

gerader 

Kreiskegelstumpf 

Fass 

Kugelzone 

(Kugelschicht) 

Kugelausschnitt 

(Kugelsektor) 

kegelig 

durchbohrte Kugel 

π h 

V = ( R2+ Rr + r2) 

3 

( ) 

2 2 

s = R− r + h 

M = � s (R � r) 

O = � [R 2 � r 2 + s (R � r)] 

h 

(2 D d ) 

π 

V = 2+ 2 

12 

bei kreisförmigem b 

π h⎛ V = 2 3 ⎞ 2 

⎜2D + Dd+ d ⎟ 

15 ⎝ 4 ⎠ 

bei parabelförmigem b 

h 

(3 

6 

M = 2 � r h 

3 ) 

π 

V = a2+ b2+ h2 

O =� (2 r h � a 2 � b 2 ) 

h = 

r2− a2 + r2−b2 2 

V = r2h 3 π 

π r 

O = (4 h+ s) 

2 

2 

2 π r h 

V = 

3 

⎛ 2 ⎞ 

O = ⎜ + 2 h 

2π 

r − ⎟ 

⎜ 

h r 

⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

15 

1

1 

16 

Mathematik 

Rechtwinkliges Dreieck 

1.15 Rechtwinkliges 

Dreieck 

allgemeine 

Beziehungen 

gegeben a, b 

gegeben a, c 

gegeben b, c 

gegeben a, �� 

gegeben b, �� 

gegeben c, �� 

Pythagoras: c 2 = a 2 � b 2 

Euklid: b 2 = c q; a 2 = c p; h 2 = p q 

a b 

sin � = ;cosα 

= 

c c 

a b 

tan � = ;cotα 

= 

b a 

2 2 

h b ab 2 a b 1 1 1 

= ; h= ; h = ; = + 

a c c 2 2 2 2 2 

a + b h a b 

1 1 

Fläche A = = 2 1 

= 2 1 

ab a cot α b tan α = c2sin2α 

2 2 2 4 

a 

tan � = ; 

b 

o b 

α = 90 − β; tan β = ; 

a 

β = 90o−α 

c = 2 2 a b a b 

a + b = = = = 

sinα sin β cos β cos α 

ab ab 

A = ; h = 

2 a + b 

2 2 

a o a 

o 

sin α = ; α = 90 − β; cos β = ; β = 90 −α 

c c 

2 2 b= c − a = ( c+ a)( c− a) = ccosα = csinβ = acotα 

a 1 

a 

A = c − a = acsin β ; h= c −a 

2 2 

c 

2 2 2 2 

b 

cos α = ; 

c 

o β = 90 −α 

a= c − b ; 

1 

A= b 

2 

tan α; 

b 

h= c 

c −b 

2 2 2 2 2 

o a 1 

β = 90 − α; b = acot α; c = ; A= a2cot α; h= acosα 

sinα 2 

o b 1 

β = 90 − α; a = btan α; c = ; A= b2tan α; h= bsinα 

cosα 2 

o β = 90 − α; a= csinα 

1 

b = ccos α; A= c2sinαcos α; h= csinαcosα 

2

1.16 Schiefwinkliges 

Dreieck 

allgemeine 

Beziehungen 

halber Umfang s 

Radius des Inkreises r 

Radien der Ankreise 

r a, r b, r c 

Höhen 

h a, h b, h c 

Seitenhalbierende 

Mittellinien 

m a, m b, m c 

Winkelhalbierende 

w a, w b, w c 

Flächeninhalt 

Radius des 

Umkreises r 

Mathematik 

Schiefwinkliges Dreieck 

α ( s−b)( s−c) ( s−a)( s−b) ( s−a)( s−c) sin = = = 

2 bc ab ac 

α ss ( − a) 

cos ; 

2 bc 

= ... 1) 

α ( s−b)( s−c) tan = 

2 ss ( − a) 

r 

= ; ... 

s−a 1) 

asin 

γ 

tan α = ; 

b−acos γ 

... 1) 

1 α β γ 

s = ( a+ b+ c) = 4rcos cos cos 

2 2 2 2 

α β γ abc 

r = 4r sin sin sin = 

2 2 2 4rs 

= ( )( )( ) 

s−a s−b s− c α β γ 

= s tan tan tan 

s 

2 2 2 

s α s( s−b)( s−c) ra= r = s tan = 

; ... 

s−a 2 s−a 1) 

bc 

ha= bsin γ = csin 

β = sin α ; ... 

a 

1) 

aha = bhb = chc = 2 s( s−a)( s−b)( s−c) 1 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 

a 2 a b c 4 

m = 2( b + c ) − a ;... ) m + m + m = ( a + b + c ) 

1 1 1 1 1 1 1 

= + + = + + 

r r r r h h h 

a b c a b c 

1 1 1 1 

=− + + ; ... 

ra 

ha hb hc 

1) 

2 1 

w = − = + 2− 2 

a bcs( s a) bc[( b c) a ]; 

b+ c b+ c 

2 

... 1) 

A= rs 

= s( s−a)( s−b)( s− c) = 2r sinαsin β sin γ 

1 1 1 

2 2 2 

A= absin γ = bcsinα = acsin 

β 

a b c 

r = = = 

2sinα 2sinβ 2sinγ 

1) Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von 

a, b, c und �, �, �, noch zwei weitere Gleichungen ergeben. 

17 

1

1 

18 

Mathematik 

Schiefwinkliges Dreieck 

Sinussatz 

Kosinussatz 

(bei stumpfem Winkel � 

wird cos � negativ) 

Projektionssatz 

Mollweide'sche 

Formeln 

Tangenssatz 

gegeben: 

1 Seite und 2 Winkel 

(z.B. a, �, �) 

WWS 

gegeben: 

2 Seiten und der 

eingeschlossene Winkel 

(z.B. a, b, �) 

SWS 

gegeben: 

2 Seiten und der einer 

von beiden gegenüberliegende 

Winkel 

(z.B. a, b, �) 

SSW 

gegeben: 

3 Seiten 

(z.B. a, b, c) 

SSS 

a sinα b sin β c sin γ 

= ; = ; = 

b sin β c sin γ a sinα 

2 2 2 1) 

a = b + c −2bccos 

α ;... 

2 2 2 1) 

a = ( b+ c) −4bccos 

( α / 2);... 

2 2 2 1) 

a = ( b− c) + 4bcsin ( α / 2);... 

a = b cos � � c cos � �� 1) � 

a+ b α− β α+ β α−β γ 1) 

= cos : cos = cos : sin ;... 

c 2 2 2 2 

a−b α− β α+ β α−β γ 1) 

= sin : sin = sin : cos ;... 

c 2 2 2 2 

a+ b α+ β α−β = tan : tan ; ... 

a−b 2 2 

1) 

o asin β asin 

γ 

γ = 180 − ( α+ β); 

b = ; c = 

sinα sinα 

= 1 

A absin γ 

2 

α−β a− b γ 

tan = cot ; 

2 a+ b 2 

α+ β o γ 

= 90 − 

2 2 

Mit � � � und � – � ergibt sich � und � und damit: 

sin γ 

c = a ; 

sinα 1 

A= absinγ 

2 

b 

sin β = sinα 

a 

Ist a � b, so ist � � 90° und damit 

� eindeutig bestimmt. 

Ist a � b, so sind folgende Fälle möglich: 

1. � hat für b sin � � a zwei Werte (�2 = 180° – �1) 2. � hat den Wert 90° für b sin � = a 

3. für b sin � � a ergibt sich kein Dreieck. 

o γ = 180 − ( α+ β); sinγ c = a ; 

sinα 1 

A= absinγ 

2 

( s−a)( s−b)( s−c) α r 

r = ;tan2= 

s s−a β r γ r 

tan = ; tan = 

2 s−b 2 s−c A = rs 

= s( s−a)( s−b)( s−c) 1) Die Punkte weisen darauf hin, dass sich durch zyklisches Vertauschen von 

a, b, c und �, �, �, noch zwei weitere Gleichungen ergeben.

1.17 Einheiten des 

ebenen Winkels 

Begriff des 


Bogenmaß des 


kohärente Einheit 

des ebenen Winkels 

Vollwinkel und 

rechter Winkel 

Umrechnung von 

Winkeleinheiten 

Der ebene Winkel � (kurz: Winkel �, im 

Gegensatz zum Raumwinkel) zwischen 

den beiden Strahlen g 1, g 2 ist die Länge 

des Kreisbogens b auf dem Einheitskreis, 

der im Gegenuhrzeigersinn von Punkt P 1 

zum Punkt P 2 führt. 

Mathematik 

Einheiten des ebenen Winkels 

Die Länge des Bogens b auf dem Einheitskreis ist das Bogenmaß 

des Winkels. 

Die kohärente Einheit (SI-Einheit) des ebenen Winkels ist der 

Radiant (rad). 

Der Radiant ist der ebene Winkel, für den das 

b 

Verhältnis der Länge des Kreisbogens b zu 1rad= = 1 

seinem Radius r gleich eins ist. 

r 

Für den Vollwinkel � beträgt der Kreisbogen b = 2 � r. Es ist demnach: 

b 2 π r 

α = = rad = 2 π rad 

Vollwinkel = 2 � rad 

r r 

Ebenso ist für den rechten Winkel (1L ): 

L b 2 πr π 

α = 1 = = rad= rad rechter Winkel 1 

r 4r 2 

L π 

= rad 

2 

Ein Grad (1°) ist der 360ste Teil des Vollwinkels (360°). Folglich gilt: 

1° = 

b 2πr 2π 

π 

= rad = rad = rad 

r 360r 360 180 

1° = π 

rad ≈ 0,0175rad oder durch Umstellen: 

180 

1 rad = ⋅ o o 

1 180 180 

= ≈57,3 

π π 

π π 

Beispiel: a) � = 90° = 90 rad = rad 

o 180 2 

o 180 o 

b) � = � rad = �� = 180 � 

π 

o 

19 

1

1 

20 

Mathematik 

Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11) 

1.18 Trigonometrische Funktionen (Graphen in 1.11) 

Gegenkathete 

Sinus = 

Hypotenuse 

Ankathete 

Kosinus = 

Hypotenuse 

a⎫ 

sinα 

= BC = ⎪ 

c ⎪⎬− von 

b + 

α = = 

⎪ 1... 1 

cos OB 

c⎪⎭ 

Gegenkathete 

Tangens = 

Ankathete 

Ankathete 

Kotangens = 

Gegenkathete 

tanα 

= AD 

cot α = EF 

a ⎫ 

= ⎪ 

b ⎪⎬−∞ von 

b⎪ 

... +∞ 

= 

a⎪⎭ 

Hypotenuse 

Sekans = 

Ankathete 

Hypotenuse 

Kosecans = 

Gegenkathete 

c ⎫ von 

sec α = OD = ⎪ 

b⎪−∞... 

−1 

⎬ 

c 

α = = ⎪und 

cosec OF 

a⎪⎭+ 

1... +∞ 

Vorzeichen der 

Funktion 

(richtet sich nach dem 

Quadranten, in dem 

der bewegliche 

Beachte: Winkel werden 

vom festen Radius OA 

aus linksdrehend gemessen. 

Quadrant Größe des Winkels sin cos tan cot sec cosec 

I von 000° bis 090° + + + + + + 

II „ 090° „ 180° + – – – – + 

III „ 180° „ 270° – – + + – – 

Radius liegt) IV „ 270° „ 360° – + – – + – 

Funktionen 

für Winkel 

zwischen 

90°... 360° 

Funktion � = 90° � � � = 180° � � � = 270° � � � = 360° – � 

sin � 

cos �� 

tan �� 

cot � 

� cos � 

� sin � 

� cot � 

� tan � 

� sin � 

– cos � 

� tan � 

� cot � 

– cos � 

� sin � 

� cot � 

� tan � 

Beispiel 1) : sin 205° = sin(180 � 25°) = – (sin 25°) = – 0,4226 

Funktionen für negative Winkel werden auf solche für positive Winkel zurückgeführt: 

sin (–�) = – sin � 

cos (–�) = cos � 

tan (–�) = – tan � 

cot (–�) = – cot � Beispiel 1) : sin (– 205°) = – 205° 

– sin � 

� cos � 

– tan � 

– cot � 

Funktionen für Winkel über 360° werden auf solche von Winkeln zwischen 0°... 360° zurückgeführt 

(bzw. zwischen 0°... 180°); „n“ ist ganzzahlig: 

sin (360° · n � �) = sin � 

cos (360° · n � �) = cos � 

tan (180° · n � �) = tan � 

cot (180° · n � �) = cot � 

1) Der Rechner liefert die Funktionswerte direkt, z.B. sin (– 660°) = 0,866 025 403 8 

Beispiel 1) : 

sin (– 660°) = – sin 660° = – sin (360° · 1 � 300°) = 

= – sin 300° = – sin (270º � 30°) = � cos 30° = 

= 0,8660.

1.19 Beziehungen 

zwischen den 

trigonometrischen 

Funktionen 

Grundformeln 

Umrechnung zwischen 

Funktionen desselben 

Winkels (die Wurzel 

erhält das Vorzeichen 

des Quadranten, in 

dem der Winkel � liegt) 

Additionstheoreme 

Summenformeln 

Mathematik 

Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 

2 α α 

α+ 2 sin 1 cos 

sin cos α = 1; tan α = ; cot α = = 

cos α tan α sinα 

sin � = sin � 

sin � cos � tan � cot � 

cos � = − α 2 1 sin 

tan � = 

cot � = 

sinα 

1 sin 

− 2 

α 

1 sin 

sinα 

α 

− 2 

sin (� � �) = sin � · cos � � 

� cos � · sin � 

sin (� – �) = sin � · cos � – 

– cos � · sin � 

tanα+ tan β 

tan (� � �) = 

1−tanα⋅tanβ tanα−tan β 

tan (� – �) = 

1+ tanα⋅tanβ 2 

1−cos cos � 

2 

α 

1−cos α 

cos α 

cos α 

2 

1−cos α 

tanα 

2 

1+ tan 

1 

2 

1+ tan 

tan � 

1 

tanα 

α 

α 

1 

2 

1+ cot α 

cot α 

1+ cot 

2 

1 

cot α 

cot � 

cos (� � �) = cos � · cos � – 

– sin � · sin � 

cos (� – �) = cos � · cos � � 

� sin � · sin � 

cot α⋅cot β−1 

cot (� � �) = 

cot α+ cot β 

cot α⋅ cot β+ 

1 

cot (� – �) = 

cot β − cot α 

α+ β α−β cos � � cos � = 

sin � � sin � = 2 sin cos 

2 2 

α+ β α−β = 2cos · cos 

2 2 

α+ β α−β sin � – sin � = 2 cos sin cos � – cos � = 

2 2 

α+ β α−β = −2sin · sin 

2 2 

tan � � tan � = 

tan � – tan � = 

sin( α+ β) 

cos αcosβ sin( α−β) cos αcosβ sin (� � �) � sin (� – �) = 

= 2 sin � cos � 

sin (� � �) – sin (� – �) = 

= 2 cos � sin � 

o 

cos � � sin � = 2sin(45 + α)= 

o 

= 2cos(45 − α) 

1+ tanα 

o = tan(45 + α) 

1−tanα cot � � cot � = 

cot � – cot � = – 

sin( β + α) 

sinαsin β 

sin( α−β) sinαsin β 

cos (� � �) � cos (� – �) = 

= 2 cos � cos � 

cos (� � �) – cos (� – �) = 

= – 2 sin � sin � 

α 

o 

cos � – sin � = 2cos(45 + α)= 

o = 2 sin(45 − α) 

cot α + 1 

o = cot(45 −α) 

cot α −1 

21 

1

1 

22 

Mathematik 

Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 

Funktionen für 

Winkelvielfache 

Funktionen der halben 

Winkel (die Wurzel 

erhält das Vorzeichen 

des entsprechenden 

Quadranten) 

Produkte von 

Potenzen von Funktionen 

sin 2 � = 2 sin � · cos � 

sin 3 � = 3 sin � – 4 sin3 � 

sin 4 � = 8 sin � cos3 � – 

– 4 sin � cos � 

α 

tan 2 � = 

− α 2 

2tan 

1 tan 

tan 3 � = 

3 

3tanα−tanα 2 1−3tan α 

cos 2 � = cos 2 � – sin 2 � 

= 1 – 2 sin 2 � 

= 2 cos 2 � – 1 

cos 3 � = 4 cos 3 � – 3 cos � 

cos 4 � = 8 cos 4 � – 8 cos 2 � � 1 

cot 2 � = 

cot 3 � = 

2 

cot α −1 

2cotα 

3 

cot α−3cotα 2 3cot α −1 

Für n � 3 berechnet man sin n � und cos n � nach der 

Moivre-Formel: 

⎛n⎞ n−1 3 n−3 

sin n � = n sin αcos α− ⎜ ⎟sin 

αcos α± 

... 

⎝3⎠ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n n−2 2 n−4 

4 

cos n � = cos α− ⎜ ⎟cos αsin α+ ⎜ ⎟cos 

αsin α � ... 

⎝2⎠ ⎝4⎠ α − α 

= 1 cos 

sin 

2 2 

α + α 

= 1 cos 

cos 

2 2 

α 1−cosα 1−cos α sinα 

tan = = = 

2 1+ cos α sinα 1+ cos α 

α 1+ cos α sinα 1+ cosα 

cot = = = 

2 1−cos α 1−cosα sinα 

sin (� � �) sin (� – �) = sin 2 � – sin 2 � = cos 2 � – cos 2 � 

cos (� � �) cos (� – �) = cos 2 � – sin 2 � = cos 2 � – sin 2 � 

sin � · sin � = 1 [cos (� – �) – cos (� � �)] 

2 

cos � · cos � = 1 [cos (� – �) � cos (� � �)] 

2 

sin � · cos � = 1 [ sin (� – �) � sin (� � �)] 

2 

tanα+ tan β tanα−tan β 

tanα⋅ tan β = =− 

cot α+ cot β cot α−cot β 

cot α+ cot β cot α−cot β 

cot α⋅ cot β = =− 

tanα+ tan β tanα−tan β 

2 1 sin α = (1− cos2 α) 2 

2 1 cos α = (1+ cos2 α) 

2 

3 1 sin α = (3sinα− sin3 α) 4 

3 1 cos α = (cos3α+ 3cos α) 

4 

4 1 sin α = (cos4α− 4cos2 α+ 3) 8 

4 1 cos α = (cos4 α+ 4cos2 α+ 

3) 

8

Funktionen dreier Winkel 

α β γ ⎫ 

sinα+ sin β+ sin γ = 4cos cos cos ⎪ 

2 2 2 ⎪⎪ 

α β γ 

cosα+ cos β+ cos γ = 4sin sin sin + 1 

2 2 2 

⎪ 

tanα+ tan β+ tanγ = tanα⋅tan β⋅tan γ 

⎪ 

⎬ gültig für � � � � � = 180° 

α β γ α β γ ⎪ 

cot + cot + cot = cot ⋅cot ⋅cot 

⎪ 

2 2 2 2 2 2 ⎪ 

sin2α 2 + sin β 2 + sin γ = 2(cosαcos βcos γ + 1) ⎪ 

⎪ 

sin 2 α+ sin 2 β+ sin 2 γ = 4 sinαsin β sin γ ⎪⎭ 

1.20 Arcusfunktionen 

Die Arcusfunktionen sind invers zu den Kreisfunktionen. 

Invers zur 

Kreisfunktion 

y = sin x 

y = cos x 

y = tan x 

y = cot x 

ist die 

Arcusfunktion 

y = arcsin x 

y = arccos x 

y = arctan x 

y = arccot x 

mit der Definition 

(y in Radiant) 

x = sin y 

x = cos y 

x = tan y 

x = cot y 

Hauptwert der 

Arcusfunktion im 

Bereich 

−π 

2 

� y � π 

2 

0 � y � �� 

−π 

� y � 

2 

π 

2 

0 � y �� 

Mathematik 

Arcusfunktionen 

Definitionsbereich 

– 1 � x � 1 

– 1 � x � 1 

– ��x �� 

– ��x �� 

Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für 

positive Werte von x) 

π 

=− − = − = − 2 

⎡ 2 

x 1− 

x 

⎤ 

arcsin x arcsin( x) arccos x [arccos 1 x ] = arctan = ⎢arccot ⎥ 

2 

1− 

x2 

⎢⎣ x ⎥⎦ 

π 

= π − − =− − = − 2 

⎡ 

1− 

x2⎤ x 

arccos x arccos( x) arcsin x [arcsin 1 x ] = ⎢arctan ⎥= arccot 

2 

⎢⎣ x ⎥⎦ 1− 

x 

Beispiel: Der Kosinus eines Winkels x beträgt: cos x = 0,88. 

Lässt sich der Winkel x nur mit der Arcus-Tangensfunktion berechnen (z.B. auf dem PC) gilt: 

⎛ 

− 

⎞ 

⎜ 1 0,882 

x = arctan 

⎟ 

⎜ ⎟ 

= 29,36° 

⎝ 0,88 ⎠ 

Beziehungen zwischen den Arcusfunktionen (Formeln in eckigen Klammern gelten nur für 

positive Werte von x) 

π 

x 

arctan x =−arctan( − x) = − arccot x = arcsin 

2 1 x =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 

⎢ ⎥= ⎢⎣ ⎥ 

⎣ + ⎦ 

⎦ 

2 

1 1 

arccos arccot 

1 x 

x 

π 

⎡ 1 ⎤ x ⎡ 1⎤ 

arccot x = π −arccot( − x) = − arctanx = ⎢arcsin ⎥= arccos = ⎢arctan 2 ⎣ 

⎥ 

⎣ 1+ x2 ⎦ 1+ 

x2 

x ⎦ 

+ 2 

2 

23 

1

1 

24 

Mathematik 

Arcusfunktionen 

Additionstheoreme und 

andere Beziehungen 

2 2 

arcsin x+ arcsiny 

= arcsin( x 1− y + y 1 −x 

) 

=π−arcsin( x 1− y + y 1 −x 

) 

[xy� 0 oder x 2 � y 2 � 1] 

2 2 

[x � 0, y � 0 und x 2 � y 2 � 1] 

2 2 

= – π −arcsin( x 1− y + y 1 −x 

) 

arcsin x−arcsiny = arcsin( x 1−y −y 1 −x 

) 

[x � 0, y � 0 und x 2 � y 2 � 1] 

2 2 

[xy� 0 oder x 2 � y 2 � 1] 

2 2 

=π−arcsin( x 1−y −y 1 −x 

) 

[x � 0, y < 0 und x 2 � y 2 � 1] 

2 2 

= −π−arcsin( x 1−y −y 1 −x 

) 

[x � 0, y > 0 und x 2 � y 2 � 1] 

2 2 

arccos x+ arccosy = arccos( xy − 1−x 1 −y 

) [x + y � 0] 

2 2 

= 2π −arccos( xy− 1−x1 −y 

) [x�y� 0] 

2 2 

arccos x−arccosy = − arccos( xy+ 1−x1 −y 

) [x�y] arctan x+ arctany 

= 

arctan x−arctany = 

2 2 

= arccos( xy+ 1−x1 −y 

) 

[x�y] x+ y 

arctan 

1− 

xy 

x+ y 

= π + arctan 

1− 

xy 

x+ y 

= − π + arctan 

1− 

xy 

x−y arctan 

1+ 

xy 

x−y = π + arctan 

1+ 

xy 

x−y = − π + arctan 

1+ 

xy 

2 arcsin x = − 2 

arcsin(2 x 1 x ) 

= π − − 2 


= −π− − 2 


[x y � 1] 

[x � 0, x y � 1] 

[x � 0, x y �1] 

[x y � –1] 

[x � 0, x y � –1] 

[x � 0, x y � –1] 

⎡ 1 ⎤ 

⎢| x | ∑ 

⎣ 

⎥ 

2 ⎦ 

⎡ 1 ⎤ 

⎢ < x ∑ 1 

⎣ 

⎥ 

2 ⎦ 

⎡ 1 ⎤ 

⎢− 1 ∑ x

1.21 Hyperbelfunktionen 

Definitionen 

Grundbeziehungen 


den Hyperbelfunktionen 

(vgl. die entsprechenden 

Formeln der trigonometrischen 

Funktionen) 

Additionstheoreme und 

andere Beziehungen 

� für x � 0 

– für x � 0 

− − 

ex − e x ex + e x 

sinh x = ; coshx= 

2 2 

tanh x = 

Mathematik 

Hyperbelfunktionen 

x −x 2x x −x 

2x 

e −e e − 1 e + e e + 1 

= ; cothx= 

= 

x −x 2x x −x 

2x 

e + e e + 1 e −e e −1 

cosh2x− sinh2x = 1 sinh x cosh x 

tanh x = ; coth x = 

tanh x⋅ coth x = 1 coshx sinh x 

sinh x = cosh2 x− 

1= 

tanh x 

1−tanh2x = 

1 

coth2x−1 cosh x = sinh2 x+ 

1 = 

1 

1−tanh2x = 

cothx 

coth2x−1 sinh x cosh2 x−11 

tanh x = = = 

sinh2 x + 1 cosh x coth x 

sinh2 x+ 1 cosh x 1 

coth x = = = 

sinh x cosh2 x −1 

tanh x 

Für negative x gilt: 

sinh (– x) = – sinh x tanh (– x) = – tanh x 

cosh (– x) = cosh x coth (– x) = – coth x 

sinh (x � y) = sinh x · cosh y � cosh x · sinh y 

cosh (x � y) = cosh x · cosh y � sinh x · sinh y 

tanh x± tanhy 1± coth x⋅cothy tanh (x � y) = 

; coth( x± y) 

= 

1± tanh x⋅ tanhy coth x± cothy 

sinh 2 x = 2sinhx⋅ cosh x 

2 tanhx 

tanh 2 x = 

2 1+ tanh x 

2 2 

cosh 2 x = sinh x+ cosh x 

2 1+ coth x 

coth 2 x = 

2cothx 

n 

(cosh x± sinh x) = cosh nx± sinh nx 

x cosh x−1x cosh x−1sinh x 

sinh =± ; tanh = = 

2 2 2 sinhx coshx+ 1 

x cosh x+ 1 x sinhx cosh x+ 

1 

cosh = ; coth = = 

2 2 2 cosh x−1sinh x 

sinh x � sinh y = 2 sinh 1 

1 

(x � y) cosh (x � y) 

2 2 

cosh x � cosh y = 2 cosh 1 

1 

(x � y) cosh (x – y) 

2 2 

cosh x – cosh y = 2 sinh 1 

1 

(x � y) sinh (x – y) 

2 2 

sinh( x± y) 

tanhx± tanhy 

= 

cosh xcoshy 25 

1

1 

26 

Mathematik 

Analytische Geometrie: Punkte in der Ebene 

1.22 Areafunktionen 


den Areafunktionen 

+ für x � 0 

– für x � 0 

Für negative x gilt 

Additionstheoreme 

1.23 Analytische Geometrie: 

Punkte in 

der Ebene 

Entfernung zweier Punkte 

Koordinaten des 

Mittelpunktes einer 

Strecke 

Teilungsverhältnis � 

einer Strecke 

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. 

Invers zur 

Hyperbelfunktion 

ist die Areafunktion 

mit der 

Definition 

Grenzen der 

Funktion 

Definitionsbereich 

y = sinh x y = arsinh x = In (x � + 

2 

x 1 ) x = sinh y – ��y �� – ��x �� 

y = cosh x y = arcosh x = In (x � − 

2 

x 1) x = cosh y – ��y �� 1 � x �� 

1 1+ 

x 

y = tanh x y = artanh x = 2 ln 

1− 

x 

1 x + 1 

y = coth x y = arcoth x = 2 ln 

x −1 

x = tanh y – ��y �� – 1 � x�� 1 

x = coth y – ��y �� – 1 � x � 1 

2 + 

arsinh x = ± 2 

x x 1 

arcosh x + 1 = artanh = arcoth 

x2 

+ 1 

x 

− 

arcosh x = ± 2 

x 1 

x 

arsinh x − 1 =± artanh =± arcoth 

x x2 

−1 

artanh x = arsinh 

x 

=± arcosh 

2 1−x 1 1 

= arcoth 

2 1−x 

x 

arcoth x = arsinh 

1 

=± arcosh 

2 x −1 x 

1 

= artanh 

2 x −1 

x 

arsinh (– x) = – arsinh x artanh (– x) = – artanh x 

arcosh (– x) = arcosh x arcoth (– x) = – arcoth x 

2 2 

arsinh x � arsinh y = arsinh ( x 1+ y ± y 1 + x ) 

2 2 

arcosh x � arcosh y = arcosh ( xy± ( x −1)( y −1) 

artanh x � artanh y = artanh ± x y 

1± 

xy 

2 2 

2 1 2 1 

e = ( x − x ) + ( y −y 

) 

x m = 

� = 

x + x y −y 

; ym 

= 

2 2 

1 2 2 1 

x−x1 y −y1 

m P1P = = = 

x −x y −y 

n PP 

2 2 2 

(�) innerhalb, (–) außerhalb P P 

1 2 

2

Koordinaten des 

Teilungspunktes P 

einer Strecke 


eines Dreiecks 

Schwerpunkt S 

eines Dreiecks 

(Koordinaten von S) 

1.24 Analytische 

Geometrie: Gerade 

Normalform der Geraden 

Achsenabschnittsform 

der Geraden 

Punkt-Steigungsform 

der Geraden 

Zweipunkteform der 

Geraden 

Steigung m und 

Steigungswinkel � 

Hesse'sche 

Normalform 

Senkrechter Abstand d 

eines Punktes P 1 von 

einer Geraden 

Allgemeine Linearform 

der Geradengleichung 

Schnittpunkt s 

zweier Geraden 

x p = 

y p = 

A = 

x s = 

mx + nx x + λx 

= 

m+ n 1+ 

λ 

2 1 1 2 

my + ny y + λy 

= 

m+ n 1+ 

λ 

2 1 1 2 

x1( y2 − y3) + x2( y3 − y1) + x3( y1−y2) 2 

x + x + x y + y + y 

; ys 

= 

3 3 

1 2 3 1 2 3 

y = m x � n n ist Ordinatenabschnitt 

x y 

+ =1 

a b 

y − y 

m = tanϕ 

= 

x−x y −y y −y 

= 

x−x x −x 

1 2 1 

1 2 1 

a Abschnitt auf der x-Achse 

b Abschnitt auf der y-Achse 

y2 − y1 ∆y 

m = = tanϕ 

= 

x − x ∆x 

2 1 

x cos � � y sin � – p = 0 

d = x 1 cos � � y 1 sin � – p 

(�) wenn P und 0 auf verschiedenen 

Seiten der Geraden liegen; sonst (–) 

1 

1 

A x � B y � C = 0 

Bei A = 0 ist die Gerade parallel zur x-Achse, 

bei B = 0 parallel zur y-Achse, 

bei C = 0 geht die Gerade durch 0. 

BC 1 1 AB 1 1 CA 1 1 AB 1 1 

xs = : ys 

= : 

B2C2 A2B2 C2A2 A2B2 Mathematik 

Analytische Geometrie: Gerade 

27 

1

1 

28 

Mathematik 

Analytische Geometrie: Lage einer Geraden im rechtwinkligen Achsenkreuz 

Sonderfälle 

Schnittpunkt s zweier 

Geraden, die in Normalform 

gegeben sind 

Sonderfall 

Schnittwinkel � zweier 

Geraden 

Sonderfälle 

Winkelhalbierende w 1, w 2 

zweier Geraden g 1, g 2 


Geometrie: Lage 

einer Geraden im 

rechtwinkligen 

Achsenkreuz 

AB 1 1 

bei = 0 

A B 

2 2 

sind die gegebenen Geraden parallel, 

A1 B1 C1 

bei = = fallen sie zusammen. 

A2 B2 C2 

gegeben: y1 = m1x � n1; y2 = m2x � n2 n1− n2 xs = ; 

m2 − m1 ys 

= 

n1m2− n2m1 m2 − m1 

Die dritte Gerade geht durch den Schnittpunkt der beiden ersten 

Geraden, wenn 

A1BC 1 1 

A2B2C2 A3B3C3 = 0 ist. 

m2 � m 

tan� 

� 1 

1 � mm 1 2 

A1B2 − A2B1 tanϕ 

= 

A1A2 − B1B2 y = m 1 x � n 1 

y = m 2 x � n 1 

A 1 x � B 1 y � C 1 = 0 

A 2 x � B 2 y � C 2 = 0 

Schnittwinkel � wird beim Drehen der Geraden g1 in der Lage von g2 überstrichen (im entgegengesetzten Sinn des Uhrzeigers). 

A1 A2 

bei m2 = m1 bzw. = sind Gerade parallel, 

B1 B2 1 A B 

bei m2 = − bzw. = − 

m B A 

1 2 

stehen sie rechtwinklig aufeinander 

1 1 2 

Sind g 1 H und g 2 H die Hesse'schen Normalformen der Geraden, 

so wird w 1,2 = g 1 H � g 2 H. 

w 1, w 2 sind die Gleichungen für die Winkelhalbierenden. 

Zur Kontrolle der Rechnungen nach 1.25 wird die Gleichung der 

Geraden auf die Form A x � B y � C = 0 gebracht, die Konstanten A, B 

und C bestimmt und die Lage der Geraden der folgenden Tabelle 

entnommen. Gleichungen mit positiver Konstante C müssen vorher 

mit (– 1) multipliziert werden. 

Vorzeichen der 

Konstanten 

A B C 

�� – A � B 

A = B 

A � B 

– �� – |A| � B 

|A| = B 

|A| � B 

– – – |A| � |B| 

A = B 

|A| � |B| 

+ – – A � |B| 

A = |B| 

A � |B| 

Lage der Geraden 

Beziehung zwischen 

Konstanten A und B Steigungswinkel � mit 

positiver x-Achse 

90º � � � 135º 

135º 

135º � � � 180º 

0º � � � 45º 

45º 

45º � � � 90º 

90º � � � 135º 

135º 

135º � � � 180º 

0º � � � 45º 

45º 

45º � � � 90º 

Lage zum 

Koordinatenursprung 

rechts oberhalb 

links oberhalb 

links unterhalb 

rechts unterhalb

Konstante 

Gleichung 

Lage der Geraden 


Geometrie: Kreis 

Kreisgleichung 

(Mittelpunkt M liegt im 

Nullpunkt) 

in Parameterform 

Kreisgleichung für 

beliebige Lage von 

M (h; k) 

Scheitelgleichung 

(M liegt auf x-Achse, Kreis 

geht durch Nullpunkt) 

Schnitt von Kreis 

und Gerade 

Abszissen der Geradenschnittpunkte 

Tangentengleichung 

für Berührungspunkt 

P 1(x 1; y 1) 

Normalengleichung 

Mathematik 

Analytische Geometrie: Kreis 

Beispiel: Gegeben ist eine Gerade mit 16x – 11y � 6 = 0; mit (– 1) multipliziert: 

– 16x � 11y – 6 = 0; also ist A = – 16, B = � 11 und C = – 6, d.h. |A| � β. Nach 

der Tabelle liegt die Gerade links oberhalb des Koordinatenursprungs mit 

Steigungswinkel � zwischen 45° und 90° (� � 56,4°). 

Zusammenfassung der Sonderfälle 

A = 0 1) B = 0 1) C = 0 A = 0; C = 0 B = 0; C = 0 

C 

y �� 

B 

Parallele zur 

x- Achse im 

Abstand 

– C/B 

C 

x �� 

A 

Parallele zur 

y-Achse im 

Abstand 

– C/A 

1) Bei A = 0 und B = 0 unendlich ferne Gerade. 

x 2 � y 2 = r 2 

x = h � r cos � ; y = k � r sin � 

(x – h) 2 � (y – k) 2 = r 2 

y 2 = x (2r – x) 

A 

y �� x y = 0 x = 0 

B 

Gerade durch Gerade fällt zusammen 

den Koordinatenursprung 

mit x-Achse mit y-Achse 

Kreis x 2 � y 2 = r 2 wird von der Geraden y = m x � n geschnitten, 

wenn Diskriminante � = r 2 (1 � m 2 ) – n 2 � 0 ist. 

Bei r 2 (1 � m 2 ) – n 2 = 0 ist die Gerade eine Tangente. 

1 

2 2 2 

x1,2 = [ − mn± r (1 + m ) − n ] 

1+ 

m 2 

x 1 x � y 1 y = r 2 

(x 1 – h) (x – h) � (y 1 – k) (y – k) = r 2 

y y − k k − y 

y = x; 

= 

x x− h h− y 

1 1 

1 1 

Für den Kreis mit: 

x 2 � y 2 = r 2 

(x – h) 2 � (y – k) 2 = r 2 

29 

1

1 

30 

Mathematik 

Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel 


Parabel 

x-Achse ist 

Symmetrieachse 

y-Achse ist 

Symmetrieachse 

Halbparameter p 

Tangentengleichungen 

für Berührungspunkt 

P 1 (x 1; y 1) 

Normalengleichung 

Krümmungsradius 

r in P (x 1; y 1) 

Krümmungsradius 

im Scheitel 

Schnitt der Parabel 

y 2 = 2 p x mit der Geraden 

y = m x � n ergibt 


Ellipse und 

Hyperbel 

Grundeigenschaft der 

Ellipse: P F 1 � P F 2 = 2 a 

der Hyperbel: 

P F 2 – P F 1 = 2 a 

F 1, F 2 Brennpunkte, 

r 1, r 2 Brennstrahlen, 

a große, b kleine 

Halbachse, 

S 1, S 2 Hauptscheitel, 

' ' S1, 

S 2 Nebenscheitel 

Scheitelgleichungen und Lage der Parabel 

Scheitel S Lage der Parabel bei 

im Nullpunkt beliebig p � 0 p � 0 

y 2 = 2 px (y – k) 2 = 2 p (x – h) 

x 2 = 2 p y (x – h) 2 = 2 p (y – k) 

nach rechts 

geöffnet 

nach oben 

geöffnet 

nach links 

geöffnet 

nach unten 

geöffnet 

k; h sind Koordinaten des Scheitels S (siehe Kreis und Ellipse) 

Entfernung des Brennpunkts F von der Leitlinie l (Strecke FL) 

yy 1 = p (x � x 1) für Scheitelgleichung 

y 2 = 2 p x 

xx 1 = p (y � y 1) für Scheitelgleichung 

x 2 = 2 p y 

(y – k) (y 1 – k) = p (x � x 1 – 2 h) für Scheitelgleichung 

(y – k) 2 = 2 p (x – h) 

(x – h) (x 1 – h) = p (y � y 1 – 2 k) für Scheitelgleichung 

(x – h) 2 = 2 p (y – k) 

p (y – y 1) � y 1 (x – x 1) = 0 

( p � 2 x 

r = 1) 

p 

r s = p 

3/2 

zwei reelle Schnittpunkte für p � 2 m n, 

eine Tangente für p = 2 m n, 

keinen reellen Schnittpunkt für p � 2 m n. 

Ellipse Hyperbel

Mittelpunktsgleichung 

(M liegt im Nullpunkt) 

in Parameterform 

für beliebige Lage von 

M (h; k) 

lineare Exzentrizität e 

numerische 

Exzentrizität � 

Länge des Lotes p 

in den Brennpunkten 

Scheitelgleichung 

Polargleichung 

(Mittelpunkt ist Pol) 

Brennstrahlenlänge 

r 1, r 2 

Tangentengleichung für 

M (0; 0) 

Normalengleichung für 

M (0; 0) 

Scheitelradien r a, r b, r s 

Radius r 

des Krümmungskreises 

im Punkt (x 1; y 1) 

Ellipsenumfang U 

(Näherung) 

Flächeninhalt A 

Steigungswinkel � 

der Asymptoten aus 

Mathematik 

Analytische Geometrie: Ellipse und Hyperbel 

Ellipse Hyperbel 

2 2 

2 2 

x y 

x y 

+ = 1 − = 1 

2 2 

2 2 

a b a b 

x = a cos �; y = b sin � x = a cosh �; y = b sinh � 

2 2 

( x−h) ( y −k) 

+ = 1 

2 2 

a b 

2 2 

( x−h) ( y −k) 

− = 1 

2 2 

a b 

2 2 

2 2 

e = a − b e = a + b 

e 

� = < 1 

a 

p = 

2 

b 

a 

p 

y = 2 px− x 

a 

2 2 

r 1 = F 1 P = a – � x 

r 2 = F 2 P = a � � x 

xx1 yy1 

+ = 1 

a2 b2 

x−x y −y 

= 

xb2 ya2 

1 1 

1 1 

2 2 

a b 

ra = ; rb 

= 

b a 

⎛ 2 2⎞ 

r = 2 2⎜ 

x1 y1 

a b + ⎟ 

⎜ 4 4 ⎟ 

⎝a b ⎠ 

e 

� = > 1 

a 

p = 

2 

b 

a 

2 p 

y = 2 px+ x2 

a 

p 

r = 

1−εcosϕ 3/2 

U ≈ π [1,5( a+ b) − ab] 

A = � a b 

r 1 = F 1 P = � (� x – a) 

r 2 = F 2 P = � (� x � a) 

xx1 yy1 

− = 1 

a2 b2 

x−x y −y 

=− 

xb2 ya2 

r s = 

1 1 

1 1 

2 

b 

a 

⎛ 2 2⎞ 

r = 2 2⎜ 

x1 y1 

a b + ⎟ 

⎜ 4 4 ⎟ 

⎝a b ⎠ 

tan � = m = ± b 

a 

Die gleichseitige Hyperbel hat gleiche Achsen: a = b; ihre Gleichung 

lautet: x 2 – y 2 = a 2 ; ihre Asymptoten stehen rechtwinklig aufeinander; 

sind die Koordinatenachsen die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel, 

so gilt x y = a 2 /2 als deren Gleichung. 

3/2 

31 

1

1 

32 

Mathematik 

Reihen 

1.29 Reihen 

Definition 

allgemeine Form 

(s Summe) 

Schlussglied z 

Anfangsglied a 

Differenz d 

Anzahl der Glieder n 

Summe s von n Gliedern 

der Reihe 

Definition 

allgemeine Form 

(s Summe) 

Schlussglied z 

Summe s von n Gliedern 

der Reihe 

Quotient a 

(Stufensprung) 

Arithmetische Reihen 

In einer arithmetischen Reihe a 1 � a 2 � ... a n ist die Differenz d zweier 

aufeinander folgender Glieder konstant; jedes Glied ist arithmetisches 

Mittel seiner beiden Nachbarglieder: 

a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = ... a n – a n– 1 = d 

s = a � (a � d) � (a � 2 d) � ...� [a � (n – 2) d] � [a � (n – 1) d] 

z = a � (n – 1) d 

a = z – (n – 1) d 

d = 

z � a 

n � 1 

z �a �d z �a 

n = � �1 

d d 

n 

s = ( a+ z) = an+ 2 

n( n− 1) ⋅ d 

= 

2 

n 

(2 a+ nd − d) 

2 

n a � z z �a �d 

s = (2 z �nd �d) � � 

2 2 d 

Geometrische Reihen 

n = 4 Glieder 

Schema einer 

arithmetischen Stufung 

In einer geometrischen Reihe a1 � a2 ��... � an ist der Quotient q 

zweier aufeinander folgender Glieder konstant; jedes Glied ist geometrisches 

Mittel seiner beiden Nachbarglieder: 

a2 a3 

an 

= = ... = = q 

a a a 

1 2 n−1 s = a � aq� aq2 � aq3 � aq4 � ... 

� a q n – 2 � aqn – 1 

n z = a q – 1 

n 

s = 1�q 

a �qz 

a � (für q � 1) 

1�q 1�q 

n 

q �1qz �a 

s = a � (für q � 1) 

q �1 q �1 

q = 

− 1 n 

z 

a 

n = 6 Glieder 

Schema einer 

geometrischen Stufung

1.30 Potenzreihen 

Funktion Potenzreihe 

Mathematik 

Potenzreihen 

Konvergenzbereich 

(1 � x) n ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ 2 3 

= 1 ± ⎜ ⎟x+ ⎜ ⎟x ± ⎜ ⎟x 

+± ... (n beliebig) |x| � 1 

⎝1⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ (1 � x) 1/2 1 1⋅1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

= ± − 2 1 1 3 

± 3 1 1 3 5 

1 x x x − x 4 ±−... 

2 2⋅4 2⋅4⋅6 2⋅4⋅6⋅8 1 1 

= ± − 2 1 

± 3 5 

1 x x x − x4 

±−... 

2 8 16 128 

|x| � 1 

(1 � x) 1/3 1 1⋅2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

= ± − 2 1 2 5 

± 3 1 2 5 8 

1 x x x − x 4±−... 

3 3⋅6 3⋅6⋅9 3⋅6⋅9⋅12 1 1 

= ± − 2 5 

± 3 10 

1 x x x − x4±−... 

3 9 81 243 

|x| � 1 

(1 � x) 1/4 1 3 

= ± − 2 7 

± 3 77 

− 4 231 

1 x x x x ± x 5 −± ... 

4 32 128 2048 8192 

|x| � 1 

1 

(1 ± ) n 

n n( n+ 1) + + 

= � + 2 n( n 1)( n 2) 

1 x x � x 3+ 

�... 

x 1 1⋅2 1⋅2⋅3 |x| � 1 

± 1/ 2 

1 1 1⋅3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

= � + 2 1 3 5 

� 3 1 3 5 7 

1 x x x + x 4 �+ 

... 

|x| � 1 

(1 x) 

2 2⋅4 2⋅4⋅6 2⋅4⋅6⋅8 ± 1/ 3 

1 1 1⋅4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

= � + 2 1 4 7 

� 3 1 4 7 10 

1 x x x + x 4 �+ 

... 

|x| � 1 

(1 x) 

3 3⋅6 3⋅6⋅9 3⋅6⋅9⋅12 ± 1/ 4 

1 1 1⋅5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

= � + 2 1 5 9 

� 3 1 5 9 13 

1 x x x + x 4 �+ 

... 

|x| � 1 

(1 x) 

4 4⋅8 4⋅8⋅12 4⋅8⋅12⋅16 1 

(1 ± x ) 

± 2 

1 

(1 x) 

± 3 

1 

(1 x) 

2 3 4 

= 1 � x+ x � x + x �+ 

... 

|x| � 1 

2 3 4 

= 1� 2x+ 3x � 4x + 5 x �+ 

... 

|x| � 1 

1 

= 1 � (2⋅3x �3⋅ 4x2+ 4⋅5x3 � 5⋅ 6 x 4 + �... 

) |x| � 1 

2 

2 3 4 

a x x 

= + + 2 x 

+ 3 x 

1 ln (ln ) (ln ) + (ln ) 4 x 

a a a a + ... 

|x| � �� 

1! 2! 3! 4! 

2 3 4 

e x x x x x 

= 1 + + + + + ...; daraus e: 

1! 2! 3! 4! 

e 

|x| � �� 

1 1 1 1 

= 1 + + + + ... = 2,718281828459 

1! 2! 3! 

2 3 4 

e –x x x x x 

= 1 − + − + −+ ...; 

1! 2! 3! 4! 

1 1 1 1 

1 − + − + −+ ... = 0,367879441 

1! 2! 3! 4! 

e i x x x x x x 

= cos x+ i sin x = 1+ i − − i + + i −−++ ... 

1! 2! 3! 4! 5! 

daraus e –1 : |x| � �� 

2 3 4 5 

2 3 4 

e – i x x x x x 

= cos x− i sin x = 1−i − + i + −−++ ... 

1! 2! 3! 4! 

Formeln 

von Euler 

33 

1

1 

34 

Mathematik 

Potenzreihen 

Funktion Potenzreihe 

ln (1 � x) = 2 3 4 

Konvergenzbereich 

1 1 1 

x � x � x � x � � ... 

– 1 � x � 1 

2 3 4 

1 2 1 3 1 4 

ln (1 – x) = – x � x � x � x � � ... 

– 1 � x � 1 

2 3 4 

1 � x 

ln 

1 � x 

x � 1 

ln 

x 1 

1 1 1 

� 

= 2 3 5 7 � 

�x � x � x � x �... 

3 5 7 

� 

� � 

1 1 1 

� = � �1 � 2 3 �5 � 

x x x x 7 � 

� � � � �... 

3 5 7 

� 

� � 

⎡ 3 5 7 

x−1 1⎛x−1⎞ 1⎛x−1⎞ 1⎛x−1⎞ ⎤ 

ln x = 2 ⎢ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... ⎥ 

⎣⎢x+ 1 3⎝x+ 1⎠ 5⎝x+ 1⎠ 7⎝x+ 1⎠ 

⎦⎥ 

� 3 5 

x 1� x � 1� 

x � � 

ln (a �x) = lna � 2 � � � � � � � �... 

� 

�2a � x 3�2a � x� 5�2a � x� 

� 

� � 

1 1 

ln 2 = + + 

2 2 2⋅ 2 

1 

+ 

3 3⋅ 2 

1 

+ ... = 

4 4⋅ 2 

0,693147180 

2 

ln 3 = 1 + + 

3⋅ 23 2 

+ 

5⋅ 25 2 

+ ... = 1,098612288 

7⋅ 27 

|x| � 1 

|x| � 1 

x � 0 

a � 0; x > – a 

x x3 x5 x7 x9 x11 

sin x = � � � � � � � ... 

|x| � � 

1! 3! 5! 7! 9! 11! 

x2 x4 x6 x8 x10 

cos x = 1 − + − + − +− ... 

2! 4! 6! 8! 10! 

|x| � � 

x3 2x5 17x7 62x9 

tan x = x � � � � �... 

3 3�5 32 �5�7 32 �5�7�9 |x| ��/2 

3 5 7 

1 x x 2x 

x 

cot x = − − − − −... 

x 3 2 3 3 2 

3 ⋅5 3 ⋅5⋅7 3 ⋅5 ⋅7 

1 1 1 

sin 1 = 1 − + − + − ... = 0,841470984 

3! 5! 7! 

1 1 1 

cos 1 = 1 − + − + − ... = 0,540302305 

2! 4! 6! 

x3 13 � x5 13 � �5x7 

arcsin x = x � � � �... 

2�3 2�4�5 2�4�6�7 0 � |x| �� 

|x| � 1 

� 

arccos x = � arcsin x 

|x| � 1 

2 

x3 x5 x7 x9 

arctan x = x � � � � � � ... 

|x| � 1 

3 5 7 9 

� 

arccot x = � arctan x 

|x| � 1 

2 

x3 x5 x7 

sinh x = x � � � � ... 

|x| � � 

3! 5! 7! 

x2 x4 x6 

cosh x = 1 � � � � ... 

|x| � � 

2! 4! 6! 

sinh 1 = 1,175 201 193; cosh 1 = 1,543 080 634

1.31 Differenzialrechnung: Grundregeln 

Mathematik 

Differenzialrechnung: Grundregeln 

Funktion Ableitung Beispiele 

Funktion mit 

konstantem Faktor 

y = a f (x) y' = a f' (x) 

Potenzfunktion: 

y = x n y' = nxn–1 y = x = 

y = 3 x 2 y' = 6 x 

y = – 3 x 4 y' = – 12 x 3 

1 

x 2 ; y' = 1 

2 x 

Konstante y = a y' = 0 y = 50 y' = 0 

Summe 

oder Differenz 

y = u (x) � v(x) y' = u' (x) � v' (x) y = x � x 3 y' = 1 � 3 x 2 

y = 5 – 2 x � x 2 

y' = – 2 + 2 x = 2 (x – 1) 

Produktregel: 

y = u (x) · v(x) y' = u' v � uv' y = sin x · cos x 

y' = sin (x) · (– sin x) � cos x · cos x 

= cos 2 x 

bei mehr als zwei 

Faktoren: 

y = u · v · w · z = f(x) y' = u' v w z � uv'w z � 

� uvw'z� uvw z' 

Quotientenregel: 

ux ( ) 

y = 

v( x) 

Kettenregel: 

y = f [u (x)] 

u' v −uv' 

y' = 

2 v 

y' = f' (u) · u' (x) = 

dy du 

= ⋅ 

du dx 

Umkehrfunktion: 

dy1 x = � (y) y' = = 

d x ϕ'( 

y) 

logarithmische 

Regel 

Erst logarithmieren, dann 

nach der Kettenregel 

differenzieren 

y = ex arcsin x x4 y' = 4 1 

exarcsin xx + ex x4 

� 

1− 

x2 

� ex arcsin x 4 x3 ⎛ ⎞ 

y' = x 3 

x 

e x ⎜ ⎜xarcsin x+ + 4arcsin x ⎟ 

⎝ 1− 

x2 

⎠ 

y = + 

=− 

− − 2 

x 1 2 

y' 

x 1 ( x 1) 

y = cos (3x � 5), also u = 3 x � 5 

und damit 

y' = – sin (3 x � 5) · 3 = – 3 sin x (3 x � 5) 

y = tan x x = arctan y 

1 

�' (y) = 

1+ tan 

1 

= 

x 1+ 

y 

2 2 

y' = = + 2 1 

1 y 

ϕ'y 

( ) 

y = (2 x) sin x 

ln y = ln (2 x) sin x = sin x · ln (2 x) 

1 1 

⋅ y' = sin x ⋅ ⋅ 2 + ln(2 x) ⋅cos 

x 

y 2 x 

⎡ ⎤ 

y' = sin x sin x 

(2 x) ⎢ + cosx⋅ln(2 x) 

⎣ x 

⎥⎦ 

35 

1

1 

36 

Mathematik 

Integrationsregeln 

Funktion Ableitung Beispiele 

implizites 

Differenzieren 

Die Funktion wird nicht 

nach einer 

Veränderlichen 

x 

aufgelöst, sondern 

implizit gliedweise 

differenziert 

2 � y2 = r 2 

2 x � 2 y · y' = 0 

y' = −x 

y 

1.32 Differenzialrechnung: Ableitungen elementarer Funktionen 

da 

= 0 ( a = konst) 

dx 

dx 

n 

= nxn−1 

dx 

d( mx+ a) 

= m 

dx 

daxn 

= naxn−1 

dx 

d x 1 

= 

dx 2 x 

d(1/ x) 

1 

=− 

dx 

2 x 

d ex 

= ex 

dx 

d ax 

= axlna dx 

dlnx 1 

= 

dx 

x 

dalogx 1 

= 

dx xlna 1.33 Integrationsregeln 

Konstantenregel 

dsinx 

= cos x 

dx 

dcosx 

=−sin 

x 

dx 

dtanx 1 

= 

dx 2 cos x 

= 1 � tan2 x 

dcotx 1 

d sin 

Ein Faktor k beim Integranden f(x) dx kann vor 

das Integral gezogen werden: 

∫k⋅ f( x)d x = k∫f( x)dx Summenregel 

x 

=− 

2 x 

= – 1 – cot2 x 

d arcsin x 

= 

dx 1 

1− 

x2 

darccosx =− 

dx 1 

2 1− 

x 

darctanx 1 

= 

dx 1+ 

x2 

d arccot x 1 

=− 

dx 1+ 

x2 

dsinhx 

= cosh x 

dx 

dcoshx 

= sinh x 

dx 

d tanh x 1 

= 

dx 2 cosh x 

= 1 – tanh2 x 

dcothx 1 

=− 

dx 2 sinh x 

� 1 – coth2 x 

darsinhx 1 

= 

dx 2 x + 1 

darcoshx 1 

= 

dx 2 x −1 

d artanh x 1 

= 

dx 2 1− 

x 

darcothx 1 

= 

dx 2 1− 

x 

⎡ 3 ⎤ 

⋅ 2 = ⋅ 2 x 

7 x dx 7 x dx = 7⎢ ⎥+ 

C 

⎣ 3 ⎦ 

∫ ∫ 

Eine Summe wird gliedweise integriert: 

∫[ ux ( ) + vx ( )]dx 

= ∫ux ( )d x+ ∫vx 

( )dx 

∫(1 + + 2+ 3 x2 x3 x4 

x x x )d x = x 

+ + + 

2 3 4

Einsetzregel (Substitutionsmethode) 

1. Form: In den Integranden wird eine Funktion 

z(x) so eingeführt, dass deren Ableitung z' als 

Faktor von dx auftritt: 

∫fx ( )d x = ∫ϕ( 

z) ⋅z'⋅ dx 

= ∫ ϕ ( z)dz 2. Form: Eine neue Funktion z einführen; aus 

der Substitutionsgleichung dx berechnen und 

alles unter dem Integral einführen: 

Sonderregeln 

Ist der Zähler eines Integranden die Ableitung 

des Nenners, so ist das Integral gleich dem 

natürlichen Logarithmus des Nenners: 

∫ = 

( ) f' x 

dx ln f( x) 

fx ( ) 

Produktregel (partielle Integration) 

Lässt sich der Integrand als Produkt zweier 

Funktionen f(x) und g(x) darstellen, so kann der 

neue Integrand einfacher zu integrieren sein: 

∫ ∫ 

fxgx ( ) ( )dx = udv = u⋅v −∫v du 

Flächenintegral (bestimmtes Integral) 

∫ 

∫ ∫ 

Mathematik 

Integrationsregeln 

dz 

sin xcos xd x; sin x = z; z' = = cos x 

dx 

sin xcos xdx = z⋅ z'dx = 

∫ ∫ 

z2 sin2x 

= ∫zdz 

= = 

2 2 

1 1 

dx = coszdz = arcsinx 

1− 

x2 

cosz 

2 2 

x = sin z; 1− sin z = 1− x = cosz 

dx = cos z dz; z = arcsin x 

∫ ∫ 

+ = ϕ 

1 

fax ( b)d x 

a 

( z)dz ( ax+ b) = z; dz dz 

= a⇒ dx= 

dx 

a 

∫ 

2ax+ 

b 

dx = ln( ax2+ bx) 

ax2 + bx 

∫ = + 

+ 

1 dx ln( x a) 

x a 

Ist A der Flächeninhalt unter der Kurve y = f(x), begrenzt durch 

die Ordinaten x = a und x = b, so gilt 

b 

b 

A = ∫ fx ( )d x = [ Fx ( ) ] = Fb ( ) −Fa 

( ) 

a 

a 

d.h. das bestimmte Integral f(x) dx stellt den Flächeninhalt unter 

der Kurve y = f(x) bis zur x-Achse im Intervall von a bis b dar 

(a � x � b) 

Integrieren einer Konstanten k 

b 

b 

∫k⋅ d x = [ kx] = k( b−a) a 

Vorzeichenwechsel 

b a 

∫fx ( )d x =−∫fx 

( )dx 

a b 

a 

∫ ∫ 

xcosxdx = x⋅sin x− 1⋅sin xdx = x · sin x � cos x 

⎛u = x; v' = cosx⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝u'= 1; v = sinx 

⎠ 

Vertauschen der Grenzen 

bedeutet Vorzeichenwechsel 

(Integrieren von anderer 

Richtung kommend) 

37 

1

1 

38 

Mathematik 

Lösungen häufig vorkommender Integrale 

Aufspalten des bestimmten Integrals in Teilintegrale 

c b c 

∫fxdx ( ) = ∫fx ( )d x+ ∫fx 

( )dx 

a a b 

Definition des Mittelwertes y m 

Mittelwert y m ist die Höhe des flächengleichen Rechtecks 

gewonnen aus: 

b 

( b− a) ym=∫f( x)dx = ⋅ 

− 

m 

1 

y f( x)dx b a 

a 

b 

∫ 

1.34 Grundintegrale 

∫ 

a 

n+ 

1 

n x 

x dx 

= + C 

n + 1 

n � – 1 

∫ = + ≠ 

dx 

ln x C; x 0 

x 

∫sinx dx =− cos x+ C 

∫cos x dx = sin x+ C 

∫ 2 

dx 

=− cot x+ C 

sin x 

dx 

= tan x+ C 

cos x 

∫ 2 

x 

x a 

∫a dx 

= + C 

lna 

0 � a � 1 

∫exdx = ex + C 

dx 

∫ 2 

1− 

x 

∫ 2 

dx 

1+ 

x 

= arcsin x+ C = 

= – arccos x � C' 

= arctan x+ C = 

= – arccot x � C' 

∫sinhx dx = cosh x+ C 

∫cosh x dx = sinh x+ C 

∫ 2 

dx 

= tanh x+ C 

cosh x 

dx 

=− coth x+ C 

sinh x 

x � 0 

∫ 2 

1.35 Lösungen häufig vorkommender Integrale 

(ohne Integrationskonstante C geschrieben) 

Integrale algebraischer Funktionen 

[ 

∫ 

n+ 

1 

n ( a± bx) 

( a± bx) d x =± ; n ≠−1 

bn ( + 1) 

1 

=± ln a± bx; n =−1 

b 

x dx 

x a 

= − ln a+ bx 

a+ bx b b 

∫ 2 

dx 

∫ 2 

1+ 

x 

∫ 2 

= arsinh x+ C = 

= ln( x+ 1 + x ) + C 

dx 

= arcosh x + C 

x −1 

= ln( x ± x2− 1) + C 

x >1 

dx 

∫ = artanh x+ C 

2 1− 

x 

1 1+ 

x 

= ln + C; x < 1 

2 1−x 

dx 

∫ = arcoth x+ C = 

2 1− 

x 

1 x + 1 

= ln + C; x > 1 

2 x −1 

x dx 1 ⎛ a 

⎞ 

∫ = ⎜ + ln a+ bx⎟ 

2 2 

( a+ bx) b ⎝a+ bx 

⎠ 

∫ 2 2 

dx 1 x 

= arctan 

x + a a a 

2

∫ 2 2 

∫ 

dx 1 x x 

= artanh ; < 1 

a − x a a a 

1 x x 

= arcoth ; > 1 

a a a 

d 1 

= ln( 2 + 1); = 1 

( 2 + 1) 2 n 

x x 

x n 

x 

1 

=− ; > 1 

2( − 1)( 2+ 1) −1 

n 

n 

n x 

dx 2 2ax+ 

b 

∫ = arctan 

ax2 + bx+ c 4ac−b2 4ac−b2 

2 

= − 

2ax+ b 

= 

1 2ax+ b− b −4ac 

ln 

b2− 4ac 2ax+ b+ b2−4ac 2 

Mathematik 


dx 1 bx 

∫ = arctan 

a2+ b2x2 ab a 

dx 1 a+ bx 

∫ = ln 

2 2 2 a − b x 2ab 

a− bx 

Ax+ B A ⎛ ⎞ 

2 

Ab dx 

dx = ln ax + bx+ c + ⎜B− ⎟ 

2 2 

ax + bx+ c 2a ⎝ 2a⎠ 

ax + bx+ c 

∫ ∫ 

dx 1 2ax+ 

b 

∫ 2 n 2 2 n−1 

= ⋅ + 

( ax + bx+ c) ( n−1)(4 ac− b ) ( ax + bx+ c) 

∫ 

2(2 − 3) d 

� 

− 

( −1)(4 − 2) ( 2+ + ) 1 n 

n a x 

n ac b ax bx c 

Ax+ B A 

1 

∫ dx 

2 n 2 n−1 

∫ 

∫ 

=− ⋅ + 

( ax + bx+ c) 2 an ( −1) 

( ax + bx+ c) 

⎛ ⎞ 

�⎜ − ⎟ 

⎝ ⎠ + + ∫ d 

2 2 ( ) n 

Ab x 

B 

a ax bx c 

2 

2 2 2 2 2 2 

x a 

x ± a dx = x ± a ± ln x+ x ± a 

2 2 

2 − 2 x 

a x dx = 

2 

2− 2 a x 

a x + arcsin 

2 a 

∫ 

x dx 

= 

x2± a2 

x2± a2 

∫ 2 2 

∫ 

∫ 

dx 1 a 

=− arcsin 

x x − a a x 

dx 1 a 1 a+ a −x 

=− arcosh =− ln 

x a −x a x 2a 

a− a −x 

2 

2 2 

2 2 2 2 

2 2 

dx 1 a 1 x + a + a 

=− arsinh =− ln 

x x2+ a2 a x 2a 

x2+ a2 −a 

( bx a b x ) 

dx1 ∫ = ln + 2+ 2 2 

a2+ b2x2 b 

dx 1 ⎛b ⎞ 

= arcsin⎜ 

x⎟ 

a − b x 

b ⎝a ⎠ 

∫ 2 2 2 

b 2 – 4 a c � 0 

b 2 – 4 a c = 0 

b 2 – 4 a c � 0 

xdx ∫ =− a2 −x2 

a2 − x2 

39 

1

1 

40 

Mathematik 


∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

dx 1 2ax+ 

b 2 

= ln + ax + bx+ c a> 

0 

2 ax + bx+ c a 2 a 

= 

− − 

< 

− − 2 

1 2ax 

b 

arcsin a 0 

a b 4ac 

2 ⎛ ⎞ 

2+ 2 2 x 

= 2+ 2 2 a b 

a b x dx a b x + arsinh⎜ 

x⎟ 

2 2b 

⎝a ⎠ 

2 ⎛ ⎞ 

2 2 2 x 2 2 2 a b 

a − b x dx = a −b x − arccos⎜ 

x⎟ 

2 2b 

⎝a ⎠ 

2 ⎛ ⎞ 

2 x 

− = 2 b a 

ax b dxax −b− arcosh⎜ 

x⎟ 

2 2a 

⎝b ⎠ 

⎛ ⎞ 

2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 4 x 

x a − x dx = ⎜ x − a x⎟ a − x + a arcsin 

⎝4 8 ⎠ 8 a 

⎛ ⎞ 

2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 4 2 2 

x x − a dx = ⎜ x − a x⎟ x −a − a ln x+ x −a 

⎝4 8 ⎠ 8 

⎛ ⎞ 

2 2+ 2 1 

= 3 1 

⎜ + 2 2 

⎟ + 2 1 

x a x dx x a x a x − a4ln x+ a2+ x2 

⎝4 8 ⎠ 8 

Integrale transzendenter Funktionen 

∫ln( ax)d x= x[ln( ax) 

−1] 

∫ 

1 1 

(ln x) nd x = (ln x) 

n+ 

1 

x n+ 

1 

a+ bx 

∫ln( a+ bx)d x = [ln( a+ bx) 

−1] 

b 

= − − + − − 

∫exxn d x ex[ xn nxn 1 n( n 1) xn 2 −+ ... + ( −1) 

nn!] 

− =− − + − + − − 

∫e xxnd x e x[ xn nxn 1 n( n 1) xn 2+ 

... + n!] 

⎛ ⎞ 

ax a ax b 

∫e sinbx dx = e ⎜sinbx− cosbx 

2 2 

⎟ 

a + b ⎝ a ⎠ 

⎛ ⎞ 

ax a 

∫ cos d = ax b 

e bx x e ⎜ sinbx+ cosbx 

2 ⎟ 

a + b2 

⎝a⎠ ∫ 

∫ 

1 

sin( a+ bx) dx =− cos( a+ bx) 

b 

1 

cos( a+ bx)dx = sin( a+ bx) 

b 

∫ = 

dx 

x 

ln tan 

sin x 2 

∫ 

∫ 

dx 

= ln tan x 

sin xcos x 

dx 1 x+ ϕ a 

= sinϕlntan tanϕ 

= 

acos x+ bsin x a 2 

b 

dx 

∫ = 2cot2x 

sin2xcos2x ⎛π⎞ ∫ = ⎜ + ⎟ 

⎝ ⎠ 

dx 

x 

ln tan 

cos x 4 2

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

1⎛sin( m− n) x sin( m+ n) x⎞ 

sinmxsinnx dx 

= ⎜ − ⎟ m ≠ n 

2⎝ 

m− n m+ n ⎠ 

1⎛sin( m+ n) x sin( m−n) x⎞ 

cosmxcosnx dx 

= ⎜ + ⎟ m ≠ n 

2⎝ 

m+ n m−n ⎠ 

1⎛cos( m+ n) x cos( m−n) x⎞ 

sinmxcosnx dx 

=− ⎜ + ⎟ m ≠ n 

2⎝ 

m+ n m−n ⎠ 

arcsin x dx = xarcsin x+ 1−x 

arccos x dx = xarccos x− 1−x 

1 

arctan x dx = xarctan x− ln(1 + x2) 

2 

1 

arccot x dx =− xarccot x+ ln(1 + x2) 

2 

∫ ∫ 

∫ ∫ 

tan x dx =− ln cos x cot x dx = ln sin x 

tanh x dx = ln cosh x coth x dx = ln sinh x 

Rekursionsformeln 

dx 1 ⎛ x dx 

⎞ 

= ⎜ + (2n−3) ⎟ n ≠1 

(1 + x2) n 2( n −1) 

+ 2 −1 + 2 −1 

⎝(1 x ) n (1 x ) n 

⎠ 

∫ ∫ 

=− + − 

∫ ∫ 1 

xnsin x dx xncos x n xn cos x dx 

= − − 

∫ ∫ 1 

xncos x dx xnsinx n xn sin x dx 

∫ ∫ 

sin x sinx 1 cos x 

dx =− + dx n > 1 

xn ( n−1) xn−1 n −1 

xn−1 

∫ ∫ 

cos x cos x 1 sin x 

dx =− − dx n > 1 

xn ( n−1) xn−1 n −1 

xn−1 

∫ ∫ 

1 − − 

=− 1 1 

sinn d sinn n 

x x xcos x+ sinn−2x dx 

n n 

∫ ∫ 

1 − − 

= 1 1 

cosn d cosn n 

x x x sin x+ cosn−2x dx 

n n 

∫ ∫ 

1 

tann x dx = tann−1x− tann−2x dx n ≠1 

n −1 

∫ ∫ 

1 

cotn x dx =− cotn−1x−cotn−2x dx n ≠1 

n −1 

∫ ∫ 1 

(ln x) nd x = x(ln x) n − n (ln x) n−dx 

n > 0 

∫ ∫ 

1 − − 

= 1 1 

sinhn d sinhn n 

x x xcos x− sinhn−2x dx 

n n 

∫ ∫ 

1 − − 

= 1 1 

coshn d coshn n 

x x xsinhx+ cosh xn−2 dx 

n n 

2 

2 

Mathematik 


41 

1

1 

42 

Mathematik 

Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 

1.36 Uneigentliche 

Integrale 

(Beispiele) 

Integrand im Intervall 

unendlich 

Integrationsweg 

unendlich 

1.37 Anwendungen der 

Differenzial- und 

Integralrechnung 

Nullstelle 

Schnittpunkt mit 

der y-Achse 

Polstelle 

A = ∫ = − = − − = 

− 

1 

b 

b 

dx 2 x a 2 b a 0 

x a 

a 

a 

∫ 1 1 

0 

0 

= 2 b−a 1 

A = dx = lnx = ln1− ln0=∞ 

x 

∞ 

A = − − ∞ − ∞ 

∫e x dx 

=− e x = e x = 

0 0 

0 

= e –0 – 0 = 1 

∞ ∞ ∞ 

− 

A = ∫ = ∫ = = 

3 1 1 

dx x 2 dx 3x3 

3 

x2 

1 

1 1 

= 3 (� – 1) = � 

Eine Funktion y = f(x) hat an der Stelle x = x 0 dann eine Nullstelle, 

wenn y = f(x) = 0 ist. 

Hat die Funktion y = f(x) die Form y = A(x)/B(x), so muss A(x 0) = 0 

und reell und B(x 0) � 0 sein. A ist Zähler, B ist Nenner des Bruchs. 

Eine Funktion y = f(x) hat dann an der Stelle y 1 einen Schnittpunkt mit 

der y-Achse, wenn x 1 = 0 ist. Bei allen transzendenten Funktionen 

muss y 1 immer reell sein. 

Eine Funktion y = f(x) hat an der Stelle x = x2 bei lim fx ( ) 

y→∞ 

eine Unendlichkeitsstelle. 

Hat die Funktion y = f(x) die Form y = A(x)/B(x), hat sie Pole, wenn 

A(x2) � 0 und B(x2) = 0 ist.

Asymptote 

Extremwerte 

Maximum 

Minimum 

Wendepunkt 

Bogenelement ds 

bei rechtwinkligen 

Koordinaten 

Mathematik 


Eine Funktion y = f(x) hat an der 

Stelle y 4 eine Unendlichkeitsstelle, 

wenn der Grenzwert 

lim f( x) 

x→∞ 

gebildet werden kann. 

Eine Funktion von der Form 

xm 

y = f( x) 

= 

xn 

hat eine Asymptote: 

1. parallel zur x-Achse bei m = n, 

2. als x-Achse selbst bei m � n. 

Voraussetzung muss sein, dass eine Funktion y = f(x) mindestens 

zweimal stetig differenzierbar ist. Ein (relatives) Maximum (Minimum) 

einer Funktion y = f(x) an der Stelle x = x 0 tritt dann auf, wenn in einer 

hinreichend kleinen Umgebung alle f(x) kleiner (größer) als f(x 0) sind. 

Für das Auftreten eines Maximums 

an der Stelle x = x 0 sind 

die Bedingungen 

f'(x 0) = 0 und f''(x 0) � 0 

hinreichend. 

Für das Auftreten eines Minimums an der Stelle x = x 0 sind die 

Bedingungen 

f'(x 0) = 0 und f''(x 0) � 0 

hinreichend. 

Ist eine Funktion y = f(x) dreimal stetig 

differenzierbar, so besitzt sie an der Stelle 

x = x 0 einen Wendepunkt, wenn sie dort 

von einer Seite der Tangente auf die andere 

Seite übertritt. 

Für das Auftreten eines Wendepunkts an 

der Stelle x = x 0 sind die Bedingungen 

f''(x 0) = 0 und f'''(x 0) � 0 

hinreichend. 

Für die differenzierbare Funktion y = f(x) 

zeigt die Anschauung: 

ds 2 ⎛ dy 

2 ⎞ 

= dx + dy = ⎜ ⎜1+ ⎟ 

2 ⎟dx 

⎝ dx 

⎠ 

ds = + 2 1 y' dx 

2 2 2 

43 

1

1 

44 

Mathematik 


in Parameterdarstellung 

in Polarkoordinaten 

Krümmung k und 

Krümmungsradius � 

bei rechtwinkligen 

Koordinaten 



Flächenberechnung in 

rechtwinkligen Koordinaten 

positiver und negativer 


gerade Funktionen 

f (– x) = f (x) 

x = x(t) dx = x� dt 

y = y(t) dy = y� dt 

ds 2 = x � 2dt2 � y � 2d t2 � ( x � 2 � y � 2)dt2 2 2 ds = x � � y � dt 

r = 2 2 2 2 

f( �);ds � dr � d � r ;dr � r � d� 

ds 2 = r � 2d�2 � r2d�2 � d �2( 

r2 � r � 2) 

ds = r2 � r � 2 d� 

Aus der Definition k = d� /ds und r = 1/k ergibt sich für die Kurve 

y = f(x): 

2 3 

y '' 1 (1+ y ' ) 

k = r = = 

2 3 (1+ y ' ) k y'' 

2 2 3 

xy ��−yx �� 1 ( x � + y � ) 

k = r = = 

2 2 3 ( x � + y � ) k xy ��−yx �� 

2 2 

2 2 3 

r + 2r � −rr 

�� 1 ( r + r � ) 

k = r = = 

2 2 3 

2 2 

( r + r � ) k r + 2r 

� −rr 

�� 

b 

A = ∫ fx ( )d x = [ Fx ( ) ] 

a 

A = F (b) – F (a) 

b 

a 

Beispiel: Fläche unter Sinuskurve 

π 

π 

∫ 0 

0 

A = sin x dx =− [ cos x] 

Vorzeichenwechsel beim Vertauschen der 

Grenzen: 

A = � � 0 

cos x � cos0 �cos� � 

A = 1 – (– 1) = 2 

Beispiel: 

π 

π 

∫ 0 

0 

A = cos x dx = [ sin x] 

A = sin � – sin 0 = 0 – 0 = 0 

liegen symmetrisch zur y-Achse, z.B. 

cos x, cos 2 x, x 2 , x sin x 

a a 

fx ( )dx = 2 fxdx ( ) 

∫ ∫ 

−a 

0

ungerade Funktionen 

f (– x) = – f (x) 

Flächeninhalt zwischen 

zwei Funktionen 


Parameterdarstellung 

Flächeninhalt der 

geschlossenen Kurve 

Mathematik 


liegen symmetrisch zum Nullpunkt, z.B. 

sin x, tan x, x cos x, x 3 

a 

∫ fx ( )dx = 0 

−a 

b 

A = ∫[ f1( x) − f2( x)]dx a 

Obere Funktion minus untere Funktion. 

Intervall: 0 � x � b 

Beispiel: 

A = ∫ −− 

1 

[ x ( x2)]dx 0 

1 

⎡23⎤ A = 3 x 

⎢ x + ⎥ 

⎣3 3 ⎦ 

0 

2 1 

A = + = 1 

3 3 

x t 

∫ ∫ 

A = yt ()dx= yx � dt 

x0 t0 

x = x (t) y = y (t) dx = x � dt 

Beispiel: Fläche unter Zykloidenbogen 

x = r( t −sin 

t) 

y = r(1−cos t) 

x � = r(1−cos t) 

Intervall: 0 � t � 2 � 

2π 2π 

A = yx � d t= r(1−cos t) r(1−cos t)dt ∫ ∫ 

0 

2π 

A = r2 (1− 2cos t+ cos 2t) 

dt 

∫ 

0 

A = r 2 (2 � � 0 � �) = 3 r 2 � 

0 

Integration vom Anfangsparameter bis zum 

Endparameter als Grenzpunkt: 

t 

yx � dt 

A = ∫ 2 

t0 

Beispiel: Kreisfläche 

x = r cos t Intervall: 0 � t � 2 � 

y = 2 r � r sin t x � =−r sin t 

2π 2π 

A = yx � d t=− r(2+ sin t) r⋅sintd t 

∫ ∫ 

0 0 

2 π 

A = − r2 [2sint+ sin 2t] 

dt 

∫ 

0 

A = – r 2 (0 � �) = – r 2 � 

45 

1

1 

46 

Mathematik 



Polarkoordinaten 

Volumen V von 

Rotationskörpern 

Kurvenlängen s in 

rechtwinkligen 

Koordinaten 

A = 

ϕ 

∫ 

ϕ 

2 

1 

r 2 d 

2 

1 

ϕ 

Beispiel: Archimedische Spirale, überstrichene 

Fläche von � 1 = 0 bis � 2 = 2 � 

r = a � 

2π 2 π 2 2π 

∫ ∫ ∫ 

1 

A = 2 1 

ϕ = 2ϕ2 a 

r d a dϕ = ϕ2 dϕ 

2 2 2 

0 0 0 

2 

2 π 

2 3 

⎡a ⎤ 

3 4 a π 

A = ⎢ ϕ ⎥ = 

⎣ 6 ⎦ 3 

0 

aus erzeugender Fläche mal Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung: 

um die x-Achse: 

V = π 

= 

∫ 

= 

2 x b 

d 

x a 

y x 

Beispiel: Kugelvolumen 

2 2 

mit y = r − x 

Intervall: – r � x � r 

um die y-Achse 

x= a 

y= b 

V = 2π xydybzw. V= π x dy 

∫ ∫ 2 

x=− a y= a 

Beispiel: Volumen eines Rotationsparaboloids 

mit y = ax 2 

Intervall: 0 � y � h 

r r 

⎡ 3 

h h 

⎤ 

π 

V = 2 2 2 x 

2 

∫( r − x )dx = π⎢r x− ⎥ V = π∫x 

dx = ∫y 

dy 

⎣ 3 ⎦ 

a 

−r −r 

0 0 

⎛ 3 3⎞ 

V = π⎜ 3 r 

⎜ − + 3 r 4 

r r − ⎟ ⎟= 

r3π 

⎝ 3 3 ⎠ 3 

Ist die Funktion y = f(x) im Intervall 

x 1 � x � x 2 eindeutig, also f'(x) stetig, so ist 

die Länge s der Kurve: 

s = 

x2 2 

x2 

⎛dy⎞ 1+ ⎜ ⎟ dx = 1+ y'2dx ⎝dx⎠ ∫ ∫ 

x1 x1 

⎡ π ⎤ 2 π 

= 2 h 

V ⎢ y ⎥ = 

⎣2a ⎦ 2a 

h 

0



Mantelflächen M von 

Rotationskörpern 

Mathematik 


x = x() t dy = y � dt dx = x � dt 

y = y() t Intervall t1∑t ∑t2 

t 

2 2 s = x � + y � dt 

∫ 2 

t1 

r = f (�) Länge s des Kurvenstückes zwischen den Leitstrahlen 

r 1 = f (� 1) und r 2 = f (� 2): 

ϕ 

s = ∫ 

ϕ 

2 

1 

r 2+ r�2 

dϕ 

2 2 

Beispiel: Bogen s des Viertelkreises y = r − x mit Radius r : 

r 2 

r r 

x dx 

⎡ x⎤ π r 

s = ∫ 1+ dx = ∫ = ⎢r⋅ arcsin ⎥ = 

2 2 r − x 2 

⎛ ⎞ 

⎣ ⎦ 

0 0 x 

r 0 2 

1−⎜ 

⎟ 

⎝r⎠ mit x = r cos t und y = r sin t; 2 

x� = r 2 sin 2 t, 2 

y� = r 2 cos 2 t wird: 

π/2 π/2 

π 

s = 

2 ∫ + 2 

r 

r sin t cos t dt = r∫ d t = ; 

2 

0 0 

ebenso mit r = konstant, dr / d� = 0: 

π/2 π/2 

∫ ∫ 

s = 2 

π r 

r dϕ = r dϕ 

= , wie oben. 

2 

0 0 

aus erzeugender Kurve mal Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung 

um 

die x-Achse: die y-Achse: 

b b 

M = 2π y ds = 2π y 1+ y' dx 

∫ ∫ 2 

a a 

Beispiel: Kurvendiskussion der 

Gleichung 

Ax ( ) x 

y = fx ( ) = = 

Bx ( ) 2 2x −3x−2 Nullstellen: 

y = f( x) = 0 ⇒ A( x) 

= 0 ⇒x1= 

0⎫ 

⎬P1 

y1 

= 0⎭ 

3 

r r 

M = 2π x ds = 2π x 1+ y' dx 

∫ ∫ 2 

0 0 

(siehe dazu Bild am Ende 

des Abschnitts) 

x 1 = 0 ist eine Lösung der 

Gleichung, da B(x) � 0 ist 

und kein unbestimmter 

Ausdruck vorliegt. 

47 

1

1 

48 

Mathematik 


Schnittpunkt mit der y-Achse: 

0 

x = 0 ⇒ y = = 0; x2 

= 0⎫ 

0−0−2 ⎬P 

y = 0⎭ 

Polstellen: 

y ⇒∞ ⇒ B( x) 

= 0 

2 x2 – 3 x – 2 = 0 

3 25 

x3 

= 2 ⎫ 

x3/4 = ± 

⎬P3, 

P4 

4 16 

x4 

=−0,5⎭ Asymptoten: 

13 3 

x 3 4 x + 2 

x →∞⇒ y = f( x) 

= + + 

2 4 2x2−3x−2 x 3 

yA 

= + 

2 4 

Schnittpunkt zwischen Kurve und Asymptote: 

x3x 3 x5 

=−0,461⎫ 

y = yA ⇒ = + ; 

⎬P 

2 

5 

2x −3x−2 2 4 y5 

= 0,51 ⎭ 

Extremwerte: 

2 x2( x2 −3x−3) y'= f'( x) = 0 ⇒ y'= 

(2x2 −3x−2) 2 

2 x2( x2 −3x− 3) = 0 

2x2= 0 

x2−3x− 3 = 0 

2 

2 

x6 

= 0⎫ 

⎬P6 

y6 

= 0⎭ 

2 2 x(13x + 18x+ 12) 

y'' = f''( x) 

= 

2 3 

(2x −3x−2) y'' = f ''(x 7) = 131,6 � 0 Minimum 

y'' = f ''(x 8) = – 32,9 � 0 Maximum 

Wendepunkte: 

y'' = f '' (x) = 0 

2 x(13x2+ 18x+ 12) = 0 x6 

= 0⎫ 

⎬P6 

2x= 0 y6 

= 0⎭ 

x7 = 3,8 y7 

= 3,58 ⎫ 

⎬P7, 

P8 

x8 =− 0,7 y8 

=−0,315⎭ 13x 2 � 18 x � 12 = 0 führt zu einem imaginären Ergebnis 

4 3 2 

− 12(13 + 48 x −12x −24 x−4) 

y''' = f'''( x) 

= 

2 4 

(2x −3x−2) y''' = f'''( x ) = 3 ≠0 

6 

Die Kurve schneidet die y-Achse bei 

y 2 = 0. 

Die Funktion besitzt zwei Pole (Unendlichkeitsstellen). 

Ein unbestimmter Ausdruck 

liegt nicht vor, weil A (x 3, x 4) � 0 

ist. 

Die unecht gebrochene rationale Funktion 

lässt sich in die Summe der ganzen 

und der gebrochenen Funktionen 

zerlegen. 

Durch Gleichsetzen der ganzen Funktion 

mit der Teilfunktion ergeben sich 

die Koordinaten des Schnittpunkts. 

Die Nullsetzung des Zählers der ersten 

Ableitung ergibt die x-Koordinaten der 

Extremwerte. Die zugehörigen y-Koordinaten 

ergeben sich durch Einsetzen 

der x-Werte in die Stammfunktion. 

Die errechneten x-Koordinaten (x 7, x 8) 

werden in die Funktion y" = f ''(x) eingesetzt, 

um ein Maximum bzw. Minimum 

bestimmen zu können. 

Es ergeben sich die Koordinaten eines 

Wendepunkts, der dann existiert, wenn 

die dritte Ableitung ungleich null ist.

1.38 Geometrische Grundkonstruktionen 

Senkrechte im Punkt P einer Geraden errichten 

Von P aus gleiche Strecken nach links und rechts abtragen 

( PA � PB ). Kreisbögen mit gleichem Radius um A und B 

schneiden sich in C. PC ist gesuchte Senkrechte. 

Strecke halbieren (Mittelsenkrechte) 

Kreisbögen mit gleichem Radius um A und B nach oben und 

unten schneiden sich in C und D. CD steht rechtwinklig auf 

AB und halbiert diese. 

Lot vom Punkt P auf Gerade g fällen 

Kreisbogen um P schneidet g in A und B. Kreisbögen mit 

gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. PC ist das 

Lot auf die Gerade g. 

Mathematik 

Geometrische Grundkonstruktionen 

49 

1

1 

50 

Mathematik 


Senkrechte im Endpunkt 

P einer Strecke s (eines 

Strahles) errichten 

Winkel halbieren 

einen gegebenen Winkel 

� an eine Gerade g 

antragen 

einen rechten Winkel 

dreiteilen 

Strecke AB in gleiche 

Teile teilen 

Mittelpunkt eines Kreises 

ermitteln 

Außenkreis für 

gegebenes Dreieck 

Kreis von beliebigem Radius um P 

ergibt A. Gleicher Kreis um A ergibt B, 

um B ergibt C. Kreise von beliebigem 

Radius um B und C schneiden sich in 

D. PD ist die gesuchte Senkrechte in P. 

Kreis um O schneidet die Schenkel in A 

und B. Kreise mit gleichem Radius 

ergeben Schnittpunkt C. OC halbiert 

den gegebenen Winkel. 

Kreis um O mit beliebigem Radius 

schneidet die Schenkel des gegebenen 

Winkels � in A und B. Kreis mit 

gleichem Radius um O' gibt A'. Kreis 

mit AB um A' ergibt Schnittpunkt B'. 

Strahl von O' durch B' schließt mit 

Gerade g Winkel � ein. 

Kreis um O ergibt Schnittpunkte A und 

B. Kreise um A und B mit gleichem 

Radius wie vorher schneiden den Kreis 

um O in C und D. 

Auf beliebig errichtetem Strahl AC von 

A aus fortschreitend mit beliebiger 

Zirkelöffnung die gewünschte Anzahl 

gleicher Teile abtragen, z.B. 5 Teile. B' 

mit B verbinden und Parallele zu BB' 

durch Teilpunkte 1 ... 4 legen. 

Zwei beliebige Sehnen AB und CD 

eintragen und darauf Mittelsenkrechte 

errichten. Schnittpunkt M ist Kreismittelpunkt. 

Mittelsenkrechte auf zwei Dreieckseiten 

schneiden sich im Mittelpunkt M des 

Außenkreises.

Innenkreis für gegebenes 

Dreieck 

Parallele zu gegebener 

Gerade g durch Punkt P 

Tangente an Kreis im 

gegebenen Punkt A 

Tangenten an Kreis von 

gegebenem Punkt P aus 

Tangente t im gegebenen 

Punkt A an Kreis k mit 

unbekanntem Mittelpunkt 

Tangenten an zwei 

gegebene Kreise 

Gleichseitiges Dreieck 

mit Seitenlänge AB 

Schnittpunkt von zwei Winkelhalbierenden 

ist Mittelpunkt M des Innenkreises. 

Beliebig gerichteter Strahl von P aus 

trifft Gerade g in A. Kreis mit PA um A 

schneidet g in B. Kreise mit gleichem 

Radius PA um P und B schneiden sich 

in C. Strecke PC ist Teil der zu g 

parallelen Geraden p. 

M mit A verbinden und über A hinaus 

verlängern und in A Senkrechte errichten 

– oder – 

Strecke MA zeichnen und im Endpunkt 

A Senkrechte errichten. 

P mit Mittelpunkt M verbinden und PM 

halbieren ergibt M 1. Kreis mit Radius 

MM 1 um M 1 schneidet gegebenen 

Kreis in A und B. PA und PB sind 

Teile der gesuchten Tangenten. 

Kreis um A von beliebigem Radius 

ergibt Schnittpunkte B und C. Kreise 

von beliebigem Radius um B und C 

ergeben D und E, deren Verbindungslinie 

Teil des Radiusses von k ist. Senkrechte 

in A auf DE ist Teil der Tangente 

t. 

Hilfskreis um M1 mit Radius (R – r ) 

zeichnen und von M2 aus die Tangenten 

2 MA und MB 2 anlegen. 

Strecken 1 MA und MB 1 bis C und 

D verlängern. Parallele zu MC 1 

und 1 MD durch M2 ergeben E und 

F. CE und DF sind die gesuchten 

Tangenten. 

Kreise mit Radius AB um A und B er- 

geben Schnittpunkt C und damit das 

gesuchte Dreieck ABC. 

Mathematik 


51 

1

1 

52 

Mathematik 


regelmäßiges Fünfeck 

regelmäßiges Sechseck 

regelmäßiges Siebeneck 

regelmäßiges Achteck 

regelmäßiges Neuneck 

(gilt entsprechend für alle 

regelmäßigen Vielecke) 

Ellipsenkonstruktion 

Bogenanschluss: 

Kreisbogen an die 

Schenkel eines 

Winkels 

Radius MA des Umkreises halbieren, 

ergibt D. Kreisbogen mit CD um D 

ergibt E, mit CE um C ergibt F. CF ist 

die gesuchte Fünfeckseite. 

Radius MA des Umkreises ist Sechseckseite. 

Kreisbögen mit AM um A 

und B schneiden den Umkreis in den 

Eckpunkten des Sechsecks. 

Kreisbogen mit Umkreisradius MA um 

A ergibt B und C. Kreisbogen mit 

Radius BD um B ergibt Eckpunkt E. 

BE ist die gesuchte Siebeneckseite. 

Kreise mit Umkreisradius MA um A, B, 

C ergeben Schnittpunkte D und E. 

Geraden durch D und M sowie E und M 

schneiden den Umkreis in den Eckpunkten 

des Achtecks. 

Durchmesser AB des Umkreises in 

neun gleiche Teile teilen. Kreise mit 

Radius AB um A und B ergeben 

Schnittpunkte C und D. Strahlen von C 

und D durch die Teilpunkte 1, 3, 5, 7 

des Durchmessers schneiden den Umkreis 

in den Eckpunkten des Neunecks. 

Hilfskreise um M mit Halbachse a und b 

als Radius zeichnen und beliebige 

Anzahl Strahlen 1, 2, 3 ... durch 

Kreismittelpunkt M legen. In den 

Schnittpunkten der Strahlen mit den 

beiden Hilfskreisen Parallele zu den 

Ellipsenachsen zeichnen, die sich in I, 

II, III ... als Punkte der gesuchten Kurve 

schneiden. 

Parallelen p im Abstand R zu den 

beiden Schenkeln s des Winkels ergeben 

Schnittpunkt M als Mittelpunkt 

des gesuchten Kreisbogens. Senkrechte 

von M auf s ergeben die Anschlusspunkte 

A.


Kreisbogen durch zwei 

Punkte 


Gerade mit Punkt durch 

Kreisbogen verbinden 

Bogenanschluss: Kreis 

mit Punkt; R A Radius des 

Anschlussbogens 


Kreis mit Gerade g; 

R A1 , R A2 Radien der 

Anschlussbögen 

Kreisbogen mit R um gegebene 

Punkte A 1, A 2 legen Mittelpunkt M 

des gesuchten Kreisbogens fest. 

Parallele p im Abstand R zur Geraden 

g und Kreisbogen mit R um A legen 

Mittelpunkt M des gesuchten Kreisbogens 

fest. 

Kreisbögen mit R1 � RA um M1 und 

mit RA um P ergeben Mittelpunkt MA des Anschlussbogens. MM 1 A schneidet 

den gegebenen Kreis im Anschlusspunkt 

A. 

Lot l von M auf gegebene Gerade g 

ergibt Anschlusspunkte A, A1, A2. Die 

halbierten Strecken AA 1 und AA2 

legen die Mittelpunkte MA1, MA2 der 

beiden Anschlussbögen fest. 

Mathematik 


53 

1

Physik 

Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten 

2.1 Physikalische Größen, Definitionsgleichungen und Einheiten 

2.1.1 Mechanik 

Größe 

Formelzeichen 

Definitionsgleichung 

SI-Einheit 1) 

Bemerkung, Beispiel, 

andere zulässige Einheiten 

Länge l, s, r Basisgröße m (Meter) 1 Seemeile (sm) = 1852 m 

Fläche A A = l 2 m 2 Hektar (ha), 1 ha =10 4 m 2 

Ar (a), 1 a = 10 2 m 2 

Volumen V V = l 3 m 3 Liter (l) 

1 l = 10 –3 m 3 = 1 dm 3 

ebener Winkel �, �, � � = Kreisbogen 

Kreisradius 

Raumwinkel �� 

� 

= Kugelfläche 

Radiusquadrat 

rad � 1 

(Radiant) 

sr � 1 

(Steradiant) 

Zeit t Basisgröße s (Sekunde) 

Frequenz f = 1 

f 

T 

Drehfrequenz 

(Drehzahl) 

Geschwindigkeit v 

Beschleunigung a 

n n = 2 � f 

ds 

∆s 

v = = 

dt 

∆t 

1 

s = s–1 = Hz 

(Hertz) 

1 

s 

= s–1 

− 

m 

s 

dv 

∆v 

m 

a = = 

2 

dt 

∆t 

m 

Fallbeschleunigung g 2 s 

Winkelgeschwindigkeit �� 

Umfangsgeschwindigkeit 

v u 

∆ϕ 

ω = = 

∆ 

u v 

t r 

v u = � d n = � r 

∆ω 

dω 

a 

Winkelbeschleunigung �� α = = = 

∆t 

dt 

r 

� = 

m 

1, 7 m = 1,7 rad 

m 

� = 0,4 

m 

2 

= 0,4 sr 

2 

1 min = 60 s; 1 h = 60 min 

1 d = 24 h = 86400 s 

bei Umlauffrequenz 

wird U/s statt 1/s benutzt 

Periodendauer 

= = = 1 

U 1 1 

min 

min min 60s 

km 1 m 

1 = 

h 3,6 s 

cm km 

, ... 

2 2 

s h s 

1 rad 

= 

s s 

m 

s 

1 rad 

= 

s2 s2 

1) Einheit des „Système International d'Unités“ (Internationales Einheitensystem) 

Normfallbeschleunigung 

g n = 9,80665 m/s 2 

� Drehwinkel in rad 

d Durchmesser 

n Drehzahl 

� Winkelgeschwindigkeit 

55 

2

2 

56 

Physik 


Größe 

Formelzeichen 


SI-Einheit 

Masse m Basisgröße kg 

Dichte r = m 

V 

Kraft F F = ma 

kgm 

N � 

s2 

(Newton) 

Gewichtskraft F G F G = mg 

Druck p 

dynamische 

Viskosität 

kinematische 

Viskosität 

Bemerkung, Beispiel, andere 

zulässige Einheiten 

1 g = 10 –3 kg 

1 t =10 3 kg 

kg 

g t 

r ; 

3 

3 3 

m cm m 

F 

p � 

A 

kgm 

N= 

2 s 

N kgm 

= 

m2 m2s2 Ns kgms 

�� = 

2 2 2 m m s 

�� 

(Ny) 

= η 

ν 

r 

Arbeit W W = Fs 

Energie W 

Leistung P 

m 

W � v2 

2 

W � mg h 

W 

P � 

t 

Drehmoment M M = F l 

2 2 

m Ns/m 

= 

s 3 kg/m 

kgm2 

J � 

2 s 

2 

kgm 

J � 

s2 

W � 

Nm 

s 

kgm 

Nm � 

s2 

2 

1 dyn = 10 –5 N 

Normgewichtskraft 

F Gn = mg n 

1 bar = 102 N 

m2 

N 

= Pa (Pascal) 

m 2 

Ns 

= Pa · s 

2 m 

1 P = 0,1 Pa · s (P Poise) 

1 St = 10 –4 

2 

m 

s 

(St Stokes) 

1 J = 1 Nm = 1 Ws 

J Joule 

Nm Newtonmeter 

Ws Wattsekunde 

kWh Kilowattstunde 

1 kWh = 3,6 · 10 6 J = 3,6 MJ 

Nm J 

1 = 1 = 1W 

s s 

Biegemoment M b 

Torsionsmoment T 

2 

Trägheitsmoment J J=∫dmrkgm2 Massenmoment 2. Grades 

(früher: Massenträgheitsmoment) 

Flächenmoment 

2. Grades 

Ix 

Iy 

Ip 

I = 

I y = 

Ip 

= 

∫d 

∫ 

∫ 

A x2 

dA 

y 2 

dAr 

2 

0 N kg 

Elastizitätsmodul E E � � 

� 

�l 

m2 s2m Schubmodul G 

l 

m 4 

E N kg 

G � 

� 

2(1 � �) 

2 2 m s m 

mm 4 

Ix, Iy axiales Flächenmoment 

2. Grades 

Ip polares Flächenmoment 

2. Grades 

(früher: Flächenträgheitsmoment) 

N 

2 mm 

N 

2 mm 

(� Poisson-Zahl)

2.1.2 Thermodynamik 

Größe 

Temperatur 

(thermodynamische 

Temperatur) 

spezifische innere 

Energie 

Wärme 

(Wärmemenge) 

Physik 


Formelzeichen 


SI-Einheil 

T, � Basisgröße K (Kelvin) 

2 J kgm 

u �u = q � Wv = 

kg 2 s kg 

Q 

Q = mc�� 

Q = U – w v 

2 kgm 

J = 

2 s 

2 J kgm 

spezifische Wärme q q = �U – wv = 

kg 2 s kg 

spezifische 

Wärmekapazität 

Enthalpie H 

c c = 

Q q 

= 

m∆ϑ∆T H = U ��pV 

h = u � p� 

J kgm2 

= 

kgK 2 s kgK 

2 

kgm 

J = 

s2 

W kgm 

Wärmeleitfähigkeit �� = 

mK s3K Wärmeübergangskoeffizient 

Wärmedurchgangskoeffizient 

spezifische 

Gaskonstante 

universelle 

Gaskonstante 

W kg 

�� = 

m2K s3K W kg 

k = 

2 3 m K s K 

R 

Ri 

= 

M 

R 

R i = p 

Tr 

R = 

J 

8315 kmol K 

J m 

= 

kgK 2 s K 

J 

kmol K 

W kg 

Strahlungskonstante C = 

m K s K 

2 

2 4 3 4 

Bemerkung, Beispiel, andere 

zulässige Einheiten 

1 K = 1 °C 

t, � Celsius-Temperatur 

2 kgm 

1 = 1Nm= 1J 

2 s 

2 kgm 

1 = 1Nm= 1J 

2 s 

= H 

h spezifische Enthalpie 

m 

J 

mhK 

J 

m2hK J 

m2hK 1 K = 1 °C 

1 K = 1 °C 

1 K = 1 °C 

M molare Masse 

1 kmol = 1 Kilomol 

Cs = 5,67 · 10 –8 W 

m2 K4 

Cs Strahlungskonstante des 

schwarzen Körpers 

57 

2

2 

58 

Physik 


2.1.3 Elektrotechnik 

Größe 

elektrische 

Stromstärke 

elektrische 

Spannung 

elektrischer 

Widerstand 

elektrischer 

Leitwert 

elektrische Ladung 

(Elektrizitätsmengen) 

Formelzeichen 

Definitionsgleichung SI-Einheit 

I Basisgröße 

U U = � E �s 

elektrische Kapazität C = Q 

C U 

elektrische 

Flussdichte 

A 

(Ampere) 

V 

(Volt) 

Bemerkung, Beispiel, 

andere zulässige Einheiten 

2 W kgm 

1 V = 1 = 1 

A 3 sA 

W (Watt) 

V kgm2 

R �� 1 = 1Ω= 1 

A sA 3 2 

G 

Q 

1 

Ω 

C = As 

(Coulomb) 

F = As 

V 

(Farad) 

C 

D D = �0 �r E 2 m 

elektrische Feldstärke E E = F 

Q 

Permittivität (früher 

Dielektrizitätskonstante) 

� 

� = � 0 � r 

� 0 elektrische 

Feldkonstante 

� r Permittivitätszahl 

V 

m 

F A2s4 = 

m 3 kgm 

2 3 

A A s 

1 = 1S= 1 

V 2 kgm 

S (Siemens) 

1 As = 1 C 

1 Ah = 3600 As 

C As A2s4 1F = 1 = 1 = 1 

V V 2 kgm 

C As 

1 = 1 

2 2 m m 

V kgm 

1 = 1 

m 3 sA 

s s2 C2 

1 = 

V 3 kgm 

QU 

2 kgm 

elektrische Energie We We = 

Ws 1 Nm = 1 J = 1Ws= 1 

2 

2 s 

magnetische 

Feldstärke 

magnetische 

Flussdichte, 

Induktion 

H H = 

2 

B B = � H 

I A 

π r 

m 

kg 

T = 

2 sA 

T (Tesla) 

2 kgm 

magnetischer Fluss �� = � B �A Wb = 

2 sA 

Induktivität L 

Permeabilität �� 

= N Φ 

L 

I 

(Windungszahl) 

� = � 0 � r 

� 0 magnetische 

Feldkonstante 

� r Permeabilitätszahl 

2 kgm 

H = 

2 2 sA 

H (Henry) 

H kgm 

= 

m 2 2 sA 

Wb Vs kg 

1 = 1 = 1 

m2 m2 s2A Vs 

T = 1 

2 m 

Wb (Weber) 

2 kgm 

1 Wb = 1 Vs = 1 

2 sA 

2 

Vs Wb kgm 

1 H = 1 = 1 = 1 

A A 2 2 sA 

Vs kgm 

1 = 1 

Am 2 2 sA

2.1.4 Optik 

Größe 

Formelzeichen 

Physik 

Allgemeine und atomare Konstanten 

Name der Einheit SI-Einheit Bemerkung 

Lichtstärke I v Candela 1) cd Basisgröße 

Beleuchtungsstärke E v Lux lx 

Lichtstrom � v Lumen Im 1 Im = 1 cd sr (sr Steradiant) 

Lichtmenge Q v Lumen · Sekunde Im · s 

Lichtausbeute �� 

Leuchtdichte L v 

Lumen 

Watt 

Candela 

Quadratmeter 

1) Farbtemperatur HK/cd cd/HK 

Umrechnungsfaktoren von 

Candela in Hefnerkerzen (HK) 

und umgekehrt 

2.2 Allgemeine und atomare Konstanten 

Avogadro-Konstante 

Boltzmann-Konstante 

elektrische Elementarladung 

elektrische Feldkonstante 

Faraday-Konstante 

Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum 

magnetische Feldkonstante 

molares Normvolumen idealer Gase 

Planck-Konstante 

Ruhemasse des Elektrons 

Ruhemasse des Protons 

Stefan-Boltzmann-Konstante 

(universelle) Gaskonstante 

Gravitationskonstante 

lm 

W 

cd 

2 m 

2043 K (Platinpunkt) 

2360 K (Wolfram-Vakuum-Lampe) 

2750 K (gasgefüllte Wolframlampe) 

0,903 

0,877 

0,861 

Bezeichnung Beziehung 

N A = 6,0221367 · 10 23 mol –1 

k = 1,380658 · 10 –23 J/K 

e = 1,60217733 · 10 –19 C 

� 0 = 8,854187817 · 10 –12 F/m 

F = 96485,309 C/mol 

c 0 = 2,99792458 · 10 8 m/s 

� 0 = 1,2566370614 · 10 –6 H/m 

V mn = 2,24208 · 10 4 cm 3 /mol 

h = 6,6260755 · 10 –34 J · s 

m e = 9,1093897 · 10 –31 kg 

m p = 1,672622 · 10 –27 kg 

� = 5,67051 · 10 –8 W/(m 2 · K 4 ) 

R = 8,314510 J/(mol · K) 

1,107 

1,140 

1,162 

G = 6,67259 · 10 –11 m 3 kg –1 s –2 

59 

2

2 

60 

Physik 

Umrechnungstafel für Leistungseinheiten 

2.3 Umrechnungstafel für metrische Längeneinheiten 

Einheit 

1 pm = 

1 Å 1) = 

1 nm = 

1 �m = 

1 mm = 

1 cm = 

1 dm = 

1 m = 

1 km = 

Picometer 

pm 

1 

10 2 

10 3 

10 6 

10 9 

10 10 

10 11 

10 12 

10 15 

Angström 

1) 

� 

10 –2 

1 

10 

10 4 

10 7 

10 8 

10 9 

10 10 

10 13 

Nanometer 

nm 

10 –3 

10 –1 

1 

10 3 

10 6 

10 7 

10 8 

10 9 

10 12 

Mikrometer 

�m 

10 –6 

10 –4 

10 –3 

1 

10 3 

10 4 

10 5 

10 6 

10 9 

Millimeter 

mm 

10 –9 

10 –7 

10 –6 

10 –3 

1 

10 

10 2 

10 3 

10 6 

Zentimeter 

cm 

10 –10 

10 –8 

10 –7 

10 –1 

10 –1 

1 

10 

10 2 

10 5 

Dezimeter 

dm 

10 –11 

10 –9 

10 –8 

10 –5 

10 –2 

10 –1 

1 

10 

10 4 

Meter 

m 

10 –12 

10 –10 

10 –9 

10 –6 

10 –3 

10 –2 

10 –1 

1 

10 3 

Kilometer 

km 

10 –15 

10 –13 

10 –12 

10 –9 

10 –6 

10 –5 

10 –4 

10 –3 

1 

1) Das �ngström ist nicht als Teil des Meters definiert, gehört also nicht zum metrischen System. Es ist benannt 

nach dem schwedischen Physiker A. J. Angström (1814 – 1874). 

Beachte: Der negative Exponent gibt die Anzahl der Nullen (vor der 1) einschließlich der Null vor dem Komma an, 

z.B. 10 –4 = 0,0001; 10 –1 =0,1; 10 –6 = 0,000001. Der positive Exponent gibt die Anzahl der Nullen (nach der 1) an, 

z.B. 10 4 = 10000; 10 1 = 10; 10 6 = 1000000. 

2.4 Vorsatzzeichen zur Bildung von dezimalen Vielfachen und Teilen von 

Grundeinheiten oder hergeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen 

Vorsatz Kurzzeichen Bedeutung 

Tera 

Giga 

Mega 

Kilo 

Hekto 

Deka 

Dezi 

Zenti 

Milli 

Mikro 

Nano 

Pico 

T 

G 

M 

k 

h 

da 

d 

c 

m 

� 

n 

P 

2.5 Umrechnungstafel für Leistungseinheiten 

1000000000000 (= 10 12 ) 

1000000000 (= 10 9 ) 

1000000 (= 10 6 ) 

1000 (= 10 3 ) 

100 (= 10 2 ) 

10 (= 10 1 ) 

0,1 (= 10 –1 ) 

0,01 (= 10 –2 ) 

0,001 (= 10 –3 ) 

0,000001 (= 10 –6 ) 

0,000000001 (= 10 –9 ) 

0,000000000001 (= 10 –12 ) 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheiten 

Einheit Nm/s = W kpm/s PS kW kcal/s 

1 Nm/s 

= 1W = 

1 kpm/s = 

1 PS = 

1 kW = 

1 kcal/s = 

1 

9,80665 

735,499 

1000 

4186,80 

0,101972 

1 

75 

101,972 

426,935 

1,35962 · 10 –3 

0,0133333 

1 

1,35962 

5,69246 

0,001 

9,80665 · 10 –3 

0,735499 

1 

4,18680 

2,38846 · 10 –4 

2,34228 · 10 –3 

0,175671 

0,238846 

1

Physik 

Schalldämmung von Trennwänden 

2.6 Schallgeschwindigkeit c, Dichte r und Elastizitätsmodul E einiger fester Stoffe 

Stoff c in m 

s 

Aluminium in Stabform 

Blei 

Stahl in Stabform 

Kupfer 

Messing 

Nickel 

Zink 

Zinn 

Quarzglas 

Plexiglas 

5 080 

1 170 

5 120 

3 700 

3 500 

4 780 

3 800 

2 720 

5 360 

2 090 

r in 

kg 

m3 

2 700 

11 400 

7 850 

8 900 

8 100 

8 800 

7 100 

7 300 

2 600 

1 200 

E in 

N 

m2 

7,1 · 10 10 

1,6 · 10 10 

21 · 10 10 

12,5 · 10 10 

10 · 10 10 

20 · 10 10 

10,5 · 10 10 

5,5 · 10 10 

7,6 · 10 10 

0,5 · 10 10 

2.7 Schallgeschwindigkeit c und Dichte r einiger Flüssigkeiten 

Flüssigkeit t in °C c in m 

s 

Benzol 

Petroleum 

Quecksilber 

Transformatorenöl 

Wasser 

20 

34 

20 

32,5 

20 

1 330 

1 300 

1 450 

1 425 

1 485 

v 

r in 

kg 

m3 

878 

825 

13 595 

895 

997 

2.8 Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis � = p c 

einiger Gase bei t = 0 °C 

c 

Helium 

Kohlenoxid 

Leuchtgas 

Luft 

Sauerstoff 

Wasserstoff 

Gas c in m 

s 

965 

338 

453 

331 (344 bei 20 °C) 

316 

1 284 (1 306 bei 20 °C) 

2.9 Schalldämmung von Trennwänden 

Baustoff 

Dachpappe 

Sperrholz, lackiert 

Dickglas 

Heraklithwand, verputzt 

Vollziegelwand, 1 /4 Stein verputzt 

bei 1 /2 Stein 

bei 1 /1 Stein 

�� 

1,66 

1,4 

– 

1,402 

1,396 

1,408 

Dicke s 

in cm 

– 

0,5 

0,6 ... 0,7 

– 

9 

15 

27 

Masse m' 

in kg/m 2 

1 

2 

16 

50 

153 

228 

457 

mittlere 

Dämmzahl D 

in db 

13 

19 

29 

38,5 

41,5 

44 

49,5 

61 

2

2 

62 

Physik 

Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel 

2.10 Elektromagnetisches Spektrum 

2.11 Brechzahlen n für den Übergang des Lichtes aus dem Vakuum in optische Mittel 1) 

(durchsichtige Stoffe) 

Luft 

Wasser 

Acrylglas (Plexiglas) 

Kronglas 2) 

Flintglas 2) 

Kanadabalsam 

1,000 293 � 1 

1,33 

1,49 

1,48 ... 1,57 

1,56 ... 1,9 

1,54 

Kalkspat (ao Strahl) 

Kalkspat (o Strahl) 

Steinsalz 

Saphir 

Diamant 

Schwefelkohlenstoff 

1) Das optisch dichtere (dünnere) Mittel ist das mit der größeren (kleineren) Brechzahl. 

2) Kronglas ist Glas mit geringer, Flintglas mit hoher Farbzerstreuung (Dispersion). 

1,49 

1,66 

1,54 

1,76 

2,4 

1,63

3.1 Atombau und Periodensystem 

Elementar- 

Teilchen 

(beständige) 

Atomkern 

Ordnungszahl 

Massenzahl 

relative 

Atommasse A r 

(Atomgewicht) 

atomare 

Masseneinheit u 

Isotope 

Reinelemente 

Mischelemente 

Name Symbol Masse in g 

Proton 

Neutron 

Elektron 

p 

n 

e – 

1,673 · 10 –24 

1,675 · 10 –24 

9,109 · 10 –28 

Chemie 

Atombau und Periodensystem 

Relative Masse als 

Vielfaches der atomaren 

Masseneinheit u 

1,00728 

1,00867 

0,00054 

Ladung in 

As 

�1,6 · 10 –19 

0 

–1,6 · 10 –19 

Kugelähnliches Gebilde aus Nukleonen, das sind schwere Elementarteilchen 

(Protonen und Neutronen). 

Das Verhältnis von Protonen und Neutronen in einem Kern ist nicht 

konstant. Kerndurchmesser etwa 10 –14 m. 

gibt die Stellung des Elementes im Periodischen System an: 

Ordnungszahl = Protonenzahl = Elektronenzahl. 

gibt die Anzahl der schweren Kernteilchen, d.h. der Protonen und 

Neutronen an. 

Verhältniszahl, Vielfaches der atomaren Masseneinheit u. 

ist der 12te Teil der Masse eines Atoms des Nuklids 12 C (Kohlenstoffisotop 

mit der Massenzahl 12). u = 1,66 · 10 –24 g. 

Atomarten (Nuklide) gleicher Protonenzahl = Kernladungszahl, aber 

unterschiedlicher Neutronenzahl, damit auch verschiedener Massenzahl. 

Chemische Elemente, die nur aus einem Nuklid bestehen, es sind 

etwa 22. 

Chemische Elemente, die aus verschiedenen Nukliden bestehen (Mischungen 

aus zwei oder mehr Nukliden). 

Chlor besteht zu 75,53 % aus 35 

17Cl und 24,47 % aus 35 

17Cl . Daraus 

errechnet sich die relative Atommasse zu 35,45. 

63 

3

3 

64 

Chemie 


Periodensystem der Elemente

Periodensystem der Elemente 

Chemie 


65 

3

3 

66 

Chemie 


Periode 

Gruppe 

Elektronenhülle 

Orbital 

Hauptquantenzahl n 

Nebenquantenzahl l 

Magnetquantenzahl m 

Spinquantenzahl s 

Pauli-Prinzip 

Hund’sche Regel 

Waagerechte Zeile im Periodischen System der Elemente. Die Periodennummer 

entspricht der Anzahl der besetzten Elektronenschalen. 

Beispiel: Die 18 Elemente der Periode 4 haben eine angefangene 

Außenschale 4, die beim letzten Element dieser Periode, dem Krypton 

36Kr mit 8 Elektronen besetzt ist. 

Senkrechte Spalte im Periodensystem. Die Gruppennummer entspricht 

der Anzahl der energiereichsten Elektronen (Valenzelektronen). 

Aufenthaltsbereich der Elektronen. Sie geben im Grundzustand des 

Atoms keine Energie ab. Beschreibung des Energiezustandes eines 

Elektrons durch die Quantenzahlen. 

Unterteilung der Elektronenhülle in Ladungswolken. Jeder Orbital 

kann höchstens 2 Elektronen aufnehmen, die sich durch einen antiparallelen 

Spin unterscheiden. 

kennzeichnet den Abstand des Orbitals vom Kern. Sie hat die Beträge 

1... 7 vom Kern nach außen gezählt. 

kennzeichnet die Form des Orbitals mit den Buchstaben s, p, d und f. 

l liegt zwischen 0 und (n – 1). 

kennzeichnet die Lage des Orbitals im Raum. m ist ganzzahlig und 

liegt zwischen – l und � l einschließlich der Null. 

kennzeichnet die Richtung des Spins, vorstellbar als Eigendrehung 

des Elektrons. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: Parallel und antiparallel. 

s hat die Beträge � 1/2 oder – 1/2. 

In der Elektronenhülle eines Atoms treten niemals zwei Elektronen 

des gleichen Energiezustandes auf, d. h. sie stimmen niemals in allen 

vier Quantenzahlen überein. 

In der Elektronenhülle eines Atoms besitzen die Elektronen von den 

möglichen Zuständen die jeweils energieärmsten. Orbitale mit gleicher 

Haupt- und Nebenquantenzahl werden deshalb zunächst einfach 

besetzt. Erst nach der Einfachbesetzung aller dieser Orbitale werden 

sie durch ein zweites Elektron mit antiparallelem Spin aufgefüllt.

Besetzung der Hauptniveaus mit Elektronen 

Hauptquantenzahl 1 2 3 4 5 6 7 

Bezeichnung des Hauptniveaus K L M N O P Q 

Anzahl der möglichen Nebenniveaus 1 2 3 4 5 6 7 

Bezeichnung dieser Niveaus 1s 2s 

2p 

Max. Elektronenbesetzung des 

Haupt- Niveaus Z max = 2n 2 

Maximale Besetzung der Nebenniveaus 

3s 

3p 

3d 

Nebenquantenzahl 0 1 2 3 

Bezeichnung des Nebennivaus s p d f 

Max. Anzahl der Orbitale 1 3 5 7 

Max. Anzahl der Elektronen 2 6 10 14 

4s 

4p 

4d 

4ff 

5s 

5p 

5d 

5f 

6s 

6p 

6d 

– 

7s 

– 

– 

– 

2 8 18 32 (50) – – 

⇐ 

Chemie 

Metalle 

Striche in dieser Zeile 

geben an, dass bei natürlichen 

und künstlichen 

Atomen im Grundzustand 

diese Energieniveaus 

noch nicht beobachtet 

wurden. 

Beispiel für die Beschreibung der Elektronenkonfiguration, 

Element Nr. 15 P, Phosphor mit insgesamt 

15 Elektronen: 1s 2 ; 2s 2 ; 2p 6 ; 3s 2 , 3p 3 

Symbolische Darstellung für P, Phosphor 15 � �� 

3.2 Metalle 

1s 2s 2p 3s 3p 

Einfach besetzt 

Element Symbol 

Ordnungszahl 

Rel. Atommasse 

Häufigste 

Isotope 

Oxidations- 

Zahlen 1) � 

Dichte r 

g/cm33) Schmelz-Pkt. °C 

Alkalimetalle 1) häufigste h'fett gedruckt 

Lithium 

Li 

3 6,94 

7 1 

0,53 

180 

Natrium 

Na 

11 22,99 23 1 

0,97 

98 

Kalium 

K 

19 39,1 

39 1 

0,86 

64 

Rubidium Rb 

37 85,48 85 1 

1,53 

39 

Cäsium 

Erdalkalimetalle 

Cs 

55 132,91 133 1 

1,90 

28 

Beryllium Be 

4 9,01 9 2 

1,85 1280 

Magnesium Mg 

12 24,32 24 2 

1,74 

650 

Calcium 

Ca 

20 40,08 40 2 

1,55 

840 

Strontium Sr 

38 87,63 88 2 

2,63 

770 

Barium 

Erdmetalle 

Ba 

56 137,36 138 2 

3,65 

725 

Aluminium AI 

13 26,98 27 3 

2,70 

660 

Scandium Sc 

21 44,96 45 3 

2,99 1540 

Yttrium 

Y 

39 88,91 89 3 

4,47 1520 

Lanthan 

La 

57 138,92 139 3 

6,16 

920 

Seltene Erden (Lanthanoiden) 

Cer 

Ce 

58 140,13 140 4,3 6,77 

798 

Praseodym Pr 

59 140,92 141 4,3 6,43 

931 

Neodym 

Nd 

60 144,27 142 3 

7,00 1010 

Promethium Pm 

61 147 

145 3 

7,229 1080 

Samarium Sm 

62 150,35 152 3,2 7,54 1072 

Europium Eu 

63 152 

153 3,2 5,25 

822 

Gadolinum Gd 

64 157,26 158 3 

7,90 1312 

Terbium 

Tb 

65 158,93 159 4,3 8,25 1360 

Dysprosium Dy 

66 162,51 164 3 

8,56 1409 

Holmium Ho 

67 164,94 165 3 

8,78 1470 

Erbium 

Er 

68 167,27 166 3 

9,05 1522 

Thulium 

Tm 

69 168,94 169 3,2 9,32 1545 

Ytterbium Yb 

70 173,04 174 3,2 6,97 

824 

Lutetium 

Lu 

71 174,99 175 3 

9,84 1656 

67 

3

3 

68 

Chemie 

Metalle 

Element 

Symbol 

OZ KG 

Gitterkonstante1) 

a pm 

Radien 

pm 2) 

Atom / Ion 

Dichte 

r 3) 

kg/dm 3 

Schmelzpunkt 

T m 

°C 6) 

Leitfähigkeit für 

Strom 4) Wärme 

m/mm 2 � W/mK 

Wärmeausdehnung 

� 5) 

E.- 

Modul 

GPa 

Leichtmetalle (nach Dichte geordnet) 

Magnesium Mg 12 hdP 320/1,62 160/78 (2) 1,74 650 22,4 156 25,8 44 

Beryllium Be 4 hdP 229/1,57 113/34 (2) 1,85 1280 23,8 204 11 293 

Aluminium AI 13 kfz. 404 143/57 (3) 2,7 (660,323) 37,7 236 23,9 72 

Titan Siehe unter „höchstschmelzende Metalle“ 4,51 

Niedrigschmelzende Schwermetalle 

Gallium Ga 31 rhomb. 452 122/62 (3) 5,90 30 7,3 — — — 

Indium In 49 tetr 325/1,52 163/92 (3) 7,30 156 12,2 82 33 — 

Zinn � -Sn 

Sn 50 

diam 13°C � -Sn 

tetr. 

141/74 (4) 7,28 (231,982) 9,9 66 26,7 55 

Wismut Bi 83 hex 455/2,61 155/96 (3) 9,80 271 0,93 8 13,4 34 

Cadmium Cd 48 hdP 298/1,88 149/114 (2) 8,64 321 14 95 29,7 63 

Blei Pb 82 kfz. 495 175/132 (2) 11,35 327 5,2 35 29,2 16 

Zink Zn 30 hdP 266/1,86 133/83 (2) 7,13 (429,527) 18 112 21,1 9 

Antimon Sb 51 hex 431/2,61 145/89 (3) 6,69 630 3 24 10,9 56 

Hochschmelzende Metalle 

Germanium Ge 32 kfz 566 123/53 (4) 5,32 936 2,21 10 –2 63 — — 

Kupfer Cu 29 kfz 361 128/72 (2) 8,93 (1084,62) 64 398 16,5 125 

Mangan Mn 25 kub 376 112/91 (2) 7,44 1245 n.b. 7,8 22,8 201 

Nickel Ni 28 kfz 352 124/78 (2) 8,91 1450 16,3 85 13,0 215 

Cobalt � -Co Co 27 hdP 250/1,62 153/82 (2) 8,89 1490 13,8 101 18,1 213 

>417°C ��-Co 

kfz 355 

Eisen � -Fe Fe 26 krz 287 124/67 (3) 7,85 1535 12 75 11,9 215 

>912°C ��-Fe 

kfz 365 127 

Höchstschmelzende Metalle 

Titan � -Ti Ti 22 hdP 295/1,59 148/61 (4) 4,51 1668 2,3 22 9,0 105 

>882°C � -Ti 

krz 332 

Zirkon � -Zr Zr 40 tetr. 323/1,59 162/87 (4) 6,53 1855 2,5 22,7 6,3 90 

>852°C � -Zr 

krz 361 

Vanadium V 23 krz 302 131/59 (5) 5,96 1900 5 30,7 n.b. 150 

Chrom Cr 24 krz 288 * 150/64 (3) 7,19 1860 6,6 94 8,4 190 

Niob Nb 41 krz 329 142/69 (5) 8,58 2470 — 54 7,4 160 

Molybdän Mo 42 krz 315 136/62 (6) 10,22 2620 20 135 5,2 330 

Tantal Ta 73 krz 330 143/64 (5) 16,68 3000 8 56 6,5 188 

Wolfram 

Edelmetalle 

W 74 krz 317 137/62 (6) 19,26 3400 20 173 4,5 400 

Quecksilber Hg 80 — 160/112 (2) 13,55 (–38,83) 1 — 9,5 — 

Silber Ag 47 kfz 409 145/113 (1) 10,5 (961,78) 66 428 19,7 81 

Gold Au 79 kfz 408 144/137 (1) 19,32 (1064,18) 49 318 14,2 79 

Palladium Pd 46 kfz n.b. 138/86 (2) 12,02 1550 10,2 72 11,8 — 

Platin Pt 78 kfz 392 139/85 (2) 21,45 1770 10 72 9,1 173 

Rhodium Rh 45 kfz 379 134/75 (3) 12,41 1970 23 150 8 280 

Hafnium Hf 72 hdP n.b. 156/84 (4) 13,31 2230 3,8 — — — 

Ruthenium Ru 44 hdP n.b. 134/77 (3) 12,40 2310 15 117 10 — 

Iridium Ir 77 kfz 384 136/66 (4) 22,65 2450 21 147 6,5 530 

Osmium Os 76 hdP 273/1,58 135/67 (4) 22,61 3040 11 88 7 570 

Rhenium Re 75 kfz 380 137/72 (4) 21,03 3180 — — — — 

1) Bei hexagonalen (tetr.) Metallen ist das Verhältnis der senkrechten Konstante c/a angegeben; 

2) In Klammern die zugehörige, häufigste Oxidationszahl der Ionen; 

3) bei 20 °C; 

4) bei 0 °C = 273 K; 

5) Bereich 0…100 °C, Werte mit 10 –6 multiplizieren !; 

6) Klammerwerte nach der IST-90 (Internationale Temperatur Skala)

3.3 Nichtmetalle 

Element Symbol Ordnungszahl 

Edelgase 

Helium 

Neon 

Argon 

Krypton 

Xenon 

Radon 

Halogene 

Fluor 

Chlor 

Brom 

Jod 

Astat 

Gase 

Wasserstoff 

Stickstoff 

Sauerstoff 

He 

Ne 

Ar 

Kr 

Xe 

Rn 

F 

Cl 

Br 

J 

H 

N 

O 

2 

10 

18 

36 

54 

86 

9 

17 

35 

53 

85 

1 

7 

8 

Rel. Atommasse 

4,00 

20,18 

39,95 

83,80 

131,30 

222 

19 

35,45 

79,90 

126,90 

210 

1,008 

14,007 

16,00 

Bekannte 

Isotope 

2 

3 

3 

6 

9 

3 

1 

2 

2 

1 

— 

3 

2 

1 

Häufigste 

Isotope 

4 

20 

40 

84 

132 

— 

19 

35 

79 

127 

— 

1 

14 

16 

Dichte r bei 20 °C 

Gasein g/l 

1,17 

0,84 

1,66 

3,48 

4,49 

9,23 

1,58 

2,95 

3,14 g/cm 3 

4,44 g/cm 3 

— 

0,084 

1,17 

1,33 

Feste Nichtmetalle Dichte in g/cm 3 

Arsen 

Bor 

Kohlenstoff 

Phosphor 

Schwefel 

Selen 

Silicium 

Tellur 

As 

B 

C 

P 

S 

Se 

Si 

Te 

33 

5 

6 

15 

16 

34 

14 

52 

3.4 Elektronegativität 

Elektronegativitätsskala (Pauling) 

74,92 

10,81 

12,01 

30,97 

32,06 

78,96 

28,09 

127,60 

1 

2 

2 

1 

4 

6 

3 

8 

75 

11 

12 

31 

32 

80 

28 

130 

5,72 

2,3 

3,51 

2,20 (rot) 

2,06 

4,81 

2,33 

6,24 

Chemie 

Elektronegativität 

Oxidationszahlen 

(wichtigste h`fett) 

1, – 1 

� 

� 

� 

0-wertig 

7, 5, 3, 1, – 1 

1, – 1 

5, 4, 3, 2, – 3 

–2, –1 

5, 3, – 3 

3 

4, 2, – 4 

5, 3, – 3 

6, 4, 2, – 2 

6, 4, – 2 

4, 2, – 4 

6, 4, 2, – 2 

Nichtmetalle sind elektronegative 

Elemente. Sie ziehen 

Elektronen an und bilden dann 

negativ geladene Ionen (Anionen). 

Der Grad der Anziehung, die 

so genannte Elektronegativität, 

wird nach einer Skala mit 

empirischen Zahlen bewertet. 

Danach ist Fluor das Element 

mit der stärksten Anziehung 

für Elektronen, während das 

Cäsium das elektropositivste 

Metall ist. 

69 

3

3 

70 

Chemie 

Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe 

3.5 Chemische Bindungen, Wertigkeitsbegriffe 

Metallbindung 

Ionenbindung 

heteropolare, 

elektrovalente Bindung 

Bindungspartner Metallatome Metallatome � 

Nichtmetallatome 


der Partner 

Änderung in der 

Elektronenhülle 

Richtung der Bindung 

Struktur und Art 

der Teilchen 

Eigenschaften der 

entstehenden Stoffe 

elektropositive 

Elemente 

Abgabe der Valenzelektronen, 

nicht lokalisierte 

Elektronen � 

„Elektronengas“ 

Bindungskräfte 

allseitig 

Metallgitter aus 

gleichen Gitterbausteinen 

von platzwechselndenElektronenzusammengehalten 

elektrische Leiter 

I. Klasse, plastischeVerformbarkeit 

in kaltem Zustand 

Beispiele Metalle und Legierungen 

Polarisierte Atombindung 

Elemente mit unterschiedlicherElektronegativität 

Übergang der Valenzelektronen 

zum 

Anion, lokalisierte Elektronen 

� Ionenbildung 

Bindungskräfte 

allseitig 

Ionengitter aus Kationen 

und Anionen mit starken 

elektrostatischen Kräften 

zusammengehalten 

elektrische Leiter 

II. Klasse (Ionenleiter), 

keine plastische Verformbarkeit 

in kaltem 

Zustand, hohe Schmelz- 

und Siedepunkte 

Metalloxide, -hydroxide, 

Salze 

Nichtmetallatome 

Atombindung 

homöopolare, kovalente Bindung 

Elemente mit gleicher oder gering unterschiedlicher 


Elektronenpaarbildung durch Überlappung einfach 

besetzter Orbitale, lokalisierte Elektronen � Molekülbildung 

Bindungskräfte gerichtet 

Moleküle bestimmter 

räumlicher Gestalt 

bilden Molekülgitter mit 

schwachen zwischenmolekularen 

Kräften 

Nichtleiter, niedrige 

Schmelz- und Siedepunkte, 

z.T. Gase 

Elementare Gase (außer 

Edelgase), Kohlenstoffverbindungen 

Sonderfall, Gruppe IV 

(PSE) 

Atomgitter mit Elektronenpaarbindung 

nach 4 Richtungen 

� Diamantgitter 

Halbleiter (evtl. durch Erwärmung), 

hohe Härte und 

Schmelzpunkte, keine plastische 

Verformbarkeit im 

kalten Zustand 

Diamant, Quarz SiO 2, 

Siliciumcarbid SiC, 

Borcarbid B 4C 

Atombindung zwischen Nichtmetallen mit unterschiedlicher Elektronegativität. Das bindende Elektronenpaar 

verlagert sich zum negativeren Partner. 

Beispiel: H = 2,1; Cl = 3,0; Chlorwasserstoff HCl 

+ � – � 

H – Cl Folge: + H – Cl – 

Ladung �� 0,2 · e – Dipol 

Die polarisierte Atombindung ist als fließender Übergang zwischen den reinen Formen der Atombindung 

(Nichtmetallatome gleicher Elektronegativität) und der Ionenbindung (Metall- mit Nichtmetallatom) 

zu betrachten.

Dipol 

stöchiometrische 

Wertigkeit 

Ionenwertigkeit 

Ladungszahl 

Bindigkeit, 

Bindungswertigkeit 

Oxydationszahl 

Chemie 


Molekül mit polarisierter Atombindung, bei dem die Schwerpunkte der 

Ladung beider Teilchen nicht zusammenfallen, so dass das Molekül 

ein positives und negatives Ende besitzt. 

Wichtige Dipole: Wasser H 2O, Ammoniak NH 3 (flüssig) 

Fluorwasserstoff HF (flüssig). 

Dipole haben hohe Dielektrizitätskonstante und sind dadurch Lösungsmittel 

für Ionenverbindungen. 

Die beiden Enden eines Dipolmoleküls wirken auf Ionen anziehend 

bzw. abstoßend. Dadurch umgeben sich Ionen mit einer Hülle von 

Dipolen, welche die elektrostatische Anziehung der Ionen verringern. 

Dadurch entstehen die freibeweglichen Ionen in z.B. Lösungen des 

Wassers � elektrolytische Dissoziation, 3.15. 

Ganzzahlige Angabe über das Verhältnis, mit dem Atome oder -gruppen 

das Wasserstoffatom binden oder ersetzen können. Neben dem einwertigen 

Wasserstoff H kann auch der zweiwertige Sauerstoff O als 

Bezugsgröße dienen. 

Ganzzahlige Angabe mit Vorzeichen; kennzeichnet die Anzahl der 

aufgenommenen Elektronen (Minus-Zeichen) oder der abgegebenen 

Elektronen (Pluszeichen). 

Der Betrag der Ionenwertigkeit stimmt mit der stöchiometrischen Wertigkeit 

überein. 

Beispiel: Schwefelsäure H 2SO 4: der Säurerest (SO 4) 2– hat die Ladungszahl 

– 2 und die stöchiometrische Wertigkeit 2. 

Ganzzahlige Angabe; kennzeichnet die Anzahl der Elektronen, die 

das Atom mit seinen Partnern gemeinsam besitzt. Bindigkeit und Wertigkeit 

stimmen nicht immer überein! 

Beispiel C-Atome: 

Methan CH 4: Wertigkeit 4 Bindigkeit 4 

Äthen C 2H 4: Wertigkeit 2 Bindigkeit 4 

Bindigkeit mit Hilfe der Elektronenformeln oder Strukturformeln erklärbar. 

H H 

C�C H H 

H H 

.. .. 

C :: C 

.. .. 

H H 

Strukturformel Elektronenformel 

Rechengröße zur Erfassung von Redoxreaktionen. Die Oxydationszahl 

ist die gedachte Ladung eines Elementes in einer chemischen 

Verbindung unter der Annahme, sie würde aus Ionen bestehen (auch 

wenn es eine Atombindung ist). 

Dabei sind folgende Regeln der Reihe nach anzuwenden: 

1. Alle Metalle sowie Bor und Silicium erhalten positive Oxydationszahlen. 

2. Fluor, als elektronegativstes Element erhält – 1. 

3. Wasserstoff erhält � 1 und Sauerstoff – 2, soweit nicht bereits 

durch Anwendung von Regel 1 und 2 andere Zahlen festliegen. 

71 

3

3 

72 

Chemie 


Koordinationszahl 

Mit Hilfe der Oxydationszahlen können Reaktionsgleichungen nachgeprüft 

werden unter Beachtung folgender Grundsätze: Alle Elemente, 

auch die elementaren Gase, haben die Oxydationszahl Null. 

Bei einer chemischen Verbindung ist die Summe aller Oxydationszahlen 

gleich Null. 

Beispiel: Oxydationszahlen des Schwefels 

+ 1 

H2S für Schwefelwasserstoff ergibt sich – 2 

2 

SO2 

− 

2 − 

SO 

3 

für Schwefeldioxid ergibt sich � 4 

für Schwefeltrioxid ergibt sich � 6 

Bei einem Ion ist die Summe der Oxydationszahlen gleich der Ionenwertigkeit 

(Ladungszahl). 

Beispiel: Oxydationszahl des Stickstoffs im Nitrat-Ion, Ladung – 1. 

2 

−1 

⎡ − ⎤ 

NO3 

⎣ ⎦ für Stickstoff ergibt sich � 5. 

Bei einer Reaktionsgleichung muss die Summe der Oxydationszahlen 

auf beiden Seiten gleich groß sein. Dabei können die Oxydationszahlen 

von Elementen, die sich nicht ändern, fortgelassen werden. Es müssen 

jedoch die Koeffizienten und Multiplikatoren berücksichtigt werden. 

Beispiel: Aluminothermische Reduktion von Silicium 

Vergleich der 0-Zahlen links und 

rechts lässt auf fehlende Koeffizienten 

schließen. 

Probe auf Gleichheit der Massen 

ergibt restliche Koeffizienten. 

Reaktionsgleichung 

Angabe über die Zahl der unmittelbaren Nachbarteilchen in Raumgittern 

und Komplex-Ionen. Sie lässt einen Schluss auf die Struktur und 

den Modellkörper zu, den das Teilchen mit diesen Nachbarn bildet. 

Koordinationszahl 

4 

6 

8 

12 

12 

Modellkörper Raumgitterstruktur, 

Beispiel 

Tetraeder Diamantgitter 

Oktaeder kubisch-einfach, Kochsalzgitter 

Würfel kubisch-raumzentriert, �-Eisen 

Würfel kubisch-flächenzentriert, �-Eisen, Blei 

hexagonales hexagonal-dichteste Packung, 

Prisma Zink, Magnesium 

Bei Komplex-Ionen gibt die Koordinationszahl an, wie viele Liganden 

(Ionen oder Moleküle) um das so genannte Zentralion angeordnet 

sind. Es sind alle Zahlen von 2…8 möglich, häufig sind die geraden 

Koordinationszahlen. 

Beispiel: Natriumhexafluoraluminat, Na 3 (AlF 6). Als Kryolith für die Al- 

Schmelzflusselektrolyse ein wichtiges Flussmittel. 

+ 3− 

3Na + (AlF 6) 

Im Anion ist das AI von 6 Fluorionen umgeben. Aus 

+3 -1 den Oxydationszahlen errechnet sich die dreifach 

AlF negative Ladung des Ions. 

6 

Komplex-Ionen haben einen räumlichen Bau, der durch die in der 

Tafel angegebenen Modellkörper beschrieben wird.

3.6 Systematische Benennunganorganischer 

Verbindungen 

allgemeine Regeln 

Metallverbindungen 

Verbindungen von zwei 

Nichtmetallen 

1 mon(o) 

2 di 

3 tri 

4 tetr(a) 

5 pent(a) 

6 hex(a) 

7 hept(a) 

Hydroxide 

Säuren 

Chemie 

Systematische Benennung anorganischer Verbindungen 

Grundsätzlich wird der Name des elektropositiveren Elementes (Metall) 

an erster Stelle (meist unverändert) genannt. Daran wird der Name 

des elektronegativeren Elementes (oder Gruppe) mit einer Endung 

angehängt. 

Bei Verbindungen aus zwei Elementen heißt die Endung – id. 

Die Reihenfolge der Benennung wird durch die Elektronegativitätsskala 

nach Pauling geregelt. 

K Na Ba Li Ca Mg AI Zn Si H P C S N Cl O F 

0,8 0,9 1,0 1,2 1,5 1,7 1,8 2,1 2,1 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 4,0 

�elektropositiver elektronegativer� 

Verbindungen von Name Verbindungen von Name 

Wasserstoff 

Fluor 

Chlor 

Brom 

Jod 

-hydrid 

-fluorid 

-chlorid 

-bromid 

-jodid 

Sauerstoff 

Schwefel 

Stickstoff 

Kohlenstoff 

Phosphor 

-oxid 

-sulfid 

-nitrid 

-carbid 

-phosphid 

Wenn mehrere Verbindungen des Metalls mit einem Element (oder 

Gruppe) existieren, wird zur eindeutigen Kennzeichnung die Oxydationsstufe 

des Metalles zwischen die beiden Teile gesetzt: 

Beispiele: 

FeO Eisen(II)-oxid Fe 2O 3 Eisen(III)-oxid 

Fe 3O 4 Eisen(II,III)-oxid, dagegen nur 

Al 2O 3 Aluminiumoxid (kein weiteres Oxid bekannt) 

Wenn mehrere Verbindungen zwischen beiden Elementen existieren, 

wird zur eindeutigen Kennzeichnung zu einem oder auch zu beiden 

Teilen ein griechisches Zahlwort hinzugefügt. 

Grundsatz: Nur so viel Zahlworte, als zur zweifelsfreien Bezeichnung 

erforderlich! Für das elektropositivere Element entfällt das Zahlwort 

„mono“. 

Beispiele: 

CO Kohlenmonoxid CO 2 Kohlendioxid 

SO 2 Schwefeldioxid SO 3 Schwefeltrioxid 

N 2O Distickstoffoxid 

N 2O 4 Distickstofftetroxid 

Namen werden aus dem Metall (evtl. unter Angabe der Oxydationsstufe) 

und der Hydroxidgruppe (OH) gebildet. Die Zahl der OH-Gruppen 

wird nicht angegeben. 

Beispiele: 

Fe(OH) 2 Eisen(II)-hydroxid 

Fe(OH) 3 Eisen(IlI)-hydroxid, dagegen: 

Al (OH) 3 Aluminiumhydroxid (kein weiteres bekannt) 

Keine systematische Benennung. Es werden Trivialnamen (gewerbliche 

Bezeichnungen) verwendet. 

73 

3

3 

74 

Chemie 

Systematische Benennung organischer Verbindungen 

Salze 

3.7 Systematische Benennung 

von Säuren 

und Säureresten 

3.8 Systematische Benennungorganischer 

Verbindungen 

Stammname 

Salznamen werden aus dem Metall (evtl. unter Angabe der Oxydationsstufe) 

und dem Namen des Säurerestes gebildet. Saure Salze, die 

noch Säurewasserstoff enthalten, werden durch ein zwischengeschaltetes 

-hydrogen- gekennzeichnet (siehe Tabelle). 

Säure Formel Säurerest Ladung Salzname 

Fluorwasserstoffsäure 

Flusssäure 

Chlorwasserstoffsäure 

Salzsäure 

Bromwasserstoffsäure 

Jodwasserstoffsäure 

Schwefelwasserstoffsäure 

Cyanwasserstoffsäure 

Blausäure 

chlorige Säure 

Chlorsäure 

Perchlorsäure 

Cyansäure 

Kieselsäure 

Kohlensäure 

Phosphorsäure 

salpetrige Säure 

Salpetersäure 

HF 

HCI 

HBr 

HJ 

H 2S 

HCN 

HCIO 2 

HClO 3 

HClO 4 

HOCN 

H 2SiO 3 

H 2CO 3 

H 3PO 4 

HNO 2 

HNO 3 

F 

Cl 

Br 

J 

S 

CN 

ClO 2 

CIO 3 

CIO 4 

OCN 

SIO 3 

CO 3 

HCO 3 

PO 4 

HPO 4 

NO 2 

NO 3 

Kettenförmige Kohlenwasserstoffe (Aliphaten) 

1- 

1- 

1- 

1- 

2- 

1- 

1- 

1- 

1- 

1- 

2- 

2- 

1- 

3- 

2- 

1- 

1- 

-fluorid 

-chlorid 

-bromid 

-jodid 

-sulfid 

-cyanid 

-chlorit 

-chlorat 

-perchlorat 

-cyanat 

-silikat 

-carbonat 

-hydrogencarbonat 

-phosphat 

-hydrogenphosphat 

-nitrit 

-nitrat 

Der Name einer chemischen Verbindung besteht aus dem Stammnamen, 

Endungen bzw. Vorsilben und Ziffern, die die Stellung der 

Gruppen in der Kette angeben. 

wird nach der Zahl der C-Atome in der Hauptkette gebildet. 

Stamm Zahl Stamm Zahl 

Meth- 

Äth- 

Prop- 

But- 

Pent- 

1 

2 

3 

4 

5 

Hex- 

Hept- 

Okt- 

Non- 

Dec- 

6 

7 

8 

9 

10

Endung 

Ziffern 

verzweigte Ketten 

Chemie 


wird nach der Bindung der C-Atome in der Kette gebildet 

Endung 

Name der 

Reihe 

Formel 

allgemein 

Beispiel Bindungen 

-an Alkan 

(Paraffin) 

CnH2n + 2 C2H6 Äthan, Ethan 

l l 

� C�C� l l 

Einfachbindung, 

gesättigt 

-en Alken 

(Olefin) 

-dien Alkadien 

(Diolefin) 

-in Alkin 

(Acetylen) 

C nH 2n 

C2H4 Äthen, Ethen 

� � 

C�C � � 

CnH2n – 2 C4H6 Butadien 

� � 

C�C�C�C � l l � 

C nH 2n – 2 C 2H 2 

Äthin, Ethin 

– C � C – 

Doppelbindung, 

ungesättigt 

2 Doppelbindungen, 

ungesättigt 

Dreifachbindung, 

ungesättigt 

Nachgestellte Ziffern geben an, hinter welchem (oder welchen) C- 

Atom(en) die Mehrfachbindung liegt. Sie kann weggelassen werden, 

wenn bei kurzen Ketten keine Zweideutigkeit vorliegt. 

Beispiele: 

CH 2 = C = CH – CH 3 

CH � C – CH 3 

Butadien-(1,2) 

Stellung der Doppelbindungen 

2 Doppelbindungen 

4 C-Atome in der Kette 

Propin 

CH 3 – C � CH Dreifachbindung 

3 C-Atome in der Kette 

Hier kann die Stellungsziffer weggelassen werden, da die beiden 

Möglichkeiten für die Lage der Dreifachbindung gleichwertig sind. 

wurden früher mit der Vorsilbe Iso- gekennzeichnet. Systematische 

Benennung nach vier Regeln: 

1. Stammname wird nach der Anzahl der C-Atome in der längsten 

Kette gebildet 

2. Radikalname(n) der Seitenketten als Vorsilben vorgestellt 

3. Zahlwörter vor den Radikalnamen, wenn mehrere gleiche Radikale 

vorliegen 

4. Stellungsziffer vor dem Radikalnamen gibt an, bei welchem Glied 

der C-Kette die Seitenkette abzweigt (kleinstmögliche Ziffer), kann 

bei Eindeutigkeit fortfallen 

75 

3

3 

76 

Chemie 


Radikale 

Halogenderivate 

weitere Derivate 

Kohlenwasserstoffreste (Alkyle) sind ein- oder mehrbindige Atomgruppen, 

die nicht selbstständig existieren, bei chemischen Reaktionen 

aber meist zusammenbleiben. Sie leiten sich von den Stammnamen 

der Kohlenwasserstoffe ab und haben die Endung -yl. 

CH 3- 

C 2H 5- 

Beispiele: 

Methyl 

Äthyl 

C 3H 7- 

C 4H 9- 

Propyl 

Butyl 

CH 2 = CH- 

CH 2 = CH – CH 2 

Äthenyl 

Propenyl 

1 2 3 4 

CH3 �CH �CH2 �CH3 2-Methylbutan 

l 

CH3 

4 C-Atome in der Hauptkette 

CH3 l 

CH3 � C �CH3 

l 

CH3 

Seitenkettenradikal 

Abzweig beim 2. C-Atom 

2,2-Dimethylpropan 

3 C-Atome in der Hauptkette 

2 Radikale gleicher Art 

Abzweige am 2. C-Atom 

CH3 �C� CH 

Methylpropen (statt 2-Methylpropen-(l), da 

2 

l 

eindeutig) 

CH3 

Hierfür gelten die Regeln die auf verzweigten Ketten angewendet werden. 

Anstelle der Alkyl-Radikale treten die Namen der Halogenelemente. 

Beispiele: 

CH 3 – CH 2Cl Chloräthan CH 2Cl – CH 2Cl 1,2-Dichloräthan 

CF2Cl2 Difluordichlormethan 

CF2 = CFCl Trifluorchloräthen Stellungsziffern überflüssig 

2 C-Atome, Doppelbindung 

1 Cl-Atom als Substituent 

3 F-Atome als Substituenten 

Durch Einbau funktioneller Gruppen in die Stammkohlenwasserstoffe 

entstehen Derivate, deren Namen meist mit Endung gebildet werden, 

die von der funktionellen Gruppe abhängen. Bei längeren Ketten 

muss die Stellung der Gruppe in der Kette angegeben werden. Gleiche 

Gruppen zwei- oder mehrfach werden durch Zahlwörter berücksichtigt. 

Beispiel: 

4 3 2 1 

CH3 �CH2 �CH�CH2�OH Butandiol-(1,2) 

| 

OH

3.9 Benennung von funktionellen Gruppen 

In Klammern stehende Namen sind bekannte Trivialnamen der Verbindungen 

kennzeichnende Gruppe 

Derivatname Endung Name Struktur Formel 

Alkanol 

(Alkohol) 

Alkanal 

(Aldehyd) 

Alkanon 

(Keton) 

Alkansäure 

(Karbonsäure) 

Alkensäure 

-ol Hydoxy- 

-al Aldehyd- 

-on 

Oxo- 

-säure Carboxyl- 

Aminoalkane -amin Amino- 

Alkanamide -amid 

R – OH 

O 

R�C �� 

� 

H 

R�C �R 

|| 

O 

O 

R�C �� 

R�N � 

OH 

� 

� 

H 

H 

O 

R�C �� 

� 

NH 

2 

– OH 

– CHO 

� CO 

– COOH 

– NH 2 

– CONH 2 

Chemie 

Ringförmige Kohlenwasserstoffe 

Beispiel 

C 2H 5 – OH Äthanol 

C 3H 5(OH) 3 Propantriol 

(Glyzerin) 

CH 3 – CHO Äthanal 

(Acetaldehyd) 

CH 3 – CO – CH 3 Propanon 

(Aceton) 

CH 3 – COOH Äthansäure 

(Essigsäure) 

CH 3 � CH – COOH Propensäure 

(Acrylsäure) 

CH 3 – NH 2 Methylamin 

Aminomethan 

CH 3 – CONH 2 Äthanamid 

Alkannitril -nitril Nitril- R – C � N – CN CH 3 – CN Äthannitril 

Alkennitril CH 2 � CH – CN Propennitril 

(Acrylnitril) 

Nitroalkan – Nitro- 

O 

R�N �� 

R�S �R 

Alkylsulfone -sulfon Sulfon- || 

O 

Alkansäurealkyl-Ester 

Alkoxyalkane 

Äther 

-ester 1 

�� 

H 

O 

R � C 

�� 

OR 

-oxy- R 1 – O – R 2 

� 

2 

– NO 2 

� SO 2 

– COO – 

3.10 Ringförmige Kohlenwasserstoffe (Aromaten) 

CH 3 – NO 2 Nitromethan 

CH 3 – SO 2 – CH 3 Dimethylsulfon 

CH 3COOCH 3 Äthansäure 

methylester 

C 2H 5 – O – C 2H 5 Äthoxy-äthan 

(Diäthyläther) 

Für diese Verbindungen und ihre Derivate (Ableitungen) sind meist Trivialnamen im Gebrauch. Deswegen 

werden die Regeln auf Benzol und die wichtigsten Derivate beschränkt. 

H H 

l l 

H� � H 

– 

l l 

H H 

Benzol C 6H 6 Radikal Phenyl C 6H 5 – 

77 

3

3 

78 

Chemie 

Basen, Laugen 

Stellungsziffern Die H-Atome können durch Alkylradikale, Halogene oder funktionelle 

Gruppen substituiert werden. Bei mehreren Substituenten wird die 

Stellung am Benzolring durch Ziffern bezeichnet, die direkt an der 

Bezeichnung für den Substituenten stehen (siehe Beispiele). 

3.11 Basen, Laugen 

Bezeichnung 

chemische 

Formel 

Natronlauge NaOH 

– 1 – 1 4 – – 1 

2 3 

1,2-Stellung 1,3-Stellung 1,4-Stellung 

(ortho-), o- (meta-), m- (para-), p- 

Beispiele: 

– OH – OH 

OH CH 3 

1,2-Dimethylbenzol 2-Methylhydroxybenzol 

(o-Xylol) (o-Kresol) 

– COOH NH 3 – – NH 3 

COOH 

Benzoldicarbonsäure-(1,2) 1,4-Diaminobenzol 

(Phtalsäure) (p-Phenylendiamin 

Beispiel und Bemerkung 

CaO + H 2O � Ca(OH) 2 

(Metalloxid) + (Wasser) � (Hydroxid) 

Herstellung durch Elektrolyse von NaCl-Lösung nach verschiedenen 

Verfahren. Zum Aufschluss von Bauxit, Zellstoff; 

für Seifenherstellung und Beizen von Aluminium. 

Kalilauge KOH Elektrolyt in Nickel-Eisen-Akkumulatoren. 

Calciumhydroxid, 

gelöschter Kalk 

Calciumoxid, 

gebrannter Kalk 

Calciumcarbonat, 

Kalkstein 

Magnesiumcarbonat, 

Magnesit, Dolomit 

Natriumcarbonat, 

Soda 

Kaliumcarbonat, 

Pottasche 

Ca(OH) 2 

CaO 

CaCO 3 

MgCO 3 

Na 2CO 3 

K 2CO 3 

Als Kalkwasser eine billige Lauge bei der Zuckerherstellung. 

Basischer Stoff für die Neutralisation von Abfallsäuren und 

sauren Böden. Zur Entphosphorung im Stahlwerk. 

Hochofenzuschlag zur Schlackenbildung und Entschwefelung. 

Basische Stoffe für feuerfeste Auskleidungen von Öfen und 

Pfannen im Stahlwerk und Gießerei. 

Roheisenentschwefelung, Glasherstellung, Entfettungsmittel. 

Glasherstellung.

Chemie 

Gewerbliche und chemische Benennung von Chemikalien, chemische Formeln 

3.12 Gewerbliche und chemische Benennung von Chemikalien, chemische Formeln 

gewerbliche 

Benennung 

Äther 

Ätzkali 

Ätznatron 

Alaun 

Alkohol 

Antichlor 

Azeton 

Azetylen 

Blausäure 

Bleiglätte 

Bleiweiß 

Bleizucker 

Blutlaugensalz, 

gelb 

Blutlaugensalz, 

rot 

Borax 

Braunstein 

Chilesalpeter 

Chlorkalk 

Chromsäure 

Chromkali, gelb 

Chromkali, rot 

destilliertes Wasser 

Eisenoxyd, salzsauer 

Eisenrost 

Eisenvitriol 

Essig 

Fixiersalz 

Flusssäure 

Gips 

Glaubersalz 

Glyzerin 

Graphit 

Grünspan 

Höllenstein 

Kalilauge 

(kaustisches Kali) 

Kalisalpeter 

Kalk, gebrannt 

Kalk, gelöscht 

Kalkstein 

(Kalzium-) Karbid 

kaustische Pottaschenlauge 

kaustische Soda 

Kieselsäure (Quarz) 

chemische 

Benennung 

Äthyläther 

Kaliumhydroxid 

Natriumhydroxid 

Kaliumaluminiumsulfat 

Äthanol 

Natriumthiosulfat 

Aceton 

Acetylen 

Cyanwasserstoff 

Bleioxid 

bas. Bleicarbonat 

Bleiacetat 

Kaliumhexacyanoferrat(II)Kaliumhexacyanoferrat(III) 

Natriumtetraborat 

Mangandioxid 

Natriumnitrat 

Chlorkalk 

Chrom(Vl)-oxid 

Kaliumchromat 

Kaliumbichromat 

destilliertes Wasser 

Eisen(III)-chlorid 

Eisen(III)-oxid- 

Hydrat 

Ferrosulfat 

Essigsäure 

Natriumthiosulfat 

Fluorwasserstoff 

Calciumsulfat 

Natriumsulfat 

Glycerin 

Graphit 

bas. Kupferacetat 

Silbernitrat 


Kaliumnitrat 

Calciumoxid 

Calciumhydroxid 

Calciumcarbid 



Siliciumdioxid 

chemische 

Formel 

(C 2 H 5 ) 2 O 

KOH 

NaOH 

KAl(SO 4 ) 2 · 12H 2 O 

C 2 H 5 OH 

Na 2 S 2 O 3 · 5H 2 O 

(CH 3 ) 2 · CO 

C 2 H 2 

HCN 

PbO 

2 PbCO 3 · Pb(OH) 2 

Pb(C 2 H 3 O 2 ) 2 ·3H 2 O 

K 4 [Fe(CN) 6 ]·3H 2 O 

K 3 [Fe(CN) 6 ] 

Na 2 B 4 O 7 ·10H 2 O 

MnO 2 

NaNO 3 

CaCl(OCI) 

CrO 3 

K 2 CrO 4 

K 2 Cr 2 O 7 

H 2 O 

FeCl 3 ·6H 2 O 

Fe 2 O 3 ·xH 2 O 

FeSO 4 ·7H 2 O 

CH 3 COOH 

Na 2 S 2 O 3 ·5H 2 O 

HF 

CaSO 4 ·2H 2 O 

Na 2 SO 4 ·10H 2 O 

C 3 H 5 (OH) 3 

C 

Cu(C 2 H 3 O 2 ) 2 � 

Cu(OH) 2 ·5H 2 O 

AgNO 3 

KOH 

KNO 3 

CaO 

Ca(OH) 2 

CaCO 3 

CaC 2 

KOH 

NaOH 

SiO 2 

gewerbliche 

Benennung 

Kochsalz (Steinsalz) 

Kohlensäure 

Korund 

Kreide 

Kupferoxyd, salzsauer 

Kupfervitriol 

Lötwasser 

Manganoxydul, 

salzsauer 

Marmor 

Mennige 

Methyl-Alkohol 

Natron 

(Natronlauge) 

Natronsalpeter 

Polierrot 

Pottasche 

Salmiak, 

Salmiaksalz 

Salmiakgeist 

Salzsäure 

Scheidewasser 

Schwefelsäure 

Siliziumkarbid 

Soda (Kristall-) 

Tetra 

Tetraäthylblei 

Tetralin 

Tri 

übermangansaures 

Kali 

Vitriol, blauer 

Vitriol, grüner 

Wasserglas (Natron-) 

Wasserglas (Kali-) 

Wasserstoffsuperoxyd 

Zink, salzsauer 

Zinkchlorid 

Zinkweiß 

Zinnchlorid 

Zinnsalz, Chlorzinn 

Zyankali 

chemische 

Benennung 

Natriumchlorid 

Kohlendioxid 

Aluminiumoxid 

Calciumcarbonat 

Kupfer(II)-chlorid 

Kupfersulfat 

wässerige Lösung 

von Zinkchlorid 

Mangan(ll)-chlorid 

Calciumcarbonat 

Blei(II, IV)-oxid 

Methanol 


Natriumnitrat 

Eisen(III)-oxid 

Kaliumcarbonat 

Ammoniumchlorid 

wässerige Lösung 

von Ammoniak 


Salpetersäure 

Schwefelsäure 

Siliciumcarbid 

Natriumcarbonat 

Tetrachlorkohlenstoff 

Bleitetraäthyl 

Tetrahydronaphthalin 

Trichloräthylen 

Kaliumpermanganat 

Kupfersulfat 

Eisen(II)-sulfat 

Natriumsilicat 

Kaliumsilicat 

Wasserstoffperoxid 

Zinkchlorid 

Zinkchlorid 

Zinkoxid 

Zinn(IV)-chlorid 

Zinn(II)-chlorid 

Kaliumcyanid 

chemische 

Formel 

NaCl 

CO 2 

Al 2 O 3 

CaCO 3 

CuCl 2 ·2H 2 O 

CuSO 4 ·5H 2 O 

ZnCl 2 

MnCl 2 ·4H 2 O 

CaCO 3 

Pb 3 O 4 

CH 3 OH 

NaOH 

NaNO 3 

Fe 2 O 3 

K 2 CO 3 

NH 4 CI 

NH 3 

HCl 

HNO 2 

H 2 SO 4 

SiC 

Na 2 CO 3 ·10H 2 O 

CCl4 

Pb(C 2 H 5 ) 4 

C 10 H 12 

C 2 HCl 3 

KMnO 4 

CuSO 4 ·5H 2 O 

FeSO 4 ·7H 2 O 

Na 2 SiO 2 

K 2 SiO 3 

H 2 O 2 

ZnCl 2 

ZnCI 2 ·3H 2 O 

ZnO 

SnCl 4 

SnCl 2 

KCN 

79 

3

3 

80 

Chemie 

Chemische Reaktionen, Gesetze, Einflussgrößen 

3.13 Säuren 

3.14 Chemische Reaktionen, 

Gesetze, 

Einflussgrößen 

Reaktionsgleichung 

Erhaltung der Masse 

Erhaltung der Energie 

Reaktions- 

geschwindigkeit 

Bezeichnung 


Salzsäure 

Fluorwasserstoffsäure, 

Flusssäure 

chemische 

Formel 

SO 2 + H 2O � H 2SO 3 

(Nichtmetalloxid) + (Wasser) � (Säure) 

HCl Wasser löst bei 15 °C etwa das 

450fache Volumen Chlorwasserstoff. 

Beizmittel zum Entzundern. 

HF 

Siedepunkt 19,5 °C, als 30… 50 %ige 

Säure in wässriger Lösung. Ätzmittel 

für Glas. 

Schwefelsäure H 2SO 4 Meist verdünnt verwendet. Konzentriert 

stark wasserentziehend. Hauptverwendung 

zur Düngemittelherstellung, Akkusäure, 

Herstellung anderer Säuren. 

Salpetersäure HNO 3 Starkes Oxydationsmittel, entzündet 

konzentriert Holz, Alkohol. Dient zur 

Einführung der Gruppe NO 2 in Kohlenwasserstoffe: 

Nitrierung von Glycerin: 

Nitroglycerin. 

Phosphorsäure H 3PO 4 Phosphatieren von Oberflächen. 

Qualitative und quantitative Beschreibung einer chemischen Reaktion 

mit Symbolen für Elemente und Formeln für chemische Verbindungen. 

Es sind verschiedene Formen möglich: 

Reaktionsgleichung mit Summenformeln 

NaCl + AgNO 3 � NaNO 3 + AgCl � 

Ionengleichung 

Na + � Cl – Ag + � (NO 3) – � Na + (NO 3) – � AgCl � 

Reaktionsgleichung mit Elektronenformeln 

N � N � N2; :N ⋅ ⋅ 

⋅ 

� : N⋅ ⋅ � :N�� N: 

⋅ 

Reaktionsgleichung mit Elektronenformeln 

(Unterscheidung in gepaarte und ungepaarte Außenelektronen) 

H2 � Cl2 � 2 HCl; H:H + | Cl : Cl| � 2 H : Cl| 

Bei chemischen Reaktionen ändert sich die Masse eines geschlossenen 

Systems nicht. Folgerung für die Reaktionsgleichung: Jede 

Atomart muss auf beiden Seiten der Gleichung in gleicher Anzahl 

auftreten. 

Wenn bei der Bildung eines Stoffes Energie frei wird, so muss für den 

umgekehrten Vorgang der gleiche Energiebetrag zugeführt werden. 

Die Art der Energie (Wärme, elektrische Energie) kann in manchen 

Fällen eine andere sein. 

Konzentrationsänderung eines Stoffes je Zeiteinheit. Die Reaktionsgeschwindigkeit 

steigt mit der Temperatur (größere Energie und Häufigkeit 

der Zusammenstöße) und mit der Konzentration (größere Häufigkeit 

der Zusammenstöße der Teilchen). 

Katalysatoren erhöhen, Inhibitoren erniedrigen die Reaktionsgeschwindigkeit.

Konzentration 

Umkehrbare Reaktionen 

chemisches 

Gleichgewicht 

Prinzip des kleinsten 

Zwanges 

Einfluss der Temperatur 

Chemie 


Anteil eines Stoffes am Stoffsystem (Gasmischung, Lösung) 

Stoffmengenkonzentration (Molarität) c: Stoffmenge des gelösten Stoffes 

mol 

in 1 l Lösung mit der Einheit 

l 

Stoffmengenbruch (Molenbruch) x: Stoffmenge einer Komponente 

durch gesamte Stoffmenge mit 

der Einheit mol 

= 1 

mol 

Chemische Reaktionen verlaufen gleichzeitig in beiden Richtungen 

mit zunächst unterschiedlichen Reaktionsgeschwindigkeiten. 

Hinreaktion, Bildung von SO 3 

––––––� 

SO 2 + O � SO 3 – �H 

Rückreaktion, Zerfall von SO 3 

�–––––– 

Die Hinreaktion verläuft anfangs schnell, wegen der abnehmenden 

Konzentration der Ausgangsstoffe aber langsamer werdend. 

Die Rückreaktion setzt sehr langsam ein, wird mit zunehmender Konzentration 

der SO 3-Moleküle schneller. Wenn beide Geschwindigkeiten 

gleich groß geworden sind, ist die Reaktion von außen betrachtet 

beendet. Dann ist das chemische Gleichgewicht erreicht. 

Dynamischer Gleichgewichtszustand eines Stoffsystems, bei dem 

gleich viele Moleküle entstehen wie andererseits zerfallen. Ausgangsstoffe 

und Reaktionsprodukte sind in bestimmten Massenverhältnissen 

vorhanden. Dieses Massenverhältnis wird als Lage des Gleichgewichts 

bezeichnet und mit dem Massenwirkungsgesetz berechnet. 

Das im Gleichgewicht vorhandene Massenverhältnis der Stoffe bleibt 

bestehen, solange nicht einer der drei Gleichgewichtsfaktoren geändert 

wird: 

1. Temperatur; 3. Konzentration (durch Zu- oder Abfuhr eines der 

2. Druck; Reaktionspartner). 

Gesetzmäßigkeit (Le Chatelier, Braun) über das Verhalten von Stoffsystemen, 

die im Gleichgewicht sind. 

Jede Änderung der drei Gleichgewichtsfaktoren (Temperatur, Druck, 

Konzentration) übt auf das System einen Zwang aus. Dadurch wird 

diejenige Reaktion beschleunigt, welche den Zwang vermindert. Das 

System erhält eine neue Gleichgewichtslage. 

Bei Temperaturerhöhung wird die Gleichgewichtslage auf die Seite 

der endothermen Verbindung verschoben, bei Temperatursenkung 

auf die andere Seite der Reaktionsgleichung. 

Beispiel: Boudouard-Gleichgewicht, Reaktion eines CO/CO 2-Gemisches 

bei Koksüberschuss (Hochofenprozess) 

CO 2 � C � 2 CO � 1,716 · 10 5 J. 

Die Bildung von CO ist endotherm, bei Temperaturerhöhung wird mehr 

CO entstehen, die Hinreaktion wird beschleunigt. 

Temperatursenkung beschleunigt die Rückreaktion, CO zerfällt in 

C � CO 2. 

81 

3

3 

82 

Chemie 


Einfluss des Druckes 

Massenwirkungsgesetz 

(MWG) 

Bei Druckerhöhung wird die Gleichgewichtslage zu der Seite verschoben, 

welche Stoffe mit kleinerem Volumen aufweist, bei Druckminderung 

im entgegengesetzten Sinne. 

Beispiel: Vakuumbehandlung von Stahlschmelzen zur weiteren 

Desoxydation 

FeO � C � CO � Fe; rechte Seite mit größerem Volumen 

Die Gleichgewichtsreaktion wird bei Druckminderung (Vakuum) bevorzugt 

nach rechts weiterlaufen, da die Reaktionsprodukte ein größeres 

Volumen besitzen. Der Anteil der Ausgangsstoffe (Oxidschlacke) 

wird vermindert. 

Gesetz (Guldberg und Waage) über den Einfluss der Stoffmassen 

(Konzentration) auf die Reaktion. 

Der Quotient aus 

Produkt der Konzentrationen der Reaktionsstoffe 

Produkt der Konzentrationen der Ausgangsstoffe 

ist eine für jede Reaktion verschiedene Konstante, die von der Temperatur 

abhängt. Diese Gleichgewichtskonstante K wird durch Versuche 

ermittelt. Allgemeine Formulierung für eine Reaktion: 

n 1 A � n 2 B … � m 1 C � m 2 D � … [C] bedeutet: Konzentration von C 

m1 m2 

[ C] ⋅[ 

D] 

K = 

[ A] ⋅[ 

B] 

n1 n2 

Für die Ammoniaksynthese, z. B.: 

N 2 � 3 H 2 � 2 NH 3 

für eine Temperatur T 

[NH 2 

3] 

3 

2 ⋅ 2 

K = 

[N ] [H ] 

Folgerungen aus dem MWG: 

Wird bei konstanter Temperatur die Konzentration eines Stoffes geändert, 

so verschiebt sich die Gleichgewichtslage so, dass der Quotient 

des MWG wieder den Betrag K erhält. 

Beispiel: Wenn auf der linken Seite der Ammoniaksynthesegleichung 

die beiden Gase nicht im Verhältnis 1:3, sondern mit etwas mehr 

Wasserstoff gemischt werden, so erhält der Nenner des MWG einen 

größeren Wert. Um auf die gleiche Gleichgewichtskonstante K zu 

kommen, muss das System mehr NH 3 bilden, d. h., die Ausbeute an 

Ammoniak steigt. 

Wird eines der Reaktionsprodukte ständig aus dem Stoffsystem entfernt, 

so kann sich kein Gleichgewicht ausbilden. Die Reaktion verläuft 

ständig unter Bildung dieses Produktes weiter. 

Beispiel: Brennen von Kalkstein, Calciumcarbonat 

CaCO 3 � CaO � CO 2 � CO 2 kann aus dem Prozess an die Luft 

entweichen 

Fällungsreaktionen in Lösungen: 

AgNO 3 � NaCl � AgCl � � NaNO 3 

Schwerlösliche Salze – hier AgCl – fallen als Niederschlag aus dem 

homogenen System der Lösung aus, dadurch Verschiebung der 

Gleichgewichtslage nach rechts, bis keine Cl-Ionen mehr vorhanden 

sind.

Größenordnung der 

Konstanten K 

3.15 Ionenlehre 

elektrolytische 

Dissoziation 

Elektrolyt 

Dissoziationsgrad � 

Dissoziationskonstanten K D 

Ostwald’sches 

Verdünnungs-Gesetz 

Ionenprodukt 

des Wassers 

Chemie 

Ionenlehre 

Die Größenordnung der Gleichgewichtskonstanten K lässt einen 

Schluss auf die Richtung der Reaktionen zu. Für den Bereich der 

technisch beherrschbaren Temperaturen gilt: 

K � 1: Reaktion ist leicht umkehrbar 

K sehr klein: Rückreaktion verläuft fast vollständig 

K sehr groß: Hinreaktion verläuft fast vollständig 

Aufspaltung von Ionenbindungen und polarisierten Atombindungen in 

freibewegliche Ionen, die von einer Hydrathülle aus H 2O-Dipolen umgeben 

sind. 

Stoff, der Ionen enthält und dadurch den elektrischen Strom leitet. 

Geschmolzene Ionenverbindungen: Salze, Oxide. Gelöste Salze, 

Säuren und Basen. 

Verhältnis der dissoziierten Moleküle zu der Zahl der Moleküle vor der 

Dissoziation. Der Dissoziationsgrad steigt mit der Temperatur und mit 

der Verdünnung (Erhöhung der elektrischen Leitfähigkeit). 

Dissoziationsgrad bei 18 °C in 1-normaler Lösung 

sehr stark 

stark 

mäßig stark 

schwach 

�� Säure Base 

1 … 0,7 

0,7 … 0,2 

0,2 … 0,01 

0,01 … 0,001 

HNO 3, HCl 

H 2SO 4 

H 3PO 4, HF 

CH 3COOH 

KOH, NaOH, Ba(OH) 2 

LiOH, Ca(OH) 2 

AgOH 

NH 4OH 

Bei Anwendung des Massenwirkungsgesetzes auf die elektrolytische 

Dissoziation (Gleichgewichtsreaktion) wird die Gleichgewichtskonstante 

K zur Dissoziationskonstanten K D 

[Kation] ⋅[Anion] 

= KD 

[Molekul] �� 

Kation, Anion 

Größenordnung von K D: 

schwache Elektrolyte K D � 10 –4 

mittlere Elektrolyte K D > 10 –4 

starke Elektrolyte K D � 1 

K 

D 

mol mol 

l l 

K D steigt mit der Temperatur, ist aber unabhängig von der Konzentration 

des Elektrolyten. 

Zusammenhang zwischen Dissoziationskonstante K D und Dissoziationsgrad 

�. Gültig für schwache Elektrolyte in starker Verdünnung 

c α 2 

Konzentration c 

KD 

= 

1− α 

mol/ l 

Reines Wasser ist außerordentlich gering dissoziiert. Das Produkt der 

Konzentrationen im Zähler des MWG beträgt 

2 

+ − −14 

mol 

[H ] ⋅ [OH ] = 10 bei 25° C 

2 l 

83 

3

3 

84 

Chemie 

Ionenlehre 

pH-Wert 

Löslichkeitsprodukt L 

Die Konzentrationen der beiden Ionen betragen danach 10 –7 mol/l, d.h.: 

1 l Wasser enthält 10 –7 · 1 g Wasserstoff-Ionen 

und 10 –7 · 17 g Hydroxid-Ionen. 

Reines Wasser: [H � ] ��[OH – ] 

Säure: [H � ] � [OH – ] 

Base: [H � ] � [OH – ] 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

Produkt immer 

2 

−14 

mol 

10 

2 l 

Negativer Briggs’scher Logarithmus der Wasserstoff-Ionenkonzentration 

in wässrigen Lösungen. 

pH � lg [H � ] und [H � ] � 10 –pH 

Maß für den sauren, neutralen oder basischen Charakter eines Elektrolyten, 

durch Indikatoren mittels Farbumschlag oder elektrisch messbar. 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 

stark � sauer neutral basisch � stark 

Indikatoren 

Name Farbumschlag 

Dimethylgelb 

Methylorange 

Methylrot 

Lackmus 

Phenolphtalein 

Thymolphtalein 

Alizaringelb 

rot – gelb 

rot – orange 

rot – gelb 

rot – blau 

farblos – rot 

farblos – blau 

gelb – orangebraun 

Umschlagbereich 

pH-Werte 

2,9… 4,0 

3,0… 4,4 

4,2… 6,3 

5,0… 8,0 

8,2… 10,0 

9,3… 10,5 

10,1… 12,1 

Diese Konstante entspricht der Gleichgewichtskonstanten des MWG, 

wenn es auf gesättigte Lösungen angewendet wird. Bei konstanter 

Temperatur lässt sich die Konzentration der gelösten Teilchen nicht 

erhöhen (Sättigung). 

Bei Zugabe der einen Ionensorte muss die andere in Form der unlöslichen 

Verbindung als Niederschlag ausfallen. 

Beispiel: L für Silberchlorid AgCl beträgt 1,6 · 10 –10 

[Ag � ] · [Cl – ] � 1,6 · 10 –10 

2 mol 

2 l 

Daraus lässt sich die Stoffmengenkonzentration der Ag-Ionen 

bestimmen: 

2 

−10 

mol 

c = 1, 6 ⋅10 

� 1,265 · 10 

2 l 

–5 

2 mol 

l 

das ergibt einen Silbergehalt von 

g 

= = ⋅ l ⋅ ⋅ −5 

mol 

m MVc 108 1 1,265 10 

mol 

l 

83 

m = 1,366⋅ 10 g = 1,366 mg in einem Liter 

Durch Zugabe von weiteren Cl-Ionen (HCI-Zusatz) würde das Löslichkeitsprodukt 

überschritten, deshalb muss bei Erhöhung des einen 

Faktors (Cl – ) der andere Faktor (Ag � ) kleiner werden, d. h., es bildet 

sich weiteres unlösliches Silberchlorid AgCl. 

Gilt streng nur für schwerlösliche Verbindungen oder Lösungen 

schwacher Konzentration < 0,1 mol 

l

3.16 Elektrochemische 

Größen und Gesetze 

Spannungsreihe 

Normalpotentiale E 0 

Standardpotentiale 

galvanisches Element 

Elektrolyse 

Chemie 

Elektrochemische Größen und Gesetze 

Reihenfolge der Elemente nach fallendem Lösungsdruck geordnet. 

Lösungsdruck ist das Bestreben, in den Ionenzustand überzugehen 

und als elektrische Spannung messbar � Normalpotenziale. 

K Ca Na Mg AI Zn Cr Fe Cd Ni Sn Pb H Cu Ag Pt Au 

– HCl greift an, 

HCl greift nicht an 

Wasserstoff wird frei 

+ 

unedler � edler 

Metalle, die in der Spannungsreihe links stehen, können rechts davon 

stehende reduzieren, d. h., sie verdrängen diese aus ihren Salzlösungen. 

Beispiel: Eisenblech in Kupfersulfatlösung 

+2 0 +2 0 

CuSO4 + Fe → FeSO4 + Cu Redoxreaktion 

Unedle Metalle: links stehend, niedrige Elektronenaffinität, 

leicht oxydierbar. 

Edle Metalle: rechts stehend, hohe Elektronenaffinität, 

schwer oxydierbar. 

Spannung eines Metalls in seiner Salzlösung gegenüber der Normalwasserstoffelektrode 

bei 25 °C. 

Metall Spannung V Metall Spannung V 

Li 

K 

Ca 

Na 

Mg 

AI 

Mn 

Zn 

Cr 

Fe 

– 3,02 

– 2,92 

– 2,87 

– 2,71 

– 2,36 

– 1,66 

– 1,05 

– 0,76 

– 0,71 

– 0,44 

Cd 

Co 

Ni 

Sn 

Pb 

H 

Cu 

Ag 

Pt 

Au 

– 0,41 

– 0,28 

– 0,23 

– 0,14 

– 0,13 

� 0 

� 0,34 

� 0,80 

� 1,2 

� 1,42 

Spannungswerte sind abhängig von der Konzentration der Salzlösungen. 

Sie werden negativer, wenn die Konzentration sinkt. 

System aus einem Elektrolyten, in den zwei verschiedene Metalle 

tauchen. Stromquelle mit einer Urspannung E, die sich aus der Differenz 

der Normalpotentiale errechnet. 

Minuspol: Metall, in der Spannungsreihe links stehend, geht in Lösung, 

gibt Elektronen ab. 

Pluspol: Metall, rechts in der Spannungsreihe stehend, nimmt Elektronen 

aus dem Elektrolyten auf, bleibt unverändert. 

Beispiel: Urspannung zwischen Cu und Zn unter den Bedingungen 

der Normalpotentialmessung: 

E = E 0 Cu – E 0 Zn = � 0,34 V – (– 0,76 V) = 1,1 V 

Redoxreaktion in einem Elektrolyten unter Zufuhr von Energie. Oxydation 

und Reduktion verlaufen örtlich getrennt. 

Anode (Plus-Pol): Anziehung der negativ geladenen Ionen (Anionen), 

z. B. OH – oder Halogene. Entladung durch Abgabe von Elektronen: 

Oxydation. 

85 

3

3 

86 

Chemie 

Elektrochemische Größen und Gesetze 

Faraday’sche Gesetze 

Faraday-Konstante F 

elektrochemische 

Äquivalente 

Katode (Minus-Pol): Anziehung der positiv geladenen Ionen (Kationen), 

z. B. Metalle und Wasserstoff. Entladung durch Aufnahme von 

Elektronen: Reduktion. 

Besteht der Elektrolyt aus zwei oder mehr verschiedenen Anionen 

(Kationen), so werden diejenigen Teilchen entladen, für deren Abscheidung 

die kleinste Spannung benötigt wird. 

Beispiel: Bei der Elektrolyse von Salzlösungen unedler Metalle (K, 

Na, Mg, AI) wird Wasserstoff abgeschieden, da H � ein niedrigeres 

Potential besitzt als diese Metallionen. 

Die abgeschiedenen Stoffmengen sind bei gleichen Elektrolyten der 

Elektrizitätsmenge proportional. 

Bei verschiedenen Elektrolyten werden von der gleichen Elektrizitätsmenge 

Stoffmassen abgeschieden, die sich wie die Äquivalentmassen 

der Stoffe verhalten. 

abgeschiedene 

Stoffmasse 

= M t I 

m 

zF 

M molare Masse (siehe 3.10) 

z Ionenwertigkeit 

F Faraday-Konstante 

As Ah 

F = 96485 = 26,8 

mol mol 

m M I t F 

g 

g 

mol 

A s 

h 

As 

mol 

Ah 

mol 

Elektrizitätsmenge, die bei 100 %iger Stromausbeute aus einem Elektrolyten 

die äquivalente Masse M eq eines Stoffes abscheidet. Sie ist 

das Produkt aus der Elementarladung und der Avogadro-Konstante. 

19 23 1 

F = e⋅ NA= 1,602⋅10− As⋅6,022⋅10 mol 

C As As 

F = 96485 = 96485 ≈96500 

mol mol mol 

Stoffmasse in mg oder g, die bei 100 %iger Stromausbeute von einer 

Elektrizitätsmenge 1 As bzw. 1 Ah abgeschieden wird. 

Element 

Aluminium AI 

Beryllium Be 

Cadmium Cd 

Chrom Cr 

Eisen Fe 

Fe 

Kupfer Cu 

Cu 

Magnesium Mg 

Sauerstoff O 

Silber Ag 

Wasserstoff H 

Zink Zn 

Zinn Sn 

Ionenwertigkeit 

III 

II 

II 

III 

II 

III 

I 

II 

II 

II 

I 

I 

II 

IV 

mg 

As 

0,093 

0,047 

0,582 

0,180 

0,289 

0,193 

0,658 

0,329 

0,126 

0,083 

1,118 

0,0104 

0,339 

0,308 

Äquivalent Ä 

g 

Ah 

0,335 

0,168 

2,097 

0,647 

1,042 

0,694 

2,370 

1,185 

0,454 

0,298 

4,025 

0,0376 

1,22 

1,107

3.17 Größen der 

Stöchiometrie 

relative Atommasse A r 

relative Molekülmasse M r 

Stoffmenge n 

Avogadro-Konstante N A 

molare Masse M 

Chemie 

Größen der Stöchiometrie 

Die Berechnung der abgeschiedenen Stoffmassen wird durch elektrochemische 

Äquivalente vereinfacht. 

m � Ä I t 

m Ä I t 

mg 

g 

mg/As 

g/Ah 

Beispiel: Welche Zeit ist erforderlich, um 50 g Kupfer aus einer Kupfer(II)-sulfatlösung 

mit einem Strom von 8 A abzuscheiden ? 

m 50gAh 

t = = = 5,274h 

ÄI 1,185g⋅ 8 A 

siehe 3.1 

Summe der relativen Atommassen A r aller im Molekül gebundenen 

Atome, aus der Summenformel der chemischen Verbindung errechnet. 

Beispiel: Aluminiumsulfat Al 2(SO 4) 3 

M r � 2 Al � (S � 4 · 0) = 2 · 27 � 3 (32 � 4 · 16) � 342 

Basisgröße mit der Einheit der Teilchenmenge „Mol“. Kurzzeichen 

mol, 1 kmol = 10 3 mol. 

Definition der Einheit nach dem Einheitengesetz: 1 mol ist die Stoffmenge 

eines Systems, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie 

Atome in 0,012 kg des Nuklids 12 C enthalten sind. 

Teilchen im Sinne dieser Definition sind Atome, Moleküle, Ionen, Radikale, 

Elektronen. 

Teilchenzahl N NuAr 

m 

n = = = 

Avogadro - Konstante NA NAuAr M 

mit u atomare Masseneinheit, 

M molare Masse 

Beispiel: Welche Stoffmenge stellen 200g Äthin, C2H2 dar? 

g g 200 g 

M(C2H 2) = (2⋅ 12 + 2) = 26 n = = 7,69 mol 

mol mol − 26 g⋅mol 1 

Naturkonstante, Anzahl der Teilchen, die in der Stoffmenge 1 mol aller 

Stoffe enthalten ist. 

N A � 6,022 · 10 23 · mol –1 

(Der Betrag dieser Konstanten wird auch als Avogadro-Zahl, vielfach 

auch als Loschmidt’sche Zahl bezeichnet.) 

Masse einer Stoffmenge n = 1 mol 

23 1 

− 

M = N uA = 6,022⋅10 ⋅1,66⋅10 24 g⋅A 

�� 

mol 

g 

1 

mol 

A r r 

g 

M = Ar 

mol 

für atomare Substanzen 

g 

M = Mr 

mol 

für molekulare Substanzen 

Beispiele: 

Kohlenstoff C 

g 

M = 12 (Grammatom) 

mol 

A 

s 

h 

87 

3

3 

88 

Chemie 

Größen der Stöchiometrie 

molares 

Normvolumen V m, 0 

(Molvolumen) 

Umrechnung 

Masse–Volumen 

Stoffmengenkonzentration 

c 

(Molarität) 

molare Lösung 

Äquivalentmenge n eq 

Kohlendioxid 

Sulfat-Ion 

g 

M CO = 44 

2 mol 

(Grammmolekül) 

g 

M SO = 96 

4 mol 

(Grammion) 

Die Stoffmenge 1 kmol eines idealen Gases nimmt im Normzustand 

(bei 0 °C und 1,013 bar) ein Volumen von 22,414 m 3 ein. 

m3 

V m,0 = 22,414 

kmol 

m 

V0 = Vmn = nVmn 

M 

Beispiel: Normvolumen von 100 g Propan C3H8 g g 

M (C3H 8) 

= (3⋅ 12+ 8) = 44 

mol mol 

100g⋅22,414dm3⋅mol−1 V 

3 

0 = = 50,9dm 

−1 

44g⋅ mol 

m M Vm,0, V0 kg 

kg 

kmol 

m3 g 

g 

mol 

1 

Quotient aus der Stoffmenge n und dem Volumen eines homogenen 

Stoffsystems (Gasmischung, Lösung) 

n m 

c = = 

V MV 

c m M V 

mol 

l 

g 

g 

mol 

l 

Beispiel: In einer Lösung sind in 10 ml Lösung 0,2 g NaOH enthalten. 

0,2 g mol 

c = = 0,5 (0,5-molar) 

−1 −2 

40 g mol ⋅10 

l l 

Lösung mit bestimmter Stoffmengenkonzentration. Eine Lösung ist nmolar, 

wenn in 1 l Lösung die Stoffmenge n mol gelöst ist. 

Beispiel: Wie viel Gramm NaCl sind in 100 ml einer 0,1 molaren Lösung 

enthalten? M (NaCl) � (23 + 35,5) g 

mol ; 

m 

mol g 

c = ; m = cMV = 0,1 58,5 ⋅ 0,1 l = 0,585 g 

MV 

l mol 

Hilfsgröße, ganzzahliges Vielfaches der Stoffmenge, Produkt aus 

Stoffmenge und Wertigkeit z 

mz m 

neq = nz = = 

M Meq 

Wertigkeiten z 

Salze 

Säuren 

Basen 

Redox-Reaktionen 

n Stoffmenge in mol 

m Masse in g 

M eq äquivalente Masse in g 

mol 

Ladungszahl der Ionen 

Anzahl der H-Atome der Summenformel 

Anzahl der OH-Gruppen der Summenformel 

Differenz der Oxydationszahlen 

Die Äquivalentmenge n eq eines Stoffes kann aufgefasst werden als 

Teilchenmenge von Wasserstoff-Ionen, die in der Lage ist, die Stoffmenge 

1 mol dieses Stoffes zu ersetzen oder zu binden.

äquivalente Masse M eq 

(Grammäquivalent) 

Äquivalentmengenkonzentration 

c eq 

(Normalität) 

Normallösung 

3.18 Beispiele für stöchiometrische 

Rechnungen 

Massengehalt 

Stoffumsatz 

Chemie 

Beispiele für stöchiometrische Rechnungen 

Beispiel: Zink reduziert Wasserstoff. Die Stoffmenge 1 mol Zn 2� hat 

die Äquivalentmenge n eq � 2 mol, da diese Ionen die zweifache Menge 

Wasserstoffatome freimachen können, d.h., ihnen äquivalent sind. 

M 

eq 

M 

= 

z 

Hilfsgröße, aus der molaren Masse gebildet, als Quotient 

aus molarer Masse und Wertigkeit. 

Bei mehrladigen Ionen wird durch die Elektrizitätsmenge F � 96 485 

As/mol die äquivalente Masse abgeschieden (F Faraday-Konstante). 

Hilfsgröße, aus der Stoffmengenkonzentration (Molarität) gebildet, als 

Produkt von Molarität und Wertigkeit z 

nz mz 

ceq = cz = = 

V MV 

c eq m z M V 

mol 

l 

g – 

g 

mol 

Beispiel: Normalität von 150 ml Lösung in der 10 g H2SO4 gelöst sind. 

M (H2SO4) � 98 g 

mol 

10g⋅ 2 mol 

ceq 

= = 1, 36 

− 98gmol 1⋅ 

0,151 l 

Lösung mit bestimmter Äquivalentmengenkonzentration (Normalität). In 

einer 1 n Lösung ist in 1 l Lösung die äquivalente Masse M eq gelöst. 

Beispiel: Herstellung einer 0,1 n Lösung HNO3 von 400 ml. 

c − − 

⋅ ⋅l 1⋅ ⋅ 1 

eq MV 0,1 mol 63g mol ⋅0,4l 

m = = 

z 

l 

m � 2,25 g HNO 3 in V � 400 ml Säure ergeben eine 0,1 n Salpetersäure 

Säure- und Basenlösungen der gleichen Normalität neutralisieren 

sich, wenn gleiche Volumina zusammengebracht werden. 

Berechnung des Massenanteils eines Elementes E an einem Molekül M 

ArE 

E% 

= ⋅100 

Mr 

A rE relative Atommasse des Elements E 

M r relative Molekülmasse des Moleküls M 

Beispiel: Eisengehalt von Fe 3O 4 mit A rFe = 56 und A rO � 16. 

3⋅56 168 

Fe% = 100 = 100 = 72,4% 

3⋅ 56 + 4⋅16 232 

Berechnung von Ausgangsstoffen oder Reaktionsprodukten in folgenden 

Schritten. 

Beispiel: Vollständige Verbrennung von Propan. Gesucht sind Sauerstoffmasse 

und -volumen zur Verbrennung von 80 g Propan. 

Vollständige Reaktionsgleichung 

aufstellen: 

Einsetzen der molaren Massen 

ergibt Massengleichung: 

Gegebene Stoffmasse hinschreiben: 80 g 

C 3H 8 � 5 O 2 � 3 CO 2 � 4 H 2O 

6 O- � 4 O-Atome 

44 g � 160 g � 132 g � 72 g 

l 

89 

3

3 

90 

Chemie 

Beispiele für stöchiometrische Rechnungen 

Mischungsregel 

Mischungskreuz 

80g 

Faktor x = = 1,818 

44g 

Massengleichung mit dem Faktor 

multiplizieren: 

Überlegung: Von allen Stoffen die 

1,818fache Masse nehmen. 

80 g � 290,9 g � 240 g � 130,9 g 

Ergebnis: Sauerstoffbedarf für 80 g Propan beträgt 290,9 g. 

Umrechnung Masse – Volumen siehe „molares Normvolumen“ 

l 

m 

290,5g ⋅22,4 

Vn = Vmn 

= 

mol 

= 203,6 l 

M 

g 

32 

mol 

Das Volumen der beteiligten Gase kann auch direkt aus der Reaktionsgleichung 

berechnet werden: 

Reaktionsgleichung: C 3 H 8 + 5 O 2 � 3 CO 2 + 4 H 2 O 

Gleichung mit Stoffmengen 

ansetzen: 

Für unbekannte Gase das 

molare Normvolumen einsetzen: 

1 mol 5 mol 3 mol 4 mol 

44 g 5 · 22,4 l 3 · 22,4 l 4 · 22,4 l 

Gegebenen Stoff einsetzen: 80 g Vn1 Vn2 Vn3 Proportion ansetzen 

44 g 

80 g � 

5⋅22,4 l 

V 

� 

3⋅22,4 l 

V 

� 

4⋅22,4 l 

V 

Gesuchtes Gasvolumen 

ausrechnen: V n1 = = 203,61 

m1 · �1 � m2 · �2 � (m1 � m2) � 

m1, m2 Masse der Mischungskomponenten 

�1, �2 Massengehalt der Komponenten in % 

�� Massengehalt der Mischung in % 

n1 

n2 

5⋅22,4l⋅80g 44 g 

Beispiel: Welchen Massengehalt hat die Mischung von 100 g 10 %iger 

Natronlauge mit 50 g 20 %iger? 

m1⋅ ω1+ m2⋅ 

ω2 

100g10% + 50g 20% 

ω = = = 13,33% 

m1+ m2 

150g 

Zur einfachen Bestimmung der Massenteile (Mischungsverhältnis) der 

Komponenten, wenn die Massengehalte der Komponenten und der 

Mischung gegeben sind. 

Massengehalt � 1 

hoch 

Massengehalt � 1 

niedrig 

Massengehalt � 

Mischung 

� – � 2 –––––––––––––––– 

Mischungsverhältnis 

n3 

ω−ω2 ξ = 

ω1−ω � 1 – � –––––––––––––––– 

In Pfeilrichtung die Differenzen der Massengehalte bilden (positive Vorzeichen). 

Die beiden Differenzen ergeben das Mischungsverhältnis �. 

Beispiel: Aus den Messingsorten mit 63 % und 72 % Cu-Gehalt soll 

68 %iges Messing hergestellt werden. 

72 

5 

5 

mit 72% Cu 

5 9 

68 ξ = 

63 

4 

4 4 

mit 63% Cu 

9 

9

3.19 Energieverhältnisse 

bei chemischen 

Reaktionen 

exotherme Reaktion 

endotherme Reaktion 

Bildungsenthalpie 

Reaktionsenthalpie 

Chemie 

Energieverhältnisse bei chemischen Reaktionen 

Bei der Reaktion wird Energie, meist Wärme, nach außen abgegeben. 

Die Energie erscheint in der Reaktionsgleichung auf der rechten Seite 

mit Minus-Zeichen, sie wird von dem reagierenden Stoffsystem weggenommen. 

Bei der Reaktion wird Energie, meist Wärme, verbraucht, d. h., sie 

muss zugeführt werden, damit die Reaktion verläuft. Die Energie erscheint 

auf der rechten Seite mit Plus-Zeichen, sie muss dem Stoffsystem 

zugeführt werden. 

Wärme, die beim Entstehen einer chemischen Verbindung aus ihren 

Elementen gemessen werden kann. Angabe in der Einheit J/mol. 

4 Fe � 3 O 2 � 2 Fe 2O 3 – 16,62 · 10 5 J 

Da 2 mol Fe 2O 3 entstehen, beträgt die Bildungsenthalpie die Hälfte, 

W � 8,31 · 10 5 J/mol. 

Wärme, die bei einer chemischen Reaktion als Energiedifferenz auftritt. 

Ihr Betrag bezieht sich auf den Formelumsatz. Dazu wird die 

Reaktionsgleichung mit den kleinsten ganzzahligen Koeffizienten 

aufgestellt. Der dann in Molen beschriebene Stoffumsatz hat die angegebene 

Reaktionsenthalpie. 

Fe 2O 3 � 2 Al � Al 2O 3 � 2 Fe – 8,4 · 10 5 J 

Die Energieangabe bezieht sich dabei auf die Umsetzung von 

1 mol Fe 2O 3 � 160 g 

mit 2 mol Al � 54 g 

zu 1 mol Al 2O 3 � 102 g 

und 2 mol Fe � 112 g. 

Sie ist die Differenz aus den Bildungsenthalpien (� Trennungsenthalpien). 

Bildung von 1 mol Al2O3 – 16,71 · 105 J 

Trennung von 1 mol Fe2O3 � 5 8,31 · 10 J 

Reaktions-Enthalpie – 8,40 · 105 J 

91 

3

3 

92 

Chemie 

Bildungs- und Verbrennungswärme einiger Stoffe 

3.20 Heizwerte von Brennstoffen 

Name Heizwert 

Hu · 106 Name Heizwert 

3 J/m Hu · 106 J/kg 

Gase und Dämpfe 1) , chemisch rein Flüssige Brennstoffe 

Äthan 

Athen (Äthylen) 

Äthin (Acetylen) 

Benzol 

Dimetylbenzol (Xylol) 

Methan 

Methylbenzol (Toluol) 

Propan 

Propen (Propylen) 

C 2H 6 

C 2H 4 

C 2H 2 

C 6H 6 

C 6H 4(CH 3) 2 

CH 4 

C 6H 5CH 3 

C 3H 8 

C 3H 6 

64,5 

59,5 

56,9 

144,0 

199,0 

35,9 

172,0 

93,0 

87,8 

Äthanol (Äthylalkohol) C2H5OH Benzin für Automotoren 

Benzol 

C6H6 Dieselöl 

Flüssiggas 

Heizöl 

Methanol (Methylalkohol) 

Technische Gase 1) Feste Brennstoffe 

Erdgas, trocken 

Generatorgas 

Gichtgas 

Koksofengas 

Stadtgas 

Wassergas 

1) bezogen auf 1 Normalkubikmeter 

(25…33) 

(4,8…5,2) 

(3,9…4,1) 

(17,2…18) 

(17,6…19,3) 

(9,8…10,7) 

Holz, frisch 

Holz, trocken 

Braunkohle, roh 

Braunkohle, brikettiert 

Steinkohle, Anthrazit 

Zechenkoks 

Gaskoks 

3.21 Bildungs- und Verbrennungswärme einiger Stoffe 

Element 

(Stoff) 

C 

C 

CO 

P 

S 

Si 

Mn 

Ti 

Al 

Mg 

Ca 

H 

H 

H 

Oxid 

CO 

CO 2 

CO 2 

P 2O 5 

SO 2 

SiO 2 

MnO 

TiO 2 

Al 2O 3 

MgO 

CaO 

H 2O 

(HF) 

(Cl) 

27 

42,5 

40 

41,6 

45,8 

42,9 

19,5 

08,4 

15,1 

09,6 

19,3 

31,0 

29,3 

28,0 

Bildungswärme 

Verbrennungswärme 

J/m 

J / mol Oxid J / kg Stoff 

3 Gas 

bei 0 °C; 1,013 bar 

1,1 · 10 5 

3,9 · 10 5 

2,8 · 10 5 

15,1 · 10 5 

3,0 · 10 5 

8,6 · 10 5 

3,9 · 10 5 

9,4 · 10 5 

16,7 · 10 5 

6,0 · 10 5 

6,4 · 10 5 

2,9 · 10 5 

2,7 · 10 5 

0,9 · 10 5 

9,2 · 10 6 

32,8 · 10 6 

10,1 · 10 6 

24,3 · 10 6 

9,3 · 10 6 

30,6 · 10 6 

7,0 · 10 6 

19,7 · 10 6 

31,0 · 10 6 

24,8 · 10 6 

11,3 · 10 6 

142 · 10 6 

268 · 10 6 

91 · 10 6 

– 

– 

12,6 · 10 6 

– 

– 

– 

– 

– 

– 

– 

– 

12,8 · 10 6 

24,1 · 10 6 

8,2 · 10 6

4.1 Werkstoffprüfung 

Härteprüfung 

nach Brinell 

DIN EN ISO 6506/05 

Kurzzeichen HBW 

(W = Hartmetallkugel) 

Eindringkörper aus 

gehärtetem Stahl sind 

nicht mehr zulässig. 

(Bezeichnung HBS) 

HBW = 

0, 204F 

π DD D d 

Prüfkräfte und Prüfbedingungen 

( − 2 − 2 ) 

HB F D, d 

1 N mm 

350 HBW 10/3000: Brinellhärtewert von 350 mit Kugel 

von 10mmm �, einer Prüfkkraft F = 29,420 kN 

bei genormter Einwirkdauer von 10...15 s gemessen 

(deshalb keine Angabe). 

Prüfkraft F errechnet sich aus dem sog. kgf-Wert 

(hier 3000). Er gibt die Masse m an, deren Gewichtskraft 

als Prüfkraft wirkt 

F = Beanspruchungsgrad x D 2/0,102 in N 

Werkstofftechnik 

Werkstoffprüfung 

120 HBW 5/250/30: Brinellhärte von 120 mit Kugel von 5 mm �, einer 

Prüfkkraft F = 2452 N bei einer längeren Einwirkdauer von 30 s gemessen. 

Kurzzeichen Kugel-� D B.-G. 1) Prüfkraft F in N Kurzzeichen Kugel-� D B.-G. 1) Prüfkraft F in N 

HBW 10/3 000 30 29420 HBW 2,5/187,5 30 1839 

HBW 10/1 500 15 14710 HBW 2,5/62,5 10 612,9 

HBW 10/1 000 10 mm 10 9807 HBW 2,5/31,25 2,5 mm 5 306,5 

HBW 10/500 5 4903 HBW 2,5/15,625 2,5 153,2 

HBW 10/250 2,5 2452 HBW 2,5/6,25 

1 61,29 

HBW 10/100 

1 980,7 1) Beanspruchungsgrad in MPa 

HBW 5/750 30 7355 HBW 1/30 30 294,2 

HBW 5/250 10 2452 HBW 1/10 10 98,07 

HBW 5/125 5 mm 5 1226 HBW 1/5 1 mm 5 49,03 

HBW 5/62,5 2,5 612,9 HBW ½,5 2,5 24,52 

HBW 5/25 

1 245,2 HBW 1/1 

1 9,807 

Mindestdicke s min der Proben in Abhängigkeit 

vom mittleren Eindruck-� d (mm): 

s min = 8 h mit Eindrucktiefe h 

2 2 

h= 0,5 ( D− D −d 

) 

Beanspruchungsgrad (werkstoff- und härteabhängig) 

= 0,102 x F /D 2 (� Übersicht). 

Übersicht: Werkstoffe und Beanspruchungsgrad 

Eindruck 

� d 

Mindestdicke s der Proben für Kugel-� 

D in mm: 

Werkstoffe 

Brinell- 

Bereich HBW 

Beanspruchungsgrad 

MPa 

D = 1 2 2,5 5 10 Stahl, Ni, Ti 30 

0,2 

1 

0,08 

1,07 0,83 

Gusseisen 1) 

< 140 

> 140 

10 

30 

1,5 

2 

2,4 

2,0 0,92 

1,67 

2,4 1,17 

Cu und 

Legierungen 

35...200 

� 200 

< 35 

10 

30 

2,5 

3 

3,6 

4,0 1,84 

2,68 

Leichtmetalle 

< 35 

35 ... 80 

2,5 

5/ 10/ 15 

4 3,34 

> 80 

10/15 

5 5,36 Pb, Sn 1 

6 8,00 Sintermetalle ISO 4498/05 

1) Nur mit Kugel 2,5; 5 oder 10 mm �. 

Der Kugel-� D soll so groß wie möglich gewählt werden. Danach muß nach der Härteprüfung mit Hilfe 

der linken Tafel festgestellt werden, ob für den ermittelten Eindruck-� d die Mindestdicke kleiner ist als 

die Probendicke. Andernfalls ist die nächst kleinere Kugel zu verwenden. 

93 

4

4 

94 




nach Vickers 

DIN EN ISO 6507/05 

0,189F 

HV = 

d 2 

d1+ d2 

d = 

2 

HV F d 

1 N mm 

Kurzzeichen HV 640 HV 30: Vickershärte von 640 mit 

F = 294 N bei 10…15 s Einwirkdauer gemessen. 

180 HV 50/30: Vickershärte von 180 mit 

F = 490 N bei 30 s Einwirkdauer gemessen. 

Kleinkraftbereich: 

Für kleine Proben oder 

dünne Schichten mit 

kleineren Kräften zwischen 

1,96 und 49 N. 

Mikrohärteprüfung: 

Für einzelnen Kristalle 

mit Kräften von 0,1 bis 

1,96 N auf besonderen 

Geräten. 

Mindestdicke s der Proben 

min 

1,6 

mm 

1,4 

3 

1,2 4 

1,0 

5 

0,8 

2 1 

Kurve Prüfkraft F 

in N 

1 980 

2 490 

34 294 

196 

5 98 

6 49 

0,6 

0,4 

0,2 

6 

00 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 

Vickershärte HV 

Diagramm: Mindestdicke in Abhängigkeit von Härte und Prüfkraft 

Ablesebeispiel: Probe mit einer zu erwartenden Härte von 300 HV und 1 mm Dicke. 

Der Schnittpunkt beider Koordinaten im Diagramm liegt oberhalb der Kurve 2, also ist eine Prüfkraft 

von F = 490 N geeignet, sie würde in einem weicheren Werkstoff mit der Probendicke s = 1 mm bis 

herunter zu einer Vickershärte von 200 HV noch zulässig sein. 


nach Rockwell 

DIN EN ISO 

6508/05 

Prüfverfahren mit Diamantkegel 

HRC 

HRA = 100 – 500 t b 

HRC t b 

1 mm 

HRN= 100−1000 tb 

HRN t b 

1 mm 

Kurzzeichen HRC HRA HR 15 N HR 30 N HR 45 N 

Prüfvorkraft F 0 98 98 29,4 29,4 29,4 

Prüfkraft F 1 1373 490 117,6 265,0 412,0 

Prüfgesamtkraft F 1471 588 147,0 294,0 441,0 

Messbereich 20...70 HRC 60...88 HRA 68...92 HR 15 N 39...84 HR 45 N 17...75 HR 45 N 

Härteskale 0,2 mm 0,2 mm 0,1 mm 

Werkstoffe Stahl gehärtet, 

angelassen 

Wolframcarbid, 

Bleche � 0,4 mm 

Dünne Proben � 0,15 mm, kleine Prüfflächen, dünne 

Oberflächenschichten 

Die Probendicke soll mindestens das 10-fache der bleibenden Eindringtiefe t b betragen.

Zugversuch 

DIN EN 10 002/01 

Hooke`sches Gesetz 

Mit Zugproben (DIN 50 125) 

L =5d 

0 0 

L0 =5,65S0 

∆ L F 

= E = E = 

L0 S0 

σ ε 

Zugfestigkeit R 

Fmax 

m Rm 

= 

S0 

Streckgrenze R e 

0,2-Dehngrenze R p 0,2 

Bruchdehnung A 

Brucheinschnürung Z 

Elastizitätsmodul E 

Kerbschlagbiegeversuch 

(Charpy) 

DIN EN 10045/91 

DIN 50115/91 

F02 

, 

Re 

= 

S0 

F02 

, 

Rp02 

, = 

S0 

o 



�, E � �L, L 0 F S 0 

N 

2 mm 

1 mm N mm 2 

R m , R e ,R p0,2 A 5,A 10,Z F L S 0 � 

N 

2 mm 

Lu − Lo 

A = ⋅ 100 % 

L 

So − Su 

Z = ⋅ 100 % 

S 

= � 

E 

� 

el 

Kerbschlagarbeit 

KV (KU)= F(h – h 1 ) 

Kurzzeichen KV = 100 J: Verbrauchte Schlagarbeit 

100 J an V-Kerb-Normalprobe 

und einem Pendelhammer mit 

300 J Arbeitsvermögen (Normwert) 

ermittelt, 

KU 100 = 65 J: Verbrauchte 

Schlagarbeit 65 J an U-Kerb-Normalprobe 

mit Pendelhammer von 

100 J Arbeitsvermögen ermittelt 

o 

% N mm 2 mm 2 

Spannung-Dehnung-Diagramme 

1 weicher Stahl 

2 legierter Stahl 

3 Gusseisen 

KV, KU F H, h 1 

J N m 

1 

95 

4

4 

96 


Eisen-Kohlenstoff-Diagramm 

4.2 Eisen-Kohlenstoff-Diagramm 

Temperaturin C 

° 

1536 ° C A 2 

1500 

H I 

3 

1392 C 

4 

° N 

1300 

1100 

B 

1493 ° C 

7 

911° C G 

900 

11 

M 769 ° C 0 

12 P’ S’ 

700 P S 

10 

5 

1 

1153 ° C 

1147 ° C 

8 9 

738 ° C 

723 ° C 

13 14 15 16 

500 0,8 2 3 4 4,3 

Kohlenstoffgehalt in Gewichtsprozent 

5 5 6,67 7 

0 10 20 30 40 50 60 70 

Zementitgehalt in Gewichtsprozent 

80 90 100 

Phasenanteile der Legierungen in den Zustandsfeldern 1...16 

E’ 

E 

Metastabiles System Fe-Fe 3C (ausgezog. Linien) Stabiles System, Fe-C (strichlierte Linien) 

1 Schmelze (S) 9 Primär-Zem.+ Eu. 1 Schmelze (S) 9 G. + G.-Eutektikum 

2 S.+ �-Mk. 10 �-Mk. + Sek.-Zem. 2 S. + �-Mk. 10 �-Mk. + sek. Graphit. 

3 �-Mischkristalle 11 �-Mk. + �-Mk. 3 �-Mischkristalle 11 �-Mk. + �-Mk. 

4 �-Mk. + �-Mk. 12 �-Mk. (Ferrit) 4 �-Mk. + �-Mk. 12 �-Mk. (Ferrit) 

5 S.+ �-Mk. 13 Ferrit + Perlit 5 Schmelze + �-Mk 13 

6 S.+ Primärzementit 14 Sek-Zem.+ Perlit 6 Schmelze + Graphit 14 

7 �-Mk (Austenit) 15 Perlit + Eu. 7 �-Mischkristalle 15 

8 

�-Mk + Eutektikum 

(Ledeburit). 

16 

Prim. Zementit 

+ Eutektikum. 

8 

C’ 

C 

�-Mk.+ 

Graphiteutektikum 

D’ 

16 

6 

�-Mk. + Graphit 

D 

F’ 

F 

K K’

Haltepunkte, Kurzzeichen und Bedeutung 

Ar 3 

Ar 1 

Ar cm 

Haltepunkt A 3 bei Abkühlung, Beginn der 

Ferritausscheidung (Linie GSK) 

Austenitzerfall und Perlitbildung beim 

Abkühlen 

Beginn der Zementit-Ausscheidung beim 

Abkühlen (Linie ES) 


Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 

Ac 3 

Ac 1 

Ac cm 

4.3 Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 

Haltepunkt A 3 bei Erwärmung, Ende der 

Austenitbildung (�-�-Umwandlung) 

Umwandlung des Perlit zu Austenit beim 

Erwärmen 

Ende der Zementit-Einformung beim Erwärmen 

Teil 1: Bezeichnungssystem für Stähle. Die Bezeichnung eines Stahles mit Kurznamen wird durch 

Symbole auf 4 Positionen gebildet. 

Pos. 1 Pos. 2 Pos. 3 Pos. 4 

Werkstoffsorte 

Haupteigenschaft 

Besondere Werkstoffeigenschaften, 

Herstellungsart 

Hauptsymbole Zusatzsymbole 

1 Verwendungsbereich 

(G=Stahlguss) 1) 

2 Mech. 

Eigenschaften 

3a Herstellungsart, 

zusätzliche 

mechanische Eigenschaften 

G S Stahlbau Kerbschlagarbeit KV 

z. B. Stähle nach 

DIN EN 10025-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

G P 

Druck- 

behälter 

z. B. Stähle 

DIN EN 10028 

Stahlguss 10213 

E 

Maschinenbau 

Mindest- 

streck- 

grenze 

R e, min 

f. d. 

kleinsten 

Erzeugnis- 

A v (J) 27 40 60 

Symbol J K L 

Te 

mp. 

Sy 

mb. 

bereich A 

M 

N 

Q 

G 

R e, min 

f. d. 

kleinsten 

Erzeugnisbereich 

wie oben 

z. B. Stähle DIN EN 10025-2 

1) G wahlweise vorgestellt 

B 

M 

N 

Q 

S 

T 

G 

Schlagtemperatur in °C 

RT 0 -20 -30 -40 -50 

R 0 2 3 4 5 

Auscheidungshärtend 

Thermomechanisch, 

normalisierend gewalzt 

Vergütet 

Andere Merkmale 

(evtl. 1 oder 2 Folgeziffern) 

Gasflaschen 

Thermomechanisch, 

normalisierend gewalzt. 

Vergütet 

Einfache Druckbehälter 

Rohre 


(evtl. mit 1 oder 2 Folgeziffern) 

G Andere Merkmale, 

evtl. mit 1 oder 2 Folgeziffern 

C 

D 

E 

F 

H 

L 

M 

N 

P 

Q 

S 

T 

W 

H 

L 

R 

X 

Erzeugnisart 

3b Eignung für bestimmte 

Einsatzbereiche bzw. 

Verfahren 

Bes. Kaltformbarkeit 

F.Schmelztauchüberzg 

Für Emaillierung 

Zum Schmieden 

Für Hohlprofile 

F. tiefe Temperaturen 

Thermomech. gew. 

Normalis. gewalzt 

Für Spundwände 

Zum Vergüten 

Schiffbau 

Für Rohre 

Wetterfest 

Hochtemperatur 

Tieftemperatur 

Raumtemperatur 

Hoch- u. Tieftemp. 

4 

Tab. 

A 

B 

C 

Tab. 

A 

B 

C 

C Eignung zum 

Kaltziehen Tab. 

B 

97 

4

4 

98 


Bezeichnung der Stähle nach DIN EN 10027 

1 Verwendungsbereich 

(G = Stahlguss) 1) 

Stähle für 

R 

Schienen 

oder in Form von 

Schienen 

Flacher- 

H 

zeugnisse, 

aus höherfesten 

Stählen zum Kalt- 

umformen, z. B. 

Bleche + Bänder 

DIN EN 10268, 

2 Mech. 

Eigen- 

schaften 

nnn = 

Mindesthärte 

HBW 

R e, min 

oder mit 

Zeichen T 

R m, min 

3a Herstellungsart , zusätzliche 

mechanische Eigenschaften 

Cr 

Mn 

an 

B 

C 

I 

LA 

M 

Cr-legiert 

Mn- Gehalt hoch 

Chem. Symbole für andere 

Elemente + 10-facher Gehalt 

Bake hardening 

Koplexphase 

Isotroper Stahl 

Niedrig legiert 

Thermomech. gewalzt 

P 

T 

X 

Y 

3b Eignung für bestimmte 

Einsatzbereiche/ Verfahren 

HT 

LHT 

Q 

P-legiert 

TRIP-Stahl 

Dualphasenstahl 

IF (interstitiell 

free ) 

Pos. 1 2 3 

D Flacherzeugnisse 

zum Kaltumformen, 

z. B. Bleche + Bänder 

DIN EN 10130, 

10209, 10326, 

Cnn 

Dnn 

Xnn 

nn 

Kaltgewalzt 

Warmgewalzt, für unmittelbare 

Kaltumformung 

Walzart (kalt/warm) nicht 

vorgeschrieben 

Kennzahl nach Norm 

D 

EK 

ED 

H 

T 

G 

Pos. 1 2 3 

G C Unlegierte 

Stähle 

Mn-Gehalt � 1 %, 

z. B. Stähle DIN EN 

10083-1 

nn 

Kennzahl 

= 100-facher 

C-Gehalt 

C 

D 

E 

R 

Zum Kaltumformen 

Zum Drahtziehen 

Vorgeschriebener 

max. S-Gehalt, 

Vorgeschriebener 

S – Bereich (%) 

Wärmebehandelt 

Niedrig legiert, 

wärmebehandelt: 

Vergütet 

D Für 

Schmelztauchüberzüge 

Für Schmelztauchüberzüge 

Für konv. Emaillierung 

Für Direktemaillierung 

Für Hohlprofile 

Für Rohre 


S 

U 

W 

G 

Für Federn 

Für Werkzeuge 

Für Schweißdraht 


Pos.1 2 2a 3 4 

G � Niedriglegierte Stähle 

� LE � 5%, 

z. B. Einsatzstähle DIN EN 

10084, Unlegierte Stähle mit 

�1 % Mn, z. B. Automatenstähle 

DIN EN 10087 

G X Hochlegierte Stähle 

mit � LE � 5% 

nn Kennzahl 

= 100-facher 

C-Gehalt 

1000 

100 

nn 

HS Schnellarbeitsstähle nn 

1) G wahlweise vorgestellt 

Bor 

Ce, N, P, S 

Kennzahl 

= 100-facher 

C-Gehalt 

Zusatzsymbole für Stahlerzeugnisse (Pos. 4) 

LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordnet, 

danach Kennzahlen mit Bindestrich getrennt in 

gleicher Folge 

Kennzahlen sind Vielfache der LE-%. Die Faktoren sind: 

10 

4 

Al, Be, Cu, Mo, Nb, Pb, Ta, Ti, V, Zr. 

Cr, Co, Mn, Ni, Si, W 

LE-Symbole nach fallenden Gehalten geordnet, 

danach die %-Gehalte der Haupt - LE- mit 

Bindestrich in gleicher Folge 

Prozentualer Gehalt der LE in der Folge W-Mo-V-Co 

(mit Bindestrich) 

Tabelle A: für besondere Anforderungen an das Erzeugnis 

+C 

+F 

Grobkornstahl 

Feinkornstahl 

+H 

+Z15/25/35 

Mit besonderer Härtbarkeit 

Mindestbrucheinschnürung. Z (senkr. z. Oberfläche) in % 

___ 

4 

---- 

Tab. 

C 

Tab. 

B 

C 

Tab. 

B 

Tab. 

A, B 

___ Tab. 

A, B 

___ Tab. 

B

Tabelle B: für den Behandlungszustand 


Baustähle DIN EN 10025-2/05 

+A 

+AC 

Weichgeglüht 

Auf kugelige Carbide geglüht 

+I Isothermisch behandelt 

+QT 

+QW 

Vergütet 

Wassergehärtet 

+AR Wie gewaltzt (ohne besondere 

Bedingungen) 

+LC 

Leicht kalt nachgezogen 

bzw. gewalzt 

+S Behandelt auf Kaltscherbarkeit 

+AT Lösungsgeglüht +M Thermomech. behandelt +SR Spannungsarmgeglüht 

+C Kaltverfestigt +N Normalgeglüht +S Rekristallisationsgeglüht 

+Cnnn 

+CPnnn 

Kaltverfestigt auf mindestens 

Rm = nnn MPa 

Kaltverfestigt auf mindestens 

Rp0,2 = nnn MPa 

+NT 

+NT 

Ausscheidungsgehärtet 

Normalgeglüht 

+ angelassen 

+T 

+TH 

Angelassen 

Behandelt auf Härtespanne 

+CR Kaltgewalzt +Q Abgeschreckt +U Unbehandelt 

+DC Lieferzustd. d. Hersteller überlassen +QA Luftgehärtet +WW Warmverfestigt 

+HC Warm-kalt-geformt +QO Ölgehärtet 

Tabelle C: für die Art des Überzuges 

+A Feueraluminiert +IC Anorganische Beschichtung +Z Feuerverzinkt 

+AR Al-walzplattiert +OC Organische Beschichtung +ZA ZnAl-Legierung (> 50 % Zn) 

+AS Al-Si-Legierung +S Feuerverzinnt +ZE Elektrolytisch verzinkt 

+AZ 

AlZn-Legierung 

(� 50 % Al) 

+SE Elektrolytische verzinnt +ZF 

Diffusionsgeglühte Zn- 

Überzüge (galvanealed) 

+CE 

Elektrolytisch spezialverchromt 

+T 

Schmelztauchveredelt 

mit PbSn 

+CU Cu-Überzug +TE Elektrolytisch mit PbSn überzogen 

4.4 Baustähle DIN EN 10025-2/05 

Stahlsorte 

Kurzzeichen 

Werkstoff 

Nr. 

ReH bzw. Rp0,2 Nenndicken (mm) 

� 16 � 100 � 200 

R m 

MPa 

� 100 

A 80 1) A % 

Nenndicken (mm) 

�1...

4 


Vergütungsstähle DIN EN 10083/06 

100 

4.5 Schweißgeeignete Feinkornbaustähle 

DIN EN Beschreibung Sorten 

10025-3/05 Warmgewalzte 

Normalgeglühte/ normalisierend gewalzte Sor- 

(10113-2 Z) Erzeugnisse aus schweißge- ten in 4 Stufen, kaltzähe Sorten (Symbol NL) 

10025-4/05 

(10113-3 Z) 

10025-6/05 

(10137 Z) 

eigneten Feinkornbaustählen Thermomechanisch gewalzte Sorten in 4 Stu- 

fen, kaltzähe Sorten (Symbol ML) 

Flacherzeugnisse aus Baustählen 

mit höherer Streckgrenze 

im vergüteten Zustand 

Vergütet, in 5 Stufen (z. B. für Stahlkonstruktionen 

im Kranbau und für Schwerlastfahrzeuge); 

zu jeder 2 kaltzähe Sorten (QL, QL1) 

S275N / 355 / 420 / 460 

SnnnNL mit KV-50 = 27 J 

S275M / 355 / 420 / 460 

SnnnML mit KV-50 = 27 J 

S460Q / 500 / 550 / 620 / 690 

SnnnQL : KV-40 = 30 J 

SnnnQL1: KV-60 = 30 J 

4.6 Warmgewalzte Flacherzeugnisse aus Stählen mit hoher Streckgrenze zum Kaltumformen, 

thermomechanisch gewalzte Stähle DIN EN 10149-2/95 

Kurzname 1) SEW 092 

Werkstoff- 

Nr. 

Rm MPa 

A % für 

t � 3 mm 

Faltversuch,180° 

Dorn-� mm 

Biegeradien für Dicke t 

3...6 > 6 mm 

S315MC QStE 300 TM 1.0972 390...510 24 0 t 

0,5 t 1,0 t 

S355MC QStE 360 TM 1.0976 430...550 23 

0,5t 

S420MC QStE 420 TM 1.0980 480...620 19 

1,0 t 1,5 t 

S460MC QStE 460 TM 1.0982 520...670 17 

1 t 

S500MC QStE 500 TM 1.0984 550..700 14 

S550MC QStE 550 TM 1.0986 600...760 14 

1,5 t 1,5 t 2,0 t 

S600MC QStE 600 TM 1.0988 650...820 13 

S650MC QStE 650 TM 1.0989 700...880 12 

2 t 2,0 t 2,5 t 

S700MC QStE 700 TM 1.0966 750...950 12 

1) Kurzname enthält die obere Streckgrenze in MPa, Bruchdehnung A an Längs-, Faltversuch an Querproben. 

4.7 Vergütungsstähle DIN EN 10083/06 

Stahlsorte Durchmesserbereich d � 16 mm 16 � d �40 mm 

Kurzname Stoff.- 

Nr. 

Re Rm MPa 

A 

% 

Z 

% 

Re Rm MPa 

A 

% 

Z 

% 

C22E 1) 

C35E 1) 

C40E 1) 

C45E 1) 

C50E 2 

C55E 1) 

C60E 1) 

28Mn6 

38Cr2 

46Cr2 

34Cr4 2) 

37Cr4 2) 

41Cr4 2) 

25CrMo4 2 

34CrMo4 2) 

42CrMo4 2) 

1.1151 340 500...650 20 50 290 470...620 22 50 

1.1181 430 630...780 17 40 380 600...750 19 45 

1.1186 460 650...800 16 35 400 630..780 18 40 

1.1191 490 700...850 14 35 430 650...800 16 40 

1.1206 520 750...900 13 30 460 700...850 15 35 

1.1203 550 800...950 12 30 490 750...900 14 35 

1.1221 580 850...1000 11 25 520 800...950 13 30 

1.1170 590 800...950 13 40 490 700...850 15 45 

1.7003 550 800...950 14 35 450 700...850 15 40 

1.7006 650 900...1100 12 35 550 800...950 14 40 

1.7033 700 950...1150 12 35 590 800...950 14 40 

1.7034 750 950...1200 11 35 630 850...1000 13 40 

1.7035 800 1000.. 1200 11 30 6 60 900...1100 12 35 

1.7218 700 900...1100 12 50 600 800 950 14 55 

1.7220 800 1000...1200 11 45 650 900...1100 12 50 

1.7225 900 1100...1300 10 40 750 1000...1200 11 45 

50CrMo4 1.7228 900 1100...1300 9 40 780 1000...1200 10 45 

34CrNiMo6 1.6582 1000 1200...1400 9 40 900 1100...1300 10 45 

30CrNiMo8 1.6580 1050 1250...1450 9 40 1050 1250...1450 9 40 

35NiCr6 1.5815 740 880...1080 12 40 740 880...1080 14 40 

36NiCrMo16 1.6773 1050 1250...1450 9 40 1050 1250...1450 9 40 

39NiCrMo3 1.6510 785 980...1180 11 40 735 930..1130 11 40 

30NiCrMo16-6 1.6747 880 1080...1230 10 45 880 1080...1230 10 45 

51CrV4 1.8159 900 1100...1300 9 40 800 1000...1200 10 45 

1) Zu diesen Sorten gibt es je einen Qualitätsstahl (z.B.C35) und eine Variante mit verbesserter Spanbarkeit (z.B. C35R) 

2) Zu diesen Sorten gibt es eine Variante mit verbesserter Spanbarkeit ( unlegiert C50R, legiert z.B. 34CrS4) erreicht durch 

leicht erhöhte S-Gehalte von 0,02...0,04 % Teil 2 enthält 6 Sorten mit Bor-Gehalten von 0.0008...0,005 %. 

KV 

J 

50 

35 

30 

25 

-- 

-- 

-- 

40 

35 

35 

35 

50 

35 

50 

40 

35 

30 

45 

30 

35 

30 

35 

35 

35

4.8 Einsatzstähle DIN EN 10084/98 

Stahlsorte 

C10E+H 

C15E+H 

17Cr3+H 

16MnCr5+H 

20MnCr5+H 

20MoCr4+H 

22CrMoS3-5+H 

20NiCrMo2-2+H 

17CrNi6-6+H 

18CrNiMo7-6+H 

Werkstoff- 

nummer 

1.1121 

1.1141 

1.7016 

1.7131 

1.7147 

1.7321 

1.7333 

1.6523 

1.5919 

1.6587 

HB 

geglüht 

131 

143 

174 

207 

217 

207 

217 

212 

229 

229 

4.9 Nitrierstähle DIN EN 10085/01 

Stahlsorte 

Kurzname Werkstoff-Nr. �-Bereich 

in mm 

31CrMo12 

31CrMoV9 

15CrMoV6-9 

34CrAlMo5 

35CrAlNi7 

1.8215 

1.8519 

1.8521 

1.8507 

1.8550 

...40 

41...100 

...80 

81...150 

...100 

101...250 

...70 

70...250 


Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 1560/97 

Stirnabschreckversuch, Härte HRC 

für einen Stirnabstand in mm 

1,5 5 11 25 

39 

39 

41 

41 

42 

41 

39 

40 

31 

36 

31 

37 

31 

36 

39 

Eigenschaften vergütet 

Rp0,2 MPa 

850 

800 

800 

750 

750 

700 

600 

600 

4.10 Stahlguss DIN EN 10293/05 

Stahlsorte 

Kurzname Zustand 

GE200 

GE240 

GE300 

G17Mn5 

G20Mn5 

G30CrMoV6-4 

G9Ni14 

+N 

+N 

+N 

+QT 

+N 

+QT 

+QT 

Stoff- 

Nr. 

1.0420 

1.0446 

1.0558 

1.1131 

1.1120 

1.7725 

1.5638 

Dicke 

mm 

� 300 

� 300 

� 100 

� 50 

� 30 

� 100 

� 35 

R m,min 

MPa 

A 

% 

10 

11 

11 

13 

10 

12 

14 

15 

380...530 

450...600 

520..670 

450...600 

480...620 

850...1000 

500...650 

KV 

J 

R p 0,2 

MPa 

21 

28 

22 

28 

20 

30 

36 

35 

35 

35 

30 

35 

35 

30 

200 

230 

300 

240 

300 

700 

360 

A 

% 

25 

22 

18 

24 

20 

14 

20 

21 

22 

22 

31 

HV1 

800 

800 

800 

950 

950 

Anwendungsbeispiele 

Kleine Teile mit niedriger Kernfestigkeit: 

Bolzen Zapfen, Buchsen, Hebel 

w. o. mit höherer Kernfestigkeit 

Zahnräder und Wellen im 

} Fahrzeug- und Getriebebau 

Zum Direkthärten geeignet 

Für größere Querschnitte 

Getriebeteile höchster Zähigkeit 

hochbeanspruchte Getriebeteile, 

Wellen, Zahnräder 

Eigenschaften, Anwendungsbeispiele 

Warmfest, für Teile von Kunststoff- 

maschinen. 

Ionitrierte Zahnräder mit hoher Dauer- 

festigkeit. 

Größere Nitrierhärtetiefe, warmfest. 

Druckgießformen für Al-Legierungen 

Für große Querschnitte 

KV in J 

bei RT bei / ° C 

27 

27 

31 

70 

60 

45 

--- 

4.11 Bezeichnung der Gusseisensorten DIN EN 1560/97 

-- 

-- 

-- 

27 / -40 

27 / -40 

27 / -40 

27 / -90 


Kompressorengehäuse 

Konvertertragring 

Großzahnräder 

Tunnelabdeckung (U-Bahn) 

Fachwerkknoten (2,3 t) 

Achsschenkel (400 kg) 

Kaltzäh, Kälteanlagen 

Kurzzeichen werden aus max. 6 Positionen gebildet: Pos. 1. EN für Europäische Norm, Pos. 2. GJ für 

Gusseisen, J steht für I (iron), um Verwechslungen zu vermeiden. 

EN GJ 3. 4. 5. 6. 

Pos. 3 Zeichen für Graphitform (wahlfrei) Pos.4 Zeichen für Mikro- oder 

Makrogefüge (wahlfrei) 

L lamellar A Austenit Q Abschreckgefüge 

S kugelig F Ferrit T Vergütungsgefüge 

V vermicular P Perlit B nichtentkohlend geglüht 

H graphitfrei, (ledeburitisch) M Martensit W entkohlend geglüht 

M Temperkohle L Ledeburit N graphitfrei 

} 

101 

4

4 


Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 1561/97 

102 

Pos. 5. Angabe der mechanischen Eigenschaften (obligatorisch) 

Sorte Eigenschaft (Festigkeiten in MPa) 

GJL- 

GJMB- 

GJMW- 

GJS- 

Mindestzugfestigkeit oder Härte HB, HV . 

� Mindestzugfestigkeit � Mindestbruchdehnung %) 

zusätzlich für die Temperatur bei Messung der Kerbschlagarbeit: 

�RT (bei Raum-,�LT (bei Tieftemperatur). 

oder der chemischen Zusammensetzung. 

Alle 

anderen 

Sorten 

Bezeichnung wie bei den legierten Stählen mit C-Kenn- 

zahl, Symbole der LE, Multiplikatoren mit Bindestrich 

(4.3 Teil 1, Legierte Stähle.) 

Hochlegierte Sorten mit X (wahre Prozente) 

4.12 Gusseisen mit Lamellengraphit GJL DIN EN 1561/97 

Mechanische Eigenschaften in getrennt gegossenen Proben von 30 mm Rohdurchmesser 

Eigenschaft 

Formelzeichen 

Einheit 

Sorte EN -GJL- 

-150 -200 -250 -300 -350 

Zugfestigkeit R m MPa 150...250 200...300 250...350 350...400 350...450 

0,1 %-Dehngrenze R p0,2 MPa 98...165 130...195 165...228 195...260 228...285 

Bruchdehnung A % 0,8...0,3 0,8....0,3 0,8...0,3 0,8...0,3 0,8...0,3 

Druckfestigkeit � dB MPa 600 720 840 960 1080 

Biegefestigkeit � bB MPa 250 290 340 390 490 

Torsionsfestigkeit � tB MPa 170 230 290 345 400 

Biegewechselfestigkeit � bW MPa 70 90 120 140 145 

Weitere 6 Sorten werden nach der Brinellhärte benannt (gemessen im Wanddickenbereich 40...80 mm): EN GJL-HB155 / 

175 / 195 / 215 / 235 / 255. 

Schaubild zur Abschätzung von Zugfestigkeit und Brinellhärte in Gussstücken 

Pos. 6 Zeichen für zusätzliche 

Anforderungen (wahlfrei) 

D Rohgussstück 

H Wärmebehandeltes Gussstück 

W 

Schweißeignung für 

Verbindungsschweißungen 

Z zusätzliche Anforderungen 

nach Bestellung

4.13 Gusseisen mit Kugelgraphit GJS DIN 1563/05 


Temperguss GJM DIN EN 1562/06 

Kurzname 

EN-GJS- 

Rp0,2 MPa 

� a = � t 

MPa 

KIc in 3) 

MPa�m 

� d 

MPa 

� 4) 

bB 

MPa 

� 5) 

bB 

MPa 

Gefüge Anwendungsbeispiele 

-350-22 1) 220 315 31 180 114 Ferrit 

-400-18 2) 250 360 30 700 195 122 Ferrit Windenergieanlagen 

-400-15 250 360 30 700 200 124 Ferrit Preßholm für 6000 t-Presse, 47 t 

-450-10 310 405 23 700 210 128 Ferrit Pressenständer (165 t) 

-500-7 320 450 25 800 224 134 Ferrit/Perlit Zylinder für Diesel-Ramme, 1,7 t 

-600-3 380 540 20 870 248 149 Ferrit/Perlit Kolben (Großdieselmotor) 

-700-2 440 630 15 1000 280 168 Perlit Planetenträger, Kurbelwelle VR5, 

-800-2 500 720 14 1150 304 182 Perlit/Bainit 

-900-2 600 810 14 ---- 317 190 Martensit, wärmebehandelt 

1) Hierzu gibt es je eine Sorte mit gewährleisteter Kerbschlagarbeit bei RT (-RT angehängt) mit 17 J bei +23 °C oder tiefen 

Temperaturen (-LT) mit 12 J bei –40 °C; 2) Hierzu gibt es je eine Sorte mit gewährleisteter Kerbschlagarbeit bei RT (-RT) mit 

14 J bei +23 °C oder tiefen Temperaturen (-LT) mit 12 J bei –20 °C ; 3) Bruchzähigkeit; 4) Umlaufbiegeversuch, ungekerbte 

Probe; 5) Umlaufbiegeversuch, gekerbte Probe; Werte gelten für getrennt gegossene Probestücke. 

4.14 Temperguss GJM DIN EN 1562/06 

Kurznamen 

DIN EN 1562 DIN 1692(Z) 

R p0,2 

MPa 

HB 30 

� 

EN-GJMW- Entkohlend geglühter (weißer) Temperguss 


(Härte HBW nur Anhaltswerte) 

-350-4 GTW-35-04 -- max. 230 Für normalbeanspruchte Teile, Fittings, Förderkettenglieder, 

Schlossteile 

-360-12 GTW-S38-12 190 max. 200 

Schweißgeeignet für Verbunde mit Walzstahl, Teile für Pkw-Fahrwerk, 

Gerüststreben 

-400-5 GTW-40-05 220 max. 220 

Standartwerkstoff für dünnwandige Teile, Schraubzwingen, 

Kanalstreben, Gerüstbau, Rohrverbinder 

-450-7 GTW-45-07 260 max. 220 

Wärmebehandelt, höhere Zähigkeit, Pkw-Anhängerkupplung, 

Getriebeschalthebel 

-550-4 ---------- 340 max. 250 Hochbeanspruchte Teile für den Gerüst und Schalungsbau 

EN-GJMB- Nicht entkohlend geglühter (schwarzer)Temperguss 

-300-6 ---------- --- max. 150 Anwendung, wenn Druckdichtheit wichtiger als Festigkeit und Duktilität 

-350-10 GTS-35-10 200 max. 150 Seillrollen mit Gehäuse, Möbelbeschläge, Schlüssel aller Art, Rohrschellen, 

Seilklemmen 

-450-6 GTS-45-06 270 150...200 Schaltgabeln, Bremsträger 

-500-5 ------------ 300 165...215 

-550-4 GTS-55-04 340 180...230 Kurbelwellen, Kipphebel für Flammhärtung, Federböcke, Lkw-Radnaben 

-600-3 ----------- 390 195...245 

-650-2 GTS-65-02 430 210...260 

Druckbeanspruchte kleine Gehäuse, Federauflage für Lkw (oberflächengehärtet) 

-700-2 GTS-70-02 530 240... 90 VerschleißbeanspruchteTeile (vergütet) Kardangabelstücke, Pleuel, 

Verzurrvorrichtung für Lkw 

-800-1 ---------- 600 270...310 Verschleißbeanspruchte kleinere Teile (vergütet) 

Mechanische Eigenschaftswerte der Gusssorten beziehen sich auf getrennt gegossene Probestücke (12 mm �) des gleichen 

Werkstoffes. 

103 

4

4 


Bezeichnung von Aluminium und Aluminiumlegierungen 

104 

4.15 Bainitisches Gusseisen mit Kugelgraphit DIN EN 1564/06 

Sorte 

EN- 

GJS- 800-8 

GJS-1000-5 

GJS-1200-2 

GJS-1400-1 

Zugfestigkeit Rm MPa 

> 800 

>1000 

>1200 

>1400 

Streckgrenze Rpo,2 MPa 

> 500 

> 700 

> 850 

>1100 


% 

8 

5 

2 

1 

4.16 Gusseisen mit Vermiculargraphit GJV VDG-Merkblatt W-50/02 

Sorte Zugfestigkeit R m 

MPa 

GJV-300 

GJV-350 

GJV 400 

GJV 450 

GJV 500 

300...375 

350..425 

400..475 

450..525 

500..575 

Streckgrenze Rpo,2 MPa 

220..295 

260...335 

300..375 

340..415 

380..455 


% 

1,5 

1,5 

1,0 

1,0 

0,5 

4.17 Bezeichnung von Aluminium und Aluminiumlegierungen 

Numerisches Bezeichnungssystem nach DIN EN 573-1/05: 

Härte HB 

HBW 30 

260..320 

300...360 

340...440 

380...480 

Härte 

HBW 30 

140...210 

160...220 

180...240 

200..250 

220..260 

Normbezeichnung EN AW - 4 1. 2. 3. 4. 

Ziffern + Buchstabe für nationale Variante 

� � � � 

für Aluminium A � � 3. + 4. sind Zählziffern 

für Halbzeug W 2. Ziffer für Legierungsvariante 

1. Ziffer für Legierungsserie (Tafel) 

Aluminium-Gußlegierungen wird für Werkstoffnummer und Kurzbezeichnung ein EN AC- vorgestellt. 

Bezeichnung nach der chemischen Zusammensetzung DIN EN 573-2/94. Das Symbol EN AW- 

(bzw. AC-) wird dem Kurznamen vorgestellt, der meistens aus der früheren Bezeichnung nach DIN 

1725 gebildet wird. 

Aluminium-Legierungsserien nach DIN EN 573-3/03 (Ziffer 1) 

Serie Legierungselemente Serie Legierungselemente Serie Legierungselemente 

1x x x Al unlegiert 4 x x x Al Si + Mg, Bi, Fe, MgCuNi 7 x x x Al Zn + Mg, Cu, Zr 

2 x x x Al Cu + weitere 5 x x x Al Mg + Mn, Cr, Zr 8 x x x Sonstige, Fe, FeSi, FeSiCu 

3 x x x Al Mn + Mg 6 x x x Al MgSi + Mn, Cu, PbMn 

Bezeichnung der Werkstoffzustände durch Anhängesymbole nach DIN EN 515/93 

Symbol Zustand Bedeutung der 1. Ziffer Bedeutung der 2. Ziffer 

F 

Herstellungszustand 

keine Grenzwerte für mechanische 

Eigenschaften 

�� 

O Weichgeglüht 

1 

2 

3 

Hocherhitzt, langsam abgekühlt 

Thermomechanisch behandelt 

Homogenisiert 

�� 

H Kaltverfestigt 

1 

2 

3 

4 

Kaltverfestigt 

Kaltverf. + rückgeglüht 

Kaltverf. + stabilisiert 

Kaltverf.+ einbrennlackiert 

2: 

4: 

6: 

8 

9 

1/4-hart, Zustd. mittig zw. O u. Hx4 

1/2-hart, " " O u. Hx8 

3/4-hart, " " Hx4 u. Hx8 

Vollhart, härtester Zustand. 

Extrahart ( � 10 MPa über Hx8)


Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98 

Symbol Zustand Bedeutung der 1. Ziffer 

T Wärmebehandelt auf 

andere Zustände als 

F, O oder H 

4.18 Aluminiumknetlegierungen, Auswahl 

Sorte EN AW- 

Stoff-Nr. Chemische Symbole mit 

Zustandsbezeichnung (alt) 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

Abgeschreckt aus Warmformtemperatur + kaltausgelagert 

Abgeschreckt aus Warmformtemperatur, kaltumgeformt + kaltausgelagert 

Lösungsgeglüht, kaltumgeformt + kaltausgelagert 

Lösungsgeglüht + kaltausgelagert 

Abgeschreckt aus Warmformtemperatur + warmausgelagert 

Lösungsgeglüht + warmausgelagert 

Lösungsgeglüht + überhärtet (warmausgelagert) stabile 

Lösungsgeglüht, kaltumgeformt + warmausgelagert } 

Zustände 

Lösungsgeglüht, warmausgehärtet + kaltumgeformt 

R m 

MPa 

Reihe 3000 Mechanische Werte für Blech 0,5 ... 1,5 mm (A 50) 

3103 

3004 

Al Mn1-F 

Al Mn1-H28 

Al Mn1Mg1-O 

Al Mn1Mg1-H28 

(W9) 

(F21) 

(W16) 

(F26) 

90 

185 

155 

260 

Reihe 5000 Mechanische Werte für Blech 3 ... 6 mm (A 50) 

5005 

5049 

5083 

Al Mg1-O 

Al Mg2Mn0,8-O 

-H16 

Al Mg4,5Mn0,7-O 

-H26 

(W10) 

(W16) 

(F26) 

(W28) 

(G35) 

100 ... 145 

190 ... 240 

265 ... 305 

275 ... 350 

360 ... 420 

A 

% 

19 

2 

14 

2 

22 

8 

3 

15 

2 

Beispiele 

Dächer, Fassadenbekleidung, Profile, Niete, Kühler, Klima 

anlagen, Rohre, Fließpressteile 

Getränkedosen, Bänder für Verpackung 

Fließpressteile, Metallwaren 

Bleche für Fahrzeug-. u. Schiffbau, 

Formen (hartanodisiert), Schmiedeteile, 

Maschinen-Gestelle, Tank- u. Silofahrzeuge 

Reihe 2000 aushärtbar Mechanische Werte jeweils für das Beispiel 

2117 

2017A 

2024 

2014 

2007 

Al Cu2,5Mg-T4 

Al Cu4MgSi-T42 

Al Cu4Mg1-T42 

Al Cu4SiMg-T6 

Al CuMgPb-T4 

(F31 ka) 

(F34 ka) 

310 

390 

420 

420 

340 

12 

12 

8 

8 

7 

(Drähte � 14 mm), Niete, Schrauben 

⎧Platten, und ⎫ 

⎨ ⎬ 

⎩Blech < 25 mm ⎭ 

Vorrichtungen, Werkzeuge, 

Flugzeuge, Sicherheitsteile 

(Schmiedestücke), Bahnachslagergehäuse 

Automatenlegierung, Drehteile 

Reihe 6000 aushärtbar Mechanische Werte jeweils für das Beispiel 

6060 

6063 

6082 

6012 

Al MgSi-T4 

Al Mg0,7Si-T6 

AlMgSi1MgMn-T6 

Al MgSiPb-T6 (F28) 

130 

280 

310 

2750 

15 

-- 

6 

8 

Strangpressprofile aller Art, Fließpressteile 

Pkw-Räder u. Pkw-Fahrwerkteile 

Schmiedeteile, Sicherheitsteile am Kfz. 

Automatenlegierung, Hydr.-Steuerkolben 

Reihe 7000 aushärtbar Mechanische Werte für Blech unter 12 mm 

7020 

7022 

7075 

Al Zn4,5Mg1 -O 

-T6 

AL Zn5Mg3Cu-T6 

Al Zn5,5MgCu-T6 

(F45wa) 

(F53wa) 

220 

350 

450 

545 

12 

10 

8 

8 

Cu-frei, nach Schweißen selbstaushärtende Legierung 

Maschinen-Gestelle, 

Schmiedeteile 

4.19 Aluminiumgusslegierungen, Auswahl aus DIN EN 1706/98 

Kurzname 

Stoff- Nr. 

EN AC-... 

-Al Cu4MgTi 

-21000 

Gießart 

DIN EN 

1706 

S, K, L 

Gießart, 

Zustd. 1) 

S 

K 

L 

T4 

T4 

T4 

R m 

MPa 

300 

320 

300 

R p0,2 

MPa 

200 

220 

220 

A 50mm 

% HB 

5 

8 

5 

90 

90 

90 

} überaltert (T7) gut beständig 

gegen SpRK 

Gießen/ 2) 

Schweißen/Polieren/ 

Beständigk. 

Bemerkungen 

Einfache Gussstücke hoch- 

C/D D B D fest und -zäh, Wagonrahmen 

und -fahrgestelle 

105 

4

4 


Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95 

106 

Fortsetzung Aluminium Gusslegierungen 

Kurzname, Stoff- 

Nr. 

DIN EN 1706 

EN AC-... 

-Al Si7Mg0,3 

-42100- 

-Al Si10Mg(a) 

-43000 

-Al Si12(a) 

-44200 

-Al Si8Cu3 

-46200 

-Al Si12CuNiMg 

-48000 

-Al Mg3(b) 

-51000 

Gießart 

S 

K 

L 

S 

K 

L 

S 

K 

S 

K 

D 

Gießart, 

1) Rm Rp0,2 A50mm HB 

Zustd. 

S 

K 

S 

K 

K 

S, 

K 

S 

K 

T6 

T6 

T64 

F 

F 

T6 

F 

F 

F 

F 

K K T5 

T6 

S S F 

K K F 

230 

290 

290 

150 

180 

260 

150 

170 

150 

170 

200 

280 

140 

150 

190 

210 

210 

80 

90 

220 

70 

80 

90 

100 

185 

240 

70 

70 

2 

4 

8 

2 

2,5 

1 

5 

6 

1 

1 

75 

90 

80 

50 

55 

Gießen/ 2) 

Schweißen/Polieren/ 

Beständigk. 

B B C B 

A A D B 

90 

50 

60 

60 

A A D B 

100 B B C D 

�1 90 

�1 100 

3 50 

5 50 

A A C C 

C/D C A A 

Bemerkungen 

Sicherheitsbauteile: Hinterachslenker, 

Vorderradnabe, 

Bremssättel, Radträger 

Motorblöcke, Wandler- und 

Getriebegehäuse, Saugrohr 

für Kfz 

Dünnwandige, stoßfeste 

Teile aller Art 

Warmfest bis 200° C, für 

dünnwandige Teile 

Erhöhte Warmfestigkeit bis 

zu 200 °C; Zylinderköpfe 

Beschlagteile für Bau- und 

Kfz.-Technik, Schiffbau 

1) Gießart: S: Sandguss; K: Kokillenguss, D: Druckguss, L: Feinguss, das Zeichen wird nachgestellt ! 

Beispiel: EN 1706 AC-Al Cu4MgTi KT4; oder EN 1706 AC-21000 KT4: Kokillenguss (K), kaltausgehärtet (T4) 

2) Wertung: A ausgezeichnet, B gut, C annehmbar, D unzureichend. 

4.20 Bezeichnung von Kupfer und Kupferlegierungen nach DIN 1412/95 

Europäisches Nummernsystem. Die Normangabe besteht aus 6 Zeichen. 

C 2. 3. 4. 5. 6. 

1. C Zeichen für Kupfer; 3. bis 5. Ziffern sind Zählziffern, 

0...799 für genormte, 800...999 für nichtgenormte Sorten. 

2. Buchstabe für die Erzeugnisform 6. Buchstabe(n) für Legierungssystem 

B Blockform zum Umschmelzen A, B Cu H CuNi 

G Gusserzeugnis C, D Cu, niedriglegiert, J CuNiZn 

F Schweißzusatz, Hartlote 

� LE < 5 % K CuSn 

M Vorlegierung E, F Legierungen, L, M CuZn Zweistofflegierg. 

R Raffiniertes Cu in Rohform 

� LE > 5 % N, P CuZnPb 

S Werkstoff in Form von Schrott G CuAl R,S CuZn Mehrstofflegierg. 

W Knetwerkstoffe 

X nicht genormte 

4.21 Zustandsbezeichnungen nach DIN EN 1173/95 

Anhängesymbole, bestehend aus einem Buchstaben und 3 Ziffern für bestimmte Eigenschaftswerte. 

Symbol Bedeutung Beispiel Symbol Bedeutung 

A Bruchdehnung A005: A = 5 % D 1) gezogen, ohne vorgegebene mech. Eigenschaften 

B Federbiegegrenze B370: 370 MPa G Korngröße 

H Härte HB oder HV H030 HBW10 30HBW10 M 1) wie gefertigt, ohne vorgegebene mech. Eigenschaften 

R Zugfestigkeit R700: 700 MPa 

Y 0,2%-Dehngrenze Y350: 350 MPa 

1) Die Buchstaben D und M werden ohne weitere 

Bezeichnungen verwendet

4.22 Kupferknetlegierungen, Auswahl 

Kurzzeichen 

DIN EN-CW 

CuSn6 

Zustd. 

1) 

R420 

Y360 


Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98 

Stoff-Nr. Werkstoffeigenschaften 

CW.. Rp0,2 R m A HB 

452K 

-- 

360 

420 

-- 

20 

20 

CuAl8Fe3 R480 303G 210 480 30 (140) 

CuZn37 R300 508L 180 300 48 (70) 

-- 

Eigenschaften Verwendung 

Chemisch beständig, stark 

kaltverfestigend 

Noch kaltformbar, warmfest 

bis 300 °C 

Gut kaltumform-, löt- und 

schweißbar 

CuZn40 R340 509L 240 340 43 (80) Warm- und kaltumformbar Uhrenteile 

CuZn39Pb2 R360 612N 270 360 40 (85) 

CuZn40Pb2 R430 617N (200) 430 (15) -- 

CuNi10Fe1Mn 

R290 

R480 

352H 290 

400 

90 

480 

CuNi12Zn30Pb1 R420 406J 420 20 -- 

CuNi18Zn20 

R380 

R520 

409J 250 

430 

380 

520 

30 

8 

37 

6 

-- 

-- 

140) 

(160) 

Gut stanz- u. spanbar, nur 

gering kaltformbar 

Gut warm-, kaum kaltumformbar 

seewasserbeständig 

Gut kaltformbar und 

spanbar 

Sehr gut kaltformbar, 

anlaufbeständig 

Federn, Membranen, 

Drahtgewebe, -schläuche 

Blechkonstruktionen für 

den chem. Apparatebau. 

Hauptlegierung für spanlose 

Verarbeitung 

Formdrehteile 

Strangpressprofile, 

Schmiedestücke 

Rohre, Schmiedestücke, 

Fittings für Offshore- 

Technik 

Sicherheitsschlüssel, 

Drehteile für optische 

Industrie 

Kontaktfedern, Membranen, 

Brillengestelle 

1) Zustandszeichen angehängt z. B.: R420 Mindestzugfestigkeit R m,min = 420 MPa; Y360 Mindeststreckgrenze R p0,2 in MPa 

4.23 Kupfergusslegierungen, Auswahl nach DIN EN 1982/98 

Kurzzeichen 

DIN-EN- 

(ältere Normen) 

CuAl10Ni3Fe2-C 

(G-CuAl9Ni) 

CuAl10Fe5Ni5-C 

(G-CuAl10Ni) 

CuSn3Zn8Pb5-C 

(CuSn2ZnPb) 

CuSn5Zn5Pb5-C 

(CuSn5Zn, Rg 5) 

CuZn33Pb2-C- 

(G-CuZn33Pb) 

CuZn16Si4-C 

(G-CuZn15Si4) 

Stoff-Nr. 

CC... 

332G 

333G 

490K 

491K 

750S 

761S 

Gieß- 

Art 1) 

GS 

GM 

GS 

GZ 

GS 

GC 

GS 

GC 

GS 

GZ 

GS 

GM 

Werkstoffeigenschaften 

R p0,2 R m A HB 

180 

250 

250 

280 

85 

100 

90 

110 

500 

600 

600 

650 

180 

220 

200 

250 

18 

20 

13 

13 

15 

12 

13 

13 

70 180 12 

230 

300 

400 

500 

10 

8 

100 

130 

140 

150 

60 

70 

60 

65 

45 

50 

100 

130 

Eigenschaften Verwendung 

Sehr gut schweißgeeignet, 

chemisch beständig 

Dauerschwingfest, meerwasserbeständig 

Brauchwasserbeständig 

Lötbar, meerwasserbeständig 

Hohe elektr. Leitfähigkeit, 

beständg. Gegen Brauchwasser 

Dünnwandig vergießbar, 

meerwasserbeständig 

Gussteile f. Nahrungsmittelmaschinen 

und 

chemische Apparate 

Verbunde aus Gussund 

Knetlegierungen 

Dünnwandige (

4 


Druckgusswerkstoffe 

108 

4.24 Anorganisch nichtmetallische Werkstoffe 

Werkstoffkennwerte nichtmetallisch anorganischer Stoffe im Vergleich mit Stahl 

Sorte 

Kurzzeichen 

Dichte 

g/cm 3 

E-Modul 

kN/mm 2 

Biegefestigkeit 

MPa 

Wärme- 1) 

leitung � 

W/mK 

Wärme- 2) 

dehnung � 

10 –6/K 

Maximale 

Temperatur 

°C 

K Ic 3) 

MPa m 

Stahl, unleg. 7,85 210 500...700 62 12 200 � 100 

Al-Oxid 3...3,9 200...380 200...300 10...16 5...7 1400...1700 4...5 

PSZ, ZrO 2 5...6 140...210 500...1000 1,2...3 9...13 900...1500 8 

Ati, Al 2TiO 5 3...3,7 10...30 25...50 1,5...3 5 900...1600 1 

SSN 

RBSN 

HPSN 

HIPSN 

GPSN 

SSiC 

SiSiC 

HPSiC 

HiPSiC 

RsiC 

3...3,3 

1,9...2,5 

2...3,4 

3,2...3,3 

3,2 

3,1 

3,1 

3,2 

3,2 

2,6...2,8 

250...330 

80...180 

290...320 

290...325 

300...310 

370...450 

270...350 

440...450 

440...450 

230...280 

300...700 

80...330 

300...600 

300...600 

900...1200 

300...600 

180...450 

500...800 

640 

200 

15..45 

4...15 

15...40 

25...40 

20...24 

40...120 

110...160 

80...145 

80...145 

20 

2,5...3,5 

2,1...3 

3,0...3,4 

2,5...3,2 

2,7...2,9 

4,0...4,8 

4,3...4,8 

3,9...4,8 

3,5 

4,8 

1750 

1100 

1400 

1400 

1200 

1400...1750 

1380 

1700 

1700 

1600 

5...8,5 

1,8...4 

6...8,5 

6...8,5 

8...9 

3...4,8 

3...5 

5,3 

5,3 

3 

Borcarbid, B 4C 2,5 390...440 400 35 5 700...1000 3,4 

1) Wärmeleitung � bei 20 °C; 2) Längenausdehnung � für Keramik 30..1000 °C; 3) K Ic: Spannungs-Intensitätsfaktor 

(Maß für die Bruchzähigkeit, aus der Bruchmechanik hergeleitet) 

4.25 Bezeichnung von Si-Carbid, SiC und Siliciumnitrid, Si 3N 4 nach der 


Sorte SC 

(Si-Carbid) 

RSiC 

SSiC 

SiSiC 

HPSiC 

HiPSiC 


rekristallisiert, porös bis 15 % 

gesintert , „ „ . 5 % 

Si-infiltriert 

heißgepresst 

heißisostatisch gepresst (HIP) 

4.26 Druckgusswerkstoffe 

Kurzzeichen 

r 

g/cm 3 

R p 0,2 

MPa 

Rm 

MPa 

A 

in % 

Sorte SN 

(Si-Nitrid) 

RBSN 

SSN 

HPSN 

HIPSN 

GPSN 

Härte 

HBW10 

Tm 

in °C 


reaktionsgebunden, porös 

drucklos gesintert, porös 

heißgepresst 

heißisostatisch gepresst (HIP) 

gasdruckgsintert 

1) 2) 

n 3) 

x103 s 4) 

min mmax mm kg 

Zink-Legierungen DIN EN 1774 (Auswahl aus 8 Sorten) Cu-frei dekorativ galvanisierbar 

ZnAl4 

ZL0400 (Z400) 

ZnAl4Cu 

ZL0410 (Z410) 

6,7 

160... 

170 

180... 

240 

250... 

300 

1,5... 

3 

2... 

3 

70... 

90 

80... 

100 

380... 

386 

Aluminium-Legierungen DIN EN 1706 AC- (Auswahl aus 9 Sorten) 

Al Si12(Fe) 

(230) 

Al Si9Cu3(Fe) 

(226) 

Al Si12CuNi 

(239) 

Al Mg9 

(349) 

2,55 

2,75 

2,65 

2,6 

140... 

180 

160... 

240 

190... 

230 

140... 

220 

230... 

280 

240... 

320 

260... 

320 

200... 

300 

1... 

3 

0,5 

...3 

1... 

3 

1... 

5 

60... 

100 

80... 

110 

90... 

120 

70... 

100 

575 

510... 

620 

570... 

585 

520... 

620 

1 1 500 

2 

2 

2 

3... 

4 

2... 

3 

2 

2... 

3 

1 

80 

0,6 

bis 

2 

1 

bis 

3 

20 

25 

Anwendungen 

Dichte 

� 

steigt 

Plattentelller, Vergaserge- 

häuse, PkW-Scheinwerfer 

rahmen, PkW- Türschlösser, 

Türgriffe 

Hydraulische Getriebeteile, 

druckdichte Gehäuse. 

Trittstufen f. Rolltreppen, 

E-Motorengehäuse. 

Kolben, Zylinderköpfe. 

Gehäuse f. Haushalts-, 

Büro- und optische Geräte


Lagermetalle und Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme 

Kurzzeichen 

r 

g/cm3 Rp 0,2 

MPa 

Rm MPa 

A 

in % 

Härte 

HBW10 

Tm in °C 

1) 2) 

3) n 

x103 s 4) 

min mmax mm kg 

Anwendungen 

Magnesium-Legierungen DIN EN 1753 (Auswahl aus 8 Sorten) Sehr leicht, Oberflächenschutz erforderlich 

MCMgAl9Zn1 140... 200... 1... 65... 470... 1... 

Rahmen f. Schreibmaschi- 

AZ 91 

170 260 6 85 600 2 

1 nen und Tonbandgeräte, 

MCMgAl6Mn 120... 190... 4... 55.. 470... 1... 

bis 15 Gehäuse f. tragbare Werk- 

AM 60 1,8 150 250 14 70 620 2 

3 zeuge u. Motoren. 

MCMgAl4Si 

120... 200... 3... 55... 580... 2 1 100 

Gehäuse f. Kfz. Getriebe 

AS 41 

150 250 12 60 620 

Radfelgen 

Kupfer-Legierungen DIN EN 1982 Höhere Festigkeit und Zähigkeit, hoher Formverschleiß durch hohe Gießtemperatur 

CuZn39Pb1Al-C 

CuZn16Si4-C 

8,5 

8,6 

(250) 

(370) 

(350) 

(530) 

(4) 

(5) 

(110) 

(150) 

880... 

900 

850 

3 

2 

3 

3 

10 

2 

bis 

4 

5 

Armaturen für Warm- und 

Kaltwasser 

Dünnwandig vergießbar 

Zinn Legierungen DIN 1742 Höchste Maßbeständigkeit, kaltformbar, korrosionsbeständig 

GD-Sn80Sb 7,1 115 2.5 30 250 1 2 Teile von Messgeräten 

1) Gießeignung; 2) Spanbarkeit; 3) Standmenge; 4) Wanddicke; Wertungen: 1 sehr gut, 2 gut, 3 ausreichend 

4.27 Lagermetalle und Gleitwerkstoffe, Übersicht über die Legierungssysteme 

Legierungssystem 

Beispiele Beschreibung 

DIN ISO 4381 Blei- und Blei-Zinn-Verbundlager, Gusslegierungen 

Mit kleinen 

Anteilen von 

Cu, As, Cd 

PbSb15SnAs 

PbSb15Sn10 

PbSb10Sn6 

PbSb14Sn9CuAs 

SnSb12Cu6Pb 

SnSb8Cu4 

SnSb8Cu4Cd 

Dreifachsystem aus zwei eutektischen Systemen (PbSn und PbSb) kombiniert mit einem 

peritektischen (SbSn) mit kompliziertem Erstarrungsverlauf. Primäre Ausscheidung 

der harten Sb-reichen intermetallischen �-Phase, als würfelförmige Tragkristalle in der 

Grundmasse aus (Pb+ �) liegend. As und Cd wirken weiter verfestigend. 

Bei Cu-haltigen Sorten scheidet sich primär eine harte, intermetallische CuSn-Phase 

dendritisch aus. Sie hält die später kristallisiertenden würfelförmigen SbSn-Kristalle in 

der bleireichen Schmelze in Schwebe. 

Fettdruck: Sorten auch in DIN ISO 4383 enthalten. 

DIN ISO 4382-1 Cu-Gusslegierungen für dickwandige Verbund- und Massivgleitlager 

Cu-Pb- Sn 

Massiv- 

gleitlager 

Massiv- und 

Verbundlager 

CuPb8Pb2 

CuSn10Pb 

CuSn12Pb2 

CuPb5Sn5Zn5 

CuSn7Pb7Zn3 

CuPb9Sn5 

CuPb10n10 

CuPb15Sn8 

CuPb20Sn5 

CuAl10Fe5Ni5 

DIN ISO 4382-2 Cu- Knetlegierungen für Massivgleitlager 

Cu-Sn, 

Cu-Zn 

Cu-Al 

CuSn8P 

CuZn31Si1 

CuZn37Mn2Al2Si 

CuAl9Fe4Ni4 

DIN ISO 4383 Verbundwerkstoffe für dünnwandige Gleitlager 

Cu-Pb 

CuPb10n10 

CuPb17Sn5 

CuPb24Sn4 

CuPb30 

Blei ist in Cu unlöslich, es bleibt zwischen den CuSn-Mischkristallen und härteren 

CuSn-Phasen flüsssig und erstarrt zuletzt. Zn ersetzt teilweise das teure Sn (Rotguss). 

Pb wirkt bei Überhitzung als Notschmierstoff. Mit steigendem Pb-Gehalt sinkt 

die Härte. Mit dem Sn-Gehalt steigen Härte und Streckgrenze, für gehärtete Gegenkörper 

und Stoßbeanspruchung geeignet. 

Pb ergibt weiche, anpassungsfähige (Fluchtungsfehler) Legierungen für mittlere bis 

hohe Gleitgeschwindigkeiten, bei hohen Pb-Gehalten auch für Wasserschmierung 

geeignet. 

Al erhöht Korrosionsbeständigkeit und Gleiteigenschaften, Fe verhindert das Entstehen 

spröder Phasen. Harte Werkstoffe mit hoher Zähigkeit und Dauerfestigkeit. 

Homogene Gefüge aus kfz.-MK bis etwa 8 % Sn, darüber heterogene mit der härteren 

intermetallischen �-Phase. 

(Sondermessing), kfz.-Mischkristallgefüge, zähhart, geringe Notlaufeignung. 

Cu-Al sehr hart, seewasserbeständig, Konstruktionsteile mit Gleitbeanspruchung. 

Mit Pb-Gehalt steigt der Verschleißwiderstand im Bereich der Mischreibung und Korrosionsbeständigkeit 

gegen Schwefelverbindungen, deshalb Einsatz in Kfz-Verbren- 

nungsmotoren mit Stillständen und Kaltstarts für Haupt- und Pleuellager. 

109 

4

4 


Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren, Auswahl 

Al 

110 

Legierungssystem 

Gleitschichten 

Overlays 

Sintereisen, 

Sinterbronze 

Beispiele Beschreibung 

AlSn20Cu 

AlSn6Cu 

AlSi11Cu 

AlZn5Si1,5Cu1Pb1Mg 

PbSn10Cu2 

PbSn10, PbIn7 

Fe mit 0,3 % C + Cu 

Cu mit 9...11 %Sn 

4.28 Lagermetalle auf Cu-Basis (DKI) 

Kurzname 

DIN EN 1982 

W.-Nummer 

CuSn8P 

CW459K 

CuSn12-C 

CC483K 

CuSn12Ni2-C 

CC484K 

CuSn7Zn4Pb7-C 

CC493K 

CuZn25Al5Mn4 

Fe3-C 

CC762S 

CuAl11Fe5Ni6-C 

CC344G 

Gieß- 

Art 2) 

R390 

R620 

-GS 

-GM 

-GZ 

-GC 

-GS 

-GZ 

-GC 

-GS 

-GM 

-GZ 

-GC 

-GS 

-GM 

-GZ 

-GC 

-GS 

-GM 

-GZ 

Al ist leicht und gut wärmeleitend, gleiche Wärmausdehnung wie bei Al- 

Gehäusen, die Al-Oxidschicht verhindert Adhäsion und Korrosion. Mit der 

Härte steigt die Dauerfestigkeit. 

Gerollte Buchsen oder dünnwandig auf Stahlblech gewalzt und mit 

galvanischer Gleitschicht versehen. 

weich Dünne, galvanisch aufgebrachte Schichten zum Einlaufen und für 

Grenzreibung. 

Festigkeiten 1) 

Rm Rp0,2 A HB 

MPa % min 

390 260 45 -- 

620 550 -- -- 

260 

270 

280 

280 

280 

300 

300 

240 

230 

270 

270 

750 

750 

750 

750 

680 

680 

750 

140 

150 

150 

140 

160 

180 

170 

120 

120 

130 

130 

450 

480 

480 

480 

320 

400 

400 

12 

5 

5 

8 

14 

8 

10 

15 

12 

13 

16 

8 

8 

5 

3 

5 

Porenräume sind mit Schmierstoff gefüllt (< 30 %), das bei Erwärmung 

austritt. Mit Kunststoff-Gleitschicht imprägniert (PTFE, POM, PVDF) 

80 

80 

95 

90 

90 

100 

90 

65 

60 

75 

70 

180 

180 

190 

190 

170 

200 

185 

Bemerkungen Anwendungsbeispiele 

P-legiert, korrosionbeständig, verschleiß- 

und dauerschwingfest, 

sehr gute Gleiteigenschaften, 

bis 70 MPa zulässig 

Sorten mit 2 % Pb für Lager mit 

verbesserten Notlaufeigenschaften, 

dafür sind gehärtete Wellen 

zweckmäßig, in GZ- oder GC- 

Ausführung sind Lastspitzen 

bis max. 120 MPa zulässig 

Wie oben mit erhöhter Zähigkeit 

und Verschleißfestigkeit 

Preisgünstig, für normale Gleitbeanspruchung, 

gute Notlaufeigenschaften 

durch 5...8 %Pb. In 

GZ- oder GC-Ausführung sind bis 

zu 40 MPa zulässig (früher Rg7) 

Preisgünstig, für besonders hohe 

statische Belastungen geeignet, 

weniger für dynamische und hohe 

Gleitgeschwindigkeiten. Schlechte 

Notlaufeigenschaften, gute 

Schmierung erforderlich 

Für höchste Stoß- und Wechselbelastung 

bis zu 25 MPa Flächenpressung, 

mäßige Notlaufeigenschaften, 

hohe Dauerschwingfestigkeit 

in Meerwasser 

Gerollte und gedrehte Buchsen 

für Lager aller Art, Pleuel- 

und Kolbenbolzenlager 

(Carobronze�) 

Schneckenräder und -kränze, 

Gelenksteine, unter Last 

bewegte Spindeln, Lager mit 

hohen Lastspitzen 

Schneckenradkränze mit 

Stoßbeanspruchungen 

Lager im Werkzeugmaschinenbau, 

in Baumaschinen, 

Schiffswellenbezüge 

Gelenksteine, Spindelmut- 

tern, die nicht unter Last 

verstellt werden, langsam 

laufende Schneckenradkränze 

Stoßbeanspruchte Gleitlager 

in Schmiedemaschinen und 

Kniehebelpressen, Gelenkbacken, 

Druckmuttern 

1) Mittelwerte 2) Gießart siehe 4.23 unten: Alle Kupfer-Guss-Legierungen sind in DIN EN 1982 zusammengefaßt. 

4.29 Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren, Auswahl 

Symbol Polymer Symbol Polymer 

AAS 

ABS 

APP 

BS 

CA 

CAB 

Methacrylat-Acrylat-Styrol 

Acrylnitril-Butadien-Styrol 

ataktisches Polypropylen 

Butadien-Styrol 

Celluloseacetat 

Celluloseacetobutyrat 

CAP 

CP 

EC 

EP 

ETFE 

FF 

Celluloseacetopropionat 

Cellulosepropionat 

Ethylcellulose 

Epoxid 

Ethylen-Tetrafluorethylen 

Furanharze

Fortsetzung: Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren 


Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren, Auswahl 

Symbol Polymer Symbol Polymer 

Hgw 

Hm 

Hp 

LCP 

MF 

MP 

PA 

PAI 

PAN 

PAR 

PB 

PBT(P) 

PC 

PCTFE 

PDAP 

PE 

PEEK 

PEI 

PES 

PET(P) 

PFPFEP 

Pi 

PMMA 

POM 

PP 

PPO 

PPS 

PS 

PSU 

Hartgewebe 

Harzmatte 

Hartpapier 

Liquid Crystals Polymers 

Melaminformaldehyd 

Melamin- Phenolformaldehyd 

Polyamide 

Polyamidimide 

Polyacrylnitril 

Polyarylat 

Polybuten 

Polybutylenterephthalat 

Polycarbonat 

Polychlortrifluorethylen 

Polydiallylphthalat 

Polyethylen 

Polyaryletherketon 

Polyetherimid 

Polyethersulfon 

Polyethylenterephthalat 

Polytetrafluorethylen- Perfluorpropylen 

Polyimid 

Polymethylmethacrylat 

Polyoxymethylen, (Polyacetal, Polyformaldehyd) 

Polypropylen 

Polyphenyloxid 

Polyphenylensulfid 

Polystyrol 

Polysulfon 

PTFE 

PTP 

PUR 

PVC 

PVDC 

PVDF 

PVF 

SAN 

SB 

SI 

TPU 

UF 

UP 

MFI 

RIM 

RSG 

BMC 

GMT 

SMC 

Verstärkte Kunststoffe 

AFK 

BFK 

CFK 

GFK 

MFK 

SFK 

Beispiel: 

PP-GF20 

Polytetrafluorethylen 

Polytetephthalate 

Polyurethan 

Polyvinylchlorid 

Polyvinylidenchlorid 

Polyvinylidenfluorid 

Polyvinylfluorid 

Styrol-Acrylnitril 

Styrol-Butadien 

Silicon 

thermoplastische Polyurethane 

Harnstoff-Formaldehyd 

ungesättigte Polyester 

Schmelzindex 

Reaction Injection Moulding (RSG) 

Reaktionsharz-Spritzguß (RIM) 

Bulk Moulding Compound (Formmasse) 

Glasmattenverstärkte Thermoplaste 

Sheet Moulding Compound (Duroplast) 

Asbestfaserverstärkter Kunststoff 

Borfaserverstärkter Kunststoff 

Kohlenstoffaserverstärkter Kunststoff 

Glasfaserverstärkter Kunststoff 

Metallfaserverstärkter Kunststoff 

Synthesefaserverstärkter Kunststoff 

Polypropylen, glasfaserverstärkt (20 %) 

Kurzzeichen für Polymergemische (blends) werden aus den Komponenten mit Pluszeichen gebildet, das Ganze in Klammern. 

Beispiel: (ABS+PC). 

Zusatzzeichen für besondere Eigenschaften der Polymere (mit Bindestrich angehängt) 

Symbol 

C 

H 

N 

W 

Bedeutung 

chloriert 

hoch 

normal, Novolack 

Gewicht 

Symbol 

D 

I 

P 

R 

Bedeutung 

Dichte 

schlagzäh 

very, sehr 

erhöht, Resol 

Symbol 

E 

M 

U 

X 

Bedeutung 

verschäumt, verschäumbar 

mittel, molekular 

ultra, weichmacherfrei 

vernetzt, vernetzbar 

Symbol 

F 

L 

V 

Bedeutung 

Flexibel 

linear 

weichmacherhaltig 

111 

4

4 


Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl 

112 

4.30 Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl 

Wärmebeständigkeit 

Chemische 

Dichte 

Bezeichnung, 

g/cm 

Kurzzeichen 

3 

HDT/A 4) Einsatz- 

1,8 Mpa in Bereich 

°C ° C 5) 

Bruch- Streck- Bruch- Streck- 

Spannungen Dehnungen H358/10 E-Modul 

in MPa in % 

MPa MPa 2) 

Polyvinylchlorid Vestolit, Vinnolit, Trovidur, Trocal Unbeständig gegen Kohlenwasserstoffe (Quellung), 

PVC-U hart 1,36 65...75 -30/60 ---- 50...60 ---- 4...6 80...130 2700...3000 20 8 Hart, zäh, korrosionsbeständig, selbstlöschend, Roh- 

-C nachchloriert 1,55 100 /80 ---- 70...80 ---- 3...5 

3400...3600 ---- 6 re, Fittings für Frisch- und Abwasser, Fensterprofile 

Polyetrafluorethylen, Fluon, Coroflon, Hostaflon, Teflon, Hohe Beständigkeit gegen fast alle agressiven Stoffe 

PTFE 

2,2 50...60 -200/280 ---- 20...40 ----- >50 30 400...750 1,8 14 Korrosionsbeständig, klebwidrig, geringste Reibung, Kon- 

PCFTE 

2,1 65...75 -30/180 30...40 ---- >50 ---- 

1300...1500 ---- 7 stanz elektrischer Eigenschaften zwischen -150...300° C 

Polyethylen Duraflex, Hostalen, Lupolen, Neopolen, Vestolen Unbeständig gegen Tetrachlorkohlenstoff, Trichlorethen 

PE-LD 

0,92 ---- -80...70 ---- 8...10 ---- 20 16 200...400 0,8.. 23 Biegsam bis hart, teilkristallin, korrosionsbeständig, 

PE-HD 

0,96 38...50 -80...90 ---- 18...30 ---- 8...12 64 600...1400 . 12...15 kaltzäh, Wasserleitungsrohre, Galvanikbehälter, Batteriekästen, 

Silo-Auskleidungen, Folien für Verpak- 

PE-GF 30 

55...65 

---- 

----- 

---- 5200...6000 4 

kung 

Polypropylen Coroplast, Hostalen, Novolen , Vestolen Unbeständig gegen Halogene, starke Säuren, Trichlorethen 

PP 

0,9 55...65 0/100 ---- 25...40 ---- 8..18 75 

6 10...15 Wie PE, temperaturstandfester, weniger kaltzäh, 

PP-GF 30 1,14 90...115 

---- 80 ---- 3,5 ---- 6500...6700 

7 kochfest, hochkristallin, Benzintanks, Rohre für 

Fu0ßbodenheizung 

Polystyrole Coroplat, Polystyrol, Styrodur, Vestyron Unbeständig gegen Tetrachlorkohlenstoff, Trichlorethen. Benzinwirkt spannungsrissauslösend 

Glasklar, hart, spröde, geringste elektrische Verluste, 

PS 1,05 65...85 -10/70 30...55 ---- 1,5...3 ---- 155 3100...3300 20 7 

geschäumt als Wärmeisolator. Gehäuse f. Feingeräte, 

α 

σ 1 /1000 

3) Eigenschaften, Verwendungsbeispiele 

1) 

ε B ε Y 

σ Y 

σ B 

Opak, kaltzäh, weniger UV-beständig und alterungsempfindlicher 

als PS, Tiefziehplatten, Transport- und 

Lagerbehälter, 

Glasklar, hoher E-Modul, beständiger als reines PS, 

weniger zäh als SB, Batteriekästen, Gehäuse für Geräte 

der Feinwerktechnik 

Steif, kaltzäh, kratzfest, Schalldämpfend, geringeres 

Kriechen und Dehnen bei Erwärmung, 

Schlagfeste Polystyrol-Copolymere Luran, Lustran, Novodur, Terluran, Vestyron 

SB: Styrol- 

1,05 70...85 -50/70 ---- 25...45 ---- 1...2,5 100 2200...2800 20 10 

Butadien 

Karosserie-Innenausbau, Schutzhelme, galvanisierbare 

Beschlagteile, Armaturenbretter, Frontspoiler, 

Schutzhelme. 

SAN: Styrol- 1,08 95...100 0/85 65...85 ---- 2,5...5 ---- 170 3500...3900 13 7 

Acrylnitril 

SAN-GF 35 1,36 105 0/90 110 ---- 2 ---- ---- 12000 ---- 2,5 

ABS: Acrylnitril- 

1,08 95...105 -30/80 ----- 30...45 ---- 2,5...3,5 95 2400 12 9 

Butadien-Styrol 

ABS-GF 20 1,36 100...110 -30/80 65...80 ---- ---- ... 2 250 2400 12 9


Thermoplastische Kunststoffe, Plastomere, Auswahl 

Polymethylmetacrylat Acrylnitril-Copoloymerisat Plexiglas, Resarit, Degulan Unbeständig gegen organische Lösungsmittel 

PMMA 

1,17 75...105 -40/90 60...75 ---- 2...6 ---- 

3100...3300 15 8 Verglasungen aller Art mit hoher Verformbarkeit, 

AMMA , Halbzeug 

75 --- /70 90...100 ---- 10 ---- 

4500...4800 --- ---- Splittersicherheit, Lehrmodelle, Zeichengeräte 

Polycarbonat Makrofol, Makrolon, Pokalon, Sustonat Unbeständig gegen Alkalien, organische Lösungsmittel, Wasserdampf 

PC, amorph 1,2 125...135 - ---- 55...60 ---- 6...7 100 2300...2400 18 6...7 Glasklar, kaltzäh-warmhart, maßbeständig, Trägertei- 

PC-GF 30 1,44 135...140 100/125 70 ---- 3,5 ---- 150 5500...5800 40 2,5 le und Gehäuse für Beleuchtungskörper und Messgeräte 

Polyoxymethylen Delrin, Hostaform, Kematal, Ultraform Unbeständig gegen starke Säuren 

POM 

1,41 105...115 -50/80 ---- 60...70 ---- 8...25 160 3000...3200 15 12 Kristallin, geringe Wasseraufnahme und Kaltfluss, in 

POM-GF 30 1,5 155...160 -50/100 125...130 ---- 3 ---- 200 9000...10000 ---- 3 Anwendung ähnlich PA, Schnappverbindungen 

Polyamide Durethan, Rilsan, Sustamid, Trogamid, Ultramid, Vestamid Unbeständig gegen starke Säuren und Laugen 

PA6 trocken 1,12 55...80 -40/90 ---- 70...90 ---- 4...6 160 2600...3200 

Teilkristallin, zählhart, abriebfest, wasseraufnehmend, 

� 4..6 7...10 

konditioniert 1,14 30...60 - ---- 30...60 ---- 0...30 65 750...1500 

von PA6 über PA66 und PA12 abnehmend. Dadurch 

Maßänderungen und Abfall der Festigkeit. 

PA66 trocken 1,13 70...80 40/100 ---- 75...100 ---- 4,5...5 160 2700...3300 

---- 7...10 Zahnräder, Laufrollen, Nockenscheiben, Pumpentei- 

konditioniert 1,15 --- 

---- 50...70 ---- 15...25 100 1300...2000 

le, Gleitelemente, Lüfterräder, Gehäuse für Hand- 

PA12 trocken 1,01 40...50 -70/110 ---- 45...60 ---- 4...5 95 1300...1600 

---- 10...15 leuchte, Möbelscharniere. Hohlkörper durch Rotati- 

konditioniert 1,03 --- 

---- 35...40 ---- 10...15 80 900...1200 

onsformen (Heizöltanks) 

PA6-GF 30 tr. 1,32 190...215 -40/120 170...200 ---- 3...3,5 ---- 220 9000...10800 

Erhöhte Maßhaltigkeit und Steifigkeit, Gehäuse für 

50 2,5 

konditioniert 1,4 ----- 

100...135 ---- 4,5...6 ---- 150 5600...8200 

Heimwerker-Maschinen 

Polyester, linear Armite, Celanex, Dynalit, Impet, Pocan., Ultradur, Vestodur Unbeständig gegen Heißes Wasser, Halogen-Kohlenwasserstoffe 

PBT 

1,3 50...60 -50/120 ---- 50...60 ---- 3,5...7 130 2500...2800 

13 Steif, zäh, geringste Wasseraufnahme, hohe 

� 15 

PET, teilkristallin 

65...75 -50/100 ---- 50...80 ---- 5...7 200 2800...3100 

7 Maß- und Wärmebeständigkeit. Kfz.-Türgriffe, 

50 

Scheinwerfer- und Spiegelgehäuse, Zahnräder, 

PET-GF 30 1,5 220...230 -50/140 160...175 ---- 2...3 ---- 

9000...11000 

3 

Kupplungen, Getränkeflaschen 

Polyphenylensulfid Crastin, Fortron, Ryton, Tedur Unbeständig gegen HNO3 PPS 

1,35 ---- -60/140 

---- 

4000 20 5 Thermisch und chemisch hoch beständig, meist glasfa- 

PPS–GF40 1,64 260 -60/220 165...200 ---- 0,9...1,8 --- 

---- 

13000...19000 30 3 serverstärkt für Teile im Motorraum im Austausch gegen 

Metalle 

Erläuterungen: Bruchspannung σB und Bruchdehnung εB werden für harte und spröde Polymere ermittelt, sie entsprechen der Zugfestigkeit bzw. Bruchdehnung. Streckspannung σY und Streckdehnung εY werden für zäh-elastische Polymere ermittelt, sie entsprechen der oberen Streckgrenze. Dehnungswerte unter Last gemessen (→ Abschnitt 5, Bild 4) 

1) Kugeldruckhärte; 2) Zeitdehnspannung σ 1/1000/23°C ; 3) Linearer Längenausdehnungskoeffizient, längs, x 10 -5 /°C; 4) Wärmeformbeständigkeitstemperatur HDT nach DIN EN ISO 75. 

Dabei wird eine mittig biegebeanspruchte Probe auf zwei Stützpunkten langsam durchgebogen. Bestimmten Biegespannungen (z.B. A = 1,85 Mpa) sind bestimmte Durchbiegungen zugeordnet 

(A = 0,33 mm); 5) Wärmealterung: Bei einigen Sorten (Polystyrole) fällt die Zugfestigkeit nach 20 000 h Halten bei der oberen Temperatur um 50 % ab. 

113 

4

5.1 Grundbegriffe der 

Elektrotechnik 

5.1.1 Elektrischer 

Widerstand 

Elektrischer Widerstand 

eines Leiters 

Spannungsfall und 

Verlustleistung 

Grundbegriffe der Elektrotechnik 

l l 

R = = 

q γ q 

r 

1 

G � 

R 

� � 1 

r 

J 

= 

q 

I 



R G r � (�) l q J 

� 1 

2 � mm m Sm 

� S 

= 

2 2 

� m Ωmm 

mm 

m mm 2 

R elektrischer Widerstand, Wirkwiderstand, Resistanz 

G elektrischer Leitwert, Wirkleitwert, Konduktanz 

r spezifischer elektrischer Widerstand, Resistivität 

� �(�) elektrische Leitfähigkeit, Konduktivität 

l Länge des Leiters 

q Querschnitt (Querschnittsfläche) des Leiters 

J elektrische Stromdichte 

I elektrische Stromstärke 

1 � mm 2 /m � 10 –4 � cm 1 Sm/mm 2 � 10 4 S/cm 

1 � cm/m � 10 4 � mm 2 /m 1 S/cm � 10 –4 Sm/mm 2 

q r I l �U, U P p 

mm 2 

�mm 

m 

A m V W % 

q Leiterquerschnitt (eine Ader!) 

r spezifischer elektrischer Widerstand 

I Leiterstrom 

l einfache Leiterlänge 

U Netzspannung 

�U Spannungsfall (Spannungsverlust) auf der Leitung 

cos � Wirkleistungsfaktor des Verbrauchers 

P Verbraucherleistung 

p prozentualer Leistungsverlust auf der Leitung 

Netz 

Gleichstrom 

Wechselstrom 

Leiterquerschnitt 

bei 

Berechnung auf 

Spannungsfall 

2r 

q = I l 

∆U 

2r 

q = I l cos ϕ 

∆U 

3 

Drehstrom q = l cos ϕ 

∆U 

A 

mm2 

Berechnung auf 

Leistungsverlust 

200r P l 

q = 

2 pU 

200r 

P l 

q = 

pU2cos2ϕ 100r 

P l 

pU cos ϕ 

r 

I q = 

2 2 

115 

5

5 



116 

5.1.1.1 Temperaturabhängigkeit 

des 

Widerstandes 

Benennungen 

Betriebstemperatur 

ca. – 50 °C 

bis 

ca. 200 °C 

5.1.2 Elektrische Leistung 

und Wirkungsgrad 

Generatorleistung P G 

Verbraucherleistung P v 

Verlustleistung P i 

des Generators 

Maximalleistung P k 


(Kurzschlussleistung) 

R� Widerstandswert bei Temperatur � 

R20 Widerstandswert bei Bezugstemperatur 20 °C 

��20 Temperaturbeiwert bei 20 °C 

�R Widerstandsänderung 

�� Temperaturdifferenz bezogen auf 20 °C 

� Celsius-Temperatur 

r� spezifischer elektrischer Widerstand bei der Temperatur � 

r20 spezifischer elektrischer Widerstand bei 20 °C 

Rw Rk ��w � k 

� 

Widerstandswert bei ��w (warm) 

Widerstandswert bei ��k (kalt) 

wärmere Temperatur 

kältere Temperatur 

Temperaturziffer 

Bezugstemperatur 20 °C Beliebige Bezugstemperatur 

�R � R 20 � 20 �� 

R � � R 20(1 � � 20 ��) 

�� – 20 °C� 

r � � r 20(1 � � 20 ��) 

� 

Rw 

� � 

� w 

Rk 

� � �k 

� 

1 

� �20°C 

�20 

Rw � R 

�� k ( � ��k) 

Rk 

P U I R � 

W V A �� 1 

J Nm 

1W = 1 = 1 

s s 

2 Uq 

2 

PG = Pi+ Pv = UqI = = I ( Ri+ Rv) 

Ri+ Rv 

U2 

2 

v = G − i = I = = I v 

R v 

P P P U R 

U 2 

i 

P 2 

i = PG − Pv = UiI = = I Ri 

R i 

U 2 

q 

P 2 

k = UqI k = = I k Ri 

R i 

Dabei sind: 

Verbraucherwiderstand R v � 0 � 

Verbraucherspannung U � 0 V 

Verbraucherleistung P v � 0 W 

Kurzschlussstrom 

Uq 

I 

k = 

R 

i

Maximalleistung P A 

des Verbrauchers 

(Leistungsanpassung) 

Wirkungsgrad � 

5.1.3 Elektrische Energie 

Einheiten 

Energie des magnetischen 

Feldes einer Spule 

Energie des elektrischen 

Feldes 

elektrische Arbeit des 

Gleichstroms 

Energiekosten K 


Anpassungsbedingung R v � R i 



R v 

1 

Ri � 

Verbraucherstrom I A bei Leistungsanpassung 

I 

A 

Uq Uq 

k 

= = = 

2R 2R 2 

I 

i v 

Verbraucherspannung UA bei Leistungsanpassung 

U q 

U A � 

2 

Verbraucherleistung PA bei Leistungsanpassung 

2 2 

PG Pk Uq Uq 

PA = Pi = = = = = UAIA 

2 4 4Rv 4Ri 

abgegebene Leistung 

Wirkungsgrad � �1 

zugeführte Leistung 

� 

Pab Pab Pzu�Pverl Pverl 

� � � �1� Pzu Pab�PverlPzu Pzu 

W L C Q U I R P t K k 

Ws Vs 

A 

1 

W = LI 

2 

As 

V 

2 

As V A �� W s € 

1 2 1 1 Q 

W � CU � QU � � 

2 2 2 C 

2 

2 U 

= = I = I = = 

W Pt U t Rt t UQ 

R 

K = kW 

2 

P ab abgegebene Leistung 

(Nutzleistung) 

P zu zugeführte Leistung 

P verl Verlustleistung 

€ 

kWh 

k Tarif in €/kWh 

W elektrische Arbeit in kWh 

abgegebene Energie 

Wirkungsgrad � �1 

zugeführte Energie 

� 

W W W W W 

ab ab zu � verl verl 

� � � �1� WzuWab�WverlWzu Wzu 

W ab abgegebene Energie (Nutzleistung) 

W zu zugeführte Energie 

W verl Verlustenergie 

1 Ws � 1 J � 1 Nm 

117 

5

5 


Gleichstromtechnik 

118 

5.1.4 Elektrowärme 


Wärmemenge 

Spezifische 


Wärmewirkungsgrad 

5.2 Gleichstromtechnik 

5.2.1 Ohm’sches Gesetz, 

nicht verzweigter 

Stromkreis 

Schaltplan 

Stromstärke I 

Klemmenspannung U 

der Quelle 

Kurzschlussstrom (U = 0) 

Leerlaufspannung (I = 0) 

Verbraucherwiderstand 

Innenwiderstand 

der Quelle 

Verbraucherleistung 

Q 

C � 

�T 

Q = m c �T 

C Wärmekapazität 

�T Temperaturdifferenz 

Q Wärmemenge (Wärme) 

c spezifische Wärmekapazität 

m Masse 

Material c in kJ/kg K C Q �T m 

Aluminium 

Kupfer 

Wasser 

0,92 

0,39 

4,186 

Ws J 

� 

K K 

J � Ws K kg 

W zu � Pt 

W ab � Q � m c �T 

η 


W mc∆T W Pt 

ab 

th = = 

zu 

I Stromstärke 

U q Quellenspannung 

U i innerer Spannungsfall der Quelle 

U Klemmenspannung der Quelle �� 

Verbraucherspannung 

(bei R Leitung � 0 �) 

R i Innenwiderstand der Quelle 

R Verbraucherwiderstand 

Wzu Zugeführte elektrische Arbeit 

Wab, Q Abgegebene Wärmemenge 

�th Wärmewirkungsgrad 

Ui Ri 

Uq 

+ 

– 

I 

U 

R 

Quelle Verbraucher 

„Technische Stromrichtung“: 

Der Strom fließt außerhalb der Quelle vom Pluspol zum Minuspol. 

U Uq 

I = = 

I UU , i, Uq RR , i 

R Ri+ R 

A V Ω 

U = Uq – Ui = Uq – IRi I 

k = 

U 

R 

U � U q 

U 

R = I 

q 

U U 

i 

R i = = 

I I 

P � U I 

i 

q 

k 

Stromstärke 

Ik 

I 

α 

Kennlinienfeld I = f( U) 

Betriebsdiagramm 

Kennlinie der Quelle 

Kennlinie des Verbrauchers 

Kurzschluss 

U 

P 

Leerlauf 

Arbeitspunkt 

(Schnittpunkt 

der Kennlinien) 

β 

Ui 

Uq 

Spannung

5.2.2 Kirchhoff’sche Sätze 

Erster Kirchhoff’scher 

Satz (Knotenpunkt-Satz) 

Zweiter Kirchhoff’scher 

Satz (Maschen-Satz) 

5.2.3 Ersatzschaltungen 


Schaltplan 

Kirchhoff’scher Satz 

In jedem Verzweigungspunkt ist die Summe 

der zufließenden und abfließenden Ströme 

gleich Null. 

Zufließende Ströme positiv zählen, 

abfließende Ströme negativ zählen. 

� I 1 � I 2 � I 4 – I 3 – I 5 � 0 

� I zu – � I ab � 0 

In jedem geschlossenen Stromkreis 

und jeder Netzmasche ist die 

Summe aller Spannungen gleich 

Null. 

Der Umlaufsinn (US) kann willkürlich 

festgelegt werden. Positiv zählen, 

wenn US und Zählpfeil gleiche Richtung 

haben. Negativ zählen, wenn 

US und Zählpfeil entgegengesetzte 

Richtung haben. 

Umlaufsinn 

Umlaufsinn 

� U 1 � U 2 � U 3 – U q2 – U q1 � 0 

�U – �U q � 0 

� U q1 � U q2 – U 3 – U 2 – U 1 � 0 

�U q – �U � 0 



� U � 0 

Ersatz-Spannungsquelle Ersatz-Stromquelle 

Die konstante Quellenspannung 

U q ist die Ursache des Stromes 

I in den Widerständen R i � R. 

� I � 0 

Der konstante Quellenstrom I q ist 

die Ursache der Verbraucherspannung 

U an den Leitwerten G i � G. 

Maschen-Satz Knotenpunkt-Satz 

(Schaltungspunkt K) 

Uq – Ui – U � 0 

Iq – Ii – I � 0 

Uq – I Ri – I R � 0 

Iq – UGi – UG� 0 

Uq – I (Ri � R) � 0 

Iq – U (Gi � G) � 0 

119 

5

5 



Spannung und Stromstärke 

bei Belastung der Quelle 

Spannung und Stromstärke 

bei Leerlauf und 

Kurzschluss der Quelle 

120 

5.2.4 Schaltungen von 

Widerständen und 

Quellen 

5.2.4.1 Parallelschaltung 

von Widerständen 

Schaltplan 

Spannungen 

Ströme 

Belastung 0

Leitwerte und 

Widerstände 


von Quellen 

Quellen mit gleicher Quellenspannung 

und gleichem 

Innenwiderstand 

R i1 � R i2 � R i3 � … R in 

Quellen mit gleicher Quellenspannung 

und ungleichen 

Innenwiderständen 

R i1 � R i2 



Der Gesamtleitwert ist gleich der Summe der Einzelleitwerte. 

Gges � G1 � G2 � G3 … � Gn � 1/R1 � 1/R2 � 1/R3 � … � 1/Rn 1 

Rges 

� 

G 

ges 

Gesamtwiderstand Rges bei gleichgroßen Einzelwiderständen Reinzel R einzel 

Rges 

� 

n 

n Anzahl der parallelgeschalteten Widerstände 

Für zwei parallelgeschaltete Widerstände gilt: 

RR 

R 1 2 

ges � 

R1�R2 I 

I 

1 R2 

= 

2 R1 

I 

I 

R 

= 

R 

ges 1 

I 

1 ges 

R 

= 

R 

ges 2 

I 

2 ges 

I � I1 � I2 � I3 � … � In I 

I1 � I2 � I3 � In �� 

n 

n Anzahl der Quellen 

Alle Quellen liefern die gleiche 

Stromstärke! 

R 

R 

n 

R 

n 

R 

n 

R 

n 

Uq 

I = 

R + R 

i1 i2 i3 in 

i � � � �� i 

U � I R � U q – I R i 

121 

5

5 



122 

5.2.4.3 Reihenschaltung 

von Widerständen 

Spannungen 

Strom 

Widerstand 

5.2.4.4 Reihenschaltung 

von Quellen 

Summen-Reihenschaltung 

Gegen-Reihenschaltung 

I � I1 � I2 Uq−U I1 

= 

R 

i1 

Uq−U I2 

= 

R 

i2 

Die Quelle mit dem kleineren 

Innenwiderstand liefert die größere 

Stromstärke 

R 

i � 

R R 

i1 i2 

i1 � i2 

R R 

Uq 

I = 

R + R 

Die Gesamtspannung ist gleich der Summe 

aller Teilspannungen. 

U ges � U 1 � U 2 � U 3 � … � U n 

Die Teilspannungen verhalten sich wie ihre 

zugehörigen Widerstände. 

i 

U � I R � U q – I R i 

U ges : U 1 : U 2 : U 3 : U n � R ges : R 1 : R 2 : R 3 : R n 

Die Stromstärke ist in allen Verbraucherwiderständen 

gleich groß. 

I � U 1 /R 1 � U 2 /R 2 � U 3 /R 3 � U n /R n � U ges /R ges 

Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe 

der Einzelwiderstände. 

R ges � R 1 � R 2 � R 3 � … � R n 

Gesamtwiderstand R ges bei gleichgroßen Einzelwiderständen 

R einzel 

R ges � nR einzel 

n Anzahl der in Reihe geschalteten Widerstände 

U q ges � U q1 � U q2 

Für U q1 > U q2 gilt: 

U q ges � U q1 – U q2 

Für U q1 

U q ges � U q2 – U q1

5.2.5 Messschaltungen 

5.2.5.1 Indirekte 

Widerstandsbestimmung 

Spannungsfehlerschaltung 

Stromfehlerschaltung 

5.2.5.2 Messbereichserweiterung 

bei 

Spannungs- und 

Strommessern 

Vorwiderstand bei 

Spannungsmessern 

Parallelwiderstand 

bei Strommessern 

U−U U−IR F 

R = = 

I I 

U U 

R = = 

I−I U F I − 

R 

U U−U RV 

= = 

I I 

V M 

i 

Messwerk 

RV �( n �1) Ri n � 

UM 

U IMRi 

R P = = 

IP I−IM i 

U 

Messwerk 

R i I 

RP= n= 

n− 

1 I 

M 



R Messwiderstand 

Ri Innenwiderstand des Strommessers 

U gemessene Spannung 

I gemessener Strom 

UF zum Fehler führende Spannung 

Geeignet zur Bestimmung großer 

Widerstände 

(R � R i ) 

R Messwiderstand 

Ri Innenwiderstand des Spannungsmessers 

U gemessene Spannung 

I gemessener Strom 

IF zum Fehler führender Strom 

Geeignet zur Bestimmung kleiner 

Widerstände 

(R � R i ) 

RV Vorwiderstand 

Ri Innenwiderstand des Messgerätes 

I Strom 

U zu messende Spannung 

UV Spannung am Vorwiderstand 

UM Spannung am Messwerk des 

Messgerätes 

n Faktor der Messbereichserweiterung 

RP Parallelwiderstand 

Ri Innenwiderstand des Messgerätes 

U Spannung 

I zu messender Strom 

IP Strom durch den Parallelwiderstand 

IM Strom durch das Messwerk des 

Messgerätes 

n Faktor der Messbereichserweiterung 

123 

5

5 



124 

5.2.6 Spannungsteiler 

Unbelasteter 

Spannungsteiler 

Belasteter 

Spannungsteiler 

5.2.7 Brückenschaltung 

Abgeglichene Brücke 

U 5 � 0 

I 5 � 0 

Nichtabgeglichene 

(verstimmte) Brücke 

U 5 � 0 

I 5 � 0 

R R 

U 2 L 

2 � U 

R1( R2 �RL) �R2RL 

Parameter 0 bedeutet: 

RL �� (Leerlauf) 

Spannung 

U1 � U3 U2 � U4 Uq � U1 � U2 � U3 � U4 Speisestrom 

Uq 

I = 

( R1+ R2)( R3+ R4) 

R1+ R2+ R3+ R4 

Widerstand 

R1 

R3 

� (Abgleichbedingung) 

R R 

R 

2 4 

AB 

( R1�R2)( R3 �R4) 

� 

R �R �R �R 

1 2 3 4 

Brückenspannung U 5 

U 5 � I 5 · R 5 

U U R 

R R R R 

1 � 2 U 2 

2 �U 

1 2 1�2 R 

Parameter: 1�R2 RL 

Beispiel Parameter 1: 

R L = R 1 � R 2 

Brückenstrom I5 I5= I 

R ( R + R 

R2R3−R1R4 + R + R ) + ( R + R )( R + R ) 

5 1 2 3 4 1 3 2 4 

R2R3−R1R4 I5= 

Uq R ( R + R )( R + R ) + R R ( R + R ) + R R ( R + R ) 

5 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2 

Widerstand RAB RR 1 2( R3 �R4) �R3R4( R1�R2) �R5( R1�R2)( R3 �R4) 

RAB 

� 

R5( R1�R2 �R3 �R4) �( R1�R3)( R2 �R4)

5.3 Elektrisches Feld 

und Kapazität 

5.3.1 Größen des homogenenelektrostatischen 

Feldes 

Einheiten 

Elektrischer Fluss, 

elektrische Feldstärke, 

Kapazität 

Energie, Energiedichte 


Elektrisches Feld und Kapazität 

�, Q I t U E F C A l D � 0 , � � r W E w E V 

As � C A s V 

V 

m N As F 

V � m2 m 

As 

2 

m 

As F 

� 1 Ws � Nm 

Vm m 

Ws 

3 

m m3 

1 Coulomb As 

1 Farad (F) � � 1 � 1 Coulomb (C) � 1 Amperesekunde (As) 

1 Volt V 

� � Q � I t 

U F 

E � � 

l Q 

q 

p 

A Q 

C � � � 

l U 

Ψ Q 

D= = = εE 

� A 

� � � r · � 0 

1 12 As 

0 = = 8,85419⋅10− µ c 2 

0 0 

Vm 

ε 

� elektrischer Fluss l Feldlinienlänge, Plattenabstand 

U elektrische Spannung A Feldraumquerschnitt (� � A) 

E elektrische Feldstärke C Kapazität des Kondensators 

Q verschobene elektrische Ladung, gespeicherte Elektrizitätsmenge des 

Kondensators 

Qp elektrische Ladung einer Probeladung 

Fq Kraftwirkung auf eine Probeladung 

D elektrische Flussdichte, elektrische Verschiebung, elektrische Verschiebungsdichte 

��r Dielektrizitätszahl, Permittivitätszahl (bei linearen Dielektrika) 

� Dielektrizitätskonstante, Permittivität (bei linearen Dielektrika) 

�0 elektrische Feldkonstante 

Wellengeschwindigkeit im Vakuum 

c 0 

Bei Ferroelektrika (nichtlineare Dielektrika) ist der Zusammenhang zwischen der 

elektrischen Flussdichte D und der elektrischen Feldstärke E nicht linear. 

1 2 1 1 

E � � � 

2 2 2 

W CU QU 

1 1 2 1 

E � � � � 

2 2 2 

w ED E 

W E � w EV 

2 

Q 

C 

2 

D 

� 

W E elektrische Feldenergie, Energieinhalt 

w E elektrische Energiedichte 

V Feldvolumen 

125 

5

5 



126 

Kraftwirkung 

5.3.2 Kapazität von Leitern 

und Kondensatoren 

Dielektrizitätskonstante 

Langer zylindrischer Einzelleiter 

gegen Erde 

Lange parallele 

zylindrische Leiter 

Langer koaxialer Leiter 

Langer koaxialer Leiter mit 

geschichtetem Dielektrikum 

zwischen zwei parallelen Kondensatorplatten 

1 2 � 2 Q 

F � AD � AE � 

2� 2 2� 

A 

F � wE A 

zwischen zwei punktförmigen Kugelladungen 

1 QQ 

F � 1 2 (Coulomb’sches Gesetz) 

4 �� l2 

l Abstand der Kugelladungen 

2 

Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an, gleichnamige Ladungen 

stoßen sich ab. 

� � � r � 0 

� �8,85419 �10 

C 

0 

�12 

As 

Vm 

2� 

� l 

� 

� 2 � 

ln �h h 

� 

� � 

�1� 

� 

� � 

�r �r � � 

� 

� Dielektrizitätskonstante 

� 0 elektrische Feldkonstante 

Dielektrizitätszahl 

� �r 

l Leiterlänge 

2� 

� l 

C � 

Näherung für h � r 

2h 

ln 

r 

�� 

l 

C � 

� 2 � 

ln � a � a � 

� �1� 

�2 r 

� � 

�2r� � 

� � 


�� 

l 

C � 

Näherung für a � r 

a 

ln 

r 

2� 

� l 

C � 

r1 

ln 

r 


2 π l 

C = 

⎡ 1/ ε ε ε 

⎛ ⎞ 1 1/ 

⎛ ⎞ 2 1/ 

⎛ ⎞ 3 

r ⎤ 

⎢ 1 r2 r3 

ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ 

⎢ 

⎣⎝r ⎠ ⎝r1 ⎠ ⎝r2 ⎠ ⎥ 

⎦ 

� 1 � � r1 � �0 


� 2 � � r2 � �0

Plattenkondensator 

Plattenkondensator 

mit geschichtetem 

Dielektrikum 

Kugelanordnungen 


Kondensatoren 

Parallelschaltung 

Reihenschaltung 

� A Q 

C � � 

l U 

A Feldraumquerschnitt, Plattenfläche 

l Plattenabstand 

Q Ladung 

U Spannung 

Aε 

0 

C = 

l1 l2 

+ + ... 

εr1 εr2 

A Feldraumquerschnitt 

Kugelelektrode 

C = 4 � � r 



Q 

C U 

F As V 

Q ges � Q 1 � Q 2 � … � Q n � C gesU 

C ges � C 1 � C 2 � … � C n 

C ges Gesamtkapazität, Ersatzkapazität 

Für n Kondensatoren mit gleicher 

Kapazität C gilt C ges � nC 

Q � Q 1 � Q 2 � Q n = C ges U 

Bei mehr als 2 Dielektrika 

ist im Nenner zu addieren 

l 3/� r3 usw. 

Kugelkondensator 

4 �rr1 

C � 

r1�r Q Q Q Q 

U �U1�U2 ��Un � � � �� Cges C1C2Cn 1 1 1 1 

U : U1 : U2 : Un � : : : 

Cges C1C2Cn 1 1 1 1 

� � �� Cges C1C2Cn Für n Kondensatoren mit gleicher 

C 

Kapazität C gilt Cges 

� 

n 

Für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren gilt 

CC 

C 1 2 

ges � 

C1 � C2 

CC 2 ges 

C1 

� 

C2�Cges CC 1 ges 

C2 

� 

C1�Cges 127 

5

5 


Magnetisches Feld und Induktivität 

128 

5.4 Magnetisches Feld 

und Induktivität 

5.4.1 Größen des homogenenmagnetischen 

Feldes 

Einheiten 

„Ohm’sches Gesetz“ 

des Magnetkreises 

Magnetischer Widerstand, 

magnetischer 

Leitwert, Permeabilität 

�, � V,� R m H l N I B A � r � 0 , � L, � W M w M 

Vs � � Wb A 

Θ V 

� �� = 

R R 

A 1 

� 

Vs H 

A 

m1 A 

m 

m m 

� � N I elektrische Durchflutung 

V � H l magnetische Spannung 

Vs 

T 

2 

m � m2 1 

H �� V 

magnetische Feldstärke/Erregung 

l 

l Länge des zu magnetisierenden 

Raumes 

�� magnetischer Fluss 

Rm magnetischer Widerstand, 

Reluktanz 

N Windungszahl der 

Erregerwicklung 

I Stromstärke in der 

Erregerwicklung 

Rm 

l l 

r 0A 

A 

� � 

� � � 

R m ges � R m1 � R m2 � … 

(bei Reihenschaltung von 

magnetischen Widerständen) 

1 A 

= Λ = µ r µ 0 

Rm 

l 

� = � r � 0 �� B 

H 

7 Vs 6 Vs 

�0 �� 4π10− ≈ 1,25⋅10− Am Am 

Stoff � r 

ferromagnetisch � 1 

� konst. 

paramagnetisch > 1 

� konst. 

diamagnetisch < 1 

� konst. 

Vs H 

� 

Am m 

Vs 

H � Ws 

A 

Ws 

R m magnetischer Widerstand, 

Reluktanz 

l Länge des zu magnetisierenden 

Raumes 

A Feldraumquerschnitt 

� magnetischer Leitwert, 

Permeanz 

B Flussdichte, Induktion 

H magnetische Feldstärke, 

magnetische Erregung 

� r Permeabilitätszahl, relative 

Permeabilität 

� 0 magnetische Feldkonstante, 

Induktionskonstante, Permeabilität 

des Vakuums 

� Permeabilität 

Die relative Permeabilität µ r ist für Luft und alle para- und diamagnetischen 

Stoffe annähernd 1. Bei ferromagnetischen Stoffen (Eisen, 

Nickel, Chrom, Ferrite) ist µ r � 1, aber von der Flussdichte B abhängig, 

die den Kern durchsetzt. 

m 

3

Magnetische Flussdichte 

(Induktion) 

Induktivität 

Energieinhalt 

Energiedichte 

Durchflutungsgesetz 

für homogene Felder 

Φ 

B= (��A) A 

B � � r � 0 H 

2 NΦ 

Ψ 

L= N Λ = = 

I I 

�� N �� 

L � N 2 AL Der A L -Wert ist die auf die Windungszahl 

N � 1 bezogene Induktivität L 

und wird in der Einheit nH � 10 –9 H 

angegeben. 

1 

WM= LI 

2 

2 

1 1 

w 2 2 

M � HB � B � H 

2 2�2 � � � r � 0 

W M � w M V 

� N I � � H l 

In der Praxis wird häufig der Einfluss der 

magnetischen Streuung durch einen 

Zuschlag von 10 % zur elektrischen 

Durchflutung berücksichtigt 

� N I � 1,1 � H l 

Für das nebenstehende Magnetgestell 

mit gleicher Magnetisierungsrichtung 

der Erregerspulen gilt: 

N 1 I 1 � N 2 I 2 � H E l E � H 0 l 0 

� 1 � � 2 � V E � V 0 

(Bei mehreren Erregerspulen ist die 

Magnetisierungsrichtung jeder Spule zu 

berücksichtigen) 

H E magnetische Feldstärke im Eisen (aus 

Magnetisierungskurve entnehmen) 

H 0 magnetische Feldstärke im Luftspalt 

(aus H 0 � B 0 /� � berechnen) 

� 

l E mittlere Eisenweglänge 

mittlere Luftspaltlänge 

l 0 



B magnetische Flussdichte, 

Induktion, Feldliniendichte 

� magnetischer Fluss 

A magnetischer Feldraumquerschnitt 

L Induktivität einer Spule, Selbstinduktionskoeffizient 

� Induktionsfluss, Flussverkettung 

� magnetischer Leitwert 

N Windungszahl der Spule 

� Spulenfluss 

I Spulenstrom 

A L Induktivitätsfaktor, Kernfaktor, 

A L -Wert 

W M magnetische Feldenergie (Energieinhalt) 

einer erregten Spule 

L Induktivität der Spule 

I Spulenstrom 

w M magnetische Energiedichte in 

Stoffen konstanter Permeabilität, 

z.B. Luft 

H magnetische Feldstärke 

B Flussdichte 


W M magnetische Feldenergie 

(Energieinhalt) eines Volumens 

mit konstanter Permeabilität, 

z.B. Luft 

V Feldvolumen in m 3 

129 

5

5 



Berechnung magnetischer 

Feldlinien an einer 

Grenzfläche zweier 

Medien 

130 

5.4.2 Spannungserzeugung 

Einheiten 

Induktionsgesetz 

Ht1 = H t2 Bn1 = Bn2 

B t1 µ r1 tan α1 

= = 

B t2 µ r2 tan α2 

Hn1 

µ r2 

= 

Hn2 

µ r1 

B2 

2 

r1 

2 

r2 2 

B1 

r1 

µ − µ 

= 1− sin α 

2 

1 

µ 

B1 Flussdichte (Feldlinie) im Medium 1 

B2 Flussdichte (gebrochene Feldlinie) im Medium 2 

H1 Feldstärke im Medium 1 

H2 Feldstärke im Medium 2 

Bn, Hn Normalkomponenten 

Bt, Ht Tangentialkomponenten 

Permeabilitätszahl, relative Permeabilität 

µr 

Medium 1 µ r1 

Grenzfläche 

Medium 2 

µ r2 

u, U i, I E �� B L l t, T v n f, � N, z, p, ü R A 

V A V 

m Vs 

Vs 

m 

U0 = ∫ Edl=– dΦ 

dt 

Physikalische 

Wirkungskette 

2 

Vs 

H � m s 

A 

m 1 

min–1 

s s 

Flusszunahme 

Flussabnahme 

U0 induzierte elektrische Umlaufspannung 

mit Richtungszuordnung 

nach Lenz’scher Regel und 

Rechtsschraubenregel 

E elektrische Feldstärke 


uq induzierte Quellenspannung 

Uq mit Richtungszuordnung nach 

Verbraucher-Zählpfeil-System 

(VZS) 

N Windungszahl 

1 �� m2 

d d 

∆ 

uq= N = Uq= N 

dt dt 

∆ t 

Ersatz-Spannungsquelle für 

den Induktionsvorgang 

Φ Ψ Φ 

� zeitlich sich ändernder 

magnetischer Fluss in der 

Leiterschleife 

d Φ ∆ Φ Flussänderungsgeschwin- 

; � 

dt ∆ t digkeit in der Leiterschleife� 

� �� = �Ende – �Anfang u, U Klemmenspannung der 

Quelle 

i, I induzierter Strom 

Innenwiderstand der Quelle 

R i

Selbstinduktionsspannung 

in einer Spule 

Geradlinige Bewegung 

eines Leiters im 

magnetischen Feld 

Drehbewegung eines 

Leiters im magnetischen 

Feld 

di 

uL�L L � konstant 

dt 



∆ I 

uL= L 

∆ t 

u L 

L 

Selbstinduktionsspannung 

Induktivität der Spule 

di 

⎞ 

⎛ di 

⎞ 

Stromanstieg⎛⎜+ ⎟ Stromrückgang ⎜−⎟ ⎝ dt 

⎠ 

⎝ dt 

⎠ 

d i ∆ I 

; Stromänderungsgeschwindigkeit 

dt 

∆ t 

u q � B l vz (v � B) 

u q indizierte Quellenspannung 

B Flussdichte 

l wirksame Länge eines Leiterstabes 

v Relativgeschwindigkeit zwischen 

Leiter und magnetischem 

Feld, wirksame Geschwindigkeitskomponente 

bei nicht rechtwinkliger 

„Schnittgeschwindigkeit" 

z Anzahl der Leiterstäbe 

(hier: z � 1) 

Φ = Φˆsin( ωt) 

t 

u uˆcos( t) B v z 

q � q � � l y 

û = NωΦˆ 

q 

1 

f � 

T 

� t zeitlich sich ändernder Spulenfluss 

ˆΦ Scheitelwert des Spulenflusses 

uq induzierte Quellenspannung 

û q Scheitelwert der induzierten Quellenspannung 

B homogene Flussdichte 

l wirksame Leiterlänge 

z Anzahl der Leiterstäbe 


v= vαcos 

α 

v y � v u cos(� t) 

z � 2 N 

� � 2 � f 

= f 

n 

p 

� Kreisfrequenz 

f Frequenz 

T Periodendauer 

p Polpaarzahl 

n Drehzahl 

v u Umfangsgeschwindigkeit 

v y „Schnittgeschwindigkeit“ der 

Leiterstäbe 

131 

5

5 



132 

5.4.3 Kraftwirkung 

Einheiten 

Kraftwirkung zwischen 

Magnetpolen 

Kraftwirkung auf stromdurchflossenen 

Leiter im 

homogenen Magnetfeld 


stromdurchflossenen 

Leitern 

F w M, � H 0 B 0 A � �0 l, r I 

N 

Ws Ws 1 N 

� � � 

3 m 2 2 

m m m 

0 

A 

m 

1 2 HB 0 0 

F = AB0 = A= wMA 2µ 2 

2 

F B0 

σ = = � wM 

A 2 µ 0 

F Kraftwirkung zwischen ebenen 

parallelen Magnetpolen 

�0 magnetische Feldkonstante, 

Induktionskonstante 

A Querschnitt des Magnetpoles 

B0 Flussdichte im Luftspalt, Luftspaltinduktion 

H0 magnetische Feldstärke im 

Luftspalt 

� auf die Polfläche bezogene 

Zugkraft 

wMmagnetische Energiedichte im 

Luftspalt 

a Luftspaltlänge 

MN kN N 

1 � 0,1 � 1 

2 2 2 

m cm mm 

F � B 0 l I z (B 0 � l) 

F Kraftwirkung auf stromdurchflossene 

Leiter im homogenen Magnetfeld 

B0 Flussdichte im Luftspalt, Luftspaltinduktion 

l wirksame Länge eines Leiterstabes 

I Stromstärke in einem Leiterstab 

z Anzahl der parallelgeschalteten 

Leiterstäbe 

µ 

0 l 

F = I1I2 2πr 

F Kraftwirkung auf parallele 

stromdurchflossene Leiter 

� 0 Feldkonstante 

l Länge der parallel liegenden Leiter 

r senkrechter Abstand der parallelen 

Leiter 

I1 , I2 Leiterstrom 

Vs 

2 m m2 1,25 · 10-6 Vs 

Am 

m A

5.4.4 Richtungsregeln 

Rechtsschraubenregel 

Lenz’sche Regel 

Rechtehandregel 

(Generatorregel) 



Stromrichtung und Magnetfeldrichtung bilden eine Rechtsschraube 

��Strom fließt in den 

Leiterquerschnitt 

hinein 

��Strom kommt aus 

dem Leiterquerschnitt 

heraus 

Alle induzierten 

Größen versuchen, 

ihre Ursache zu 

behindern 

� t eingeprägter 

zeitlich sich 

ändernder 

magnetischer 

Fluss 

� i durch den 

Strom i 

induzierter 

magnetischer 

Fluss 

i induzierter 

Strom 

Leiterschleife Leiterschleife 

Flusszunahme 

dΦ 

t 

+ 

dt 

� t und � i haben in 

der Leiterschleife 

entgegengesetzte 

Richtung 

� i Gegenfluss 

Flussabnahme 

dΦ 

t 

− 

dt 

� t und � i haben in der 

Leiterschleife die 

gleiche Richtung 

� i Mitfluss 

Der in der Leiterschleife induzierte Strom ist immer so gerichtet, dass 

sein Magnetfeld der stromerzeugenden Ursache entgegenwirkt. 

Ermittlung der Stromrichtung 

Rechte Hand so in das magnetische Feld legen, dass die magnetischen 

Feldlinien in die Innenfläche der Hand eintreten und der abgespreizte 

Daumen in die Bewegungsrichtung des Leiters zeigt. Die 

Fingerspitzen geben dann die Stromrichtung im Leiter an. 

133 

5

5 



Linkehandregel 

(Motorregel) 

134 

Ballungsregel 

Ermittlung der Bewegungsrichtung 

Linke Hand so in das magnetische Feld legen, dass die magnetischen 

Feldlinien in die Innenfläche der Hand eintreten und die Fingerspitzen 

in Stromrichtung zeigen. Der abgespreizte Daumen zeigt dann die 

Bewegungsrichtung des Leiters an. 

Ermittlung der Stromrichtung 

Jeder quer zur Feldlinienrichtung bewegte Leiter erzeugt in Bewegungsrichtung 

vor sich eine Feldlinienballung. Die Stromrichtung im 

Leiter und seine Magnetfeldrichtung sind durch die Rechtsschraubenregel 

miteinander verbunden. 

Beispiel 

Ermittlung der Bewegungsrichtung 

Jeder stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld versucht, der Feldlinienballung 

auszuweichen.

Magnetfeldrichtung 


Magnetpolen 


parallelen stromdurchflossenen 

Leitern 

5.4.5 Induktivität von 

parallelen Leitern 

und Luftspulen 

Lange parallele 

zylindrische Leiter 



Das Magnetfeld zeigt außerhalb eines Magneten von seinem 

Nordpol zu seinem Südpol. 

Magnetfeld eines 

Stabmagneten 

Ungleichnamige Pole 

ziehen sich an 

Gleichsinnig vom Strom durchflossene 

Leiter ziehen sich an 

Innere 

� l 

Induktivität L i1 � 

8� 

Äußere 

Leiter 1 Leiter 2 

� l 

L i2 � 

8 � 

� l d � l d 

Induktivität L a1 � ln L a2 � ln 

2� 

r1 

2� 

r2 

Gesamtinduktivität 

L � Li1 � Li2 � La1 � La2 � l 

�1d� L � � � ln � 

� �4r1 � r � 

� 2 � 

Magnetfeld einer Spule 

mit 3 Windungen 

Gleichnamige Pole 

stoßen sich ab 

Ungleichsinnig vom Strom durchflossene 

Leiter stoßen sich ab 

135 

5

5 



Einlagige Zylinderspule 

ohne Eisenkern 

Mehrlagige Zylinderspule 

ohne Eisenkern 

136 

5.4.6 Induktivität von Spulen 

mit Eisenkern 

Induktivität 

Permeabilität bei Gleichstrommagnetisierung 

Permeabilität bei Wechselstrommagnetisierung 

um den Ursprung 

2 2 �0 �D 

N 

L � k 

4l 

D mittlerer Windungsdurchmesser 

µ 2 4 3 4 

0πN ( D2 − 4D2D1 + 3 D1 

) 

L = 

für l � D 

24 l ( D 2 

2 − D1) 

Ψ NΦ 

L= = = N2 

I I 

(Gleichstrom) 

1 A 

= = 

Rm 

l 

Λ µ 

Λ 

NΦˆ 

L= = N 

ˆ 2 

i 

(Wechselstrom) 

Λ 

� magnetischer Fluss 

� magnetischer Leitwert 

R m magnetischer 

Widerstand 

� Induktionsfluss, 

Flussverkettung 

D mittlerer Windungsdurchmesser 


L � N 2 A L 

A magnetisch 

durchgesetzte 

Fläche 

l mittlere 

Feldlinienlänge 


A L Induktivitätsfaktor, Kernfaktor, A L-Wert. Er ist die auf die 

Windungszahl N � 1 bezogene Induktivität und wird in der Einheit 

nH � 10 –9 H angegeben. 

(totale) 


Permeabilitätszahl, 

relative (totale) 


Wechselpermeabilität 

Wechselpermeabilitätszahl, 

relative 

Wechselpermeabilität 

B 

� � 

H 

1 

1 

B 

� 1 

r � 

� H 

Anfangspermeabilität i 

0 1 

B magnetische 

Flussdichte 

H magnetische 

Feldstärke 

Bˆ 

� � 

Hˆ 

(für H > 0) 

Bˆ 

�~ 

� 

� ˆ 

0 H 

(für H > 0) 

�B 

� � 

�H 

(für �H � 0)

5.4.7 Drosselspule 

Vollständige 

Ersatzschaltung 

Spannungen 

Ströme 

Leistungen 

Induktivität 

Komplexer Widerstand 

Reihen-Ersatzschaltung 

U ˆ ˆ 

AB = 4,44 fNBAE= 4,44 fNΦ 



2 2 

UAB � U �UBC � 2UUBCcos�Näherung: UAB � U 

I 

E 

I µ 

= 

PE 

UAB 

Hˆ El ˆ 

E+ H0l0 

= 

N 2 

I = I 2 2 

E + Iµ 

PE � vEmE P 2 

Cu = I RCu 

P � PE �PCu 

P P 

cosϕ 

= = 

S UI 

NΦˆ 

UAB 

Lv 

= = 

iˆ 

µ ω I µ 

IE Eisenverluststrom 

I� Magnetisierungsstrom 

I Drosselstrom 

ˆH E Scheitelwert der magnetischen 

Feldstärke in Eisen 

ˆH 0 Scheitelwert der magnetischen 

Feldstärke im Luftspalt 

lE mittlere Eisenweglänge 

mittlere Luftspaltlänge 

l 0 

RE Eisenverlustwiderstand 

RCu Kupferverlustwiderstand 

PE Eisenverlustleistung 

PCu Kupferverlustleistung 

P Drosselverlustleistung 

vE Ummagnetisierungsverluste in W/kg 

Masse des Eisenkerns 

m E 

R 2 2 

E( ωLv) RE ( ωLv) 

Z = RCu + + j 

R 2 2 2 2 

E + ( ωLv) RE + ( ωLv) 

Umrechnungsbeziehungen für die Umwandlung 

der vollständigen Ersatzschaltung in 

eine Reihen-Ersatzschaltung: 

R 2 

E( ωLv) 

R 2 

E Lv 

R = RCu 

+ 

L = 

R 2 2 

E + ( ωLv) 

R 2 2 

E + ( ωLv) 

R Gesamtverlustwiderstand der Drosselspule in der Reihen-Ersatzschaltung 

L Induktivität der Drosselspule in der Reihen-Ersatzschaltung 

137 

5

5 



138 


Induktivitäten 

Parallelschaltung von 


Reihenschaltung von 


5.4.9 Einphasiger 

Transformator 

Kurzschlussspannung 

Dauerkurzschlussstrom 

1 1 1 1 

� 

� � � � 

Lges L1L2Ln L ges Gesamtinduktivität 

L 

Für zwei parallel geschaltete Spulen gilt: 1�L L 

2 

ges � 

L � L 

L 

Für n Spulen mit gleicher Induktivität gilt: Lges 

= 

n 

n 

1 2 

L ges � L 1 � L 2 � … � L n 

Für n Spulen mit gleicher Induktivität gilt: L ges � nL 

(Transformator, verlust- 

und streuungsfrei) 

N1 U1 I2 

L1 

ü = = = = R' = ü2R N2 U2 I1 

L2 

2� U ˆ ˆ 

0 � fNBA � 4,44 fNBA 

2 

(Transformatorhauptgleichung; U 0 sinusförmig) 

U 0 Induktionsspannung 

U 1 Primärspannung 

U 2 Sekundärspannung 

I 1 Primärstrom 

L 1 Selbstinduktivität der Primärwicklung 

ü Übersetzungsverhältnis 

R' auf die Primärseite übersetzter 

Lastwiderstand R 

f Frequenz 

UK 

� 100% 

uK 

� 

U1 

ˆB Scheitelwert der Flussdichte im 

Kern 

A Kernquerschnitt 

L 2 Selbstinduktivität der Sekundärwicklung 

R Lastwiderstand 

I 2 Sekundärstrom 

N1 Primärwindungszahl 

N 2 Sekundärwindungszahl 

u K Kurzschlussspannung in Prozent der Nennspannung 

U K Kurzschlussspannung (gemessen in Volt) 

U 1 Primärspannung 

Bei kurzgeschlossener Sekundärwicklung ist die Kurzschlussspannung 

die Primärspannung, bei der ein Transformator seinen Nennstrom 

aufnimmt. 

u K niedrig � Transformator spannungssteif � kleiner Innenwiderstand 

(z.B. Spannungswandler, Netzanschlusstransformatoren) 

u K hoch � Transformator spannungsweich � großer Innenwiderstand 

(z.B. Klingeltransformatoren, Zündtransformatoren) 

N ⋅ 100% 

Kd = 

uK 

I 

I 

I Kd Dauerkurzschlussstrom 

I N Nennstrom 

u K Kurzschlussspannung in Prozent der Nennspannung

5.5 Wechselstromtechnik 

5.5.1 Kennwerte von 

Wechselgrößen 

Mittelwerte bei Sinusform 

Wechselstromtechnik 

� Kreisfrequenz 

f Frequenz 

T Periodendauer 

i Zeitwert des Stromes 

u Zeitwert der Spannung 

î Scheitelwert des Stromes 

û Scheitelwert der Spannung 

� = 2 � f 

1 

f � 

T 

i � iˆsin( �t ��i) 

u � uˆsin( �t �� 

) 

� � � u – � i 

Effektivwert und Scheitelwert 

I = 

iˆ 

= 

2 

0,707iˆ 

u 

� i 

� u 



Nullphasenwinkel des Stromes 

Nullphasenwinkel der Spannung 

� Phasenverschiebungswinkel der 

Spannung gegen den Strom; hier: 

u eilt i um � � voraus 

i eilt u um � � nach 

Bei Darstellung des Effektivwertes 

im Zeigerdiagramm: 

Zeigerlänge � Scheitelwert / 2 � 

�� f T, t i, î u, û 

1 

s 

1 

Hz � s A V 

s 

ii ,,, ˆ I | i | uuU , ˆ, 

, | u| F S 

uˆ 

U � � 0,707 uˆ 

A V 1 1 

2 

Gleichrichtwert und Scheitelwert 

2 

| i | � iˆ � 0,637 iˆ 

� 

2 

| u | � uˆ � 0,637uˆ 

� 

Effektivwert und Gleichrichtwert 

I � 1,111 | i | | i | � 0,9 I 

U � 1,111 | u | | u | � 0,9 U 

Effektivwert 

Formfaktor � 

Gleichrichtwert 

F � 1,111 

Scheitelwert 

Scheitelfaktor � 

Effektivwert 

S � 2 �1,414 

i, u Zeitwert 

iˆ, u ˆ Scheitelwert 

I, U Effektivwert 

| i | , | u | Gleichrichtwert 

F Formfaktor 

S Scheitelfaktor 

139 

5

5 



Mittelwerte bei beliebiger 

Kurvenform 

140 

Mischgrößen 

Geschaltete Sinuswelle 

(Phasenanschnitt bei 

Ohm’scher Last) 

Effektivwert 

T 

1 

I = 2 ∫ T 

0 

T 

1 

= ∫ T 

0 

i dt 

2 

U u dt 

Effektivwert 

Linearer 

Mittelwert 

T 

1 

i = ∫i 

dt 

T 

0 

T 

1 

u = ∫u 

dt 

T 

2 2 2 

I = i + I1 + I2 

+ � 

2 2 2 

U = u + U1 + U2 

+ � 

Effektivwert des Wechselanteils 

2 2 2 2 2 

1 2 3 � i 

I�= I + I + I + = I − 

2 2 2 2 2 

U~ = U1 + U2 + U3 + � = U − u 

0 

Gleichrichtwert Formfaktor 

T 

1 

I U 

| i | = ∫| 

i | dt 

F = = ≥ 1 

| 

T 

i | | u | 

0 

Scheitelfaktor 

T 

1 

| u | = ∫| 

u | dt 

iˆuˆ T S = = 

0 I U 

Wechselgröße: Gleichanteil ist Null 

Mischgröße: Gleichanteil ist von Null 

verschieden 

Schwingungsgehalt Welligkeit 

~ ~ U 

s = 

I 

= 

I U 

~ ~ U 

w = 

I 

= 

i u 

Einweg-Gleichrichtung Zweiweg-Gleichrichtung 

Gleichrichtwert 

iˆ 

| i | � (1 � cos � ) 

2� 

iˆ 

| i | � (1 � cos � ) 

� 

Effektivwert 

� Zündwinkel 

� Stromflusswinkel 

iˆ α sin 2α 

I = 1− 

+ 

2 180° 2π 

iˆ α sin 2α 

I = 1− + 

2 180° 2π 

Zündwinkel 0° 30° 60° 90° 120° 150° 

| i | 0,3183 î 0,2970 î 0,2387 î 0,1592 î 0,0796 î 0,0213 î 

Einweg- 

Gleichrichtung 

I 0,5 î 0,4927 î 0,4485 î 0,3536 î 0,2211 î 0,0849 î 

| i | 0,6366 î 0,5940 î 0,4775 î 0,3183 î 0,1592 î 0,0427 î 

Zweiweg- 

Gleichrichtung 

I 0,7071 î 0,6968 î 0,6342 î 0,5 î 0,3127 î 0,1201 î

5.5.2 Passive Wechselstrom-Zweipole 

an sinusförmiger 

Wechselspannung 

Größen, Einheiten, 

Kennwerte 

Kennwerte 

Frequenzabhängigkeit 

Wirkwiderstand R 

Leistungen 

P Wirkleistung 

Q Blindleistung 

Q L induktive 

Blindleistung 

Q C kapazitive 

Blindleistung 

S Scheinleistung 

Ströme 

I R Wirkstrom 

I L induktiver 

Blindstrom 

I C kapazitiver 

Blindstrom 

I Gesamtstrom 

�� cos � 

Wirkgröße 

Leistungsfaktor � 

Scheingröße 

�� sin � 

Blindgröße 

Blindfaktor � � 

Scheingröße 

Spannungen 

U R Wirkspannung 

U L induktive 

Blindspannung 

U C kapazitive 

Blindspannung 

U Gesamtspannung 



Leitwerte 

G Wirkleitwert � 

Konduktanz 

B Blindleitwert � 

Suszeptanz 

Y Scheinleitwert � 

Admittanz 

Widerstände 

R Wirkwiderstand � Resistanz 

X Blindwiderstand � Reaktanz 

X L induktiver Blindwiderstand � Induktanz 

X C kapazitiver Blindwiderstand � Kondensanz 

(Kapazitanz) 

Z Scheinwiderstand � Impedanz 

d � tan �� 

Wirkgröße 

Verlustfaktor � 

Blindgröße 

1 

Q � 

d 

1 

Gütefaktor � 

Verlustfaktor 

R, X, Z G, B, Y U I P Q S cos �, sin �, d, Q 

V 

�� 

A 

A 1 

S � � 

V � 

V A W var VA 1 

l q 

R � G 

� q 

γ 

= 

l 

� 

B 

XL � L L 

1 

= 

ωL 

1 

XC 

� 

�C 

BCC ω = 

fr Resonanzfrequenz 

XL � XC Reihenresonanzbedingung 

BL � BC Parallelresonanzbedingung 

Strom I und Spannung U sind phasengleich 

U = R = 

G 

I 

I 

1 

G � cos � � 1 

R 

2 

2 U 

P = UI = I R = 

sin � � 0 

R 

141 

5

5 



Induktiver 

Blindwiderstand X L 

Kapazitiver 

Blindwiderstand X C 

142 

5.5.2.1 Reihenschaltung von 

Blindwiderständen 


induktiven Blindwiderständen 

X L 


kapazitiven Blindwiderständen 

X C 

Spannung U eilt dem Strom I um 90° voraus 

U = XL= 

B 

I 

I 

1 

BL 

� 

X 

X L � � L 

QL = UI = 

cos � � 0 

I2XL 

= 

U2 

XL 

sin � � 1 

L 

Spannung U eilt dem Strom I um 90° nach 

U = I XC= 

1 

BC 

1 

BC= = ωC 

XC 

1 

XC 

= 

ωC 

QC = UI = 

cos � � 0 

I2XC 

= 

U2 

XC 

sin � � 1 

U � U L1 � U L2 � … 

U UL1 UL2 

I = = = = � 

XL XL1 XL2 

X L � X L1 � X L2 � … 

L � L 1 � L 2 � … 

cos � � 0 

sin � � 1 

U � U C1 � U C2 � … 

U UC1 UC2 

I = = = = � 

XC XC1 XC2 

X C � X C1 � X C2 � … 

1 1 1 

� � �� 

C C1 C2 

cos � � 0 

sin � � 1 

Für zwei in Reihe geschaltete 

Kondensatoren gilt: 

L 

CC 

C � 1 2 

C � 

C 

1 2


R und X L 


von R und X C 


von R, X L und X C 

(X L > X C) 

(U L > U C) 

2 2 

� R � L 

U U U 

U 

U U 

R L 

I = = = 

Z R XL 

2 2 Z � R � XL 

U R P 

U Z S 

U 

sin� 

� L 

U 

X 

� L 

Z 

Q 

� 

S 

cos� 

� R � � 

d 

R 

L � tan� 

� � � 

XL UL QL 

2 2 

� R � C 

U U U 

U U U 

Z R X 

R 

I = = = 

2 2 Z � R � XC 

L 

R U P 

C 

C 

U 

cos R R P 

� � � � 

U Z S 

U X Q 

U Z S 

sin� 

� C � C � 

d 

C 

R U 

tan 

R P 

� � � � � 

X U Q 

C 

C C C 

2 2 

R ( L C) 

U � U � U �U 

U 

cos R R P 

� � � � 

U Z S 

2 2 

Z R ( XL XC) 

� � � d � d L + d C 



2 

2 U 

= I = I = = 2+ 2 

L 

S U Z P Q 

Z 

2 

2 U 

= I = I = = 2+ 2 

C 

S U Z P Q 

Z 

U UR UL 

U 

I = = = = 

Z R X X 

2 

2 U 

= I = I 

= = 2+ ( 2 

L − C) 

S U Z P Q Q 

Z 

C 

L C 

UL �UC X Q 

L � XC 

L � QC 

sin� 

� � � 

U Z S 

143 

5

5 



144 


von 

Blindwiderständen 


induktiven 

Blindwiderständen X L 


kapazitiven 

Blindwiderständen X C 

U � I X L � I 1 X L1 � I 2 X L2 � … I � I 1 � I 2 � … 

cos � � 0 sin � � 1 

B L � B L1 + B L2 + … 

1 1 1 

� � �� 

X X X 

L L1 L2 

Für zwei parallelgeschaltete 

induktive Blindwiderstände/ 

Induktivitäten gilt: 

1 1 1 

� � �� 

L L L 

X 

L � 

1 2 

X X 

X X 

LL 

L � 

L L 

L1 L2 

L1 � L2 

1 2 

1 � 2 

U � I X C � I 1 X C1 � I 2 X C2 � … I � I 1 � I 2 � … 

cos � � 0 sin � � 1 

B C � B C1 + B C2 + … C � C 1 � C 2 + … 

1 1 1 

� � �� 

X X X 

C C1 C2


R und X L 


von R und X C 

2 2 

U = IZ = IRR = IL XL 

I = IR + IL 

cosϕ 

= 

IR 

G 

= = 

I Y 

1 

R 

= 

1 

Z 

Z 

= 

R 

P 

S 

Y 

1 

Z 

2 G 2 BL 



1 

I L BL XL Z QL 

sinϕ 

= = = = = 

I Y 1 XLS Z 

G X I P 

d L = tan = = = = 

B R I Q 

� � � δ L R 

2 

2 U 2 2 S= UI = I Z= = P + QL 

Z 

L L L 

U � I Z � IR R � IC XC I = 2 2 IR+ IC 

1 

1 

cosϕ 

= 

IR 

G 

= = 

I Y 

R 

= 

1 

Z 

Z 

= 

R 

P 

S 

I 

sinϕ 

= 

I 

B 

= 

Y 

= 

XC = 

1 

Z 

Z Q 

= 

XCS 1 

Y � � 

Z 

2 2 G �BC G 

d C = tanδ 

= 

B 

= 

XC 

IR 

P 

= = 

R I Q 

2 

2 U 2 2 S= UI = I 

Z= = P + QC 

Z 

C C C 

C C C 

145 

5

5 




von R, X L und X C 

(X L < X C) 

(B L >B C) 

(I L > I C) 

146 

5.5.3 Umwandlung 

passiver Wechselstrom-Zweipole 

in gleichwertige 

Schaltungen 

Umwandlung einer 

Reihenschaltung in 

eine gleichwertige 


Umwandlung einer 

Parallelschaltung in 

eine gleichwertige 


2 2 

U = IZ = IRR = IL XL = IC XC 

I = IR + ( IL − IC) 

1 

cosϕ 

= 

IR 

G 

= = 

I Y 

R 

= 

1 

Z 

Z 

= 

R 

P 

S 

I 

sinϕ 

= 

− I 

I 

B 

= 

− B 

Y 

Q 

= 

− Q 

S 

1 

Y � � 

Z 

2 2 

G �( BL �BC) d � dL � dC 2 

2 U 2 2 

S= UI = I Z= = P + ( QL− QC) 

Z 

L C L C L C 

Bei konstanter Frequenz hat die gleichwertige Schaltung auf den 

Generator die gleiche Wirkung wie die Originalschaltung. 

Gegebene 

Originalschaltung 

Gesuchte 

gleichwertige 

Schaltung 

Umrechnungsbeziehungen 

R X 

G � B L 

2 L � 

Z Z2 

R XC 

G � B 

2 C � 

2 

Z Z 

G BL 

R= XL= 

2 2 

Y Y 

G BC 

R= XC= 

2 2 

Y Y 

Z 2 � R 2 � X 2 

Y 2 � G 2 � B 2

5.5.4 Blindleistungskompensation 

Betriebswerte vor der 

Kompensation 

Betriebswerte nach der 

Kompensation 

Erforderliche 

Kompensationskapazität 

Leistungsverluste in 

Abhängigkeit vom 

Leistungsfaktor 

S Pzu 

I = = = I + I 

U Ucosϕ 

1 2 2 

1 R L 

1 

P 2 

L1 = I1 

RL 

U QL S sinϕ1 

Pzu 

tanϕ1 

IB= IL= 

= = = 

X U U U 

L 

S Pzu 

I2= = = IR+ ( IL− IC) 

U Ucos 

ϕ 

P 2 

L2 = I2 

RL 

IB= IL− IC 

I 

C 

2 2 2 

2 

U QC Pzu 

(tanϕ1 − tan ϕ2 

) 

= = = 

X U U 

C 

Pab 

Pzu 

� 

� 

Pzu zugeführte Wirkleistung 

Pab abgegebene Wirkleistung 

(Nennleistung) 

PL Leistungsverlust auf der Zuleitung 

RL Leitungswiderstand 

IB Blindstrom auf der Zuleitung 

QC kompensierte Blindleistung 

(QL � QC bei Vollkompensation) 

QC � Pzu(tan�1 �tan 

�2) 

QC 

C = 

2 U ω 

QC 

C = 

3 

U2 

ω 

(Einphasennetz) (Dreiphasennetz) 

C Einzelkapazität 

U Str � U bei Dreieckschaltung der Kondensatorbatterie 

U 

UStr � bei Sternschaltung der Kondensatorbatterie 

3 

PL 

P = = + 2 

LS PL(1tan 

ϕ) 

cos2 

ϕ 

Str 



PL Leistungsverlust auf der Leitung bei cos ϕ = 1 des Verbrauchers 

PLS Leistungsverlust auf der Leitung bei beliebigem cos ϕ des 

Verbrauchers 

Drehstromtechni 

cos ϕ, tan ϕ Leisungsfaktor/Verlustfaktor des Verbrauchers 

147 

5

5 


Drehstromtechnik 

148 

5.6 Drehstromtechnik 

5.6.1 Drehstromnetz 

Benennungen 

5.6.2 Stern- und Dreieckschaltung 

Zeigerdiagramm der 

Spannungen 

Sternschaltung des 

Verbrauchers 

Dreieckschaltung des 

Verbrauchers 

L1, L2, L3 Außenleiter 

N Neutralleiter (Sternpunktleiter) 

U1N, U2N, U3N Sternspannung (auch U1, U2, U3 zulässig, wenn 

Verwechslung ausgeschlossen) 

U12, U23, U31, U Dreieckspannung (Außenleiterspannung) 

I1, I2, I3, I Außenleiterstrom (� Sternstrom bei Sternschaltung 

des Verbrauchers) 

I12, I23, I31 Dreieckstrom 

IN Sternpunktleiterstrom 

UStr Strangspannung, Spannung zwischen beiden Enden 

eines Stranges unabhängig von der Schaltungsart 

IStr Strangstrom, Strom in einem Strang unabhängig von 

der Schaltungsart 

P Gesamtleistung des Verbrauchers 

PStr Strangleistung des Verbrauchers 

Dreieckspannungen Sternspannungen 

U12 � U 

U23 � U 

U31 = U 

�60� 180� 

60 ° 

U 

U1N � 

3 

U 

U2N � 

3 

� 90� 

150� 

U 

U3N � 30� 

3 

Stranggrößen 

UStr � 

U 

3 

IStr � I 

I 

1 

U 

= 

Z 

1N 

1N 

Stranggrößen 

U Str � U 

I 

12 

I 

U 

= 

Z 

2 

12 

12 

U 

= 

Z 

2N 

2N 

23 

U 

= 

Z 

Außenleiterströme 

I 1 � I 12 – I 31 I 2 � I 23 – I 12 I 3 � I 31 – I 23 

I 

23 

23 

U 

I 3= 

Z 

3N 

3N 

I 

31 

U 

= 

Z 

31 

31

Sternschaltung des 

Verbrauchers 

Dreieckschaltung des 

Verbrauchers 

Leistung bei Stern- 

Dreieck-Umschaltung 

Leistung bei gestörten 

Drehstromschaltungen 

Symmetrische Last 

Z 1N � Z 2N � Z 3N 

I 1 � I 2 � I 3 

I 1 � I 2 � I 3 � 0� 

I N � 0 

3cosϕ 3 Str 

P = UI = P 

P = U I 

Str Str Str cos 

Symmetrische Last 

Z 12 � Z 23 � Z 31 

I 1 � I 2 � I 3 

I 12 � I 23 � I 31 

I 1 � I 2 � I 3 �� 

ϕ 

P � UI 3cos�� 3PStr 

P = U I 

Str = 

3 

I 

I 

Str Str Str cos 

ϕ 

Unsymmetrische Last 

Z 1N � Z 2N � Z 3N 

I 1 � I 2 � I 3 

I 1 � I 2 � I 3 � I N � 0 

I N � 0 

P � P Str 1 � P Str 2 � P Str 3 



P Str 1 � U 1N I 1 cos � �1 

P Str 2 � U 2N I 2 cos � �2 

P Str 3 � U 3N I 3 cos � �3 

Bei fehlendem Sternpunktleiter ergeben 

sich ungleiche Sternspannungen bei 

ungleichen gegenseitigen Phasenverschiebungswinkeln 

(� 120°). 

Unsymmetrische Last 

Z 12 � Z 23 � Z 31 

I 1 � I 2 � I 3 

I 12 � I 23 � I 31 

I 1 � I 2 � I 3 �� 

P � P Str 1 � P Str 2 � P Str 3 

P Str 1 � U 12 I 12 cos � �1 

P Str 2 � U 23 I 23 cos � �2 

P Str 3 � U 31 I 31 cos � �3 

Bedingungen: gleiche Außenleiterspannungen für beide Schaltungsarten 

und R Str � � R Str �� 

PY 

= 

P∆ 1 

3 

P� Leistung des Verbrauchers in Sternschaltung 

P Leistung des Verbrauchers in Dreieckschaltung 

Unterbrechung von P Stör Unterbrechung von P Stör 

R 2 

R 2, N 

R 2, R 3 

2 

3 P R 23 

1 

2 P L 2 

1 

3 P R 23, R 31 

R 2, R 3, N 0 R 23, L 2 

P Stör Leistung der gestörten Schaltung 

P Leistung der ungestörten Schaltung 

R 31, L 2 

2 

3 P 

1 

2 P 

1 

3 P 

1 

3 P 

1 

6 P 

149 

5

5 



150 

5.6.3 Stern-Dreieck- 

Umwandlung 

Umwandlung einer Sternschaltung 

in eine gleichwertige 

Dreieckschaltung 

Merkschema 

Umwandlung einer Dreieckschaltung 

in eine gleichwertige 

Sternschaltung 

Merkschema 

Anmerkung 

Gegebene 


A B C 

Rz 

Rx 

Ry 

Gegebene 


A B C 

R1 

R3 

R2 

Gesuchte gleichwertige 

Schaltung Umrechnungsbeziehungen 

A B C 

R1 

R3 

R2 

RR x z 

R1= Rx + Rz 

+ 

Ry 

RR 

R2 = Rx + Ry 

+ 

R 

x y 

RR 

R3 = Ry + Rz 

+ 

R 

z 

y z 

R1 gesuchter Widerstand der Dreieckschaltung 

Rx , Rz benachbarte Widerstände der Sternschaltung 

Ry gegenüberliegender Widerstand der Sternschaltung 

Produkt R 

R y benachbart 

= � Ry benachbart + 

R 

y gegenüber 

Gesuchte gleichwertige 

Schaltung Umrechnungsbeziehungen 

A B C 

Rz 

Rx 

Ry 

R 

R 

R 

x 

y 

z 

= 

= 

= 

RR 1 2 

R + R + R 

1 2 3 

R2R3 R + R + R 

1 2 3 

RR 1 3 

R + R + R 

1 2 3 

Rx gesuchter Widerstand der Sternschaltung 

R1 , R2benachbarte Widerstände der Dreieckschaltung 

Ry gegenüberliegender Widerstand der Dreieckschaltung 

Produkt R 

Ry � benachbart 

= 

ΣR 

Die Umrechnungsbeziehungen gelten analog auch für Scheinwiderstände 

Z. 

Beispiel für Z1: Z Z x z 

Umwandlung Stern in Dreieck Z = Z + Z + 1 x z Z 

y 

� 

x

5.7 Elementare Bauteile 

der Elektronik 

5.7.1 Halbleiterdioden 

5.7.1.1 Dioden zum Gleichrichten 

und Schalten 

Typisches Kennlinienfeld 

einer Silizium-Diode 

Widerstandsverhalten 


Elementare Bauteile der Elektronik 

U 

F 

R F = 

IF 

U 

R 

R R = 

IR 

r 

F 

∆U 

= 

∆ I 

F 

F 

P V � U F I F 

P 

V 

T � T 

� 

R 

j U 

thJU 

R F 

U F 

I F 

R R 

U R 

I R 

r F 

�U F 

� �I F 



Durchlassbereich 

Durchbruchspannung U (BR) bis � 3000 V 

Schleusenspannung U (TO) � 0,7 V 

(Schwellspannung) 

Gleichstromwiderstand in Durchlassrichtung 

Spannung in Durchlassrichtung 

Strom in Durchlassrichtung 

Gleichstromwiderstand in Sperrrichtung 

Spannung in Sperrrichtung 

Strom in Sperrrichtung 

Differentieller Widerstand im Arbeitspunkt A 

Differenz der Durchlassspannung 

Differenz des Durchlassstromes 

1. Bedingung: P V � P tot � totale Verlustleistung 

2. Bedingung: Oberwellenfreie Gleichspannung 

Tj Sperrschichttemperatur 

TU Umgebungstemperatur 

RthJU Gesamtwärmewiderstand zwischen Sperrschicht 

und Umgebung 

151 

5

5 



Ströme und Stromgrenzwerte 

von Dioden in 

Vorwärtsrichtung 

152 

Beziehungen der Ströme 

5.7.1.2 Dioden im Schaltbetrieb 

Diode leitet 

Diode sperrt 

Maximale mögliche 

Schaltleistung der Diode 

IF 

Gleichstromwert ohne Signal 

IFAV Mittelwert des Gesamtstromes 

IFM Scheitelwert des Gesamtstromes 

IFEFF Effektivwert des Gesamtstromes 

IFSM Stoßwert des Gesamtstromes 

iF 

If 

Ifm 

Ifeff 

Augenblickswert des Gesamtstromes 

Augenblickswert des Wechselstromes 

Scheitelwert des Wechselstromes 

Effektivwert des Wechselstromes 

IFM = IFAV + I fm I = 2 + 2 

FEFF IFAV I feff iF = IFAV 

+ if 

PSmax � UL IFmax Ptot 

PSmax � UL U 

F 

UB UF IF RL UL Betriebsspannung 

Durchlassspannung 

Durchlassstrom 

Lastwiderstand 

Spannung am Lastwiderstand 

U B � U F � I F R L 

IR UR P U U 

P �U� P 

� � 

tot B 

Smax � ( B � F) � � �1� 

tot 

UF UF 

Strom in Sperrrichtung 

Spannung in Sperrrichtung 

U B � U R � I R R L 

PSmax max. mögliche Diodenschaltleistung 

UL Spannung am Lastwiderstand 

IFmax maximaler Durchlassstrom 

Ptot totale Verlustleistung

5.7.1.3 Nichtlinearer 

Widerstand, 

Arbeitspunkt 

Benennungen 

Linearer Widerstand 

Nichtlinearer Widerstand 

Änderung des 

Arbeitspunktes 

1 linearer Widerstand 

2 nichtlinearer Widerstand mit positivem 

differentiellem Widerstand 

3 nichtlinearer Widerstand mit negativem 

differentiellem Widerstand 

(gelegentlich als „negativer Widerstand“ 

bezeichnet). Strom nimmt 

ab bei steigender Spannung 



Der Widerstandswert ist unabhängig vom Arbeitspunkt A 

U1 

R = = konstant 

I 

1 

Der Widerstandswert ist abhängig vom Arbeitspunkt A 

U 

R = 

I 

1 

1 

d 

d 

U ∆U 

r = ≈ 

I ∆ I 

R Gleichstromwiderstand, statischer Widerstand 

r differentieller Widerstand, dynamischer Widerstand, 

Wechselstromwiderstand 

Einfluss der Quellenspannung 

U q auf die Lage des 

Arbeitspunktes (R � konst.) 

Einfluss des Widerstandes 

R auf die Lage des 

Arbeitspunktes (U q � konst.) 

153 

5

5 



154 

5.7.1.4 Z-Dioden 

Kennlinie einer Z-Diode 

Benennungen 

Schaltung und 

Ersatzschaltung 

Statischer differentieller 

Widerstand 

Thermischer differentieller 

Widerstand 

UZ Z-Arbeitsspannung (Durchbruchspannung) 

IZ Z-Arbeitsstrom 

UZN Nennspannung der Z-Diode 

UZ0 IZT rZ rZj Durchbruchspannung, extrapoliert für IZ � 0 

Messstrom (z.B. 5 mA) 

Statischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich 

Dynamischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich 

(aus Datenblättern entnehmen) 

rZ th Thermischer differentieller Widerstand im Durchbruchbereich 

� UZ Temperaturkoeffizient der Arbeitsspannung 

�Tj Änderung der Sperrschichttemperatur 

Rth JU Gesamtwärmewiderstand 

Schaltung mit Z-Diode U Z � U Z0 � I Z r Z � U ZN � I Z r Z 

∆UZ 

r Z = 

∆ IZ 

2 

Zth = ZαUZ thJU 

r U R 

�Tj � UZRthJU �IL 

r Z � r Zj + r Zth 

Z-Diode als Spannungsquelle mit 

dem Innenwiderstand r Z 

� 

Im Arbeitsbereich ist r Z � konstant 

�UZ 

UZ � 

UZN �Tj

5.7.2 Transistoren 

5.7.2.1 Bipolare 

Transistoren 

Zählrichtungen für 

Spannungen und Ströme 

5.7.2.2 Kennlinien und 

Kenngrößen bipolarer 

Transistoren 

Vierquadranten-Kenn- 

liniendarstellung eines 

Transistors 



NPN-Transistor PNP-Transistor 

Ein NPN-Transistor zeigt in einer Schaltung die gleiche Wirkung wie 

ein PNP-Transitor. 

Dazu ist lediglich die Betriebsspannung umzupolen. 

IE � IC � IB IE Emitterstrom 

IC Kollektorstrom 

IB Basisstrom 

UCE � UCB � UBE UCE Kollektor-Emitter-Spannung 

UCB UBE Kollektor-Basis-Spannung 

Basis-Emitter-Spannung 

Bei Si-Transistoren � (0,5 … 0,7) V 

Stromsteuerkennlinie Ausgangskennlinienfeld 

Eingangskennlinie Spannungs- 

Rückwirkungskennlinienfeld 

155 

5

5 



156 

Gleichstrom-Verstärkung 

Gleichstrom- 

Eingangswiderstand 

Gleichstrom- 

Ausgangswiderstand 

Restströme, 

Sättigungsspannung 

Wechselstromverstärkung 

(U CE � konst.) 

Dynamischer Eingangswiderstand 


Dynamischer Ausgangswiderstand 

(I B � konst.) 

Leerlaufspannungsrückwirkung 

(I B � konst.) 

Steilheit 


Grenzwerte und Kennlinien 


Statische Kennwerte des Transistors 

C 

B = 

B 

I 

I 

UBE 

R BE = 

IB 

UCE 

R CE = 

IC 

B Gleichstromverstärkung 

IC Kollektorstrom 

Basisstrom 

I B 

RBE UBE RCE UCE Widerstand zwischen Basis und Emitter 

Basis-Emitter-Spannung 

Widerstand zwischen Kollektor und Emitter 

Kollektor-Emitter-Spannung 

ICEO ≈ B ICBO ICEO ICES Kollektor-Emitter-Reststrom (IB � 0) 

Kollektor-Emitter-Reststrom (UBE � 0) 

ICBO UCEsat Kollektor-Basis-Reststrom (IE � 0) 

Sättigungsspannung, Restspannung 

zwischen Kollektor und Emitter 

Dynamische Kennwerte des Transistors mit Vierpolparametern 

∆ IC 

β = = h 

∆ I 

B 

21e 

∆UBE 

rBE = = h11e 

∆ IB 

∆UCE 

1 

r CE = = 

∆ IC 

h22e 

�U 

D BE 

U � � h12e 

�UCE 

� Wechselstrom-Verstärkungsfaktor (� B) 

�I � C Differenz des Kollektorstromes 

�I � B Differenz des Basisstromes 

rBE �UBE � � I B 

rCE �UCE � � I C 

DU �UBE �UCE Differentieller Eingangswiderstand 

Differenz der Basis-Emitter-Spannung 

Differenz des Basisstromes 

Differentieller Ausgangswiderstand 

Differenz der Kollektor-Emitter-Spannung 

Differenz des Kollektorstromes 

Leerlaufspannungsrückwirkung 

Differenz der Basis-Emitter-Spannung 

Differenz der Kollektor-Emitter-Spannung 

∆ IC S Steilheit 

S = 

∆U 

� IC Differenz des Kollektorstromes 

BE 

�UBE Differenz der Basis-Emitter-Spannung 

Grenzwerte des Transistors 

PV � UCE IC � UBE IB � Ptot PV � UCE IC � Ptot Ptot 

ICmax 

≤ 

UCE 

Ptot totale Verlustleistung 

ICmax maximaler Kollektorstrom 

UCE0 , Kollektor-Emitter-Sperrspannung 

UCEmax bei offener Basis (I β = 0) 

TUmax , Temperaturgrenzwerte für die 

Tjmax maximale Umgebungs- bzw. Sperrschichttemperatur 

Tjmax für Silizium � (150 ... 200) °C 

P tot gilt für eine vom Hersteller 

definierte Umgebungstemperatur T U 

(meist 25 °C).

5.7.3 Thyristoren 

5.7.3.1 Grundschaltung 

und Kenndaten 

Grundschaltung 

Ströme 


Kenndaten 

U − U U 

B T B 

IT = ≈ Lastkreis 

RL RL 

U − U 

St G 

IG = 

Steuerkreis 

RG 

P V � U T I T � U G I G � 1,1 U T I T 



Vorwärtsrichtung 

UT, UF Durchlassspannung 

UD Vorwärts-Sperrspannung 

UDRM Periodische Vorwärts-Spitzensperrspannung 

U (BO) Kippspannung 

A Anode 

K Katode 

G Gate (Steueranschluss) 

RL Lastwiderstand 

RG Gatewiderstand 

UB Betriebsspannung 

UG Steuerspannung 

USt Steuerkreisspannung 

UT Durchlassspannung 

IT Durchlassstrom 

Steuerstrom 

U (BO)0 Nullkippspannung 

UH Haltespannung 

IT, IF Durchlassstrom 

ITAV Mittelwert des Durchlassstromes (Dauergrenzstrom) 

ITEFF Effektivwert des Durchlassstromes 

ID Vorwärts-Sperrstrom 

IH Haltestrom 

I (BO) Kippstrom 

Rückwärtsrichtung 

UR Rückwärts-Sperrspannung 

URRM Periodische Rückwärts-Spitzensperrspannung 

URSM Rückwärts-Stoßspitzensperrspannung 

U (BR) Durchbruchspannung 

IR Rückwärts-Sperrstrom 

IRRM Periodische Rückstromspitze 

I G 

157 

5

5 



158 

5.7.3.2 Ausgewählte 

Thyristor- 

bauelemente 

Vierschichtdiode (Einrichtungs-Thyristordiode) 

Diac 

(Zweirichtungs- 

Thyristordiode) 

Charakteristische Kennlinie Schaltung und Schaltverhalten 

Durchlassbereich 

pischer Werte: Nullkippspannung U (BO)0 � 50 V 

Haltestrom IH � 10 mA bis 50 mA 

Haltespannung UH � 1 V 

Durchlassstrom IF � bis 200 mA 

Kippschaltungen, Impulsverstärker, Zählstufen. 

Zum Ansteuern von Thyristortrioden (Thyristoren). 


Auswahl typischer Werte: Kippspannung U (BO) � 30 V 

Rücklaufspannung �U � 6 V für einen definierten 

Strom I F bzw. I R (z.B. 10 mA) 

Max. Durchlassstrom I max � bis 3 A 

Anwendungsbeispiele: Hauptsächlich zur Ansteuerung von Triacs und 

als kontaktloser Schalter. 

Der DIAC wird auch als Zweirichtungs-Thyristordiode ausgeführt. Das 

entspricht der Antiparallelschaltung von zwei Thyristordioden. 

Antiparallelschaltung

Thyristor 

(Einrichtungs- 

Thyristortriode) 

P-Gate-Thyristor 

N-Gate-Thyristor 

Triac 

(Zweirichtungs- 

Thyristortriode) 

GTO-Thyristor 

(Abschaltthyristortriode) 




Durchlass- 

Kennlinie 

Spitzensperrspannung U RRM � 50 V bis 5000 V 

Dauergrenzstrom I TAV � 0,5 A bis > 1000 A 

Zündspannung U G � 1 V bis 5 V 

Zündstrom I G � 10 mA bis 500 mA 

Als Leistungsschalter in Gleich-, Wechsel- und 

Drehstromkreisen. Als steuerbarer Stromrichter 

im Wechselstromkreis. 


Spitzensperrspannung U DRM � bis 1500 V 

Durchlassstrom I TEFF � bis 50 A 

Steuerung kleiner bis mittlerer Wechselstromleistungen. 

Phasenanschnittsteuerung. 

ristoren sind Thyristoren, die durch geeignete 

Steuerimpulse nicht nur vom Sperrzustand in den Durchlassauch 

umgekehrt umgeschaltet werden können. 

Abschalten eines GTO-Thyristors beträgt 

tstromes. 

werden u. a. in Wechselrichter-Schaltungen einndlung 

von Gleichspannung in Wechselspan- 

159 

5

5 



160 

5.7.3.3 Phasen- 

anschnittsteuerung 

Phasenanschnittschaltung 

mit 

Diac und Triac 

Phasenanschnitt- 

steuerung mit 

Diac und Triac 

Beschreibung der 

Steuerung 

u Netzspannung α Zündverzögerungswinkel 

u G Steuerimpulse � Stromflusswinkel 

i Laststrom α + � = 180° 

p im Lastwiderstand umgesetzte Leistung 

– Die Steuerschaltung liefert netzsynchrone Zündimpulse 

– Steuerbar zwischen den Zündverzögerungswinkeln 0° bis 180° 

– Stufenlose Leistungssteuerung zwischen P 0 und P max

6.1 Grundbegriffe 

absoluter Druck p abs 

Normvolumen V n 

spezifisches Volumen � 

(6.9) 

spezifisches 

Normvolumen � n (6.9) 

Wärme Q 

spezifische Wärme q 

spezifische 

Wärmekapazität c 

(6.10 und 6.11) 

mittlere spezifische 

Wärmekapazität c m12 

zwischen t 1 und t 2 


Mischungstemperatur t g 

(Gemischtemperatur) 

Grundbegriffe 

p abs = p amb � p e 

(bei Überdruck) 

p abs = p amb – p e 

(bei Unterdruck) 

pe atmosphärische 

Druckdifferenz, 

Überdruck 

pamb umgebender 

Atmosphärendruck 

Thermodynamik 

Grundbegriffe 

ist das Volumen einer beliebigen Gasmenge im Normzustand. Einheit m 3 . 

Physikalischer Normzustand: T = 273,15 K; � = 0° C, p = 101325 N/m 2 � 1,013 bar 

Das molare Normvolumen des idealen Gases beträgt V mn = 22,415 m 3 /kmol 

V 1 

ν = = 

m r 

� in m 3 /kg (6.9) m Masse in kg 

V Volumen in m 3 r Dichte in kg/m 3 

(6.9) 

Beachte: � ist der Quotient 

aus Volumen V und Masse 

m. r ist der Quotient aus 

Masse m und Volumen V. 

Die Wichte � = r�g soll nicht 

mehr benutzt werden ! 

Vn 

νn 

= ist das spezifische Volumen im Normzustand (siehe oben) 

m 

Q = m c �T = m c (t 2 – t 1) 

1 Joule (J) = 1 Nm = 1 Ws. 

Das J ist die gesetzliche Einheit 

der Energie, der Wärme und der 

Arbeit. Das Kelvin (K) ist die 

gesetzliche Einheit der Temperatur 

(1 K = 1°C). 

Q m c �T t 2, t 1 

J kg 

J 

kgK 

K K oder °C 

m Masse 

c spezifische Wärmekapazität 


K und °C siehe 6.7 

q Q m 

q = Q 

m J 

J kg 

kg 

gibt die Wärme (Wärmemenge) in J an, die erforderlich ist, um 1 kg 

oder 1 g eines Stoffes um 1 Kelvin (1 K) zu erwärmen, c ist temperatur- 

und druckabhängig. 

cm02t2−cm01t1 cm12 = 

t2 − t1 

t g = 

mct 1 1 1+ m2c2t2 m1c1+ m2c2 K und °C siehe 6.7 

c m02 ist mittlere spezifische Wärmekapazität 

zwischen 0°C 

und t 2 

c m01 entsprechend zwischen 0°C 

und t 1 

t m c 

K oder °C kg 

J 

kg K 

161 

6

6 

Thermodynamik 


Schmelzenthalpie q s 

(6.12) 

Verdampfungsenthalpie 

q v 


Energieprinzip 

(H. v. Helmholtz) 

thermischer 

Wirkungsgrad � th 

162 

6.2 Wärmeausdehnung 

Längenzunahme �l nach 

Erwärmung 

Länge l 2 nach Erwärmung 

Volumenzunahme �V 

nach Erwärmung 

Volumen V 2 nach 

Erwärmung 




Erwärmung 

gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um die Stoffmenge 1 kg des 

Stoffes bei der jeweiligen Schmelztemperatur zu schmelzen. 

gibt die Wärme in J an, die nötig ist, um die Stoffmenge 1 kg des 

Stoffes bei der jeweiligen Siedetemperatur in den gasförmigen 

Zustand zu überführen. 

Der Energieinhalt eines abgeschlossenen Systems kann bei irgendwelchen 

Veränderungen innerhalb des Systems weder zu- noch 

abnehmen: 

�U = �Q ��W 

�U Zuwachs an innerer Energie 

�W Arbeit 

�Q Wärme 

∆W 

∆Q − ∆Q ∆Q 

ηth= 

= = 1− 

∆Q ∆Q ∆Q 


1 2 2 

1 1 1 

Wärmeausdehnung fester Körper (6.16) 

�l = l 1 � l (t 2 – t 1) 

l 2 = l 1 [1 � � l (t 2 – t 1)] 

�V � V 1 � V (t 2 – t 1) 

V 2 � V 1 [1 � � V (t 2 – t 1)] 

�U �Q �W 

J J Nm = J 

1 J = 1 Nm = 1 Ws 

l V � 1, � V� t 

m m 3 1 

K 

Wärmeausdehnung flüssiger Körper (6.17) 

� 

�V = V( t2 � t1) 

V1 

1 � �Vt1 

1 � � 

V2 = Vt V 2 

1 

1 � �Vt1 

K oder °C 

� 

� l Längenausdehnungskoeffizient 

(6.16) 

� V Volumenausdehnungskoeffizient 

(6.16) : � V � 3 � l für feste Körper 

V 1 Volumen vor Erwärmung 

K und °C siehe 6.7 

V � V t 

m 3 

1 

K 

K und ºC siehe 6.7 

K oder ºC 

Wärmeausdehnung von Gasen 

Vollkommene Gase dehnen sich bei Erwärmung um 1K = 1 °C (bei 

gleich bleibendem Druck) um den 273,15ten Teil des Volumens aus, 

das sie bei 0 °C = 273,15 K und 101325 Pa (Normvolumen) einnehmen. 

1 Pa = 1 N/m 2 . Temperatur-Umrechnung siehe 6.7.

Volumenausdehnungskoeffizient 

� V 

(konstant für alle 

vollkommenen Gase) 

Gesetz von 

Gay-Lussac 

Gesetz von 

Boyle-Mariotte 




Erwärmung 

6.3 Wärmeübertragung 

Wärmeleitung 

Wärmeleitfähigkeit � 

(6.18 bis 6.20) 

Wärmestrom � th bei 

ebener Wand und bei 

dünnwandigem Rohr 

1 m 1 1 

α V = = 

273,15 3 m K 273,15 K 

3 

oder 

3 1 m 1 1 1 

α V = = = 0,00366 

3 o o o 

273,15 m C 273,15 C C 

V T 

= 

V T 

1 1 

2 2 

p T 

= 

p T 

1 1 

2 2 

gilt bei t = konstant gilt bei V = konstant 

V p 

= 

V p 

1 2 

2 1 

gilt bei t = konstant 

V0 V1 

�V = ( T2 − T1) = ( T2 −T1) 

273,15 T1 

V 2 = 

Wärmeübertragung 

T 

V 

T 

2 

1 

1 

Wärmeleitung (6.18 bis 6.20) 

Thermodynamik 


V T p 

m3 N 

K = Pa 

m2 

T Temperatur (thermodynamische 

Temperatur). Zwischen dieser und 

der Celsiustemperatur t eines 

Körpers gilt: 

T = t � 273,15 K 

(siehe 6.7) 

ist der Wärmetransport von Teilchen zu Teilchen innerhalb eines 

Stoffes. 

gibt die Wärme in J an, die in 1 s bei einem Durchtrittsquerschnitt von 

1 m 2 und einem Temperaturunterschied von 1 K durch die Stoffdicke 

von 1 m hindurchströmt. � ändert sich mit der Temperatur und bei 

Gasen auch mit dem Druck. 

A 

Φth = λ ( t1−t2) s 

WärmeQ 

Φ th = 

Zeit t 

A = � d L innere Mantelfläche 

t 1 , t 2 Oberflächentemperaturen 

s Wanddicke 

t Zeit 

� th � A s, l, D, d t 

J W 

W = 

msk Km m2 m °C 

Beachte: Weil 1 Joule je 

Sekunde gleich 1 Watt 

ist (1 J/ s = 1W), wird für 

die Einheit der 

Wärmeleitfähigkeit � das 

Watt je Kelvin und Meter 

(W / Km) benutzt. 

163 

6

6 

Thermodynamik 


Wärmestrom � th 

bei dickwandigem Rohr 


bei ebener 

mehrschichtiger Wand 


bei mehrschichtigem 

Hohlzylinder 


bei mehrschichtiger 

Hohlkugel 

164 

Wärmeübergang 

Wärmeübergangszahl � 

(Wärmeübergangskoeffizient) 


Formeln für 

Wärmeübergangszahl 

� Luft,20°C 

in J/m 2 sK = W/m 2 K 

(nach Jürges) 

Wärmedurchgang 

2 π λ l 

Φ th = ( t1−t2) D 

ln 

d 

Φ 

th 

A( t1−t2) = 

s 

∑ λ 

2 π l ( t1−t2) Φth 

= 

1 D 

∑ ln 

λ d 

Φth 

= 

2 π ( t1−t2) 1⎛1 1⎞ 

⎜ − ⎟ 

λ⎝d 

D⎠ 

∑ 

Wärmeübergang (6.21) 

l Rohrlänge in m 

D Außendurchmesser 

in m 

d Innendurchmesser 

in m 

s Wanddicke in m 

In natürlicher Logarithmus 

� th Wärmestrom in 

J/ s = W 

Beachte: 1 J 

= W 

s 

ist die Wärmeübertragung durch Konvektion von einem flüssigen 

oder gasförmigen Medium an eine feste Wand und umgekehrt. 

gibt die Wärme in J an, die bei einer Berührungsfläche von 1 m 2 und 

einer Temperaturdifferenz von 1 K in 1 s übergeht. Die große Zahl 

von Einflussgrößen macht die Bestimmung von � schwierig. 

� th = �A (t fl – t w) 

�th �� A t 

W 

J W 

= 

m2sk m2K m2 K 

A wärmeübertragende Fläche 

t fl mittlere Temperatur des 

strömenden Mediums 

t w Wandtemperatur 

für Luftgeschwindigkeit w � 5 m/s w � 5 m/s 

glatte, polierte Wand 

Wand mit Walzhaut 

raue Wand 

ist die Wärmeübertragung von 

einem flüssigen oder gasförmigen 

Körper durch eine Trennwand 

auf einen kälteren flüssigen oder 

gasförmigen Körper. 

Teil Vorgänge: 

Wärmeübergang Flüssigkeit (t 1) 

� Wandoberfläche (t w1) 

Wärmeleitung Wandoberfläche 

(t w1) 

� Wandoberfläche (t w2) 

Wärmeübergang Wandoberfläche 

(t w2) 

� kältere Flüssigkeit (t 2) 

� = 5,6 � 3,9 w 

� = 5,8 � 3,9 w 

� = 6,2 � 4,2 w 

��= 7,1 w 0,78 

� = 7,14 w 0,78 

� = 7,52 w 0,78

Wärmedurchgangszahl 

k (6.22) 

(Wärmedurchgangskoeffizient) 


Wärmedurchgangszahl 

k für ebene 

mehrschichtige Wand 

für mehrschichtigen 

Hohlzylinder 

für mehrschichtige 

Hohlkugel 

Stefan-Boltzmann'sches 

Gesetz 

allgemeine Strahlungs- 

konstante 

Strahlungsfluss � 

des wirklichen 

Körpers 

Strahlungsfluss � 

Strahlungs- 

austauschzahl C 1,2 

Thermodynamik 


gibt die Wärme in J an, die bei einer Wandfläche von 1 m 2 und einer 

Temperaturdifferenz von 1 K in 1 s hindurchgeht 

� th = k A (t 1 – t 2) 

A Durchgangsfläche 

t Durchgangszeit 

k = 

k = 

1 

1 s 1 

+ ∑ + 

α λ α 

1 1 

1 

1 di 1 D di 

+ ∑ ln + 

α 2 λ d α D 

1 a a 

� th k A t 

J W 

W = 

m2sK m2K m2 K 

k�� s, d, D ln (D/d) 

W 

Km2 

W 

Km 

m 1 

d i Innendurchmesser der 

innersten Schicht 

D a Außendurchmesser der 

äußersten Schicht 

1 

D Durchmesserverhältnis 

k = 

> 1 

2 d 

einer Schicht 

1 d i 1⎛1 1⎞ 

di 

+ ∑ ⎜ − ⎟+ 

α λ⎝ ⎠ 2 

i 2 d D αaDa 

In natürlicher Logarithmus 

Wärmestrahlung (6.23) 

� s = C s A T 4 

�� C A T �� 

J W 

m sK m K m2 K 1 

�s Strahlungsfluss W = 

2 4 2 4 

C s 

J 

W 

5,67⋅ 10 = 5,67⋅10 m sK m K 

� = CAT 4 = � C s AT 4 

� = � Q s�� 

−8 −8 

2 4 2 4 

4 4 

1 2 

�1,2 = C1,2 A ( T −T 

) 

C 1,2 = 

1 

Cs 

= 

1 1 1 1 1 

+ − + −1 

C C C 

ε ε 

1 2 s 1 2 

� = C/C s Emissionsverhältnis 

C Strahlungszahl, beide nach 

6.23 

A parallel gegenüberstehende 

Flächen der Temperatur T 1, T 2 

C 1, C 2 Strahlungszahlen der Körper 

� � 1, � 2 Emissionsverhältnis nach 6.23 

165 

6

6 

Thermodynamik 

Gasmechanik 

166 

6.4 Gasmechanik 

allgemeine Zustandsgleichung 

idealer Gase 

spezifische 

Gaskonstante R i 

(6.24) 

universelle 

Gaskonstante R 

molares 

Normvolumen V mn 

spezifische Wärme- 

kapazitäten c v und c p bei 

konstantem Volumen und 

bei konstantem Druck 

(6.11) 

innere Energie U 

spezifische innere 

Energie u 

Änderung der 

spezifischen 

inneren Energie �u 

p ν p ν p V p V 

= = 

T T T T 

1 1 2 2 1 1 2 2 

1 2 1 2 

pν 

T 

p0ν0 

273K 

= pV 

T 

p0V0 273K 

� 

p� = R i T; pV = mR i T; p = r R i T 

Gasmechanik 

N 

m2 � 

p �� R i T V m r� 

Pa 

3 

m 

kg 

J 

kgK K m3 kg 

kg 

m3 

p Druck 

� spezifisches Volumen 

R i spezifische Gaskonstante 

(individuelle Gaskonstante) 

T Temperatur 

V Volumen 

m Masse 

r Dichte 

ist eine Stoffkonstante, die durch Messung der zugehörigen Größen 

p, �, T bestimmt werden kann. Sie stellt die Raumschaffungsarbeit 

dar, die von 1 kg Gas verrichtet wird, wenn diese Gasmenge bei 

p = konstant um 1 K erwärmt wird: Ri = cp – cv (cp spezifische Wärmekapazität bei p = konstant, cv bei V = konstant, 

Werte in 6.11) 

Ri = R 

M molare Masse oder stoffmengenbezogene Masse (siehe 6.24) 

M 

J 

R = 8315 

kmolK 

R ist von der chemischen Beschaffenheit eines Gases unabhängig 

V mn = 

3 

m 

22,415 kmol (bei 0 ºC und 101325 Pa; 1 Pa = 1 N/m 2 ) 

� 0 ist (unabhängig von der Gasart) das von 1 kmol eingenommene 

Volumen beim physikalischen Normzustand (6.1) 

c v = κ 

c p = κ 

1 

1 R 

− 

κ 1 R 

− 

R i = c p – c v 

U = m c v �T 

u = c v �T 

u = U 

m 

�u = u 2 – u 1 = c v (t 2 – t 1) 

i 

i 

J 

kgK 

c v, c p 

�� R i 

1 

1 NM = 1 J = 1 Ws 

J 

kg K 

Verhältnis � = c p / c v (6.24) 

m U u c v �T,�t 1,�t 2� 

kg J 

J 

kg 

J 

kg K 

K

äußere Arbeit W 

(absolute) eines 

Gases (Volumenänderungsarbeit) 

technische Arbeit W t 

(Druckänderungsarbeit) 

Enthalpie H 

spezifische 

Enthalpie h 

Änderung der 

spezifischen 

Enthalpie �h 

6.5 Gleichungen 

für Zustandsänderungen 

und Carnot'scher 

Kreisprozess 

Thermodynamik 

Gleichungen für Zustandsänderungen und Carnot'scher Kreisprozess 

W = 

ν2 ν2 

∆W = p∆ 

∑ ∑ 

ν1 ν1 

p2 Wt = ∑ 

p2 

t = ∑ν 

p1 p1 

ν 

∆W ∆p 

W, W t p �� 

J 

kg 

H = m c p �T 

h = c p �T 

N 

2 

m 

= Pa 

�h = h 2 – h 1 = c p (t 2 – t 1) 


3 

m 

kg 

Isochore (isovolume) Zustandsänderung 

Das Gasvolumen � bleibt 

während der Zustandsänderung 

konstant 

(� = konstant); damit ist 

auch p / T = konstant: 

p1 p2 

= = konstant 

T1 T2 

H h m c p �T, t 1, t 2 

J 

J 

kg 

kg 

J 

kg K 

q(u) c T h �� 

J 

kg 

J 

kg K 

K 

J 

kg 

s W �� p 

J 

kg K 

J 

kg 

o 

p1 T1 

273 + ϑ1 

= = 

o 

p2 T2 273 + ϑ2 

cp, cv nach 6.11 

� � nach 6.24 

3 

m 

kg 

N 

2 

m 

K 

1 

= Pa 

167 

6

6 

Thermodynamik 


zu- oder abgeführte 

Wärme �q 

Änderung der inneren 

Energie �u 

Änderung der 


Änderung der 

Entropie �s 


(äußere Arbeit W = 0) 


Wärme �q 


Energie �u 

Änderung der 


Änderung der 

Entropie �s 


(technische Arbeit 

W t = 0) 

168 

R i 

∆q 

= cv( T2 − T1) = ( T2 −T1) 

κ −1 

R i 

∆u 

= cv( T2 − T1) = ( T2 −T1) 

κ −1 

∆h= 

cp( T2 −T1) 

2 

= v ln 

1 

T 

∆s 

c 

T 

W = ν( p − p ) = ( κ−1) 

∆u 

t 1 2 

Isobare Zustandsänderung 

Der Gasdruck p bleibt während 

der Zustandsänderung 

konstant (p = konstant); damit 

ist auch � / T = konstant: 

ν1 ν2 

= = konstant 

T T 

1 2 

ν T 273 K + t V 

= = = 

ν T 273 K + t V 

1 1 1 1 

2 2 2 2 

κ 

∆q 

= cp( T2 − T1) = Ri( T2 −T1) 

κ −1 

∆u 

= c ( T −T 

) 

v 2 1 

∆h= 

cp( T2 −T1) 

2 

= p ln 

1 

T 

∆s 

c 

T 

κ −1 

W = p( ν2− ν1) 

= ∆q 

κ 

q(u) c T h �� 

J 

kg 

J 

kgK 

K 

J 

kg 

s W �� p 

J 

kg K 

J 

kg 

c p, c v nach 6.11 

� � nach 6.24 

3 

m 

kg 

N 

m2 

1 

= Pa


Wärme �q 

Änderung der 

Entropie �s 


(technische Arbeit 

W t = �q) 


Energie �u (� | äußere 

Arbeit W |) 

Thermodynamik 


Isotherme Zustandsänderung 

Die Temperatur T bleibt während 

der Zustandsänderung konstant 

(T = konstant); damit ist auch 

p� = konstant: 

p1 ��1 = p2 � 2 = konstant 

p1 

ν2 

p 2 ν1 

= 

ν2 

= i ln = i ln 

ν 

p 

∆q 

RT RT 

p 

1 

1 2 

Änderung der inneren Energie �u = 0 

ebenso Änderung der Enthalpie �h = 0 

ν2 

= iln = iln 

ν 

p 

∆s 

R R 

p 

1 

1 2 

ν1 

= t = = i ln = i ln 

ν 

p 

W W ∆q 

RT RT 

p 

2 

2 1 

Adiabate (isentrope) Zustandsänderung 

Während der Zustandsänderung wird Wärme 

weder zu- noch abgeführt (�q = 0, also auch 

�s = 0); damit wird p�� κ = konstant: 

κ κ 

p1ν1 = p 2ν2 

= konstant 

κ κ/ κ−1 

p ⎛ν⎞ ⎛ ⎞ 

1 2 T1 

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

p2 ⎝ν1⎠ ⎝T2⎠ κ−1 κ−1/ κ 

T ⎛ν⎞ ⎛ ⎞ 

1 2 p1 

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

T2 ⎝ν1⎠ ⎝p2⎠ ��u = c v (T 2 – T 1) 

Einheiten siehe 6.5 

(isochore Zustandsänderung) 


(isochore Zustandsänderung) 

169 

6

6 

Thermodynamik 


Änderung der 


Änderung der 

Entropie �s 


(� | �u |) 


(� | �h |) 


Wärme �q 


Energie �u 

Änderung der 


170 

κ 

�h = cp( T2 − T1) = p1ν1 − 

κ −1 

2 T 

1 

T 

�h = 

�s = 0 

1 

⎡ κ−1/ κ ⎤ ⎡ κ−1 

κ ⎛ ⎞ ⎤ 

κ ⎛ν⎞ ν⎢ p 2 ⎜ ⎟ − ⎥= ν⎢ 

1 

p ⎜ ⎟ − ⎥ 

1 1 1 p1 

1 1 

−1 ⎢ 

⎣⎝p1⎠ ⎥ 

⎦ −1 

⎢ 

⎣⎝ 2⎠ 

⎥ 

⎦ 

κ κ ν 

1 

p ν ⎛ ⎞ 

1 1 T2 

W = cv( T1− T2) = ( p1ν1− p2ν2) 

= ⎜1− ⎟ 

κ−1 κ−1⎝ 

T1 

⎠ 

W = 

⎡ κ−1/ κ⎤ ⎡ κ−1⎤ 

p ν ⎛ ⎞ ν ⎛ν ⎞ 

1 1⎢ p2 − ⎜ ⎟ ⎥ 

p1 

1 

= ⎢ 1 

1 1−⎜ 

⎟ ⎥ 

κ−1⎢ ⎣ ⎝p1⎠ ⎥ 

⎦ κ−1⎢ ⎣ ⎝ν2⎠ ⎥ 

⎦ 

κ κ ⎛ T ⎞ 

2 

Wt = cp( T1− T2) = ( p1ν1− p2ν2) = p1ν1⎜1− 

⎟ 

κ−1 κ−1 

⎝ T1 

⎠ 

⎡ κ−1/ κ κ 

κ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ −1 

κ 

ν 

⎤ 

Wt = κ ν⎢ p2 

⎥ 

⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ ν⎢ 

1 

A= p − = −⎜ 

⎟ ⎥ 

1 1 1 

κ− ⎢ ⎜ ⎟ 

p 

⎝ ⎠ 

⎥ 1 1 1 

1 p 

κ− ⎢ 

⎣ ⎝ν ⎠ ⎥ 

⎣ 1 1 

⎦ 

2 ⎦ 

Polytrope Zustandsänderung 

Allgemeinste Zustandsänderung nach 

dem Gesetz p�� n = konstant. 

Die anderen Zustandsänderungen sind 

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung. 

Exponent n kann von – � 

bis �� variieren. 

n n 

1 1 2 2 

p ν = p ν = konstant 

p ⎛ν⎞ ⎛ ⎞ 

1 2 T1 

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

p ⎝ν⎠ ⎝T ⎠ 

n 

2 1 2 

n−1 

n 

n−1 

T ⎛ν⎞ ⎛ ⎞ 

1 2 p1 

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 

T ⎝ν⎠ ⎝p ⎠ 

2 1 2 

n−1 

n 

n − κ 

∆q 

= cv ( T2 −T1) 

n −1 

∆u 

= cv( T2 −T1) 

wie bei adiabater Zustandsänderung, 

wenn für � der Exponent n 

eingesetzt wird 


(isochore Zustandsänderung)

Änderung der 

Entropie �s 

äußere Arbeit W und 


Kreisprozessarbeit W 

thermischer 

Wirkungsgrad � th 

6.6 Gleichungen für 

Gasgemische 

Gesetz von Dalton 

Gesamtdruck p g 

Gesamtmasse m g 

Gesamtvolumen V g 

(bei n Einzelgasen) 

des Gemisches 

Gaskonstante R g 

des Gemisches 

(6.24) 

n − κ T2 

�s = cv ln 

n−1T1 Thermodynamik 

Gleichungen für Gasgemische 

wie bei adiabater Zustandsänderung, wenn für � der Exponent n 

eingesetzt wird 

Carnot'scher Kreisprozess 

1 – 2 isotherme Kompression 

2 – 3 adiabate Kompression 

3 – 4 isotherme Expansion 

4 – 1 adiabate Expansion 

1 

W = i( u − o)ln 

2 

p 

R T T 

p 

�th = − u 

1 

o 

T 

T 

Gleichungen für Gasgemische 

Nach Dalton nimmt jeder Gemischpartner das gesamte zur Verfügung 

stehende Gemischvolumen ein, als ob die anderen Partner nicht vorhanden 

wären. 

Daher steht jedes Einzelgas unter einem Teildruck (Partialdruck). Die 

Summe aller Partialdrücke ergibt den Gesamtdruck 

p g = p 1 � p 2 � ... p n 

m g = m 1 � m 2 � ... m n 

V g = V 1 � V 2 � ... V n 

Rg = � + � + � 

N 

mR 1 1 m2R2 ... mR n n Pa = 

2 m 

mn 

m� n= 

Massenanteil ∑m� 

= 1 

mg 

Vn 

rn= Raumanteil ∑r 

= 1 

Vg 

p m V m� n, rn 

kg m 3 Einheit Eins 

(Verhältnisgrößen) 

171 

6

6 

Thermodynamik 

Spezifisches Normvolumen � n und Dichte r n (0 °C und 101325 N/m 2 ) 

Partialdruck p n 

des Gemisches 

spezifische Wärmekapazität 

c pg des 

Gemisches 

Dichte r g des 

Gemisches 

Temperatur t g des 

Gemisches 

172 

6.7 Temperatur- 

Umrechnungen 

t in Grad Celsius (°C) : 

t F in Grad Fahrenheit (°F): 

T in Grad Kelvin (K): 

T R in Grad Rankine (°R): 

6.8 Temperatur- 

Fixpunkte 

6.9 Spezifisches 

Normvolumen � n 

und Dichte r n (0 °C 

und 101325 N/m 2 ) 

R 

pn = m� n 

n pg � rnpg Rg 

� � � 

cpg = mc 1 p1 � m2cp2 �... 

mc n pn 

� � � 

cvg = mc 1 v1 � m2cv2 �... 

mc n vn 

r g = r 1 r 1 � r 2 r 2 � ... r n r n 

siehe 6.1 

5 5 

t = ( tF �32) �T �273,15 � ( TR 

� 491,67) 

9 9 

t F = 1,8 t � 32 = 1,8 T – 459,67 = T R – 459,67 

5 5 

t �273,15 � t �255,37 � T 

9 9 

T = F R 

T R = 1,8 t � 491,67 = t F � 459,67 = 1,8 T 

Sauerstoff (Siedepunkt) – 182,97 °C 

Wasser (Tripelpunkt) 0,01 °C 

Wasser (Siedepunkt) 100,00 °C 

Schwefel (Siedepunkt) 444,60 °C 

Silber (Schmelzpunkt) 960,80 °C 

Gold (Schmelzpunkt) 1063,00 °C 

Gasart 

Kohlendioxid 

Kohlenoxid 

Luft 

Methan 

Sauerstoff 

Stickstoff 

Wasserdampf 

Wasserstoff 

chemisches 

Kurzzeichen 

CO 2 

CO 

– 

CH 4 

O 2 

N 2 

H 2O 

H 2 

c p1 ..., c v1 ... sind die spezifischen 

Wärmekapazitäten 

der Einzelgase (6.11) 

r 1 ...Dichten der Einzelgase 

(6.24) 

� n in 

3 

m 

kg 

0,506 

0,800 

0,774 

1,396 

0,700 

0,799 

1,243 

11,111 

kg 

rn in 

3 m 

1,977 

1,250 

1,293 

0,717 

1,429 

1,251 

0,804 

0,090

Thermodynamik 

Schmelzenthalpie q s fester Stoffe in J / kg bei p = 101325 N/m 2 

6.10 Mittlere spezifische Wärmekapazität c m fester und flüssiger Stoffe zwischen 

0 °C und 100 °C in J / (kg K) 

Aluminium 896 Kork 2010 Steinzeug 773 

Beton 1005 Kupfer 390 Ziegelstein 920 

Blei 130 Marmor 870 Alkohol 2430 

Eichenholz 2390 Messing 386 Ammoniak 4187 

Eis 2050 Nickel 444 Aceton 2300 

Eisen (Stahl) 450 Platin 134 Benzol 1840 

Fichtenholz 2720 Quarzglas 725 Glycerin 2430 

Glas 796 Quecksilber 138 Maschinenöl 1675 

Graphit 870 Sandstein 920 Petroleum 2093 

Gusseisen 540 Schamotte 796 Schwefelsäure 1380 

Kieselgur 870 Silber 234 Wasser 4187 

6.11 Mittlere spezifische Wärmekapazität c p, c � in J / (kg K) nach Justi und Lüder 

ϑ in ºC CO CO 2 Luft CH 4 O 2 N 2 H 2 O H 2 

0 cp 

c � 

100 cp 

c � 

200 cp 

c � 

300 cp 

c � 

400 cp 

c � 

500 cp 

c � 

600 cp 

c � 

700 cp 

c �� 

800 cp 

c � 

900 cp 

c � 

1000 cp 

c � 

1038,13 

740,92 

1042,31 

745,11 

1046,50 

749,29 

1054,87 

757,67 

1063,24 

766,04 

1075,80 

778,60 

1088,36 

791,15 

1096,73 

799,53 

1109,30 

812,08 

1121,85 

824,64 

1130,22 

833,01 

707,43 

519,06 

870,69 

682,32 

916,73 

728,36 

958,59 

770,22 

987,90 

799,53 

1021,38 

833,01 

1050,69 

862,31 

1071,62 

883,25 

1092,55 

904,18 

1113,48 

925,11 

1130,22 

941,85 

1004,64 

715,81 

1008,83 

719,99 

1013,01 

724,18 

1021,38 

732,55 

1029,76 

740,92 

1042,31 

753,48 

1050,69 

761,85 

1059,06 

770,22 

1071,62 

782,78 

1084,17 

795,34 

1092,55 

803,71 

2155,79 

1636,73 

2260,44 

1741,38 

2453,00 

1933,93 

2637,18 

2118,12 

2808,81 

2289,74 

2955,32 

2436,25 

3147,87 

2628,81 

3302,57 

7283,69 

3436,71 

2917,64 

3570,66 

3051,59 

3658,56 

3139,50 

912,55 

653,02 

920,92 

661,39 

933,48 

673,95 

950,22 

690,69 

966,97 

707,43 

979,52 

719,99 

992,08 

732,55 

1004,64 

745,11 

1017,20 

757,67 

1025,57 

766,04 

1033,94 

744,41 

1038,13 

740,92 

1042,31 

745,11 

1046,50 

749,29 

1050,69 

753,48 

1059,06 

761,85 

1074,43 

770,22 

1075,82 

778,60 

1084,17 

786,97 

1096,73 

799,53 

1105,10 

807,90 

1117,66 

820,46 

6.12 Schmelzenthalpie q s fester Stoffe in J / kg bei p = 101325 N/m 2 

1854,40 

1393,94 

1866,96 

1406,50 

1887,89 

1427,43 

1908,82 

1448,36 

1938,12 

1477,66 

1971,61 

1511,15 

2000,91 

1540,45 

2030,21 

1569,75 

2067,88 

1607,42 

2101,37 

1640,91 

2134,86 

1674,40 

14 232,40 

10 109,19 

14 316,12 

10 192,91 

14 399,84 

10 276,63 

14 441,70 

1946,49 

14 483,56 

10 360,35 

14 483,56 

10 360,35 

14 525,42 

10 402,21 

14 567,28 

10 444,07 

14 651,00 

10 527,79 

14 692,86 

10 569,65 

14 734,72 

10 611,51 

Aluminium 3,9 · 10 5 Grauguss 0,96 · 10 5 Nickel 2,3 · 10 5 Zink 1,1 · 10 5 

Blei 0,23 · 10 5 Kupfer 1,7 · 10 5 Platin 1,0 · 10 5 Zinn 0,6 · 10 5 

Eis 3,4 · 10 5 Magnesium 2,0 · 10 5 Stahl 2,5 · 10 5 

173 

6

6 

Thermodynamik 

Volumenausdehnungskoeffizient � V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C 

174 

6.13 Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie q v in J / kg bei 101325 N/m 2 

Alkohol 8,7 · 10 5 

Benzol 4,4 · 10 5 

Quecksilber 2,85 · 10 5 

Sauerstoff 2,14 · 10 5 

6.14 Schmelzpunkt fester Stoffe in °C bei p = 101325 N/m 2 

Aluminium 658 

Blei 327 

Chrom 1765 

Diamant 3500 

Eisen (rein) 1528 

Elektron 625 

Gold 1063 

Graphit 3600 

Iridium 2455 

Kupfer 1084 

Magnesium 655 

Mangan 1260 

Stickstoff 2,01 · 10 5 

Wasser 22,5 · 10 5 

Wasserstoff 5,0 · 10 5 

Messing 900 

Platin 1770 

Silber 960 

Wolfram 3350 

Zink 419 

Zinn 232 

6.15 Siede- und Kondensationspunkt einiger Stoffe in °C bei p = 101325 N/m 2 

Alkohol 78 

Benzin 95 

Benzol 80 

Blei 1525 

Eisen (rein) 2500 

Glycerin 290 

Gold 2650 

Helium – 269 

Kohlenoxid – 190 

Kupfer 2310 

Magnesium 1100 

Mangan 1900 

Methan – 164 

Quecksilber 357 

Sauerstoff – 183 

Silber 2000 

Stickstoff – 196 

Wasser 100 

Wasserstoff – 253 

Zink 915 

Zinn 2200 

6.16 Längenausdehnungskoeffizient � l fester Stoffe in 1/K zwischen 0 °C und 100 °C 

(Volumenausdehnungskoeffizient � V � 3 � l) 

Aluminium 23,5 · 10 –6 

Baustahl 12,0 · 10 –6 

Blei 92,2 · 10 –6 

Bronze 17,5 · 10 –6 

Chromstahl 11,0 · 10 –6 

Glas 9,0 · 10 –6 

Gold 14,2 · 10 –6 

Gusseisen 9,0 · 10 –6 

Invarstahl 1,6 · 10 –6 

Jenaer Glas 4,5 · 10 –6 

Kunststoffe (10 – 50) · 10 –6 

Kupfer 16,5 · 10 –6 

Magnesium 26,0 · 10 –6 

Messing 18,4 · 10 –6 

Nickel 14,1 · 10 –6 

Platin 8,9 · 10 –6 

Porzellan 3,0 · 10 –6 

PVC 78,1 · 10 –6 

Quarzglas 0,6 · 10 –6 

Widia 5,3 · 10 –6 

Wolfram 4,5 · 10 –6 

Zinn 23,0 · 10 –6 

Zinnbronze 17,8 · 10 –6 

Zink 30,1 · 10 –6 

6.17 Volumenausdehnungskoeffizient � V von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C 

Äthylalkohol 11,0 · 10 –4 

Äthyläther 16,3 · 10 –4 

Benzol 12,4 · 10 –4 

Glycerin 5,0 · 10 –4 

Olivenöl 7,2 · 10 –4 

Quecksilber 1,8 · 10 –4 

Schwefelsäure 5,6 · 10 –4 

Wasser 1,8 · 10 –4

Thermodynamik 

Wärme-Übergangszahlen � für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen 

6.18 Wärmeleitzahlen � fester Stoffe bei 20 °C in 10 3 

Aluminium 754 (209) 

Asbestwolle 0,3 (0,08) 

Asphalt 2,5 (0,69) 

Bakelit 0,8 (0,22) 

Beton 4,6 (1,28) 

Blei 126 (35) 

Duraluminium 628 (174) 

Eichenholz, radial 0,6 (0,17) 

Eis bei 0 °C 8,1 (2,25) 

Eisenzunder (1000 °C) 5,9 (1,64) 

Fensterglas 4,2 (1,17) 

Fichtenholz, axial 0,84 (0,23) 

–, radial 0,42 (0,12) 

Gips, trocken 1) 1,5 (0,42) 

Gold 1120 (310) 

Graphit 500 (140) 

Hartgummi 0,6 (0,17) 

1) Mittelwerte 

Kesselstein, amorph 1) 4 

–, gipsreich 1) 5,5 

–, kalreich 1) 1,8 

Kies 1,3 

Kohle, amorph 0,63 

–, graphitisch 4,2 

Korkplatten 0,17 

Kupfer 1360 

Leder 0,6 

Linoleum 0,67 

Magnesium 510 

Marmor 10,5 

Messing 376 

Mörtel und Putz 3,4 

Nickel 293 

Nickelstahl (30% Ni) 42 

Porzellan 1) 4,5 

J 

W 


mhK mK 

(1,1) 

(1,53) 

(0,5) 

(0,36) 

(0,17) 

(1,17) 

(0,05) 

(380) 

(0,17) 

(0,19) 

(142) 

(2,92) 

(104) 

(0,94) 

(81) 

(11,7) 

(1,3) 

Quarzglas 

Ruß 

Sandstein 

Schamottestein 1) 

–, (1000 °C) 

Schaumgummi 1) 

Schnee 1) 

Silber 

Stahl (0,1 % C) 

– (0,6 %C) 

– (V 2 A) 

Ziegelmauer, außen 

–, innen 

Zink 

Zinn 

6.19 Wärmeleitzahlen � von Flüssigkeiten bei 20 °C in J 

W 


mhK mK 

Ammoniak 1 800 (0,5) 

Äthylalkohol 700 (0,19) 

Aceton 600 (0,17) 

Benzin 500 (0,14) 

Glycerin 1 000 (0,28) 

– mit 50% Wasser 1 500 (0,42) 

Paraffinöl 460 (0,13) 

Quecksilber 33 000 (9,2) 

5,0 

0,17 

6,7 

3 

3,6 

0,2 

0,5 

1500 

193 

150 

54 

3,1 

2,5 

406 

239 

(1,39) 

(0,8) 

(1,0) 

(0,06) 

(0,14) 

(420) 

(54) 

(42) 

(15) 

(0,86) 

(0,7) 

(113) 

(66) 

Spindelöl 500 (0,14) 

Transformatorenöl 460 (0,13) 

Wasser 2 200 (0,61) 

Xylol 470 (0,13) 

6.20 Wärmeleitzahlen � von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur 

(Ungefährwerte) in 

J 

mhK 

Klammerwerte in W 

mK 

0 °C 200 °C 400 °C 600 °C 800 °C 1000 °C 

Luft 84 (0,023) 47 (0,013) 188 (0,052) 222 (0,062) 251 (0,07) 281 (0,078) 

Wasserdampf 63 (0,017) 117 (0,032) 197 (0,055) 293 (0,081) 

Argon 59 (0,016) 92 (0,026) 126 (0,035) 155 (0,043) 184 (0,05) 209 (0,058) 

6.21 Wärme-Übergangszahlen � für Dampferzeuger bei normalen Betriebsbedingungen 

(Mittelwerte) 

Verdampfer 

Überhitzer 

Lufterhitzer 

Wasservorwärmer 

in 

J 

m2hK � 1 = (83 ... 209) · 10 3 

� 2 = (210 ... 420) · 10 6 

� 1 = (125 ... 209) · 10 3 

� 1 = (42 ... 83) · 10 3 

� 1 = (63 ... 126) · 10 3 

� 2 = (210 ... 330) · 10 6 

zwischen Feuergas und Wand 

zwischen Wand und Wasser 

zwischen Rohrwand und Feuergas oder Dampf 

zwischen Blechwand und Luft oder Feuergas 

zwischen Feuergas und Rohrwand 

zwischen Rohrwand und Wasser 

in 

W 

m2K 23 ... 58 

(58 ... 117) · 10 3 

35 ... 58 

12 ... 23 

17 ... 35 

(58 ... 92) · 10 3 

175 

6

6 

Thermodynamik 

Spezifische Gaskonstante R i, Dichte r und Verhältnis � = cp / c� einiger Gase 

176 

6.22 Wärmedurchgangszahlen k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte) 

in 

J 

m2hK (42 ... 126) · 10 3 

(83 ... 209) · 10 3 

(83 ... 251) · 10 3 

(33 ... 63) · 10 3 

für Wasservorwärmer 

für Verdampferheizfläche 

für Berührungsüberhitzer 

für Plattenlufterhitzer 

in 

W 

m2K 11,7 ... 35 

23 ... 58 

23 ... 70 

9,2 ... 17,5 

6.23 Emissionsverhältnis � und Strahlungszahl C bei 20 °C 

absolut schwarzer Körper 

Aluminium, unbehandelt 

–, poliert 

Glas 

Gusseisen, ohne Gusshaut 

Kupfer, poliert 

Messing, poliert 

Öle 

Porzellan, glasiert 

Stahl, poliert 

Stahlblech, verzinkt 

–, verzinnt 

Dachpappe 

�� 

1 

0,07 ... 0,09 

0,04 

0,93 

0,42 

0,045 

0,05 

0,82 

0,92 

0,28 

0,23 

0,06 ... 0,08 

0,91 

C in 

J 

m2hK4 20,8 · 10 –5 

(1,47 ... 1,88) · 10 –5 

0,796 · 10 –5 

19,3 · 10 –5 

8,8 · 10 –5 

0,92 · 10 –5 

1,05 · 10 –5 

16,96 · 10 –5 

19,17 · 10 –5 

5,86 · 10 –5 

4,69 · 10 –5 

(1,3 ... 1,7) · 10 –5 

18,92 · 10 –5 

6.24 Spezifische Gaskonstante Ri, Dichte r und Verhältnis � = p c 

cν J 

Gasart Atomzahl Ri 

in 

kg K 

Argon (Ar) 

Acetylen(C 2H 2) 

Ammoniak (NH 3) 

Helium (He) 

Kohlendioxid (CO 2) 

Kohlenoxid (CO) 

Luft 

Methan (CH 4) 

Sauerstoff (O 2) 

Stickstoff (N 2) 

Wasserdampf (H 2O) 

Wasserstoff (H 2) 

1 

4 

4 

1 

3 

2 

– 

5 

2 

2 

3 

2 

208 

320 

488 

2 078 

189 

297 

287 

519 

260 

297 

462 

4 158 

kg 1) r in �� 

m3 

1,7821 

1,1607 

0,7598 

0,1786 

1,9634 

1,2495 

1,2922 

0,7152 

1,4276 

1,2499 

– 

0,0899 

C in 

W 

m2K4 5,78 · 10 –8 

(0,41 ... 0,52) · 10 –8 

0,22 · 10 –8 

5,36 · 10 –8 

2,44 · 10 –8 

0,26 · 10 –8 

0,29 · 10 –8 

4,71 · 10 –8 

5,32 · 10 –8 

1,63 · 10 –8 

1,30 · 10 –8 

(0,36 ... 0,47) · 10 –8 

1,66 

1,26 

1,31 

1,66 

1,30 

1,40 

1,40 

1,32 

1,31 

1,40 

1,40 

1,41 

5,26 · 10 –8 

einiger Gase 

1) N 

Die Werte gelten für die Temperatur von 0 °C und für einen Druck von 101325 = 1,01325 bar. 

2 

m 

molare Masse M 

in kg 

kmol 

(gerundet) 

40 

26 

17 

4 

44 

28 

– 

16 

32 

28 

18 

2

7.1 Freimachen der Bauteile 

Alle am freizumachenden Körper K angreifenden 

Bauteile B 1, B 2, B 3 ... gedanklich nacheinander 

wegnehmen und deren Aktionskräfte F 1, F 2, F 3 ... an K 

antragen. Gewichtskraft F G des Körpers K wirkt immer 

lotrecht nach unten und greift im Schwerpunkt S an. 

Angreifende Bauteile in diesem Sinn sind auch Gase, 

Flüssigkeiten usw. F R ist die Reibkraft. 

Seile, Ketten, Bänder, Riemen übertragen nur Zugkräfte 

in Richtung ihrer Schwerachse. 

Zweigelenkstäbe (Pendelstützen) übertragen ohne 

Rücksicht darauf, ob die Stäbe gerade oder gekrümmt 

sind, nur Zug- oder Druckkräfte (Axialkräfte), deren 

Wirklinie durch beide Gelenkpunkte verläuft. Dies gilt 

jedoch nur dann exakt, wenn das Eigengewicht 

vernachlässigt wird. 

Stützflächen, auch gekrümmte, übertragen je eine 

Normalkraft F N und eine Tangentialkraft (Reibkraft) F R. 

F N wirkt immer normal zur Auflagefläche. Bei gekrümmten 

Flächen geht die Wirklinie (WL) von F N 

durch den Krümmungsmittelpunkt T. Bei ebenen 

Flächen liegt dieser im Unendlichen. F R versucht den 

langsameren Körper zu beschleunigen, den schnelleren 

zu verlangsamen. F N und F R stehen immer 

rechtwinklig aufeinander. 

Rollen, Kugeln haben gekrümmte Stützflächen mit 

Krümmungsradius = Kreisradius. Normalkraft F N geht 

durch Berührungspunkt und Kreismittelpunkt, WL der 

Reibkraft ist Kreistangente. 

Mechanik fester Körper 

Freimachen der Bauteile 

177 

7

7 


Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr 

178 

7.2 Zeichnerische Bestimmung der Resultierenden F r 

(zeichnerische Ersatzaufgabe) 

Beim zentralen ebenen Kräftesystem: 

Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstabgerecht aneinanderreihen, 

so dass sich fortlaufender Kräftezug 

ergibt. 

F r ist Verbindungslinie vom Anfangspunkt A der zuerst 

gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten 

Kraft. 

Beim zentralen räumlichen Kräftesystem: 

Nach den Gesetzen der darstellenden Geometrie 

Kraftecke im Grund- und Aufriss zeichnen, daraus 

wahre Größe und wahre Winkel bestimmen. 

Beim allgemeinen ebenen Kräftesystem: 

Bei schrägen Kräften durch wiederholte Parallelogrammzeichnung 

: F 1 und F 2 auf WL verschieben und 

zum Schnitt bringen ergibt F r1,2, diese mit F 3 zum 

Schnitt bringen ergibt WL von F r. 

Bei parallelen oder annähernd parallelen Kräften durch 

Seileckverfahren. Kräfteplan der gegebenen Kräfte 

durch Parallelverschiebung der WL aus dem Lageplan 

in den Kräfteplan; F r als Verbindungslinie vom Anfangspunkt 

Azum Endpunkt E des Kräftezugs; Polpunkt 

P beliebig wählen und Polstrahlen ziehen; durch 

Parallelverschiebung in den Lageplan Seilstrahlen 

zeichnen; Anfangs- und Endseilstrahl zum Schnitt S 

bringen, womit ein Punkt der WL von F r gefunden ist. 

Beim allgemeinen räumlichen Kräftesystem: 

Besser die rechnerische Lösung anwenden. 

7.3 Rechnerische Bestimmung der Resultierenden F r 

(rechnerische Ersatzaufgabe) 


Zwei Kräfte, die den Winkel � einschließen, haben die 

Resultierende 

2 2 

Fr = F1 + F2 + 2F1F2cosα sin � = 

F1sinα F1sinα 

; β = arcsin 

F F 

r r


Rechnerische Bestimmung der Resultierenden Fr 

Besonders bei mehreren Kräften bestimmt man die Resultierende F r durch Zerlegen aller gegebenen 

Kräfte in Komponenten F nx = F n · cos � n; F ny = F n · sin � n (Buchstabe „n“ steht für Zahlen 1, 2, 3 ...) 

nach Lageskizze. 

Teilresultierende F rx und F ry berechnen aus: 

F rx = F 1x � F 2x � F 3x � ... F nx = � F nx 

F ry = F 1y � F 2y � F 3y � ... F ny = � F ny 

Gesamtresultierende: 

Fr = F 2+ 2 

rx Fry 

deren Winkel zur positiven x-Achse (Richtungswinkel): 

Fry Fry 

tan �r = α r = arctan 

Frx Frx 


Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem, mit 

zusätzlich dritter (z-)Richtung: 

Fnx = Fn cos �n Fny = Fn cos �n Frx = � Fn cos �n Fry = � Fn cos �n 2 2 2 

rx ry rz 

Fr = F + F + F 

F nz = F n cos � n 

F rz = � F n cos � n 

F F F 

� r = arccos βr = arccos γr 

= arccos 

F F F 

rx ry rz 

r r r 


Betrag und Richtung der Resultierenden F r wie beim 

zentralen ebenen Kräftesystem, zusätzlich Lage von F r 

durch den 

Momentensatz 

Wirken mehrere Kräfte drehend auf einen Körper, so 

ist die algebraische Summe ihrer Momente gleich dem 

Moment der Resultierenden in Bezug auf den gleichen 

Drehpunkt. 

F r l 0 = F 1 l 1 � F 2 l 2 � ...� F n l n 

F 1, F 2 ... F n gegebene Kräfte oder deren Komponenten F x, F y 

l 0, l 1, l 2, ... l n deren Wirkabstände (�) vom gewählten (beliebigen) Drehpunkt 

F 1 l 1, F 2 l 2 ... F n l n die statischen Momente der gegebenen Kräfte in Bezug 

auf den gewählten Drehpunkt (Vorzeichen beachten) 

179 

7

7 


Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte 

180 

7.4 Zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte 

(zeichnerische Gleichgewichtsaufgabe) 


Das Krafteck muss sich schließen. 

Gegebene Kräfte in beliebiger Reihenfolge maßstäblich 

aneinanderreihen; gesuchte Gleichgewichtskraft 

F g (oder zwei Kräfte F g1, F g2) bekannter Wirklinie 

schließen das Krafteck. 


Räumliches Krafteck muss sich schließen. Nach den 

Gesetzen der darstellenden Geometrie Kraftecke im 

Grund- und Aufriss konstruieren. 


Kraft- und Seileck müssen sich schließen. Oder je 

nach Anzahl der beteiligten Kräfte: 

Zwei-Kräfteverfahren 

Zwei Kräfte stehen im Gleichgewicht, wenn sie gleichen 

Betrag und Wirklinie, jedoch entgegengesetzten 

Richtungssinn haben. 

Drei-Kräfteverfahren 

Drei nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn 

das Krafteck geschlossen ist und die Wirklinien sich in 

einem Punkt schneiden. WL der gegebenen Kraft F 1 

mit der bekannten WL der gesuchten Kraft schneiden 

lassen. Verbindungslinie vom Schnittpunkt S mit dem 

Angriffspunkt der gesuchten Kraft F 3 ist deren WL. 

Kräfteplan mit gegebener Kraft F 1 beginnen und mit F 2 

und F 3 schließen. Zweiwertige Lager können eine 

beliebig gerichtete Lagerkraft aufnehmen (F 3), also 

zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten 

(F 3x und F 3y). 

Vier-Kräfteverfahren 

Vier nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn 

die Resultierenden je zweier Kräfte ein geschlossenes 

Krafteck bilden und eine gemeinsame Wirklinie haben 

(die Culmann'sche Gerade). 

WL je zweier Kräfte zum Schnitt I und II bringen; 

Kräfteplan mit der bekannten Kraft beginnen; dann mit 

Culmann'scher Geraden und den WL der anderen 

Kräfte schließen. Voraussetzung: Alle WL sind bekannt.

Schlusslinien-Verfahren 

Kraft- und Seileck müssen sich schließen. Geeignet 

für parallele oder nahezu parallele Kräfte, die sich 

nicht auf der Zeichenebene zum Schnitt bringen 

lassen. 

Krafteck und Seileck zeichnen, dabei ersten Seilstrahl 

(0) durch zweiwertigen Lagerpunkt legen und 

Endseilstrahl (3) mit der WL der einwertigen Stützkraft 

zum Schnitt bringen, ergibt „Schlusslinie S“ im 

Seileck, die im Krafteck (übertragen) Teilpunkt T 

festlegt. Stützkräfte nach zugehörigen Seilstrahlen 

ins Krafteck einzeichnen. 

7.5 Rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte 

(rechnerische Gleichgewichtsaufgabe) 



Fachwerke 

Zerlegen aller gegebenen und gesuchten Kräfte (diese mit angenommenem Richtungssinn) in ihre 

Komponenten in x- und y-Richtung mit 

Fnx = Fn cos �n berechnen. 

F ny = F n sin � n 

Algebraische Summe aller Komponentenbeträge muss null sein. Damit stehen zwei Gleichungen zur 

Verfügung: 

� F x = 0 = F 1x � F 2x � ... F nx 


� F y = 0 = F 1y � F 2y � ... F ny 

Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem, zusätzlich einer dritten Richtung (z-Achse) und damit auch 

die dritte Gleichung: 

� F z = 0 = F 1z � F 2z � ... F nz 


Wie beim zentralen ebenen Kräftesystem; zusätzlich muss die Summe aller Momente der Komponenten 

um einen beliebigen Drehpunkt D null sein; damit stehen bei diesem hauptsächlichen Fall drei 

Gleichungen zur Verfügung: 

��F x = 0 � F y = 0 � M (D) = 0 

Beim allgemeinen räumlichen Kräftesystem: 

Es stehen drei Kräfte- und drei Momentgleichungen zur Verfügung. 

7.6 Fachwerke 

Jeder Knotenpunkt stellt ein zentrales Kräftesystem dar. 

s Anzahl der Stäbe, k Anzahl der Knoten. 

Bei s = 2 k – 3 ist ein Fachwerk innerlich statisch bestimmt, bei s � 2 k – 3 ist es innerlich statisch 

unbestimmt, bei s � 2 k – 3 ist es kinematisch unbestimmt (beweglich). 

181 

7

7 


Schwerpunkt 

182 

7.7 Schwerpunkt 

Dreiecksumfang 

Dreieckseiten halbieren, Mittelpunkte A, B, C verbinden. 

S ist Mittelpunkt des dem Dreieck A, B, C einbeschriebenen 

Kreises. 

h a � b 

y0 

� � 

2 a � b �c 

Parallelogrammumfang und -fläche: S ist Schnittpunkt der Diagonalen 

Kreisbogen 

S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2� 

(Symmetrielinie). 

rs 

2 

y0 

= y01 � h für flache Bögen 

b 

3 

2r 

y0� � 0,637 r für 2 � = 180° 

� 

2 r 

3 r 

y0 � 2 � 0,9 r für 2 � = 90° y0� � 0,955 r 

� 

� 

Dreieckfläche 

S liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. 

1 

y0�h 3 

Liegt eine Dreiecksfläche im ebenen Achsenkreuz und sind 

x1, x2, x3 bzw. y1, y2, y3 die Koordinaten der Eckpunkte des 

Dreiecks, so sind die Koordinaten des Schwerpunkts S: 

1 1 

x0 = ( x1+ x2+ x3) y0 = ( y1+ y2+ y3) 

3 3 

Trapezfläche 

Grundseiten a und b wechselseitig antragen und Endpunkte 

dieser Strecken verbinden, ebenso Mitten der Seiten a 

und b verbinden. S liegt im Schnittpunkt beider Verbindungslinien. 

h a+ 2b h 2a+ 

b 

y0 = ⋅ y01= 

⋅ 

3 a+ b 3 a+ b 

Kreisausschnittfläche 

S liegt auf der Winkelhalbierenden des Zentriwinkels 2 �. 

y 

0 

2 rs 

� � 

3 b 

4 r 

y0� � 0,424 r für 2 � = 180° 

3 � 

4 r 

y0� 2 � 0,6r 

3 � 

für 2 � = 90° 0 

für 2 � = 60° 

2 r 

y � � 0,637 r für 2 � = 60° 

�

Kreisringstückfläche 


3 3 

y0 

2 2 

( R − r )sinα 

= 38,197 

o ( R − r ) α 

Kreisabschnittsfläche 


y0 

3 3 

2 rsin α s 

= ⋅ = 

3 arc α−sin α cos α 12 A 

Parabelfläche 

3 

x01 = a 

8 

3 

y01 = b 

5 

3 

x02 = a 

4 

3 

y02 = b 

10 

Mantel der Kugelzone und der Kugelhaube 


Schwerpunkt 

Die Mittelpunkte beider Stirnflächen durch eine Gerade miteinander verbinden. Der Mantelschwerpunkt 

liegt auf der Mitte der Verbindungsstrecke. Bei der Kugelhaube tritt an die Stelle der kleinen Stirnfläche 

der Kugelpol. 

Kegelmantel und Pyramidenmantel 

Kegel- oder Pyramidenspitze mit dem Schwerpunkt des Umfangs der Grundfläche verbinden. Auf dieser 

Schwerlinie liegt der Mantelschwerpunkt. Sein Abstand beträgt ein Drittel der Kegel (Pyramiden-) höhe. 

Mantel des abgestumpften Kreiskegels 

Die Mitten beider Stirnflächen (Schwerlinie) verbinden. Der Schwerpunktsabstand von der Grundfläche 

beträgt: 

h R+ 2 r 

y0 

= ⋅ 

3 R+ r 

h Höhe des Kegelstumpfes, R Radius der unteren, r Radius der oberen Stirnfläche. 

gerades und schiefes Prisma (und Zylinder) mit 

parallelen Stirnflächen 

Körperschwerpunkt S liegt in der Mitte der Verbindungslinie 

der Flächenschwerpunkte S0, also 

h 

y0 

= 

2 

abgeschrägter gerader Kreiszylinder 

Körperschwerpunkt S liegt auf der x, y-Ebene als Symmetrieebene 

mit den Abständen: 

2 2 2 

r tanα h r tan α 

x0 = y0 

= + 

4h 2 8h 

183 

7

7 


Guldin'sche Regeln 

184 

gerade und schiefe Pyramide und Kegel 

Die Spitze mit dem Schwerpunkt der Grundfläche verbinden. Der Körperschwerpunkt liegt auf dieser 

Schwerlinie. Sein Abstand von der Grundfläche beträgt ein Viertel der Pyramiden-(Kegel-)höhe. 

Pyramidenstumpf mit beliebiger Grundfläche 

Der Körperschwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Stirnflächen. Sind A 1, 

A 2 die Stirnflächen, h die Höhe des Stumpfes, so ist der Abstand des Schwerpunkts von der unteren 

Stirnfläche A 1: 

h A1+ 2 A1A2 + 3A2 

y0 

= ⋅ 

4 A1+ A1A2 + A2 

gerader und schiefer Kegelstumpf 

Der Körperschwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Stirnflächen. Ist h 

Höhe des Kegelstumpfes, R der Radius der unteren Stirnfläche, r der Radius der oberen Stirnfläche, so 

ist der Abstand des Schwerpunkts von der unteren Stirnfläche 

h R2+ 2R r + 3r2 

y0 

= ⋅ 

4 2 2 

R + R r + r 

Keil 

h a+ a1 

y0 

= ⋅ 

2 2a+ 

a1 

Umdrehungsparaboloid 

2 

y0= b 

3 

Kugelabschnitt 

Der Körperschwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Ist R der Kugelradius, und h die Abschnittshöhe, 

so ist der Abstand des Schwerpunkts vom Kugelmittelpunkt 

2 

3 (2 R−h) y0 

= ⋅ 

4 3R−h 

Kugelausschnitt 

3 

y0= R 

8 

4 4 3 R − r 

y0 

= ⋅ 

8 3 3 R − r 

für Halbkugel für halbe Hohlkugel 

Der Körperschwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Sein Abstand vom Kugelmittelpunkt ist 

3 3 

y0= r (1+ cos α) 

y0= (2 r −h) 

8 

8 

7.8 Guldin'sche Regeln 

Oberfläche 

A Flächeninhalt der Umdrehungsfläche in cm2 x0 Schwerpunktsabstand von der Drehachse in cm 

l Länge der Profillinie in cm 

A = 2 � x 0 l 

Volumen 

V Volumen der Umdrehungsfläche in cm3 x0 Schwerpunktsabstand von der Drehachse in cm 

A Flächeninhalt der Profilfläche in cm2 V = 2 � x 0 A

7.9 Reibung 

Gleitreibung und Haftreibung 

F R Gleitreibkraft (F R0 Haftreibkraft), F N Normalkraft, 

F e Ersatzkraft (Resultierende aus Normalkraft und Reibkraft), 

� Reibzahl (� 0 Haftreibzahl), r Reibwinkel (r 0 Haftreibwinkel) 

F R = F N � F R0 max = F N � 0 

tan r = � = F R / F N 

Reibung auf schiefer Ebene 

tan r 0 = � 0 = F R0 max / F N 


Reibung 

F G Gewichtskraft des Körpers, F Verschiebe- oder Haltekraft, F R Reibkraft, F R0 Haftreibkraft, 

F N Normalkraft, F e Ersatzkraft aus F N und F R (F R0), Neigungswinkel � � Reibwinkel r(r 0). 

Selbsthemmungsbedingung 

Ein Körper bleibt auf schiefer Ebene solange in Ruhe, d. h. es liegt Selbsthemmung vor, solange der 

Neigungswinkel � einen Grenzwinkel r 0 nicht überschreitet (z. B. bei Befestigungsgewinde mit � � 3°). 

tan � � tan r 0 

tan � � � 0 

(Selbsthemmungsbedingung) 

185 

7

7 


Reibung in Maschinenelementen 

186 

7.10 Reibung in Maschinenelementen 

Schraube 

F Schraubenlängskraft (z.B. Vorspannkraft) 

MRG Gewindereibmoment 

MRA Auflagereibmoment (FRa Auflagereibkraft) 

MA Anziehdrehmoment 

� Steigungswinkel am Flankenradius r2 tan � = P/2 r2 �; � = arctan (P/2 r2 �) 

r' Reibwinkel im Gewinde 

�' Reibzahl im Gewinde 

� Reibzahl nach 7.12 

P Steigung des Gewindes 

r2 Flankenradius 

ra = 1,4 r Wirkabstand der Auflagereibung 

r Nennradius (z.B. bei M 12: r = 6 mm) 

�a Reibzahl der Mutterauflage, vom Werkstoff 

abhängig nach 7.12 

� Wirkungsgrad des Schraubgetriebes 

� Spitzenwinkel des Gewindes 

( � = 30° für Trapezgewinde, � = 60° für 

Spitzgewinde) 

Zylinderführung 

F resultierende Verschiebekraft aus Gewichtskraft und 

äußerer Belastung. 

Führungsbuchse klemmt sich fest, solange die Wirklinie 

von F durch die Überdeckungsfläche der beiden Reibkegel 

geht. 

Führungslänge l : l = 2 � l a 

Bei l � 2 � l a klemmt die Buchse fest, bei l � 2 � l a 

gleitet sie. 

M RG = Fr 2 tan (� � r') 

M RA = F Ra r a = F � a r a 

M A = M RG � M RA = F h l 

m A = F [r 2 tan (� � r') � � a r a] 

µ 

�' = tanr' 

= 

cos( β / 2) 

� = 

tanα 

tan( α + r') 

tan( α − r') 

� = 

tanα 

(�) für Anziehen (Heben) 

(–) für Lösen (Senken der Last) 

Selbsthemmung bei � � r'

Keilgetriebe 

sin( α + r + r )cosr 

Verschiebekraft: F = F1 cos( α + r + r )cos r 

Bei r1= r2 = r3 = r ist 

2 3 1 

1 2 3 

sin( α + 2 r)cosr F = F1 = F1 

tan( r+ 2 r) 

cos( α + 2 r)cosr Wirkungsgrad � bei Lastheben: 

tanα 

� = 

tan( α + 2 r) 

Selbsthemmung bei � � 2 r 0 

Haltekraft, die Herausdrücken des Keiles verhindert: 

F' = F 1 tan (� – 2 r 0) 

Querlager (Tragzapfen) 

mittlere Flächenpressung: 

F 

pm = 

dl 

Mit Zapfenreibzahl �, Zapfenradius r wird das 

Reibmoment: 

M R = F r � 

Mit Winkelgeschwindigkeit � = 2 � n oder mit 

Drehzahl n wird die Reibleistung: 

P R = M R � = 2 F r� � n 

Längslager (Spurzapfen) 

3 3 

2 r2 − r1 

für Hohlzapfen ist Reibmoment MR = µ F 

3 2 2 

r2 − r1 

Reibleistung P R = M R � 

2 

Für Vollzapfen ist MR = 2 

3 Fr � 

Rollreibung 

Rollkraft: Rollbedingung: 

f 

F = F1 r 

FR � �0 FN f 

oder 

r 

� �0 

f Hebelarm der Rollreibung: Stahlräder auf Stahlschienen f � 0,05 cm 

Fahrwiderstand 


Reibung in Maschinenelementen 

Wird ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit v auf horizontaler Bahn bewegt, so ist, abgesehen 

vom Luftwiderstand, außer dem Rollwiderstand noch der durch Lagerreibung entstehende Widerstand 

zu überwinden. Beide werden zusammengefasst zum Fahrwiderstand F f. 

F f = F N ��f 

F N gesamte Normalkraft (Anpresskraft) des Fahrzeugs. Bei horizontaler Bahn ist 

F N = Gewichtskraft des Fahrzeugs; 

��f Fahrwiderstandszahlen: Straßenbahn mit Gleitlagern 0,018 

Eisenbahn 0,0025 Kraftfahrzeuge auf Asphalt 0,025 

Straßenbahn mit Wälzlagern 0,005 Drahtseilbahn 0,01. 

187 

7

7 


Bremsen 

188 

Seilreibung 

Durch Reibung F R zwischen Zugmittel und Scheibe wird Spannkraft 

F 1 größer als Gegenkraft F 2. Bei Gleichgewicht ist 

F 1 = F 2 e �� 

e = 2,71828 ... heißt Euler'sche Zahl 

o � ��rad 

� Reibzahl zwischen Zugmittel und Scheibe: � � 

o 180 

Umschlingungswinkel � im Bogenmaß (rad). (Werte für e�� in 7.13) 

Seilreibung FR ist die größte Umfangskraft, die eine Seil-, Band- oder Riemenscheibe übertragen kann: 

FR = F1 – F2 = F2 (e �� ( e − 1) 

– 1) = F1 µα e 

Rollen- und Flaschenzüge 

µα 

F Zugkraft, F 1 Last, s 1 Kraftweg, s 2 Lastweg, � Wirkungsgrad der festen und der losen Rolle, 

� r Wirkungsgrad des Rollenzugs, n Anzahl der tragenden Seilstränge. 

Feste Rolle (Leit- oder Umlenkrolle) 

F1 

F = 

η 

Lose Rolle 

F1 

F = 

2η 

�� für Ketten und Seile � 0,96 

s 1 = 2 s 2 

Flaschenzug (Rollenzug) 

F = 

� r = 

F1 

1− 

η 

= F1 

n η η(1 − ηn 

) 

r 

n 

η(1 − η ) 

n(1 

− η) 

s 1 = n s 2 Rollenzug mit 

n = 4 tragenden Seilsträngen 

(� r nach 7.13) 

7.11 Bremsen 

F Bremskraft in N, M Bremsmoment in Nm, P Wellenleistung in kW, � Reibzahl, sämtliche Längen l 

und r in m, Umschlingungswinkel in rad. 

Backenbremse mit überhöhtem Drehpunkt D 

( l1± µ l2) 

( + ) bei Rechtslauf 

F = FN l ( −) 

bei Linkslauf 

Selbsthemmung bei Linkslauf, wenn l 1 � � l 2.

Backenbremse mit unterzogenem Drehpunkt D 

( l1 � µ l2) 

( −) 

bei Rechtslauf 

F = FN 

l ( + ) bei Linkslauf 

Selbsthemmung bei Rechtslauf, wenn l 1 � � l 2. 

Backenbremse mit tangentialem Drehpunkt D 

1 

F = FN l 

l 

Selbsthemmung tritt nicht auf. 

Die Normalkraft FN ergibt sich bei den drei Backenbremsarten 

aus dem Bremsmoment M: 

M = F R r = F N � r 

Einfache Bandbremse 

l 

M = FR r = Fr ( e −1) 

l 

µα 

1 

Summenbremse 

l e 

M = FR r = Fr ⋅ 

l e 

1 

Differenzbremse 

µα 

µα 

−1 

+ 1 

µα e −1 

M = FR r = Frl 

µα l2 − l1e 

Bremszaum 

P = G F ln 

9550 

Bandbremszaum 

P = G ( F � 

F) rn 

9550 

Einheiten siehe Bandbremszaum 

P F G F r, l n 

kW N N m min –1 


Bremsen 

189 

7

7 


Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung 

190 

7.12 Gleitreibzahl � und Haftreibzahl � 0 (Klammerwerte sind die Gradzahlen für den 

Reibwinkel r bzw. r 0) 

Werkstoff 

Stahl auf Stahl 

Stahl auf Gusseisen oder Bronze 

Gusseisen auf Gusseisen 

Holz auf Holz 

Holz auf Metall 

Lederriemen auf Gusseisen 

Gummiriemen auf Gusseisen 

Textilriemen auf Gusseisen 

Bremsbelag auf Stahl 

Lederdichtungen auf Metall 

Haftreibzahl � 0 

Gleitreibzahl � 

trocken gefettet trocken gefettet 

0,5 ( 8,5) 

0,19 (10,8) 

0,5 (26,6) 

0,7 (35) 

0,6 (31) 

0,1 (5,7) 

0,1 (5,7) 

0,16 (9,1) 

0,16 (9,1) 

0,11 (6,3) 

0,3 (16,7) 

0,2 (11,3) 

0,15 ( 8,5) 

0,18 (10,2) 

0,3 (16,7) 

0,5 (26,6) 

0,4 (21,8) 

0,4 (21,8) 

0,5 (26,6) 

0,2 (11,3) 

0,01 (0,6) 

0,01 (0,6) 

0,1 (5,7) 

0,08 (4,6) 

0,1 (5,7) 

0,4 (21,8) 

0,12 (6,8) 

7.13 Wirkungsgrad � r des Rollenzugs in Abhängigkeit von der Anzahl n der tragenden 

Seilstränge (� = 0,96 angenommen) 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

� r 0,960 0,941 0,922 0,904 0,886 0,869 0,852 0,836 0,820 0,804 

7.14 Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung 

Die Gleichungen gelten auch für den freien Fall und für den senkrechten Wurf mit Fall- oder Steighöhe 

h = Weg s und Fallbeschleunigung g = Beschleunigung oder Verzögerung a; g = 9,81 m/s 2 . 


Die Beschleunigung a ist konstant. Die rechnerische Behandlung beginnt mit dem Aufzeichnen des 

v, t-Diagramms, weil immer die Fläche unter der Geschwindigkeitslinie dem zurückgelegten Weg s 

entspricht. 

a = 

Geschwindigkeitsänderung ∆v 

m 

in 

Zeitabschnitt t 

2 s 

km 

Umrechnung von 

h 

in 

m 

s 

km 

A = 

h 

A m 

3,6 s 

A, B Zahlenwert 

m km 

B = B ⋅ 3,6 

Beispiel : 

s h 

km 72 m m 

72 = = 20 

h 3,6 s s 

m km km 

20 = 20 ⋅ 3,6 = 

72 

s h h

Endgeschwindigkeit 

v e (bei v a = 0) 

Endgeschwindigkeit 

v e (bei v a � 0) 

Weg s 

(bei v a = 0) 

Weg s 

(bei v a � 0) 

Zeit t 

(bei v a = 0) 

Zeit t 

(bei v a � 0) 


(bei v a = 0) 


(bei v a � 0) 

Anfangsgeschwindigkeit 

v a (bei v e = 0) 

Anfangsgeschwindigkeit 

v a (bei v e � 0) 

Weg s 

(bei v e = 0) 

Weg s 

(bei v e � 0) 

Zeit t 

(bei v e = 0) 

Zeit t 

(bei v e � 0) 

Verzögerung a 

(bei v e = 0) 

Verzögerung a 

(bei v e � 0) 


Geradlinige gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung 

v e = a t = 2as 

v e = v a �� = v a � a t 

ve = + 

2 

va2as 2 

v 2 

et at ve 

s = = = 

2 2 2a 

2 2 

v + 2 

a ve at ve −va 

s = t = vat+ = 

2 2 2a 

ve 2s 

t = = 

a a 

2 

ve − va va ⎛va⎞ 2s 

t = =− ± ⎜ ⎟ + 

a a ⎝ a ⎠ a 

2 

ve ve 2s 

a = = = 

2s 

t 2 t 

2 2 

ve −va ve −va 

a = = 

t 2s 

v a = a t = 2as 

v a = v e ��v = v e � a t 

va = + 

2 

ve2as 2 

v 2 

a t at v 

s = = = a 

2 2 2a 

s = 

+ v 2 

a ve at 

t = vat − 

2 2 

t = = 

a v 2s 

a a 

va − ve va ⎛va⎞ 2s 

t = = ± ⎜ ⎟ − 

a a ⎝ a ⎠ a 

va va 2s 

a = = = 

t 2s 

t 2 

v −v v −v 

a = = 

t 2s 

2 

2 2 

a e a e 

2 

v, t -Diagramm v a = 0 

v, t -Diagramm v a � 0 

v, t -Diagramm v e = 0 

v, t -Diagramm v e � 0 

191 

7

7 


Gleichförmige Drehbewegung 

192 

7.15 Wurfgleichungen 

7.15.1 Horizontaler Wurf 

(ohne Luftwiderstand) 


in einem Bahnpunkt 


nach Fallhöhe h 

Fallhöhe h 

nach Wurfweite w 

Wurfweite w 

17.15.2 Wurf schräg nach 

oben (ohne Luftwiderstand) 

Wurfweite w 

(Größtwert bei � = 45°) 

Wurfdauer t 

Wurfhöhe h 

Geschwindigkeit v x 

in x-Richtung 

Geschwindigkeit v y 

in y-Richtung 

7.16 Gleichförmige 

Drehbewegung 

Winkelgeschwindigkeit 

� 

Schieberweg s 

(Hub) 


v u 

Schiebergeschwindigkeit 

v 

2 2 2 

v = 2 

vx + vy = va + ( gt) 

v = 

gw 

h = 

2ν 

w = va 

w = 

v 

2 

va+ gh 

2 

2 

a 

2h 

g 

2 

a sin2 

g 

Gleichung der 

Wurfbahn 

α 

w 2vasinα t = = 

v cos α g 

a 

v 

h = 

2 2 

a α sin 

2g 

v x = v a cos � 

� 

� 

v y = v a sin � – g t 

v 

t r 

� = 2 � n = ϕ u 

= 

s = r (1 – cos �) 

� 

� 

vu = r � � r � d�n � 2�rn 

t 

� 

� 

v = r � sin � 

vmax = vu

Drehwinkel � 

(z Anzahl der 

Umdrehungen) 


v u 


� 

7.17 Gleichmäßig 

beschleunigte 

(verzögerte) 

Kreisbewegung 

Winkelbeschleunigung �� 

Endwinkelgeschwindigkeit 

� e 

(bei � a = 0) 

Endwinkelgeschwindigkeit 

� e (bei � a � 0) 


(bei � a = 0) 


(bei � a � 0) 

Zeit t 

(bei � a = 0) 

Zeit t 

(bei � a � 0) 

Winkelbeschleunigung � 

(bei � a = 0) 


Gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Kreisbewegung 

� = � t = 2 � z m 

s 

v u, v �, n t r, s �� z 

rad 

s 

s m rad 1 

In der Technik sind als Zahlenwertgleichungen gebräuchlich: 

�dn 

vu = 

1000 

�dn 

vu = 

60000 

�n 

� = � 0,1n 

30 

v u d n 

m 

min 

mm min –1 

v u d n 

m 

s 

� n 

rad 

s 

mm min –1 

min –1 

Die Winkelbeschleunigung � ist konstant. Die rechnerische Behandlung 

beginnt mit dem Aufzeichnen des �, t-Diagramms (� Winkelgeschwindigkeit), 

weil immer die Fläche unter der Winkelgeschwindigkeitslinie 

dem überstrichenen Drehwinkel � entspricht. 

� = 

Winkelgeschwindigkeitsänderung �� 

rad 

in 

Zeitabschnitt t 

2 s 

� e = � t = 2�� 

� e = � a �� = � a � ��t 

2 

a 

�e = ω + 2αϕ 

ω ω 

� = α ette = = 

2 2 2α 

2 

ω ω ω ω 

� = α 

a + e t e − a 

t = ωa 

t+ 

= 

2 2 2α 

� 

t = e 2� 

� 

� � 

� 2 

t = e � �a � � a �a 2� 

� 

�� 

� � � 

� � 

� � � 

� � 

ωe ωe 2ϕ 

� = = = 

t 2ϕ 

t 2 

2 

2 

2 

2 2 

�, t -Diagramm bei � a = 0 

�, t -Diagramm bei � a � 0 

193 

7

7 


Sinusschwingung (harmonische Schwingung) 

Winkelbeschleunigung � 

(bei � a � 0) 

Anfangswinkel- 

geschwindigkeit � a 

(bei � e = 0) 

Anfangswinkel- 

geschwindigkeit � a 

(bei � e � 0) 


(bei � e = 0) 


(bei � e � 0) 

Zeit t 

(bei � e = 0) 

Zeit t 

(bei � e � 0) 

Winkelverzögerung � 

(bei � e = 0) 

Winkelverzögerung � 

(bei � e � 0) 

Tangentialbeschleunigung 

oder -verzögerung a T 

194 

7.18 Sinusschwingung 

(harmonische 

Schwingung) 

Periodische 

Schwingung 

Sinusschwingung 

(harmonische 

Schwingung) 

2 2 

ωe −ωa ωe −ωa 

� = = 

t 2ϕ 

� a = � t = 2αϕ 

� a = � e �� = � e � ��t 

� a = 

2 

e + 2 

ω αϕ 

2 

ω 2 

atαtωa � = = = 

2 2 2α 

ω 2 

a + ωe αt 

� = t = ωa 

t− 

2 2 

ωa 2ϕ 

t = = 

α α 

2 

ωa − ωe ωa ⎛ωa⎞ 2ϕ 

t = = ± ⎜ ⎟ − 

α α ⎝ α ⎠ α 

2 

ωa ωa 2ϕ 

� = = = 

t 2ϕ 

2 t 

2 2 

ωa −ωe ωa −ωe 

� = = 

t 2ϕ 

aT = ω ∆ r 

= α = u ∆v 

r 

t t 

liegt vor, wenn sich eine physikalische 

Größe (z. B. Auslenkung y eines Punktes) 

zeitlich so verändert, dass sich der Vorgang 

nach Periodendauer T (Schwingungsdauer) 

in genau gleicher Weise 

wiederholt. 

�, t -Diagramm bei � e = 0 

�, t -Diagramm bei � e � 0 

ist Sonderfall einer periodischen Schwingung, z. B. eine lineare 

Schwingung, die sich als seitliche Projektion eines gleichförmig auf 

der Kreisbahn umlaufenden Punktes darstellen lässt.

Zusammenhang zwischen 

periodischer Schwingung 

und Sinusschwingung 

Differenzialgleichung der 

freien ungedämpften 

Schwingung 

Phase 

Auslenkung y 

Amplitude A 

Periodendauer T 

(Schwingungsdauer) 

Frequenz f 

Kreisfrequenz �� 

Auslenkung y, 

Geschwindigkeit v y 


Beschleunigung a y eines 

harmonisch schwingenden 

Punktes 

Schwingungsbeginn bei 

Phasenwinkel �� 0 

Auslenkung-Zeit- 

Diagramm 


Sinusschwingung (harmonische Schwingung) 

Jede periodische Schwingung lässt sich durch eine Fourier-Entwicklung 

in Sinusschwingungen zerlegen: 

A 0 

y(t) = + ∑Ancos( nωt) + ∑Bnsin( 

nωt) 2 

my�� Ry = 0 für geradlinige Schwingbewegung 

J�� R� = 0 für Drehbewegung 

m Masse des Schwingers, y Auslenkung, R Federrate, J Trägheitsmoment, 

� Drehwinkel 

Phase ist der Winkel � im Bogenmaß (rad), den der umlaufende Punkt 

im Zeitabschnitt t durchläuft: 

� = � t = 2 � f t = 2 � z 

y ist die momentane Entfernung des schwingenden Punktes von der 

Nulllage (Mittellage, Gleichgewichtslage) 

A (Schwingungsweite) ist die maximale Auslenkung y max aus der 

Nulllage. Bei ungedämpfter Schwingung ist A = konstant. 

t gemessener Zeitabschnitt 

T � � T ist die Zeit für eine volle 

z Anzahl der Schwingungen 

Schwingung 

f (Schwingungszahl) ist der Quotient aus der Anzahl z der Schwingungen 

und dem zugehörigen Zeitabschnitt t: 

z 1 � 

f T, t z �� n A, y vy ay f � � � 

t T 2� 

1 

1 1 m m 

s 1 rad m 

s 

s s s s2 

z 2� 

� = 2 � n = 2� � 2�f� 

t T 

2� 

t 

y = Asin( � t) � Asin(2 �ft) � A sin 

T 

v y = 

2� 

t 

A�cos( �t) � A�cos(2 �ft) � A�cos 

T 

Aω sin( ωt) Aω sin(2 ft) 2 t 

Aω sin 

T 

yω 

ay = 2 2 2 π 

− =− π =− =− 2 

y = A sin (� �� 0) = A sin (�t �� 0) 

195 

7

7 


Pendelgleichungen 

Geschwindigkeit-Zeit- 

Diagramm 

Beschleunigung-Zeit- 

Diagramm 

196 

7.19 Pendelgleichungen 

Pendelart 

Rückstellkraft F R 

Rückstellmoment M R 

Richtgröße D 

Federrate R F, R T 

Periodendauer T 

maximale 

Geschwindigkeit v 0 

maximale 


� 0 

Schwerependel Schraubenfederpendel Torsionspendel 

F R = F G sin � = 

= mg sin � 

FR = mg s = Ds 

l 

D = mg 

l 

T = 2π 

g 

l 

v 0 = 2 gl(1−cos α max) 

gilt bis � max � 14° 

4π 

FR = RF y = m y 

2 T 

R F = 

2 4 π 

2 

m T 

2 

R T = 

m 

T = 2 π T = 2 π 

R F 

v 0 = 

R F 

A 

m 

M R = R T � 

M R p 

ϕ = 

I 

∆ l 

G 

(G Schubmodul, I p polares 

Flächenmoment 2.Grades) 

J 

R T 

J Trägheitsmoment 

� 0 = 

R T ϕ 

J 

J Trägheitsmoment

experimentelle 

Bestimmung des 

Trägheitsmomentes 

J 2 eines Körpers 

Einheiten der 

vorkommenden 

physikalischen Größen 

7.20 Schubkurbelgetriebe 

(für � = konstant 

= �n/30) 

Umfangs- 

geschwindigkeit v u 

Kolbenweg s 

(�) für Hingang 

(–) für Rückgang 

Schubstangenverhältnis � 

Kolbengeschwindigkeit v 



mittlere 

Geschwindigkeit v m 

Kolbenbeschleunigung a 



2 2 

2 1 

T −T 

J2 = J1 2 

T 

1 

J 1 bekanntes Trägheitsmoment 

J 2 unbekanntes Trägheitsmoment 

T 1 gemessene Schwingungsdauer 

bei Körper 1 allein 

T 2 bei Körper 1 und 2 zusammen 

� 


Schubkurbelgetriebe 

F R, F G M R m g l, s, y, A R F R T �� T �� J v 0 � 0 

N Nm 

rad kg m 

2 s 

π hn 

vu = � r = 

60 

m 

N 

m 

s = r (1 – cos �) � l (1 – cos �) 

s � r (1 – cos � � 0,5 � sin 2 �) 

Kurbelradius r 

� = 

Länge der Schubstange l 

Nm 

rad 

� 

� 

v = v u (sin � � 0,5 � sin 2 �) 

v = � r (sin � t � 0,5 � sin 2 � t) 

v max = v u (1 � 0,5 � 2 ) = � r (1 � 0,5 � 2 ) 

hn 

vm = 

30 

2 

vu 

a = (cosϕ ± λcos2 ϕ) 

rad s 

1 

s 

kgm2 m 

s 

v u, v m, v �� a h, r, s, l �� n 

m 

s 

r 

a = � 2 r (cos � t � � cos 2 � t) 

a max = � 2 r (1 � �) in den Totlagen 

1 

s 

m 

2 s 

1 

s 

m 1 min –1 

197 

7

7 


Gerader zentrischer Stoß 

198 

7.21 Gerader zentrischer 

Stoß 

Stoßzahl k 

Stoßzahlbestimmung 

gemeinsame 

Geschwindigkeit c 

Geschwindigkeiten c 1, c 2 

nach dem Stoß 

Energieverlust �W 

beim Stoß 

Energieverlust �W 

beim vollkommen 

unelastischen Stoß 

Geschwindigkeiten c 1, c 2 

nach dem vollkommen 

elastischen Stoß 

Sonderfälle 

Zwei Körper der Masse m 1, m 2 bewegen 

sich vor dem Stoß in Richtung 

der Stoßlinie mit den Geschwindigkeiten 

v 1 � v 2. Gemeinsamer 

Berührungspunkt und die Schwerpunkte 

beider Körper liegen auf 

der Stoßlinie. Nach erstem Stoßabschnitt 

(Stoßkraft F = F max) haben 

beide Körper die Geschwindigkeit c, nach zweitem Stoßabschnitt (F = 0) 

die Geschwindigkeiten c 1, c 2. 

c2 − c1 

k = 

v1−v2 k = 15 

16 

8 

für Glas, für Elfenbein, 

9 

5 

1 

für Stahl und Kork, für Holz 

9 2 

k = 0 vollkommen unelastischer Stoß; �W = 0 (�W Energieverlust) 

k = 1 vollkommen elastischer Stoß 

allgemeiner Fall: 0 � k � 1 

k = 

c = 

h1 

h 

h freie Fallhöhe einer Kugel auf 

waagerechte Platte aus gleichem 

Material 

h 1 Rücksprunghöhe der Kugel 

mv 1 1+ m2v2 c, v m k W 

m1+ m2 m 

s 

kg 1 J 

mv 1 1+ m2v2 −m2( v1−v2) k 

c1 = 

m1+ m2 

mv 1 1+ m2v2+ m1( v1−v2) k 

c2 = 

m1+ m2 

mm 1 2 

�W = ( v − 2 − 2 

1 v2) (1 k ) 

2( m1+ m2) 

k = 0 c 1 = c 2 = c 

mm 1 2 2 

�W = ( v1−v2) 2( m1+ m2) 

k = 1 �W = 0 

( m1− m2) v1+ 2m2v2 

c1 = 

m1+ m2 

bei m 1 = m 2 wird c 1 = v 2 und c 2 = v 1 

Für Schmieden und Nieten muss �W 

möglichst groß sein (m 2 � m 1) 

( m2 − m1) v2+ 2m1v1 

c2 = 

m1+ m2 

bei m 2 = � und v 2 = 0 wird c 1 = – v 1 

bei m 1 = � und v 2 = 0 wird c 2 = 2 v 1

7.22 Mechanische 

Arbeit W 

kohärente Einheit 

(gesetzliche Einheit, 

zugleich SI-Einheit) 

Arbeit W der konstanten 

Kraft F 

Arbeit W der 

Gewichtskraft F G 

(Hubarbeit) 

Reibungsarbeit W R 

auf schiefer Ebene 

mit Winkel �, Kraft F 

parallel zur Bahn 

Kraft F 

waagerecht 

Die mechanische Teilarbeit 

�W einer den Körper bewegenden 

Kraft F ist das 

Produkt aus dem Wegabschnitt 

�s und der Kraftkomponente 

F in Wegrichtung. 

Die Gesamtarbeit W ist die 

Summe aller Teilarbeiten 

�W : 

∑ ∑ 


Mechanische Arbeit W 

Arbeit W einer veränderlichen Kraft 

W = ∆W = F∆s = F ∆s + F ∆s + ... F ∆s 

1 1 2 2 n n 

Die von der Kraft F oder dem Drehmoment M verrichtete Arbeit W 

entspricht immer der Fläche unter der Kraft- oder Momentenlinie im 

Kraft-Weg-Diagramm oder im Moment-Drehwinkel-Diagramm. 

1 Joule (J) = 1 Wattsekunde (Ws) 

kgm kgm 

1 J = 1 m= 

2 2 s s 

1 J = 1 N = 1 Ws 

W = Fs cos � 

W = Fs (für � = 0°) 

W FG m g h 

W = FG h = mgh 

J = Nm N kg 

m 

2 s m 

F G Gewichtskraft des Körpers 

m Masse des Körpers 

h Hubhöhe 

W R = F R s � Reibzahl nach 7.12 

W R = F G � s cos � = mg � s cos �� 

W R F R, F G m g s 

m 

J =Nm N kg 2 s 

W R = F R s 

W R = � s (F G cos � � F sin �) 

2 

m 

199 

7

7 


Leistung P, Übersetzung i und Wirkungsgrad � 

Formänderungsarbeit Wf R Federrate 

(Federsteifigkeit) 

Arbeit W eines 

konstanten 

Drehmoments M 

F T Tangentialkraft 

z Anzahl der Umdrehungen 

Beschleunigungsarbeit 

W b eines konstanten 

Kraftmoments M 

200 

7.23 Leistung P, Übersetzung 

i und 

Wirkungsgrad �� 

P trans bei geradliniger 

Bewegung 

P rot bei Drehbewegung 

Zahlenwertgleichungen 

für Leistung P und 

Drehmoment M 


M1 Antriebsmoment 

M2 Abtriebsmoment 

i Übersetzung 

Gesamtwirkungsgrad � ges 

Übersetzung i 

W f = 

W f = 

F + F F −F 

F F 

∆s; 

R= 

= = 

2 

∆s 

s s 

1 2 2 1 2 1 

R 2 2 

( s2 − s1 

) 

2 

W f F 1, F 2 s 1, s 2 R 

J = Nm N m 

W = M � 

W = F T 2 � r z 

N 

m 

W M �� F T r z 

J = Nm Nm 

rad 

J 2 2 

W = ( ω2 − ω1 

) 

2 

rad N m 1 

2 1 

W b J �� 

J = Nm kgm 2 1 

s 

� 1 , � 2 Winkelgeschwindigkeit vor oder nach dem Beschleunigungs- 

oder Verzögerungsvorgang 

W Fs 

Ptrans = = = Fv 

t t 

P trans F v 

J Nm 

= = W N 

s s 

m 

s 

P rot M n, � 

Prot = M � = 2 ��Mn Nm 

J= = W Nm 

s 

Mn 

P = 

9550 

M = 9550 P 

n 

� = 

P M n 

1 

s 

kW Nm min –1 

Nutzarbeit Wn Nutzleistung Pn 

= � 1 

zugeführte Arbeit W zugeführte Leistung P 

M2 

1 

� = 

M i 

⋅ M2 = M1 �ges iges 1 

� ges = � 1 � 2 � 3 ... � n � 1 

i = 

n ω d d z 

= = = = 

n ω d d z 

1 1 2 02 2 

2 2 1 01 1 

1 

z z 

M2 

M2 

1 

i = (ohne Reibung) i = ⋅ (mit Reibung) 

M M η 

1 res

7.24 Dynamik der Verschiebebewegung 

(Translation) 

Dynamisches 

Grundgesetz, 

allgemein 

Dynamisches Grundgesetz 

für freien Fall 

Dynamisches 

Grundgesetz für 

Tangenten- und 

Normalenrichtung 

F N Zentripetalkraft 

r Krümmungsradius 

(für Kreisbogen ist r = r ) 

Energieerhaltungssatz 

potenzielle Energie E p 

(Energie der Lage) 

kinetische Energie E k 

(Bewegungsenergie) 

Impulserhaltungssatz 

(Antriebssatz) 

d'Alembert'scher Satz 

F res = ma 

F res, F G m a, g 

kgm 

N = 

s2 

F G = mg 

F Gn = mg n 

m 

kg 

s2 

v 2 

FN = ma = = ω 2 

N m mr 

r 

F T = ma T 

F N, F T m a N, a T v r �� 

kgm 

N = 

2 s 

m 

kg 2 s 

m 

s 


Dynamik der Verschiebebewegung 

Fres ist Resultierende der Kräftegruppe in 

Beschleunigungsrichtung 

m Masse des Körpers 

a Beschleunigung 

g Fallbeschleunigung 

m 

gn Normfallbeschleunigung = 9,80665 

2 

s 

FGn Normgewichtskraft des Körpers 

m 1 

s 

E E � E A � W z – W a 

Energie am Ende Energie am Anfang zugeführte abgeführte 

= + − 

des Vorganges des Vorganges Arbeit Arbeit 

E p = F G h = mgh 

m 2 2 

Ek = ( ν2 − ν1 

) 

2 

Ek = Beschleunigungsarbeit 

Wb F res (t 2 – t 1) = m (v 2 – v 1) 

für den „kräftefreien“ 

Körper (F res = 0) gilt 

m v 2 – m v 1 = 0 

m v 1 = m v 2 = konstant 

(meist Reibarbeit W R ) 

E m g h F G v 1, v 2 

m 

J = Nm = Ws kg 2 s 

m N 

m 

s 

F res t m v� 

kgm 

N = 

2 s 

Körper freimachen, Beschleunigungsrichtung 

eintragen, Trägheitskraft 

T = ma 

entgegengesetzt zur Beschleunigungsrichtung 

eintragen, 

Gleichgewichtsbedingungen unter Einschluss 

der Trägheitskraft (oder -kräfte) ansetzen. 

� 

� 

s kg m 

s 

T m a 

kgm 

N = 

2 s 

kg 

m 

2 s 

201 

7

7 


Dynamik der Drehung 

202 

7.25 Dynamik der 

Drehung (Rotation) 

Dynamisches Grundgesetz, 

allgemein 

Trägheitsmoment J 


Verschiebesatz 

(Steiner) 

Trägheitsradius i 

Reduktion der Trägheitsmomente 

J 1, J 2 ... bei 

Getrieben 

resultierendes 

Beschleunigungsmoment 

M res der Antriebsachse 1 

Drehenergie E 

(Drehwucht) 

Energieerhaltungssatz 

der Drehung 


(Antriebssatz) 

für den „kräftefreien“ 

Körper (M res = 0) gilt 

Fliehkraft F z 

M res = J �� 

M res resultierendes Drehmoment 

J Trägheitsmoment nach 7.26 

� Winkelbeschleunigung 

M res J �� 

kgm 

Nm = 

s2 

J = ��mr 2 Berechnungsgleichungen in 7.26 

J = dm 2 ∫ r 

J 0 = J s � m l 2 

J0 Trägheitsmoment für gegebene parallele 

Drehachse 0 – 0 

Js Trägheitsmoment für parallele Schwerachse 

S – S 

m l 2 Masse m mal Abstandsquadrat der beiden 

Achsen 

i = 

J 

m 

i = 

Di 

2 

2 2 

⎛n⎞ ⎛ 

2 n ⎞ 

3 

Jred = J1+ J2⎜ ⎟ + J3⎜ 

⎟ + ... 

⎝n1⎠ ⎝n1⎠ M res = J red � 1 

E = 

2 

kgm 2 

i, D i J m 

m kgm 2 kg 

n Drehzahl 

J 2 2 

( ω2 − ω1 

) = Beschleunigungsarbeit Wb 

2 

J 2 

ω2 � 

2 

1 

s2 

� 1 Winkelbeschleunigung 

J 2 

ω1 � Mres � 

2 

Drehwucht amEnde Drehwucht am Anfang zu-oder abgeführter Arbeit des 

= ± 

des Vorganges des Vorganges resultierendenMomentsallerKräfte 

M res (t 2 – t 1) = J (� 2 – � 1) 

J � 2 – J � 1 = 0 

J � 1 – J � 2 = konstant 

Fz = m rs ��2 v 

= m 

r 

F z m r s �� v 

kgm 

N = 

2 s 

kg m 

2 

s 

1 

s 

m 

s 

� 

M res t J �� 

J = Nm = Ws s kgm 2 1 

s 

r s Abstand des Körperschwerpunkts S 

von Drehachse 


v Umfangsgeschwindigkeit des 

Schwerpunkts um die Drehachse


Gleichungen für Trägheitsmomente J 

7.26 Gleichungen für Trägheitsmomente J (Massenmomente 2. Grades) 

Art des Körpers Trägheitsmoment J (J x um die x-Achse; J z um die z-Achse); r Dichte 

Rechteck, Quader 1 1 

Jx = mb2+ h2 = rhbsb2+ 

h2 

12 12 

Kreiszylinder 

Hohlzylinder 

( ) ( ) 

bei geringer Plattendicke s ist 

1 2 1 3 1 2 1 3 

12 12 0 3 3 

Jz = mh = rbhsJ= mh = rbhs 

a 

Würfel mit Seitenlänge a: Jx = Jz = m 

6 

1 2 1 2 1 4 1 4 

2 8 32 2 

Jx = mr = md = rπdh= rπrh 

J z = 

J x = 

J x = 

J z = 

Kreiskegel J x = 

Zylindermantel 

Kugel 

Hohlkugel (Kugelschale) 

Ring 

1 2 4 2 1 2 2 4 

md + h = r π d hd + h2 

16 3 64 3 

( ) ( ) 

1 2 2 1 2 2 1 

mR + r = mD + d = r π hD4−d 4 

2 8 32 

( ) ( ) ( ) 

1 4 4 

r π hR ( − r ) 

2 

1 2 2 1 2 1 2 2 4 2 

mR + r + h = mD + d + h 

4 3 16 3 

3 2 

10 mr 

( ) ( ) 

Kreiskegelstumpf: J x = 

J x = 

J z = 

1 2 1 3 

md 4 m = r π d 4 m hs 

3 

5 5 R − r 

10 3 3 

m 

R − r 

1 2 2 2 1 2 2 2 

md ( 8 m + h ) = r π d 3 8 mhsd ( m + h ) 3 

Hohlzylinder mit Wanddicke s = 1 

(D – d ) sehr klein im Verhältnis 

2 

zum mittleren Durchmesser dm = 1 

(D � h) 

2 

J x = 

J x = J z = 

2 2 1 2 1 5 8 

mr = md = rπd= rπr5 

5 10 60 15 

1 2 1 4 

md 6 m = r π d 6 m s 

Wanddicke s = 1 

(D – d) sehr klein im Verhältnis 

2 

zum mittleren Durchmesser dm = 1 

(D � d) 

2 

3 1 3 

Jz = mR ( 2+ r 2) = mD ( 2+ d 2) 

m = 2 � 4 4 4 

2 r 2 Rr� 

Jz = ( ) 2 

1 2 2 2 3 2 1 2 3 

π 

J x = 

d 

r Dd ( D + d ) = mD 1+ 16 4 4 4 D 

1 ma ( 2+ b2) 

20 

2 

⎡ ⎤ 

⎢⎣ ⎥⎦ 

203 

7

7 


Größen und Definitionsgleichungen für Schiebung und Drehung 

204 

7.27 Gegenüberstellung einander entsprechender Größen und 

Definitionsgleichungen für Schiebung und Drehung 

Geradlinige (translatorische) Bewegung Drehende (rotatorische) Bewegung 

Größe Definitionsgleichung Einheit Größe Definitionsgleichung Einheit 

Weg s Basisgröße m Drehwinkel � 

Bogen b 

Radius r 

Zeit t Basisgröße s Zeit t Basisgröße s 

Masse m Basisgröße kg 

Geschwindigkeit 

v 

Beschleunigung 

a 

Beschleunigungskraft 

F res 

ds⎛ ∆s⎞ 

v = ⎜= ⎟ 

dt ⎝ ∆t 

⎠ 

dv⎛ ∆v⎞ 

a = ⎜= ⎟ 

dt ⎝ ∆t 

⎠ 

F res = m a N = 

m 

s 

m 

s2 

kgm 

2 s 

Trägheitsmoment 

J 


� 

Winkelbeschleunigung 

� 

Beschleunigungsmoment 

M res 

rad = 1 

J = � dm r 2 kgm 2 

� = d ϕ ⎛ ∆ϕ 

⎞ 

⎜= ⎟ 

dt ⎝ ∆t 

⎠ 

rad 1 

s s 

= 

� = d ω ⎛ ∆ω⎞ 

rad 1 

⎜= ⎟ 

dt ⎝ ∆t ⎠ s2 s2 

= 

2 kgm 

Mres = J � Nm = 

2 s 

Arbeit W trans W trans = F s J = Nm = Ws Arbeit W rot W rot = M � J = Nm = Ws 

Leistung 

P trans 

Wucht 

W trans 

Wtrans 

Ptrans = = Fv 

t 

m 2 

Wtrans = v 2 kgm 

Nm = 

2 

2 s 

Arbeitssatz 

(Wuchtsatz) W m 2 

2 2 kgm 

trans = ( v2 −v1 

) Nm = 

2 

2 s 


F res (t 2 – t 1) = m (v 2 – v 1) 

Kraftstoß = Impulsänderung 

J Nm 

= = W Leistung Prot Prot = 

s s 

Wrot M 

t 

ω 

J Nm 

= = W 

s s 

J 

Drehwucht Wrot Wrot = ω 2 

Nm = 

2 

2 kgm 

2 s 

Arbeitssatz 

(Wuchtsatz) W J 2 

2 2 kgm 

rot = ( ω2 − ω1 

) Nm = 

2 

2 s 


M res (t 2 – t 1) = J (� 2 – � 1) 

Momentenstoß = Drehimpuls- 

änderung

8.1 Statik der 

Flüssigkeiten 

Druck p auf ebene und 

gewölbte Flächen 

Triebkraft F 1 

(Kolbenkraft) 

Last F 2 

(Kolbenkraft) 


� Reibzahl zwischen 

Kolben und Dichtung 

Kolbenwege s 1, s 2 

Druckübersetzung 

hydrostatischer 

Druck p infolge 

der Schwerkraft 

(Schweredruck) 

Bodenkraft F b 

p = F 

A 

N 

2 m 

p F A 

= Pa N m2 

Der Druck, der von außen auf 

irgendeinen Teil der abgesperrten 

Flüssigkeit ausgeübt wird (z. B. 

durch Kolbenkraft), pflanzt sich 

auf alle Teile nach allen Richtungen 

unverändert fort. 

(1 Pascal (Pa) = 1 Newton durch Quadratmeter (N/m 2 ) 

F 1 = 

F 2 = 

2 

1 

4 

π d 

p 

2 

π d2 p 

4 

2 

⎛d⎞ 2 

F2 = F1⎜ ⎟ η 

⎝d1⎠ h2 

1−4µ d2 

� = 

h1 

1+ 4µ 

d1 

2 

⎛d⎞ 1 

s2 = s1⎜ ⎟ 

⎝d⎠ 2 

p 2 

2 d1 

= 

p 2−2 1 d1 d2 

p 2 

2 d1 

= 

p 2 

1 d2 

p = r g h 

p abs = r g h � p amb 

F b = r g h A 

Fluidmechanik 

Statik der Flüssigkeiten 

Hydraulische Presse 

F 1, F 2 p d, h , s �, � 

N 

N 2 m 

P1 

= Pa m 1 

d1 

d1 

r Dichte 

g Fallbeschleunigung 

p abs absoluter Druck 

p amb umgebender 

Atmosphärendruck 

P1 

d2 

P2 

d2 

P2 

Pat (Atmosphärendruck) 

F b p r� g h 

N 

N Pa 

m 2 

= 

kg 

m3 

m 

s2 

m 

205 

8

8 

Fluidmechanik 

Strömungsgleichungen 

Seitenkraft F s 

I s Flächenmoment 

2. Grades der gedrückten 

Fläche A bezogen auf die 

Schwerachse S – S 

206 

Abstand e 

Auftrieb F a 

8.2 Strömungsgleichungen 

Mach'sche Zahl Ma 

Reynolds'sche 

Zahl Re 

kritische Strömungsgeschwindigkeit 

w kr 

kinematische 

Zähigkeit � 

Umrechnungen 

der Zähigkeit 

F s = r g h s A = r�g y s sin� A 

h s = y s sin �; y s = 

hs 

sin 

s 

yD = ys+ e = ys+ 

A y 

I 

α 

; 

s 

h 2 

e = für Rechteckfläche 

12y 

s 

d 2 

e = für Kreisfläche 

16y 

s 

F a = V v r�g 

e = 

Is 

A ys 

F s r� g A I V v h, y, e, d 

kg 

N 3 m 

V v verdrängtes Flüssigkeitsvolumen 

Ma = w 

c 

m 

2 s m2 m4 m3 m 

w Strömungsgeschwindigkeit 

c Schallgeschwindigkeit 

Bis Ma � 0,3 können die Strömungen von Gasen als inkompressibel 

angesehen werden. 

wdr wd 

Re = = 

η ν 

wkr = Re η 

d r 

� = η 

r 

für die dynamische Zähigkeit � das Poise (P): 

1 Ns/m 2 = 10 P (Poise) = 1000 cP (Zentipoise) 

1P = 0,1 Ns/m 2 = 100 cP (Zentipoise) 

für die kinematische Zähigkeit � das Stokes (St): 

1 m 2 /s =10 4 St (Stokes) 

1 St = 10 –4 m 2 /s = 100 cSt (Zentistokes) 

Umrechnung aus Englergraden in 

⎛ 6,31⎞ 

ν = ⎜7,32 E − ⎟ 

⎝ ° E ⎠ 

10–6 in 

w mittlere Durchflussgeschwindigkeit 

d Durchmesser bei Kreisröhren 

r Dichte 

� kinematische Zähigkeit 

� dynamische Zähigkeit 

Re w d r� �� 

1 

2 

m 

s : 

2 

m 

s 

m 

s 

kg 

m 3 m 

Ns 

2 m 

2 

m 

s 

Umrechnungen °E in cSt 

ºE cSt ºE cSt 

1 

1,5 

2 

2,5 

3 

3,5 

4 

1 4,5 

6,25 5 

11,8 5,5 

16,7 6 

21,2 6,5 

25,4 8 

29,6 10 

33,4 

37,4 

41,4 

45,2 

49,0 

60,5 

76,0

Strömungsgeschwindigkeit 

w x im Abstand x von 

der Rohrachse 

turbulente und laminare 

Strömung wird durch 

die kritische Reynoldszahl 

bestimmt; für ein 

Kreisrohr ist Re kr = 2300 

Kontinuitätsgleichung 

(q V Volumenstrom 

q m Massenstrom) 

Bernoulli'sche 

Druckgleichung 

2 w 

r � 

Geschwindigkeitsdruck 

r gh Schweredruck (8.1) 

für Leitungen ohne 

Höhenunterschied 

Messung des statischen 

Drucks p s 

Messung des 

Gesamtdrucks p g 

Messung des 

Staudrucks q 

(Prandtl'sches 

Staurohr) 

⎡ 2 

⎛2x⎞ ⎤ 

wx = 2w⎢1−⎜ ⎟ ⎥ 

⎣⎢ ⎝ d ⎠ ⎦⎥ 

w = V q 

A 

Fluidmechanik 

Strömungsgleichungen 

q V Volumenstrom in 

A Querschnitt in m 2 

bei Re � 2300: bei Re � 2300: 

laminare Strömung stellt sich bleibt einmal gestörte Strömung 

auch nach Störung wieder ein turbulent 

Bei Re � 3000 immer turbulente 

Strömung 

q V = A 1 w 1 = A 2 w 2 = konstant 

q m = A 1 w 1 r 1 = A 2 w 2 r 2 

q V A w q m r� 

3 

m 

s 

m 2 

m 

s 

kg 

s 

kg 

3 m 

r r 

2 2 

2 2 

p1+ rgh1+ w1 = p2+ rgh2+ 

w2 

= konstant 

p r� g h w 

N 

Pa 

m 2 

= 

kg 

m3 

m 

s2 

2 2 

p1+ w1 = p2+ w2 

m 

m 

s 

� 

r r Der Gesamtdruck (statischer Druck p � 

2 2 

p s = p 1 = p 2 � r gh 

(siehe auch 8.1) 

p 2 Luftdruck 

p g = p s � 

q Staudruck 

r 

w2= ps+ q 

2 

q = p 2 

g− ps = β w 

2 

r 

� � 1° bis ca. 17° Anströmwinkel 

zwischen Rohrachse und Strömungsrichtung� 

3 

m 

s 

Geschwindigkeitsdruck r w 2 /2 = Staudruck 

q) der Flüssigkeit ist an jeder 

Stelle einer Horizontalleitung gleich 

groß. 

207 

8

8 

Fluidmechanik 

Ausflussgleichungen 

Volumenstrom q V 

(theoretischer) 

Massenstrom q m 

(praktischer) 

praktischer Volumenstrom 

q V und Massenstrom 

q m bei Gasen und 

Flüssigkeiten 

208 

8.3 Ausflussgleichungen 

Geschwindigkeitszahl � 

Kontraktionszahl � 

Ausflusszahl � 

q V = 

2( p1−p2) ⎛ 

1 1 

⎞ 

r⎜ 

⎟ 

⎜ 

− 2 2 

A2 A 

⎟ 

⎝ 1 ⎠ 

p 1 – p 2 = �p �p Wirkdruck 

A2 

qm = α 2 r( 

p 

2 

1−p2) 1− 

m 

Für Staurand (Blende) nach Prandtl: 

� = 0,598 � 0,395 m 2 

� Durchflusszahl (DIN 1952) 

m Querschnittsverhältnis = A 2/A 1 

q V = 0,04 � �� 

mD 

2 

t 

∆p 

r 

2 

qm = 0,04 ��mDt ∆pr1 1 

q V p r A 

3 

m 

s 

N 

m 2 

= Pa 

kg 

m3 

m 2 

q V �,�,m D t �p� r1 

3 

m 

h 

N 

1 mm Pa 

m 2 

= 

kg 

m3 

q m �,�,m D t �p� r1 

kg 

h 

N 

1 mm =Pa 

m2 

kg 

m3 

Durchflusszahl � (DIN 1952) ist oberhalb bestimmter Re-Zahlen konstant. 

Expansionszahl � berücksichtigt die Dichteänderung des 

Mediums infolge des Druckabfalls (� = 1 für inkompressible Medien). 

Dichte r 1 ist auf den statischen Druck r 1 vor die Drosselstelle 

bezogen. D t lichte Weite der Rohrleitung bei Betriebstemperatur. 

�p = p 1 – p 2 Wirkdruck. 

abhängig von der Zähigkeit der Flüssigkeit 

� Wasser = 0,97 ... 0,99 

berücksichtigt die Einschnürung des Flüssigkeitsstrahles 

und dadurch die Verringerung der Ausflussmenge 

� � 0,6 bei scharfer Kante 

� � 0,75 bei gebrochener Kante 

� � 0,9 bei kleinem Abrundungsradius 

� = �� 

� ist abhängig von der 

Form der Öffnung

offenes Gefäß, konstante 

Druckhöhe h 

q V Volumenstrom 

geschlossenes Gefäß, 

konstante Druckhöhe h 

q V Volumenstrom 

q m Massenstrom 

p ü Überdruck über dem 

Flüssigkeitsspiegel 

Dichtebestimmung von 

Gasen 

offenes Gefäß mit sinkendemFlüssigkeitsspiegel 

bei völliger Entleerung 

Ausflusszeit t 

mittlere Geschwindigkeit 

w m 

Ausfluss unter 

Gegendruck 

q V = Volumenstrom 

8.4 Widerstände in 

Rohrleitungen 

Druckabfall �p 

in kreisförmigen 

Rohren 

w = ϕ 2gh 

q V = �A 2gh 

⎛ p u �� ⎞ 

w = ϕ 2⎜gh 

+ ⎟ 

⎝ r ⎠ 

q V = µ 

q m = q V r� 

⎛ p ⎞ u �� 

A 2⎜gh+ 

⎟ 

⎝ r ⎠ 

Fluidmechanik 

Widerstände in Rohrleitungen 

gh � p ü / r = �p ü = Überdruck, mit Manometer 

in Austrittshöhe gemessen 

w g h q V q m A p r V t �, � 

m 

s 

m 

2 s 

m 

3 

m 

s 

kg 

s m2 

N 

=Pa 

2 m 

kg 

3 m 

m 3 s 1 

Fließen unter gleichen Bedingungen zwei Flüssigkeiten oder Gase mit 

den Dichten r 1, r 2 aus gleichen Gefäßen, so gilt 

t1 w2 

1 

= = 

t2 w1 

2 

r 

r 

V = � Aw m t 

V = 

µ At 

2gh1+ 2gh2 

2 

1 

V = At 2gh1 

2 µ 

t = 

µ 

2V 

A 2gh1 

w + w 

( 1 2) 

wm = 

2 

w = ϕ 2 gh ( 1−h2) qV = µ A 2 gh ( 1−h2) �p = 2 

2 w λ 

d 

r l 

� = 0,015 ... 0,02 für überschlägige 

Berechnungen für Luft, Wasser, Dampf 

d Rohrdurchmesser 

l Rohrlänge 

� Rohrreibungszahl 

209 

8

8 

Fluidmechanik 

Widerstände in Rohrleitungen 

Rohrreibungszahl � für 

glattes Kreisrohr und 

laminare Strömung 

(Re � 2300) 

210 

Druckabfall �p 

für turbulente 

Strömung 

Rohrreibungszahl � für 

raues Kreisrohr für 

körnige Rauigkeiten 

Rohrreibungszahl � 

für Stahlrohrleitungen 

unrunde 

Querschnitte 

Druckabfall �p für 

Krümmer und Ventile 

Druckabfall �p in einer 

Abzweigung 

Druckabfall �p im 

Gesamtstrom nach der 

Abzweigung 

64 p2 d 

� = = 

Re w 2 

∆ 

r l 

�p = 

l 

32 η w 

d 2 

p l, d r w �� 

N 

Pa 

2 m = m kg 

3 m 

m 

s 

1 

Ns 

2 m 

� dynamische Zähigkeit (8.2) 

� = 0,3164 Re – 0,25 bis Re = 100 000 

� = 0,0054 � 0,396 Re – 0,3 bis Re = 2 000 000 

� = 0,0032 � 0,221 Re – 0,237 für Re = 10 5 ... 3,23 · 10 6 

1 

� = 

[2lg( d/ k ) + 1,14] 

� = λ 

� glatt 

2 

7 

3 4 

0,86⋅ − 10 ⎛ Re ⎞ 

+ ⎜lg ⎟ 

d ⎝ (10 d) 

⎠ 

glatt 0,28 5 1,1 

wie für turbulente Strömung 

d 

relative Wandrauigkeit 

k 

d Rohrdurchmesser in mm 

k absolute Wandrauigkeit nach 8.7 

Es gelten die Gleichungen für Kreisrohre mit d = 4a, 

mit a = Querschnittsfläche A 

benetzter UmfangU 

Umstellung auch bei Re-Zahl: Re = 

� kinematische Zähigkeit (8.2) 

�p = ζ 

2 w 

r 

2 

4wA 

U ν 

� Widerstandszahl nach 8.7 bis 8.9 2 

�p = 

�p = 

ζ 2 

a w 

2 r 

ζ 2 

g w 

2 r 

�p �� r w 

N 

Pa 

m = 1 kg 

3 m 

m 

s 

� a , � g Widerstandszahlen nach 8.10

Fluidmechanik 

Absolute Wandrauigkeit k 

8.5 Dynamische Zähigkeit �, kinematische Zähigkeit � und Dichte r von Wasser 

Temperatur in °C 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 

10 –6 � in Ns/m 2 

10 –6 � in m 2 /s 

r in kg/m 3 

1780 

1,78 

1000 

1300 

1,31 

1000 

1000 

1,01 

998 

805 

0,81 

658 

0,66 

992 

560 

0,56 

470 

0,48 

983 

403 

0,42 

353 

0,37 

972 

8.6 Staudruck q in N/m 2 und Geschwindigkeit w in m/s für Luft und Wasser 

Luft 15 °C. 1,013 bar = 1,013 · 10 5 N/m 2 

314 

0,33 

q 9,8 39 49 88 98 157 196 245 294 390 490 

w 4 8 8,95 12 12,65 16 17,9 20 21,9 25,3 28,3 

Wasser 

q 9,8 20 29 69 98 128 177 245 490 980 

w 0,14 0,2 0,28 0,4 0,447 0,5 0,6 0,7 1 1,4 

Wasser 

q 1960 2940 3920 4900 7840 9800 19 600 29 400 39 200 

w 2 2,45 2,83 3,16 4 4,47 6,33 7,73 8,95 

8.7 Absolute Wandrauigkeit k 

Wandwerkstoff 

absolute 

Rauigkeit k 

mm 

Gezogene Rohre aus Buntmetallen, Glas, Kunststoffen, Leichtmetallen 0 ... 0,0015 

Gezogene Stahlrohre 

feingeschlichtete, geschliffene Oberfläche 

geschlichtete Oberfläche 

geschruppte Oberfläche 

Geschweißte Stahlrohre handelsüblicher Güte 

neu 

nach längerem Gebrauch, gereinigt 

mäßig verrostet, leicht verkrustet 

schwer verkrustet 

Gusseiserne Rohre 

inwendig bitumiert 

neu, nicht ausgekleidet 

angerostet 

verkrustet 

Betonrohre 

Glattstrich 

roh 

Asbestzementrohre 0,1 

0,01 ... 0,05 

bis 0,010 

0,01 ... 0,040 

0,05 ... 0,1 

0,05 ... 0,10 

0,15 ... 0,20 

bis 0,40 

bis 3 

0,12 

0,25 ... 1 

1 ... 1,5 

1,5 ... 3 

0,3 ... 0,8 

1 ... 3 

285 

0,3 

958 

211 

8

8 

Fluidmechanik 

Widerstandszahlen � von Leitungsteilen 

212 

8.8 Widerstandszahlen � für plötzliche Rohrverengung 

Querschnittsverhältnis 

8.9 Widerstandszahlen � für Ventile 

Ventilart DIN-Ventil 

A 2 

= 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 

A 1 

�� = 0,46 0,42 0,37 0,33 0,23 0,13 0 

Reform- 

Ventil 

Rhei- 

Ventil 

Koswa- 

Ventil 

Freifluss- 

Ventil 

Schieber 

� = 4,1 3,2 2,7 2,5 0,6 0,05 

8.10 Widerstandszahlen � von Leitungsteilen 

Krümmer 

Gusskrümmer 90° 

scharfkantiges Knie 

Kniestück 

Kniestück 

Stromabzweigung 

(Trennung) 

glatt 

rau 

� 

� 

� 

d 

r 

� = 15° 

� = 22,5° 

� = 45° 

� = 60° 

� = 90° 

� = 90° 

1 2 4 6 10 

0,03 

0,045 

0,14 

0,19 

0,21 

0,51 

0,03 

0,045 

0,09 

0,12 

0,14 

0,30 

0,03 

0,045 

0,08 

0,10 

0,11 

0,23 

0,03 

0,045 

0,075 

0,09 

0,09 

0,18 

0,03 

0,045 

0,07 

0,07 

0,11 

0,20 

NW 50 100 200 300 400 500 

� = 1,3 1,5 1,8 2,1 2,2 2,2 

� = 22,5º 30º 45º 60º 90º 

glatt � = 0,07 0,11 0,24 0,47 1,13 

rau � = 0,11 0,17 0,32 0,68 1,27 

l 

= 

d 

0,71 0,943 1,174 1,42 1,86 2,56 6,28 

glatt �� = 0,51 0,35 0,33 0,28 0,29 0,36 0,40 

rau �� = 0,51 0,41 0,38 0,38 0,39 0,43 0,45 

l 

= 

d 

1,23 1,67 2,37 3,77 

glatt �� = 0,16 0,16 0,14 0,16 

rau �� = 0,30 0,28 0,26 0,24 

� 

Va 

V� 

= 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

� = 90° 

�a = 0,95 0,88 0,89 0,95 1,10 1,28 

� � 

� �g = 0,04 – 0,08 – 0,05 0,07 0,21 0,35 

� = 45° 

�a = 0,9 0,66 0,47 0,33 0,29 0,35 

� 

� 

� �g = 0,04 – 0,06 – 0,04 0,07 0,20 0,33

Zusammenfluss 

(Vereinigung) 

für Warmwasserheizungen 

Bogenstück 90° 

Knie 90° 

� 

Fluidmechanik 

Widerstandszahlen � von Leitungsteilen 

Va 

V� 

= 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 

� = 90° 

�a = – 1,1 – 0,4 0,1 0,47 0,72 0,9 

� 

� 

� �g = 0,04 0,17 0,3 0,4 0,5 0,6 

� = 45° 

�a = 0,9 – 0,37 0 0,22 0,37 0,38 

� 

� 

� �g = 0,05 0,17 0,18 0,05 – 0,2 – 0,57 

Durchmesser 

d = 14 mm 20 25 34 39 49 

� = 1,2 1,1 0,86 0,53 0,42 0,51 

� = 1,2 1,7 1,3 1,1 1,0 0,83 

213 

8

9.1 Grundlagen 

Normalspannung � 

Schubspannung � 

Formänderung 

Schnitt rechtwinklig 

zur Achse 

Schnitt schräg 

zur Achse 

Bedingung 

Normalspannung � � 

Schubspannung � �� 

�, � F A 

N 

N mm 2 

mm 

2 

FN 

σ = 

A 

∆ 

∆ 

FT 

τ = 

A 

∆ 

∆ A Querschnittsfläche 

zur Normalspannung � gehört eine 

Dehnung �, 

zur Schubspannung � eine Gleitung � 

Einachsiger Spannungszustand 

F 

σ = 

A 

σ 

σϕ= (1+ cos2 ϕ) 

2 

= sin2 

2 

σ 

τϕϕ Ebener Spannungszustand 

Scheibe konstanter Dicke, sämtliche Komponenten 

der angreifenden Spannungen 

liegen in Scheibenebene. Wegen Momentengleichgewichts 

am Flächenteilchen muss 

� xy = � yx = � sein 

σy + σx σy −σx 

σϕ= + cos2ϕ−τsin2ϕ 2 2 

σy − σx 

τϕ= sin2ϕ+ τcos2ϕ 2 

A 

Festigkeitslehre 

Grundlagen 

A 

A 

A 

A 

A 

215 

9

9 


Grundlagen 

216 

Hauptspannungen � 1, � 2 

Schnittwinkel � 1, � 2 

maximale 

Schubspannung � max (in 

Schnittebene, die gegen 

Hauptrichtungen 1,2 um 

45° gedreht sind) 

Spannungssumme 

Mohr'scher 

Spannungskreis 

Verlängerung �l 

Dehnung � 

Hooke'sches Gesetz für 

Normalspannung 

Bruchdehnung � 0 beim 

Zerreißversuch 

Querdehnung � y in 

y-Richtung 

2 

σy + σx ⎛σy −σx⎞ 

2 

1,2 = ± ⎜ ⎟ + 

2 

⎜ 

2 

⎟ 

⎝ ⎠ 

σ τ 

2τ 

tan2 ϕ1 

=− 

σ − σ 

y x 

ϕ2 = ϕ1+ 

2 

π 

2 

y − x 2 1−2 ⎛σ σ ⎞ σ σ 

τmax =± ⎜ ⎟ + =± 

2 

⎟ τ 

⎝ ⎠ 

2 

σ σ σ σ σ σ 

ϕ + ϕ+ ( π/2) 

= x + y = 1+ 2 

Kreis mit Radius � max = (� 1 – � 2)/2 

um Punkt [� = (� x + � y)/2; � = 0] 

ergibt zeichnerisch die Spannungen 

in den verschiedenen Schnittebenen. 

� 1 und � y sind relative 

Größtwerte (z.B. können � 2 und � x 

negativ und absolut größer sein 

als � 1 und � y). 

Formänderung 

�l = l – l 0 

∆l l−l ε = = 

l l 

0 0 

(bei Druck: Stauchung) 

σ 

= E =konstant 

ε 

E Elastizitätsmodul (9.5) 

∆lB 

δ = ⋅100 

in% 

l0 

0 

εy = ε z =−µεx 

l 0 Ursprungslänge 

�lB nach Zerreißen 

gebliebene 

Verlängerung 

� 

� Poisson-Zahl�

Poisson-Zahl � 

Dehnung � x infolge 

sämtlicher Normalspannungen 

Volumendehnung e 

Hooke'sches Gesetz für 

Schubspannungen 

Modul-Verhältnis 

9.2 Zug- und Druckbeanspruchung 


vorhandene Zug- oder 

Druckspannung � z,d 

erforderlicher 

Querschnitt A erf 

zulässige Belastung F max 

Verlängerung �l 

Formänderungsarbeit W 

Stäbe gleicher Spannung 

(� zul) in jedem Querschnitt 

Querdehnung εy 

µ = 

Dehnung ε 

1 

εx = [ σ x − µ ( σy + σz)] 

E 

1−2 µ 

e = εx + εy + εz = ( σx + σy + σz) 

E 

τ 

= G =konstant 

γ 

G 1 

= 

E 2(1 + µ ) 

σ 

F 

A 

σ 

(Spannungsnachweis) 

max 

z,d vorh = ≤ zul 

Fmax 

A erf = 

σzul 

(Querschnittsnachweis) 

F max = A � zul 

(Belastungsnachweis) 

σ 

= − = ε = = 

∆l 

l l0 l0 


Zug- und Druckbeanspruchung 

� Stahl = 0,3 (auch für Leichtmetall) 

� GG = 0,25 

� Gummi = 0,5 

� y und � z durch zyklisches Vertauschen 

von x, y und z 

� Schiebung 

G Schubmodul 

(9.5, 9.28, 9.29) 

l0 F l0 

E EA 

F∆lσ2V R 2 R 

W = = = ∆l 

= f2 

2 2E2 2 

F F 

R = = � tan �� 

∆l f 

V Volumen in mm 3 

R Federrate in N/mm 

f Federweg in mm 

F 

Axerf = A0e = e 

σ 

10−9r gx 

m = 

σzul 

m m 

zul 

Bei Zug: Bohrungen und Nietlöcher 

vom tragenden Querschnitt abziehen. 

Bei Druck : Schlanke Stäbe auf 

Knickung nachrechnen. 

Bei Querschnittsänderungen gehört 

zum kleineren Querschnitt die größere 

Spannung und umgekehrt. 

� z,d, E F A �l, l, l 0, f �� W 

N 

2 

mm 

e = 2,71828... Basis des 

natürlichen Logarithmus 

g = 9,81 m/s 2 

Fallbeschleunigung 

A x, A 0 F � zul r g x 

mm2 N 

N 2 

mm 

kg 

3 

m 

m 

2 

s 

N mm 2 mm 1 Nmm 

mm 

A 

A 

217 

9

9 


Biegebeanspruchung 

größte Spannung � dyn bei 

dynamischer Belastung 

F G dyn 

größte Dehnung � dyn bei 

dynamischer Belastung 

F G dyn 

bei plötzlich 

aufgebrachter Last ohne 

vorherigen freien Fall 

(h = 0) ist 

218 

größte Verlängerung �l dyn 

Verlängerung �l t bei 

Temperaturänderung �T 

Länge l t nach 

Temperaturänderung �T 

Wärmespannung � t 

9.3 Biegebeanspruchung 


vorhandene Biegespannung 

� b vorh 

erforderliches 

Widerstandsmoment W erf 

zulässige Belastung 

M b max 

größte Zugspannung 

� z max 

größte Druckspannung 

� d max 

σ = σ + σ + σ 

l 

2 h 

dyn 0 0 2 0 E 

ε = ε + ε + ε 

l 

2 h 

dyn 0 0 2 0 

� 

� dyn = 2 � 0 

F G dyn Gewichtskraft eines plötzlich 

frei am Seil fallenden Körpers 

E Elastizitätsmodul 

h Fallhöhe 

l Seillänge 

A Seilquerschnitt 

FGdyn 

σ 0 = 

A 

� dyn = 2 � 0 �, E h, l, �l �� F G dyn A 

σ 

dyn 

∆ldyn = l 

E 

∆lt = l0αl∆T 

l t � l 0 (1 + � l �T) 

� t = � l��TE 

Mbmax 

σbvorh= ≤σbzul 

W 


W 

erf 

M 

= 

σ 

bmax 

bzul 


M b max = W � b zul 


M e M 

σ σ σ 

b 2 b 

zmax= b2= = ≤ z zul 

I W2 

M e M 

σ σ σ 

b 1 b 

dmax = b1= = ≤ dzul 

I W1 

N 

mm2 

mm 1 N mm 2 

� l Längenausdehnungskoeffizient (6.16) 

�T Temperaturdifferenz 

E E-Modul (9.5, 9.28, 9.29) 

�l t, l 0, l t � l �T � t, E 

mm 

1 

K 

N 

K 2 mm 

Diese Gleichung nur anwenden, wenn 

e 1 = e 2 = e ist . Sonst die Gleichung für 

unsymmetrischen Querschnitt benutzen. 

W axiales Widerstandsmoment nach 9.8 

I axiales Flächenmoment 2. Grades 

nach 9.8 

� b M b W I e 

N 

2 mm Nmm mm3 mm4 mm 

A


Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i 

Bestimmung des maximalen Biegemomentes M b max 

Stützkräfte bestimmen, 

rechnerisch (�Fy = 0, �M = 0) oder zeichnerisch 

(Seileckfläche � Biegemomentenfläche), worin 

M b = Hy m K m L M b H, y m K m L 

Nmm mm 

N 

mm 

mm 

mm 

H Polabstand in mm 

m K = a N/mm Kräftemaßstab 

m L = b mm/mm Längenmaßstab 

Querkraftfläche zeichnen und Nulldurchgänge 

festlegen. 

M b max entweder aus Querkraftfläche links oder 

rechts vom Nulldurchgang (M b � A q) berechnen, 

oder: In den Querschnitt x stellen und die 

Momente rechts oder links vom Querschnitt 

addieren, Summe ist M b(x). 

9.4 Flächenmomente 2. Grades I, Widerstandsmomente W, Trägheitsradius i 

(siehe auch 9.8, 9.9, 9.10) 

axiales Flächenmoment I x 

axiales Flächenmoment I y 

polares Flächenmoment I p 

Zentrifugalmoment I xy 

Trägheitsradius i 

bezogen auf Achsen, 

parallel zu den 

Schwerachsen A–A 

oder B–B 

bei Drehung um Winkel � 

I x = �y 2 �A 

(bezogen auf die x-Achse) 

I y = �x 2 �A 

(bezogen auf die y-Achse) 

I p = �r 2 �A = I x + I y 

I xy = �x y �A 

I 

i = 

A 

A = 

2 

x + Ala 

B = 

2 

y + Alb 

I I 

I I 

I = I + Al 

l 

AB xy a b 

(Verschiebesatz von Steiner) 

Iu Ix + Iy Ix −Iy 

= + cos2 

2 2 

−Ixysin2 

Iv Ix + Iy Ix −Iy 

= + cos2 

2 2 

+ Ixysin2 

Ix − Iy 

Iuv = sin2α+ Ixycos2α 

2 

α α 

α α 

für I kann I x , I y , I p eingesetzt 

werden, das ergibt dann i x , i y , i p 

A Flächeninhalt 

axiales Flächenmoment bezogen auf A-A 

axiales Flächenmoment bezogen auf B-B 

Zentrifugalmoment 

219 

9

9 


Elastizitätsmodul E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe in N/mm 2 

Hauptflächenmomente 

I I, I II 

(zeichnerisch mit 

Trägheitskreis) 

Lage der Hauptachsen 

(I uv = 0) 

axiales Widerstandsmoment 

W x, W y 

polares Widerstandsmoment 

W p 

axiales Widerstandsmoment 

bei unsymmetrischem 

Querschnitt 

220 

9.5 Elastizitätsmodul E 

und Schubmodul G 

verschiedener Werkstoffe 

in N/mm 2 

Ix − Iy 

1 2 2 

II= Imax= + ( Iy − Ix) + 4Ixy 

2 2 

I x + Iy 

1 2 2 

III= Imin= − ( Iy− Ix) + 4Ixy 

2 2 

2I 

xy 

tan2α 0 = 

I y − I x 

= = y I I 

x 

Wx Wy 

e e 

Wp 

p 

= 

r 

I 

x y 

I I 

Wx1 = Wx2= 

e e 

x x 

1 2 

Flächenmomente 2. Grades zusammengesetzter Flächen unsymmetrischer 

Querschnitte: 

1. Querschnitt in Teilflächen bekannter Schwerpunktslage zerlegen, 

2. Schwerpunkte der Teilflächen bestimmen (7.7), 

3. Flächenmomente der Teilflächen, bezogen auf ihre eigene 

Schwerachse nach 9.8 berechnen, 

4. Lage des Gesamtschwerpunktes bestimmen, wenn die 

Gesamtschwerachse Bezugsachse ist, 

5. Flächenmoment nach Verschiebesatz von Steiner bestimmen. 

Werkstoff E G 

Stahl und Stahlguss 

Gusseisen 

Temperguss 

Messing 

Zinnbronze 

AI Cu Mg 

Kunstharz 

Fichte (||/�) 1) 

Buche (||/�) 1) 

Esche (||/�) 1) 

200 000 ... 210 000 

75 000 ... 105 000 

90 000 ... 100 000 

100 000 ... 110 000 

110 000 ... 115 000 

72 000 

4 000 ... 16 000 

11 000/ 550 

16 000/1 500 

13 400/1 100 

1) parallel/rechtwinklig zur Faserrichtung 

80 000 ... 83 000 

30 000 ... 60 000 

50 000 ... 60 000 

35 000 ... 42 000 

40 000 

– 

– 

– 

– 

28 000

9.6 Träger gleicher Biegebeanspruchung 

Längs- und Querschnitt des 

Trägers 

Die Last F greift am Ende des 

Trägers an: 

Die Last F ist gleichmäßig 

über den Träger verteilt: 

Begrenzung des 

Längsschnittes 

obere Begrenzung: 

Gerade 

untere Begrenzung: 

quadratische Parabel 

Gerade 

Kubische Parabel 

Gerade 

Quadratische Parabel 


Träger gleicher Biegebeanspruchung 

Gleichungen zur Berechnung 

der Querschnitts-Abmessungen 

6 6 

F Flx y = x; h = ; y = h 

bσzul bσzul 

l 

8F ⎛l⎞ Durchbiegung in A: f = ⎜ ⎟ 

bE⎝h⎠ 6F 6Flbx 

y = x; b = ; y = 

h h 

l 

2 2 

σzul σzul 


bE⎝h⎠ 32 32 

F Fl 3 ; 3 ; 3 x 

y = x d = y = 

πσzul πσzul 

l 

3 F d 

Durchbiegung in A: f = ⋅ ; = 

5 E 64 

π l 

I 

I 

3 3 

3 

3 

3 4 

F Flhx y = x ; h= ; y = 

blσzul bσzull 

F = F' l F' Streckenlast in N 

m 

2 2 

3F ⎛x⎞ 3Flbx 

y = ⎜ ⎟ ; b= ; y = 

l σ ⎝ ⎠ σ l 

2 2 

zul h h zul 


bE⎝h⎠ 3 

221 

9

9 


Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen 

222 

Die Last F wirkt in C: 

Die Last F ist gleichmäßig 

über den Träger verteilt: 


zwei quadratische 

Parabeln 


Ellipse 

9.7 Stützkräfte, Biegemomente und Durchbiegungen 

bei Biegeträgern von gleichbleibendem Querschnitt 

6 F( l − a) x 

y = x = h 

blσzul a 

6Fa x1 

y1= x1 = h 

blσzul l−a 

h = 

6 F( l − a) a 

bl σzul 

2 2 x y 3Fl 

+ = 1; h = 

2 2 

⎛l⎞ h 

4b 

σzul 

⎜ ⎟ 

⎝2⎠ Durchbiegung in C: 

F Einzellast oder Resultierende der Streckenlast 

F' die auf die Längeneinheit bezogene Streckenlast 

F A, F B Stützkräfte in den Lagerpunkten A und B 

M max maximales Biegemoment in den Wendepunkten der Biegelinie ist M = 0 

I axiales Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts 

E Elastizitätsmodul des Werkstoffs 

f Durchbiegung. 

3 

3 

1 Fl 3 F ⎛l ⎞ 

f = ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟ 

64 EI16 bE⎝h⎠ Die strichpunktierte Linie gibt den Momentenverlauf über der Balkenlänge an. Positive Momentenlinien 

laufen nach oben, negative nach unten. 

F B = F 

M max = Fl 

3 

Fl 

f = 

3EI 

Fl3⎛ 3x x3 ⎞ Fl2 3f 

y = ⎜ ⎜1 − + ⎟ α = = 

l 

⎟; 

tan 

3EI⎝ 2 2l3 

⎠ 2EI 2l 

Fl2x⎛ 4x2⎞ 

l 

y = ⎜1− ⎟für 

x ≤ 

16EI ⎜ 

3 2 ⎟ 

⎝ l ⎠ 2 

F 

FA = FB= 

2 

F 

M max = 

4 

l 

3 F 

f = 

48E 

l 

I 

Fl23f tanα 

= = 

16EI 

l

F'l4 ⎛x4 x ⎞ 

y = ⎜ − 4 + 3⎟ 

24EI 

⎜ 4 ⎟ 

⎝ll⎠ F'l 4 ⎛x5 x ⎞ 

y = ⎜ − 5 + 4⎟ 

120EI 

⎜ 5 ⎟ 

⎝ll⎠ F B = F = F' l 

F l 

Mmax = 

2 

3 4 

Fl F'l 

f = = 

8EI8EI 2 4 

F f 

tan � = 

6E 3 

= 

l 

I l 

F'l 

FB= F = 

2 

F 

M max = 

3 

l 

3 

F 

f = 

15E 

l 

I 

2 5 

Flf tanα 

= = 

12EI 4l 

FA = FB = F 

Mmax = Fa 

Fl3a2⎛ 4a⎞ 

f = ⎜1− ⎟ 

2EI 

l2⎝ 

3l 

⎠ 

Fl3a⎛ 4a2⎞ 

fmax 

= ⎜1− ⎟ 

8EI l 

⎜ 

3 2 ⎟ 

⎝ l ⎠ 

FA = FB = F 

Mmax = Fa 

Fa2⎛al⎞ f1 

= ⎜ + ⎟ 

E ⎝3 2⎠ 

I 

2 Fal 

f2 

= 

8EI 

Fa( l+ c) Fal 

tanα1= tanαA 

= 

2EI2EI Festigkeitslehre 


b a 

FA = F FB = F 

l l 

ab 

Mmax = F 

l 

Fa2b2 f = 

EI 

3l 

+ a + a 

fmax = f 

3a 3b 

l l 

⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 

tanαA = f⎜ + ⎟ tanαB= 

f⎜ 

+ ⎟ 

⎝a 2b⎠ ⎝b 2a⎠ 

⎛ 2 

l 

⎞ 

⎛ 2 

Fab2x2 l 

⎞ 

a 

= ⎜ 

xa + − ⎟ 

Fa bxb 

= ⎜ 

xb 

y + − ⎟ 

a 

l ⎜ 

1 

⎟ 

; yb 

l ⎜ 

1 

6EI ⎟ 

⎝ b ab⎠ 6EI 

⎝ a ab⎠ 

(für x a � a) (für x b � b) 

F a ⎛ a⎞ 

= ⎜ + ⎟ 

3EI 

l ⎝ l ⎠ 

3 2 

C 2 1 

l 

f 

⎛ a⎞ a 

FA = F⎜1+ ⎟ FB = F 

⎝ l ⎠ 

l 

Mmax = Fa = MA 

F 3 a 

f = 

E 9 3 

l 

I l 

für x = 0,577 l 

Fal Fal Fa(2l+ 3 a) 

tan αA = ; tan αB= ; tanαC= 

3EI 6EI 6EI 

Fa( a+ c) 

tanαA 

= 

2EI 

Fac 

tanαC= tanαD 

= 

2EI 

F' 

FA = FB 

= 

4 

l 

Fl F'l2 

M max = = 

6 12 

Fl3 F'l4 

f = = 

60E 120E 

I I 

223 

9

9 



224 

F' 

FA = FB 

= 

2 

l 

F' 

M max = 

8 

l 

2 

3 

0,013 F l 

f ≈ 

EI 

tan 

F' 3 2 

l x⎛ x ⎞⎛ x x ⎞ 

y = ⎜1− ⎟⎜⎜1+ − ⎟ 

24EI 

⎟ 

⎝ l ⎠⎝ l 2 l ⎠ 

3 F' l 16f 

α A = = 

E 

24 I 5l 

F' l F' l 

FA = FB 

= 

6 3 

M = 0,064F'l 

max 

F' l3a⎛ 

a2⎞⎛ a2⎞ 

η = ⎜1− ⎟⎜7−3 ⎟ 

360EI 

⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ 

⎝ l ⎠⎝ l ⎠ 

⎡ 3 ⎤ 

1⎛a⎞ 3a 

M = Fa⎢1+ 

⎜ ⎟ − ⎥ 

⎢⎣ 2⎝b⎠ 2 ⎥⎦ 

l 

M 

B 

⎡ 3 ⎤ 

Fla ⎛a⎞ = ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 

2 ⎣⎢l ⎝l ⎠ ⎦⎥ 

bei x = 0,5774 l 

4 

F' l 

f = 

153,4 EI 

bei y = 0,5193 l 

2 

A 2 1 b ⎛ a ⎞ 

F = F ⎜ + ⎟ 

l ⎝ 2l 

⎠ 

FB = F −FA 

2 3 

2 1 Fa b ⎛ a ⎞ 

f = ⎜ + ⎟ 

4EI 

l ⎝ 3l 

⎠ 

tan 

2 Fab 

α A = 

E 

4 

I l 

2 

⎛l⎞ FA = FB = F'⎜ + a⎟ 

⎝2⎠ 2 

F' a 

M A = 

2 

2 2 

F'l ⎡1⎛a⎞ ⎤ 

MC 

= ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 

2 ⎢⎣4 ⎝l⎠ ⎥⎦ 

f 

A 

3⎡ 

2 ⎤ 

F' l 1 ⎛a⎞ tanαA 

= ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 

4EI⎣⎢6 ⎝l⎠ ⎦⎥ 

3 

f 

C 

4⎡ 

3 4⎤ 

F' l a ⎛a⎞ 1⎛a⎞ 

= ⎢ −⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 

4EI⎢⎣6l ⎝l ⎠ 2⎝l 

⎠ ⎥⎦ 

4 ⎡ 2 ⎤ 

F' l 5 ⎛a⎞ = ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ 

16EI ⎢⎣24 ⎝2⎠ ⎥⎦ 

F in Stabmitte 

5 

FA = F 

16 

11 

FB = F 

16 

5 

M = Fl 32 

3 

MB= Fl 

16 

3 F l 

E 

7 

f = 

768 

F l 

fmax = beix = 0,447l 

48 5 EI 

I 

F 

FA = FB 

= 

2 

M 

F l 

= = M 

8 

= M 

C A B 

3 F l 

E 

f = 

192 

I


Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A, Trägheitsradius i 

3 3 2 

l ⎡1⎛ ⎞ 1⎛ 

⎞ ⎤ 

⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ 

I ⎝l ⎠ ⎝l ⎠ 

F a a 

f = + 

E ⎢⎣3 4 ⎥⎦ 

⎛ 3a 

⎞ 

FA= F⎜1+ ⎟ 

⎝ 2l 

⎠ 

3a 

FB= F 

2l 

MA= Fa 

M = 

B 

Fa 

2 

3 

FA= F'l 

8 

5 

FB= F'l 

8 

F' 

M max = 

8 

l 

2 

4 F' l 

fmax 

= 

185EI 

für x = 0,4215 l 

⎛a⎞⎛ a⎞ 

MC= 2Fb⎜ ⎟⎜1− ⎟ 

⎝l ⎠⎝ l ⎠ 

⎛b⎞⎛ b⎞ 

FA= F⎜ ⎟⎜3−2 ⎟ 

⎝l ⎠⎝ l ⎠ 

⎛a⎞⎛ a⎞ 

FB= F⎜ ⎟⎜3−2 ⎟ 

⎝l ⎠⎝ l ⎠ 

2 

2 

2 

2 

⎛b⎞ MA= Fa⎜ ⎟ 

⎝l⎠ 2 

⎛a⎞ MB= Fb⎜ ⎟ 

⎝l⎠ 3 3 

Fa b 

f = 

3EI 

l 

3 

F' 

FA = FB 

= 

2 

l 

2 

F' 

M C = 

24 

l 

F' l 

M = M = = M 

12 

A B max 

4 

F' l 

f = 

384EI 

9.8 Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A und Trägheitsradius 

i verschieden gestalteter Querschnitte für Biegung und Knickung 

(die Gleichungen gelten für die eingezeichneten Achsen) 

I x 

3 

bh 

= 

12 

2 

bh 

W x = 

6 

i = 0,289h 

x 

h 4 

Ix = Iy = ID 

= 

12 

h 3 

Wx = Wy 

= 

6 

hb 3 

I y = 

12 

hb 2 

W y = 

6 

iy= 0,289b 

i = 0,289h 

W D = 

h 3 

2 

12 

A = b h 

A = h 2 

2 

225 

9

9 


Axiale Flächenmomente 

226 

3 ah 

I = 

36 

2 ah 

W = 

24 

2 2 

b + bb1+ b1 h 3 

36(2 b+ b1) 

6 6 

I = 

6b2 + 6bb 

2 

1+ b1 

W 2 

= 

h 

12(3b+ 2 b1) 

4 4 

π d d 

I = ≈ 

64 20 

3 3 

π d d 

W = ≈ 

32 10 

= ( D4 −d4) 

64 I 

π 

D4 − d4 

W = 

32 D 

π 

π a3b I x = 

4 

a2b W x = 

4 

π 

2 

e= h 

3 

i = 0,236h 

2b+ 

b1 

A = h 

2 

1 3b+ 2b1 

e = h 

3 2b+ 

b 

i 

= 

A 

I 

A = d2 

4 

π 

d 

i = 

4 

1 

π 

A = ( D2−d2) 4 

2 2 

i = 0,25 D + d 

π b3a I y = 

4 

b2a W y = 

4 

π 

π 3 3 π 2 

x = ( a b−a1 b1) ≈ a d( a+ 3 b) 

4 4 

I 

I x π 

Wx = ≈ ad( a+ 3 b) 

a 4 

Ix = 0,0068 d 4 

Wx1 = 0,0238 d 3 

W y = 0,049 d 3 

e1 = 4r 

= 0,4244 r 

3 π 

Iy = 0,0245 d 4 

Wx2 = 0,0323 d 3 

ix = 0,132 d 

4 4 2 2R−r 

I x = 0,1098( R −r ) −0,283R 

r 

R+ r 

R4 − r4 

I y = π 

8 

a 

i x = 

2 

b 

i y = 

2 

( R4 − r4) 

Wy 

= 

8R 

π 

ah 

A = 

2 

A = � a b 

A = π ( ah−a1b1) ix 

x 

= 

A 

I 

x 

Wx1 

= 

e1 

I x 

Wx2 

= 

e2 

I 3 3 2( D − d ) 

e1 

= 

2 2 3 π 

( D − d )


Axiale Flächenmomente I, Widerstandsmomente W, Flächeninhalte A, Trägheitsradius i 

I 

5 3 4 4 = s = 0,5413s 16 

3 

A= 2 

2 3 s 

W 

5 

= s3 = 0,625s3 8 

i = 0,456s 

I 

5 3 3 

= s = 0,5413s A= 3 s 

16 2 

4 4 2 

3 

W = 0,5413 s i = 0,456s 

Ix b 

= 3 3 ( H − h ) 

12 

Iy 

b3 

= ( H− h) 12 

A= b( H−h) b 

W 3 3 

x = ( H − h ) 

6H b2 

Wy = ( H−h) 6 

H3 − h3 

ix = I y = 0,289b 

12( H−h) I 

3 3 3 3 

bh ( − h1 ) + b1( h1 −h2 

) 

= 

12 

A = bh−b1h2−h1( b−b1) 3 3 3 3 

bh ( − h1 ) + b1( h1 −h2 

) 

W = 

6h 

i = 

I 

A 

2 1 

I 

3 3 

BH + bh 

= A = BH + bh 

12 

3 3 

BH + bh 

I 

W = i = 

6H 

A 

I 

3 3 

BH − bh 

= A = BH −bh 

12 

3 3 

BH − bh 

I 

W = i = 

6H 

A 

1 3 3 3 

I = ( Be1 − bh + ae 2 ) 

A = Bd + a( H −d) 

3 

2 2 

1 aH + bd 

e1 

= ⋅ 

2 aH + bd 

e = H −e 

i 

= 

A 

I 

227 

9

9 


Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl 

228 

1 

( ) 

3 

3 3 3 3 

I = Be1 − bh + B1e2 −b1h 

1 1 1 

1 

2 1 

2 2 

1 aH + bd + b1d1(2 H −d1) 

e1 

= ⋅ 

2 aH + bd + b d 

e = H −e 

9.9 Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl 

Kurzzeichen 

U 

30 × 15 

30 

40 × 20 

40 

50 × 25 

50 

60 

65 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

200 

220 

240 

260 

280 

300 

320 

350 

380 

400 

h 

mm 

30 

30 

40 

40 

50 

50 

60 

65 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

200 

220 

240 

260 

280 

300 

320 

350 

380 

400 

b 

mm 

15 

33 

20 

35 

25 

38 

30 

42 

45 

50 

55 

60 

65 

70 

75 

80 

85 

90 

95 

100 

100 

100 

102 

110 

s 

mm 

4 

5 

5 

5 

5 

5 

6 

5,5 

6 

6 

7 

7 

7,5 

8 

8,5 

9 

9,5 

10 

10 

10 

14 

14 

13,5 

14 

Querschnitt 

A 

mm 2 

221 

544 

366 

621 

492 

712 

646 

903 

1100 

1350 

1700 

2040 

2400 

2800 

3220 

3740 

4230 

4830 

5330 

5880 

7580 

7730 

8040 

9150 

e1 /e2 mm 

5,2/ 9,8 

13,1/19,9 

6,7/13,3 

13,3/21,7 

8,1/16,9 

13,7/24,3 

9,1/20,9 

14,2/27,8 

14,5/30,5 

15,5/34,5 

16,0/39,0 

17,5/42,5 

18,4/46,6 

19,2/50,8 

20,1/54,9 

21,4/58,6 

22,3/62,7 

23,6/66,4 

25,3/69,7 

27,0/73,0 

26,0/74,0 

24,0/76,0 

23,8/78,2 

26,5/83,5 

I x 

· 10 4 mm 4 

2,53 

6,39 

7,58 

14,1 

16,8 

26,4 

31,6 

57,5 

106 

206 

364 

605 

925 

1350 

1910 

2690 

3600 

4820 

6280 

8030 

10870 

12840 

15760 

20350 

W x 

· 10 3 mm 3 

1,69 

4,26 

3,79 

7,05 

6,73 

10,6 

10,5 

17,7 

26,5 

41,2 

60,7 

86,4 

116 

150 

191 

245 

300 

371 

448 

535 

679 

734 

829 

1020 

1) Die Zahlenwerte geben zugleich den Profilumfang U in m an. 

1 1 

A = Bd + b d + a( h + h ) 

i 

= 

A 

I 

Beispiel für die Bezeichnung eines U-Stahls und für das 

Ablesen von Flächenmomenten I und Widerstands- 

momenten W : 

U 100 DIN 1026 – USt37-2 

Höhe h = 100 mm 

Breite b = 50 mm 

Flächenmoment I x = 206 · 10 4 mm 4 

Widerstandsmoment W x = 41,2 · 10 3 mm 3 

Flächenmoment I y = 29,3 · 10 4 mm 4 

Widerstandsmoment W y1 = 18,9 · 10 3 mm 3 

W y2 = 8,49 · 10 3 mm 3 

Oberfläche je Meter Länge A' 0 = 0,372 m 2 /m 

Profilumfang U = 0,372 m 

Trägheitsradius ix = x A I / =39,1 mm 

I y 

· 10 4 mm 4 

0,38 

5,33 

1,14 

6,68 

2,49 

9,12 

4,51 

14,1 

19,4 

29,3 

43,2 

62,7 

85,3 

114 

148 

197 

248 

317 

399 

495 

597 

570 

615 

846 

W y1 

· 10 3 mm 3 

0,73 

4,07 

1,70 

5,02 

3,07 

6,66 

4,98 

9,93 

13,4 

18,9 

27,0 

35,8 

46,4 

59,4 

73,6 

92,1 

111 

134 

158 

183 

230 

238 

258 

355 

W y2 

· 10 3 mm 3 

0,39 

2,68 

0,86 

3,08 

1,47 

3,75 

2,16 

5,07 

6,36 

8,49 

11,1 

14,8 

18,3 

22,4 

27,0 

33,6 

39,6 

47,7 

57,3 

67,8 

80,7 

75,0 

78,6 

101 

Oberfläche 

je Meter 

Länge 

A' 0 

m 2 /m 1) 

0,103 

0,174 

0,142 

0,200 

0,181 

0,232 

0,215 

0,273 

0,312 

0,372 

0,434 

0,489 

0,546 

0,611 

0,661 

0,718 

0,775 

0,834 

0,890 

0,950 

0,982 

1,05 

1,11 

1,18 

Gewichtskraft 

je Meter 

Länge 

F'G 

N/m 

17,0 

41,9 

28,2 

47,8 

37,9 

54,8 

49,7 

69,5 

84,7 

104,0 

130,9 

157,1 

184,8 

215,6 

248,0 

288,0 

325,7 

372 

410,5 

452,8 

583,7 

595,3 

619,1 

704,6


Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl 

9.10 Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl 

Kurzzeichen 

20 × 4 

25 × 5 

30 × 5 

35 × 5 

40 × 6 

45 × 6 

50 × 6 

50 × 8 

55 × 8 

60 × 6 

60 × 10 

65 × 8 

70 × 7 

70 × 9 

70 × 11 

75 × 8 

80 × 8 

80 × 10 

80 × 12 

90 × 9 

90 × 11 

100 × 10 

100 × 14 

110 × 12 

120 × 13 

130 × 12 

130 × 16 

140 × 13 

140 × 15 

150 × 12 

150 × 16 

150 × 20 

160 × 15 

160 × 19 

180 × 18 

180 × 22 

200 × 16 

200 × 20 

200 × 24 

200 × 28 

a 

s 

mm 

20/ 4 

25/ 5 

30/ 5 

35/ 5 

40/ 6 

45/ 6 

50/ 6 

50/ 8 

55/ 8 

60/ 6 

60/10 

65/ 8 

70/ 7 

70/ 9 

70/11 

75/ 8 

80/ 8 

80/10 

80/12 

90/ 9 

90/11 

100/10 

100/14 

110/12 

120/13 

130/12 

130/16 

140/13 

140/15 

150/12 

150/16 

150/20 

160/15 

160/19 

180/18 

180/22 

200/16 

200/20 

200/24 

200/28 

Querschnitt 

A 

mm 2 

145 

226 

278 

328 

448 

509 

569 

741 

823 

691 

1110 

985 

940 

1190 

1430 

1150 

1230 

1510 

1790 

1550 

1870 

1920 

2620 

2510 

2970 

3000 

3930 

3500 

4000 

3480 

4570 

5630 

4610 

5750 

6190 

7470 

6180 

7640 

9060 

10500 

e1 

e2 

mm · 10 4 mm 4 

6,4/ 13,6 

8 / 17 

9,2/ 20,8 

10,4/ 24,6 

12 / 28 

13,2/ 31,8 

14,5/ 35,5 

15,2/ 34,8 

16,4/ 38,6 

16,9/ 43,1 

18,5/ 41,5 

18,9/ 46,1 

19,7/ 50,3 

20,5/ 49,5 

21,3/ 48,7 

21,3/ 53,7 

22,6/ 57,4 

23,4/ 56,6 

24,1/ 55,9 

25,4/ 64,6 

26,2/ 63,8 

28,2/ 71,8 

29,8/ 70,2 

31,5/ 78,5 

34,4/ 85,6 

36,4/ 93,6 

38,0/ 92 

39,2/100,8 

40,0/100,0 

41,2/108,8 

42,9/107,1 

44,4/105,6 

44,9/115,1 

46,5/113,5 

51,0/129,0 

52,6/127,4 

55,2/144,8 

56,8/143,2 

58,4/141,6 

59,9/140,1 

Beispiel für die Bezeichnung eines Winkelstahls 

und für das Ablesen von Flächenmomenten I und 

Widerstandsmomenten W : 

L 40 × 6 DIN 1028 – USt 37-2 

Schenkelbreite a = 40 mm 

Schenkeldicke s = 6 mm 

Flächenmoment I x = 6,33 · 10 4 mm 4 

Widerstandsmoment W x1 = 5,28 · 10 3 mm 3 

W x2 = 2,26 · 10 3 mm 3 



Trägheitsradius ix = x A I / = 11,9 mm 

I x = I y W x1 = W y1 W x2 = W y2 Oberfläche je 

Meter Länge 

0,48 

1,18 

2,16 

3,56 

6,33 

9,16 

12,8 

16,3 

22,1 

22,8 

34,9 

37,5 

42,4 

52,6 

61,8 

58,9 

72,3 

87,5 

102 

116 

138 

177 

235 

280 

394 

472 

605 

638 

723 

737 

949 

1150 

1100 

1350 

1870 

2210 

2340 

2850 

3330 

3780 


· 10 3 mm 3 

0,75 

1,48 

2,35 

3,42 

5,28 

6,94 

8,83 

10,7 

13,5 

13,5 

18,9 

19,8 

21,5 

25,7 

29,0 

27,7 

32,0 

37,4 

42,3 

45,7 

52,7 

62,8 

78,9 

88,9 

115 

130 

159 

163 

181 

179 

221 

259 

245 

290 

367 

420 

424 

502 

570 

631 

· 10 3 mm 3 

0,35 

0,69 

1,04 

1,45 

2,26 

2,88 

3,61 

4,68 

5,73 

5,29 

8,41 

8,13 

8,43 

10,6 

12,7 

11,0 

12,6 

15,5 

18,2 

18,0 

21,6 

24,7 

33,5 

35,7 

46,0 

50,4 

65,8 

63,3 

72,3 

67,7 

88,7 

109 

95,6 

119 

145 

174 

162 

199 

235 

270 

A' 0 

m 2 /m 1) 

0,08 

0,10 

0,12 

0,14 

0,16 

0,17 

0,19 

0,19 

0,21 

0,23 

0,23 

0,25 

0,27 

0,27 

0,27 

0,29 

0,31 

0,31 

0,31 

0,35 

0,36 

0,39 

0,39 

0,43 

0,47 

0,51 

0,51 

0,55 

0,55 

0,59 

0,59 

0,59 

0,63 

0,63 

0,71 

0,71 

0,79 

0,79 

0,79 

0,79 

Gewichtskraft je 

Meter Länge 

F'G 

N/m 

11,2 

17,4 

21,4 

25,3 

34,5 

39,2 

43,8 

57,1 

63,4 

53,2 

85,2 

75,9 

72,4 

91,6 

110,1 

88,6 

94,7 

116,7 

138,3 

119,4 

144,0 

147,9 

201,8 

193,3 

228,7 

231,0 

302,6 

269,5 

308,0 

268,0 

351,9 

433,6 

355,0 

442,8 

476,7 

575,3 

475,9 

588,3 

697,7 

808,6 

229 

9

9 


Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach EN 10056-1 

230 

9.11 Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl nach EN 10056-1 

Kurzzeichen 

30 × 20 × 4 

40 × 20 × 4 

45 × 30 × 5 

50 × 40 × 5 

60 × 30 × 7 

60 × 40 × 6 

65 × 50 × 5 

65 × 50 × 9 

75 × 50 × 7 

75 × 55 × 9 

80 × 40 × 6 

80 × 40 × 8 

80 × 65 × 8 

90 × 60 × 6 

90 × 60 × 8 

100 × 50 × 6 

100 × 50 × 8 

100 × 50 × 10 

100 × 65 × 9 

100 × 75 × 9 

120 × 80 × 8 

120 × 80 × 10 

120 × 80 × 12 

130 × 65 × 10 

13O× 75 × 10 

130 × 75 × 12 

130 × 90 × 10 

130 × 90 × 12 

150 × 75 × 9 

150 × 75 × 11 

150 × 90 × 10 

150 × 90 × 12 

150 × 100 × 10 

150 × 100 × 12 

150 × 100 × 14 

160 × 80 × 12 

200 × 100 × 10 

200 × 100 × 14 

250 × 90 × 10 

250 × 90 × 14 

a 

mm 

30 

40 

45 

50 

60 

60 

65 

65 

75 

75 

80 

80 

80 

90 

90 

100 

100 

100 

100 

100 

120 

120 

120 

130 

130 

130 

130 

130 

150 

150 

150 

150 

150 

150 

150 

160 

200 

200 

250 

250 

b 

mm 

20 

20 

30 

40 

30 

40 

50 

50 

50 

55 

40 

40 

65 

60 

60 

50 

50 

50 

65 

75 

80 

80 

80 

65 

75 

75 

90 

90 

75 

75 

90 

90 

100 

100 

100 

80 

100 

100 

90 

90 

c 

mm 

4 

4 

5 

5 

7 

6 

5 

9 

7 

9 

6 

8 

8 

6 

8 

6 

8 

10 

9 

9 

8 

10 

12 

10 

10 

12 

10 

12 

9 

11 

10 

12 

10 

12 

14 

12 

10 

14 

10 

14 

Ouerschnitt 

A 

mm 2 

185 

225 

353 

427 

585 

568 

554 

958 

830 

1090 

689 

901 

1100 

869 

1140 

873 

1150 

1410 

1420 

1510 

1550 

1910 

2270 

1860 

1960 

2330 

2120 

2510 

1950 

2360 

2320 

2750 

2420 

2870 

3320 

2750 

2920 

4030 

3320 

4590 

ex1 

ey1 

mm 

10,3 /5,4 

14,7/ 4,8 

15,2/ 7,8 

15,6/10,7 

22,4/ 7,6 

20,0/10,1 

19,9/12,5 

21,5/14,1 

24,8/12,5 

24,7/14,8 

28,5/ 8,8 

29,4/ 9,5 

24,7/17,3 

28,9/14,1 

29,7/14,9 

34,9/10,4 

35,9/11,3 

36,7/12,0 

33,2/15,9 

31,5/19,1 

38,3/18,7 

39,2/19,5 

40,0/20,3 

46,5/14,5 

44,5/17,3 

45,3/18,1 

41,5/21,8 

42,4/22,6 

52,8/15,7 

53,7/16,5 

49,9/20,3 

50,8/21,1 

48,0/23,4 

48,9/24,2 

49,7/25,0 

57,2/17,7 

69,3/20,1 

71,2/21,8 

94,5/15,6 

96,5/17,3 

I x 

· 10 4 mm 4 

1,59 

3,59 

6,99 

10,4 

20,7 

20,1 

23,1 

38,2 

46,4 

59,4 

44,9 

57,6 

68,1 

71,7 

92,5 

87,7 

116 

141 

141 

148 

226 

276 

323 

321 

337 

395 

358 

420 

455 

545 

532 

626 

552 

650 

744 

720 

1220 

1650 

2170 

2960 

W x1 

· 10 3 mm 3 

1,54 

2,44 

4,60 

6,67 

9,24 

10,1 

11,6 

17,8 

18,7 

24,0 

15,8 

19,6 

27,6 

24,8 

31,1 

25,1 

32,3 

38,4 

42,5 

47,0 

59,0 

70,4 

80,8 

69,0 

75,7 

87,2 

86,3 

99,1 

86,2 

101 

107 

123 

115 

133 

150 

126 

176 

232 

230 

307 

Beispiel für die Bezeichnung eines ungleichschenkligen 

Winkelstahls und für das Auswerten der Tabelle: 

L EN 10056-1 – 30 × 20 × 4 

Schenkel breite a = 30 mm, b = 20 mm 

Schenkeldicke s = 4 mm 

Flächenmoment 2. Grades I x = 1,59 · 10 4 mm 4 





Gewichtskraft je Meter Länge F'G = 14,2 N/m 

Trägheitsradius ix = x A I / = 9,27 mm 

W x2 

· 10 3 mm 3 

0,81 

1,42 

2,35 

3,02 

5,50 

5,03 

5,11 

8,77 

9,24 

11,8 

8,73 

11,4 

12,3 

11,7 

15,4 

13,8 

18,0 

22,2 

21,0 

21,5 

27,6 

34,1 

40,4 

38,4 

39,4 

46,6 

40,5 

48,0 

46,8 

56,6 

53,1 

63,1 

54,1 

64,2 

74,1 

70,0 

93,2 

128 

140 

192 


I y 

· 10 4 mm 4 

0,55 

0,60 

2,47 

5,89 

3,41 

7,12 

11,9 

19,4 

16,5 

26,8 

7,59 

9,68 

40,1 

25,8 

33,0 

15,3 

19,5 

23,4 

46,7 

71,0 

80,8 

98,1 

114 

54,2 

82,9 

96,5 

141 

165 

78,3 

93,0 

145 

170 

198 

232 

264 

122 

210 

282 

161 

216 

W y1 

· 10 3 mm 3 

1,02 

1,25 

3,17 

5,50 

4,49 

7,05 

9,52 

13,8 

13,2 

18,1 

8,63 

10,2 

23,2 

18,3 

22,0 

14,7 

17,3 

19,5 

29,4 

37,0 

43,2 

50,3 

56,0 

37,4 

47,9 

53,3 

65,0 

73,0 

49,9 

56,0 

71,0 

81,0 

85,0 

96,0 

106 

69,0 

104 

129 

103 

125 

W y2 

· 10 3 mm 3 

0,38 

0,39 

1,11 

2,01 

1,52 

2,38 

3,18 

5,39 

4,39 

6,66 

2,44 

3,18 

8,41 

5,61 

7,31 

3,86 

5,04 

6,17 

9,52 

12,7 

13,2 

16,2 

19,1 

10,7 

14,4 

17,0 

20,6 

24,4 

13,2 

15,9 

20,9 

24,7 

25,8 

30,6 

35,2 

19,6 

26,3 

36,1 

21,7 

29,7 

Oberfläche 

je Meter 

Länge 

A' 0 

m 2 /m 1) 

0,097 

0,117 

0,146 

0,177 

0,175 

0,195 

0,224 

0,224 

0,244 

0,254 

0,234 

0,234 

0,283 

0,294 

0,294 

0,292 

0,292 

0,292 

0,321 

0,341 

0,391 

0,391 

0,391 

0,381 

0,401 

0,401 

0,430 

0,430 

0,441 

0,441 

0,469 

0,469 

0,489 

0,489 

0,489 

0,469 

0,587 

0,587 

0,667 

0,667 

Gewichtskraft 

je Meter 

Länge 

F'G 

N/m 

14,2 

17,4 

27,2 

32,9 

45,0 

43,7 

42,7 

73,7 

63,8 

84,2 

53,1 

69,3 

84,9 

66,9 

87,9 

67,2 

88,2 

108,9 

108,9 

115,7 

119,6 

147,1 

174,6 

143,2 

151,0 

179,5 

162,8 

193,2 

150,0 

182,4 

178,5 

211,8 

186,3 

221,6 

255,9 

211,8 

225,6 

309,9 

255,9 

353,0


Warmgewalzte schmale �-Träger nach DIN 1025-1 

9.12 Warmgewalzte schmale �-Träger nach DIN 1025-1 (Auszug) 

Kurzzeichen 

� 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

200 

220 

240 

260 

280 

300 

320 

340 

360 

380 

400 

425 

450 

475 

500 

550 

600 

h 

mm 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

200 

220 

240 

260 

280 

300 

320 

340 

360 

380 

400 

425 

450 

475 

500 

550 

600 

b 

mm 

42 

50 

58 

66 

74 

82 

90 

98 

106 

113 

119 

125 

131 

137 

143 

149 

155 

163 

170 

178 

185 

200 

215 

s 

mm 

3,9 

4,5 

5,1 

5,7 

6,3 

6,9 

7,5 

8,1 

8,7 

9,4 

10,1 

10,8 

11,5 

12,2 

13,0 

13,7 

14,4 

15,3 

16,2 

17,1 

18,0 

19,0 

21,6 

t 

mm 

5,9 

6,8 

7,7 

8,6 

9,5 

10,4 

11,3 

12,2 

13,1 

14,1 

15,2 

16,2 

17,3 

18,3 

19,5 

20,5 

21,6 

23,0 

24,3 

25,6 

27,0 

30,0 

32,4 

Querschnitt 

A 

mm 2 

758 

1060 

1420 

1830 

2280 

2790 

3350 

3960 

4610 

5340 

6110 

6910 

7780 

8680 

9710 

10700 

11800 

13200 

14700 

16300 

18000 

21300 

25400 

I x 

·10 4 mm 4 

77,8 

171 

328 

573 

935 

1450 

2140 

3060 

4250 

5740 

7590 

9800 

12510 

15700 

19610 

24010 

29210 

36970 

45850 

56480 

68740 

99180 

139000 

Beispiel für die Bezeichnung eines schmalen �-Trägers 

mit geneigten inneren Flanschflächen und für das Auswerten 

der Tabelle: 

�-Profil DIN 1025 – S235JR – � 80 



Flächenmoment 2. Grades I x = 77,8 · 10 4 mm 4 




Trägheitsradius ix = x A I / = 32 mm 

W x 

· 10 3 mm 3 

19,5 

34,2 

54,7 

81,9 

117 

161 

214 

278 

354 

442 

542 

653 

782 

923 

1090 

1260 

1460 

1740 

2040 

2380 

2750 

3610 

4630 


I y 

·10 4 mm 4 

6,29 

12,2 

21,5 

35,2 

54,7 

81,3 

117 

162 

221 

288 

364 

451 

555 

674 

818 

975 

1160 

1440 

1730 

2090 

2480 

3490 

4670 

W y 

· 10 3 mm 3 

3,00 

4,88 

7,41 

10,7 

14,8 

19,8 

26,0 

33,1 

41,7 

51,0 

61,2 

72,2 

84,7 

98,4 

114 

131 

149 

176 

203 

235 

268 

349 

434 

Oberfläche 

je Meter 

Länge 

A' 0 

m 2 /m 1) 

0,304 

0,370 

0,439 

0,502 

0,575 

0,640 

0,709 

0,775 

0,844 

0,906 

0,966 

1,03 

1,09 

1,15 

1,21 

1,27 

1,33 

1,41 

1,48 

1,55 

1,63 

1,80 

1,92 

Gewichtskraft 

je Meter 

Länge 

F'G 

N/m 

58,4 

81,6 

110 

141 

176 

215 

258 

305 

355 

411 

471 

532 

599 

668 

746 

824 

908 

1020 

1128 

1256 

1383 

1638 

1952 

231 

9

9 


Warmgewalzte � -Träger, � PE-Reihe 

232 

9.13 Warmgewalzte � -Träger, � PE-Reihe 

Kurzzeichen 

IPE 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

200 

220 

240 

270 

300 

330 

360 

400 

450 

500 

550 

600 

b 

mm 

46 

55 

64 

73 

82 

91 

100 

110 

120 

135 

150 

160 

170 

180 

190 

200 

210 

220 

t 

mm 

5,2 

5,7 

6,3 

6,9 

7,4 

8,0 

8,5 

9,2 

9,8 

10,2 

10,7 

11,5 

12,7 

13,5 

14,6 

16,0 

17,2 

19,0 

h 

mm 

80 

100 

120 

140 

160 

180 

200 

220 

240 

270 

300 

330 

360 

400 

450 

500 

550 

600 

s 

mm 

3,8 

4,1 

4,4 

4,7 

5,0 

5,3 

5,6 

5,9 

6,2 

6,6 

7,1 

7,5 

8,0 

8,6 

9,4 

10,2 

11,1 

12,0 

r 

mm 

5 

7 

7 

7 

9 

9 

12 

12 

15 

15 

15 

18 

18 

21 

21 

21 

24 

24 

Querschnitt 

A 

mm 2 

764 

1030 

1320 

1640 

2010 

2390 

2850 

3340 

3910 

4590 

5380 

6260 

7270 

8450 

9880 

11600 

13400 

15600 

I x 

· 10 4 mm 4 

80,1 

171 

318 

541 

869 

1320 

1940 

2770 

3890 

5790 

8360 

11770 

16270 

23130 

33740 

48200 

67120 

92080 

Beispiel für die Bezeichnung eines mittelbreiten I-Trägers 

mit parallelen Flanschflächen und für das Ablesen 

von Flächenmomenten I und Widerstandsmomenten W: 

IPE 80 DIN 1025 – USt37-2 



Flächenmoment I x = 80,1 · 10 4 mm 4 




Trägheitsradius Ix = x A I / = 32,4 mm 

W x 

· 10 3 mm 3 

20,0 

34,2 

53,0 

77,3 

109 

146 

194 

252 

324 

429 

557 

713 

904 

1160 

1500 

1930 

2440 

3070 


I y 

· 10 4 mm 4 

8,49 

15,9 

27,7 

44,9 

68,3 

101 

142 

205 

284 

420 

604 

788 

1040 

1320 

1680 

2140 

2670 

3390 

W y 

· 10 3 mm 3 

3,69 

5,79 

8,65 

12,3 

16,7 

22,2 

28,5 

37,3 

473 

62,2 

80,5 

98,5 

123 

146 

176 

214 

254 

308 

Oberfläche 

je Meter Länge 

A' 0 

m 2 /m 1) 

0,328 

0,400 

0,475 

0,551 

0,623 

0,698 

0,768 

0,848 

0,922 

1,041 

1,155 

1,254 

1,348 

1,467 

1,605 

1,738 

1,877 

2,014 

Gewichtskraft 

je Meter Länge 

F'G 

N/m 

59 

79 

102 

126 

155 

184 

220 

257 

301 

353 

414 

482 

560 

651 

761 

893 

1032 

1200

9.14 Knickung im Maschinenbau (siehe auch 9.35) 


Knickung im Maschinenbau 

1. Lösungsweg 

Gegeben: Querschnittsabmessungen und damit axiales Flächenmoment I, Stablänge l, 

Belastungsfall 

Gesucht: Zulässige Druckkraft F oder vorhandene Knicksicherheit � 

Schlankheitsgrad � 

s 

λ = 

i 

Trägheitsradius imin imin 

min 

= 

A 

I 

Vergleich des 

Schlankheitsgrades � 

mit Grenzschlankheitsgrad 

� 0 nach 9.15 

Beachte: 

Meistens kann s = l 

gesetzt werden (Fall 2) 

Imin kleinstes Flächenmoment 2. Grades des Querschnittes in mm 4 (9.8) 

s freie Knicklänge in mm 

i Trägheitsradius in mm (9.8) 

d 

i = für Kreisquerschnitt 

4 

A Querschnitt 

bei � � �0 weiterrechnen nach Euler: 

Knickkraft FK nach Euler und 

Knickspannung �K 2 E Imin 

π 

FK 

= 

2 s 

oder 

2 E π 

σK 

= 

2 λ 

zulässige 

Druckkraft F oder 

Knicksicherheit � vorh 

F F 

F = oder νvorh 

= 

ν 

F 

K K 

bei � � �0 weiterrechnen nach Tetmajer (9.15): 

Knickspannung �K vorhandene Druck- 

F 

spannung �d oder 

d d 

A 

Knicksicherheit � 

� K, � d, E F K, F �, � s, i I A 

N 

2 

mm 

mit Tetmajer-Gleichung aus 9.15 berechnen. 

σK σK 

σ = oder σ = oder ν = 

ν σ 

2. Lösungsweg 

Gegeben: Druckkraft F, Knicksicherheit �, Stablänge l, Belastungsfall 

Gesucht: Erforderlicher Durchmesser d 

Knickkraft F K 

erforderliches 

Flächenmoment 

I min 

F K =F� 

F 2 

K s 

Imin 

= 

E π2 

d 

4 

N 1 mm mm 4 mm 2 

d 

I = bei Kreisquerschnitt 

20 

233 

9

9 


Grenzschlankheitsgrad � 0 für Euler'sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen 

erforderlicher Durchmesser 

d bei Kreisquerschnitt 

und Trägheitsradius 

i 

234 

Schlankheitsgrad � 

4 d erf = 20I 

min 

Imin 

d 

i = = 

A 4 

λ = s 

i 

Vergleich des Schlankheitsgrades � mit Grenzschlankheit � 0 nach 9.15. 

Ist � � � 0 war die Annahme richtig, d. h. gefundener Durchmesser d kann ausgeführt werden. 

Bei � � � 0 muss mit angenommenem Durchmesser d nach Tetmajer weitergerechnet werden; 

zweckmäßig wird d größer d erf angenommen, dann der Schlankheitsgrad � = 4 s/d (bei Kreisquerschnitt) 

neu berechnet, mit Tetmajer-Gleichung (9.15) die Knickspannung � K bestimmt, ebenso die 

vorhandene Druckspannung � d = F/A. Danach wird überprüft, ob 

Knicksicherheit � 

σK 

ν = ≥ν 

σ 

ist. 

vorh erf 

d 

Ist �vorh � �erf, muss mit größerem d 

die Rechnung wiederholt werden. 

9.15 Grenzschlankheitsgrad � 0 für Euler'sche Knickung und Tetmajer-Gleichungen 

Werkstoff Elastizitätsmodul E 

N 

in 

mm 

2 

Grenzschlankheitsgrad � 0 Tetmajer-Gleichung für Knickspannung � K 

N 

in 

mm 

Nadelholz 10 000 100 � K = 29,3 – 0,194 · � 

Gusseisen 100 000 80 � K = 776 – 12 · � + 0,053 · � 2 

S235JR 210 000 105 � K = 310 – 1,14 · � 

E295 und 

E355 

Vergütungsstahl 

z.B. 16NiCr4 

210 000 89 � K = 335 – 0,62 · � 

210 000 86 � K = 470 – 2,3 · � 

Beachte: Die Eulergleichung gilt nur, solange der errechnete Schlankheitsgrad � gleich oder größer 

ist als der hier in der Tabelle angegebene Grenzschlankheitsgrad � 0. 

Die Tetmajer-Gleichungen sind Zahlenwertgleichungen mit � K in N/mm 2 . 

2

9.16 Abscheren und Torsion 

Praktisches Beispiel für Abscherbeanspruchung ist das 

Scherschneiden. Die äußeren Kräfte F bilden ein 

Kräftepaar mit dem kleinen Wirkabstand u, dem so 

genannten Schneidspalt. Das entsprechend kleine 

Kraftmoment M = Fu wird vernachlässigt. Die in der 

Schnittfläche auftretende Gleichgewichtskraft F q = F ist 

eine Tangentialkraft, die auftretende Tangentialspannung 

ist die Schubspannung �. Zur Kennzeichnung der Beanspruchung 

nennt man sie Abscherspannung � a. 

vorhandene Abscherspannung � a 

(Abscher-Hauptgleichung) 


Querschnitt A 

zulässige Belastung F max 

F 

τavorh= ≤τazul 

A 


F 

Aerf 

= 

τazul 


Fmax = A τazul 


Untersuchungen am Rechteckquerschnitt ergeben eine 

parabolische Verteilung der Schubspannungen mit � = 0 

in der Randfaser und � = � max in der mittleren Faserschicht. 

Wird mit dem Mittelwert � mittel = � a = F/A gerechnet, ergeben 

sich für verschiedene Querschnittsformen die folgenden 

Maximalwerte für die auftretende Schubspannung: 

� max = (3/2) · � a für den Rechteckquerschnitt, 

� max = (4/3) · � a für den Kreisquerschnitt, 

� max = ca. 2 · � a für den Rohrquerschnitt. 

Niete und Bolzen werden mit der Abscher-Hauptgleichung 

� a vorh = F/A berechnet, obwohl keine gleichmäßige 

Spannungsverteilung vorliegt und der gefährdete 

Querschnitt neben der Querkraft F q = F noch ein Biegemoment 

M b zu übertragen hat. In warm eingezogenen 

Nieten tritt gar keine Schubspannung auf, sie werden 

durch das Schrumpfen in Längsrichtung auf Zug beansprucht. 

Die zulässigen Abscherspannungen für Nietverbindungen 

im Stahlhoch- und Kranbau sowie im Kesselbau sind 

vorgeschrieben. 

W 

F =F 

q 

u 

F 

F 

F 


Abscheren und Torsion 

s 

A 

A = Querschnittsfläche 

� a F A 

N/mm 2 N mm 2 

Diese Gleichungen gelten nur unter der 

Annahme einer gleichmäßigen Schubspannungsverteilung 

über der Querschnittsfläche 

A. 

Abscherfestigkeit � aB: 

� aB = 0,85 · R m (für Flussstahl) 

� aB = 1,1 · R m (für Gusseisen) 

F 

A 

l 

F 

235 

9

9 


Abscheren und Torsion 

vorhandene 

Torsionsspannung � t 

erforderliches polares 

Widerstandsmoment W p 

zulässiges Torsionsmoment 

M T max 

erforderliches polares 

Widerstandsmoment W p 

236 

Verdrehwinkel � in Grad (°) 

Formänderungsarbeit W 

M 

τ τ 

T 

tvorh= ≤ tzul 

Wp 


W 

perf 

M 

= 

τ 

T 

tzul 


MTmax = Wpτtzul (Belastungsnachweis) 

9,55 106 P 

M T = ⋅ 

n 

(Zahlenwertgleichung) 

o 180 τt 

l 

ϕ = 

π Gr 

o 180 M T l 

ϕ = 

π W rG 

ϕ = 

p 

o 180 M T 

π 

I 

p 

l 

G 

2 

t V R 2 

ϕ τ 

W = MT= 

= ϕ 

2 4G 2 

M T 

R = � tan � 

ϕ 

V Volumen in mm 3 

R Federrate in N/mm 

� Drehwinkel in rad 

G Schubmodul in N/mm 2 

� t M T W p 

N 

2 

mm 

Nmm mm 3 

W p polares Widerstandsmoment (9.20) 

M T P n 

Nmm kW min –1 

G Schubmodul in N/mm 2 nach 9.5 

l Verdrehlänge in mm 

r Wellenradius in mm 

MT Torsionsmoment in Nmm 

Wp polares Widerstandsmoment 

in mm 3 

Ip polares Flächenmoment in mm 4 

nach 9.20


Widerstandsmoment W p (W t) und Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t) 

9.17 Widerstandsmoment W p (W t) und Flächenmoment I p (Drillungswiderstand I t) 

Form des Querschnittes 

Widerstandsmoment W p (W t ) 

π 3 d 

Wt = Wp = d ≈ 

16 5 

≈ 0,2 d 

Wt = Wp 

= ⋅ 

16 

π 3 

Wt= nb 

16 

h 

= n > 1 

b 

3 

3 

Flächenmoment I p 

Drillungswiderstand I t 

π 4 d 

It= Ip 

= d ≈ 

32 10 

≈ 0,1d 

4 

4 

Bemerkungen 

� max am 

Umfang 

4 4 

π da−di π 4 4 � max am 

It = Ip 

= ( da −di) 

da 

32 

3 4 π n b 

I t = ⋅ 

16 2 n + 1 

ha h i h i b i 

= = n > 1 = = α < 1 

b b h b 

a i a a 

3 

π n 

I = ⋅ ⋅ 4 −α4 

t b 

2 a (1 ) 

16 n + 1 

π 3 

W = −α4 

t nba 

(1 ) 

16 

W 3 

t = 0,208a 

h 

= n > 1 

b 

t 1 

3 

W = c b 

I 

4 

t = 0,141a 

4 

c b = 

t 2 I 

Umfang� 

� max an den 

Endpunkten 

der kleinen 

Achse 

� max an den 

Endpunkten 

der kleinen 

Achse 

� max in der 

Mitte der 

Seiten 

� max in der 

Mitte der 

langen 

Seiten 

� 

n 1 1,5 2 3 4 6 8 10 

c 1 0,208 0,346 0,493 0,801 1,150 1,789 2,456 3,123 

c 2 0,1404 0,2936 0,4572 0,7899 1,1232 1,789 2,456 3,123 

237 

9

9 


Zusammengesetzte Beanspruchung bei gleichartigen Spannungen 

238 

9.18 Zusammengesetzte 

Beanspruchung bei 

gleichartigen 

Spannungen 

Zug und Biegung 

resultierende Zug- 

spannung � res Zug 


resultierende Druckspannung 

� res Druck 

Druck und Biegung 

resultierende 

Druckspannung � res Druck 


resultierende 

Zugspannung � res Zug 

Torsion und Abscheren 

maximale Schub- 

Spannung � max in den 

Umfangspunkten B 

i I 

σresZug = σz+ σbzc= 

= 

a Aa 

σ 

F Fae 

= + ≤σ 

A I 

σ = σ −σ 

resZug zzul 

resDruck bz z 

Fae F 

σ = − ≤σ 

I A 

resDruck dzul 

i I 

σresDruck = σd+ σbdc= 

= 

a Aa 

σ 

F Fae 

= + ≤σ 

A I 

σ = σ −σ 

resDruck dzul 

resZug bd d 

Fae F 

σ = − ≤σ 

I A 

resZug z zul 

16F 8F 

max = s + t = + 

2 2 

3 πd πd 

τ τ τ 

τ 

F 

max = 4,24 

2 d 

2 

2

9.19 Zusammengesetzte 

Beanspruchung bei 

ungleichartigen 

Spannungen 

Maximalwerte � und � zur 

Bestimmung der 

Vergleichsspannung � v 

in Wellen mit 

Kreisquerschnitt 

Dehnungshypothese 

(C. Bach) 

Schubspannungshypothese 

(Mohr) 

Hypothese der größten 

Gestaltänderungsenergie 

Anstrengungsverhältnis � 0 

Dehnungshypothese 

Schubspannungshypothese 

Hypothese der größten 

Gestaltänderungsenergie 


Zusammengesetzte Beanspruchung bei ungleichartigen Spannungen 

Gleichzeitiges Auftreten von Normal- und Schubspannungen ergibt 

mehrachsigen Spannungszustand, so dass algebraische Addition (wie 

bei Zug/Druck und Biegung oder Torsion und Abscheren) nicht 

möglich ist. Es wird die Vergleichsspannung � v eingeführt, die unmittelbar 

mit dem Festigkeitskennwert des Werkstoffs bei einachsigem 

Spannungszustand verglichen wird und nach einer der aufgestellten 

Festigkeitshypothesen ermittelt werden kann. 

Bei Biegung und Torsion z.B. besteht das innere Kräftesystem aus 

dem Biegemoment M b = Fx, dem Torsionsmoment M T = Fr und der 

Querkraft F q = F. Größte Normalspannung tritt in den Punkten A, B 

auf, größte Torsionsschubspannung am Kreisumfang. Querkraft- 

Schubspannung kann bei langen Stäben vernachlässigt werden. 

M b 32Fx M T 16Fr 

max = = = und 

3 max = = = 

W W 3 

πd p πd 

σ σ τ τ 

2 2 

σv= 0,35σ+ 0,65 σ + 4τ 

2 2 

σ = σ + 4τ 

v 

2 2 

σ = σ + 3τ 

α 

v 

0 = 

σ 

ϕ τ 

zul 

zul 

Diese Gleichungen gelten nur, wenn 

� und � durch gleichen Belastungsfall 

entstehen (z.B. beide durch wechselnde 

Belastung), sonst ist mit dem 

„Anstrengungsverhältnis � 0 “ zu rechnen. 

� ist für jede Hypothese verschieden, 

siehe folgende � 0 -Werte 

σ 

σ = σ+ σ + α τ α = 

τ 

zul 

2 2 

v 0,35 0,65 4( 0 ) 0 

1, 3 

σ 

σ = σ + α τ α = 

τ 

zul 

2 2 

v 4( 0 ) 

0 

2 

2 2 

σzul 

σv = σ + 3( α0τ) α0 

= 

1, 73 

τ 

zul 

zul 

zul 

239 

9

9 


Beanspruchung durch Fliehkraft 

240 




Schubspannung �� 



Vergleichsmomente M v 

und d erf für Wellen mit 

Kreisquerschnitt 

9.20 Beanspruchung 

durch Fliehkraft 

umlaufender Ring 

Zugspannung in 

Umfangsrichtung � t 

(Tangentialspannung) 

Vergrößerung des 

Radius �r m 

Zug/Druck und Torsion 

F 

σ =± 

A 

τ 

M T 

= 

Wp 

Zug/Druck und Schub 

F 

σ =± 

A 

Fq 

τ = 

A 

Biegung und Torsion 

σ 

τ 

M b 

= 

W 

M T 

= 

Wp 

2 2 

v = b + 0,75( α0 

T) 

M M M 

32M 

3 v 

erf = 

π σbzul 

d 

(Hypothese der größten 

Gestaltänderungsenergie) 

= 2 2 

t m 

σ ω r r 

rω 

∆rm 

= 

E 

r 

m 

2r3 m 

ra + ri 

= 

2 

Beide Spannungen zur Vergleichsspannung 

� v zusammensetzen 





� 0 � 1,0 – wenn � b und � t im 

gleichen Belastungsfall 

� 0 � 0,7 – wenn � b wechselnd (III) 

und � t schwellend (II) 

oder ruhend (I) 

� t r �� r E �� 

N 

2 

m 

kg 

3 

m 

1 

s 

N 

m 2 

m 

r Dichte des Werkstoffs 


E E-Modul (9.5) 

r m 

mittlerer Radius 

s Dicke � r m 

� Poissonzahl (9.1) 

1

Tangentialspannung � t 

Radialspannung � r 



Axialspannung � x 

9.21 Flächenpressung, 

Lochleibungsdruck, 

Hertz'sche 

Pressung 

Flächenpressung p 

ebener Flächen 


der Prismenführung 


im Kegelzapfen 


Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung 

Umlaufende zylindrische Scheibe gleicher Dicke, Einheiten siehe 

umlaufender Ring 

µ ⎡ 2 2 + µ 2 

+ 

⎤ 

σ = ω2 

23 

ri ri (1 3 ) rm 

t r ra 

⎢1+ + − 

2 2 ⎥ 

8 ⎣ r r (3 + µ ) r2 


⎦ 

a m a 

µ ⎡ 2 2 2 

+ 

⎤ 

σ = ω2 

23 

ri ri rm 

r r ra 

⎢1+ − − 

2 2 2⎥ 

8 ⎣ r r r ⎦ 

a m a 

Umlaufender Hohlzylinder, Einheiten siehe umlaufender Ring 

⎡ ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣ ⎦ 

2 2 2 

2 3−2µ ri ri (1+ 2 µ ) rm 

t = r rm 

1+ 

+ − 

8(1 − µ ) 2 2 2 

ra rm (3 − 2 µ ) ra 

σ ω 

⎡ ⎤ 

⎢ ⎥ 

− ⎣ ⎦ 

2 2 2 

2 2 3−2µ ri ri rm 

r = r ra 

1+ 

− − 

8(1 µ ) 2 2 2 

ra rm ra 

σ ω 

⎡ ⎤ 

⎢ ⎥ 

− ⎣ ⎦ 

2 2 

2 2 2 µ ri rm 

x = r ra 

1+ −2 

8(1 µ ) 2 2 ra ra 

σ ω 

Einheiten: Kraft F in N; Flächenpressung p in N/mm 2 

(Längen und Durchmesser in mm) 

Normalkraft FN 

p = 

Berührungsfläche A 

F F 

p = = 

( B−b) l 2lTtanα 4F 

F 

p = = 

( 2 2 π D − d ) π l 

dm 

tanα 


241 

9

9 


Flächenpressung, Lochleibungsdruck, Hertz'sche Pressung 


in Kegelkupplung 


im Gewinde 


im Gleitlager 

Lochleibungsdruck � l = 

Flächenpressung am 

Nietschaft 

Pressung p max 

Kugel gegen Ebene 


Kugel gegen Kugel 

242 

m sin 

F 

p = 

π d B α 

FP 

p = 

π d2H1m F 

p = 

d l 

F Radialkraft 

d Lagerdurchmesser 

l Lagerlänge 

σ = 

l 

F 

1 

1 

d s 

m Mutterhöhe 

P Steigung eines Ganges 

F 1 Kraft, die ein Niet zu übertragen hat; d 1 Lochdurchmesser = Durchmesser 

des geschlagenen Nietes ; s kleinste Summe aller Blechdicken in einer Kraftrichtung. 

P 

1,5 F 1 1,5 FE 

= = 3 

π a π r (1 − µ ) 

max 2 2 2 2 

2 

3 1,5(1 − µ ) Fr 

= = 1,11 3 Fr 

a 

E E 

2,25(1 − µ ) F F 

δ = 3 = 1,23 3 

rE rE 

2 

2 2 2 2 

2 2 

� Poisson-Zahl (9.1); E = 2 E 1 E 2 /(E 1 � E 2 ) bei unterschiedlichen Werkstoffen 

(9.5) 

� gesamte Annäherung beider Körper 

Gleichungen wie Kugel gegen Ebene, mit 1/r = (1/r 1) + (1/r 2). Für 

Hohlkugel ist 1/r 2 negativ einzusetzen


Walze gegen Ebene 


Walze gegen Walze 

(parallele Achsen) 

9.22 Hohlzylinder unter 

Druck 


im Abstand r 


im Abstand r 

Spannung am Innenrand 

Spannung am Außenrand 

Schrumpfmaß für 

Pressverbindung 

2F 

FE 

Pmax 

= = 

π bl 2 π l r (1 − µ 2) 

8 Fr (1 − µ 2) 

Fr 

b = = 1,52 

π El El 


Hohlzylinder unter Druck 

Gleichungen wie Walze gegen Ebene, mit 1/r = (1/r 1) + (1/r 2). 

Für Hohlzylinder ist 1/r 2 negativ einzusetzen 

⎡ ⎛ 2⎞ 2 

r2 ⎛ 2⎞⎤ 

i r 

σ = ⎢ ⎜ a r 

⎜ − ⎟ a r 

⎟+ 

⎜ i 

r pi 1 pa 

⎜− 1+ 

⎟ ⎟⎥ 

r2 2 2 2 2 

− r ⎢⎣ ⎝ r ⎠ r ⎝ r ⎠⎥⎦ 

a i i 

2 ⎡ ⎛ 2⎞ 2⎛ 

2 

r ⎞⎤ 

i r 

σ = ⎢ ⎜ a r 

⎜ + ⎟ 

a r 

− ⎜ i 

t pi 1 pa 

1+ 

⎟ 

⎥ 

r2 − r2 2 2 2 

⎢⎣ ⎝ r ⎠ r ⎝ r ⎠⎥⎦ 

a i i 

p i Innenpressung, p a Außenpressung 

2 2 2 

i a i a a 

p ( r + r ) −2p 

r 

σr =− p i σt 

= 

r2 − r2 

a i 

2 p 2 2 2 

iri− pa( ra+ ri) 

r =− pa 

t = 

r2 2 

a − ri 

σ σ 

r r ⎛r r r r ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 2 2 2 

a1 − i2 1 i + a2 i + i1 

= p 

+ 

r 2 2 2 2 

i E ra2 −riri−ri1 p erforderliche Pressung 

243 

9

9 


Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 

244 

9.23 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 

Maße in mm 

Gewinde- 

Nenndurchmesser 

d = D 

Reihe 1 Reihe 2 

Steigung 

P 

Steigungswinkel 

�� 

Flankendurchmesser 

Bezeichnung des metrischen 

Regelgewindes z.B. M12 Gewinde- 

Nenndurchmesser d = D = 12 mm 

Kerndurchmesser Gewindetiefe 1) Spannungsquerschnitt 

in Grad d 2 = D 2 d 3 D 1 h 3 H 1 A S mm 2 


W pS mm 3 

Schaftquerschnitt 

A mm 2 

3 0,5 3,40 2,675 2,387 2,459 0,307 0,271 5,03 3,18 7,07 

3,5 0,6 3,51 3,110 2,764 2,850 0,368 0,325 6,78 4,98 9,62 

4 0,7 3,60 3,545 3,141 3,242 0,429 0,379 8,73 7,28 12,6 

4,5 0,75 3,40 4,013 3,580 3,688 0,460 0,406 11,3 10,72 15,9 

5 0,8 3,25 4,480 4,019 4,134 0,491 0,433 14,2 15,09 19,6 

6 1 3,40 5,350 4,773 4,917 0,613 0,541 20,1 25,42 28,3 

8 1,25 3,17 7,188 6,466 6,647 0,767 0,677 36,6 62,46 50,3 

10 1,5 3,03 9,026 8,160 8,376 0,920 0,812 58,0 124,6 78,5 

12 1,75 2,94 10,863 9,853 10,106 1,074 0,947 84,3 218,3 113 

14 2 2,87 12,701 11,546 11,835 1,227 1,083 115 347,9 154 

16 2 2,48 14,701 13,546 13,835 1,227 1,083 157 554,9 201 

18 2,5 2,78 16,376 14,933 15,294 1,534 1,353 192 750,5 254 

20 2,5 2,48 18,376 16,933 17,294 1,534 1,353 245 1082 314 

22 2,5 2,24 20,376 18,933 19,294 1,534 1,353 303 1488 380 

24 3 2,48 22,051 20,319 20,752 1,840 1,624 353 1871 452 

27 3 2,18 25,051 23,319 23,752 1,840 1,624 459 2774 573 

30 3,5 2,30 27,727 25,706 26,211 2,147 1,894 561 3748 707 

33 3,5 2,08 30,727 28,706 29,211 2,147 1,894 694 5157 855 

36 4 2,18 33,402 31,093 31,670 2,454 2,165 817 6588 1020 

39 4 2,00 36,402 34,093 34,670 2,454 2,165 976 8601 1190 

42 4,5 2,10 39,077 36,479 37,129 2,760 2,436 1120 10574 1390 

45 4,5 1,95 42,077 39,479 40,129 2,760 2,436 1300 13222 1590 

48 5 2,04 44,752 41,866 42,587 3,067 2,706 1470 15899 1810 

52 5 1,87 48,752 45,866 46,587 3,067 2,706 1760 20829 2120 

56 5,5 1,91 52,428 49,252 50,046 3,374 2,977 2030 25801 2460 

60 5,5 1,78 56,428 53,252 54,046 3,374 2,977 2360 32342 2830 

64 6 1,82 60,103 56,639 57,505 3,681 3,248 2680 39138 3220 

68 6 1,71 64,103 60,639 61,505 3,681 3,248 3060 47750 3630 

1) H1 ist die Tragtiefe zur Berechnung der Flächenpressung im Gewinde

9.24 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 

Gewindedurchmesser 

Steigung Steigungswinkel 

d P �� 

� 

in Grad 


Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 

Tragtiefe Flankendurchmesser 

H 1 

H 1 = 0,5 P 

Bezeichnung für 

a) eingängiges Gewinde z.B. 

Tr 75 × 10 

Gewindedurchmesser d = 75 mm, 

Steigung P = 10 mm = Teilung 

b) zweigängiges Gewinde z.B. 

D 2 = d 2 

D 2 =d– H 1 

Tr 75 × 20P10 

Gewindedurchmesser d = 75 mm, 

Steigung Ph = 20 mm 

Teilung P = 10 mm 

Steigung Ph 

20mm 

Gangzahl z = 

= = 2 

TeilungP 10mm 

Kerndurchmesser 

Kernquer- 

schnitt 

d3 A3 = π d 2 

3 

4 

mm 2 


W p = π d 3 

3 

16 

mm 3 

8 1,5 3,77 0,75 7,25 6,2 30,2 46,8 

10 2 4,05 1 9 7,5 44,2 82,8 

12 3 5,20 1,5 10,5 9 63,6 143 

16 4 5,20 2 14 11,5 104 299 

20 4 4,05 2 18 15,5 189 731 

24 5 4,23 2,5 21,5 18,5 269 1243 

28 5 3,57 2,5 25,5 22,5 398 2237 

32 6 3,77 3 29 25 491 3068 

36 6 3,31 3 33 29 661 4789 

40 7 3,49 3,5 36,5 32 804 6434 

44 7 3,15 3,5 40,5 36 1018 9161 

48 8 3,31 4 44 39 1195 11647 

52 8 3,04 4 48 43 1452 15611 

60 9 2,95 4,5 55,5 50 1963 24544 

65 10 3,04 5 60 54 2290 30918 

70 10 2,80 5 65 59 2734 40326 

75 10 2,60 5 70 64 3217 51472 

80 10 2,43 5 75 69 3739 64503 

85 12 2,77 6 79 72 4071 73287 

90 12 2,60 6 84 77 4656 89640 

95 12 2,46 6 89 82 5281 108261 

100 12 2,33 6 94 87 5945 129297 

110 12 2,10 6 104 97 7390 179203 

120 14 2,26 7 113 104 8495 220867 

245 

9

9 


Geometrische Größen an Sechskantschrauben 

246 

9.25 Metrisches ISO-Feingewinde 

Maße in mm 

Gewinde-Nenndurchmesser 

d = D 

8 

12 

16 

20 

12 

20 

30 

42 

56 

20 

30 

42 

56 

72 

90 

100 

30 

42 

56 

72 

100 

42 

56 

72 

90 

125 

160 

72 

90 

110 

140 

180 

Steigung 

P 

1 

1 

1 

1 

1,5 

1,5 

1,5 

1,5 

1,5 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

3 

3 

3 

3 

3 

4 

4 

4 

4 

4 

4 

6 

6 

6 

6 

6 

1) H1 ist die Tragtiefe 


� 

2,48 

1,61 

1,19 

0,94 

2,48 

1,44 

0,94 

0,67 

0,50 

1,95 

1,27 

0,90 

0,67 

0,52 

0,41 

0,37 

1,95 

1,37 

1,01 

0,78 

0,56 

1,85 

1,37 

1,05 

0,84 

0,60 

0,46 

1,61 

1,27 

1,03 

0,80 

0,62 


d 2 = D 2 

7,35 

11,35 

15,35 

19,35 

11,026 

19,026 

29,026 

41,026 

55,026 

18,701 

28,701 

40,701 

54,701 

70,701 

88,701 

98,701 

28,051 

40,051 

54,051 

70,051 

98,051 

39,402 

53,402 

69,402 

87,402 

122,402 

157,402 

68,103 

86,103 

106,103 

136,103 

176,103 

Kerndurchmesser Gewindetiefe 1) 

d 3 D 1 h 3 H 1 

6,773 

10,773 

14,773 

18,773 

10,16 

18,16 

28,16 

40,16 

54,16 

17,546 

27,546 

39,546 

53,546 

69,546 

87,546 

97,546 

26,319 

38,319 

52,319 

68,319 

96,319 

37,093 

51,093 

67,093 

85,093 

120,093 

155,093 

64,639 

82,639 

102,639 

132,639 

172,639 

6,917 

10,917 

14,917 

18,917 

10,376 

18,376 

28,376 

40,376 

54,376 

17,835 

27,835 

39,835 

53,835 

69,835 

87,835 

97,835 

26,752 

38,752 

52,752 

68,752 

96,752 

37,67 

51,67 

67,67 

85,67 

120,67 

155,67 

65,505 

83,505 

103,505 

133,505 

173,505 

9.26 Geometrische Größen an Sechskantschrauben 

Bezeichnung einer Sechskantschraube M 10, Länge l = 90 mm. 

Festigkeitsklasse 8.8: Sechskantschraube M 10 × 90 DIN 931-8.8 

Maße in mm, Kopfauflagefläche A p in mm 2 

Gewinde d a � s k l 1) 

M 5 

M 6 

M 8 

M 10 

M 12 

M 14 

M 16 

M 18 

M 20 

M 22 

M 24 

M 27 

M 30 

8 

10 

13 

17 

19 

22 

24 

27 

30 

32 

36 

41 

46 

3,5 

4 

5,5 

7 

8 

9 

10 

12 

13 

14 

15 

17 

19 

18 ... 30 

20 ... 50 

25 ... 50 

28 ... 50 

30 ...60 

35 ... 70 

40 ... 80 

40 ... 80 

40 ... 80 

45 ... 80 

50 ... 80 

55 ... 80 

60 ... 100 

0,614 

0,614 

0,614 

0,614 

0,92 

0,92 

0,92 

0,92 

0,92 

1,227 

1,227 

1,227 

1,227 

1,227 

1,227 

1,227 

1,841 

1,841 

1,841 

1,841 

1,841 

2,454 

2,454 

2,454 

2,454 

2,454 

2,454 

3,681 

3,681 

3,681 

3,681 

3,681 

b DB Ap 2) 3) fein mittel 4) 5) 

16 

18 

22 

26 

30 

34 

38 

42 

46 

50 

54 

60 

66 

22 

24 

28 

32 

36 

40 

44 

48 

52 

56 

60 

66 

72 

5,3 

6,4 

8,4 

10,5 

13 

15 

17 

19 

21 

23 

25 

28 

31 

5,5 

6,6 

9 

11 

14 

16 

18 

20 

22 

24 

26 

30 

33 

9,4 

24,6 

41,2 

83,2 

75 

112 

125 

176 

236 

249 

373 

485 

645 

35 

41,8 

65,5 

102 

96 

171 

190 

251 

318 

392 

490 

535 

710 

0,542 

0,542 

0,542 

0,542 

0,812 

0,812 

0,812 

0,812 

0,812 

1,083 

1,083 

1,083 

1,083 

1,083 

1,083 

1,083 

1,624 

1,624 

1,624 

1,624 

1,624 

2,165 

2,165 

2,165 

2,165 

2,165 

2,165 

3,248 

3,248 

3,248 

3,248 

3,248 

Spannungsquerschnitt 

A s 

mm 2 

39,2 

96,1 

178 

285 

88,1 

272 

642 

1294 

2341 

258 

621 

1264 

2301 

3862 

6099 

7562 

580 

1206 

2222 

3759 

7418 

1149 

2144 

3658 

5842 

11546 

19174 

3460 

5591 

8556 

14181 

23880 

polares 

Widerstandsmoment 

W ps 

mm 2 

69,15 

265,8 

670,9 

1360 

233,4 

1262 

4590 

13134 

31948 

1169 

4368 

12684 

31132 

67706 

134373 

185505 

3945 

11814 

29539 

65023 

180230 

10986 

28005 

62417 

125973 

349988 

748985 

57407 

117926 

223239 

476372 

1041005 

1) gestuft: 18, 20, 25, 28, 30, 

35, 40, ... 

2) für l � 125 mm 

3) für l � 125 ... 200 mm 

4) für Sechskantschrauben 

5) für Innen-Sechskantschrauben

10.1 Toleranzen und Passungen 

Maschinenelemente 

Toleranzen und Passungen 

Normen (Auswahl) 1) 

DIN 323 Normzahlen und Normzahlreihen; Hauptwerte, Genauwerte, Rundwerte 

DIN 4760 Oberflächenabweichungen; Begriffe, Ordnungssystem 

DIN 4766 Herstellverfahren und Rauheit von Oberflächen, Richtlinien für Konstruktion und Fertigung 

DIN 5425 Toleranzen für den Einbau von Wälzlagern 

DIN 7150 ISO-Toleranzen und ISO-Passungen 

DIN 7154 ISO-Passungen für Einheitsbohrung 

DIN 7155 ISO-Passungen für Einheitswelle 

DIN 7157 Passungsauswahl; Toleranzfelder, Abmaße, Passtoleranzen 

DIN EN ISO 1302 Angabe der Oberflächenbeschaffenheit in der technischen Produktdokumentation 

DIN ISO 286 ISO-System für Grenzmaße und Passungen; Ersatz für DIN 7150, T1, DIN 7151, DIN 7152, 

DIN 7182 

DIN ISO 965 Toleranzen, Metrisches ISO-Gewinde, Grenzmaße 

DIN ISO 1101 Technische Zeichnung; Form- und Lagetolerierung; Symbole, Zeichnungseintragungen 

DIN ISO 2768 Allgemeintoleranzen 

10.1.1 Normzahlen 

Stufung der vier 

Grundreihen 

Reihe Stufensprung Rechenwert Genauwert Mantisse 

R 5 q 5 = 5 10 1,58 1,5849 ... 200 

R 10 q 10 = 10 10 1,26 1,2589 ... 100 

R 20 q 20 = 20 10 1,12 1,1220 ... 050 

R 40 q 40 = 40 10 1,06 1,0593 ... 025 

Die Normzahlen in DIN 323 sind nach dezimal- geometrischen Reihen gestuft. 

Werte der „niederen Reihe“ sind denen der „höheren“ vorzuziehen. 

Normzahlen Reihe 

R 5 

1,00 1,60 2,50 4,00 6,30 10,00 

Reihe 

R 10 

1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15 4,00 5,00 6,30 8,00 10,00 

Reihe 1,00 1,12 1,25 1,40 1,60 1,80 2,00 2,24 2,50 2,80 3,15 3,55 

R 20 4,00 4,50 5,00 5,50 6,30 7,10 8,00 9,00 10,00 

Reihe 1,00 1,06 1,12 1,18 1,25 1,32 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 

R40 2,00 2,12 2,24 2,36 2,50 2,65 2,80 3,00 3,15 3,35 3,55 3,75 

4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 5,30 5,60 6,00 6,30 6,70 7,10 7,50 

8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 

Die Wurzelexponenten 5, 10, 20, 40 geben die Anzahl der Glieder im Dezimal- 

Bereich an (R5 hat 5 Glieder: 1, 1,6 2,5 4 6,3. Für Dezimalbereiche unter 1 

und über 10 wird das Komma jeweils um eine oder mehrere Stellen nach links 

oder rechts verschoben. Die Zahlen sind gerundete Werte. 

1) Ausführlich im Internet unter www.beuth.de 

247 

10

10 



248 

10.1.2 Grundbegriffe zu 

Toleranzen und 

Passungen 

Toleranzeinheit i 

Passungssystem 

Einheitsbohrung (EB) 

Kennzeichen: Die Bohrung 

hat das untere Abmaß Null 

(EI = 0). 

Passungssystem 

Einheitswelle (EW) 

Kennzeichen: Die Welle hat 

das obere Abmaß Null 

(EI = 0). 

Passungsauswahl 

(Toleranzfeldauswahl) im 

System EB für 

Nennmaß 50 mm 

3 

i = 0,45 D+ 0,001D 

D D D 

= 1 2 

� 

i D 

�m mm 

D geometrisches Mittel des Nennmaßbereichs nach Tabelle 

„Grundtoleranzen“ 

Alle Bohrungsmaße haben das Grundabmaß H. Erforderliche Passungen 

ergeben sich durch verschiedene Toleranzfeldlagen der Wellen 

und der oberen Abmaße (ES) der Bohrungen. 

Alle Wellenmaße haben das Grundabmaß h. Erforderliche Passungen 

ergeben sich durch verschiedene Toleranzfeldlagen der Bohrungen 

und der unteren Abmaße (ei) der Wellen.

Bezeichnungen 

Darstellung der wichtigsten 

Passungsgrundbegriffe 

an Welle und Bohrung 

Abmaße, Grenzmaße, 

Toleranzen 

Passungsarten 



N Nennmaß, G o Höchstmaß, G u Mindestmaß, I Istmaß, ES, es oberes 

Grenzabmaß, EI, ei unteres Grenzabmaß, T Maßtoleranz, P S Spiel, 

P ü Übermaß. 

E, e, ES, EI, ei sind die französischen Bezeichnungen mit der 

Bedeutung: E (Abstand, écart), ES (oberer Abstand, écart supérieur), 

EI (unterer Abstand, écart inférieur). Große Buchstaben für 

Bohrungen (Innenmaße), kleine für Wellen (Außenmaße). 

Bohrung Welle 

Nennmaß N N 

oberes Grenzabmaß ES = GoB – N es = GoW – N 

unteres Grenzabmaß EI = GuB – N ei = GuW – N 

Höchstmaß Go GoB = N � ES GoW = N � es 

Mindestmaß Gu GuB= N � EI GuW = N � ei 

Toleranz T T B = ES – EI 

T B = G oB – G uB 

T W = es – ei 

T W = G oW – G uW 

Spielpassung 

P SM = G uB – G oW 

P SH = G oB – G uW 

Übergangspassung 

P SH = G oB – G uW 

P ÜH = G uB – G oW 

Übermaßpassung 

P ÜH = G uB – G oW 

P ÜM = G oB – G uW 

249 

10

10 



250 

10.1.3 Eintragung von Toleranzen in Zeichnungen 

Eintragung von Grenzabmaßen 

50 +0,2 50-0,1 

50 +0,2 

-0,1 

50 +0,3 

+0,1 

50+0,1 - 

50 -0,02 

-0,06 

Eintragung von Toleranzklassen 

Bohrung= 50 

Welle= 50 

10.1.4 Grundtoleranzen der Nennmaßbereiche in �m 

Qualität 

ISO 

Toleranz 1 

bis 

3 

über 

3 

bis 

6 

über 

6 

bis 

10 

über 

10 

bis 

18 

über 

19 

bis 

30 

� +0,2 

� -0,1 

Nennmaßbereich in mm 

über 

30 

bis 

50 

01 IT 01 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6 0,6 0,8 1 1,2 2 2,5 3 4 

0 IT 0 0,5 0,6 0,6 0,8 1 1 1,2 1,5 2 3 4 5 6 

1 IT 1 0,8 1 1 1,2 1,5 1,5 2 2,5 3,5 4,5 6 7 8 

über 

50 

bis 

80 

über 

80 

bis 

120 

über 

120 

bis 

180 

über 

180 

bis 

250 

über 

250 

bis 

315 

über 

315 

bis 

400 

über 

400 

bis 

500 

Toleranzen 

in i 

2 IT 2 1,2 1,5 1,5 2 2,5 2,5 3 4 5 7 8 9 10 – 

3 IT 3 2 0,5 2,5 3 4 4 5 6 8 10 12 13 15 – 

4 IT 4 3 4 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 – 

5 IT 5 4 5 6 8 9 11 13 15 18 20 23 25 27 � 7 

6 IT 6 6 8 9 11 13 16 19 22 25 29 32 36 40 10 

7 IT 7 10 12 15 18 21 25 30 35 40 46 52 57 63 16 

8 IT 8 14 18 22 27 33 39 46 54 63 72 81 89 97 25 

9 IT 9 25 30 36 43 52 62 74 87 100 115 130 140 155 40 

10 IT 10 40 48 58 70 84 100 120 140 160 185 210 230 250 64 

11 IT 11 60 75 90 110 130 160 190 220 250 290 320 360 400 100 

12 IT 12 90 120 150 180 210 250 300 350 400 460 520 570 630 160 

13 IT 13 140 180 220 270 330 390 460 540 630 720 810 890 970 250 

14 IT 14 250 300 360 430 520 620 740 870 1 000 1 150 1 300 1 400 1 550 400 

15 IT 15 400 480 580 700 840 1 000 1 200 1 400 1 600 1 850 2 100 2 300 2 500 640 

16 IT 16 600 750 900 1 100 1 300 1 600 1 900 2 200 2 500 2 900 3 200 3 600 4 000 1 000 

17 IT 17 – – 1 500 1 800 2 100 2 500 3 000 3 500 4 000 4 600 5 200 5 700 6 300 1 600 

18 IT 18 – – – 2 700 3 300 3 900 4 600 5 400 6 300 7 200 8 100 8 900 9 700 2 500

10.1.5 Allgemeintoleranzen für Längenmaße nach DIN ISO 2768-1 

Toleranzklassen 

0,5 

bis 3 

über 3 

bis 6 

Grenzabmaße in mm für Nennmaßbereiche 

über 6 

bis 30 

über 30 

bis 120 

über 120 

bis 400 



über 400 

bis 1000 

über 1000 

bis 2000 

über 2000 

bis 4000 

f fein ± 0,05 ± 0,05 ± 0,1 ± 0,15 ± 0,2 ± 0,3 ± 0,5 – 

m mittel ± 0,1 ± 0,1 ± 0,2 ± 0,3 ± 0,5 ± 0,8 ± 1,2 ± 2 

c grob ± 0,2 ± 0,3 ± 0,5 ± 0,8 ± 1,2 ± 2 ± 3 ± 4 

v sehr grob – ± 0,5 ± 1 ± 1,5 ± 2,5 ± 4 ± 6 ± 8 

10.1.6 Allgemeintoleranzen für Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1 


Grenzabmaße in Grad und Minuten für Nennmaßbereiche in mm (kürzere Schenkel) 

bis 10 über 10 

bis 50 

über 50 

bis 120 

über 120 

bis 400 

über 400 

f fein ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 20´ ± 0° 10´ ± 0° 5´ 

m mittel ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 20´ ± 0° 10´ ± 0° 5´ 

c grob ± 1° 30´ ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 15´ ± 0° 10´ 

v sehr grob ± 3° ± 2° ± 1° ± 0° 30´ ± 0° 20´ 

10.1.7 Allgemeintoleranzen für Fasen und Rundungshalbmesser nach DIN ISO 2768-1 


f fein 

m mittel 

c grob 

v sehr grob 

Grenzabmaße in mm für Nennmaßbereiche 

0,5 

bis 3 

über 3 

bis 6 

über 6 

± 0,2 ± 0,5 ± 1 

± 0,4 ± 1 ± 2 

10.1.8 Allgemeintoleranzen für Form und Lage nach DIN ISO 2768-2 


bis 

10 

Toleranzen in mm für 

Geradheit / Ebenheit Rechtwinkligkeit Symmetrie 

über 

10 

bis 

30 

über 

30 

bis 

100 

über 

100 

bis 

300 

über 

300 

bis 

1000 

bis 

100 

über 

100 

bis 

300 

über 

300 

bis 

1000 

über 

1000 

bis 

3000 

bis 

100 

über 

100 

bis 

300 

über 

300 

bis 

1000 

H 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 

K 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 0,4 0,6 0,8 1 0,6 0,8 1 

L 0,1 0,2 0,4 0,8 1,2 0.6 1 1,5 2 0,6 1 1,5 2 

über 

300 

bis 

1000 

251 

10

10 



252 

10.1.9 Symbole für Form und Lagetoleranzen nach DIN ISO 1101 

Eigenschaft Symbol Toleranz 

Abweichung 

Geradheit t G f G 

Ebenheit t E f E 

Rundheit t K f K 

Zylindrizität t Z f Z 

Linienprofil t LP f LP 

Flächenprofil t FP f FP 

Eigenschaft Symbol Toleranz 

Abweichung 

Parallelität t P f P 

Rechtwinkligkeit t R f R 

Neigung t N f N 

Position t PS f PS 

Koaxialität, 

Achsabweichung 

t KO 

f KO 

Symmetrie t S f S 

Rundlauf, 

Planlauf 

Gesamtlauf t LG f LG 

t L 

f L 

Formtoleranzen 

Definition Beispiel 

Die tolerierte Achse eines zylindrischen 

Bauteils muss innerhalb eines Zylinders 

vom Durchmesser tG = 0,02 mm liegen. 

Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei 

parallelen Ebenen vom Abstand tE = 0,09 

mm liegen. 

Die Umfangslinie jedes Querschnittes 

muss in einem Kreisring mit der Breite 

fK = 0,05 mm liegen 


koaxialen Zylindern mit dem radialen 

Abstand tZ = 0,5 mm liegen. 


Hülllinien mit dem Abstand fLP = 0,1 mm 

liegen 


kugelförmigen Hüllflächen mit dem Abstand 

fFP = 0,17 mm liegen. 

Lagetoleranzen 

Ø 0,02 

0,09 

0,05 

0,5 

Ø 0,1 

0,17 

Definition Beispiel 


zur Bezugsfläche parallelen Ebenen vom 

Abstand tP = 0,05 mm liegen. 

Die tolerierte Fläche muss zwischen zwei parallelen 

und zur Bezugsfläche A rechtwinkligen 

Ebenen vom Abstand tR = 0,2 mm liegen. 


parallelen und zur Bezugsfläche A im geometrisch 

idealen Winkelgeneigten Ebenen 

vom Abstand fN = 0,4 mm liegen. 

Die tolerierte Achse einer Bohrung muss 

innerhalb eines Zylinders vom Durchmesser 

tPS = 0,05 mm liegen, dessen Achsen sich 

am geometrisch idealen Ort befinden. 

Die Achse des großen Durchmessers muss in 

einem zur Bezugsachse A koaxialem Zylinder 

vom Durchmesser fKO = 0,02 mm liegen. 

Die Mittelachse z.B. einer Nut muss zwischen 

zwei parallelen Ebenen vom Abstand fS = 0,5 

mm liegen, die symmetrisch zur Mittelebene 

der Bezugsfläche A angeordnet sind. 

Bei Drehung um die Bezugsachse darf die 

Rundlaufabweichung in jeder rechtwinkligen 

Messebene fL = 0,08 mm nicht überschreiten. 

Diese Toleranz ist die Summe aus 

Rundheits- und Koaxialitätstoleranz. 

Bei mehrmaliger Drehung um die Bezugsachse 

und axialer Verschiebung zwischen 

Werkstück und Messgerät müssen alle 

Messpunkte innerhalb der Gesamtrundlauftoleranz 

von fLG = 0,25 mm liegen. 

0,2 

0,4 

0,05 

0,05 

0,02 

0,5 

0,08 

0,25 

A 

A

10.1.10 Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit nach DIN EN ISO 1302 



Symbol Definition Symbol Definition 

Rauheitsklasse 

N 

Grundsymbol; Angabe der 

Oberflächenbeschaffenheit. e 

Bearbeitungszugabe 

spanend bearbeitete Oberfläche a höchstzulässiger Rauheitswert R a in µm 

spanende Bearbeitung nicht 

zugelassen oder 

Zustand des vorangegangenen 

Arbeitsganges belassen 

a 1 

a 2 Größtwert Rauheit a1 

Kleinstwert Rauheit a 2 

vernickelt Verfahren der Herstellung oder 

Oberflächenbehandlung 

Rauheitswert 

R a in µm 

a 

e d 

b 

c 

Rillenrichtung rechtwinklig zur 

Projektionsebene 

a Rauheitswert Ra oder 

Rauheitsklassen N 

b Oberflächenbehandlung oder 

Fertigungsverfahren 

c Bezugsstrecke 

d Rillenrichtung 

e Bearbeitungszugabe 

N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 7 N 8 N 9 N 10 N 11 N 12 

0,025 0,05 0,1 0,2 0,4 0,8 1,6 3,2 6,3 12,5 25 50 

10.1.11 Mittenrauwerte R a in �m 

253 

10

10 



254 

10.1.12 Verwendungsbeispiele für Passungen 

Passungsbezeichnung 

H 8 / x 8 

H 7 / s 6 

H 7 / r 6 

Kennzeichnung, Verwendungsbeispiele, sonstige Hinweise 

Übermaß- und Übergangstoleranzfelder 

Teile unter großem Druck mit Presse oder durch Erwärmen/Kühlen fügbar (Presssitz); 

Bronzekränze auf Zahnradkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen, Radnaben, 

Hebelnaben, Kupplungen auf Wellenenden; zusätzliche Sicherung gegen Verdrehen 

nicht erforderlich. 

H 7 / n 6 Teile unter Druck mit Presse fügbar (Festsitz); 

Radkränze auf Radkörpern, Lagerbuchsen in Gehäusen und Radnaben, Laufräder auf 

Achsen, Anker auf Motorwellen, Kupplungen und Wellenenden; gegen Verdrehen 

sichern. 

H 7 / k 6 Teile leicht mit Handhammer fügbar (Haftsitz); 

Zahnräder, Riemenscheiben, Kupplungen, Handräder, Bremsscheiben auf Wellen; 

gegen Verdrehen zusätzlich sichern. 

H 7 / j 6 Teile mit Holzhammer oder von Hand fügbar (Schiebesitz); 

für leicht ein- und auszubauende Zahnräder, Riemenscheiben, Handräder, Buchsen; 

gegen Verdrehen zusätzlich sichern. 

H 7 / h 6 

H 8 / h 9 

H 7 / g 6 

G 7 / h 6 

Spieltoleranzfelder 

Teile von Hand noch verschiebbar (Gleitsitz); 

für gleitende Teile und Führungen, Zentrierflansche, Wechselräder, Stellringe, 

Distanzhülsen. 

Teile ohne merkliches Spiel verschiebbar (Enger Laufsitz); 

Wechselräder, verschiebbare Räder und Kupplungen. 

H 7 / f 7 Teile mit merklichem Spiel beweglich (Laufsitz); 

Gleitlager allgemein, Hauptlager an Werkzeugmaschinen, Gleitbuchsen auf Wellen. 

H 7 / e 8 

H 8 / e 8 

E 9 / h 9 

H 8 / d 9 

F 8 / h 9 

D 10 / h 9 

D 10 / h 11 

Teile mit reichlichem Spiel (Leichter Laufsitz); 

mehrfach gelagerte Welle (Gleitlager), Gleitlager allgemein, Hauptlager für 

Kurbelwellen, Kolben in Zylindern, Pumpenlager, Hebellagerungen. 

Laufsitz: Teile mit sehr reichlichem Spiel (Weiter Laufsitz); 

Transmissionslager, Lager für Landmaschinen, Stopfbuchsenteile, Leerlauf Scheiben.



10.1.13 Ausgewählte Passtoleranzfelder und Grenzabmaße (in µm) für das System 

Einheitsbohrung (H) 

Nennmaßbereich 

mm 

H 7 H 8 H 9 H 11 za 6 za 8 z 6 z 8 x 6 x 8 

1) 

u6 

t6 

u 8 s 6 r 6 

über 1 

bis 3 

+ 10 

0 

+ 14 

0 

+ 25 

0 

+ 60 

0 

+ 38 

+ 32 

– 

+ 32 

+ 26 

+ 40 

+ 26 

+ 26 

+ 20 

+ 34 

+ 20 

+ 24 

+ 18 

– 

+ 20 

+ 14 

+ 16 

+ 10 

über 3 

bis 6 

+ 12 

0 

+ 18 

0 

+ 30 

0 

+ 75 

0 

+ 50 

+ 42 

– 

+ 43 

+ 35 

+ 53 

+ 35 

+ 36 

+ 28 

+ 46 

+ 28 

+ 31 

+ 23 

– 

+ 27 

+ 19 

+ 23 

+ 15 

über 6 

bis 10 

+ 15 

0 

+ 22 

0 

+ 36 

0 

+ 90 

0 

+ 61 

+ 52 

+ 74 

+ 52 

+ 51 

+ 42 

+ 64 

+ 42 

+ 43 

+ 34 

+ 56 

+ 34 

+ 37 

+ 28 

– 

+ 32 

+ 23 

+ 28 

+ 19 

über 10 

+ 75 + 91 + 61 + 77 + 51 + 67 

bis 14 

über 14 

+ 18 

0 

+ 27 

0 

+ 43 

0 

+ 110 

0 

+ 64 

+ 88 

+ 64 

+ 104 

+ 50 

+ 71 

+ 50 

+ 87 

+ 40 

+ 56 

+ 40 

+ 72 

+ 44 

+ 33 

– 

+ 39 

+ 28 

+ 34 

+ 23 

bis 18 

+ 77 + 77 + 60 + 60 + 45 + 45 

über 18 

bis 24 

über 24 

+ 21 

0 

+ 33 

0 

+ 52 

0 

+ 130 

0 

– 

+ 131 

+ 98 

+ 151 

+ 86 

+ 73 

+ 101 

+ 106 

+ 73 

+ 121 

+ 67 

+ 54 

+ 77 

+ 87 

+ 54 

+ 97 

+ 54 

+ 41 

+ 54 

– 

+ 81 

+ 48 

+ 35 

+ 41 

+ 28 

bis 30 

+ 118 + 88 + 88 + 64 + 64 + 41 + 48 

über 30 

+ 187 + 128 + 151 + 96 + 119 + 64 + 99 

bis 40 

über 40 

bis 50 

+ 25 

0 

+ 39 

0 

+ 62 

0 

+ 160 

0 

– 

+ 148 

+ 219 

+ 180 

+ 112 

– 

+ 112 

+ 175 

+ 136 

+ 80 

+ 113 

+ 97 

+ 80 

+ 136 

+ 97 

+ 48 

+ 70 

+ 54 

+ 60 + 59 

+ 109 + 43 

+ 70 

+ 50 

+ 34 

über 50 

+ 272 

+ 218 + 141 + 168 + 85 + 133 + 72 + 60 

bis 65 

über 65 

+ 30 

0 

+ 46 

0 

+ 74 

0 

+ 190 

0 

– 

+ 226 

+ 320 

– 

+ 172 

+ 256 

+ 122 

+ 165 

+ 122 

+ 192 

+ 66 

+ 94 

+ 87 + 53 

+ 148 + 78 

+ 41 

+ 62 

bis 80 

+ 274 

+ 210 + 146 + 146 + 75 + 102 + 59 + 43 

über 80 

+ 389 

+ 312 + 200 + 232 + 113 + 178 + 93 + 73 

bis 100 

über 100 

bis 120 

+ 35 

0 

+ 54 

0 

+ 87 

0 

+ 220 

0 

– 

+ 335 

– 

– 

+ 258 

+ 364 

+ 310 

+ 178 

+ 232 

+ 210 

+ 178 

+ 264 

+ 210 

+ 91 + 124 + 71 + 51 

+ 126 + 198 + 101 + 76 

+ 104 + 144 + 79 + 54 

über 120 

+ 428 + 273 + 311 + 147 + 233 + 117 + 88 

bis 140 

+ 365 + 248 + 248 + 122 + 170 + 92 + 63 

über 140 

bis 160 

+ 40 

0 

+ 63 

0 

+ 100 

0 

+ 250 

0 

– – – 

+ 478 

+ 415 

+ 305 

+ 280 

+ 343 

+ 280 

+ 159 + 253 + 125 + 90 

+ 134 + 190 + 100 + 65 

über 160 

bis 180 

– 

+ 335 

+ 310 

+ 373 

+ 310 

+ 171 + 273 + 133 + 93 

+ 146 + 210 + 108 + 68 

über 180 

+ 379 + 422 + 195 + 308 + 151 + 106 

bis 200 

+ 350 + 350 + 166 + 236 + 122 + 77 

über 200 

bis 225 

über 225 

+ 46 

0 

+ 72 

0 

+ 115 

0 

+ 290 

0 

– – – – 

+ 414 

+ 385 

+ 454 

+ 457 

+ 385 

+ 497 

– 

+ 330 + 159 + 109 

+ 258 + 130 + 80 

+ 356 + 169 + 113 

bis 250 

+ 425 + 425 + 284 + 140 + 84 

über 250 

+ 507 + 556 + 396 + 190 + 126 

bis 280 

über 280 

+ 52 

0 

+ 81 

0 

> 130 

0 

+ 320 

0 

– – – – 

+ 475 

+ 557 

+ 475 

+ 606 

– 

+ 315 + 158 + 94 

+ 431 + 202 + 130 

bis 315 

+ 525 + 525 + 350 + 170 + 98 

über 315 

+ 626 + 679 + 479 + 226 + 144 

bis 355 

über 355 

bis 400 

+ 57 

0 

+ 89 

0 

+ 140 

0 

+ 360 

0 

– – – – 

+ 590 

+ 696 

+ 660 

+ 590 + 390 + 190 + 108 

– 

– 

+ 524 + 244 + 150 

+ 435 + 208 + 114 

1) u 6 bei Nennmaß bis 24 mm, t 6 darüber 

255 

10

10 



256 

Fortsetzung 10.1.13 

p 6 n 6 k 6 j 6 h 6 h 8 h 9 h 11 f 7 e 8 d 9 a 11 b 11 c 11 

+ 12 + 10 + 6 + 4 0 0 0 0 – 6 – 14 – 20 – 270 – 140 – 60 

+ 6 + 4 0 – 2 – 6 – 14 – 25 – 60 – 16 – 28 – 45 – 330 – 200 – 120 

+ 20 + 16 + 9 + 6 0 0 0 0 – 10 – 20 – 30 – 270 – 140 – 70 

+ 12 + 8 + 1 – 2 – 8 – 18 – 30 – 75 – 22 – 38 – 60 – 345 – 215 – 145 

+ 24 + 19 + 10 + 7 0 0 0 0 – 13 – 25 – 40 – 280 – 150 – 80 

+ 15 + 10 + 1 – 2 – 9 – 22 – 36 – 90 – 28 – 47 – 76 – 370 – 240 – 170 

+ 29 

+ 18 

+ 35 

+ 22 

+ 42 

+ 26 

+ 51 

+ 32 

+ 59 

+ 37 

+ 68 

+ 43 

+ 79 

+ 50 

+ 88 

+ 56 

+ 98 

+ 62 

+ 23 

+ 12 

+ 28 

+ 15 

+ 33 

+ 17 

+ 39 

+ 20 

+ 45 

+ 23 

+ 52 

+ 27 

+ 60 

+ 31 

+ 66 

+ 34 

+ 73 

+ 37 

+ 12 

+ 1 

+ 15 

+ 2 

+ 18 

+ 2 

+ 21 

+ 2 

+ 25 

+ 3 

+ 28 

+ 3 

+ 33 

+ 4 

+ 36 

+ 4 

+ 40 

+ 4 

+ 8 

– 3 

+ 9 

– 4 

+ 11 

– 5 

+ 12 

– 7 

+ 13 

– 9 

+ 14 

– 11 

+ 16 

– 13 

+ 16 

– 16 

+ 18 

– 18 

0 

– 11 

0 

– 13 

0 

– 16 

0 

– 19 

0 

– 22 

0 

– 25 

0 

– 29 

0 

– 32 

0 

– 36 

0 

– 27 

0 

– 33 

0 

– 39 

0 

– 46 

0 

– 54 

0 

– 63 

0 

– 72 

0 

– 81 

0 

– 89 

0 

– 43 

0 

– 52 

0 

– 62 

0 

– 74 

0 

– 87 

0 

– 100 

0 

– 115 

0 

– 130 

0 

– 140 

0 

– 110 

0 

– 130 

0 

– 160 

0 

– 190 

0 

– 220 

0 

– 250 

0 

–290 

0 

– 320 

0 

– 360 

– 16 

– 34 

– 20 

– 41 

– 25 

– 50 

– 30 

– 60 

– 36 

– 71 

– 43 

– 83 

– 50 

– 96 

– 56 

– 108 

– 62 

– 119 

– 32 

– 59 

– 40 

– 73 

– 50 

– 89 

– 60 

– 106 

– 72 

– 126 

– 85 

– 148 

– 100 

– 172 

– 110 

– 191 

– 125 

– 214 

– 50 

– 93 

– 65 

– 117 

– 290 

– 400 

– 300 

– 430 

– 150 

– 260 

– 160 

– 290 

– 310 – 170 

– 80 – 470 – 330 

– 142 – 320 – 180 

– 480 – 340 

– 340 – 190 

– 100 – 530 – 380 

– 174 – 360 – 200 

– 550 – 390 

– 380 – 220 

– 120 – 600 – 440 

– 207 – 410 – 240 

– 630 – 460 

– 460 – 260 

– 710 – 510 

– 145 – 520 – 280 

– 245 – 770 – 530 

– 580 – 310 

– 830 – 560 

– 660 – 340 

– 950 – 630 

– 170 – 740 – 380 

– 285 – 1030 – 670 

– 820 – 420 

– 1110 – 710 

– 920 – 480 

– 190 – 1240 – 800 

– 320 – 1050 – 540 

– 1370 – 860 

– 1200 – 600 

– 210 – 1560 – 900 

– 350 – 1350 – 680 

– 1710 – 1040 

– 95 

– 205 

– 110 

– 240 

– 120 

– 280 

– 130 

– 290 

– 140 

– 330 

– 150 

– 340 

– 170 

– 390 

– 180 

– 400 

– 200 

– 450 

– 210 

– 460 

– 230 

– 480 

– 240 

– 530 

– 260 

– 550 

– 280 

– 570 

– 300 

– 620 

– 330 

– 650 

– 360 

– 720 

– 400 

– 760 

Nennmaß 

bereich 

mm 

über 1 

bis 3 

über 3 

bis 6 

über 6 

bis 10 

über 10 

bis 14 

über 14 

bis 18 

über 18 

bis 24 

über 24 

bis 30 

über 30 

bis 40 

über 40 

bis 50 

über 50 

bis 65 

über 65 

bis 80 

über 80 

bis 100 

über 100 

bis 120 

über 120 

bis 140 

über 140 

bis 160 

über 160 

bis 180 

über 180 

bis 200 

über 200 

bis 225 

über 225 

bis 250 

über 250 

bis 280 

über 280 

bis 315 

über 315 

bis 355 

über 355 

bis 400

10.1.14 Passungsauswahl, empfohlene Passtoleranzen, Spiel-, Übergangs- und 

Übermaßtoleranzfelder in µm nach DIN ISO 286 

Nennmaßbereich 

mm 

Passung 

über 1 bis 3 – 

– 


– 


– 

H8/x8 

u 8 

1) 

6 

34 

10 

46 

12 

56 

H 7 

s 6 

– 4 

– 20 

– 7 

– 27 

– 8 

– 32 

H 7 

r 6 

– 0 

– 16 

– 3 

– 23 

– 4 

– 28 

H 7 

n 6 

+ 6 

– 10 

+ 4 

– 16 

+ 5 

– 19 

H 7 

k 6 

– 

– 

+ 14 

– 10 

H 7 

j 6 

+ 12 

– 4 

+ 13 

– 7 

+ 17 

– 7 



H 7 

h 6 

+16 

0 

+20 

0 

+24 

0 

H 8 

h 9 

+ 39 

0 

+ 48 

0 

+ 58 

0 

H 11 

h 9 

+ 85 

0 

+ 105 

0 

+ 126 

0 

H 11 

h 11 

+ 120 

0 

+ 150 

0 

+ 180 

0 

G7 H7 

h 6 g 6 

+ 18 

+ 2 

+ 24 

+ 4 

+ 29 

+ 5 


– 

13 

67 – 10 – 5 + 6 +17 +21 +29 + 70 + 153 + 220 + 35 

über 14 bis 18 

– 18 

– 72 

– 39 – 34 – 23 –12 – 8 0 0 0 0 + 6 


– 

21 

87 – 14 – 7 + 6 +19 +25 +34 + 85 + 182 + 260 + 41 

– 15 – 48 – 41 – 28 –15 – 9 0 0 0 0 + 7 

über 24 bis 30 – 81 


– 

21 

99 – 18 – 9 + 8 +23 +30 +41 + 101 + 222 + 320 + 50 

über 40 bis 50 – 31 

– 109 

– 59 – 50 –33 –18 –11 0 0 0 0 + 9 

über 50 bis 65 – 41 

– 133 

über 65 bis 80 – 56 

– 148 

über 80 bis 100 – 70 

– 178 

über 100 bis 120 – 90 

– 198 

über 120 bis 140 – 107 

– 233 

über 140 bis 160 – 127 

– 253 

über 160 bis 180 – 147 

– 273 

über 180 bis 200 – 164 

– 308 

über 200 bis 225 – 186 

– 330 

über 225 bis 250 – 212 

– 356 

über 250 bis 280 – 234 

– 396 

über 280 bis 315 – 269 

– 431 

über 315 bis 355 – 301 

– 479 

über 355 bis 400 – 346 

– 524 

– 23 

– 72 

– 29 

– 78 

– 36 

– 93 

– 44 

– 101 

– 52 

– 117 

– 60 

– 125 

– 68 

– 133 

– 76 

– 151 

– 84 

– 159 

– 94 

– 169 

– 106 

– 190 

– 118 

– 202 

– 133 

– 226 

– 151 

– 244 

– 

– 

11 

60 +10 +28 

+37 +49 + 120 + 264 + 380 + 59 

– 13 –39 –21 –12 0 0 0 0 + 10 

– 62 

– 16 

– 73 +12 +32 +44 +57 + 141 + 307 + 440 + 69 

– 19 –45 –25 –13 0 0 0 0 + 12 

– 76 

– 23 

– 88 

– 25 

– 90 

– 28 

– 93 

– 31 

– 106 

– 34 

– 109 

– 38 

– 113 

+ 13 

– 52 

+ 15 

– 60 

+ 37 

– 28 

+ 42 

– 33 

1) bis Nennmaß 24 mm: x 8; über 24 mm Nennmaß: u 8 

+ 51 

– 14 

+ 59 

– 16 

+65 

0 

+75 

0 

+ 163 

0 

+ 187 

0 

+ 350 

0 

+ 405 

0 

+ 500 

0 

+ 580 

0 

+ 79 

+ 14 

+ 90 

+ 15 

– 42 

– 126 +18 +48 +68 +84 + 211 + 450 + 640 + 101 

– 46 –66 –36 –16 0 0 0 0 + 17 

– 130 

– 51 

– 144 +20 +53 +75 +93 + 229 + 500 + 720 + 111 

– 57 –73 –40 –18 0 0 0 0 + 18 

– 150 

257 

10



258 

10 

Fortsetzung 10.1.14 

H 7 F 8 H 8 F 8 H 8 E 9 H 8 D 10 H 11 D 10 C 11 C 11 H 11 A 11 H 11 

f 7 h 6 f 7 h 9 e 8 h 9 d 9 h 9 d 9 h 11 h 9 h 11 c 11 h 11 a 11 

+ 

+ 

26 

6 

+ 

+ 

28 

6 

+ 

+ 

30 

6 

+ 

+ 

47 

6 

+ 

+ 

42 

14 

+ 

+ 

64 

14 

+ 

+ 

59 

20 

+ 

+ 

85 

20 

+ 

+ 

105 

20 

+ 

+ 

120 

20 

+ 

+ 

145 

60 

+ 

+ 

180 

60 

+ 

+ 

390 

270 

+ 

+ 

34 

10 

+ 

+ 

36 

10 

+ 

+ 

40 

10 

+ 

+ 

58 

10 

+ 

+ 

56 

20 

+ 

+ 

80 

20 

+ 

+ 

78 

30 

+ 

+ 

108 

30 

+ 

+ 

135 

30 

+ 

+ 

153 

30 

+ 

+ 

175 

70 

+ 

+ 

220 

70 

+ 

+ 

420 

270 

+ 

+ 

43 

13 

+ 

+ 

44 

13 

+ 

+ 

50 

13 

+ 

+ 

71 

13 

+ 

+ 

69 

25 

+ 

+ 

97 

25 

+ 

+ 

98 

40 

+ 

+ 

134 

40 

+ 

+ 

166 

40 

+ 

+ 

188 

40 

+ 

+ 

206 

80 

+ 

+ 

260 

80 

+ 

+ 

460 

280 

+ 

+ 

52 

16 

+ 

+ 

54 

16 

+ 

+ 

61 

16 

+ 

+ 

86 

16 

+ 

+ 

86 

32 

+ 

+ 

118 

32 

+ 

+ 

120 

50 

+ 

+ 

163 

50 

+ 

+ 

203 

50 

+ 

+ 

230 

50 

+ 

+ 

248 

95 

+ 

+ 

315 

95 

+ 

+ 

510 

290 

+ 

+ 

62 

20 

+ 

+ 

66 

20 

+ 

+ 

74 

20 

+ 

+ 

105 

20 

+ 

+ 

106 

40 

+ 

+ 

144 

40 

+ 

+ 

150 

65 

+ 

+ 

201 

65 

+ 

+ 

247 

65 

+ 

+ 

279 

65 

+ 

+ 

292 

110 

+ 

+ 

370 

110 

+ 

+ 

560 

300 

+ 

+ 

75 

25 

+ 

+ 

80 

25 

+ 

+ 

89 

25 

+ 

+ 

126 

25 

+ 

+ 

128 

50 

+ 

+ 

174 

+50 

+ 

+ 

181 

80 

+ 

+ 

242 

80 

+ 

+ 

302 

80 

+ 

+ 

340 

80 

+ 

+ 

+ 

+ 

342 

120 

352 

130 

+ 

+ 

+ 

+ 

440 

120 

450 

130 

+ 

+ 

+ 

+ 

630 

310 

640 

320 

+ 

+ 

90 

30 

+ 

+ 

95 

30 

+ 

+ 

106 

30 

+ 

+ 

150 

30 

+ 

+ 

152 

60 

+ 

+ 

208 

60 

+ 

+ 

220 

100 

+ 

+ 

294 

100 

+ 

+ 

364 

100 

+ 

+ 

410 

100 

+ 

+ 

+ 

+ 

404 

140 

414 

150 

+ 

+ 

+ 

+ 

520 

140 

530 

150 

+ 

+ 

+ 

+ 

720 

340 

740 

360 

+ 

+ 

106 

36 

+ 

+ 

112 

36 

+ 

+ 

125 

36 

+ 

+ 

177 

36 

+ 

+ 

180 

72 

+ 

+ 

246 

72 

+ 

+ 

261 

120 

+ 

+ 

347 

120 

+ 

+ 

427 

120 

+ 

+ 

480 

120 

+ 

+ 

+ 

+ 

477 

170 

487 

180 

+ 

+ 

+ 

+ 

610 

170 

620 

180 

+ 

+ 

+ 

+ 

820 

380 

850 

410 

+ 

+ 

550 

200 

+ 

+ 

700 

200 

+ 

+ 

960 

460 

+ 

+ 

123 

43 

+ 

+ 

131 

43 

+ 

+ 

146 

43 

+ 

+ 

206 

43 

+ 

+ 

211 

85 

+ 

+ 

285 

85 

+ 

+ 

308 

145 

+ 

+ 

405 

145 

+ 

+ 

495 

145 

+ 

+ 

555 

145 

+ 

+ 

560 

210 

+ 

+ 

710 

210 

+ 

+ 

1020 

520 

+ 

+ 

580 

230 

+ 

+ 

730 

230 

+ 

+ 

1080 

580 

+ 

+ 

645 

240 

+ 

+ 

820 

240 

+ 

+ 

1240 

660 

+ 

+ 

142 

50 

+ 

+ 

151 

50 

+ 

+ 

168 

50 

+ 

+ 

237 

50 

+ 

+ 

244 

100 

+ 

+ 

330 

100 

+ 

+ 

357 

170 

+ 

+ 

470 

170 

+ 

+ 

575 

170 

+ 

+ 

645 

170 

+ 

+ 

665 

260 

+ 

+ 

840 

260 

+ 

+ 

1320 

740 

+ 

+ 

685 

280 

+ 

+ 

860 

280 

+ 

+ 

1400 

820 

+ 

+ 

160 

56 

+ 

+ 

169 

56 

+ 

+ 

189 

56 

+ 

+ 

267 

56 

+ 

+ 

272 

110 

+ 

+ 

370 

110 

+ 

+ 

401 

190 

+ 

+ 

530 

190 

+ 

+ 

640 

190 

+ 

+ 

720 

190 

+ 

+ 

+ 

+ 

750 

300 

780 

330 

+ 

+ 

+ 

+ 

940 

300 

970 

330 

+ 

+ 

+ 

+ 

1560 

920 

1690 

1050 

+ 

+ 

176 

62 

+ 

+ 

187 

62 

+ 

+ 

208 

62 

+ 

+ 

291 

62 

+ 

+ 

303 

123 

+ 

+ 

405 

125 

+ 

+ 

439 

210 

+ 

+ 

580 

210 

+ 

+ 

710 

210 

+ 

+ 

800 

210 

+ 

+ 

+ 

+ 

860 

360 

900 

400 

+ 

+ 

+ 

+ 

1080 

360 

1120 

400 

+ 

+ 

+ 

+ 

1920 

1200 

2070 

1350

10.2 Schraubenverbindungen 

10.2.1 Berechnung 

axial belasteter 

Schrauben ohne 

Vorspannung 

Erforderlicher Spannungs- 

Querschnitt A S erf und Wahl 

des Gewindes nach 10.2.13 

(Schraubendurchmesser d) 

und der Festigkeitsklasse 

nach 10.2.9 

Zugspannung � z 

Flächenpressung im 

Gewinde p 

Erforderliche Mutter- 

höhe m erf 

Ausschlagspannung � a bei 

schwingender Belastung 

10.2.2 Berechnung unter 

Last angezogener 

Schrauben 

Erforderlicher Spannungs- 

Querschnitt und Wahl des 

Gewindes nach 10.2.18 

(Schraubendurchmesser d) 

und der Festigkeitsklasse 

nach 10.2.9 

Normen (Auswahl) und Bezugsliteratur 


Schraubenverbindungen 

DIN 13 Metrisches ISO-Gewinde 

DIN 74 Senkungen 

DIN 78 Gewindeenden, Schraubenüberstände 

DIN 103 Metrisches ISO-Trapezgewinde 

DIN 475 Schlüsselweiten 

VDI-Richtlinie 2230; Systematische Berechnung hoch beanspruchter 

Schraubenverbindungen, Feb. 2003. Die Richtlinie enthält eine 

ausführliche Liste wichtiger Bezugsliteratur. 

α 

AF 

A Serf ≥ 

0,8 ⋅Rp0,2 

A S erf erforderlicher Spannungsquerschnitt 

F gegebene Betriebskraft 

R p 0,2 0,2-Dehngrenze nach 10.2.9 

F 

σ z = 

A S 

F⋅P p = ≤ pzul 

π ⋅d2⋅H1⋅m m 

erf 

F⋅P = 

π ⋅d ⋅H ⋅p 

a A 

2A 

S 

2 1 zul 

A S erf F R p 0,2 

mm2 N 

N 

mm2 

P Gewindesteigung 

nach 10.2.13 

p zul nach 10.2.7 

F 

σ = ≤σ σA Ausschlagfestigkeit 

A S erf 

F 

≥ 

ν⋅ 

A S erf F R p 0,2 

Rp0,2 mm2 N 

N 

mm2 

F 

m 

F 

Spannschloss 

AS erf erforderlicher Spannungsquerschnitt 

F gegebene Spannkraft 

� Ausnutzungsgrad für die Streckgrenze Re oder für die 

0,2-Dehngrenze Rp 0,2, zweckmäßig wird � = 0,6 ... 0,8 

gesetzt (Erfahrungswert) 

0,2-Dehngrenze (10.2.9) 

R p 0,2 

259 

10

10 



260 

Zugspannung � z 


Vergleichsspannung � red 

(reduzierte Spannung) 

Ausschlagspannung � a 

10.2.3 Berechnung einer 

vorgespannten 

Schraubenverbindung 

bei axial wirkender 

Betriebskraft 

10.2.3.1 Überschlägige 

Ermittlung des 

erforderlichen 

Gewindes 

Überschlägige Ermittlung 

des erforderlichen 

Spannungsquerschnitts 

und Wahl des Gewindes 

Ausnutzungsgrad � 

F 

σ z = 

A 

S 

F⋅d2 τt= ⋅ tan( α+ 

r') 

2⋅W 

ps 

2 

red = z + 3 t ≤0,9⋅Rp0,2 σ σ τ 

F 

a = ≤ A 

2⋅ 

AS 

σ σ 

A Serf 

F 

≥ 

ν⋅ 

d 2 Flankendurchmesser (10.2.13) 

� Gewindesteigungswinkel (10.2.13) 

W p polares Widerstandsmoment (10.2.13) 

r' Reibwinkel im Gewinde (10.2.4) 

� A Ausschlagfestigkeit nach 10.2.4 

A 

AS erf FA Rp 0,2 

Rp0,2 mm2 N 

N 

mm2 

Herleitung: Es wird reine Zugspannung im Spannungsquerschnitt A S 

angenommen, hervorgerufen durch die Zugkraft F A. Die zulässige 

Zugspannung wird gleich dem � -fachen der 0,2-Dehngrenze gesetzt 

(� z zul = � · Rp 0,2), sodass mit der Zughauptgleichung 

� z = F A/A S erf < � · R p 0,2 wird. 

AS erf erforderlicher Spannungsquerschnitt 

FA gegebene axiale Vorspannkraft 

� Ausnutzungsgrad 

Rp 0,2 0,2- Dehngrenze der Schraube (10.2.9) 

� � 1 gibt an, mit welchem Anteil von der Streckgrenze R e oder der 

0,2-Dehngrenze Rp 0,2 die Schraube belastet werden soll, z.B. 

� = 0,6 = 60 % von R p 0,2. 

Erfahrungswerte: 

� = 0,25 bei dynamisch und exzentrisch angreifender Axialkraft F A. 

� = 0,4 bei dynamisch und zentrisch oder statisch und exzentrisch 

angreifender Axialkraft F A. 

� = 0,6 bei statisch und zentrisch angreifender Axialkraft F A.

10.2.3.2 Berechnungsbeispiel 

Für F A die nächsthöhere 

Normzahl aus R5 wählen 

Erforderlicher 


Abmessungen der 

Schraube 



Die skizzierte exzentrisch vorgespannte Verschraubung eines 

Hydraulik-Zylinderdeckels soll berechnet werden. 

Die zu übertragende größte Axialkraft je Schraube beträgt 20530 N. 

Beide Bauteile bestehen aus Gusseisen EN-GJS-450-10 nach DIN 

EN 1563 mit der Elastizitätsgrenze Rp 0,2 = 310 MPa = 310 N/mm 2 . 

Die Schraube soll die Festigkeitsklasse 8.8 haben (Rp 0,2 = 660 MPa) 

und mit dem Drehmomentenschlüssel angezogen werden. 

Normzahlen der Reihe R5: 

630/1000/1600/2500/4000/6300/10000/16000/25000/40000/630000 

gewählt: F A = 25 000 N 

FA 

25000 N 

2 

AS erf = = = 94,7mm 

ν⋅ Rp0,2 

0,4 ⋅660 

Mpa 

Der Ausnutzungsgrad wird für eine statisch wirkende und exzentrisch 

angreifende Axialkraft mit 0,4 eingesetzt (siehe oben) 

Nach 10.2.13 wird das Gewinde M16 gewählt: 

Gewindedurchmesser d = 16 mm 

Flankendurchmesser d 2 = 14,701 mm 

Steigungswinkel � = 2,48° 

Spannungsquerschnitt A S = 157 mm 2 � 94,7 mm 2 

Schaftquerschnitt A = 50,201 mm 2 

polares Widerstandsmoment W pS = 554,9 mm 3 

Bezeichnung der Schraube: M8 × 80 DIN 13 – 8.8 

Durchmesser der Kopfauflage d w = 13 mm 

Schraubenlänge (gewählt) l = 50 mm 

Gewindelänge b = 22 mm 

Durchgangsbohrung d h = 9 mm 

Kopfauflagefläche A p = 69,1 mm 2 

Außendurchmesser der verspannten Teile D A = 25 mm 

Die weiteren und umfangreicheren Rechnungen sollten mit den 

Unterlagen aus der VDI-Richtlinie 2230 durchgeführt werden. 

261 

10

10 



262 

10.2.4 Kräfte und Verformungen 

in zentrisch 

vorgespannten 


Verspannungsdiagramm 

einer vorgespannten 

Schraubenverbindung 

nach dem Aufbringen 

einer axialen Betriebskraft 

F A, die zentrisch an 

Schraubenkopf- und 

Mutterauflage angreift. 

Dann ist der Krafteinleitungsfaktor 

n = 1. Er wird 

nach der VDI-Richtlinie 

2230 berechnet und 

beschreibt den Einfluss 

des Einleitungsortes der 

Axialkraft F A auf die 

Verschiebung des 

Schraubenkopfes. 

Elastische Nachgiebigkeit 

� S einer Sechskantschraube 

Nach Aufbringen der 

Vorspannkraft F V 

FV Vorspannkraft der Schraube 

FA axiale Betriebskraft 

FK Klemmkraft (Dichtkraft) 

FK1 theoretische Klemmkraft 

FZ Vorspannkraftverlust durch Setzen während der Betriebszeit 

FS Schraubenkraft 

FSA Axialkraftanteil (Betriebskraftanteil der Schraube) 

FPA Axialkraftanteil der verspannten Teile 

fS Verlängerung der Schraube nach der Montage 

fP Verkürzung der verspannten Teile nach der Montage 

fSA, fPA entsprechende Formänderungen nach Aufbringen der 

Betriebskraft FA fZ Setzbetrag (bleibende Verformung durch „Setzen“) 

� f Längenänderung nach dem Aufbringen von FA � S, � P Neigungswinkel der Kennlinie 

l1 l2+ 

0,8 d 

+ 

A AS 

� S= 

ES 

� S = S f f 

= 

FV FSA 

∆ 

Dehnquerschnitte und Dehnlängen an 

der Sechskantschraube

Ersatzhohlzylinder zur 

Berechnung der elastischen 

Nachgiebigkeit � P 

der Platten und Ersatzquerschnitt(Ersatz-Hohlzylinder) 

A ers der Platten 

für d w + l K < D A 

Axialkraftanteil F SA 

in der Schraube 

Kraftverhältnis � 

� K ist das Kraftverhältnis 

bei zentrischer 

Verspannung und 

zentrischer Krafteinleitung 

in Ebenen durch 

die Schraubenkopf- und 

Mutterauflage. 

� -Kontrolle für 

Sechskantschrauben, 

berechnet mit der obigen 

Gleichung und den 

folgenden Überschlagswerten: 

für Stahlflansche mit 

E P = 21 · 10 4 N/mm 2 und 

Flansche aus EN-GJL-300 

(Klammerwerte) mit 

E P = 12 · 10 4 N/mm 2 

in Abhängigkeit von l K/d 

berechnet. 

lK 

fP ∆f ∆f 

� P = = = = 

Aers ⋅EP 

FV FPA FA − FSA 

⎡ 2 

⎛ ⎞ ⎤ 

π ⎢ l ⋅ 

⎥ 

= 2 ⎜ ⎟ 

( − 2 π K dw 

Aers dwdh) + ⎢ 3 

⎜ 

+ 1 

⎟ 

−1 

4 8 

2 ⎥ 

⎢⎝ ( l + ) 

⎣ K dw 

⎠ ⎦⎥ 

D A Außendurchmesser der verspannten 

Platten, 

D w Außendurchmesser der Kopfauflage, 

bei Sechskantschrauben Durchmesser des 

Telleransatzes, sonst Schlüsselweite, bei 

Zylinderschrauben Kopfdurchmesser, 

D h Durchmesser der Durchgangsbohrung 

nach 10.2.10, l K Klemmlänge 

δ P 

δ P 

FSA = FA und mit = � 

δP+ δS 

δP+ δS 

F SA = � F A 

δ P FSA 

P+ S FA 

Φ = = 

δ δ 

Φ = 

lK 

AersEp lK 

l1 l2+ 

0,8 d 

ES A AS 

⎛ ⎞ 

+ ⎜ + ⎟ 

⎝ ⎠ 



Ersatz-Hohlzylinder in 

den verspannten 

Platten 

Gleichungsentwicklung: 

�f = � S F SA = � P(F A – F SA) 

� S F SA = � P F A – � P F SA 

F SA(� S + � P) = � P F A 

lK Klemmlänge 

EP Elastizitätsmodul der Platten 

ES Elastizitätsmodul der 

Schraube, für Stahl ist 

ES = 21 · 104 N/mm2 Aers Ersatzquerschnitt 

l1, l2 Teillängen der Schraube 

(10.2.10) 

d Gewindenenndurchmesser 

(9.25) 

A Schaftquerschnitt der 

Schraube 

AS Spannungsquerschnitt der 

Schraube (10.2.13) 

l K/d = 1 2 3 4 5 

� � = 

0,21 

(0,31) 

0,23 

(0,32) 

0,22 

(0,30) 

0,20 

(0,28) 

0,19 

(0,26) 

l K/d = 6 7 8 9 10 

� � = 

0,18 

(0,24) 

0,16 

(0,22) 

0,15 

(0,20) 

0,14 

(0,19) 

0,13 

(0,17) 

l K/d = 11 12 13 14 15 

� � = 

0,12 

(0,16) 

0,11 

(0,15) 

0,10 

(0,14) 

0,097 

(0,13) 

0,091 

(0,12) 

l K/d = 16 17 18 20 – 

� � = 

0,086 

(0,11) 

0,081 

(0,105) 

0,076 

(0,099) 

0,068 

(0,088) 

Berechnet mit den Vereinfachungen: d a = 1,6 d; D B = 1,1 d; d S = 0,85 d 

(für A S); l 1 = 0,7 l K; l 2 = 0,3 l K 

– 

– 

263 

10

10 



Axialkraftanteil F PA in den 

verspannten Platten 

(Plattenzusatzkraft) 

Axialkraftanteile F SA und 

F PA mit � n = n·� für den 

allgemeinen 

Krafteinleitungsfall 

Krafteinleitungsfaktoren n 

und zugehörige 

Verbindungstypen 

nach VDI 2230 

Klemmkraft F K 

(bei n � 1) 

Schraubenkraft F S und 

Vorspannkraft F V 

Schraubenkraft F S 

(bei n � 1) 

264 

F PA = F A (1 – � ) Herleitung: Das Verspannungsdiagramm zeigt 

F PA = F A – F SA. Außerdem ist F SA = F A �. 

� n = n 

δ 

δ δ 

F 

P 

SA 

= n� = 

P + S FA 

Parameter zur Ermittlung von n 

h Höhe, a k Abstand zwischen 

dem Rand der Verspannfläche, 

l A Länge zwischen Grundkörper 

und Krafteinleitungspunkt K im 

Anschlusskörper 

Krafteinleitungsfaktoren n: 

n ist der nach VDI 2230 zu 

berechnende Krafteinleitungsfaktor, 

n ist abhängig vom Ort der Einleitung 

der Axialkraft F A. 

Verbindungstypen zur Lage 

der Krafteinleitung 

A/h 0,00 0,10 0,20 �0,30 

a K /h 0,10 0,30 �0,50 0,10 0,30 �0,50 0,10 0,30 �0,50 0,10 0,30 �0,50 

SV1 0,55 0,30 0,13 0,41 0,22 0,10 0,28 0,16 0,07 0,14 0,12 0,04 

SV3 0,37 0,26 0,12 0,30 0,20 0,09 0,23 0,15 0,07 0,14 0,12 0,04 

SV5 0,25 0,22 0,10 0,21 0,15 0,07 0,17 0,12 0,06 0,13 0,10 0,03 

F K = F V – F Z – F A (1 – � n) 

Das Verspannungsbild zeigt 

F K = F V – F Z – F PA 

F PA = F A (1 – � n) 

Vorspannkraft FV �� 

FS = FZ � FK � (1 – � ) FA � � FA �� 

F S = F V � F SA 

Setzkraft 

F S = F V � � n F A 

Klemmkraft 

Axialkraft- 

anteil der 

verspannten 

Teile 

Axialkraft- 

anteil der 

Schraube 

�� 

axiale Betriebskraft F A

Setzkraft F Z 

Montagevorspannkraft F VM 

Anziehfaktor � A 

Richtwerte für den 

Anziehfaktor � A 

(VDI 2230) 

Längenänderungen f S, f P 

nach der Montage 

fZ 

FZ = 

( δ + δ ) 

S P 

= f Z 

Φ 

δ 

P 



Die Setzkraft F Z ist der Vorspannungskraftverlust 

durch Setzen der Verbindung 

während der Betriebszeit. f Z ist die 

dadurch bleibende Verformung. 

Richtwerte für Setzbeträge f Z in µm 

bei Schrauben, Muttern und kompakten verspannten Teilen aus Stahl 

(VDI 2230) 

Gemittelte 

Rautiefe 

R Z 

< 10 �m 

10 �m bis 

< 40 �m 

40 �m bis 

< 160 �m 

Beanspruchung im Gewinde 

Zug/Druck 

Schub 

Zug/Druck 

Schub 

Zug/Druck 

Schub 

3 

3 

3 

3 

3 

3 

α ( 1 Φ ) 

FVM A FKerf FZFAn Anziehfaktor 

� A 

1,2 bis 

1,4 

1,4 bis 

1,6 

= ⎡ + + ⋅ − ⎤ 

⎣ ⎦ 

Streuung 

+/- 

(9 bis 17)% 

+/- 

(17 bis 2)% 

2,5 bis 4 +/- 

(43 bis 

60)% 

Anziehverfahren 

Drehwinkelgesteuertes 

Anziehen 

Drehmomentengesteuertes 

Anziehen mit 

Drehmomentenschlüssel 

Schlag- oder 

Impulsschrauber 

je Kopf oder 

Mutterauflage 

Einstellverfahren 

2,5 

3 

3 

4,5 

4 

6,5 

Versuchsmäßige 

Bestimmung von 

Vorziehmoment 

und Drehwinkel 

Versuchsmäßige 

Bestimmung der 

Sollanziehmomente 

am Originalverschraubungsteil 

Einstellen des 

Schraubers über 

das 

Nachstellmoment 

und einem 

Zuschlag 

je innere 

Trennfuge 

1,5 

2 

2 

2,5 

3 

3,5 

Bemerkungen 

Vorspannkraftstreuung 

wird 

wesentlich durch die 

Streckgrenzenstreuung 

bestimmt. 

Niedrigere Werte für 

kleine Drehwinkel, 

höhere Werte große 

Drehwinkel 

Niedrigere Werte für 

große Zahl von 

Einstellversuchen 

f S = F VM � S f P = F VM � P F VM Montagevorspannkraft 

265 

10

10 



Erforderliches 

Anziehdrehmoment M A 

Richtwerte für Reibzahlen 

�' und Reibwinkel r' 

für metrisches 

ISO-Regelgewinde 

266 

Montagevorspannung � VM 




⎡d2⎤ MA = FVM⎢ ⋅ tan( α + r') 

+ µ A⋅0,7d 

⎣ 

⎥ 

2 

⎦ 

MA FVM d2, d �A Nmm N mm 1 

FVM Montagevorspannkraft 

d2 Flankendurchmesser am Gewinde (10.2.13) 

d Gewindedurchmesser (10.2.13) 

� Steigungswinkel am Gewinde (10.2.13) 

r' Reibwinkel am Gewinde 

�A Gleitreibzahl der Kopf- oder Mutterauflagefläche 

�A � 0,1 für Stahl/Stahl, trocken ( � 0,05 geölt) 

�A � 0,15 für Stahl/Gusseisen, trocken ( � 0,05 geölt) 

Behandlungsart 

Reibungsverhältnisse 

trocken geschmiert MoS 2-Paste 

�' r' �' r' �' r' 

ohne Nachbehandlung 0,16 9º 0,14 8º 

phosphatiert 0,18 10º 0,14 8º 

galvanisch verzinkt 0,14 8º 0,13 7,5º 

galvanisch verkadmet 0,1 6º 0,09 5º 

F 

σ VM = 

A 

τ 

VM 

S 

FVM ⋅d2⋅ tan( α + r') 

t = 

2⋅WpS 

2 2 

red VM t 

p 0,2 

σ = σ + 3⋅τ ≤0,9⋅R R p 0,2 0,2-Dehngrenze (10.2.9) 

FVM Montagevorspannkraft 

AS Spannungsquerschnitt 

0,1 6º 

d2 Flankendurchmesser *) 

WpS polares Widerstandsmoment 

der Schraube *) 

π 3 

WpS = ds 

16 

dS Durchmesser des 

Spannungsquerschnitts A *) 

S 

� Steigungswinkel des 

Gewindes *) 

P Gewindesteigung *) 

r' Reibwinkel (siehe oben) 

*) siehe 10.2.13 

Ist die Bedingung � red � 0,9 · R p 0,2 

nicht erfüllt, muss die Berechnung 

mit einem größeren Schraubendurchmesser 

oder mit einer höheren 

Festigkeitsklasse wiederholt 

werden.

Ausschlagkraft F a 

bei dynamischer 

Betriebskraft F B 

Ausschlagspannung � a 

Ausschlagfestigkeit 

± � A in N/mm 2 


Richtwerte für die 

Grenzflächenpressung 

p G in N/mm 2 

10.2.5 Berechnung vorgespannterSchraubenverbindungen 

bei Aufnahme 

einer Querkraft 

FSAmax − FSAmin 

Fa 

= = 

2 

FAmax − FAmin 

= n ⋅Φ 

2 

FSA 

Fa = bei FSAmin 

= 0 

2 

F = F + F + F 

m VM SAmin a 

F 

σ σ 

a 

a = ≤0,9 ⋅ A 

A S 



� A Ausschlagfestigkeit der Schraube 

A S Spannungsquerschnitt (10.2.13) 

Gewinde 

Festigkeitsklasse 

< M 8 M 8 ... M 12 M 14 ... M 20 > M 20 

4.6 und 5.6 50 40 35 35 

8.8 bis 12.9 60 50 40 35 

10.9 und 12.9 

schlussgerollt 

100 90 70 60 

FS 

p = ≤ p 

A 

p 

G 

A p gepresste Fläche (10.2.10) 

p G Grenzflächenpressung 

Grenzflächenpressung p G in N/mm 2 bei Werkstoff der Teile 

Anziehart S235JO E 335 C 45 E 

motorisch 

von Hand 

200 

300 

(drehmomentgesteuert) 

350 

500 

600 

900 

Die Schraubenverbindung überträgt 

die gesamte statisch oder dynamisch 

wirkende Querkraft F Q ges 

allein durch Reibungsschluss: 

Reibkraft F R = F Q ges Die erforderliche 

Vorspannkraft F V (Schraubenlängskraft) 

setzt sich zusammen 

aus der erforderlichen Klemmkraft 

F K erf und der Setzkraft F Z. Eine 

axiale Betriebskraft F A tritt nicht auf 

(F A = 0). 

Stahl, 

vergütet 

Stahl, 

einsatzgehärtet 

– – 

ca. 1 000 ca. 1 500 

EN-GJL-250 

EN-GJL-300 AlSiCu 

-Leg. 

500 

750 

120 

180 

Beispiel einer Schraubenverbindung 

mit Querkraftaufnahme: 

Tellerrad am Kraftfahrzeug 

267 

10

10 



Erforderliche Klemmkraft 

F K erf je Schraube 

Erforderliche Klemmkraft 

F K erf je Schraube bei 

Drehmomentübertragung 

Erforderlicher Spannungsquerschnitt 

A s erf und Wahl 

des Gewindes nach Tabelle 

im Abschnitt 10.2.13 

268 

10.2.6 Berechnung von 

Bewegungsschrauben 

Erforderlicher Kernquerschnitt 

A 3 erf 

(überschlägig) 



Gewindereibmoment M RG 

Erforderliche Mutter- 

höhe merf 

FQ 

ges 

FKerf≥ 

n ⋅ µ A 

2⋅M FKerf 

≥ 

n⋅µ A⋅dL A 

Serf 

α ⋅F 

≥ 

0,6 ⋅R 

A Kerf 

p0,2 

n Anzahl der Schrauben, die F Q ges 

aufnehmen sollen 

� A Gleitreibzahl zwischen den Bauteilen 

Die Anzahl n der Schrauben ergibt sich aus 

dem zum Anziehen der Schraubenverbindung 

erforderlichen Mindestabstand auf dem 

Lochkreis. 

M zu übertragendes Drehmoment 

�A Anziehfaktor (10.2.4) 

Rp 0,2 0,2-Dehngrenze (10.2.9) 

Für Bewegungsschrauben wird meist Trapezgewinde nach Tabelle im 

Abschnitt 10.2.14 verwendet. Man rechnet dann mit dem Kernquerschnitt 

A 3. Wird die Bewegungsschraube auf Druck beansprucht, 

muss die Knickung überprüft werden. 

Beispiel einer Bewegungsschraube: Handspindelpresse 

MT 

l Knickgefährdete Spindellänge 

� t Spindelteil mit Torsionsspannung 

� t = MT/Wp l1 tragende Gewindelänge der 

Führungsmutter 

F Druckkraft in der Spindel 

d3 Kerndurchmesser des Trapezgewindes 

�d Druckspannung im Gewinde 

F Druckkraft 

A Querschnittsfläche des Drucktellers 

F 

A3erf≥ 

0,45 ⋅Rp0,2 

2 2 F 

σred = σz,d+ 3⋅τt�z,d 

= 

A 3 

m 

erf 

F⋅P = 

π ⋅d ⋅H ⋅p 

2 1 zul 

F Zug- oder Druckkraft in der Schraube (Spindel) 

Rp 0,2 siehe Tabelle im Abschnitt 10.2.9 

A3 siehe Tabelle im Abschnitt 10.2.14 

d2 

MRG = F tan( 

α +r') 

2 

MRG 

π 

τ t = W = 2 

p d3 

Wp 

16 

Gewindegrößen nach 10.2.14 

P zul = 2…3 MP für Gusseisenmuttern/Stahl 

= 5…15 MP für Bronzemutter/Stahl 

= 7 für Stahl/Stahl


Festigkeitsnachweis 

10.2.7 Richtwerte für die 

zulässige Flächenpressung 

bei Bewegungsschrauben 

10.2.8 Reibungszahlen und 

Reibungswinkel für 

Trapezgewinde 

10.2.9 R p 0,2 

0,2-Dehngrenze der 

Schraube 

(Festigkeitseigenschaften 

der Schraubenstähle 

nach DIN EN 20898) 

tanα 

η = 

tan( α+ β) 

Für ruhende Belastung: � red � 0,9 · R p 0,2 

Für schwellende Belastung: 

F 

σa = ≤σA 

2⋅ 

A 

σ 

σ = 

A 

3 

⋅b ⋅b 

β 

Sch 1 2 

k 



� Steigungswinkel (10.2.14) 

r' Reibwinkel im Gewinde (10.2.8) 

Werkstoff 

R p 0,2 = 0,2 Dehngrenze 

(10.2.9) 

Ausschlagspannung 

Ausschlagfestigkeit 

�a �A �Sch Schwellfestigkeit 

b1 b2 Größenbeiwert 

� k 

Schraube (Spindel) Mutter (Spindelführung) 

Stahl 

Stahl 

Stahl 

Stahl, gehärtet 

Stahl 

Gusseisen 

CuZn und CuSn-Legierung 

CuZn und CuSn-Legierung 

Oberflächenbeiwert 

Kerbwirkungszahl � 2 für 

Trapezgewinde 

p zul in 

N/mm 2 

8 

5 

10 

15 

Gewinde 

trocken 

�' r' 

geschmiert 

�' r' 

Spindel aus Stahl, Mutter aus Gusseisen 0,22 12º 

Spindel aus Stahl, Mutter aus CuZn- und 

CuSn-Legierungen 

0,18 10º 

Aus vorstehenden Werkstoffen – – 0,1 6º 

Kennzeichen 

4.6 4.8 5.6 5.8 6.6 6.8 6.9 8.8 10.9 

(Festigkeitsklasse) 

Mindest- 

12.9 

Zugfestigkeit 

Rm in N/mm2 Mindest- 

Streckgrenze Re 

400 500 600 800 1 000 1 200 

oder Rp 0,2 

Dehngrenze in 

N/mm2 240 320 300 400 360 480 540 640 900 1 080 

Bruchdehnung A 5 

in % 

25 14 20 10 16 8 12 12 9 8 

269 

10

10 



270 

10.2.10 Geometrische Größen an Sechskantschrauben 

Bezeichnung einer Sechskantschraube M10, Länge l = 90 mm, Festigkeitsklasse 8.8: 

Sechskantschraube M10 × 90 DIN 931–8.8 

Maße in mm, Kopfauflagefläche A p in mm 2 

Gewinde d a � s k l-Bereich 1) 

b dh Ap 2) 3) fein mittel 4) 5) 

M 5 8 3,5 22 ... 80 16 22 5,3 5,5 26,5 30 

M 6 10 4 28 ... 90 18 24 6,4 6,6 44,3 41 

M 8 13 5,5 35 ... 110 22 28 8,4 9,0 69,1 64 

M 10 17 7 45 ... 160 26 32 10,5 11,0 132 100 

M 12 19 8 45 ... 180 30 36 13,0 13,5 140 93 

M 14 22 9 45 ... 200 34 40 15,0 15,5 191 134 

M 16 24 10 50 ... 200 38 44 17,0 17,5 212 185 

M 18 27 12 55 ... 210 42 48 19,0 20,0 258 244 

M 20 30 13 60 ... 220 46 52 21,0 22,0 327 311 

M 22 32 14 60 ... 220 50 56 23,0 24,0 352 383 

M 24 36 15 70 ... 220 54 60 25,0 26,0 487 465 

M 27 41 17 80 ... 240 60 66 28,0 30,0 613 525 

M 30 46 19 80 ... 260 66 72 31,0 33,0 806 707 

1) gestuft: 18, 20, 25, 28, 30, 35, 40, 

2) für l � 125 mm 

3) für l � 125 mm ... 200 mm 

4) für Sechskantschrauben 

5) für Innen-Sechskantschrauben 

Anmerkung: Die Kopfauflagefläche A p für Sechskantschrauben wurde als Kreisringfläche berechnet mit 

Ap = �/4 ( d 2 − d2 

), für Innen-Sechskantschrauben aus den Maßen nach DIN. Aussenkungen der 

a hmittel 

Durchgangsbohrungen (d h) verringern die Auflagefläche A p unter Umständen erheblich. 

10.2.11 Maße an Senkschrauben mit Schlitz und an Senkungen für Durchgangsbohrungen 


d = M ... 

k max 

d3 t2 max 

s 

d1 d2 t1 Maße in mm 

Bezeichnung einer Senkschraube M10 

Länge l = 20 mm, Festigkeitsklasse 5.8: 

Senkschraube M10 × 20 DIN 962 – 58 

Bezeichnung der zugehörigen Senkung der Form A 

mit Bohrungsausführung mittel (m): 

Senkung A m 10 DIN 74 

1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 

0,6 

1,9 

0,3 

0,25 

1,2 

2,4 

0,6 

0,72 

2,3 

0,35 

0,3 

1,4 

2,8 

0,7 

0,84 

2,6 

0,4 

0,3 

1,6 

3,3 

0,8 

0,96 

3 

0,45 

0,4 

1,8 

3,7 

0,9 

1,2 

3,8 

0,6 

0,5 

2,4 

4,6 

1,1 

1,5 

4,7 

0,7 

0,6 

2,9 

5,7 

1,4 

1,65 

5,6 

0,85 

0,8 

3,4 

6,5 

1,6 

2,2 

7,5 

1,1 

1 

4,5 

8,6 

2,1 

2,5 

9,2 

1,3 

1,2 

5,5 

10,4 

2,5 

3 

11 

1,6 

1,6 

6,6 

12,4 

2,9 

4 

14,5 

2,1 

2 

9 

16,4 

3,7 

5 

18 

2,6 

2,5 

11 

20,4 

4,7 

6 

22 

3 

3 

14 

24,4 

5,2 

8 

29 

4 

4 

18 

32,4 

7,2 

10 

36 

5 

5 

22 

40,4 

9,2

10.2.12 Einschraublänge l a für Sacklochgewinde 

Festigkeitsklasse 8.8 8.8 10.9 10.9 

Gewindefeinheit d/P < 9 � 9 < 9 � 9 

AlCuMg1 F40 

GJL220 

E295 

C45V 

1,1 d 

1,0 d 

0,9 d 

0,8 d 

10.2.13 Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 

Maße in mm 

Gewinde- 

Nenndurchmesser 

d = D 

Reihe 1 Reihe 2 

Steigung 

P 

� 


�� 

in Grad 


1,4 d 

1,2 d 

1,0 d 

0,9 d 

1,4 d 

1,2 d 

1,0 d 



Bezeichnung des metrischen Regelgewindes z.B. 

M 12 Gewinde-Nenndurchmesser 

d = D = 12 mm 

Kerndurchmesser Gewindetiefe 1) 

d 2 = D 2 d 3 D 1 h 3 H 1 


A S 

mm 2 


3 0,5 3,40 2,675 2,387 2,459 0,307 0,271 5,03 3,18 

3,5 0,6 3,51 3,110 2,764 2,850 0,368 0,325 6,78 4,98 

4 0,7 3,60 3,545 3,141 3,242 0,429 0,379 8,73 7,28 

4,5 0,75 3,40 4,013 3,580 3,688 0,460 0,406 11,3 10,72 

5 0,8 3,25 4,480 4,019 4,134 0,491 0,433 14,2 15,09 

6 1 3,40 5,350 4,773 4,917 0,613 0,541 20,1 25,42 

8 1,25 3,17 7,188 6,466 6,647 0,767 0,677 36,6 62,46 

10 1,5 3,03 9,026 8,160 8,376 0,920 0,812 58,0 124,6 

12 1,75 2,94 10,863 9,853 10,106 1,074 0,947 84,3 218,3 

14 2 2,87 12,701 11,546 11,835 1,227 1,083 115 347,9 

16 2 2,48 14,701 13,546 13,835 1,227 1,083 157 554,9 

18 2,5 2,78 16,376 14,933 15,294 1,534 1,353 192 750,5 

20 2,5 2,48 18,376 16,933 17,294 1,534 1,353 245 1082 

22 2,5 2,24 20,376 18,933 19,294 1,534 1,353 303 1488 

24 3 2,48 22,051 20,319 20,752 1,840 1,624 353 1871 

27 3 2,18 25,051 23,319 23,752 1,840 1,624 459 2774 

30 3,5 2,30 27,727 25,706 26,211 2,147 1,894 561 3748 

33 3,5 2,08 30,727 28,706 29,211 2,147 1,894 694 5157 

36 4 2,18 33,402 31,093 31,670 2,454 2,165 817 6588 

39 4 2,00 36,402 34,093 34,670 2,454 2,165 976 8601 

42 4,5 2,10 39,077 36,479 37,129 2,760 2,436 1120 10 574 

45 4,5 1,95 42,077 39,479 40,129 2,760 2,436 1300 13 222 

48 5 2,04 44,752 41,866 42,587 3,067 2,706 1470 15 899 

52 5 1,87 48,752 45,866 46,587 3,067 2,706 1760 20 829 

56 5,5 1,91 52,428 49,252 50,046 3,374 2,977 2030 25 801 

60 5,5 1,78 56,428 53,252 54,046 3,374 2,977 2360 32 342 

64 6 1,82 60,103 56,639 57,505 3,681 3,248 2680 39 138 

68 6 1,71 64,103 60,639 61,505 3,681 3,248 3060 47 750 

1) H1 ist die Tragtiefe (siehe Handbuch Maschinenbau, D Festigkeitslehre: Flächenpressung im Gewinde) 

W ps 

mm 3 

271 

10

10 



272 

10.2.14 Metrisches ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 

Maße in mm 


d 

Steigung 

P 


� 

�� 

in Grad 

Tragtiefe 

H 1 

H 1 = 0,5 P 

Bezeichnung für 

a) eingängiges Gewinde z.B. 

Tr 75 � 10 Gewindedurchmesser 

d = 75 mm, 

Steigung P = 10 mm = Teilung 

b) zweigängiges Gewinde z.B. 

Tr 75 � 20 P 10 Gewindedurchmesser 

d = 75 mm, 

Steigung Ph = 20 mm, 

Teilung P = 10 mm 

Steigung Ph 

20 mm 

Gangzahl z = 

= = 2 

Teilung P 10 mm 


D 2 = d 2 

D 2 = d – H 1 

Kerndurchmesser 

d 3 

Kernquerschnitt 

A 3 = 

2 

3 4 d 

π 

mm 2 


3 

Wp = 3 16 d 

π 

8 1,5 3,77 0,75 7,25 6,2 30,2 46,8 

10 2 4,05 1 9 7,5 44,2 82,8 

12 3 5,20 1,5 10,5 9 63,6 143 

16 4 5,20 2 14 11,5 104 299 

20 4 4,05 2 18 15,5 189 731 

24 5 4,23 2,5 21,5 18,5 269 1243 

28 5 3,57 2,5 25,5 22,5 398 2237 

32 6 3,77 3 29 25 491 3068 

36 6 3,31 3 33 29 661 4789 

40 7 3,49 3,5 36,5 32 804 6434 

44 7 3,15 3,5 40,5 36 1018 9161 

48 8 3,31 4 44 39 1195 11 647 

52 8 3,04 4 48 43 1452 15 611 

60 9 2,95 4,5 55,5 50 1963 24 544 

65 10 3,04 5 60 54 2290 30 918 

70 10 2,80 5 65 59 2734 40 326 

75 10 2,60 5 70 64 3217 51 472 

80 10 2,43 5 75 69 3739 64 503 

85 12 2,77 6 79 72 4071 73 287 

90 12 2,60 6 84 77 4656 89 640 

95 12 2,46 6 89 82 5281 108 261 

100 12 2,33 6 94 87 5945 129 297 

110 12 2,10 6 104 97 7390 179 203 

120 14 2,26 7 113 104 8495 220 867 

mm 3

10.3 Federn 

10.3.1 Federkennlinie, 

Federrate, 

Federarbeit, 

Eigenfrequenz 

Federkennlinie, 

Federrate c, 

Federarbeit W f 


Federn 

Normen (Auswahl) und Richtlinien 

DIN 2088 Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und 

Stäben, Berechnung und Konstruktion von kaltgeformten 

Drehfedern (Schenkelfedern) 

DIN 2089 Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und 

Stäben, Berechnung und Konstruktion von Druck- und 

Zugfedern 

DIN 2090 Zylindrische Schraubendruckfedern aus Flachstahl, 

Berechnung 

DIN 2091 Drehstabfedern mit rundem Querschnitt, Berechnung 

und Konstruktion 

DIN 2092 Tellerfedern, Berechnung 

DIN 2093 Tellerfedern, Maße und Güteeigenschaften 

DIN 2094 Blattfedern für Straßenfahrzeuge, Anforderung, Prüfung 

DIN 2095 Zylindrische Druckfedern aus Runddraht, kaltgeformt 

DIN 2097 Zylindrische Zugfedern aus Runddraht 

Für Zug-, Druck- und Biegefedern: 

c = − F2 F1 ∆F 

= 

f − f ∆ f 

oder 

c = dF 

df 

2 1 

c � tan � 

Wf = + F1 F2 c 

∆f 

= ( f2− 2 

2 f1 

) 

2 2 

F f c Wf N mm 

N 

mm Nmm 

Für Drehstabfedern: 

M2 − M1 ∆M 

c = = oder 

ϕ2 − ϕ1 ∆ϕ 

c = dM 

dϕ 

c � tan � 

M1+ M2 c 2 2 

Wf = ∆ϕ 

= ( ϕ2 −ϕ1 

) 

2 2 

M �� c W f 

Nmm rad Nmm 

rad Nmm 

F Federkraft 

f Federweg 

M Federmoment 

� � Drehwinkel 

Beachte: In den Gleichungen für Drehstabfedern steht das Feder- 

moment M für die Federkraft F sowie der Drehwinkel � für den 

Federweg f (Analogie: M � F, � � f). 

273 

10

10 


Federn 

Resultierende Federrate c 0 

bei hintereinandergeschalteten 

Federn 

Resultierende Federrate c 0 

bei parallelgeschalteten 

Federn 

Eigenfrequenz v e 

(Federmasse 

vernachlässigt) 

274 

Wegen F 0 = F 1 = F 2 = ... 

und f 0 = f 1 �� f 2 � ... 

wird 

1 1 1 

= + + ... 

c0 c1 c2 

Bei zwei Federn gilt: 

cc 1 2 

c0 = 

c1+ c2 

Wegen F 0 = F 1 � F 2 + ... 

und f 0 = f 1 = f 2 = ... 

wird 

c 0 = c 1 � c 2 � ... 

ve = 1 

2 π 

c 

m 

für Zug-, Druck- und 

Biegefedern 

c, c D Federraten 

m Masse des abgefederten 

Körpers 

J Trägheitsmoment des 

Körpers, bezogen auf die 

Drehachse 

Hz Hertz (1 Hz = 1 

s ) 

1 

ve = 

2 π 

cD 

J 

für Drehstabfedern 

v e c c D m J 

1 

= Hz 

s 

N 

m 

Nm 

rad 

kg kgm 2 

In der Gleichung für Drehstabfedern steht das Trägheitsmoment J für 

die Masse m (Analogie: J � m).

10.3.2 Metallfedern 

Größen und Einheiten 


Federn 

Spannung �, � in N/mm 2 , Elastizitätsmodul E und Schubmodul G in N/mm 2 (E Stahl = 210 000 N/mm 2 , 

G Stahl = 83 000 N/mm 2 ), Federkraft (Federbelastung) F in N, Federmoment (Kraftmoment, Drehmoment) 

M in Nmm, Federrate c in N/mm (bei Drehstabfedern in Nmm/rad), Federarbeit W f in Nmm, 

Widerstandsmoment W in mm 3 , Flächenmoment 2. Grades I in mm 4 , Federvolumen V in mm 3 , Federweg 

f in mm, Drehwinkel � in rad, sämtliche Längenmaße in mm. 

10.3.2.1 Rechteck-Blattfeder 

Fl 6Fl 

�b = = ≤σ 

2 bzul 

Wx bh 

Fl3 4Fl3 

f = = 

3E 

I 3 

x bh E 

2 2 

fmax = bzul 

3hE σ 

l 

Ebh3 

c = 

3 4l 

2 

V σb 

Wf = 

18E 

V =b h l 

Zulässige Biegespannung �b zul: 

Bei ruhender Belastung �b zul = 0,7 Rm mit Rm = 1300 ... 1500 N/mm2 für Federstahl. 

Bei schwingender Belastung gilt das Dauerfestigkeits- oder Gestaltfestigkeitsdiagramm. 

Dann muss sein: 

�b zul � �m � 0,7 �A �A Ausschlagfestigkeit 

�a vorh � 0,75 �A �a Ausschlagspannung 

Anhaltswert für � A = 50 N/mm 2 für Federstahl. 

10.3.2.2 Dreieck-Blattfeder 

Fl 6Fl 

�b = = ≤σ 

2 bzul 

Wx bh 

Fl3 6Fl3 

f = = 

2E 

I 3 

x bh E 

l2σbzul 

�b zul wie oben fmax = 

hE 

10.3.2.3 Trapez-Blattfeder 

Fl 6Fl 

�b = = ≤σ 

2 bzul 

Wx bh 

Fl3 4Fl3 

f = KTr = KTr 

3E 

I 

3 

x bh E 

2l 

2 σbzul 

�b zul wie oben fmax = KTr 

3hE 

bh3E c = 

3 6l 

2 

V σb 

Wf = 

6E 

V = 1 

2 bhl 

bh3E c = 

4K 

3 

Tr l 

2 

KTrV σb 

Wf = 

⎛ b' ⎞ 

91 ⎜ + ⎟E 

⎝ b ⎠ 

1 ⎛ b'⎞ 

Formfaktor KTr aus nachstehendem Diagramm V = bhl⎜1+ 

⎟ 

2 ⎝ b ⎠ 

275 

10

10 


Federn 

276 

10.3.2.4 Geschichtete Blattfeder 

F l 

�b = ≤ σbzul 

Wx 

6F l 

�b = ≤ σ 2 bzul 

zbh 

3 3 

Fl 4Fl 

f = KTr = KTr 

3E 

I 

3 

x zbh E 

2l 

2σbzul fmax = KTr 

3hE 

� b zul = 600 N/mm 2 für Vorderfedern an 

Fahrzeugen 

� 

� b zul = 750 N/mm 2 für Hinterfedern 

z Anzahl der Blätter 

z' Anzahl der Blätter von der Länge L 

Formfaktor K Tr aus nachstehendem Diagramm 

10.3.2.5 Spiralfeder 

M 

�b = 10 KSp ≤ σ 3 bzul 

d 

M 

ϕ = 

E x 

l 

I 

2 σ 

ϕ max = 

dE 

l 

zbh3E c = 

4K 

3 

Tr l 

2 

KTrV σb 

Wf = 

⎛ z' ⎞ 

91 ⎜ + ⎟E 

⎝ z ⎠ 

1 ⎛ z'⎞ 

V = bhl⎜1+ 

⎟ 

2 ⎝ z ⎠ 

bzul 

4 

π dE 

c = 

64l 

V 

für Kreisquerschnitt Wf = 

8E 

M 

�b = 6 KSp bh2 

≤ σbzul 

M l 

ϕ = ; 

E I x 

2 σ 

ϕ max = 

hE 

l 

bzul 

σ 2 

3 

bh E 

c = 

12l 

2 2 

π( 

ra−ri) V σ 2 

für Rechteckquerschnitt l = Wf = 

( d oder h) + w 

6E 

KSp aus vorstehendem Diagramm 

Die zulässige Biegespannung �b zul ist abhängig vom Drahtwerkstoff 

(patentiert-gezogener Federdraht) und vom Drahtdurchmesser. 

Drahtdurchmesser d in mm 2 3 4 5 6 8 10 

Anhaltswerte: �b zul in N/mm 2 1200 1170 1130 980 920 860 800

10.3.2.6 Drehfeder (Schenkelfeder) 

�b = 10 KSp Fr 

≤ σ 3 bzul 

d 

F r 

ϕ = 

E x 

l 

I 

2l 

bzul 

�max = 

( doder h) E 

�b zul wie in 10.3.2.5 

KSp aus Diagramm in 10.3.2.4 

2 2 

l = if ( Dmπ) + s 

gestreckte Lände der 

Windungen 

Bei schwingender Belastung ist 

der Beiwert k zu berücksichtigen. 

(Diagramm unter Entwurfs- 

berechnung, unten) 

Entwurfsberechnung des Drahtdurchmessers d: 

3 

Fr 

d = k1 

1− 

k2 

σ 

Größen c und W f 

wie in 10.3.2.5 

i f Anzahl der federnden Windungen 

s Windungssteigung 

d, r F k 1, k 2 

mm N 1 

10.3.2.7 Drehstabfeder (Drehmoment M = Torsionsmoment T) 

T 16T 

� t max = = ≤τ 

3 tzul 

Wp π d 

d 

16T 

≥ 3 

π τtzul 

d τ 

d ≥ 

ϕG 

l 

tzul 

T l 32T 

l 

� = = 

G I 4 

p π dG 

� max = 

2l 

τ 

dG 

tzul 

π dG 4 

c = 

32 l 

V 

Wf = 

16G 

τ 2 

t 


Federn 

3 

k2 = 0,06 

i 

Fr 

D 

k1 = 0,22 für d < 5 mm 

k1 = 0,24 für d � 5 mm 

� t zul für 50 CrV4 � 700 N/mm 2 für nicht gesetzte Stäbe, � 1000 N/mm 2 für gesetzte Stäbe; 

� t zul = ± 100 ... 200 N/mm 2 für Dauerbeanspruchung bei geschliffener Oberfläche. 

Sonst: Gestaltfestigkeit � G � 700 N/mm 2 , Ausschlagfestigkeit � A � ± 200 N/mm 2 , es muss sein: 

� m � � A � � G und � a zul � 0,75 � A. 

10.3.2.8 Ringfeder 

F 

≤ σ 

� = zul 

π ham btan( 

β + r) 

� Außenring = 

m 

�Innenring = σ ≤ 

h im 

F hm 

N 

= σ ≤800 

π h btan( β + r) 

h mm 

h 

am am 

N 

1200 

mm 

LF ⎛ Da D ⎞ 

i 

f = 

⎜ + ⎟ 

bE 2 π tan βtan( β+ 

r) 

⎝h h ⎠ 

2 

am im 

tan( β + r) 

Für Belasten: Fbel = Fel tan β 

Fel allein von der elastischen Verformung 

herrührende Federkraft 

für Entlasten: F entl = F el 

tan( β − r) 

tan β 

F ;( r ≤ r 

) 

3 

F entl � 1 bel entl bel 

2 

r � 9° für schwere Ringe, 

r � 7º für leichte Ringe, 

Da 

β = 14 ° , b ≈ 

4 

1 

hm = ( Da −Di) 

4 

277 

10

10 


Federn 

278 

10.3.2.9 Zylindrische Schrauben-Druckfeder 

� i = 

d ≥ 

8FD Gdf 

= ≤τ 

m 

πd3 πi 

2 

fDm 3 

8FD 

π τ 

3 

m f 

4 

m 

izul 

8D i F 

f = 

dG 

izul 

4 

dG 

c = 

8iD 

3 

f m 

L Bl = (i f � 1,8) d = i g d i g = i f � 1,8 

L 0 = L Bl � S a � f 2 

G Schubmodul 

G Stahl = 83 000 N/mm 2 

4 

dfG 

F = 

8iD 

� i ideelle Schubspannung 

3 

f m 

i f Anzahl der federnden Windungen 

4 

1 dG 

i = ⋅ 

f 

c 8D3 

m 

2 

V τ 

Wf 

= 

4G 

ig Gesamtzahl der Windungen 

LBl Blocklänge 

Sa Summe aller Windungsabstände 

Anhaltswerte für die zulässige Drahtdurchmesser in mm 2 4 6 8 10 

ideelle Schubspannung � i zul in N/mm2 900 750 670 620 570 

Ermittlung der Summe der Mindestabstände S a bei kaltgeformten Druckfedern 

nach DIN 2095 

d 

mm 

0,07 ... 0,5 

über 0,5 ... 1,0 

über 1,0 ... 1,6 

über 1,6 ... 2,5 

über 2,5 ... 4,0 

über 4,0 ... 6,3 

über 6,3 ... 10 

über 10 ... 17 

Berechnungsformel 

für S a in mm 

0,5 d � x d 2 i f 

0,4 d � x d 2 i f 

0,3 d � x d 2 i f 

0,2 d � x d 2 i f 

1 d � x d 2 i f 

1 d � x d 2 i f 

1 d � x d 2 i f 

1 d � x d 2 i f 

x-Werte in 1/mm bei Wickelverhältnis 

w = m D 

d 

4 ... 6 über 6 ... 8 über 8 ... 12 über 12 

0,50 0,75 1,00 1,50 

0,20 0,40 0,60 1,00 

0,05 0,15 0,25 0,40 

0,035 0,10 0,20 0,30 

0,02 0,04 0,06 0,10 

0,015 0,03 0,045 0,06 

0,01 0,02 0,030 0,04 

0,005 0,01 0,018 0,022 

Entwurfsberechnung des Drahtdurchmessers d bei gegebener größter Federkraft F 2 und geschätzten 

Durchmessern D a und D i: 

3 d � k1 F2Da 2( k 3 2 

1 F2Di) d � k 3 

1 F2Di + 

3D 

i 

d, D a, D i F 2 k 1 

mm N 1 

k1= 0,15 bei d < 5mm ⎫⎪ 

für Federstahldraht C 

⎬⎪ 

k = 0,16 bei d 

= 5 mm...14 mm ⎭ (siehe Dauerfestigkeitsdiagramm) 

1

Die Gleichung � i = 8 FD m / ��d 3 berücksichtigt nicht 

die Spannungserhöhung durch die Drahtkrümmung. 

Bei schwingender Belastung der Feder wird diese 

Spannungserhöhung berücksichtigt. Es gilt dann: 

� k1 = 

� k2 = 

8F D Gdf 

k = k < τ 

π π 

1 m 1 

d3 i 2 

fDm 8F D Gdf 

k = k < τ 

π π 

2 m 2 

3 d 2 ifDm kO 

kH 

�F = F 2 – F 1 

k Beiwert nach nebenstehendem Diagramm in 

Abhängigkeit vom Wickelverhältnis. Kurve a für 

Schraubendruckfeder, Kurve b für Drehfedern 

� kO Oberspannungsfestigkeit aus dem Dauerfestigkeitsdiagramm 

für kaltgeformte Druckfedern 

aus Federstahldraht C 

Zusätzliche Bedingungen: 

Die Hubspannung � kh (berechnet mit dem Federhub 

h = f 2 – f 1 = �f) darf die Dauerhubfestigkeit � kH 

(siehe Diagramm) nicht überschreiten: 

k 

Gdh 

< τ 

� kh = 

2 kH 

π iD f m 

� kh = 

8 ∆ FD 

k 

π d 

m 

3 

< τ 

kH 

(h Federhub) oder 

�F = F 2 – F 1 

Ebenso darf die größte Schubspannung � k2 

(berechnet mit dem Federweg f 2) die Oberspannungsfestigkeit 

� kO (siehe Diagramm) nicht überschreiten: 

� k2 = 

� k2 = 

Gdf 

k 

π iD 

2 

2 

f m 

8F D 

k 

π d 

2 m 

3 

< τ 

kO 

< τ 

kO 

Zur Überprüfung der Dauerhaltbarkeit bestimmt man 

aus dem Federweg f 1 oder nach 

� k1 = 

8F D 

k 

π d 

1 m 

3 

die Spannung � k1, setzt � k1 = � kU (Unterspannungsfestigkeit 

aus dem Diagramm und liest � kO und � kH 

ab. 

Sicherheit gegen Ausknicken ist ausreichend, wenn 

die geometrischen Größen im nebenstehenden 

Diagramm einen Schnittpunkt unterhalb der Kurven 

ergeben. 

Kurve a: Federn mit geführten Einspannenden 

Kurve b: Federn mit veränderlichen Auflage- 

bedingungen 


Federn 

Dauerfestigkeitsdiagramm für kaltgeformte 

Druckfedern aus Federstahldraht C 

279 

10

10 


Federn 

280 

10.3.2.10 Zylindrische Schrauben-Zugfeder 

Bei Zugfedern ohne innere Vorspannung gelten die Spannungs- und Formänderungsgleichungen wie 

bei Druckfedern in 10.3.2.9, ebenso die Anhaltswerte für � i zul. 

Bei Zugfedern mit innerer Vorspannkraft F 0 ist statt F die Differenz F – F 0 einzusetzen. Die innere 

Vorspannkraft F 0 ergibt sich aus 

F 0 = F – f c 

4 

Gd 

F0 = F − f 

8iD 

3 

f m 

Damit wird nachgeprüft: 

� i 0 = 

8F D 

0 m 

3 

π d 

Richtwerte für 

� i 0 zul 

≤ τ 

i0zul 

10.3.2.11 Tellerfedern 

Herstellungsverfahren 

Wickelverhältnis w = D m/d 

w = 4 ... 10 w �10 ... 15 

kalt- auf Wickelbank 0,25 · �i zul 0,14 · �i zul 

geformt auf Automat 0,14 · �i zul 0,07 · �i zul 

Normen 

DIN 2092 Tellerfedern, Berechnung 

DIN 2093 Tellerfedern, Maße, Qualitätsforderungen 

Formelzeichen und Einheiten 

D a, D i mm Außen-, Innendurchmesser des Federtellers 

D 0 mm Durchmesser des Stülpmittelpunktkreises 

E N/mm 2 Elastizitätsmodul (für Federstahl 

E = 206000 N/mm 2 ) 

F N Federkraft des Einzeltellers 

L 0 mm Länge von Federsäule oder Federpaket, unbelastet 

L C mm berechnete Länge von Federsäule oder Federpaket, platt gedrückt 

N Anzahl der Lastspiele bis zum Bruch 

R N/mm Federrate 

W Nmm Federungsarbeit 

H 0 = l 0 – t, h' 0 mm lichte Tellerhöhe des unbelasteten Einzeltellers 

(Rechengröße = Federweg bis zur Plananlage) 

bei Tellerfedern ohne Auflagefläche, mit Auflagefläche 

S (s 1, s 2, s 3... ) mm Federweg des Einzeltellers (bei F 1, F 2, F 3 ...) 

s 0,75 mm Federweg des Einzeltellers beim Federweg s = 0,75 h 0 

t, t' mm Tellerdicke, reduzierte Dicke bei Tellern mit Auflagefläche (Gruppe 3) 

� Poisson-Zahl (� = 0,3 für Stahl) 

� (� I, � II, � III, � OM) N/mm 2 rechnerische Normalspannung (für die Querschnitte nach Bild in 10.3.2.11.1) 

� h N/mm 2 Hubspannung bei Dauerschwingbeanspruchung der Feder 

� 0, � u N/mm 2 rechnerische Oberspannung, Unterspannung bei Schwingbeanspruchung 

� O, � U N/mm 2 Ober-, Unterspannung der Dauerschwingfestigkeit 

� H = � O – � U N/mm 2 Dauerhubfestigkeit

10.3.2.11.1 Maße, Begriffe 

und Bezeichnungen 

Maße der Einzelteller 

Querschnitt (schematisch) 

einer Tellerfeder 

a) ohne Auflagefläche, 

b) mit Auflagefläche 

Federkennlinien von 

Einzeltellern mit verschiedenen 

Verhältnissen 

h 0/t = lichte Tellerhöhe 

h 0/Tellerdicke t, 

(gestrichelte Ordinate gilt 

für Werte nach DIN 2093). 

Kombinationen 

geschichteter Tellerfedern 

a) Federpaket, 

b) Federsäule 

a) b) 


Federn 

a) ohne Auflagefläche, b) mit Auflagefläche und Lage der Berechnungspunkte 

(I, II, III, IV, OM), I und II sind Krafteinleitungskreise, 

S ist der Stülpmittelpunkt. 

281 

10

10 


Federn 

282 

10.3.2.11.2 Berechnungen 

F, s,l 0, t, h 0 siehe 

10.3.2.11.3 (Tabelle) 

Berechnungsgleichungen 

für die Einzeltellerfeder 

Kennwerte K 

Federkraft F bei beliebigem 

Federweg s des 

Einzeltellers (s 1, s 2, s 3 ...) 

Federpaket mit n Anzahl der gleichsinnig geschichteten 

Einzelteller: 

Gesamtfederkraft F ges = n · F 

Gesamtfederweg s ges = s 

Pakethöhe (unbelastet) L 0 = l 0 � (n – 1) · t 

Pakethöhe (belastet) L = L 0 – s ges 

Federsäule mit Anzahl i der wechselsinnig aneinander gereihten 

Pakete und je n Einzelteller: 

Gesamtfederkraft L ges = n · F 

Gesamtfederweg s ges = i · s 

Säulenlänge L 0 = i · [l 0 � (n – 1) · t] 

(unbelastet) = i · (h 0 � n · t) 

Säulenlänge L = L 0 – s ges 

(belastet) = i · (h 0 � n · t – s) 

� = e D 

D i 

Durchmesserverhältnis 

2 

⎛δ−1⎞ ⎜ ⎟ 

1 ⎝ δ ⎠ 

K1 

= ⋅ 

π δ + 1 2 

− 

−1 

ln 

⎛δ−1⎞ ⎜ −1⎟ 

6 ⎝ lnδ 

⎠ 

K2 

= ⋅ 

π lnδ 

δ δ 

3 δ −1 

K3 

= ⋅ 

π lnδ 

2 

C1 ⎛C1⎞ 4 = − + ⎜ ⎟ + 2 

K C 

2 ⎝ 2 ⎠ 

K 4 = 1 bei Federteller ohne Auflagefläche 

⎛t'⎞ ⎜ ⎟ 

⎝t⎠ C1 = 

⎛1 l0 t' 3⎞⎛5 l0 

t' 

3⎞ 

⎜ ⋅ − + ⎟⎜ ⋅ − + ⎟ 

⎝4 t t 4⎠⎝8 t t 8⎠ 

2 

C ⎡ 

1 5 ⎛l0⎞ ⎤ 

C2 = ⎢ ⋅ 1 1 

3 ⎜ − ⎟ + ⎥ 

⎛t'⎞ ⎢⎣32 ⎝ t ⎠ ⎥⎦ 

⎜ ⎟ 

⎝t⎠ 2 

4E 

t4 ⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎤ 

= ⋅ ⋅ 2s 2 h0 s h0 

s 

F K4 ⎢K4 ⎜ − ⎟⎜ − ⎟+ 

1⎥ 

1− 

µ 2 KD2 

t⎣ ⎝ t t ⎠⎝ t 2t⎠ 

⎦ 

1 e 

Beachte: Für Tellerfedern der Gruppe 3 mit Auflagefläche und 

reduzierter Dicke t' ist in allen Gleichungen t durch t' und h 0 durch 

h' 0 = l 0 – t' zu ersetzen.

Federkraft F C bei platt 

gedrückter Tellerfeder 

(s = h 0) 

Rechnerische Spannungen 

(negative Beträge sind 

Druckspannungen) 

Federrate R 

Federungsarbeit W 


Federn 

3 

4E 

th0 

2 

FC = Fh0 = 

K 

2 2 4 

1 µ KD 1 e 

⋅ ⋅ 

− 

4E 

Für Federstahl kann mit dem Faktor = 905 495 N/mm 

1− 

µ 2 

2 

gerechnet werden (Elastizitätsmodul E = 206000 N/mm 2 und 

Poisson-Zahl µ = 0,3). 

4E t s 3 

σ =− ⋅ ⋅K ⋅ ⋅ ≤σ 

2 

0M 2 2 4 zul 

1− 

µ KD 1 e t π 

4E 

t s 

σI 

=− ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅ 

1− 

µ 

t 

2 

2 2 KD 1 e 

⎡ ⎛hs⎞ ⎤ 

⋅⎢K ⋅K − + K ⎥≤ 

⎣ ⎝ t 2t⎠ 

⎦ 

0 

4 2⎜ ⎟ 3 σzul 

4E 

t s 

σII 

=− ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅ 

1− 

µ 

t 

2 

2 2 KD 1 e 

⎡ ⎛hs⎞ ⎤ 

⋅⎢K ⋅K − −K ⎥≤ 

⎣ ⎝ t 2t⎠ 

⎦ 

0 

4 2⎜ ⎟ 3 σzul 

4E 

t s 

σIII 

=− ⋅ ⋅K4 ⋅ ⋅ 

1− 

µ 

t 

2 

2 KD2 

1 e 

⎡ ⎛hs⎞ ⎤ 

⋅⎢K ⋅( K −2K ) ⋅ − −K ⎥≤ 

⎣ ⎝ t 2t⎠ 

⎦ 

0 

4 2 3 ⎜ ⎟ 3 σzul 

4E t 1 s 

σ =− ⋅ ⋅K ⋅ ⋅ ⋅ 

δ t 

VI2 2 4 

1− 

µ KD 1 e 

2 

⎡ ⎛hs⎞ ⎤ 

⋅⎢K ⋅( K −2K ) ⋅ − + K ⎥≤ 

⎣ ⎝ t 2t⎠ 

⎦ 

0 

4 2 3 ⎜ ⎟ 3 σzul 

4E 

t 

R = ⋅ ⋅K 2 

4 ⋅ 

1− 

µ 

3 

2 KD2 

1 e 

⎡ ⎧ 2 2 

2 ⎪⎛h0⎞ h0 s 3⎛s⎞⎫⎪ 

⎤ 

· ⎢K4⋅⎨⎜ ⎟ −3⋅ ⋅ + ⎜ ⎟⎬+ 

1⎥ 

⎣⎢ ⎪⎩⎝ t ⎠ t t 2⎝t 

⎠⎪⎭ 

⎦⎥ 

2 

4E 

t5 2 ⎛s⎞ ⎡ ⎛ 0 

W = 

2 h s ⎞ ⎤ 

⋅ ⋅K 2 2 4 ⋅⎜ ⎟ ⋅⎢K4⎜ − ⎟+ 

1⎥ 

1− 

µ KD 1 e ⎝t ⎠ ⎣ ⎝ t 2t⎠ 

⎦ 

283 

10

10 


Federn 

Festigkeitsnachweis bei 

statischer Belastung: 

Für diese und die so 

genannte quasistatische 

Belastung bei N < 10 4 

Lastspielen wählt man die 

Tellerfeder aus Tabelle 

10.3.2.11.3 so aus, dass die 

vorhandene größte 

Federkraft F kleiner ist als 

die in der Tabelle 

angegebene zulässige 

Federkraft F 0,75 bei dem 

Federweg s 0,75 = 0,75 · h 0. 

Die im Querschnitt I 

auftretende Druckspannung 

� I soll 2 400 N/mm 2 

bei dem Federweg 

s = 0,75 · h 0 = s 0,75 nicht 

überschreiten. 

Nachweis bei schwingender 

Belastung 

(Dauerfestigkeit): 

Grundlage für den Nachweis 

der Dauer- oder 

Zeitfestigkeit sind die in 

den dargestellten Dauerfestigkeitsdiagrammen 

(Goodman-Diagramme). 

Zur Auswertung werden die 

vorhandenen rechnerischen 

oberen und unteren 

Zugspannungen � IIo � IIu 

� IIIo � IIIu in den Querschnitten 

II und III mit den entsprechenden 

Gleichungen 

ermittelt. Diese Werte müssen 

kleiner sein als die 

Spannungshubgrenzen in 

den Dauerfestigkeitsdiagrammen. 

284 

Dauer- und Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 1 mit 

t � 1,25 mm 

Dauer- und Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 2 mit 

1,25 mm � t � 6 mm 

Dauer und Zeitfestigkeitsdiagramm der Tellerfedergruppe 3 mit 

6 mm � t � 14 mm

10.3.2.11.3 Original-SCHNORR 1) Tellerfedern (nach DIN 2093), erweitert 

De Außendurchmesser 

Di Innendurchmesser 

t Tellerdicke des Einzelltellers 

l0 Bauhöhe des unbelasteten 

Federtellers 

h 0 = l 0 – t Federweg bis zur Plananlage der 

Tellerfeder ohne Auflagefläche 

h 0 = lichte Höhe am unbelasteten Einzelteller 

F 0,75 Federkraft am Einzelteller bei 

Federweg s 0,75 = 0,75 · h o 


Federn 

s 0,75 Federweg am Einzelteller bei s = 0,75 · h o 

� OM 2) , � II 3) , � III Rechnerische Spannung an der 

Stelle OM, II, III (siehe Bild in 10.3.2.11.1) 

1) t' ist die verringerte Tellerdicke der Gruppe 3 

(Grenzabmaße nach DIN 2093, Abschnitt 6.2). 

2) rechnerische Druckspannung am oberen 

Mantelpunkt OM (siehe Bild in 10.3.2.11.1). 

3) größte rechnerische Zugspannung an der 

Tellerunterseite, 

*) Werte gelten für die Stelle II, sonst für Stelle III 

(siehe Bild in 10.3.2.11.1). 

bei 

s = 0,75·h 0 

bei 

s � 1,0 · h 0 

Reihe De Di t (t’) 

1) l0 h0 h0 /t F0,75 s0,75 �OM � 

*) 

II , *) 

�III �OM mm mm mm mm mm N mm N/mm 2 

N/mm 2 

N/mm 2 

C 8 4,2 0,2 0,45 0,25 1,25 39 0,19 – 762 1040 – 1000 

B 8 4,2 0,3 0,55 0,25 0,83 119 0,19 – 1140 1330 – 1510 

A 8 4,2 0,4 0,6 0,2 0,50 210 0,15 – 1200 1220 – 1610 

C 10 5,2 0,25 0,55 0,3 1,20 58 0,23 – 734 980 – 957 

B 10 5,2 0,4 0,7 0,3 0,75 213 0,23 – 1170 1300 – 1530 

A 10 5,2 0,5 0,75 0,25 0,50 329 0,19 – 1210 1240 – 1600 

C 12,5 6,2 0,35 0,8 0,45 1,29 152 0,34 – 944 1280 – 1250 

B 12,5 6,2 0,5 0,85 0,35 0,70 291 0,26 – 1000 1110 – 1390 

A 12,5 6,2 0,7 1 0,3 0,43 673 0,23 – 1280 1420 – 1670 

C 14 7,2 0,35 0,8 0,45 1,29 123 0,34 – 769 1060 – 1020 

B 14 7,2 0,5 0,9 0,4 0,80 279 0,3 – 970 1100 – 1290 

A 14 7,2 0,8 1,1 0,3 0,38 813 0,23 – 1190 1340 – 1550 

C 16 8,2 0,4 0,9 0,5 1,25 155 0,38 – 751 1020 – 988 

B 16 8,2 0,6 1,05 0,45 0,75 412 0,34 – 1010 1120 – 1330 

A 16 8,2 0,9 1,25 0,35 0,39 1000 0,26 – 1160 1290 – 1560 

C 18 9,2 0,45 1,05 0,6 1,33 214 0,45 – 789 1110 – 1050 

B 18 9,2 0,7 1,2 0,5 0,71 572 0,38 – 1040 1130 – 1360 

A 18 9,2 1 1,4 0,4 0,40 1250 0,3 – 1170 1300 – 1560 

C 20 10,2 0,5 1,15 0,65 1,30 254 0,49 – 772 1070 – 1020 

B 20 10,2 0,8 1,35 0,55 0,69 745 0,41 – 1030 1110 – 1390 

A 20 10,2 1,1 1,55 0,45 0,41 1530 0,34 – 1180 1300 – 1560 

C 22,5 11,2 0,6 1,4 0,8 1,33 425 0,6 – 883 1230 – 1180 

B 22,5 11,2 0,8 1,45 0,65 0,81 710 0,49 – 962 1080 – 1280 

A 22,5 11,2 1,25 1,75 0,5 0,40 1950 0,38 – 1170 1320 – 1530 

C 25 12,2 0,7 1,6 0,9 1,29 601 0,68 – 936 1270 – 1240 

B 25 12,2 0,9 1,6 0,7 0,78 868 0,53 – 938 1030 – 1240 

A 25 12,2 1,5 2,05 0,55 0,37 2910 0,41 – 1210 1410 – 1620 

C 28 14,2 0,8 1,8 1 1,25 801 0,75 – 961 1300 – 1280 

B 28 14,2 1 1,8 0,8 0,80 1110 0,6 – 961 1090 – 1280 

A 28 14,2 1,5 2,15 0,65 0,43 2850 0,49 – 1180 1280 – 1560 

C 31,5 16,3 0,8 1,85 1,05 1,31 687 0,79 – 810 1130 – 1080 

B 31,5 16,3 1,25 2,15 0,9 0,72 1920 0,68 – 1090 1190 – 1440 

A 31,5 16,3 1,75 2,45 0,7 0,40 3900 0,53 – 1190 1310 – 1570 

C 35,5 18,3 0,9 2,05 1,15 1,28 831 0,86 – 779 1080 – 1040 

B 35,5 18,3 1,25 2,25 1 0,80 1700 0,75 – 944 1070 – 1260 

A 35,5 18,3 2 2,8 0,8 0,40 5190 0,6 – 1210 1330 – 1610 

C 40 20,4 1 2,3 1,3 1,30 1020 0,98 – 772 1070 – 1020 

B 40 20,4 1,5 2,65 1,15 0,77 2620 0,86 – 1020 1130 – 1360 

A 40 20,4 2,25 3,15 0,9 0,40 6540 0,68 – 1210 1340 – 1600 

285 

10

10 


Federn 

286 

bei 

s = 0,75·h 0 

bei 

s � 1,0 · h 0 

Reihe D e D i t (t’) 1) l 0 h 0 h 0 /t F 0,75 s 0,75 � OM � II *) , �III *) � OM 

mm mm mm mm mm N mm N/mm 2 

N/mm 2 

N/mm 2 

C 45 22,4 1,25 2,85 1,6 1,28 1890 1,2 – 920 1250 – 1230 

B 45 22,4 1,75 3,05 1,3 0,74 3660 0,98 – 1050 1150 – 1400 

A 45 22,4 2,5 3,5 1 0,40 7720 0,75 – 1150 1300 – 1530 

C 50 25,4 1,25 2,85 1,6 1,28 1550 1,2 – 754 1040 – 1010 

B 50 25,4 2 3,4 1,4 0,70 4760 1,05 – 1060 1140 – 1410 

A 50 25,4 3 4,1 1,1 0,37 12000 0,83 – 1250 1430 – 1660 

C 56 28,5 1,5 3,45 1,95 1,30 2620 1,46 – 879 1220 – 1170 

B 56 28,5 2 3,6 1,6 0,80 4440 1,2 – 963 1090 – 1280 

A 56 28,5 3 4,3 1,3 0,43 11400 0,98 – 1180 1280 – 1570 

C 63 31 1,8 4,15 2,35 1,31 4240 1,76 – 985 1350 – 1320 

B 63 31 2,5 4,25 1,75 0,70 7180 1,31 – 1020 1090 – 1360 

A 63 31 3,5 4,9 1,4 0,40 15000 1,05 – 1140 1300 – 1520 

C 71 36 2 4,6 2,6 1,30 5140 1,95 – 971 1340 – 1300 

B 71 36 2,5 4,5 2 0,80 6730 1,5 – 934 1060 – 1250 

A 71 36 4 5,6 1,6 0,40 20500 1,2 – 1200 1330 – 1590 

C 80 41 2,25 5,2 2,95 1,31 6610 2,21 – 982 1370 – 1310 

B 80 41 3 5,3 2,3 0,77 10500 1,73 – 1030 1140 – 1360 

A 80 41 5 6,7 1,7 0,34 33700 1,28 – 1260 1460 – 1680 

C 90 46 2,5 5,7 3,2 1,28 7680 2,4 – 935 1290 – 1250 

B 90 46 3,5 6 2,5 0,71 14200 1,88 – 1030 1120 – 1360 

A 90 46 5 7 2 0,40 31400 1,5 – 1170 1300 – 1560 

C 100 51 2,7 6,2 3,5 1,30 8610 2,63 – 895 1240 – 1190 

B 100 51 3,5 6,3 2,8 0,80 13100 2,1 – 926 1050 – 1240 

A 100 51 6 8,2 2,2 0,37 48000 1,65 – 1250 1420 – 1660 

C 112 57 3 6,9 3,9 1,30 10500 2,93 – 882 1220 – 1170 

B 112 57 4 7,2 3,2 0,80 17800 2,4 – 963 1090 – 1280 

A 112 57 6 8,5 2,5 0,42 43800 1,88 – 1130 1240 – 1510 

C 125 64 3,5 8 4,5 1,29 15400 3,38 – 956 1320 – 1270 

B 125 64 5 8,5 3,5 0,70 30000 2,63 – 1060 1150 – 1420 

A 125 64 8 10,6 2,6 0,41 85900 1,95 – 1280 1330 – 1710 

C 140 72 3,8 8,7 4,9 1,29 17200 3,68 – 904 1250 – 1200 

B 140 72 5 9 4 0,80 27900 3 – 970 1110 – 1290 

A 140 72 8 11,2 3,2 0,49 85300 2,4 – 1260 1280 – 1680 

C 160 82 4,3 9,9 5,6 1,30 21800 4,2 – 892 1240 – 1190 

B 160 82 6 10,5 4,5 0,75 41100 3,38 – 1000 1110 – 1330 

A 160 82 10 13,5 3,5 0,44 139000 2,63 – 1320 1340 – 1750 

C 180 92 4,8 11 6,2 1,29 26400 4,65 – 869 1200 – 1160 

B 180 92 6 11,1 5,1 0,85 37500 3,83 – 895 1040 – 1190 

A 180 92 10 14 4 0,49 125000 3 – 1180 1200 – 1580 

C 200 102 5,5 12,5 7 1,27 36100 5,25 – 910 1250 – 1210 

B 200 102 8 13,6 5,6 0,81 76400 4,2 – 1060 1250 – 1410 

A 200 102 12 16,2 4,2 0,44 183000 3,15 – 1210 1230 – 1610 

C 225 112 6,5 13,6 7,1 1,19 44600 5,33 – 840 1140 – 1120 

B 225 112 8 14,5 6,5 0,93 70800 4,88 – 951 1180 – 1270 

A 225 112 12 17 5 0,51 171000 3,75 – 1120 1140 – 1490 

C 250 127 7 14,8 7,8 1,21 50500 5,85 – 814 1120 – 1090 

B 250 127 10 17 7 0,81 119000 5,25 – 1050 1240 – 1410 

A 250 127 14 19,6 5,6 0,50 249000 4,2 – 1200 1220 – 1600 

1) Adolf Schnorr GmbH + Co. KG, 71050 Sindelfingen

10.3.3 Gummifedern 

Anmerkung zu Gummifedern: 

Die prozentuale Dämpfung beträgt 

d = (W fzu – W fab) · 100/W fab = 6...30 %. 

Der E-Modul aus E = 2 G (1 + �) = 3 G (mit � = 0,5) gilt nur 

für Federn, bei denen keine Behinderungen an den 

Befestigungsstellen durch Reibung oder chemische Bindung 

eintritt. Die Zerreißfestigkeit beträgt etwa 15 N/mm 2 . 

Die Dauerfestigkeit ist abhängig von Beanspruchungsart, 

Gummiqualität, Herstellungsverfahren und Form. 

Allseitig eingeschlossener Gummi kann nicht federn 

(Formfaktor k = �). Zugbeanspruchung ist bei Gummi zu 

vermeiden. 

Richtwerte für die zulässige Spannung � zul in N/mm 2 

Beanspruchung 

Druck 

Parallelschub 

Drehschub 

Verdrehschub 

Beanspruchung: Druck 

F fE 

σ = = ≤σ 

A h 

zul 

Belastung 

statisch dynamisch 

3 

1,5 

2 

1,5 

Fh 

f = 

EA 

± 1 

± 0,4 

± 0,7 

± 0,4 

fEA 

F = 

h 

� G � 3 N/mm 2 ; � A �� 1 N/mm 2 ; Gleichungen gelten für f � 0,2 h 

Beanspruchung der Scheibenfeder: Parallelschub 

F fG 

τ = γ G = = ≤τ 

A h 

bei kleinem � ist: � = f 

h 

zul 

Fh 

f = 

GA 

fGA 

F = 

h 

AE 

c = 

h 

AG 

c = 

h 

f F 

F 

sonst: aus tan � = = tan ; f = h tan 

h AG AG 

Beanspruchung der Hülsenfeder: Parallelschub 

F F 

τ = γ G = = ≤τ 

A 2 π rh 

zul 

f 

F 

r 

2 

F 2 hG 

= ln 

c = = 

2 π hG r1 

f r2 

ln 

r1 

π 

F 

γ = 

2 π 

rhG 


Federn 

287 

10

10 


Achsen, Wellen und Zapfen 

288 

Beanspruchung der Hülsenfeder: Drehschub 

M 

M 

⎛ 

1 1 

⎞ 

= ≤ 

2 zul ϕ = ⎜ − ⎟ 

2 π r l 4 π lG⎜ 

2 2 

r1 r 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

τ τ 

Beanspruchung der Scheibenfeder: Verdrehschub 

ϕ rG 2 

τ = γG= ≤τ 

s 

γ s ≈ ϕ r 

zul 

10.4 Achsen, Wellen und Zapfen 

Normen (Auswahl) 

2 π 

4 

Gϕ 

4 4 

M = r2 −r1 

s 

M 4 π lG 

c = = 

ϕ ⎛ 

1 

⎞ ⎛ 

1 

⎞ 

⎜ ⎟−⎜ ⎟ 

⎜ 

r 

⎟ ⎜ 

r 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

(4 ) 

2 2 

1 2 

DIN 509 Freistiche 

DIN 668, 670, 671 Blanker Rundstahl 

DIN 669 Blanke Stahlwellen 

DIN 743 Tragfähigkeitsberechnung von Wellen und Achsen 

DIN 748 Zylindrische Wellenenden 

DIN 1448, 1449 Keglige Wellenenden mit Außen-, Innengewinde 

DIN 59360 Geschliffen-polierter Rundstahl 

10.4.1 Achsen 

2 3 3 r2 

M = πGϕ( 

r2 −r1 

) 

3 

s2 

Grundlagen zur Berechnung von Achsen, Wellen und Zapfen siehe auch Abschnitt 9 Festigkeitslehre.

Vorhandene 

Biegespannung � b 

10.4.2 Wellen 

10.4.2.1 Konstruktionsentwurf 



M bx �b = 

Wx 

�b N 

2 mm 

Mb Nmm 

W 

mm3 Mbx Biegemoment an beliebiger Schnittstelle x-x 

Wx Axiales Widerstandsmoment an der gewählten Schnittstelle, 

siehe 9 Festigkeitslehre. 

Zusätzliche Schubbeanspruchung ist meist gering und wird vernachlässigt. 

Zusammenstellung wichtiger Normen für den Konstruktionsentwurf einer Getriebewelle 

*) 6308 und 6409 sind die Bezeichnungen für Wälzlager 

DIN 76 Teil 1 Gewindeausläufe; Gewindefreistiche für Metrisches ISO-Gewinde 

DIN 116 Antriebselemente; Scheibenkupplungen, Maße, Drehmomente, Drehzahlen 

DIN 125 Scheiben 

DIN 128 Federringe 

ISO 273 Durchgangslöcher für Schrauben 

DIN 336 Teil 1 Durchmesser für Bohrwerkzeuge für Gewindekernlöcher 

DIN 471 Teil 1 Sicherungsringe für Wellen 

DIN 509 Freistiche 

DIN 611 Wälzlagerteile, Wälzlagerzubehör und Gelenklager 

IIN 931, DIN 933 Sechskantschrauben 

DIN 1448 Teil 1 Kegelige Wellenenden mit Außengewinde 

DIN 3760 Radial - Wellendichtringe 

DIN 6885 Passfedern, Nuten 

DIN 13 Teil 1 Metrisches ISO-Gewinde, Regelgewinde 

289 

10

10 



290 

10.4.2.2 Überschlägige 

Ermittlung der 

Wellendurchmesser 

Beanspruchung 

Wellendurchmesser d 

– nur Drehmoment M T 

bzw. Leistung P und 

Drehzahl n bekannt – 

Biegemoment M b und 

Torsionsmoment M T 

bekannt – 

Vergleichsspannung � V 

Anstrengungsverhältnis � 0 

Vergleichsmoment M V 

Wellendurchmesser d 

Bei Wellen liegt gleichzeitige Torsions- und Biegebeanspruchung vor. 

Durch die Zahnrad-, Riemenzug- und sonstigen Kräfte treten noch 

kleine, meist vernachlässigbare Schubspannungen auf. Häufig ist das 

Biegemoment vorerst nicht bekannt. Der Wellendurchmesser d wird 

dann überschlägig berechnet. 

3 3 P 

d � c1 MT ≈ c2 

n 

Wellenentwurf mit gleichzeitiger 

Torsions- und Biegebeanspruchung, 

Kräfte F und Längen l bekannt 

2 2 

b 0 t bzul 

�v = σ + 3( α τ ) ≤σ 

σbzul 

�� = 

1,73 τtzul 

d c 1, c 2 M T P n 

mm 1 Nmm kW min –1 

Rechnerischer Wellendurchmesser 

� b vorhandene Biegespannung 

� t vorhandene Torsionsspannung 

Man setzt � 0 � 1,0, wenn � b und � t im gleichen Belastungsfall 

(z.B. beide wechselnd) auftreten, � 0 � 0,7 wenn � b wechselnd und 

� t schwellend oder ruhend auftritt (häufigster Fall). 

� b zul zulässige Biegespannung je nach Belastungsfall, siehe 

Abschnitt Festigkeitslehre. 

Sind Torsionsmoment und Biegemoment bekannt, dann lässt sich der 

Wellendurchmesser mit dem Vergleichsmoment M V berechnen: 

M V = 

d ≥ 

3 

2 

+ α 2 

0 T 

Mb0,75( M ) 

MV 

0,1σ 

bzul 

MV, Mb, MT �0 Nmm 1 

d M V � b zul 

mm Nmm 2 

N 

mm

10.4.3 Stützkräfte und 

Biegemomente an 

Getriebewellen 

(siehe auch 10.6.1 

Kräfte am Zahnrad) 

resultierende Radialkraft 

F Ar in A 


F Br in B 

maximales Biegemoment 

M b max in B 

Diese Gleichungen gelten 

für entgegengesetzten 

Richtungssinn der 

Axialkraft F a in den 

obigen Gleichungen 


F Ar in A 


F Br in B 

maximales Biegemoment 

M b max in C 

Diese Gleichungen gelten 

für entgegengesetzten 

Richtungssinn der 

Axialkraft F a in den 

obigen Gleichungen 



Bezeichnungen: Umfangskraft F t =M/r; Radialkraft F r; Axialkraft F a; 

F V Vorspannkraft für Riemen nach 9.1; Biegemomente M b in Nmm, 

alle Längenmaße l und r in mm. 

1 

F ( F F r) ( F ) 

l 

2 2 

Ar = r l2+ a + t l2 

1 

F ( F F r) ( F ) 

l 

2 2 

Br = r l1+ a + t l1 

2 2 

bmax= Ar l= ( r l2+ a ) + ( t l2) 

M F F F r F 

zm 1 n 

r = 

2cosβ 

F 

1 

( F 

l 

F r) ( F ) 

1 

F 2 2 

Br = ( Frl1− Far) + ( Ftl1) 

l 

2 2 

Ar = r l2− a + t l2 

2 2 

bmax= Ar l= ( r l2− a ) + ( t l2) 

M F F F r F 

1 

F ( F F r) ( F ) 

l 

2 2 

Ar = r l2+ a + t l2 

F 

1 

( F 

l 

F r) ( F ) 

zm 1 n 

r = 

2cosβ 

2 2 

Br = r l1− a + t l1 

M b max 1 = F Ar l 1 oder M b max 2 = F Br l 2 

(beide Beträge ausrechnen und mit dem größeren 

Betrag weiterrechnen) 

F 

1 

( F 

l 

F r) ( F ) 

1 

F 2 2 

Br = ( Frl1+ Far) + ( Ftl1) 

l 

2 2 

Ar = r l2− a + t l2 

M b max 1 = F Ar l 1 oder M b max 2 = F Br l 2 

(beide Beträge ausrechnen und mit dem größeren 

Betrag weiterrechnen) 

291 

10

10 




F Ar in A 


F Br in B 

Biegemomente M b in B 

und C 


F Ar in A 


F Br in B 

Biegemomente M b in C 

und D 

292 

1 

F [ F( ) F cos F r] [ F( ) F sin ] 

l 

2 2 

Ar = r l2 −l3 − v αl3 + a + t l2 −l3 − vl3 α 

1 

F [ F F cos ( ) F r] [ F F sin ( )] 

l 

2 2 

Br = r l1+ v α l1+ l2− a + t l1+ v α l1+ l2 

M b(B) = F v l 3 

M b(C) = F Ar l 1 

zm 1 n 

r = 

2cosβ 

1 

FAr = [ Fr1( l2+ l3) −Fr2l3cosα−Ft2l3sinα−Fa1r1− l 

2 

− Fa2r2cos α] + [ Ft1( l2+ l3) + Ft2l3cosα− 

2 

−Fr2l3 sinα−Fa2r2sin α] 

1 

FBr = [ Fr1l1− ( l1+ l2)( 

Ft2sinα+ Fr2cos α) 

+ Fa1r1+ l 

M b(C) = F Ar l 1 

M b(D) = F Br l 3 

2 

+ Fa2r2cos α] + [ Ft1l1− ( l1+ l2)( 

Fr2sinα− 

2 

− Ft2cos α) + Fa2r2sin α] 

zm 1 n 

r = 

2cos 

β

10.4.4 Berechnung der 

Tragfähigkeit nach 

DIN 743 

10.4.4.1 Sicherheitsnachweis 

gegen 

Dauerbruch 

Sicherheitsnachweis S 

gegen Dauerfestigkeit 


bei reiner Biegebeanspruchung 


bei reiner Torsions- 

beanspruchung 

10.4.4.2 Ermittlung der 

Gestaltfestigkeit 

Technologischer 

Größeneinflussfaktor K 1 

Für die Streckgrenze 

allgemeiner und höherfester 

Baustähle im nicht 

vergüteten Zustand gilt: 

S = 

1 

2 2 

⎛ σz,d σ ⎞ ⎛ 

b τ ⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ t ⎟ 

⎜ + 

σz,dADK σ ⎟ + ⎜ 

b ADK τ ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ t ADK ⎠ 



S � z, d � b � t � z,dADK � bADK � tADK 

N 

1 

mm2 

N 

mm2 

N 

mm2 

N 

mm2 

N 

mm2 

N 

mm2 

� z,d, � b, � t vorhandene Zug-, Druck-, Biege- und Torsionsspannungen. 

� z,dADK, � bADK, � tADK Gestalt- oder Bauteil-Ausschlagfestigkeit. 

Die Indizes � und � fassen jeweils die Beanspruchungen Zug, Druck, 

Biegung (�) bzw. Abscheren und Torsion (�) zusammen. 

S �b �bADK S = bADK σ 

N 

N 

σb 1 

mm2 

mm2 

τ 

Bei S = tADK 

τ 

t 

S � t � bADK 

N 

1 

mm2 

N 

mm2 

⎛ d ⎞ 

K1 d 

eff 

eff 

K1 = 1 – 0,23 · lg⎜ 

⎟ 

⎝10 mm⎠ 

1 mm 

Für Nitrierstähle und Baustähle (nicht vergütet) 

⎛ d ⎞ 

K1 deff, dB eff 

K1 = 1 – 0,26 · lg⎜ 

⎟ 

⎝2⋅dB⎠ 1 mm 

Für Baustähle (nicht vergütet) 

293 

10

10 



Für Vergütungsstähle 

und Baustähle im 

vergüteten Zustand, 

CrNiMo-Einsatzstähle im 

gehärteten Zustand gilt: 

Für Einsatzstähle im 

gehärteten Zustand außer 

CrNiMo-Einsatzstähle gilt: 

Geometrischer 

Einflussfaktor K 2 

Für Biegungs- und 

Torsionsbeanspruchungen 

berechnet sich K 2 aus: 

Einflussfaktor der Oberflächenrauheit 

K F�, K F�� 

Einflussfaktor der Oberflächenverfestigung 

K V 

294 

⎛d⎞ K1 deff, dB eff 

K1 = 1 – 0,26 · lg⎜ 

⎟ 

⎝ dB 

⎠ 1 mm 

Für Vergütungsstähle, vergütete Baustähle und NiCrMo-Einsatzstähle 

(gehärtet) 

⎛d⎞ K1 deff, d 

eff 

B 

K1 = 1 – 0,41 · lg⎜ 

⎟ 

⎝ dB 

⎠ 1 mm 

Für Einsatzstähle (gehärtet) außer CrNiMo-Einsatzstähle 

Dieser Faktor berücksichtigt, dass bei größer werdendem Durchmesser 

die Biegewechselfestigkeit in die Zug/Druckwechselfestigkeit 

übergeht und die Torsionswechselfestigkeit sinkt. 

Für die Zug- und Druckbeanspruchung ist K 2 = 1. 

⎛ ⎛ d ⎞ 

⎜lg⎜ ⎟ 

7,5 mm 

K2 =1 – 0,2 · lg⎜ 

⎝ ⎠⎟ 

⎜ lg 20 ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

K2 d 

1 mm 

Bei Kreisringquerschnitten ist d der Außendurchmesser. 

Dieser Faktor berücksichtigt den Einfluss der Oberflächen-Rauheit auf 

die Dauerfestigkeit von Wellen und Achsen. 

Für die Zug-, Druck- oder Biegebeanspruchung gilt: 

KF�= 1−0,22⋅lg( RZ) ⋅lg(( σB/ 

20) −1) 

KF� , KFt Rm RZ N 

Rm Zugfestigkeit, Rm � 2000 

2 mm 

N 

mm2 

N 

mm2 

�m 

R Z gemittelte Rautiefe 

Für die Torsionsbeanspruchung gilt: K F� = 0,575 K F� � 0,425 

Dieser Faktor berücksichtigt in Abhängigkeit vom Wellen- bzw. 

Achsendurchmesser bei einem gekerbten Probestab. Veränderungen 

von Spannung und Härte, z.B. durch Nitrieren oder Kugelstrahlen, an 

der Wellen- oder Achsenoberfläche (siehe DIN 743-2, Seite 13). 

Nitrieren: 

Für d = 8 mm bis 25 mm: K V = 1,15 ... 1,25 


Einsatzhärten: 



Kugelstrahlen: 


Für d = 25 mm bis 40 mm: K V = 1,10 ... 1,20

Einflussfaktor 

Kerbwirkung � �, � 

Aus den vier Einflussfaktoren 

K V, K 2, K F und � 

wird je nach Beanspruchungsart 

ein Gesamteinflussfaktor 

K �,� 

gebildet. 

Mit den Gleichungen für 

die Bauteil-Wechsel- 

festigkeiten � z,d,bWK und 

� tWK können die 

Gleichungen für die 

Gestaltfestigkeit definiert 

werden. 

Faktor der Mittelspannungsempfindlichkeit 

für 

Zug- und Druckbeanspruchung 

� z,dK: 



Richtwerte für Kerbwirkungszahlen siehe Festigkeitslehre. Genauere 

und umfangreichere Werte in DIN 743-2. 

Kerbwirkungszahlen für Welle-Nabe-Verbindungen werden errechnet 

aus 

0,38 

⎛ ⎞ 

⎜ Rm 

⎟ 

�� 3,0 · ⎜ N ⎟ 

1000 ⎟ 

⎝ mm2 

⎠ 

� � � 0,56 · � � � 0,1 

� �, � 

R m 

N 

1 

mm2 

Für Zug-, Druck- oder Biegebeanspruchung gilt: 

⎛β1 ⎞ 1 

K� = ⎜ σ 

+ −1⎟⋅ ⎝K2 KFσ⎠ KV 

Für Torsionsbeanspruchung gilt: 

⎛β⎞ K� = ⎜ τ 1 1 

+ −1⎟⋅ ⎝K2 KFτ⎠ KV 

für Zug- und Druckbeanspruchung � z,dWK: 

0,4 ⋅R ⋅K 

�z,dWK = 

m 

Kσ 

1 

für Biegebeanspruchung � bWK: 

0,5 ⋅R �z,dWK, �bWK Rm K1, K�,� m⋅K1 �bWK = 

K 

N 

N 

σ 

mm2 

mm2 

1 

für Biegebeanspruchung � tWK: 

0,3 ⋅R ⋅K 

m 1 

� tWK = 

Kτ 

Bei der Berechnung der Bauteil-Wechselfestigkeit ist der Größeneinflussfaktor 

K1 zu bestimmen (siehe oben). 

für Zug- und Druckbeanspruchung � z,dK: 

� z,dK = 

σ 

z,dWK 

2⋅K ⋅R −σ 

1 m z,dWK 

� z,dWK, � bWK, � z,d,b,�K R m K 1, K �,� 

N 

mm2 

N 

mm2 

für Biegebeanspruchung � bK: 

� bK = 

σbWK 

2⋅K ⋅R −σ 

1 m bWK 

für Torsionsbeanspruchung � �K: 

τtWK 

� �K = 

2⋅K ⋅R −τ 

1 m tWK 

1 

295 

10

10 



Vergleichsmittel- 

spannung � mv 

Vergleichsmittel- 

spannung � mv 

296 

Gestaltfestigkeit 

10.4.4.3 Sicherheitsnachweis 

gegen 

Fließgrenze 

Sicherheit S 

bei gleichzeitigem Auftreten 

von Zug, Druck 

und Torsion 

Sicherheit S 

bei reiner Biege- 

beanspruchung 

Sicherheit S 

bei reiner Torsionsbeanspruchung 

ergibt sich als Funktion aus der Bauteil-Fließgrenze und der 

Mittelspannungsempfindlichkeit. 

� mv = 

� mv = 

( K ⋅K ⋅γ ⋅R ) −σ 

− ψ 

1 2F F e z,d,bWK 

1 z,d,bWK 

( K ⋅K ⋅γ⋅R ) 

− τ 

1 2F F e 

3 

1− 

ψtWK 

tWK 

K1 Technologischer Größeneinflussfaktor nach Gleichung in 10.4.4.2 

K2F Faktor für die statische Stützwirkung; bei einer Vollwelle für 

Biegung und Torsion ist K2F = 1,2, bei einer Hohlwelle für 

Biegung und Torsion ist K2F = 1,05 

� F Erhöhungsfaktor der Fließgrenze Re; für Biegebeanspruchung 

ist � F = 1,1, für Torsionsbeanspruchung ist � F = 1,0 

für Zug- und Druckbeanspruchung � z,d,ADK: 

� z,d,ADK = � z,dWK – � z,dK · � mv 

für Biegebeanspruchung � bADK: 

� bADK = � bWK – � bK · � mv 

für Torsionsbeanspruchung � tADK: 

� tADK = � tWK – � tK · � mv 

S = 

1 

2 

2 

⎛σz,dmax σ ⎞ ⎛ 

b max τ ⎞ 

t max 

⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ 

σz,dFK σ ⎟ + ⎜ 

bFK τ ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ tFK ⎠ 

� z,dmax, � bmax, � tmax vorhandene Maximalspannungen infolge der 

Betriebsbelastung. � z,dFK, � bFK, � FK Bauteil-Fließgrenze für die 

jeweilige Beanspruchung. 

S �bmax �b FK 

S = bFK σ 

N N 

σbmax 1 

mm2 

mm2 

S � t max � t FK 

S = tFK τ 

N N 

τtmax 1 mm2 

mm2

10.4.4.4 Ermittlung der 

Bauteil-Fließgrenze 

� �z,b,dFK 

und � t FK 

Bauteil-Fließgrenze 

� z,b,dFK für Zug-, Druck- 

und Biegebeanspruchung 

Bauteil-Fließgrenze � t FK 

für Torsions- 

beanspruchung 

� z,b,dFK = K 1 · K 2F · � F · R e 

� z,d,bFK, � t FK R e K 1, K 2F, � F 

N 

mm2 

N 

mm2 

( K1⋅K2⋅γF⋅Re) �tFK = 

3 

N 

mm2 

� z,d,bFK, � t FK R e K 1, K 2F, � F 

N 

mm2 

N 

mm2 

N 

mm2 



K 1 Technologischer Größeneinflussfaktor K1 nach Gleichung in 

10.4.4.2 

K 1F Faktor für die statische Stützwirkung; bei einer Vollwelle für 

Biegung und Torsion ist K 2F = 1,2 bei einer Hohlwelle für Biegung 

und Torsion ist K 2F = 1,05 

� F Erhöhungsfaktor der Fließgrenze R e, für Biegebeanspruchung ist 

� F = 1,1, für Torsionsbeanspruchung ist � F = 1,0 

R e Streckgrenze nach DIN 743-3. Bei gehärteter Randschicht gelten 

die Werte für den weicheren Kern. 

297 

10

10 


Nabenverbindungen 

298 

10.5 Nabenverbindungen 

10.5.1 Kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindungen (Beispiele) 

Hauptvorteil: Spielfreie Übertragung wechselnder Drehmomente 

zylindrischer 

Pressverband 

kegliger Pressverband 

(Wellenkegel) 

kegliger Pressverband 

(Kegelbuchse) 

geteilte Nabe 

Einlegekeil 

Ringfederspannelement 

Pressverbände (Presssitzverbindungen) 

Vorwiegend für nicht zu lösende Verbindung und zur Aufnahme großer, 

wechselnder und stoßartiger Drehmomente und Axialkräfte: 

Verbindungsbeispiele: Riemenscheiben, Zahnräder, Kupplungen, 

Schwungräder im Großmaschinenbau, aber auch in der Feinwerktechnik. 

Ausführung als Längs- und Querpressverband (Schrumpfverbindung). 

Besonders wirtschaftliche Verbindungsart. 

Leicht lösbare und in Drehrichtung nachstellbare Verbindung auf dem 

Wellenende zur Aufnahme großer, wechselnder und stoßartiger 

Drehmomente. 

Verbindungsbeispiele: Wie beim zylindrischen Pressverband, außerdem 

bei Werkzeugen und in den Spindeln von Werkzeugmaschinen und bei 

Wälzlagern mit Spannhülse und Abziehhülse. 

Wegen der Herstellwerkzeuge und der Lehren möglichst genormte Kegel 

verwenden (siehe keglige Wellenenden mit Kegel 1 : 10 nach DIN 1448). 

Die Naben werden durch Schrauben oder Muttern aufgepresst, die 

Werkzeuge durch die Axialkraft beim Fertigen (zum Beispiel Bohrer). 

Kegelbuchsen sind meist geschlitzt. 

Klemmsitzverbindung 

Leicht lösbare und in Längs- und Drehrichtung nachstellbare Verbindung 

zur Aufnahme wechselnder kleinerer Drehmomente. Bei größerer Drehmomentenaufnahme 

werden zusätzlich Passfedern oder Tangentkeile 

angebracht. 

Verbindungsbeispiele: Riemen- und Gurtscheiben, Hebel auf glatten 

Wellen. Die Nabe ist geschlitzt oder geteilt. 

Keilsitzverbindung 

Lösbare Verbindung zur Aufnahme wechselnder Drehmomente. 

Kleinere Drehmomentenaufnahme beim Flach- und Hohlkeil, große und 

stoßartige Drehmomentenaufnahme beim Tangentkeil. Die Keilneigung 

beträgt meistens 1 : 100. 

Verbindungsbeispiele: Schwere Scheiben, Räder und Kupplungen im 

Bagger- und Landmaschinenbau, insgesamt bei schwererem und rauem 

Betrieb. 

Die Verbindung mit dem Hohlkeil ist nachstellbar. 

Ringfeder-Spannverbindung 

Leicht lösbare und in Längs- und Drehrichtung nachstellbare Verbindung 

zur Aufnahme großer, wechselnder und stoßartiger Drehmomente. 

Das übertragbare Drehmoment ist abhängig von der Anzahl der Spannelemente. 

Hierzu sind die Angaben der Herstellerfirmen zu beachten, zum Beispiel 

Fa. Ringfeder GmbH, Krefeld-Uerdingen.

10.5.2 Formschlüssige Nabenverbindungen (Beispiele) 

Hauptvorteil: Lagesicherung 

Querstiftverbindung 

Längsstiftverbindung 

Einlegepassfeder 

Polygonprofil 

Kerbzahnprofil 

Vielnutprofil 

Stiftverbindungen 



Lösbare Verbindung zur Aufnahme meist richtungskonstanter kleinerer 

Drehmomente. 

Verbindungsbeispiele: Bunde an Wellen, Stellringe, Radnaben, Hebel, 

Buchsen. 

Verwendet werden Kegelstifte nach DIN 1 mit Kegel 1 : 50, Zylinderstifte 

nach DIN 7, für hochbeanspruchte Teile auch gehärtete Zylinderstifte 

nach DIN 6325. 

Hinzu kommen Kerbstifte und Spannhülsen 

Passfederverbindung 

Leicht lösbare und verschiebbare Verbindung zur Aufnahme richtungskonstanter 

Drehmomente. 

Verbindungsbeispiele: Riemenscheiben, Kupplungen, Zahnräder. Gegen 

axiales Verschieben ist eine zusätzliche Sicherung vorzusehen (Wellenbund, 

Axialsicherungsring). 

Gleitpassfedern werden zum Beispiel bei Verschieberädern in Getrieben 

verwendet. 

Profilwellenverbindungen 

Profil Wellenverbindungen sind Formschlussverbindungen für hohe und 

höchste Belastungen. 

Das Polygonprofil ist nicht genormt. Hierzu sind die Angaben der Hersteller 

zu verwenden, zum Beispiel: Fortuna-Werke, Stuttgart-Bad Cannstadt 

oder Fa. Manurhin, Mühlhausen (Elsaß). 

Das Kerbzahnprofil ist nach DIN 5481 genormt. Die Verbindung ist leicht 

lösbar und feinverstellbar. Verwendung zum Beispiel bei Achsschenkeln 

und Drehstabfedern an Kraftfahrzeugen. 

Ein Sonderfall ist die Stirnverzahnung (Hirthverzahnung) als Plan-Kerbverzahnung. 

Hersteller: A. Hirth AG, Stuttgart-Zuffenhausen. 

Das Vielnutprofil ist als „Keilwellenprofil“ genormt. Die Bezeichnung „Keilwellenprofil“ 

ist irreführend, weil die Wirkungsweise der Passfederverbindung 

(Formschluss) entspricht, nicht aber der Keilverbindung. 

Die Verbindung ist leicht lösbar und verschiebbar. Verwendung zum Beispiel 

bei Verschieberädergetrieben, bei Kraftfahrzeugkupplungen und 

Antriebswellen von Fahrzeugen. 

299 

10

10 



300 

10.5.3 Zylindrische 

Pressverbände 

10.5.3.1 Begriffe bei 

Pressverbänden 

Der Pressverband 

Die Presspassung 

Herstellen von Pressverbänden 

(Fügeart) 

Durchmesser 

Bezeichnungen 

und Fugenlänge l F 

Durchmesserverhältnis Q 

Das Übermaß U 

Die Glättung G 


DIN 7190 Berechnung und Anwendung von Pressverbänden 

DIN 4766 Ermittlung der Rauheitsmessgrößen R a, R z, R max 

ist eine kraftschlüssige (reibschlüssige) Nabenverbindung ohne 

zusätzliche Bauteile wie Passfedern und Keile. 

Außenteil (Nabe) und Innenteil (Welle) erhalten eine Presspassung, 

sie haben also vor dem Fügen immer ein Übermaß U. Nach dem 

Fügen stehen sie unter einer Normalspannung � mit dem Fugendruck 

p in der Fuge. 

ist eine Passung, bei der immer ein Übermaß U vorhanden ist. Das 

Höchstmaß der Bohrung ist daher also kleiner als das Mindestmaß 

der Welle. Zur Presspassung zählt auch der Fall U = 0. 

durch Einpressen (Längseinpressen des Innenteils): Längspressverband 

durch Erwärmen des Außenteils (Schrumpfen des Außenteils) 

durch Unterkühlen des Innenteils (Dehnen des innenteils) 

durch hydraulisches Fügen und Lösen (Dehnen des Außenteils) 

DF Fugendurchmesser (ungefähr 

gleich dem Nenndurchmesser 

der Passung) 

Dil Innendurchmesser des 

Innenteils I (Welle) 

DaI Außendurchmesser des 

Innenteils I, DaI � DF DaA Außendurchmesser des 

Außenteils A 

DiA Innendurchmesser des 

Außenteils A (Nabe), 

DiA � DF lF Fugenlänge (lF < 1,5 DF) D F 

QA = 1 

D aA 

< QI = i D 

1 

D F 

< 

l 

ist die Differenz des Außendurchmessers des Innenteils I und des 

Innendurchmessers des Außenteils A: 

U = D aI – D iA 

ist der Übermaßverlust �U, der beim Fügen durch Glätten der 

Fügeflächen auftritt: 

G � 0,8 (R ziA � R zaI) R z gemittelte Rautiefe nach DIN 4768 Teil 1

Wirksames Übermaß U W 

(Haftmaß), wirksames 

Fugendruck p 

Fasenlänge l e und 

Fasenwinkel � 

10.5.3.2 Berechnen von 

Pressverbänden 

Erforderlicher 

Fugendruck p 

(Pressungsgleichung) 

und zulässige 

Flächenpressung p zul 

Haftbeiwert � und 

Rutschbeiwert � e 

(Mittelwerte) 

Der Rutschbeiwert � e wird 

zur Berechnung der 

Einpresskraft F e gebraucht. 



ist das um G = �U verringerte Übermaß, also das Übermaß nach dem 

Fügen: 

U W = U – G 

ist die nach dem Fügen in der Fuge auftretende Flächenpressung. 

l e = 3 

D F 

2M 

p ≥ ≤ p 

2 zul 

π D F lF ν 

M H = F H 

DF 

π 2 

= p DFlFν≥M 2 2 

Anhaltswerte für p zul 

Belastung Stahl Gusseisen 

ruhend 


schwellend 

Re 

p zul = 

1,5 

Re 

p zul = 

3 

wechselnd 


stoßartig 

Re 

p zul = 

2,5 

Re 

p zul = 

4 

M D F, l F �� P n p 

Nmm mm 1 kW min –1 

M Wellendrehmoment 

M = 9,55 · 10 6 P/n 

D F Fugendurchmesser 

l F Fugenlänge 

� Haftbeiwert 

p zul zulässige 

Flächenpressung 

R e (oder R p 0,2) sowie R m aus den Dauerfestigkeitsdiagrammen 

Längspressverband 

Werkstoffe 

Welle/Nabe 

Stahl/Stahl 

Stahl/Stahlguss 

Stahl/Gusseisen 

Stahl/Guss 

Querpressverband 

Haftbeiwert � 

trocken 

0,1 (0,1) 

0,12 (0,1) 

0,07 (0,03) 

Rutschbeiwert � e 

geschmiert 

0,08 (0,06) 

0,06 

0,05 

N 

mm2 

Werkstoffe, Fügeart, Schmierung Haftbeiwert � 

Stahl/Stahl hydraulisches Fügen, Mineralöl 

Stahl/Stahl hydraulisches Fügen, entfettete 

Fügeflächen 

Glyzerin – aufgetragen 

Stahl/Stahl Schrumpfen des Außenteils 

Stahl/Gusseisen hydraulisches Fügen, Mineralöl 

Stahl/Gusseisen hydraulisches Fügen, entfettete 

Fügeflächen 

0,12 

0,18 

0,14 

0,1 

0,16 

301 

10

10 



Herleitung der 

Pressungsgleichung 

Formänderungs- 

Hauptgleichung für 



und Querdehnzahl � 

(Mittelwerte) 

302 

Normalkraft F N = p A F = p � D F l F 

Fugenfläche A F = � D F l F 

Haftkraft F H = F N � = p � D F l F � 

Normalkraft F N = pA F = p � D F l F 

Haftmoment 

DF 

π 2 

MH = FH = p DFlFν≥M 2 2 

p = 

l ν ≤ 2M 

p 

2 zul 

π DF 

F 

p M DF, lF �� 

N 

2 mm 

Nmm mm 1 

⎡ 2 2 

1 

⎛ 

1+ Q 

⎞ 

A 1 

⎛ 

1+ 

Q 

⎞⎤ 

Uw = pD ⎢ ⎜ 

F µ ⎟ ⎜ I 

2 A 

µ ⎟⎥ 

E ⎜ 

+ 

2 

A 1 Q 

⎟ 

+ − 

E ⎜ I⎟ 

⎣⎢ ⎝ − A ⎠ I⎝1−Q ⎠⎦⎥ 

I 

U w p, E A , E I Q A, Q I, � A, � I 

N 

mm 2 mm 

1 

M Drehmoment, M H 

Haftmoment 

F N Normalkraft, F H Haftkraft - 

(Reibkraft ) 

Uw wirksames Übermaß nach dem Fügen (auch Haftmaß 

genannt) 

p Fugendruck (Flächenpressung in den Fügeflächen) 

lF Fugenlänge 

EA, EI Elastizitätsmodul des Außenteil; A (Nabe) und des Innenteils 

I (Welle) 

�A, � I Querdehnzahl des Außenteils A (Nabe) und des Innenteils I 

(Welle) 

QA, QI, Durchmesserverhältnis: QA = DF/D aA � 1 QI = DiI/D F � 1 

Die Querdehnzahl � ist das Verhältnis der Querdehnung � q eines 

zugbeanspruchten Stabes zur Längsdehnung � (� = � q/� ) und hat 

somit die Einheit 1. Die Querdehnung ist immer kleiner als die 

Längsdehnung, (� � 1). 

(Beispiel: � Stahl � 0,3). 

Werkstoff 


N 

mm2 

Querdehnzahl � 

Einheit 1 

Stahl 210 000 0,3 

EN-GJL-200 105 000 0,25 

EN-GJS-500-7 150 000 0,28 

Bronze, Cu-Leg. 80 000 0,35 

Al.-Legierungen 70 000 0,33 

ν

Formänderungsgleichungen 

für Pressverbände mit 

Vollwelle (Q I = D iI/D F = 0) 

Formänderungsgleichung 

für Vollwelle und gleichelastische 

Werkstoffe 

(E A = E I = E) 

Übermaß U 

Glättung G 

Einpresskraft F e 

Spannungsverteilung im 

Pressverband 

(Spannungsbild) 

⎡ 2 

1 

⎛ 

1+ 

Q 

⎞ 

1 

⎤ 

pD⎢ F 2 A 1 ⎥ 

E ⎜ 

A 1 Q 

⎟ 

I 

⎣⎢ ⎝ − 

E ⎥ 

A ⎠ I ⎦ 

Uw = ⎜ A 

+ µ ⎟+ 

( −µ 

) 

U w, D F p, E A, E I Q A, Q I, � A, � I 

N 

mm 

mm2 

2pDF 

Uw = 2 

E(1 −Q 

) 

A 

1 

U w, D F p, E Q A 

N 

mm 2 mm 



U = U w �� G 

gemessenes 

Übermaß 

vor dem Fügen 

wirksames 

Übermaß 

(Haftmaß) 

1 

Glättung (Übermaßverlust 

�U beim Fügen der 

Teile) 

G = 0,8 (R zAi � R zIa) R z gemittelte Rautiefe nach DIN 4166 

Beispiele für G (Mittelwerte): 

polierte Oberfläche G = 0,002 mm = 2 �m 

feingeschliffene Oberfläche G = 0,005 mm = 5 �m 

feingedrehte Oberfläche G = 0,010 mm = 10 �m 

F e = p g � D F l F � e 

Herleitung der Gleichung: 

p g größter vorhandener Fugendruck F R = F N � e 

D F Fugendurchmesser F N = p g A F 

l F Fugenlänge A F = � D F l F 

� e Rutschbeiwert F e = F R = p g � D F l F � e 

F e p g D F, l F � e 

N 

N 2 mm 

mm 1 

�zmA mittlere tangentiale Zugspannung im Außenteil 

� dmI mittlere tangentiale Druckspannung im Innenteil 

FS Nabensprengkraft 

� tA Tangentialspannung im Außenteil 

� rA Radialspannung im Außenteil 

� tI Tangentialspannung im Innenteil 

� rI Radialspannung im Innenteil 

Für Überschlagsrechnungen kann man sich die Tangentialspannungen 

� rA und � tI gleichmäßig verteilt vorstellen (� zmA und � dmI) 

303 

10

10 



Spannungsgleichungen 

(siehe Spannungsbild) 

304 

Nabensprengkraft F S 

Mittlere tangentiale 

Zugspannung � zmA 


Mittlere tangentiale 

Druckspannung � dml 


Fügetemperatur �� für 

Schrumpfen 

Tangentialspannung �t Radialspannung �r Außenteil Innenteil Außenteil Innenteil 

2 

1+ 

QA 

�t Ai = p 

2 

1−QA 

2 

2QA 

� t Aa = p 

2 

1−QA 

F S = pD F l F 

2 

�t Ii = p 

2 

1−Q I 

2 

1+ 

QA 

�t Ia = p 

2 

1−QA 

FS pDFlF 

�zmA = = 

ANabe ( DaA − DiA) 

lF 

pDF pDF 

�zmA = 

≈ 

DaA −DiADaA −DF 

FS pDFlF 

�dmI = = 

AWelle ( DF−DIi) lF 

pDF 

�dmI = 

DF−DIi Für die Vollwelle gilt mit DIi = 0: 

pDF 

�dmI = = p 

DF 

− 0 

U+ USϑ 

�� = 

α D F 

D F 

US� � 

1000 

U Übermaß in mm 

US� erforderliches Fügespiel in mm 

� Längenausdehnungskoeffizient des Werkstoffs: 

�Stahl = 11 · 10 –6 1/°C 

�Gusseisen = 9 · 10 –6 1/°C 

Herleitung einer Gleichung: 

� r Ai = p � r Ii = 0 

� r Aa = 0 � r Ia = p 

Mit dem Längenausdehnungskoeffizienten � in m/(m ºC) = 1/°C 

beträgt die Verlängerung �l eines Metallstabes der Ursprungslänge l 0 

bei seiner Erwärmung um die Temperaturdifferenz ��: 

�l = � �� l 0. 

Für den Außenteil (Nabe) eines Pressverbands ist �l = U � U S� und 

l 0 = D F. 

Damit wird analog zu �l = � �� l 0: 

U � U S� = � �� D F 

und daraus die obige Gleichung für ��.

10.5.3.4 Festlegen einer Presspassung 

Bei Einzelfertigung führt man die Nabenbohrung aus und 

fertigt nach deren Istmaß die Welle für das errechnete 

Übermaß U. 

Bei Serienfertigung müssen größere Toleranzen zugelassen 

werden. 

Man muss also eine Presspassung festlegen. Eine Auswahl 

der ISO-Toleranzlagen und -Qualitäten zeigt Tabelle 10.1.13 

für das im Maschinenbau übliche System der Einheitsbohrung. 

Da sich kleinere Toleranzen bei Wellen leichter einhalten 

lassen als bei Bohrungen, wählt man zweckmäßig: 

Bohrung H7 mit Wellen der Qualität 6 

Bohrung H8 mit Wellen der Qualität 7 usw. 



Liegt ein Toleranzfeld für die Bohrung vor, zum Beispiel H7, findet man das Toleranzfeld für eine Welle 

folgendermaßen: 

Das errechnete Übermaß wird gleich dem Kleinstübermaß P u gesetzt und die Toleranz der Bohrung T B 

addiert. 

Damit hat man das vorläufige untere Abmaß einer Welle: 

e i = P u � T B 

P u = U 

Mit diesem Wert geht man in der Tabelle 10.1.14 in die Zeile für den vorliegenden Nennmaßbereich 

und wählt dort für die vorher festgelegte Qualität ein Toleranzfeld für die Welle, bei dem das 

angegebene untere Abmaß dem errechneten am nächsten kommt (siehe Beispiel). 

Beispiel: 

Nennmaßbereich 35 mm 

Toleranzfeld für die Bohrung H7 

Qualität für die Welle 6 

Toleranz der Bohrung TB = 25 µm 

errechnetes Übermaß U = 60 µm = Pu unteres Abmaß der Welle: e i = P u � T B = 60 µm � 25 µm = 85 µm 

Toleranzfeld der Welle: X 6 mit e i = 80 µm und 

e s = 96 µm 

Damit können die Höchstpassung P o und die Mindestpassung P u berechnet werden: 

P o = E i – e s = 25 µm – 80 µm = – 55 µm 

P u = E S – e i = 0 – 96 µm = – 96 µm 

305 

10

10 



306 

10.5.4 Keglige Pressverbände(Kegelsitzverbindungen) 

10.5.4.1 Begriffe am Kegel 

Kegelmaße: 

Kegelverhältnis C 

Kegelwinkel � und 

α 

Einstellwinkel 

2 


DIN 254 Kegel 

DIN 1448, 1449 Keglige Wellenenden 

DIN 7178 Kegeltoleranz- und Kegelpasssystem 

ISO 3040 Eintragung von Maßen und Toleranzen für Kegel 

Kegel sind im technischen Sinn sind keglige Werkstücke mit Kreisquerschnitt 

(spitze Kegel und Kegelstümpfe). 

Bezeichnung eines Kegels mit dem Kegelwinkel 

� = 30º – Kegel 30º 

Bezeichnung eines Kegels mit dem Kegelverhältnis 

C = 1 : 10 – Kegel 1 : 10 

d1, d2 Kegeldurchmesser 

d1+ d2 

dm = 

2 

mittlerer Kegeldurchmesser 

l Kegellänge 

� � Kegelwinkel 

α 

2 

Einstellwinkel zum Fertigen und Prüfen des Kegels 

C = 

d1−d2 l 

C = 1 : x = 1 

d2 = d1 – C l 

x 

Das Kegelverhältnis wird in der Form: 

C = 1 : x angegeben, zum Beispiel C = 1 : 5 

Aus dem schraffierten rechtwinkligen Dreieck lässt sich ablesen: 

α d1−d2 α 

tan = ⇒ C = 2tan 

2 2l 2 

α C 

= arc tan 

2 2 

C 

� = 2 arc tan 

2 

α 

d2 = d1 – 2 l tan 

2

10.5.4.2 Vorzugswerte für 

Kegel 

10.5.4.3 Berechnungsformeln 

für keglige 


Erforderliche 

Einpresskraft F e 

Vorhandene 

Fugenpressung p 

Einpresskraft F e für 

einen bestimmten 

Fugendruck p 



Kegelverhältnis C = 1 : x Kegelwinkel � 

α 


2 

1 : 0,2886751 120° 

60° 

1 : 0,5 

90° 

45° 

1 : 1,8660254 30° 

15° 

1 : 3 

18° 55'29" � 18,925° 9° 27'44" 

1 : 5 

11° 25'16" � 11,421° 5° 42'38" 

1 : 10 

5° 43'29" � 5,725° 2° 51'45" 

1 : 20 

2° 51'51" � 2,864° 1° 25'56" 

1 : 50 

1° 8'45" � 1,146° 34'23" 

1 : 100 

34'22" � 0,573° 17'11" 

Werkzeugkegel und Aufnahmekegel an Werkzeugmaschinenspindeln, 

die so genannten Morsekegel (DIN 228), haben ein Kegelverhältnis 

von ungefähr 1 : 20. 

2 MT 

⎛α⎞ = ⋅ sin⎜ + r ⎟ 

d ν ⎝2⎠ Fe 

e 

m e 

M 

T 

9,55 106 

P 

= ⋅ ⋅ 

n 

⎛α⎞ 2MTcos⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

p = 

2 

� p 

2 zul 

pνe dm 

lF 

⎛α⎞ Fe = � pdmlF · sin⎜ + re 

⎟ 

⎝2⎠ F e M T d m, l F � e P n p 

N Nmm mm 1 kW min –1 

N 

mm2 

MT Drehmoment 

P Wellenleistung 

n Drehzahl 

α 

2 


re Reibwinkel aus tan re = �e re = arctan �e �e Rutschbeiwert 

dm mittlerer Kegeldurchmesser 

lF Fugenlänge 

307 

10

10 



308 

10.5.5 Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde 

Bezeichnung eines langen kegligen Wellenendes mit 

Passfeder und Durchmesser d 1 = 40 mm: 

Wellenende 40 � 82 DIN 1448 

Maße in mm 

Durchmesser d 1 6 7 8 9 10 11 12 14 16 19 20 22 24 25 28 

lang 10 12 15 18 28 36 42 

Kegellänge l 1 kurz – – – – 16 22 24 

Gewindelänge l2 6 8 8 12 14 18 

Gewinde M4 M6 M8 � 1 M10 � 1,25 M12 � 1,25 M16 � 1,5 

Passfeder 

Nuttiefe t1 b � h 

lang 

kurz 

– 

– 

2 � 2 

1,6 1,7 

– – 

3 � 3 

2,3 2,5 

– 2,2 

4 � 4 

3,2 

2,9 

3,4 

3,1 

5 � 5 

3,9 

3,6 

4,1 

3,6 

Durchmesser d1 30 32 35 38 40 42 45 48 50 55 60 65 70 75 80 

Kegellänge l1 lang 

kurz 

58 

36 

82 

54 

105 

70 

130 

90 

Gewindelänge l2 22 28 35 40 

Gewinde M20 � 1,5 M24 � 2 M30 � 2 M36 � 3 M42 � 3 M48 � 3 M56 � 4 

Passfeder 

Nuttiefe t1 b � h 5 � 5 

lang 4,5 

kurz 3,9 

6 � 6 

5 

4,4 

10 � 8 12 � 8 

7,1 

6,4 

14 � 9 

7,6 

6,9 

16 � 10 

8,6 

7,8 

18 � 11 

9,6 

8,8 

20 � 12 

10,8 

9,8 

10.5.6 Richtwerte für Nabenabmessungen 

Verbindungsart 

zylindrische und keglige Pressverbände und 

Spannverbindungen 

Klemmsitz- und Keilsitzverbindungen 

Keilwelle, Kerbverzahnung 

Passfederverbindungen 

längs bewegliche Naben 

lose sitzende (sich drehende) Naben 

d Wellendurchmesser 

Nabendurchmesser DaA Naben aus 

Stahl oder 

Gusseisen 

Stahlguss 

2,2 ... 2,6 d 

2 ... 2,2 d 

1,8 ... 2 d 

1,8 ... 2 d 

1,8 ... 2 d 

1,8 ... 2 d 

Gusseisen 

Nabenlänge l 

Stahl oder 

Stahlguss 

2 ... 2,5 d 1,2 ... 1,5 d 0,8 ... 1 d 

1,8 ... 2 d 1,6 ... 2 d 1,2 ... 1,5 d 

1,6 ... 1,8 d1 0,8 ... 1 d1 0,6 ... 0,8 d1 1,6 ... 1,8 d 1,8 ... 2 d 1,6 ... 1,8 d 

1,6 ... 1,8 d 2 ... 2,2 d 1,8 ... 2 d 

1,6 ... 1,8 d 2 ... 2,2 d 

Die Werte für Keilwelle und Kerbverzahnung sind Mindestwerte (d 1 „Kerndurchmesser“). Bei größeren 

Scheiben oder Rädern mit seitlichen Kippkräften ist die Nabenlänge noch zu vergrößern. 

Allgemein gelten die größeren Werte bei Werkstoffen geringerer Festigkeit, die kleineren Werte bei 

Werkstoffen höherer Festigkeit.

10.5.7 Klemmsitzverbindungen 



Klemmsitzverbindungen werden mit geteilter oder geschlitzter Nabe hergestellt. 

Mit Schrauben, Schrumpfringen oder Kegelringen werden die beiden Nabenhälften so auf die Welle 

gepresst, dass ohne Rutschen ein gegebenes Drehmoment M übertragen werden kann. Die dazu 

erforderliche Verspannkraft wird hier Sprengkraft F S genannt. Die in der Fugenfläche entstehende 

Flächenpressung heißt Fugendruck p. Der errechnete Betrag ist mit der zulässigen Flächenpressung 

für den Werkstoff mit der geringeren Festigkeit zu vergleichen. 

Die beiden folgenden Gleichungen gelten unter der Annahme, dass die Spannungsverteilung bei der 

Klemmsitzverbindung die gleiche ist wie beim zylindrischen Pressverband. 

Insbesondere wird von einer gleichmäßigen Verteilung des Fugendrucks in der Fugenfläche ausgegangen. 

Vor allem bei der geschlitzten Nabe ist eine gleichmäßige Verteilung des Fugendrucks kaum zu erzielen. 

Die zulässige Flächenpressung p zul sollte daher kleiner angesetzt werden als beim zylindrischen 

Pressverband. 

Sicherheitshalber ist in der Gleichung für die Sprengkraft F S der Rutschbeiwert � e zu verwenden, der 

kleiner ist als der Haftbeiwert �, der in den Gleichungen für den zylindrischen Pressverband verwendet 

wird (siehe Tabelle in 10.5.3.2). 

Sprengkraft F S 

(gesamte 

Verspannkraft) 

Vorhandener 

Fugendruck p 

Zulässige 


F S = 

2 M 

π νeDF M = 9,55 · 106 P 

n 

FS 

p = ≤ pzul 

DF 

lF 

p = 

l ≤ 2 M 

p 

2 zul 

2 π D F F 

F S p, p zul M D F, l F � e P n 

N 

N 2 mm 

für Stahl-Nabe: pzul = e R 

oder 

3 

für Gusseisen-Nabe: pzul = m R 

3 

Nmm mm 1 kW min –1 

Rp, 

0,2 

3 

309 

10

10 



310 

10.5.8 Keilsitzverbindungen 

Keilsitzverbindungen werden in der Praxis nicht berechnet, weil die Eintreibkraft, von der die Zuverlässigkeit 

des Reibschlusses abhängt, rechnerisch kaum erfasst werden kann. 

Für bestimmte Wellen- und Nabenabmessungen sind die Abmessungen der Keile den Normen zu entnehmen, 

die in der folgenden Darstellung angegeben sind. Die Passfeder ist hier zur Vervollständigung 

noch einmal aufgenommen worden: 

Ringfederspannverbindungen 

Ringfederspannverbindungen werden in der Praxis nicht berechnet. Die Hersteller liefern Tabellen für 

die Abmessungen und die übertragbaren Drehmomente, die aus Versuchsergebnissen zusammengestellt 

wurden. 

Man verwendet Ringfederspannelemente und -spannsätze. Die Kraftumsetzung von Axial- in Radialspannkräfte 

an den keglig aufeinandergeschobenen Ringen erfolgt wie bei Keilen. Die Neigungswinkel 

der kegligen Flächen sind so groß, dass keine Selbsthemmung auftritt. Wird die Verbindung gelöst, 

lässt sich die Spannverbindung leicht ausbauen. 

Einbau und Einbaubeispiel für Ringfederspannverbindungen 

Ringfederspannelemente bestehen aus den Spannelementen 

1, das sind keglige Stahlringe, dem Druckring 

2, den Spannschrauben 3 und den Distanzhülsen 4. 

Welle und Nabe brauchen eine zusätzliche Zentrierung 

Z. Zum Aufeinanderschieben der kegligen Spannelemente 

(Ringpaare) ist ein ausreichender Spannweg s 

vorzusehen. 

Er wird in den Tabellen der Herstellerfirmen angegeben. 

Wegen der exponential abfallenden Wirkung können 

nur bis zu n = 4 Spannelemente hintereinandergeschaltet 

werden. 

Spannsätze bestehen aus dem Außenring 1, dem 

Innenring 2, den beiden Druckringen 3 und den gleichmäßig 

am Umfang verteilten Spannschrauben 4, mit 

denen die Druckringe 3 axial verspannt werden. 

Dadurch wird der Innenring elastisch zusammengepresst 

(Wellensitz), der Außenring gedehnt (Nabensitz). 

Auch für Spannsätze ist eine zusätzliche Zentrierung 

von Welle und Nabe erforderlich.

10.5.9 Ringfederspannverbindungen, Maße, Kräfte und Drehmomente 

(nach Ringfeder GmbH, Krefeld-Uerdingen) 

M (100) ist das von einem 

Spannelement 

übertragbare Drehmoment 

bei 

N 

p = 100 

2 mm 

Flächenpressung. 

Entsprechendes gilt für 

F (100) und F ax(100). 

Ermittlung der Anzahl 

hintereinander 

geschalteter Elemente in 

11.6.2. 

Bei zwei Spannsätzen 

verdoppeln sich die 

Beträge des 

übertragbaren 

Drehmoments M und 

der übertragbaren 

Axialkraft F ax 



Maße Kräfte Drehmoment Spannweg s 

d � D l1 l2 F0 F (100) Fax(100) M (100) in mm bei n 

mm mm mm kN kN kN Nm 1 2 3 4 

10 � 13 4,5 3,7 6,95 6,30 1,40 7,0 2 2 3 3 

12 � 15 4,5 3,7 6,95 7,50 1,67 10,0 2 2 3 3 

14 � 18 6,3 5,3 11,20 12,60 2,80 19,6 3 3 4 5 

16 � 20 6,3 5,3 10,10 14,40 3,19 25,5 3 3 4 5 

18 � 22 6,3 5,3 9,10 16,20 3,60 32,4 3 3 4 5 

20 � 25 6,3 5,3 12,05 18,00 4,00 40 3 3 4 5 

22 � 26 6,3 5,3 9,05 19,80 4,40 48 3 3 4 5 

25 � 30 6,3 5,3 9,90 22,50 5,00 62 3 3 4 5 

28 � 32 6,3 5,3 7,40 25,20 5,60 78 3 3 4 5 

30 � 35 6,3 5,3 8,50 27,00 6,00 90 3 3 4 5 

35 � 40 7 6 10,10 35,60 7,90 138 3 3 4 5 

40 � 45 8 6,6 13,80 45,00 9,95 199 3 4 5 6 

45 � 57 10 8,6 28,20 66,00 14,60 328 3 4 5 6 

50 � 57 10 8,6 23,50 73,00 16,20 405 3 4 5 6 

55 � 62 12 10,4 21,80 80,00 17,80 490 3 4 5 6 

60 � 68 12 10,4 27,40 106,00 23,50 705 3 4 5 7 

63 � 71 12 10,4 26,30 111,00 24,80 780 3 4 5 7 

65 � 73 14 12,2 25,40 115,00 25,60 830 3 4 5 7 

70 � 79 14 12,2 31,00 145,00 32,00 1120 3 5 6 7 

75 � 84 17 15 34,60 155,00 34,40 1290 3 5 6 7 

80 � 91 17 15 48,00 203,00 45,00 1810 4 5 6 8 

85 � 96 17 15 45,60 216,00 48,00 2040 4 5 6 8 

90 � 101 17 15 43,40 229,00 51,00 2290 4 5 6 8 

95 � 106 17 15 41,20 242,00 54,00 2550 4 5 6 8 

100 � 114 21 18,7 60,70 317,00 70,00 3520 4 6 7 9 

Maße Dreh- Flächenpressung Schrauben DIN 912 

d � D 

mm 

l1 l2 l 

mm mm mm 

Kraft 

Fax kN 

moment 

M 

Nm 

PWelle PNabe N/mm2 N/mm 2 

Anzahl 

Gewinde 

d1 MA Nm 

30 � 55 20 17 27,5 33,4 500 175 95 10 M 6 � 18 14 

35 � 60 20 17 27,5 40 700 180 105 12 M 6 � 18 14 

40 � 65 20 17 27,5 46 920 180 110 14 M 6 � 18 14 

45 � 75 24 20 33,5 72 1610 210 125 12 M 8 � 22 35 

50 � 80 24 20 33,5 71 1770 190 115 12 M 8 � 22 35 

55 � 85 24 20 33,5 83 2270 200 130 14 M 8 � 22 35 

60 � 90 24 20 33,5 83 2470 180 120 14 M 8 � 22 35 

65 � 95 24 20 33,5 93 3040 190 130 16 M 8 � 22 35 

70 � 110 28 24 39,5 132 4600 210 130 14 M 10 � 25 70 

75 � 115 28 24 39,5 131 4900 195 125 14 M 10 � 25 70 

80 � 120 28 24 39,5 131 5200 180 120 14 M 10 � 25 70 

85 � 125 28 24 39,5 148 6300 195 130 16 M 10 � 25 70 

90 � 130 28 24 39,5 147 6600 180 125 16 M 10 � 25 70 

95 � 135 28 24 39,5 167 7900 195 135 18 M 10 � 25 70 

100 � 145 30 26 44 192 9600 195 135 14 M 12 � 30 125 

110 � 155 30 26 44 191 10500 180 125 14 M 12 � 30 125 

120 � 165 30 26 44 218 13100 185 135 16 M 12 � 30 125 

130 � 180 38 34 52 272 17600 165 115 20 M 12 � 35 125 

311 

10

10 



312 

10.5.10 Ermittlung der 

Anzahl n der 

Spannelemente 

und der axialen 

Spannkraft F a 

Anzahl n für gegebenes 

Drehmoment M in Nm 

Pressungsfaktor f p 

Anzahl n für gegebene 

Axialkraft F ax in kN 

Erforderliche axiale 

Gesamtspannkraft 

F a in kN 

M 

n = fp fn M(100) 

M (100) übertragbares Drehmoment M in Nm nach Tabelle 10.5.9 für 

ein Spannelement und eine Flächenpressung von 

p = 100 N/mm2 fp Pressungsfaktor (nachfolgend) 

fn Anzahlfaktor, abhängig von der Anzahl der 

hintereinandergeschalteten Elemente: 

pw 

fp = 

p(100) 

p w 

pw pw Re Rm für n = 2 ist f n = 1,55, 

für n = 3 ist f n = 1,85 und 

für n = 4 ist f n = 2,02. 

N 

p(100) 

= 100 

mm2 

Grenzwert der Flächenpressung für den Wellen- oder 

Nabenwerkstoff 

= 0,9 Re (oder Rp 0,2) für (Stahl und Stahlguss) 

= 0,6 Rm für Gusseisen 

Streckgrenze, Rp 0,2 0,2-Dehngrenze 

Zugfestigkeit alle Werte aus den Dauerfestigkeitsdiagrammen 

F 

n = fp fn Fax(100) 

Fax(100) Axialkraft in kN nach Tabelle 10.5.9 für ein Spannelement und 

eine Flächenpressung von p = 100 N/mm2 fp Pressungsfaktor (nachfolgend) 

fn Anzahlfaktor, abhängig von der Anzahl der hintereinander 

geschalteten Elemente: 

für n = 2 ist f n = 1,55, 

für n = 3 ist f n = 1,85 und 

für n = 4 ist f n = 2,02. 

F a = F 0 � F (100) f p 

F0 axiale Spannkraft in kN nach Tabelle 10.5.9 zur Überbrückung 

des Passungsspiels bei H6/H7 und einer gemittelten Rautiefe 

Rz � 6 µm 

F (100) axiale Spannkraft in kN nach Tabelle 10.5.9 bei einer Flächenpressung 

p = 100 N/mm2 fp Pressungsfaktor

10.5.11 Längsstiftverbindung 

Bauverhältnisse 

(Anhaltswerte) 

Nabendicke s' in mm 

(M in Nm einsetzen) 

Übertragbares 

Drehmoment M 

Querstiftverbindung 

Bauverhältnisse 

(Anhaltswerte) 

Übertragbares 

Drehmoment M 

Übertragbare 

Längskraft F l 

Zulässige 

Beanspruchungen 

d S 

= 0,13 ... 0,16 

d 

l 

= 1,0 ... 1,5 l Nabenlänge 

d 

s' = (3,2 ... 3,9) 3 M für Gusseisen-Nabe 



s' = (2,4 ... 3,2) 3 M für Stahl- und Stahlguss-Nabe 

M P n 

M = 9550 P 

n Nm kW min –1 

dS d lS M ≤ pzul (Nabe) 

4 

p zul siehe unten 

l S 

dS 

d 

da 

d 

Stiftlänge 

= 0,2 ... 0,3 

= 2,5 für Gusseisen-Nabe 

= 2,0 für Stahl- und Stahlguss-Nabe 

2 

ddS 

π 

M � τazul 

4 

M � dS s (d � s) pzul (Nabe) 

M d, dS, s � azul, pzul P n 

N 

Nmm mm 

mm2 

2 

π dS Fl ≤ τazul 

2 

M d S, d, l S p zul 

N 

Nmm mm 2 mm 

kW min –1 

M = 9,55 · 106 P 

n 

N 

pzul (Nabe) = (120 ... 180) für Stahl und Gusseisen 

2 mm 

N 

= (90 ... 120) für Gusseisen 

mm 2 

N 

�a zul = (90 ... 130) für S235JR ... E295, 10S20K der 

2 mm 

Kegel- und Zylinderstifte 

N 

= (140 ... 170) für E335 und E360 der Kerbstifte 

mm 2 

bei Schwellbelastung 70 %, bei Wechselbelastung 50 % der 

zulässigen Beanspruchung ansetzen 

313 

10

10 



314 

10.5.12 Passfederverbindungen 

10.5.12.1 Maße für zylindrische Wellenenden mit Passfedern und übertragbare Drehmomente 

Maße in mm 

Bezeichnung der Passfeder Form A 

für d = 40 mm, Breite b = 12 mm 

Höhe h = 8 mm, Passfederlänge l P = 70 mm: 

Passfeder A12 � 8 � 70 DIN 6885 

Bezeichnung eines zylindrischen Wellenendes 

von d = 40 mm und l = 110 mm: 

Wellenende 40 � 110 DIN 748 

l Passfedermaße 1) 

Wellendurchmesser 

d kurz lang 

Toleranzfeld 

Breite mal Wellennut- Nabennut- 

Höhe tiefe t1 tiefe t2 b � h 

Richtwerte für das 

übertragbare Drehmoment M in 

Nm 

reine 

Torsion 2) 

Torsion und 

Biegung 3) 

6 – 16 – – – 1,7 0 ,7 

10 15 23 4 � 4 2,5 1,8 7,9 3 ,3 

16 28 40 5 � 5 3 2,3 32 14 

20 36 50 6 � 6 3,5 2,8 63 26 

25 

30 

42 

58 

60 

80 

k6 

H7 

8 � 7 4 3,3 

120 

210 

52 

89 

35 58 80 10 � 8 5 3,3 340 140 

40 82 110 12 � 8 5 3,8 500 210 

45 

50 

82 

82 

110 

110 

14 � 9 5,5 3,8 

720 

980 

300 

410 

55 82 110 16 � 10 6 4,3 1,3 � 103 550 

60 105 140 18 � 11 7 4,4 1,7 � 103 710 

70 105 140 20 � 12 7,5 4,9 2,7 � 103 1,1 � 103 80 130 170 22 � 14 9 5,4 4� 103 1,7 � 103 90 130 170 25 � 14 9 5,4 5,7 � 103 2,4 � 103 100 165 210 28 � 16 10 6,4 7,85 � 103 3,3 � 103 120 165 210 32 � 18 11 7,4 13,6 � 103 5,7 � 103 140 200 250 36 � 20 12 8,4 21,5 � 103 9,1 � 103 160 240 300 40 � 22 13 9,4 32,2 � 103 13,5 � 103 180 240 300 45 � 25 15 10,4 45,8 � 103 19,2 � 103 200 280 350 50 � 28 17 11,4 62,8 � 103 26,4 � 103 220 280 350 83,6 � 103 35,1 � 103 k6 

H7 

56 � 32 20 12,4 

250 330 410 

123 � 103 51,6 � 103 1) Passfederlänge lp in mm: 

2) 

3) 

8/10/12/14/16/18/20/22/25/28/32/36/40/45/50/56/63/70/80/90/100/110/125/140/160/180/200/220/250/280/315/355/400 

berechnet mit M = 7,85 · 10 –3 · d 3 M M 

t t 

aus �t = = 

Wp ( π /16) d 

= � 

3 t zul = 40 N/mm 2 

berechnet mit M = 3,3 · 10 –3 · d 3 M M 

aus �b = = = � 

3 b zul = 70 N/mm 

W ( π /32) d 

2 sowie mit M = MV = 

für s 0 = 0,7 und M b = 2 M t (Biegemoment = 2 � Torsionsmoment) 

2 2 

M + 0,75 ⋅( 

α M ) 

b 0 t

10.5.12.2 Passfederverbindungen 

(Nachrechnung) 

Vorhandene 

Flächenpressung p W 

an der Welle 

Vorhandene 

Flächenpressung p N 

an der Nabe 

Zulässige 


Herleitung der 

Gleichungen für die 

Flächenpressung p W, p N 



Die beiden letzten Spalten der Tabelle im Abschnitt 10.5.12 enthalten Richtwerte 

für das übertragbare Drehmoment. 

Im Normalfall ist das zu übertragende Drehmoment M bekannt oder kann über 

die gegebene Leistung P und die Wellendrehzahl n errechnet werden. Mit dem 

Drehmoment M werden der Wellendurchmesser d und die zugehörige Passfeder 

(b � h) festgelegt. 

Abgesehen von der Gleitfeder muss die Passfederlänge l p etwas kleiner sein als 

die Nabenlänge l. Werden für die Nabenlänge l die in der Tabelle im Abschnitt 

10.5.6 angegebenen Richtwerte verwendet, erübrigt es sich, die Flächenpressung 

p zu überprüfen (p � p zul ). Nur bei kürzeren Naben ist die folgende 

Nachrechnung erforderlich. 

2 M 

p = p 

W zul 

d t t1 ≤ 

l 

M = 9,55 · 106 P 

n 

2 M 

p = p 

N zul 

d t( h t1) ≤ 

l − 

p M d, l t , t 1 P n 

N 

2 mm 

Nmm mm kW min–1 

d Wellendurchmesser 

t 1 Wellennuttiefe 

l t tragende Länge an der Passfeder 

l t = l p bei den Passfederformen A und B 

für die Wellennut 

l t = l p – b bei Passfederform A für die 

Nabennut 

Mit Sicherheit vS gegenüber der Streckgrenze Re oder Rp 0,2 

(0,2-Dehngrenze) und vB gegenüber der Bruchfestigkeit Rm des 

Wellen- oder Nabenwerkstoffs setzt man je nach Betriebsweise 

(Stoßanfall): 

R e 

pzul = für Stahl und Stahlguss mit �S = 1,3 ... 2,5 

νS 

R m 

pzul = für Gusseisen mit �B = 3 ... 4 

νB 

⎛dt1⎞ − M + FuW⎜ − ⎟= 

0 

⎝2 2⎠ 

M 

FuW 

= 

d t1 

− 

2 2 

FuW FuW 

pW 

= = 

AW 

lt 

t1 

2M 2M 

pW 

= ≈ 

( d − t1) lt t1 d lt 

t1 

⎛dh t1⎞ 

M FuN 0 

2 2 

− 

− ⎜ + ⎟= 

⎝ ⎠ 

M 

FuN 

= 

d h−t1 + 

2 2 

FuN FuN 

pN 

= = 

A N lt 

( h−t1) p 

N 

2 M 

= 

( d+ h−t ) l ( h−t ) 

2 M 

p N= 

d l ( h−t ) 

t 1 

1 t 1 

315 

10

10 



316 

10.5.13 Keilwellenverbindung 

Nennmaße für Welle 

und Nabe 

(Auswahl aus ISO 14: 

Keilwellenverbindung mit 

geraden Flanken, Übersicht) 

Nabendicke s in mm 


Nabenlänge l in mm 



Zulässige 


Innendurchmesser 

d 1 in mm 

Außendurchmesser 

d 2 in mm 

Anzahl 

der 

Keile 

z 

Keil 

Breite 

b in mm 

18 22 6 5 

21 25 6 5 

23 28 6 6 

26 32 6 6 

28 34 6 7 

32 38 8 6 

36 42 8 7 

42 48 8 8 

46 54 8 9 

52 – – – 

62 72 8 12 

82 – – – 

92 102 10 14 

102 112 10 16 

112 125 10 18 

s = (2,6 ... 3,2) 3 M für Gusseisen-Nabe 

s = (2,2 ... 3) 3 M für Stahl und Stahlguss-Nabe 

M P n 

M = 9550 P 

n Nm kW min –1 

l = (4,5 ... 6,5) 3 M für Gusseisen-Nabe 

l = (2,8 ... 4,5) 3 M für Stahl und Stahlguss-Nabe 

2 M 

p = pzul 

0,75 zh d ≤ 

l 

1 m 

P M h1, l, dm z 

N 

2 mm 

Nmm mm 1 

d2 − d1 

h1 = 0,8 

2 

d1+ d2 

dm 

= 

2 

Faktor 0,75 (nach Versuchen tragen 

nur etwa 75 % der Mitnehmerflächen) 

pzul = e(Nabe) R 

S 

für Stahl-Nabe 

pzul = m(Nabe) R 

S 

für Gusseisen-Nabe 

R e (R p 0,2) und R m aus den Dauerfestigkeitsdiagrammen. 

Für stoßfrei wechselnde Betriebslast wird bei Befestigungsnaben: 

S = 2,5 (1,7) 

für unbelastet verschobene Verschiebenaben: S = 8 (5) 

für unbelastet verschobene Verschiebenaben: S = (15) 

für Stahl-Nabe und (3) für Gusseisen-Nabe 

Klammerwerte bei gehärteten oder vergüteten Sitzflächen der Welle

10.6 Zahnradgetriebe 

10.6.1 Kräfte am Zahnrad 

10.6.1.1 Benennung 



Zahnradgetriebe 

DIN 780 Modulreihe für Zahnräder 

DIN 867 Bezugsprofil für Stirnräder mit Evolventenverzahnung 

DIN 868 Allgemeine Begriffe und Bestimmungsgrößen für 

Zahnräder 

DIN 3960 Begriffe und Bestimmungsgrößen für Stirnräder und 

Stirnradpaare 

DIN 3971 Begriffe und Bestimmungsgrößen für Kegelräder und 

Kegelradpaare 

DIN 3975 Begriffe und Bestimmungsgrößen für 

Zylinderschneckengetriebe 

DIN 3990 Tragfähigkeitsberechnung von Stirnrädern 

DIN 3991 Tragfähigkeitsberechnung von Kegelrädern 

P Leistung 

M T Drehmoment 

F bn Zahnnormalkraft normal zur 

Berührungslinie 

F bt Zahnnormalkraft im Stirnschnitt 

F t Umfangskraft bei Stirn- 

rädern im Teilkreis im Stirnschnitt 

F tn Umfangskraft im Normalschnitt 

F tm Umfangskraft bei Kegel- 

rädern im Teilkreis in Mitte 

Zahnbreite 

d Teilkreisdurchmesser 

d w Betriebswälzkreisdurchmesser 

d m mittlerer Teilkreisdurchmesser 

bei Kegelrädern (bezogen auf 

Mitte Zahnbreite) 

� 0 Herstell-Eingriffswinkel (bei 

Normverzahnung ist � 0 = 20°) 

� n Eingriffswinkel im 

Normalschnitt am Teilkreis 

� t Eingriffswinkel im Stirnschnitt 

am Teilkreis 

� wt Betriebseingriffswinkel im 

Stirnschnitt 

� Schrägungswinkel am Teilkreis 

� m Schrägungswinkel am Teilkreis 

in Mitte Zahnbreite bei 

Kegelrädern 

� b Schrägungswinkel am Grundkreis 

� Teilkegelwinkel 

� Achsenwinkel 

� m mittlerer Steigungswinkel der 

Schnecke 

r' Reibwinkel 

m n Normalmodul 

m t Stirnmodul 

317 

10

10 



318 

10.6.1.2 Einheiten 

10.6.1.3 Geradstirnrad 

Umfangskraft F t am 

Teilkreis 

Normalkraft F bn normal 

zur Berührungslinie 

Radialkraft F r 

10.6.1.4 Schrägstirnrad 

Umfangskraft F t am 

Teilkreis 


Axialkraft F a 

Indizes bezogen auf Indizes bezogen auf 

kein Index 

a 

b 

f 

m 

n 

Teilkreis 

Kopfkreis 

Grundkreis 

Fußkreis 

Mitte Zahnbreite 

bei Kegelrädern 

Normalschnitt oder 

Ersatz-Geradstirnrad 

t 

v 

w 

C 

1 

2 

Stirnschnitt 

Ergänzungskegel 

bei Kegelrädern 

Betriebswälzkreis 

Wälzpunkt 

Ritzel 

Rad 

Zur Berechnung des Drehmoments M T1 in Nmm aus der Leistung P in 

kW und der Drehzahl n 1 in min –1 (= 1/min = U/min) wird die bekannte 

Zahlenwertgleichung benutzt: 

M T1 = 9,55 · 10 6 

P 

n 

1 

MT1 P n1 Nmm kW min –1 

Für alle folgenden Gleichungen zweckmäßig: 

Drehmoment M T1 in Nmm, Kräfte F in N, sämtliche Längen (Durchmesser, 

Modul) in mm. 

2M 2M 

Ft = = 

d z m 

Ft 

Fbn = 

cos α 

T1 T1 

1 1 n 

n 

F r = F t tan � n 

2MT1 2MT1cosβ Ft = = 

d z m 

Fttanαn Fr = 

cos β 

F a = F t tan � 

1 1 n

10.6.1.5 Geradzahn- 

Kegelrad 

Umfangskraft F tm im Teilkreis 

in Mitte Zahnbreite 


(für Achsenwinkel 

� = 90º ist F r1 = F a2 und 

F r2 = F a1) 



� = 90º ist F a1 = F r2 und 

F a2 = F r1) 

10.6.1.6 Schrägzahn- 

Kegelrad 

Umfangskraft F tm im Teilkreis 

in Mitte Zahnbreite 



� = 90º ist F r1 = F a2 und 

F r2 = F a1) 


10.6.1.7 Schnecke und 

Schneckenrad 

Umfangskraft F t 



2M 

Ftm = 

d 

T1 

m1 

F r1 = F tm tan � n cos � 1 

F r2 = F tm tan � n cos � 2 

F a1 = F tm tan � n sin � 1 

F a2 = F tm tan � n sin � 2 

2M 

Ftm = 

d 

T1 

m1 

⎛ 

F 1) cosδ 

⎞ 

r1 = F ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

tm tanαn�tan βsinδ1 cos βm 

⎛ 

F 2) cosδ 

⎞ 

r2 = F ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

tm tanαn± tan βsinδ2 cos βm 

⎛ 

F 3) sinδ 

⎞ 

a1 = F ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

1 

tm tanαn± tan βcosδ1 cos βm 

⎛ 

4) sinδ 

⎞ 

Fa2 = F ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

tm tanαn�tan βcosδ2 cos βm 



1) (–) bei gleicher, (�) bei entgegengesetzter Spiral- und Drehrichtung 

2) (�) bei gleicher, (–) bei entgegengesetzter Spiral- und Drehrichtung 

3) (�) bei gleicher, (–) bei entgegengesetzter Spiral- und Drehrichtung 

4) (–) bei gleicher, (�) bei entgegengesetzter Spiral- und Drehrichtung 

2M 

Ft1 = Fa2 = 

d 

F r1 =F r2 = F t1 

F a1 = F t2 

2M 

d 

T1 

m1 

tanαn cosr' 

sin( γ + r') 

T2 

2 

m 

Ft1 

Fa1 = Ft2 = 

tan( γ + r') 

m 

319 

10

10 



320 

10.6.2 Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Gerad- und Schrägstirnräder 

Die Berechnungsgleichungen gelten für den allgemeinen 

Fall des Schrägstirnrad-V-Getriebes. 

Für die Sonderfälle ist zu setzen: 

Schrägstirnrad-Nullgetriebe: x 1 = x 2 =0 

Schrägstirnrad-V-Nullgetriebe: x 2 = – x 1 

Geradstirnrad-Nullgetriebe: � = 0º, x 1 = x 2 =0 

Geradstirnrad-V-Nullgetriebe: � = 0º, x 2 = – x 1 

Geradstirnrad-V-Getriebe: � = 0º, also cos � = 1 

Für das DIN-Verzahnungssystem ist der Herstell- 

Eingriffswinkel � n = 20º, also 

cos � n = 0,93969 tan � n = 0,36397 

sin � n = 0,34202 ev � n = 0,01490 

Die Berechnungsgleichungen gelten auch für Innengetriebe. 

Dafür sind 

die Zähnezahl z 2 des Innenrades, 

alle Durchmesser des Innenrades, 

das Zähnezahlverhältnis u = z 2/z 1 und der 

Achsabstand a mit negativem Vorzeichen 

einzusetzen. 

Außerdem ist festgelegt: Die Profilverschiebung ist 

positiv, wenn durch sie die Zahndicke vergrößert wird. 


Ersatzzähnezahl z n 

Grenzzähnezahl z g 

Profilverschiebungs- 

faktor x für z � z g 

ω 

i = = = = = 

ω 

b2 

n1 1 z2 d2 

d 

n z d d 

2 2 1 1 b1 

z z 

zn = 

≈ 

cos2 β cos β cos3 

β 

b 

� b siehe Schrägungswinkel 

z g =17 cos 3 �� 

z 

17 − 

cos3 

β 

x � 

17 

b Zahnbreite 

c Kopfspiel 

pt, pn Teilkreisteilung 

r, rn Teilkreisradius 

rb, rbn Grundkreisradius 

st, sn Zahndicke 

�t, �n Eingriffswinkel am Teilkreis 

� Schrägungswinkel am Teilkreis 

Index t für Stirnschnitt 

Index n für Normalschnitt 

Grenzzähnezahl z g der DIN-Gerad- 

verzahnung (� = 0)

Achsabstand a d ohne 

Profilverschiebung 

(Rechengröße) 

Eingriffswinkel im Stirnschnitt 

am Teilkreis � t 

Stirnmodul m t 

Teilkreisteilung im 

Stirnschnitt p t 

Teilkreisteilung 

im Normalschnitt p n 

Eingriffsteilung im 

Stirnschnitt p et 

Eingriffsteilung 

im Normalschnitt p en 

Schrägungswinkel am 

Grundkreis � b 

Teilkreisdurchmesser d 

Grundkreisdurchmesser d b 

Kopfkreisdurchmesser d a 

erforderliche 

Kopfkürzung k m n 

Fußkreisdurchmesser d f 

Evolventenfunktion des 

Winkels � 

mn 

ad = ( z1 z2) 

2cosβ 

+ 

tan � t = 

mn 

mt = 

cos β 

tanαn 

cos β 

d 

mn 

pt = = mt 

= 

z cos β 

π 

π 

π 

n = n = t β cos 

p πm πm 

p π d 

pet = pt cos �t = � mt cos �t = = 

cos β z 

p en = p n cos � n = � m n cos � n 

tan � b = tan � cos � t 

sin � b = sin � cos � n 

zm 1 n 

d1 = zm 1 t 

cos β = 

mn 

db1 = d1cosαt = z1 

cosαt 

cos β 

mn 

db2 = d2cosαt = z2 

cosαt 

cos β 



bei Geradverzahnung ist � = 0 

und damit � t = � n = 20º 

Für Geradstirnrad ist: m t = m n = m 

m n Normalmodul 

en b 

z m 

d z m 

cos β 

2 n 

2 = = 2 t 

z2mn da1 = 2( a+ mn −x2mn) − d2 = 2[ a+ mn(1 −x2)] − 

cos β 

zm 1 n 

da2 = 2( a+ mn −x1mn) − d1= 2[ a+ mn(1 −x1)] − 

cos β 

mn z1+ z2 

kmn = ⋅ + ( x1+ x2) mn −a 

cos β 2 

d = d −2( h −x 

m ) 

f1 1 fP 1 n 

d = d −2( h −x 

m ) 

f2 2 fP 2 n 

⎛ α° 

⎞ 

inv α = tanα− arc α = tanα−⎜π⎟ 

⎝ 180° ⎠ 

321 

10

10 



Betriebseingriffswinkel 

im Stirnschnitt � wt und 

im Normalschnitt � wn 

Betriebseingriffswinkel 

im Stirnschnitt � wt bei 

vorgeschriebenem 

Achsabstand a 

Betriebswälzkreisdurchmesser 

d w 

322 

Achsabstand a 

Kopfspiel einer 

Radpaarung c 

Summe der Profilverschiebungsfaktoren 

x 1 � x 2 

Zahnkopfhöhe des 

Werkzeugs h fP für 

Bezugsprofil I, II, III, IV 

Schrägungswinkel am 

Betriebswälzkreis � w 

Profilüberdeckung � �� 

Sprungüberdeckung � � 

Gesamtüberdeckung � 

Zahndickennennmaß, 

Stirnschnitt s t 

x + x 

inv α 2 tanα inv α 

1 2 

wt = n+ t 

z1+ z2 

d d 

cosα 

wt = = 

d d 

b1 b2 

w1 w2 

sinαn 

sinαwn = sinαwt⋅ 

sinα 

mn( z1+ z2) 

cos αt 

ad 

cosαwt = ⋅ = cosαt 

2a cosβa 

d 

d z m 

b1 t 

w1 = = 1 t ⋅ 

cosαwt cosαwt 

t 

cosα 

α 

db2 

cos t 

dw2 = = z2mt⋅ cosαwt cosαwt 

mn z1+ z2 

cosαt 

a = ⋅ ⋅ 

cos β 2 cosα 

wt 

d + d d + d 

c = a− = a− 

2 2 

a1 f 2 a2 f1 

( z1+ z2)(inv 

αwt −inv 

αt) 

x1+ x2 

= 

2tanα 

n 

⎛ π ⋅αt 

⎞ 

⎜inv αt = tan αt 

− ⎟ o 

⎝ 180 ⎠ 

mn 

mt 

= 

cos β 

⎛ π α ⎞ 

⎜inv α = tan α− 

⎟ 

⎝ o 180 ⎠ 

I: hfP = 1,167 mn II: hfP = 1,25 mn 3 

III: hfP = 1,25 mn � 0,25 m 3 

IV: hfP = 1,25 mn � 0,6 m 

2atanβ tan β w = 

m ( z + z ) 

ε = 

α 

t 1 2 

1 2 2 1 2 2 

2 a1 b1 2 a2 b2 

n 

t t 

mn 

mt 

= 

cos β 

d − d ± d −d −asinα 

π m cos α 

Minuszeichen gilt für Innengetriebe, dabei ist a mit negativem 

Vorzeichen einzusetzen. 

btan β bsin 

β 

ε β = = 

πm πm 

� = � � � � � 

t n 

⎛π⎞ st1= mt⎜ + 2x1tanαn⎟ ⎝2⎠ wt 

⎛π⎞ st2= mt⎜ + 2x2tanαn⎟ ⎝2⎠ n

Zahndickennennmaß im 

Normalschnitt s n 

Zahndicke auf dem 

Kopfkreis s a 

10.6.3 Einzelrad- und 

Paarungsgleichungen 

für Kegelräder 


Zähnezahlverhältnis u 

Achsenwinkel �� 

Teilkegelwinkel � 

⎛π⎞ sn1 = mn⎜ + 2x1tanαn⎟ ⎝2⎠ Maschinenelemente 


⎛π⎞ sn2 = mn⎜ + 2x2tanαn⎟ ⎝2⎠ ⎡1⎛π⎞ ⎤ 

sa = da⎢ ⎜ + 2x tan αn⎟−(inv αta −inv 

αt) 

⎥ 

⎣z⎝2⎠ ⎦ 

d 

cosα = cosα 

ta t 

da 

Die Gleichungen gelten, wenn nicht anders angegeben, für Kegelräder 

mit schrägen Zähnen, die unter dem Achsenwinkel von 90° als 

V-Nullgetriebe arbeiten: Schrägungswinkel in Mitte Zahnbreite � m, 

Achsenwinkel � = 90°, Profilverschiebungsfaktor x 2 = – x 1, Profilverschiebung 

� 2 = – � 1. Für Kegelräder mit geraden Zähnen ist in den 

Gleichungen � m = 0 zu setzen, für Nullgetriebe x = 0. 

n1 z2 d2 

sinδ2 

i = = = = 

n z d sinδ 

2 1 1 1 

z Rad 

u = ≥1 

z 

Ritzel 

� = � 1 � � 2 

o 

1 

für Σ = 90 : tanδ1= 

= ⎪ 

u z2 

⎪⎪⎬ 

o für Σ < 90 : tanδ1= 

δ2 = Σ −δ1 

o für Σ 90 : tanδ1 

1 

sinΣ 

u + cos Σ ⎪ 

o sin(180 − Σ ) ⎪ 

> = ⎪ 

o 

u −cos(180 −Σ) ⎭ 

z 

⎫ 

323 

10

10 



324 

Teilkreisdurchmesser d 

Teilkegellänge R (außen) 

und Zahnbreite b 

Teilkegellänge R i (innen) 

mittlere Teilkegellänge R m 

Teilkreisdurchmesser in 

Mitte Zahnbreite d m 

äußerer Normalmodul m na 

Normalmodul in Mitte 

Zahnbreite m nm 

Ergänzungszähnezahl z v 

Ersatzzähnezahl z n 

Zähnezahl des 

Planrades z p 

Zahnkopfhöhe h a 

(außen) 

Kopfspiel c 

d 1 = z 1 m t d 2 = z 2 m t m t Stirnmodul 

Bei Geradzahn-Kegelrädern ist der Stirnmodul zugleich der Normalmodul 

(Stirnschnitt = Normalschnitt), er wird als Normmodul festgelegt: 

m t = m n = m. 

d1 d2 

R = = 

2sinδ 2sinδ 

R i = R – b 

b 

Rm= R− 

2 

1 2 

d m1 = d 1 – b sin� 1 

m na = m t cos � m 

Rm 

mnm = mtcos 

βm 

R 

dm1 dm2 

mnm 

= cos βm = cos βm 

z z 

z 

v1 

z1 

= 

cosδ 

z 

1 2 

1 

v1 

n1 ≈ 

cos3 

βm 

z 

z 

v2 

z2 

= 

cosδ 

z 

R 

b ≤ ausführen 

3 

d m2 = d 2 – b sin� 2 

2 

v2 

n2 ≈ 

cos3 

βm 

z 

m nm ist identisch mit dem Normalmodul 

der Ergänzungs- 

und der Ersatzverzahnung 

Bei Geradzahn-Kegelrädern ist mit � m = 0° und cos � m = 1 

z n1 = z v1 und z n2 = z v2. 

z2 

zp 

= 

sinδ 

2 

h = (1 + x) m h = (1 − x) m = 2m 

−h 

a1 na a2 na na a1 

c = y m na 

y = 0,167 oder y = 0,2

10.6.4 Einzelrad- und 

Paarungsgleichungen 

für Schneckengetriebe 


(m Achsmodul, z 1 Gangzahl 

der Schnecke) 

Erfahrungswerte für i, 

Gangzahl z 1 und � ges 

Zähnezahl z 2 des 

Schneckenrades 

Steigungshöhe der 

Schnecke P 

mittlerer Steigungswinkel 

� m 

Formzahl z F 

Zahnfußhöhe h f 

Kopfkreisdurchmesser 

d k1 der Schnecke 



Index 1 gilt für die Schnecke, 2 für das Schneckenrad, Index n für die 

Größe im Normalschnitt, Index a im Achsschnitt 

n1 z2 d2 d2 

i = = = = 

n z mz d tanγ 

M 

T1 

2 1 1 m1 m 

M 

= 

i η 

T2 

ges 

i möglichst keine ganze Zahl 

bei mehrgängiger Schnecke 

� ges Gesamtwirkungsgrad des 

Schneckengetriebes 

i � 30 15 ... 29 10 ... 14 6 ... 9 

z 1 1 2 3 4 

� ges 0,7 0,8 0,85 0,9 

z 2 = i z 1 

z 2 möglichst � 25 Zähne 

P = z 1 p a = z 1 m � p a Achsteilung, m Achsmodul 

= d m1 � tan � m 

mz z 

tan γ m = = 

d z 

dm1 

zF 

= 

m 

1 1 

m1 F 

mn 

cos γ m = 

m 

h f1 = 2 m na – h a1 � c h f2 = 2 m na – h a2 � c c Kopfspiel 

c = 0,2 m 

d k1 = d m1 � 2 h k1 

325 

10

10 



326 

Kopfwinkel � a 

Fußwinkel � f 

Kopfkegelwinkel � a 

innerer Kopfkreisdurchmesser 

d i 

Innenkegelhöhe g 

Mittenkreisdurchmesser 

d m2 

Kopfkreisdurchmesser 

d k2 

Fußkreisdurchmesser 

d f2 

Außendurchmesser 

d a2 

Profilverschiebung 

erforderlich bei 

Mindest-Profilverschiebungsfaktor 

Achsabstand a 

(z F Formzahl) 

Zahnbreite b 

Wirkungsgrad � z der 

Verzahnung 

(�' = tan r' Gleitreibzahl) 

h 

tan κ a1 = 

R 

a1 

h 

tan κ f1= 

R 

f1 

h 

tan κ a2 = 

R 

a2 

h 

tan κ f2 = 

R 

δa1 = δ1+ κa1 

δa2 = δ2+ κa2 

b sinδ 

di1 = da1−2 

cos κ 

d i1 

g1 

= 

2tanδ 

a1 

a1 

a1 

dm2 = d2± 2xm = 2a−dm1 

f2 

b sinδ 

di2 = da2−2 

cos κ 

d i2 

g2 

= 

2tanδ 

d = d ± 2xm+ 2h d = d + 2h 

k2 2 k2 k2 2 k2 

d = d − (4 m+ c) c = 0,2m 

f2 k2 

d = d −2h 

c Kopfspiel 

f2 2 f2 

da2 = dk2+ m 

2h 

kf 

z2 < zg 

= 

msin2 αa 

x 

min 

zg−z2 = zg = 17 bei �a = 20º 

z 

g 

dm1 + d2 m 

a= ± xm = ( zF+ z2± 2 x) 

2 2 

a2 

a2 

a2 

h kf Kopfhöhe des Fräsers 

� a Eingriffswinkel im Achsschnitt 

b = (0,4 ... 0,5) (d k1 � 4 m) für Bronzerad 

b = (0,4 ... 0,5) (d k1 � 4 m) � 1,8 m für Leichtmetallrad 

tanγ 

ηz 

= 

tan( γ ) 

m 

m + r' 

bei treibender Schnecke 

tan( γm 

− r') 

ηz 

= 

tanγ 

m 

bei treibendem 

Schneckenrad 

a Schnecke auf Drehmaschine 

geschlichtet, vergütet 

b Schnecke gehärtet, geschliffen

Gesamtwirkungsgrad 

� ges 

Normalteilung p n 

Normalmodul m n 

Moduln für Schnecke und 

Schneckenrad (DIN 780) 

in mm: 1, 1,25, 1,6, 2, 2,5, 

3,15, 4, 5, 6,3, 8, 10, 12,5, 

16, 20 

Mittenkreisdurchmesser 

d m1 der Schnecke 

Zahnhöhen h 

Kopfhöhen h k 

Fußhöhen h f 

in Abhängigkeit von � m 

Eingriffswinkel im 

Normal- und 

Achsschnitt 

Kopfkreisdurchmesser d k1 

der Schnecke 

Fußkreisdurchmesser d f1 

der Schnecke 

Schneckenlänge 

L in mm 

Umfangsgeschwindigkeit v 

(Zahlenwertgleichung) 

Gleitgeschwindigkeit v g 

Teilkreisdurchmesser d 2 

� ges = � z � L 



� L = � L1 � L2 = Wirkungsgrad der Lagerung 

� � L1 für Schneckenwelle 

� � L2 für Schneckenrad 

� � L1 = � L2 � 0,97 bei Wälzlagern 

� � L1 = � L2 � 0,94 bei Gleitlagern 

p n = p a cos � m m n = m cos � m m = m a = Achsmodul 

Für Schnecken wird der Modul im Achsschnitt (Achsmodul) 

m a = m als Normmodul gewählt; 

m a ist zugleich Modul für das Schneckenrad im Stirnschnitt 

zm zm 

d = = = z m dm1 ist eine Rechengröße 

1 1 n 

m1 F 

tan γm sin γm 

h 1 = h 2 = 

h k1 = 

h k2 = 

h f1 = 

h f2 = 

tanαn 

tanαa 

= 

cos γ 

m 

� m � 15º � m � 15º 

2,2 m 

m 

m � xm 

h 1 – h k1 

h 2 – h k2 

| 

2,2 m n 

m n 

m n � xm n 

Richtwerte für � n 

�m �n0 20º 22,5º 25º 30º 

bis 15º 15 ... 25º 25 ... 35º über 35º 

dk1 = dm1+ 2h 

Profilverschiebung hat keinen Einfluss 

k1 

auf die Schnecken-Abmessungen 

d = d −2h 

f1 k1 1 

L m z 

≈ 2 (1 + 2 ) L m z2 

≈ 2 2 −4 

für normale Belastung für hohe Belastung 

d n d n 

v v 

60000 60000 

π m1 1 π m2 2 

1= 2 = 

v1 

vg 

= 

cos γ 

m 

z2mn d2 = z2m = 

cos γ 

m 

v 1, v 2 d m1, d m2 n 1, n 2 

m 

s 

mm min –1 

327 

10

10 



328 

10.6.5 Wirkungsgrad, 

Kühlöldurchsatz 

und Schmierarten 

der Getriebe 

Gesamtwirkungsgrad � ges 

in einer Getriebestufe 


Kühlöldurchsatz � V k bei 

Ölumlaufkühlung 

erforderliche 

Schmierarten 

� ges = 0,96 ... 0,98 

bei Schneckengetrieben 

gesondert berechnen 

nach 10.6.4 

η 

1− 

ges 

V� k = P1 c r( ϑ1−ϑ2) 3 

enthält Verzahnungsverluste, 

Lagerverluste, Plantschverluste bei 

Ölfüllung bis Zahnfuß, Verluste durch 

Wellenabdichtungen 

Vk � P1 r �� ges, c 

m 

s 

kg 

W 

m3 

P1 Antriebsleistung 

c spezifische Wärmekapazität des Öls für Maschinenöl ist: 

J 

c = 1675 (1 K = 1 °C) 

kgK 

kg 

r Dichte des Öls � 900 

3 m (Maschinenöl) 

�1, �2 Temperatur des zu- und abfließenden Öls 

ºC 1 

Teilkreisgeschwindigkeit in m/s Art der Schmierung 

0 ... 0,8 

0,8 ... 4 

4 ... 12 

12 ... 60 

Fett auftragen 

Fett- oder Öltauchschmierung, 

Öltauchschmierung 

Spritzschmierung

Normen (Auswahl) 1) 

Zerspantechnik 

Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik 

DIN 884 Walzenfräser, DIN 885 Scheibenfräser 

DIN 1412 Spiralbohrer aus Schnellarbeitsstahl, Anschliffformen 

DIN 1415 Räumwerkzeuge; Einteilung, Benennung, Bauarten 

DIN 1416 Räumwerkzeuge; Gestaltung von Schneidzahn und Spankammer 

DIN 1417 Räumwerkzeuge; Runde und eckige Schäfte 

DIN 1418 Räumwerkzeuge; Schafthalter und Endstückhalter für Räumwerkzeuge 

DIN 1836 Werkzeug-Anwendungsgruppen zum Zerspanen 

DIN 4951 Gerade Drehmeißel mit Schneiden aus Hartmetall 

DIN 4971 Gerade Drehmeißel mit Schneidplatte aus Hartmetall 

DIN ISO 5419 Spiralbohrer, Benennungen, Definitionen und Formen 

DIN 6580 Begriffe der Zerspantechnik, Bewegungen und Geometrie des Zerspanvorgangs 

DIN 6581 Begriffe der Zerspantechnik, Bezugssysteme und Winkel am Schneidteil des Werkzeugs 

DIN 6582 Begriffe der Zerspantechnik, Ergänzende Begriffe am Werkzeug 

DIN 6583 Begriffe der Zerspantechnik, Standbegriffe 

DIN 6584 Begriffe der Zerspantechnik; Kräfte, Energie, Arbeit, Leistungen 

DIN 6588 Fertigungsverfahren Zerteilen 

DIN 6589 Fertigungsverfahren Spanen; Teil 0: Allgemeines; Einordnung, Unterteilung, Begriffe 

Teil 1: Drehen, Teil 2: Bohren, Teil 3: Fräsen, Teil 4: Hobeln und Stoßen, Teil 5: Räumen, 

Teil 6: Sägen, Teil 7: Feilen und Raspeln, Teil 8: Bürstspanen, Teil 9: Schaben und Meißeln, 

Teil 11: Schleifen mit rotierendem Werkzeug, Teil 12: Bandschleifen, Teil 13: Hubschleifen, 

Teil 14: Honen, Teil 15: Läppen, Teil 17: Gleitspanen 

DIN 69120 Gerade Schleifscheiben 

1) Nähere Angaben in http://beuth.de 

11.1 Drehen und Grundbegriffe der Zerspantechnik 

11.1.1 Bewegungen, Kräfte, Schnittgrößen und Spanungsgrößen 

Bewegungen, Geschwindigkeiten und 

Kräfte beim Drehen (Außendrehen) 

F Zerspankraft (Kräfte in Bezug auf das Werkzeug) 

F a Axialkraft 

F c Schnittkraft 

F f Vorschubkraft 

F p Passivkraft 

v c Schnittgeschwindigkeit 

v f Vorschubgeschwindigkeit 

v e Wirkgeschwindigkeit 

f Vorschub 

a p Schnitttiefe 

� r Einstellwinkel 

� Vorschubrichtungswinkel (beim Drehen 90°) 

� Wirkrichtungswinkel 

Schnittgrößen und Spanungsgrößen 

f Vorschub 


b Spanungsbreite 

h Spanungsdicke 

A Spanungsquerschnitt 

l s Schnittbogenlänge 

m Bogenspandicke 

329 

11

11 



330 

Schnitttiefe a p 

Vorschub f 

Vorschübe f nach 

DIN 803 (Auszug) 

Spanungsdicke h 

Spanungsbreite b 

Spanungsquerschnitt A 

Spanungsverhältnis � s 

Tiefe des Eingriffs der Hauptschneide. 

Berechnung der erforderlichen Schnittiefe a p erf für eine ökonomische 

Nutzung der Motorleistung beim Runddrehen: 

a 

perf 

4 

mηg 6⋅10 P 

= 

fk v 

c c 

P m Motorleistung 

� g Getriebewirkungsgrad 

f Längsvorschub der Maschine 

k c spezifische Schnittkraft 


a p erf P m f k c v c 

mm kW mm 

U 

N 

2 

mm 

Weg, den das Werkzeug während einer Umdrehung (U) des Werkstücks 

in Vorschubrichtung zurücklegt. 

Für eine vorgegebene Rautiefe R t gilt bei r � 0,67 f: 

ferf = 8rRt 

f erf 

mm 

U 

r, R t 

mm 

r Radius der gerundeten Schneidenecke 

des Zerspanwerkzeugs 

R t vorgegebene Rautiefe 

0,01 0,0315 0,1 0,315 1 3,15 

0,0112 0,0355 0,112 0,355 1,12 3,55 

0,0125 0,04 0,125 0,4 1,25 4 

0,014 0,045 0,14 0,45 1,4 4,5 

0,016 0,05 0,16 0,5 1,6 5 

0,018 0,056 0,18 0,56 1,8 5,6 

0,02 0,063 0,2 0,63 2 6,3 

0,0224 0,071 0,224 0,71 2,24 7,1 

0,025 0,08 0,25 0,8 2,5 8 

0,028 0,09 0,28 0,9 2,8 9 

Die angegebenen Vorschübe sind gerundete Nennwerte der Grundreihe 

R 20 (Normzahlen) in mm/U mit dem Stufensprung � = 1,12. 

Für gröbere Vorschubstufungen kann von 1 ausgehend wahlweise 

jeder 2., 3., 4. oder 6. Zahlenwert der Grundreihe zu Vorschubreihen 

mit den Stufensprüngen � 2 , � 3 , � 4 und � 6 zusammengestellt werden. 

h= f sin κr 

a p 

b = 

sin κr 

A = bh= ap f 

b a p 

s = = 

h 2 f sin κr 

ε 

m 

min

Schnittgeschwindigkeit v c 

(Richtwerte in 11.1.2) 

erforderliche Drehzahl 

n erf des Werkstücks 

Maschinendrehzahl n 



Momentanbewegung des Werkzeugs in Schnittrichtung relativ zum 

Werkstück 

d n 

v c = 

1000 

π 

d Werkstückdurchmesser 

n Drehzahl des Werkstücks 

v c d n 

m 

mm 

mm min –1 

Umrechnung der Richtwerte v c auf abweichende Standzeitvorgaben 

bei sonst unveränderten Spanungsbedingungen: 

y 

⎛T⎞ vc1 = vc⎜ ⎟ 

⎝T1⎠ v c1, v c T, T 1 y 

m 

mm 

uc1 Schnittgeschwindigkeit, auf T1 umgerechnet 

vc empfohlene Schnittgeschwindigkeit nach 11.1.3 

T Standzeit, die bei vc erreicht wird 

vorgegebene Standzeitforderung (z.B. Tz oder Tk ) 

T 1 

y Standzeitexponent (nach 1.8) 

min 1 

nerf vc d 

1000vc 

nerf 

= 

d π min –1 m 

mm 

min 

v c empfohlene Schnittgeschwindigkeit (nach 11.1.3) 


Bei der Festlegung der Werkstückdrehzahl sind bei Stufengetrieben 

die einstellbaren Maschinendrehzahlen zu beachten: 

Drehzahlen n (Lastdrehzahlen) nach DIN 804 in min –1 

10 31,5 100 315 1000 3150 

11,2 35,5 112 355 1120 3550 

12,5 40 125 400 1250 4000 

14 45 140 450 1400 4500 

16 50 160 500 1600 5000 

18 56 180 560 1800 5600 

20 63 200 630 2000 6300 

22,4 71 224 710 2240 7100 

25 80 250 800 2500 8000 

28 90 280 900 2800 9000 

Die angegebenen Drehzahlen sind Lastdrehzahlen (Abtriebsdrehzahlen 

bei Nennbelastung des Motors) als gerundete Nennwerte der 

Grundreihe R 20 (Normzahlen) mit dem Stufensprung � = 1,12. 

Für gröbere Drehzahlstufungen kann wahlweise jeder 2., 3., 4. oder 6. 

Zahlenwert der Grundreihe zu Drehzahlreihen mit den Stufensprüngen 

� 2 , � 3 , � 4 und � 6 zusammengestellt werden. 

Aus dem Drehzahlangebot der Maschine wird die Drehzahl gewählt, 

die der erforderlichen Drehzahl (n erf) am nächsten liegt. 

331 

11

11 



wirkliche Schnittgeschwindigkeit 

v cw 

332 

wirkliche Standzeit T w 

Vorschub- 

geschwindigkeit v f 

Wirkgeschwindigkeit v e 

Ist eine Mindeststandzeit gefordert, so wird die nächstkleinere 

Maschinendrehzahl gewählt (Maschinendiagramm). 

Maschinendiagramm 

mit einfach geteilten 

Koordinatenachsen 

d n 

v cw = 

3 10 

π 


n gewählte Maschinendrehzahl 

Maschinendiagramm 

mit logarithmisch geteilten 

Koordinatenachsen 

v cw d n 

m 

min 

mm min –1 

1 

Tw, T vc, vcw y 

⎛ v ⎞y 

c 

Tw= T⎜ ⎟ 

m 

⎝vcw ⎠ min 

1 

min 

v c , T vorgegebenes zusammengehörendes Wertepaar (nach 11.1.3) 

v cw 

wirkliche Schnittgeschwindigkeit 

y Standzeitexponent (nach 11.1.7) 

Momentangeschwindigkeit des Werkzeugs in Vorschubrichtung: 

vf = f n mm 

min 

f Vorschub in mm / U 

n Drehzahl des Werkstücks 

v f f n 

mm 

U 

min –1 

Momentangeschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts 

(Bezugspunkt) in Wirkrichtung relativ zum Werkstück: 

2 2 

ve = vc + vf bei ϕ = 90 

vc vf 

ve 

= = 

cos η sinη 

v f � v c ⇒ v e � v c 

o

11.1.2 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc beim Drehen 

Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus Versuchswerten von Prof. Kienzle, AWF 158 und allgemeinen Hinweisen aus 

dem Schrifttum abgeleitet worden. 

1) 2) 

c r 

κ 

Schnittgeschwindigkeit in in m/min bei Vorschub in mm/U und Einstellwinkel 

v f 

Schneidstoff 3) 

Werkstoff 



1) Die eingetragenen Werte gelten für Schnitttiefe ap bis 2,24 mm. Über 2,24 bis 7,1 mm sind die Werte um 1 Stufe der Reihe R10 um angenähert 20 % und über 7,1 

bis 22,4 mm um 1 Stufe der Reihe R5 angenähert 40 % zu kürzen. 

2) Die Werte vc müssen beim Abdrehen einer Kruste, Gusshaut oder bei Sandeinschlüssen um 30 ... 50 % verringert werden. 

3) Die Standzeit T beträgt für gelötete Drehmeißel (L) aus HM = 240 mm; aus HSS = 60 min; für Wendeschneidplatten (W) aus HM und Keramik =15 min. 

333 

11

11 



334 

11.1.3 Werkzeugwinkel 

Werkzeug-Bezugssystem 

und Werkzeugwinkel am 

Drehwerkzeug (gerader, 

rechter Drehmeißel) 

� o Orthogonalfreiwinkel 

� o Orthogonalkeilwinkel 

� o Orthogonalspanwinkel 

� � o + � o + � o = 90º 


� r Eckenwinkel 

� s Neigungswinkel 

Werkzeug-Bezugsebene P r 

Werkzeug-Schneiden- 

ebene P s 

Werkzeug-Orthogonalebene 

P o 

Ebene durch den betrachteten Schneidenpunkt, 

rechtwinklig zur Richtung 

der Schnittbewegung und parallel zur 

Auflagefläche des Drehwerkzeugs. 

Ebene rechtwinklig zur Werkzeug- 

Bezugsebene. Sie enthält die (gerade) 

Hauptschneide. 

Ebene durch den betrachteten 

Schneidenpunkt, rechtwinklig zur 

Werkzeug-Bezugsebene und 

rechtwinklig zur Werkzeug- 

Schneidenebene. In dieser Ebene 

werden die Winkel am Schneidkeil 

gemessen.

Arbeitsebene P f 

Orthogonalfreiwinkel � o 

Orthogonalkeilwinkel � o 

Orthogonalspanwinkel � o 

Einstellwinkel � r 

Eckenwinkel � r 

Neigungswinkel � s 



Ebene durch den betrachteten Schneidenpunkt, 

rechtwinklig zur Werkzeug- 

Bezugsebene. 

Sie enthält die Richtungen von Vorschub- 

und Schnittbewegung. 

Winkel zwischen Freifläche und Werkzeug-Schneidenebene, gemessen 

in der Werkzeug-Orthogonalebene. 

Empfohlene Freiwinkel liegen im Bereich von 5° ... 12°. 

Winkel zwischen Freifläche und Spanfläche, gemessen in der Werkzeug-Orthogonalebene. 

Er soll mit Rücksicht auf das Standverhalten des Werkzeugs 

möglichst groß sein. 

� o = 90° – � o – � o 

Winkel zwischen Spanfläche und Werkzeug-Bezugsebene, gemessen 

in der Werkzeug-Orthogonalebene. 

Empfohlene Spanwinkel liegen im Bereich von 0° ... 20°. 

Bei höherer Belastung und größerem Wärmeaufkommen – 

(Beispiel: Schruppzerspanung) werden auch negative Spanwinkel (bis 

etwa – 20°) angewendet. Der Schneidkeil ist dann mechanisch und 

thermisch höher belastbar und die Schneidkeilschwächung bei Kolkverschleiß 

geringer. 

Winkel zwischen Arbeitsebene und Werkzeug-Schneidenebene, 

gemessen in der Werkzeug-Bezugsebene. 

Empfohlene Einstellwinkel liegen im Bereich von 45° ... 90°. 

Winkel zwischen den Werkzeug-Schneidenebenen zusammengehörender 

Haupt- und Nebenschneiden, gemessen in der Werkzeug- 

Bezugsebene. 

Empfohlener Eckenwinkel für Vorschübe bis 1 mm/U: � r = 90° 

(bei größeren Vorschüben ist � r größer). 

Winkel zwischen Hauptschneide und Werkzeug-Bezugsebene, gemessen 

in der Werkzeug-Schneidenebene. 

Empfohlene Neigungswinkel von 5° ... 20° (positiv oder negativ). 

335 

11

11 



336 

11.1.4 Zerspankräfte 

Schnittkraft F c 

(nach Kienzle) 

spezifische Schnittkraft k c 


(rechnerisch) 

Hauptwert der spezifischen 

Schnittkraft k c1·1 und 

Spanungsdickenexponent z 

Schnittgeschwindigkeits- 

Korrekturfaktor Kv für 

� 

� � � �� 

�� 

Spanwinkel- 

Korrekturfaktor K � 

F c = a p fk c 


f Vorschub 


Richtwerte aus 11.1.5 

k 

k K K K K K K 

h 

c11 ⋅ 

c = 

z v γ ws wv ks f 

h Spanungsdicke nach 11.1.1 

z Spanungsdickenexponent 

K Korrekturfaktoren 

F c a p f k c 

N mm 

mm 

U 

N 

2 

mm 

k c, k c1·1 h z K 

N 

2 

mm 

mm 1 1 

k c1·1 ist die spezifische Schnittkraft für 1 mm 2 Spanungsquerschnitt 

(1 mm Spanungsdicke mal 1 mm Spanungsbreite) 

Richtwerte für k c1·1 in N/mm 2 und Spanungsdickenexponent z 

Werkstoff k c1·1 z 

S 2335 JR 

E295 

E335 

E360 

C15 

C35 

C45 

C60 

16 Mn Cr 5 

25 Cr Mo 4 

GE 240 

EN-GJL-200 

Messing 

Gussbronze 

v 0,153 

vc 

1780 

1990 

2110 

2260 

1820 

1860 

2220 

2130 

2100 

2070 

1600 

1020 

780 

1780 

0,17 

0,26 

0,17 

0,30 

0,22 

0,20 

0,14 

0,18 

0,26 

0,25 

0,17 

0,25 

0,18 

0,17 

2,023 

m 

K = für v c < 100 

min 

K 

1,380 

v = für 

0,07 c 

vc 

1 

K v = für c 

m 

v > 100 

min 

m 

v = 100 

min 

K � = 1,09 – 0,015 � 0° 

für langspanende Werkstoffe 

(z.B. Stahl) 

K � = 1,03 – 0,015 � 0° 

für kurzspanende Werkstoffe 

(z.B. Gusseisen) 

Tabellenwerte gelten für 

h = 0,05 ... 2,5 mm 

� s � 4

Schneidstoff- 

Korrekturfaktor K ws 

Werkzeugverschleiß- 

Korrekturfaktor K wv 

Kühlschmierungs- 

Korrekturfaktor K ks 

Werkstückform- 

Korrekturfaktor K f 

Vorschubkraft F f 

Aktivkraft F a 

Passivkraft F p 

Drangkraft F d 

Zerspankraft F 



K ws = 1,05 für Schnellarbeitsstahl 

K ws = 1 für Hartmetall 

K ws = 0,9 ... 0,95 für Schneidkeramik 

K wv = 1,3 ... 1,5 

für Drehen, Hobeln und Räumen 

K wv = 1,25 ... 1,4 

für Bohren und Fräsen 

K wv = 1 bei scharfer Schneide 

K ks = 1 für trockene Zerspanung 

K ks = 0,85 für nicht wassermischbare Kühlschmierstoffe 

K ks = 0,9 für Kühlschmier-Emulsionen 

K f = 1 für konvexe Bearbeitungsflächen 

(Beispiel: Außendrehen) 

K f =1,1 für ebene Bearbeitungsflächen 

(Beispiel: Hobeln, Räumen) 

K f = 1,2 für konkave Bearbeitungsflächen 

(Beispiel: Innendrehen, Bohren, Fräsen) 

Komponente der Zerspankraft F in Vorschubrichtung. 

Resultierende aus Schnittkraft F c und Vorschubkraft F f: 

2 2 

a = c + f 

F F F 

Komponente der Zerspankraft F rechtwinklig zur Arbeitsebene. 

Sie verformt während der Zerspanung das Werkstück in seiner Einspannung 

und verursacht dadurch Formfehler. 

Resultierende aus Vorschubkraft F f und Passivkraft F p: 

2 2 

Fd = Ff+ Fp 

Resultierende aus Schnittkraft F c, Vorschubkraft F f und Passivkraft F p: 

2 2 2 

F = Fc + Ff+ Fp 

337 

11

11 



11.1.5 Richtwerte für die spezifische Schnittkraft k c beim Drehen 

338 



c r 

2 κ 

Schnittgeschwindigkeit k in N/mm bei Vorschub fin 

mm/U und Einstellwinkel 

Werkstoff

11.1.6 Leistungsbedarf 

Leistungsflussbild einer 

Drehmaschine 

P c Schnittleistung 

P f Vorschubleistung 

P e Wirkleistung 

(Zerspanleistung) 

P m Motorleistung 

P el elektrische Motorleistung 

P vm Verlustleistung im 

Motor 

P vg Verlustleistung im 

Getriebe 

P v Verlustleistung im 

Antrieb 

Schnittleistung P c 

Vorschubleistung P f 

Motorleistung P m 

Zeitspanungsvolumen Q 



Pc Fc ap f kc vc Fv a 

c c pf kcvc P c = = 

6⋅104 6⋅104 kW N mm mm N m 

2 

U mm min 

F f v f P f 

Fv f f 

P f = 

4 mm 

6⋅10 N 

min W 

F c Schnittkraft (11.1.4) 

v c Schnittgeschwindigkeit (11.1.1) 

F f Vorschubkraft 

v f Vorschubgeschwindigkeit (11.1.1) 

Bei der Berechnung des Leistungsbedarfs ist die Vorschubleistung P f 

wegen der geringen Vorschubgeschwindigkeit v f vernachlässigbar. 

Pc 

Pm 

= 

ηg 

Pc �g Schnittleistung 

Getriebewirkungsgrad � g = 0,7 ...0,85 

P m, P c 

� g 

kW 1 

Abzuspanendes Werkstoffvolumen (Spanungsvolumen V) je Zeiteinheit 

Q = A⋅ v = a ⋅f ⋅v 

c p c 

4 

6⋅10 ⋅Pc 

Q = 

k 

c 



f Vorschub 




Q A a p f v c P c k c 

3 

cm 

min mm2 mm mm 

U 

m 

min 

N 

kW 

mm 

2 

339 

11

11 



340 

11.1.7 Standverhalten 

Standgleichung 

Richtwerte für 

Außendrehen 

Für spanende Fertigung durch Außendrehen gilt bei bestimmtem 

Werkstoff und Schneidstoff: 

κ 

vc T f ap � r K, y, p, q 

− y p q p q 

vcT f ap (sin r) 

≈ K m 

min 

min 

mm 

U 

mm ° 1 

vc Schnittgeschwindigkeit 

T Standzeit 

K Konstante 

f Vorschub 

y Standzeitexponent 

ap Schnitttiefe 

p Spanungsdickenexponent 

�r Einstellwinkel 

q Spanungsbreitenexponent 

Richtwerte nach H. Hennermann, Werkstattblatt 576, 

Carl Hanser Verlag 

Werkstoff Schneidstoff 

f 

mm/U 

K y p q 

S 235 JR P 10 0,1 ... 0,6 615 0,25 0,25 0,1 

S 275 JR 

C 15 M 20 0,1 ... 1,0 590 0,3 0,16 0,09 

E 295 P 10 0,1 ... 0,6 480 0,3 0,3 0,1 

C 35 M 30 0,1 ... 1,2 410 0,3 0,2 0,08 

E 335 P 10 0,1 ... 0,6 380 0,22 0,25 0,1 

C 45 M 30 0,1 ... 1,2 380 0,3 0,19 0,08 

E 360 P 10 0,1 ... 0,6 330 0,25 0,25 0,1 

C 60 M 30 0,1 ... 1,2 330 0,31 0,2 0,08 

16 Mn Cr 5 P 10 0,1 ... 0,6 300 0,3 0,25 0,1 

25 Cr Mo 4 P 30 0,3 ... 1,5 180 0,27 0,3 0,1 

GS 20 M 30 0,1 ... 1,2 400 0,3 0,2 0,1 

GE 240 P 10 0,1 ... 0,6 240 0,3 0,3 0,1 

EN-GJL-200 M 20 0,3 ... 0,6 245 0,5 0,18 0,11 

Messing K 20 0,1 ... 0,6 5000 0,59 0,18 0,1 

Gussbronze K 20 0,1 ... 0,6 1800 0,41 0,25 0,1 

Die Tabellenwerte beziehen sich auf eine zulässige Verschleißmarkenbreite 

VB zul = 0,8 mm und gelten für folgende Werkzeugwinkel: 

� 0 � 0 � s 

Stahl, Stahlguss 5° ... 8° 12° – 4° 

Gusseisen 5° ... 8° 0° ... 6° 0° 

Messing, Bronze 8° 8º ... 12° 0° 

Wird eine von VB = 0,8 mm abweichende maximal zulässige Verschleißmarkenbreite 

VB' (� 0,8 mm) vorgegeben, so wird für T die 

Größe T' in die Rechnung eingesetzt: 

0,8 

T, T' VB' 

T' = T 

VB' min mm

Berechnung der 

Standzeit T 

Berechnung der 

Standgeschwindigkeit v cT 

11.1.8 Hauptnutzungszeit 

Hauptnutzungszeit t h 

beim Runddrehen 

Hauptnutzungszeit t h beim 

Plandrehen, n konstant 

T ≈ 

v 

y 

≈ 



K 

p q p q 

c p (sin r) 

v f a κ − 

K 

cT y p q 

T f a p q 

p (sin κr) − 

L + + + 

t h = = 

v f n 

f 

lw la lü ls 

L Werkzeugweg in 

Vorschubrichtung 


(Längsvorschub) 

l w Drehlänge am 

Werkstück 

l a Anlaufweg, Richtwert: 

1... 2 mm 

l ü Überlaufweg, Richtwert: 

1 ... 2 mm 

l s Schneidenzugabe 

(werkzeugabhängig) 

ls 

t 

ap ap 

Schnitttiefe 

= 

tan κ κ Einstellwinkel 

r r 

+ + 

+ + + 

L w a s 

h = = 

vff n 

l l l L lw la lü ls 

t h = = 

vff n 

Stirnfläche des Werkstücks ist 

ein Vollkreis 

Stirnfläche des Werkstücks ist 

ein Kreisring 

L Werkzeugweg in Vorschubrichtung d Werkstückdurchmesser 

vf lw Vorschubgeschwindigkeit (Planvorschub) da − di 

Drehlänge am Werkstück 

lw = für Kreisringfläche 

2 

d 

lw = für Vollkreisfläche 

2 

da di Außendurchmesser 

Innendurchmesser 

341 

11

11 




Plandrehen, v c = konstant 

342 

l a Anlaufweg, Richtwert: 1 ... 2 mm 

l ü Überlaufweg, Richtwert: 1 ... 2 mm 

l s Schneidenzugabe (werkzeugabhängig) 

ap 


ls 

= 

tan κr κr 


Die Werkstückdrehzahl wird bei Stufengetrieben nach Berechnung 

der erforderlichen Drehzahl n erf aus der Drehzahlreihe der Maschine 

gewählt: 

vc 

naerf 

= 

da 

π 

vc 

nmerf 

= 

dm 

π 

bei kleinerem Drehdurchmesserbereich 

bei größerem Drehdurchmesserbereich 

Schnittgeschwindigkeit 

Außendurchmesser des Werkstücks 

vc da dm mittlerer Werkstückdurchmesser 

d 

m 

da + di 

= für Kreisringfläche 

2 

d 

d m = für Vollkreisfläche 

2 

Da der stufenlose Antrieb immer nur einen durch endliche Drehzahlwerte 

begrenzten Abtriebsdrehzahlbereich (n min ... n max) erzeugen 

kann, ist der mit v c = konstant überarbeitbare Durchmesserbereich 

ebenfalls begrenzt. Eine Plandrehbearbeitung mit v c = konstant ist 

daher nur möglich, wenn die Durchmesser der Bearbeitungsfläche 

(Drehdurchmesser D a und D i) innerhalb des Grenzdurchmesserbereichs 

d min ... d max liegen. 

Grenzdurchmesser: 

v v 

dmin = dmax 

= 

πn πn 

dmin dmax nmax nmin c c 

max min 

kleinstmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant 

größtmöglicher Drehdurchmesser für vc = konstant 

(größte Umlaufdurchmesser der Maschine beachten) 

größte Abtriebsdrehzahl des Antriebs 

kleinste Abtriebsdrehzahl des Antriebs

Plandrehen einer Kreisringfläche 

(bei D i � d min und D a � d max) 

Zerspanung von D a bis D i mit 

v c = konstant. 

t 

h 

2 2 

a − i 

( D D ) π 

= 

4fv 

Da Da = da + 2 (la + ls ) 

d a 

c 

größter Drehdurchmesser: 

Außendurchmesser des 

Werkstücks 

la Anlaufweg 

(Richtwert: 1 ... 2 mm) 

ls Schneidenzugabe 


a p a p Schnitttiefe 

ls 

= 

tan κr κr 


D i 

kleinster Drehdurchmesser: 

D i = d i – 2 l ü 

d i 

l ü 

Innendurchmesser des 

Werkstücks 

Überlaufweg 


Plandrehen einer Kreisringfläche 

(bei D i � d min und D a � d max) 

Zerspanung von D a bis d min 

mit v c = konstant und 

von d min bis D i mit 

n max = konstant. 

2 2 

( Da + dmin −2 

dminDi) π 

t h = 

4fvc 

dmin Grenzdurchmesser, kleinstmöglicher 

Drehdurchmesser 

für vc = konstant 

Plandrehen einer Vollkreisfläche 

(bei D i = 0 (� d min) und 

D a � d max) 

Zerspanung von D a 

bis d min mit v c = konstant 

und von d min bis D i = 0 mit 

n max = konstant. 

t 

h 

2 2 

a + min 

( D d ) π 

= 

4fv 

c 

d min Grenzdurchmesser, kleinstmöglicher 

Drehdurchmesser 

für v c = konstant 



343 

11

11 




beim Abstechdrehen 

Rohteilstange als Voll- 

material 

L lw t h = = 

vf la f n 

ls 

lw Drehlänge am Werkstück 

344 

+ + 

d 

lw = d Stangendurchmesser 

2 

la Anlaufweg (Richtwert: 1 mm) 

ls Schneidenzugabe: 

ls = 0,2 · b für � = 11° 

b Einstechbreite: 

b � 0,05 · d + 1,7 

(b und d in mm) 

Abstimmung auf marktgängige 

Werkzeugbreiten 

Rohteilstange als Rohr- 

material 

+ + + 

L lw th 

= = 

vf la lü f n 

ls 

lw Drehlänge am Werkstück 

d − d 

l = a i 

w 

2 

da Außendurchmesser 

di Innendurchmesser 

Anlaufweg (Richtwert: 1 mm) 

l a 

l ü 

l s 

Überlaufweg (Richtwert: 1 mm) 

Schneidenzugabe 

Berechnung von b: 

d = d a einsetzen 

Richtwerte für Vorschub f des Stechwerkzeugs 

Werkstoff Schneidstoff f in mm 

U 

Stahl unlegiert bis 200 HB P 40 0,05 ... 0,25 

bis 250 HB P 40 0,05 ... 0,2 

Stahl legiert bis 325 HB P 40 0,05 ... 0,2 

über 325 HB P 40 0,05 ... 0,16 

Gusseisen bis 300 HB K 10 0,1 ... 0,3 

Messing unbegrenzt K 10 0,05 ... 0,4 

Bronze unbegrenzt K 10 0,05 ... 0,25

11.2 Fräsen 

11.2.1 Schnittgrößen und 

Spanungsgrößen 

Schnittgrößen und Spanungsgrößen 

beim Fräsen 

(Umfangsfräsen im Gegenlaufverfahren) 

a p Schnitttiefe oder Schnittbreite 

a e Arbeitseingriff 

f Vorschub 

fz Vorschub pro Schneide 

Schnittvorschub 

f c 

Schnitttiefe oder 

Schnittbreite a p 

Arbeitseingriff a e 

Vorschub f 


Fräsen 

Richtwerte für Schnittgeschwindigkeit v c beim Abstechdrehen 

Werkstoff Schneidstoff v c in m 

min 

Stahl unlegiert bis 200 HB P 40 75 ... 110 

bis 250 HB P 40 70 ... 90 

Stahl legiert bis 250 HB P 40 70 ... 90 

bis 325 HB P 40 55 ... 80 

über 325 HB P 40 45 ... 60 

Gusseisen bis 200 HB K 10 70 ... 95 

bis 300 HB K 10 45 ... 65 

Messing unbegrenzt K 10 bis 250 

Bronze unbegrenzt K 10 bis 130 

Tiefe (Stirnfräsen) oder Breite (Umfangsfräsen) des Eingriffs der 

Hauptschneide am Fräserumfang, gemessen rechtwinklig zur Arbeitsebene 

Breite (Stirnfräsen) oder Tiefe (Umfangsfräsen) des Eingriffs der 

Hauptschneide an der Fräserstirn, gemessen in der Arbeitsebene und 

rechtwinklig zur Vorschubrichtung. 

Weg, den das Werkstück während einer Umdrehung (U) in Vorschubrichtung 

zurücklegt: 

f = zfz z Anzahl der Werkzeugschneiden am Fräswerkzeug 

fz Vorschub je Schneide 

f 

mm 

U 

fz z 

mm 1 

Richtwerte für z für Fräswerkzeuge aus Schnellarbeitsstahl 

Werkzeug 

50 60 

Fräserdurchmesser in mm 

75 90 110 130 150 200 300 

Walzenfräser 6 6 6 8 8 10 10 

Walzenstirnfräser 8 8 10 12 12 14 16 

Scheibenfräser 8 8 10 12 12 14 16 18 

Messerkopf 8 10 10 12 16 

345 

11

11 


Fräsen 

346 

Vorschub f z je Schneide 

Schnittvorschub f c 



Vorschub je Fräserzahn (Zahnvorschub) 

f 

fz 

= 

z 

Richtwerte für Zahnvorschub f z 

Werkzeug 

Walzenfräser, 

Walzenstirnfräser 

(Schnellarbeitsstahl) 

Formfräser, hinterdreht 


Messerkopf 


Messerkopf 

(Hartmetall) 

f z 

v c 

f z 

v c 

fz vc fz vc f Vorschub des Werkzeugs in mm/U 

z Anzahl der Werkzeugschneiden 

Werkstoff 

Stahl Gusseisen AI-Legierung 

ausgehärtet 

0,10 ... 0,25 

10 ... 25 

0,03 ... 0,04 

15 ... 24 

0,3 

15 ... 30 

0,2 

100 ... 200 

0,10 ... 0,25 

10 ... 22 

0,02 ... 0,01 

10 ... 20 

0,10 ... 0,30 

12 ... 25 

0,30 ... 0,40 

30 ... 100 

0,05 ... 0,08 

150 ... 350 

0,02 

150 ... 250 

0,1 

200 ... 300 

0,06 

300 ... 400 

fz Vorschub je Schneide (Zahnvorschub) in mm/Schneidzahn 

vc Schnittgeschwindigkeit in m/min für Gegenlaufverfahren 

Für das Gleichlaufverfahren können die angegebenen Richtwerte um 

75 % erhöht werden. 

Größere Richtwerte für v c gelten jeweils für Schlichtzerspanung. 

Kleinere Richtwerte für v c gelten jeweils für Schruppzerspanung. 

Richtwerte gelten für Arbeitseingriffe a e (Umfangsfräsen) oder Schnitttiefen 

a p (Stirnfräsen): 

3 mm bei Walzenfräsern 

5 mm bei Walzenstirnfräsern 

bis 8 mm bei Messerköpfen 

Abstand zweier unmittelbar nacheinander entstehender Schnittflächen, 

gemessen in der Arbeitsebene rechtwinklig zur Schnittrichtung: 

f c � f z sin � 

f z Vorschub je Schneide 

� Vorschubrichtungswinkel (veränderlich) 

genauer: 

2 

z cos 

f 

fc = fzsinϕ 

+ 

d 

ϕ 

d Fräserdurchmesser 

Umfangsfräsen: b= ap 

Stirnfräsen: 

A = bh = 

fcap ap 

b = 

sin κr


(nicht gleich bleibend) 

Spanungsverhältnis � s 

11.2.2 Geschwindigkeiten 

Umfangsfräsen 

(Seitenansicht) 

Stirnfräsen (Draufsicht) 





� Vorschubrichtungswinkel 


(Richtwerte in 11.2.1) 

Umfangsfräsen: h = f c 

Stirnfräsen: h = f c sin � r 

Mittenspanungsdicke siehe 11.2.4 


(Seitenansicht) 

b 

a 

p 

s = = 

h f 2 

csin κr 

ε 

d n 

v c = 

1000 

π 

Stirnfräsen 

(Draufsicht) 


Fräsen 

v c d n 

m 

min 

mm min –1 

347 

11

11 


Fräsen 

erforderliche 

Werkzeugdrehzahl n erf 

348 

Vorschubgeschwindigkeit v f 



n erf v c d 

1000vc 

nerf 

= 


min mm 

vc empfohlene Schnittgeschwindigkeit 

d Werkzeugdurchmesser (Fräserdurchmesser) 

Momentangeschwindigkeit des Werkstücks in Vorschubrichtung: 

vf f n fz z 

vf = f n = fzzn mm 

min 

mm 

U 

min –1 mm 1 

f Vorschub in mm/U 



(Zahnvorschub) 

n Werkzeugdrehzahl (Fräserdrehzahl) 

Momentangeschwindigkeit des betrachteten Schneidenpunkts in 

Wirkrichtung. 

Die Wirkgeschwindigkeit ist die Resultierende aus Schnittgeschwindigkeit 

v c und Vorschubgeschwindigkeit v f: 

v ϕ v + v ϕ 

v v v v v 

ϕ−η ϕ−η csin f ccos 

e = = f ≤ c ⇒ e ≈ c 

sin( ) cos( ) 

Werkzeugwinkel am Messerkopf � o Orthogonalfreiwinkel 

� o Orthogonalkeilwinkel 

� o Orthogonalspanwinkel 

� � o � � o � � o = 90° 


� r Eckenwinkel 


Werkzeugwinkel am drallverzahnten 

zylindrischen Walzenfräser


(siehe auch 11.1.3) 


(siehe 11.1.3) 









Richtwertel: 

Walzenfräser � o = 5° ... 8° 


Messerkopf � o = 3° ...8° 

(Hartmetall) 


Fräsen 

Richtwerte gelten für Gegenlaufverfahren 

(für Gleichlaufverfahren gelten etwa doppelt so große Richtwerte). 

Richtwerte: 

Walzenfräser � o = 10° ... 15° 


Formfräser, hinterdreht � o = 0° ... 5° 


Messerkopf � o = 6° ... 15° 

(Hartmetall) 

Richtwerte gelten für Gegenlaufverfahren 

(für Gleichlaufverfahren gelten etwa doppelt so große Richtwerte). 

Bei zylindrischen Walzenfräsern ist � r = 90° 

Richtwert für normale Messerköpfe � r = 60° 

Weitwinkelfräsen bei günstigstem Standverhalten des 

Messerkopfs nach M. Kronenberg mit � r � 20° 

Bei zylindrischen Walzenfräsern ist � r = 90º 

Richtwerte für Werkzeuge aus Schnellarbeitsstahl: 

drallverzahnte Walzenfräser � s = 35° ... 40° 

geradverzahnte Walzenfräser � s = 0° 

Scheibenfräser � s = 45° 

Messerkopf � s = 7° ... 9° 

Der Neigungswinkel ist bei drallverzahnten Fräsern der Drallwinkel. 

� s negativ: Fräser hat Linksdrall 

� s positiv: Fräser hat Rechtsdrall 

349 

11

11 


Fräsen 

350 


Zerspankräfte beim Umfangsfräsen mit drallverzahntem 

Walzenfräser im Gegenlaufverfahren 

(Kräfte bezogen auf das Werkzeug) 

Schnittkraft F czm 

beim Umfangsfräsen 

(Mittelwert) 

F czm = a p h m k c 

F czm a p, h m k c 

N 

N mm 2 

mm 

a p Schnittbreite 

h m Mittenspanungsdicke: 

o 

360 ae 

m = ⋅ 

o z 

h f 

π∆ϕ 

d 

Zerspankräfte beim Stirnfräsen mit 

Messerkopf 

(Kräfte bezogen auf das Werkzeug) 

Fcz Schnittkraft an der Einzelschneide 

(leistungsführend) 

Ffz Vorschubkraft an der Einzelschneide 


Faz Aktivkraft an der Einzelschneide 

FcNz Schnitt-Normalkraft an der Einzelschneide 

FfNz Vorschub-Normalkraft an der Einzelschneide 

Fpz Passivkraft an der Einzelschneide 

Zerspankraft an der Einzelschneide 

F z 

�� Eingriffswinkel: 

2ae 

cos �� = 1− 

d 

ae Arbeitseingriff 




kc spezifische Schnittkraft 

M Drehmoment der Schnittkräfte an allen 

gleichzeitig im Schnitt stehenden 

Werkzeugschneiden



beim Stirnfräsen 

(Mittelwert) 

Vorschubkraft F fz 

Aktivkraft F az 

Vorschub-Normalkraft F fNz 

Passivkraft F pz 

Zerspankraft F z 

k 

k K K K K K K 

c11 ⋅ 

c = 

z v γ ws wv ks f 

h m 

k c1·1 Hauptwert der spezifischen 

Schnittkraft (1.5 Nr. 4) 

z Spanungsdickenexponent (11.1.4) 

K Korrekturfaktoren (11.1.4) 

F czm = a p h m k c 


h m Mittenspanungsdicke: 

360 a 

h f 

π∆ϕ 

d 

o 

m = ⋅ 

o 

e 

zsin κr 

� �� Eingriffswinkel 

für außermittiges Stirnfräsen: 

�� = � 2 – � 1 

2ü1 

cos ϕ 1 = 1− 

d 

2ü2 

cos ϕ 2 = 1− 

d 

für mittiges Stirnfräsen: 

∆ϕ 

ae 

sin = 

2 d 

ü Fräserüberstand 





� �r Einstellwinkel 

kc spezifische Schnittkraft 

wenn � > 90°, 

cos � negativ 

ansetzen 


Fräsen 

k c, k c1·1 h z K 

N 

2 

mm 

Komponente der Aktivkraft F az in Vorschubrichtung 

Komponente der Zerspankraft F z in der Arbeitsebene: 

2 2 

Faz = Ffz + FfNz 

mm 1 1 

Komponente der Aktivkraft F az in der Arbeitsebene, rechtwinklig zur 

Vorschubrichtung: 

2 2 

fNz az fz 

F = F −F 

Komponente der Zerspankraft F z rechtwinklig zur Arbeitsebene: 

2 2 

pz = z − az 

F F F 

Gesamtkraft, die während der Zerspanung auf die Einzelschneide 

einwirkt. 

351 

11

11 


Fräsen 

352 







l w Werkstücklänge in Fräsrichtung 

l a Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) 

l ü Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) 


l f Fräserzugabe: 

lf = ae( d − ae) 



(Richtwert: d � 4 ae ) 

F z v 

P = 

6⋅10 czm e c 

c 4 

P c F czm z e v c 

kW N 1 

m 

min 

Fczm Schnittkraft (Mittelwert) nach 11.2.4 

Anzahl der gleichzeitig im Schnitt stehenden Werkzeugschneiden: 

z e 

o 

ϕ z 

ze 

= 

o 

360 

∆ 

�� Eingriffswinkel; z Anzahl der Werkzeugschneiden 

Schnittgeschwindigkeit nach 11.2.2 

v c 

Pc 

Pm 

= 

ηg 


� � g = 0,6 ... 0,8 

Umfangsfräsen (Schruppen und Schlichten) 

Umfangsstirnfräsen (Schruppen) 

t 

h 

L + + + 

= = 

v v 

lwla lü lf 

f f 

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück 

Umfangsstirnfräsen (Schlichten) 

t 

h 

L + + + 

= = 

v v 

lwla lü 2lf 

f f 

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück


beim außermittigen 

Stirnfräsen x � 0 


Werkzeugbewegung 

relativ zum Werkstück 

Stirnfräsen (Schruppen) 

für 0 � x � e a d 

und � ae gilt: 

2 2 

L lw + la+ l ü +lfa −lfü 

t h = = 

vf vf 


Werkzeugbewegung 

relativ 

zum Werkstück 

Stirnfräsen (Schlichten) 

für 0 � x � e a d 

und � ae gilt: 

2 2 

L lw + la+ l ü +lfa+ lfü 

t h = = 

vf vf 

l fa 

Fräserzugabe (Anlaufseite): 

d 

fa = 

2 

l 


l fü 

Fräserzugabe (Überlaufseite): 


Fräsen 

l w Werkstücklänge in Fräsrichtung 

l a Anlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) 

l ü Überlaufweg (Richtwert: 1 ... 2 mm) 


2 

2 

d ⎛ae⎞ l fü = − ⎜ + x⎟ 

für Schruppen 

4 ⎝ 2 ⎠ 

fü = d 

l für Schlichten 

2 



x Mittenversatz des Fräsers 

353 

11

11 


Fräsen 


beim mittigen Stirnfräsen 

x = 0 

l w Werkstücklänge in 

Fräsrichtung 

l a Anlaufweg 


l ü Überlaufweg 


l fa Fräserzugabe (Anlaufseite): 

d 

lfa 

= 

2 

lfü Fräserzugabe (Überlaufseite): 

354 

1 

2 l 

für Schruppen 

d 

lfü 

= 

2 

für Schlichten 

2 2 

fü = d −ae 




Stirnfräsen (Schruppen) 

für d � a e gilt: 

L lw + la+ lü+ lfa −lfü 

t h = = 

vf vf 

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück 

Stirnfräsen (Schlichten) 

für d � a e gilt: 

L lw + la+ lü+ lfa+ lfü 

t h = = 

vf vf 

Darstellung der Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück

11.3 Bohren 

11.3.1 Schnittgrößen und 

Spanungsgrößen 

Schnittgrößen und 

Spanungsgrößen beim 

Bohren 

d Bohrerdurchmesser 

(Nenndurchmesser) 

d i Durchmesser der Vorbohrung 

(beim Aufbohren) 


z Anzahl der Schneiden 

(Spiralbohrer z = 2) 


b Spanungsbreite 




� Spitzenwinkel 

Schnitttiefe a p 

(Schnittbreite) 

Vorschub f 

Vorschub f z je Schneide 


Bohren 

Tiefe oder Breite des Eingriffs rechtwinklig zur Arbeitsebene 

d 

a p = beim Bohren ins Volle 

2 

Weg, den das Werkzeug während 

einer Umdrehung (U) in Vorschubrichtung 

zurücklegt. 

Richtwerte nach 11.3.3 

f 

fz 

= 

z 

f Vorschub 


Für zweischneidige Spiralbohrer ist 

f 

f z = 

2 

a 

d − d 

i 

p = beim Aufbohren 

2 

355 

11

11 


Bohren 

356 








Geschwindigkeiten beim 

Bohren relativ zum 

Werkstück 





� Vorschubrichtungswinkel 

(beim Bohren 90°) 


v c (Richtwerte in 11.3.3) 

Umrechnung der Schnittgeschwindigkeit 

v c L2000 

(Bohrarbeitskennziffer) 

b 

d 

= ⎪ 

2sinκr 

⎪⎪⎪⎪⎬ 

f sin κr 

h= = fzsin 

κr 

Bohren ins Volle 

2 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

df dfz 

A = = 

⎪ 

4 2 ⎪ 

⎭ 

⎫ 

d − di 

⎫ 

b = ⎪ 

2sinκr 

⎪⎪⎪⎪ 

κ 

f sin r 

h= fzsin 

κr 

2 

⎪ 

⎬⎪⎪ Aufbohren 

d − di 

A= f 

4 

d − di 

A= fz 

2 

d n 

v c = 

1000 

π 


n Werkzeugdrehzahl 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎪ 

⎭ 

v c d n 

m 

min 

mm min–1 

Schnittgeschwindigkeitsempfehlungen beziehen sich beim Bohren 

meist auf eine Standlänge (L, gesamter Standweg des Bohrers in Vorschubrichtung), 

die unter den in der Richtwerttabelle genannten Spanungsbedingungen 

erreicht wird. Dabei verwendet man als Bezugsgröße 

häufig eine Gesamtbohrtiefe von 2000 mm. Die auf diese 

Standlänge bezogene Schnittgeschwindigkeit ist die Bohrarbeitskennziffer 

v c L2000.

Standzeit T 

erforderliche 

Werkzeugdrehzahl n erf 

Vorschub- 

geschwindigkeit v f 



Bohren 

Umrechnung der Richtwerte (vc L2000) auf abweichende Standlängen 

bei sonst unveränderten Spanungsbedingungen: 

z 

⎛2000⎞ vc= vcL2000⎜ 

⎟ 

⎝ L ⎠ 

v c L2000 Schnittgeschwindigkeit 

für L = 2000 mm 

(Bohrarbeitskennziffer) 

L vorgegebene Standlänge 

in mm 

z Standlängenexponent 

Richtwerte für Spiralbohrer aus 

Schnellarbeitsstahl nach 

M. Kronenberg 

Werkstoff z 

E 295 

E 360 

0,114 

0,06 

Die Verknüpfung von Schnittgeschwindigkeit und vorgegebenem 

Standweg ist beim Bohren verfahrensbedingt unsicher. Genauere 

Zuordnung von Standwegen und Standgeschwindigkeiten erfordern 

eine spezielle Untersuchung des vorliegenden Einzelfalls. 

Berechnung der Standzeit T aus der Standlänge L 

π 

Ld 

T = 

fvc 


f Vorschub 


(Standgeschwindigkeit für Standlänge L ) 

nerf vc d 

1000vc 

nerf 

= 


min mm 

v c empfohlene Schnittgeschwindigkeit nach 4.3 oder umgerechnet 


Bei der Festlegung der Werkzeugdrehzahl sind die einstellbaren 

Maschinendrehzahlen (Drehzahlen an der Bohrspindel) zu beachten. 

Bohrmaschinen mit gestuftem Hauptgetriebe erzeugen Normdrehzahlen 

nach DIN 804 (11.1.1). 

v f = f n 

v f = zf z n 

f Vorschub 




v f f f z z n 

mm 

min 

mm 

U 

mm 1 min –1 

Momentangeschwindigkeit des betrachteten äußeren Schneidenpunkts 

(Bezugspunkt) der Hauptschneide in Wirkrichtung: 

2 2 

ve = vc + vfbei 

� = 90° 

vc vf 

ve 

= = 

cos sin 

η η 

vf ≤vc ⇒ve ≈vc 

357 

11

11 


Bohren 

358 

11.3.3 Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit v c und den Vorschub f beim Bohren 

Werkstoff 

S 235 JR, C22 

S 275 JQ 

Zugfestigkeit 

R m in 

N/mm 2 

bis 500 

E 295, C 35 500 … 600 

E335, C45 600 … 700 

E 360, C 60 700 … 850 

Mn-, Cr Ni-Cr 

Mo- und 

andere 

legierte 

700 … 850 

850 … 1 

000 

Stähle 1 000 … 1 

400 

EN-GJL-150 150 … 250 

EN-GJL-250 250 … 350 

Temperguss 

Cu Sn Zn-Leg. 

Cu Sn-Guss-Leg. 

Cu Zn-Guss-Leg. 

Al-Guss-Leg. 

SS Schnellarbeitsstahl 

P 30, K 10, K 20 Hartmetalle 

Schneidwerkzeug 

S S 

P 30 

S S 

P 30 

S S 

P 30 

S S 

P 30 

S S 

P 30 

S S 

P 30 

S S 

P 30 

S S 

K 20 

S S 

K 10 

S S 

K 10 

S S 

K 20 

S S 

K20 

S S 

K20 


Vorschub f in mm/U bei 

Bohrerdurchmesser 

v c in m/min bis 4 � 4…10 � 10…25 � 25…63 

35 … 30 

80… 75 

30 … 25 

75 … 70 

25 … 20 

70 … 65 

20 … 15 

65 … 60 

18 … 14 

40 … 30 

14 … 12 

30 … 25 

12 … 8 

25 … 20 

35 … 25 

90 … 70 

25 … 20 

40 … 30 

25 … 18 

60 … 40 

75 … 50 

85 …60 

60 … 40 

100 … 75 

200 … 150 

300 … 250 

0,18 

0,1 

0,16 

0,08 

0,12 

0,06 

0,11 

0,05 

0,1 

0,025 

0,09 

0,02 

0,06 

0,016 

0,16 

0,05 

0,12 

0,04 

0,1 

0,03 

0,12 

0,06 

0,1 

0,06 

0,16 

0,06 

Die Richtwerte sind von der Firma Gebr. Boehringer in Göppingen aus 

„Betriebstechnisches Praktikum“ von Thiele-Staelin abgeleitet worden. 

0,28 

0,12 

0,25 

0,1 

0,2 

0,08 

0,18 

0,06 

0,16 

0,03 

0,14 

0,025 

0,1 

0,02 

0,25 

0,08 

0,2 

0,06 

0,16 

0,05 

0,18 

0,08 

0,14 

0,08 

0,25 

0,08 

0,36 

0,16 

0,32 

0,12 

0,25 

0,1 

0,22 

0,08 

0,02 

0,04 

0,18 

0,03 

0,16 

0,025 

0,4 

0,12 

0,3 

0,1 

0,25 

0,08 

0,25 

0,1 

0,2 

0,1 

0,3 

0,1 

0,45 

0,2 

0,40 

0,16 

0,32 

0,12 

0,28 

0,01 

0,25 

0,05 

0,22 

0,04 

0,2 

0,03 

0,5 

0,16 

0,4 

0,12 

0,4 

0,12 

0,36 

0,12 

0,28 

0,12 

0,4 

0,12

11.3.4 Richtwerte für spezifische Schnittkraft beim Bohren 



c r 

2 κ 

Schnittgeschwindikeit k in N/mm bei Vorschub fin 

mm/U und Einstellwinkel 

Werkstoff 


Bohren 

359 

11

11 


Bohren 

360 


Werkzeugwinkel 

am Bohrwerkzeug 

(Spiralbohrer) 

�o Orthogonalfreiwinkel 

�o Orthogonalkeilwinkel 

�o Orthogonalspanwinkel 

�f Seitenfreiwinkel 

�f Seitenkeilwinkel 

�f Seitenspanwinkel 



�s Neigungswinkel 

�r Eckenwinkel 

�r Querschneidenwinkel 

k Dicke des Bohrerkerns 

(an der Bohrerspitze) 







Seitenfreiwinkel � f, 

gemessen in der 

Arbeitsebene 

Der Winkel nimmt bei Kegelmantelschliff vom Außendurchmesser 

zum Bohrerkern hin zu. 

Bohren von Stahl: � o = 8° (außen) bis 30° (innen) 

Der Winkel ist über die ganze Länge der Hauptschneide praktisch 

konstant. 

Der Winkel nimmt durch die Form der Spannute vom Außendurchmesser 

zum Bohrerkern hin bis zu negativen Werten (im Bereich der 

Querschneide bis – 60°) ab. 

tan γ f + cos κr⋅tan λs 

γ o = arctan 

sin κ 

α = κ ⋅ α − κ ⋅ λ 

r 

� f Seitenspanwinkel 



f arccot(sin r cot o cos r tan s) 

�f Einstellwinkel 

� o Orthogonalfreiwinkel 


Richtwerte für Werkzeug-Anwendungsgruppen N, H, W 

Werkstoff Gruppe � f 

Stahl, Stahlguss, Gusseisen 

Messing, Bronze 

Al-Legierung 

N 

H 

W 

6° ... 15° 

8° ... 18° 

8° ... 18°

Seitenkeilwinkel � f, 


Arbeitsebene 

Seitenspanwinkel � f, 


Arbeitsebene 



Spitzenwinkel �� 




Querschneidenwinkel � 


Bohren 

� f = 90° – � f – � f �f Seitenfreiwinkel 

�f Seitenspanwinkel 

Der Seitenspanwinkel ist der Neigungswinkel der Nebenschneide 

(Komplementwinkel des äußeren Steigungswinkels) und damit der 

Drallwinkel des Spiralbohrers. 

f arctan 

n 

d π 

γ = 

h 

Richtwerte 

d Bohrerdurchmesser (Schneidendurchmesser an 

der Bohrerspitze) 

h n Steigung der Nebenschneide 

Werkstoff Gruppe � f 

Stahl, Stahlguss, Gusseisen N 16° ... 30° 

Messing, Bronze H 10° ... 13° 

Al-Legierung W 35° ... 40° 

Anwendungsgruppe 

N für normale Werkstoffe 

H für harte und spröde Werkstoffe 

W für weiche und zähe Werkstoffe 

σ 

κ r = � Spitzenwinkel 

2 

Hüllkegelwinkel der beiden Hauptschneiden des Spiralbohrers: 

� 

� = 2 � r � r Einstellwinkel 

Richtwerte 

Werkstoff Gruppe � 

Stahl, Stahlguss, Gusseisen N 118° 

Messing, Bronze H 118° ... 140° 

Al-Legierung W 140° 

Der Neigungswinkel ergibt sich aus der Kerndicke des Spiralbohrers 

an der Bohrerspitze. 

k sin 

tan λ s = 

d 

κ 

o 

o 360 − σ 

εr = 180 − κr 

= 

2 

r 

k Kerndicke des Spiralbohrers an der Bohrerspitze 

Mindestwert k min = 0,197 · d 0,839 



(Schneidendurchmesser an der Bohrerspitze) 



Winkel zur Bestimmung der Lage der Querschneide zur Hauptschneide. 

Der Querschneidenwinkel ist von der Art des Hinterschliffs der Freifläche 

abhängig und beträgt im Normalfall (bei � f = 6° außen) � = 55°. 

361 

11

11 


Bohren 

362 


Zerspankräfte beim 

Bohren bezogen auf das 

Werkzeug 

F cz Schnittkraft an der Einzelschneide 


F fz Vorschubkraft an der Einzelschneide 


F pz Passivkraft an der Einzelschneide 

F z Zerspankraft an der Einzelschneide 

M Schnittmoment 

Schnittkraft F cz 

je Einzelschneide 


Vorschubkraft F f 

df 

Fcz = kcS 4 

d − di 

Fcz = f kcS 4 

beim Bohren 

ins Volle 

beim Aufbohren 


d i Durchmesser der Vorbohrung (beim Aufbohren) 

f Vorschub 


S Verfahrensfaktor 

S = 1 für Bohren ins Volle 

S = 0,95 für Aufbohren 

F cz d, d i, f k c S 

N 

N mm 2 

mm 

Ermittlung entweder als Richtwert nach 11.3.4 oder rechnerisch: 

kc11 

⋅ 

kc = K 

z wsKwv h 

k c1·1 Hauptwert der spezifischen Schnittkraft (11.1.4) 


z Spanungsdickenexponent (11.1.4) 

K Korrekturfaktoren (11.1.4) 

1 

k c, k c1·1 h z K 

N 

mm 

2 

mm 1 1 

Die Vorschubkraft wird besonders durch die Länge der Querschneide 

an der Bohrerspitze beeinflusst und beansprucht das Bohrwerkzeug 

auch auf Knickung (Ausspitzung der Querschneide). 

Die bisher bekannten Berechnungsverfahren für F f ergeben keine 

ausreichende Übereinstimmung. Daher wird hier auf die Ermittlung 

der Vorschubkraft verzichtet.

Schnittmoment M 



Vorschubleistung P f 



Bohren 

Drehmoment des aus beiden Schnittkräften F cz nach 11.3.6 gebildeten 

Kräftepaars. 

Bohren ins Volle Aufbohren 

d 

M = Fcz 

2 

d+ di 

M = Fcz 

2 

2 π Mn Mn 

P c = = 

4 6⋅10 9550 

M Schnittmoment 


Fcz vc 

P c = 

4 6⋅10 Bohren ins Volle 

M F cz d, d i 

Nm N m 

P c M n 

kW Nm min –1 

⎛ d ⎞ 

Pc Fcz vc d, d 

i 

i 

Fcz vc⎜1+ 

⎟ 

⎝ d ⎠ 

P c = 

Aufbohren 

4 

kW N 

6⋅10 m 

min mm 

Fcz Schnittkraft an der Einzelschneide 

vc Schnittgeschwindigkeit (außen) 


d i Durchmesser der Vorbohrung (beim Aufbohren) 

Bei der Berechnung des Bedarfs an Wirkleistung ist die Vorschubleistung 

wegen der geringen Vorschubgeschwindigkeit vernachlässigbar. 

Pc 

Pm 

= 

ηg 

� 


� g = 0,75 ... 0,9 

363 

11

11 


Bohren 

364 



beim Bohren ins Volle 


beim Aufbohren 

L lw + la+ lü+ ls 

t h = = 

vff n 

Durchgangsbohrung Grundbohrung 

l w Länge des zylindrischen 

Bohrungsteils 

l a Anlaufweg (Richtwert: 1 mm) 


Richtwerte: l ü = 2 mm 

bei Durchgangsbohrungen 

l ü = 0 bei Grundbohrungen 

L lw + la+ lü+ ls 

t h = = 

vff n 



d d 

ls 

= = 

2tanκ 

σ 

r 2tan 

2 

�r Einstellwinkel � Spitzenwinkel 

ls � 0,3 d für Werkzeug-Anwendungsgruppe 

N mit � = 118° ...120° 

f Vorschub n Werkzeugdrehzahl 

Durchgangsbohrung Grundbohrung 

l w Länge des zylindrischen 

Bohrungsteils 

l a Anlaufweg (Richtwert: 1 mm) 


Richtwerte: l ü = 2 mm 

bei Durchgangsbohrungen 

l ü = 0 bei Grundbohrungen 



d −di d −di 

ls 

= = 

2tanκ 

σ 

r 2tan 

2 

�r Einstellwinkel � Spitzenwinkel 

ls � 0,3 (d – di) für Werkzeug-Anwendungsgruppe 

N mit � = 118° ...120° 

f Vorschub n Werkzeugdrehzahl

11.4 Schleifen 

11.4.1 Schnittgrößen 

Schnittgrößen beim 

Umfangsschleifen als 

Längsschleifen 

Beim Umfangsschleifen als 

Einstechschleifen wird der 

Axialvorschub durch den 

Radialvorschub ersetzt. 


fa Axialvorschub 

fz Vorschub je Einzelkorn 

(Rundvorschub) 

dw Werkstückdurchmesser 

B Schleifscheibenbreite 

Arbeitseingriff a e 

Axialvorschub f a 

(Seitenvorschub) 


Schleifen 

Beim Umfangslängsschleifen die Tiefe des Eingriffs des Werkzeugs, 

gemessen in der Arbeitsebene rechtwinklig zum Rundvorschub. Der 

Arbeitseingriff wird durch Werkzeugzustellung direkt eingestellt. 

Richtwerte für a e in mm: 

Stahl 

Gusseisen 

Schruppen Schlichten 

0,003 ... 0,04 

0,006 ... 0,04 

0,002 ... 0,013 

0,004 ... 0,020 

Ausfeuern ohne Zustellung (a e = 0) verbessert Genauigkeit und Oberflächengüte. 

Beim Umfangslängsschleifen der Weg, den das Werkzeug während 

einer Umdrehung des Werkstücks in Vorschubrichtung zurücklegt: 

Richtwerte: Schruppschleifen f a = 0,60 ... 0,75 · B 

Schlichtschleifen f a = 0,25 ... 0,50 · B 

365 

11

11 


Schleifen 

Vorschub f z je Einzelkorn 

(Rundvorschub) 

effektiver 

Kornabstand � ke 

Geschwindigkeitsverhältnis 

q 

366 

Radialvorschub f r 

Beim Umfangsschleifen der Weg, den ein Punkt auf dem Werkstückumfang 

während des Eingriffs eines Einzelkorns durch den Rundvorschub 

zurücklegt: 

fz 

λ 

fz �ke q 

q mm mm 1 

= ke 

� ke effektiver Kornabstand 

q Geschwindigkeitsverhältnis 

statistischer Mittelwert (nach J. Peklenik) 

� ke � c – 0,928 a e 

�ke ae mm� �m 


c Konstante, berücksichtigt die Körnung 

des Schleifwerkzeugs: 

vc 

q = 

vw 


vw Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks 

Richtwerte für q 

Außenrundschleifen 

Innenrundschleifen 

Flachschleifen 

Körnung c 

60 

80 

100 

120 

150 

Stahl Gusseisen Al-Legierung 

125 

80 

80 

100 

63 

63 

50 

32 

32 

41,5 

49,5 

57,5 

62,8 

66,5 

Beim Umfangseinstechschleifen der Weg, den das Werkzeug während 

einer Umdrehung des Werkstücks in Vorschubrichtung zurücklegt: 

Richtwerte für f r in mm 

U 

Stahl 

Gusseinen 

Schruppen Schlichten 

0,002 ... 0,024 

0,006 ... 0,030 

0,0004 ... 0,0050 

0,0012 ... 0,0060


n s Drehzahl der Schleifscheibe 

v s Umfangsgeschwindigkeit der 

Schleifscheibe 

n w Drehzahl des Werkstücks 

v w Umfangsgeschwindigkeit des 

Werkstücks 


v fa Axialvorschubgeschwindigkeit 

(beim Längsschleifen) 

v fr Radialvorschubgeschwindigkeit 

(beim Einstechschleifen) 

Umfangsgeschwindigkeit v s 

der Schleifscheibe 

Umfangsgeschwindigkeit v w 

des Werkstücks 

dπns v s = 

4 6⋅10 Umfangsschleifen 

als Längsschleifen 

d Durchmesser der Schleifscheibe 

n s Drehzahl der Schleifscheibe 


Schleifen 

Umfangsschleifen 

als Einstechschleifen 

v s d n s 

m 

s 

mm min –1 

Da n s � n w, ist die Umfangsgeschwindigkeit der Schleifscheibe praktisch 

die Schnittgeschwindigkeit (siehe 11.4.1) beim Schleifen. 

d π n 

v w = 

1000 

dw nw w w 

v w d w n w 

m 

min 

Durchmesser des Werkstücks 

Drehzahl des Werkstücks (Rundvorschubbewegung) 

Richtwerte für v w in m 

min 


(Schruppen) 


(Schlichten) 


Stahl 

unlegiert 

12 ... 18 

8 ... 12 

18 ... 24 

Stahl 

legiert 

15 ... 18 

10... 14 

20 ... 25 

mm min–1 

Gusseisen Al-Legierung 

12 ... 15 

9 ... 12 

21 ... 24 

30 ...40 

24 ... 30 

30 ...40 

367 

11

11 


Schleifen 

368 


Axialvorschubgeschwindigkeit 

v fa 

Radialvorschubgeschwindigkeit 

v fr 


vc = vs + vw vc = vs – vw vs vw beim Gegenlaufschleifen 

beim Gleichlaufschleifen 

Umfangsgeschwindigkeit der Schleifscheibe 

Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks 

vs ≥ vw � vc � vs d Durchmesser der Schleifscheibe 

vc � vs = d � ns ns Drehzahl der Schleifscheibe 

Richtwerte für v c in m/s 



Flachschleifen 

(Umfangsschleifen) 

Stahl Gusseisen Al-Legierung 

32 

25 

32 

25 

20 

25 

16 

12 

16 

Zulässige Höchstgeschwindigkeiten für Schleifkörper (Unfallverhütungsvorschriften) 

nur nach Angaben der Hersteller einstellen. 

Aus den hohen Schnittgeschwindigkeiten und dem geringen Arbeitseingriff 

ergeben sich für das Einzelkorn sehr kurze Eingriffszeiten von 

0,03 ms ... 0,15 ms (hohe örtliche Erwärmung an der Wirkstelle). 

v fa = f a n w 

f a Axialvorschub (Seitenvorschub) 

n w Drehzahl des Werkstücks 

v fr = f r n w 

fr Radialvorschub 

nw Drehzahl des Werkstücks 

v fa f a n w 

mm 

min 

mm 

U 

min –1 

v fr f r n w 

mm 

min 

mm 

U 

min –1 

Die im Schleifwerkzeug fest eingebundenen Schleifmittelkörner bilden 

Schneidteile mit geometrisch unbestimmten Schneidkeilen. Eine 

definierbare und beeinflussbare Schneidkeilgeometrie liegt daher 

nicht vor. 

Nach statistischen Untersuchungen 

der Schleifscheibentopografie kann 

eine mittlere Kornschneide mit einem 

Schneidkeil verglichen werden, dessen 

Spanwinkel zwischen – 30° und 

– 80° liegt.


Zerspankräfte beim 

Umfangsschleifen bezogen 

auf das Werkzeug 

F cz Schnittkraft am Einzelkorn 

F cNz Schnitt-Normalkraft am 

Einzelkorn 

F az Aktivkraft am Einzelkorn 

Ffz Vorschubkraft am Einzelkorn 

FfNz Vorschub-Normalkraft am 

Einzelkorn 

Zerspankraft am Einzelkorn 

F z 


Mittenspanungsdicke h m 



Schleifen 

Komponente (Mittelwert) der Zerspankraft F z in Schnittrichtung: 

F czm = bh m k c S 

b wirksame Schleifbreite 

b = f a beim Außenrundlängsschleifen 

f a Axialvorschub (Seitenvorschub) 

λ ⎛ ⎞ 

ke 1 1 

hm= ae⎜ 

+ ⎟ 

q ⎝d dw⎠ 

λ ⎛ ⎞ 

ke 1 1 

hm= ae⎜ 

− ⎟ 

q ⎝d dw⎠ 

= ke e 

h m 

F czm b, h m k c S 

N 

N mm 2 

mm 

Außenrundlängsschleifen 

Innenrundlängsschleifen 

λ a 

q d Flachschleifen 

� ke effektiver Kornabstand (siehe 11.4.1) 

q Geschwindigkeitsverhältnis (11.4.1) 

ae Arbeitseingriff (11.4.1) 


dw Durchmesser des Werkstücks 

k 

k 

⋅ 

= c11 

c z h m 

k c, k c1·1 h z 

N 

mm2 

mm 1 

k c1·1 Hauptwert der spezifischen 

Schnittkraft (11.1.4) 

z Spanungsdickenexponent 

(11.1.4) 

Verfahrensfaktor S (nach Preger) 

1 

369 

11

11 


Schleifen 

370 



Anzahl der gleichzeitig 

schneidenden 

Schleifkörner z e 

Eingriffswinkel �� für 


(konvexe Oberfläche) 

Eingriffswinkel �� für 


(konkave Oberfläche) 

Eingriffswinkel �� 

für Flachschleifen 

(ebene Oberfläche) 




beim Rundschleifen 

(Längsschleifen) 

zwischen Spitzen 

= czm e c F z v 

Pc 

3 10 

Fczm Schnittkraft (Mittelwert) nach 11.4.4 

Schnittgeschwindigkeit nach 11.4.2 

v c 

ze 

o d π∆ϕ 

= 

o λ 

ke 360 


�ke effektiver Kornabstand nach 11.4.1 

o 

o 360 ae 

∆ϕ 

≈ 

π ⎛ d ⎞ 

d⎜1+ 

⎟ 

⎝ dw 

⎠ 

ae Arbeitseingriff nach 11.4.1 


d w Durchmesser des Werkstücks 

o 

o 360 ae 

∆ϕ 

≈ 

π ⎛ d ⎞ 

d⎜1−⎟ 

⎝ dw 

⎠ 

360 a 

∆ϕ 

≈ 

π d 

o 

o e 

Pc 

Pm 

= 

ηg 

P c F czm z e v c 

kW N 1 

m 

z e d �� ke 

1 mm ° mm 



� � g = 0,4 ... 0,6 je nach Bauart und Belastungsgrad der Maschine 

B 

L 

lw 

− 

t 

3 

h = i = i 

v f n 

fa a w 

lw Werkstücklänge in Schleifrichtung (Längsrichtung) 


fa Axialvorschub 


n 

w 

v 

= 

d 

w 

w π 

u w Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks 


s

i Anzahl der erforderlichen Zustellschritte 

(Schleifhübe): 

dw − df 

i = Außenrundschleifen 

2a 

e 

d − d 

i = 

2a 

f w 

e 



(Ausgangsdurchmesser) 

d f Fertigdurchmesser des Werkstücks 



beim Rundschleifen 

(Einstechschleifen) 

zwischen Spitzen 



df Fertigdurchmesser des Werkstücks 

la Anlaufweg (Richtwert: 0,1 ... 0,3 mm) 



v w 

nw 

= 

dw 

π 

v w Umfangsgeschwindigkeit des Werkstücks 



beim spitzenlosen 

Rundschleifen 

(Durchgangsschleifen) 


d r Durchmesser der Regelscheibe 

n r Drehzahl der Regelscheibe 

� Verstellwinkel der Regelscheibe 

Richtwert für Längsschleifen: � = 3° ... 5° 

i w Anzahl der aufeinander folgenden 

Werkstücke beim Durchgangsschleifen 

l w Länge des einzelnen Werkstücks 

t 


Schleifen 

Darstellung gilt sinngemäß auch für das Innenrundschleifen 

dw − df 

L 

+ l 

t 

2 

h= 

= 

v f n 

h 

fr r w 

i + B 

= = 

v 0,95 d n sin α 

L wlw fa r π 

r 

a 

371 

11

11 


Schleifen 


beim spitzenlosen 

Rundschleifen 

(Einstechschleifen) 



df Fertigdurchmesser des Werkstücks 

la Anlaufweg (Richtwert: 0,1 ... 0,3 mm) 



372 

dr 

nw = 0,95 nr dw 

n r Drehzahl der Regelscheibe 

d r Durchmesser der Regelscheibe 


t 

h 

dw − df 

L 

+ 

= = 

2 

v f n 

fr r w 

la

Sachwortverzeichnis 

0,2-Dehngrenze 95 

Abgleichbedingung 124 

Ableitung 37 

Abmaße, Grenzmaße, Toleranzen 249 

Abscherbeanspruchung 235 

Abscheren und Torsion 235, 236, 293 

Abscherfestigkeit 235 

Abscher-Hauptgleichung 235 

Abscherspannung, vorhandene 235 

–, zulässige 235 

absolut schwarzer Körper 176 

Absolutwert 1 

Abstechdrehen, Hauptnutzungszeit 344 

Abszissen 29 

Abtriebsdrehzahl 342 

Abtriebsdrehzahlbereich 342 

Abtriebsmoment 200 

Abziehhülse 298 

Achsabstand 322 

– ohne Profilverschiebung 321 

Achsen 290 

–, Normen (Auswahl) 288 

Achsenabschnittsform der Geraden 27 

Achsenwinkel 323 

Achsmodul 325 

Achsschnitt, Eingriffswinkel 326 

Achteck 14 

–, regelmäßiges 52 

Additionstheoreme 21, 24 ff. 

adiabate (isentrope) Zustandsänderung 169 

Admittanz 141 

Aktivkraft 337, 351 

Aliphaten 74 

Alkalimetalle 67 

allgemeine Linearform der Geradengleichung 27 

Allgemeintoleranzen für Fasen und Rundungshalbmesser 

nach DIN ISO 2768-1 251 

– – Form und Lage nach DIN ISO 2768-2 251 

– – Längenmaße nach DIN ISO 2768-1 251 

– – Winkelmaße nach DIN ISO 2768-1 251 

Aluminium und Aluminiumlegierungen, Bezeichnung 

104 

Aluminiumgusslegierungen 105 

Aluminiumknetlegierungen 105 

AL-Wert 129, 136 

Amplitude 195 

Analytische Geometrie 26 

Anfangsgeschwindigkeit 191 

Anfangsparameter 45 

Anfangswinkelgeschwindigkeit 194 

Ångström 60 

Anhaltswert 275 

– für die zulässige ideelle Schubspannung 278 

Ankreis 17 

373 

Anlaufweg 342, 344, 352, 354, 364, 371 

Anpresskraft 187 

Anstrengungsverhältnis 239, 290 

Anströmwinkel 207 

Antiparallelschaltung 158 

Antriebsmoment 200 

Antriebswelle 299 

Anziehdrehmoment 186 

–, erforderliches 266 

Anziehfaktor 265 

–, Richtwerte 265 

Äquivalent 1 

–, elektrochemisches 86 

Äquivalentmenge 88 

Äquivalentmengenkonzentration 89 

Arbeit 56, 204 

– der Gewichtskraft 199 

– der konstanten Kraft 199 

– einer veränderlichen Kraft 199 

–, äußere 167 ff. 

–, elektrische 117 

–, konstantes Drehmoment 200 

–, technische 167 ff. 

–, verrichtete 199 

Arbeitsebene 335 

Arbeitseingriff 345, 353, 365, 366 

Arbeitspunkt 118, 151, 153 

Arbeitssatz (Wuchtsatz) 204 

Archimedische Spirale 12, 46 

Arcusfunktion 23 

Areafunktion 26 

Argument 7 

Arithmetische Reihen, Definition 32 

Arithmetisches Mittel 4 

Aromaten 77 

Asymptoten 31, 43, 48 

Atmosphärendruck, umgebender 161, 205 

atmosphärische Druckdifferenz, Überdruck 161 

Atombindung 70 

–, polarisierte 70 

Atomkern 63 

Atommasse, relative 63 

Aufbohren 355 f., 363 

Auflagereibmoment 186 

Aufnahmekegel 307 

Auftrieb 206 

Ausfeuern 365 

Ausflusszahl 208 

Ausflusszeit 209 

Ausknicken 279 

Auslenkung 194 f. 

–, maximale 195 

Auslenkung-Zeit-Diagramm 195 

Ausnutzungsgrad 259 ff. 

Ausschlagfestigkeit 259, 267, 269, 277

374 Sachwortverzeichnis 

Ausschlagkraft 267 

Ausschlagspannung 259 f., 267, 269 

Außendrehen 337, 340 


Außendurchmesser 326 

Außenleiter 148 

Außenpressung 243 

Außenrundlängsschleifen 369 

Außenrundschleifen 367, 371 

Ausspitzung 362 

Avogadro-Konstante 59, 87 

axiale Flächenmomente 226 

– –, Widerstandsmomente, Flächeninhalte, 

Trägheitsradius 225, 227 

Axialkraft 298, 318, 319 

–, Bezeichnungen 291 

Axialkraftanteil 264 

–, in den verspannten Platten (Plattenzusatzkraft) 

264 

Axialsicherungsring 299 

Axialspannung 241 

Axialvorschub 365 

– (Seitenvorschub), Richtwerte 365 

Axialvorschubgeschwindigkeit 368 

Backenbremse 188 

– mit tangentialem Drehpunkt 189 

– mit unterzogenem Drehpunkt 189 

Bahnpunkt, Geschwindigkeit 192 

bainitisches Gusseisen 104 

Ballungsregel 134 

Bandbremse, einfache 189 

Bandbremszaum 189 

Base 78 

Basis 6 

Baustahl 99, 293 

–, vergütet 294 

Bauteil-Ausschlagfestigkeit 293 

Bauteil-Fließgrenze 296 

–, Biegebeanspruchung 297 

–, Ermittlung 297 

–, Torsionsbeanspruchung 297 

Bauteil-Wechselfestigkeit, Berechnung 295 

–, Gleichungen 295 

Bauverhältnisse (Anhaltswerte) 313 

Beanspruchung 290 

–, zusammengesetzte 238, 239 

Befestigungsnabe 316 

Belastung, dynamische 218 

–, quasistatische 284 

–, schwingende 279 

–, zulässige 217 f., 235 

Belastungsfall 233, 290 

Belastungsnachweis 217 f., 235, 236 

Beleuchtungsstärke 59 

Berechnung axial belasteter Schrauben ohne 

Vorspannung 259 

– einer vorgespannten Schraubenverbindung 

bei axial wirkender Betriebskraft 260 

– vorgespannter Schraubenverbindungen bei 

Aufnahme einer Querkraft 267 

Berechnungsgleichungen für die Einzeltellerfeder 

Kennwerte K 282 

Bernoulli'sche Druckgleichung 207 

Beschleunigung 55, 190 f., 195, 201, 204 

Beschleunigungsarbeit 200 ff. 

Beschleunigungskraft 204 

Beschleunigungsmoment 204 

–, resultierendes 202 

Beschleunigung-Zeit-Diagramm 196 

Bestimmung des maximalen Biegemomentes 

219 

Betrag 1 

Betriebsbelastung 296 

Betriebseingriffswinkel 322 

– im Normalschnitt 322 

– im Stirnschnitt 322 

Betriebskraft, axiale 262, 264, 267 

–, dynamische 267 

–, gegebene 259 

Betriebslast 316 

Betriebswälzkreis 318 

Betriebswälzkreisdurchmesser 322 

Bewegung, drehende (rotatorische) 204 

–, geradlinige (translatorische) 204 

–, geradlinige gleichmäßig beschleunigte 

(verzögerte) 190 

Bewegungsschraube, Berechnung 268 

–, zulässige Flächenpressung, Richtwerte 269 

Bezugsprofil 322 

Biegebeanspruchung 218, 221 

–, Sicherheit 296 

Biegefeder 273 

Biegelinie 222 

Biegemoment 235, 239, 289 f., 292 

–, maximales 222, 291 

Biegemomentenfläche 219 

Biegespannung 276 

–, vorhandene 218, 289 

–, zulässige 275, 290 

Biegewechselfestigkeit 294 

Biegung und Torsion 240 

Bildungs- und Verbrennungswärme 92 

Bildungsenthalpie 91 

Bindigkeit 71 

Bindungswertigkeit 71 

Binomische Formeln, Polynome 3 

bipolare Transistoren 155 f. 

Blattfeder 273 

–, geschichtete 276 

Blindfaktor 141 

Blindgröße, Blindwiderstand 141 ff. 

Blindleistungskompensation 147 

Blocklänge 278 

Bodenkraft 205 

Bogenanschluss 53 

Bogenelement 43 

Bogenhöhe 13 

Bogenlänge, mittlere 13 

Bogenmaß 19, 188, 195 

– des ebenen Winkels 19 

Bohren 337, 355, 358 f. 

– ins Volle 355 f., 363

Sachwortverzeichnis 375 

–, Geschwindigkeiten 356 

–, Schnittgrößen und Spanungsgrößen 355 

–, Zerspankräfte 362 

Bohrerkern 360 

Bohrerspitze 360 

Bohrung, Toleranzfeld 305 

Bohrungsmaße 248 

Boltzmann-Konstante 59 

Brechung magnetischer Feldlinien 130 

Breitenverhältnis 276 

Bremse 188 

Bremskraft 188 

Bremsmoment 188 

Bremszaum 189 

Brennpunkt 30 

Brennstrahl 30 

Brennstrahlenlänge 31 

Bruchdehnung 95 

–, Zerreißversuch 216 

Brüche 3 

Brucheinschnürung 95 

Bruchfestigkeit 315 

Brückenschaltung 124 

Candela 59 

Carnot'scher Kreisprozess 171 

Celsiustemperatur 163 

Coulomb 125 

Coulomb'sches Gesetz 126 

CrNiMo-Einsatzstähle 294 

Culmann'sche Gerade 180 

d'Alembert'scher Satz 201 

Dämpfung, prozentuale 287 

Darstellung, goniometrische 7 

Dauerbeanspruchung 277 

Dauerbruch, Sicherheitsnachweis 293 

Dauerfestigkeit 294 

–, Nachweis 284 

–, Sicherheitsnachweis 293 

Dauerfestigkeitsdiagramm (Goodman- 

Diagramme) 284, 301, 312, 316 

Dauerhaltbarkeit 279 

Dauerhubfestigkeit 279 f. 

Dauerkurzschlussstrom 138 

Dehnung 215 f. 

Dehnungshypothese (C. Bach) 239 

Diac 158, 160 

diamagnetisch 128 

Dichte 56, 176 

– von Wasser 211 

Dichtebestimmung von Gasen 209 

Dielektrikum 126 f. 

Dielektrizitätskonstante 125 

Dielektrizitätszahl 125 

differentieller Widerstand 151, 153 f. 

Differenzbremse 189 

Differenzial 2 

Differenzial- und Integralrechnung, Anwendungen 

42 

Differenzialgleichung der freien ungedämpften 

Schwingung 195 

Differenzialquotient 2 

Differenzialrechnung 35 

–, Ableitungen elementarer Funktionen 36 

–, Grundregeln 35 

DIN-Geradverzahnung 320 

DIN-Verzahnungssystem 320 

Diode 151 f. 

Dipol 71 

Diskriminante 11, 29 

Dissoziation, elektrolytische 83 

Dissoziationsgrad 83 

Dissoziationskonstanten 83 

Drahtdurchmesser, Entwurfsberechnung 277 f. 

Drallwinkel 349, 361 

Drangkraft 337 

Drehachse 202 

Drehbewegung, gleichförmige 192 

Drehen 329 

–, Bewegungen 329 

–, Geschwindigkeiten 329 

–, Kräfte 329 

Drehenergie (Drehwucht) 202 

Drehfeder (Schenkelfeder) 277 

Drehfrequenz 55 

Drehimpulsänderung 204 

Drehmaschine, Leistungsflussbild 339 

Drehmeißel, gerader, rechter 334 

Drehmoment 56, 199 f. 

–, resultierendes 202 

–, stoßartiges 298 

–, zu übertragendes 268 

Drehschub 287, 288 

Drehstabfeder 273 f., 277, 299 

Drehstromnetz 148 

Drehstromtechnik 148 ff. 

Drehwinkel 193 ff., 200, 204, 273 

–, überstrichener 193 

Drehwucht 204 

Drehzahl 55, 202 

–, erforderliche 331 

Drehzahlwerte 342 

Dreieck 13 

–, gleichseitiges 13, 51 

–, schiefwinkliges 18 

Dreieck-Blattfeder 275 

Dreieckfläche 182 

Dreieckschaltung 148 ff. 

Dreieckspannung 148 

Dreiecksumfang 182 

Drei-Kräfteverfahren 180 

Drillungswiderstand 237 

Drosselspule 137 

Druck 56, 205 

– und Biegung 238 

–, absoluter 161, 205 

–, hydrostatischer (Schweredruck) 205 

–, statischer 207 f. 

–, statischer, Messung 207 

Druckabfall 209 f. 

Druckänderungsarbeit 167 

Druckfeder 273 

–, kaltgeformte 278 f.


–, kaltgeformte, Dauerfestigkeitsdiagramm 279 

–, zylindrische 273 

Druckgusswerkstoffe 108 

Druckhöhe, konstante 209 

Druckkraft 233 

Druckspannung 233, 284 

–, größte 218 

–, mittlere tangentiale 304 

–, resultierende 238 

–, vorhandene 234 

Druckübersetzung 205 

Durchbiegung 222 

Durchbruchbereich 154 

Durchbruchspannung 151, 154 

Durchflussgeschwindigkeit, mittlere 206 

Durchflusszahl 208 

Durchflutungsgesetz 129 

Durchgangsbohrung 270, 364 

Durchlassbereich 151 

Durchlassstrom 151, 158 

Durchmesserverhältnis 300 

Dynamik der Drehung (Rotation) 202 

– – Verschiebebewegung (Translation) 201 

dynamisches Grundgesetz für freien Fall 201 

– – für Tangenten- und Normalenrichtung 201 

– –, allgemein 201 f. 

Ebene, schiefe 185 

Eckenwinkel 334 f., 349, 360 f. 

Edelgas 69 

Edelmetall 68 

Effektivwert 139 f. 

Eigenfrequenz 273 f. 

Einflussfaktor, geometrischer 294 

Eingriffsteilung, Normalschnitt 321 

–, Stirnschnitt 321 

Eingriffswinkel 352 

–, Außenrundschleifen 370 

–, Flachschleifen 370 

–, Innenrundschleifen 370 

–, Normal- und Achsschnitt 327 


–, Teilkreis 320 

Eingriffszeit 368 

Einheit 189 

–, imaginäre 7 

– der vorkommenden physikalischen Größen 

197 

– des ebenen Winkels, Begriff 19 

Einheitsbohrung 305 

Einlegekeil 298 

Einpressen 300 

Einpresskraft 301, 303 

–, erforderliche 307 

Einsatzhärten 294 

Einsatzstahl 101, 294 

Einsetzregel (Substitutionsmethode) 37 

Einstechschleifen 365 

Einstellwinkel 306 f., 334 f., 340, 342, 351, 360 f., 

364 


Einweg-Gleichrichtung 140 

Einzellast 222 

Einzelrad- und Paarungsgleichungen für Gerad- 

und Schrägstirnräder 320 

Einzelteller, Maße 281 

Eisen-Kohlenstoff-Diagramm 96 

Elastizitätsmodul 56, 95, 222, 275, 302 

– E und Schubmodul G verschiedener Werkstoffe 

220 

elektrische Feldstärke 125 

elektrischer Fluss 125 

elektrisches Feld 125 ff. 

Elektrizitätsmengen 58 

Elektrolyse 85 

Elektrolyt 83 

Elektronegativität 69 

Elektronenhülle 66 

Elektronik 151 ff. 

Elektrotechnik 115 ff. 

Elektrowärme 118 

Element, galvanisches 85 

Elementarladung, elektrische 59 

Elementar-Teilchen 63 

Ellipse 10, 30 

Ellipsenkonstruktion 52 

Ellipsenumfang 31 

Emissionsverhältnis 165, 176 

Endgeschwindigkeit 191 

Endparameter 45 

Endwinkelgeschwindigkeit 193 

Energie 56 

– (Bewegungsenergie), kinetische 201 

–, Änderung der inneren 168 

–, Änderung der inneren 170 

–, elektrische 58, 117, 125 

–, innere 166, 169 

–, potenzielle (Energie der Lage) 201 

–, spezifische innere 57, 166 

Energiedichte 125, 129 

Energieerhaltungssatz 201 

Energieerhaltungssatz der Drehung 202 

Energieinhalt 125, 129 

Energiekosten 117 

Energieprinzip, (H. v. Helmholtz) 162 

Energieverlust beim Stoß 198 

– beim vollkommen unelastischen Stoß 198 

Englergrade, Umrechnung 206 

Enthalpie 57, 167 

–, Änderung 168, 170 

–, spezifische 57, 167 

Entropie 169 

–, Änderung 168, 170 f. 

Erdalkalimetall 67 

Erdmetall 67 

Ergänzungskegel 318 

Ergänzungsverzahnung 324 

Ergänzungszähnezahl 324 

Erhöhungsfaktor 297 

–, Fließgrenze 296 

Ersatz-Geradstirnrad 318 

Ersatzhohlzylinder 263 

Ersatzkraft 185 

Ersatz-Spannungsquelle 119, 130


Ersatz-Stromquelle 119 

Ersatzverzahnung 324 

Ersatzzähnezahl 320, 324 

Euklid 16 

Eulergleichung 234 

Euler'sche Knickung 234 

– Zahl 188 

Evolventenfunktion 321 

Expansion, adiabate 171 

–, isotherme 171 

Expansionszahl 208 

experimentelle Bestimmung des Trägheitsmomentes 

eines Körpers 197 

Exponentialform 7 

Exponentialfunktion 11 

– und logarithmische Funktion 6 

Exponentialgleichung 9 

–, lösen 6 

Extremwert 43, 48 

Exzentrizität, lineare 31 

–, numerische 31 

Fachwerk 181 

Fahrwiderstand 187 

Fahrwiderstandszahl 187 

Fakultät 1 

Fall, freier 190, 218 

Fallbeschleunigung 55, 190, 201, 205, 217 

Fallhöhe 190 

– nach Wurfweite 192 

–, freie 198 

–, Geschwindigkeit 192 

Farad 125 

Faraday’sche Gesetze 86 

Faraday-Konstante 59, 86 

Fasenlänge 301 

Fasenwinkel 301 

Federarbeit 273 

Federhub 279 

Federkennlinie 273, 281 

Federkraft 200, 273, 277, 278, 282 ff. 

Federmoment 273, 275 

Feder 273, 286 

–, Berechnungen 282 

–, hintereinandergeschaltete 274 

–, Maße, Begriffe und Bezeichnungen 281 

–, parallelgeschaltete 274 

Federpaket 281 f. 

Federrate 195 f., 273, 275, 283 

–, (Federsteifigkeit) 200 

– in N/mm 217 


Federsäule 281 f. 

Federstahl 283 

Federstahldraht, Dauerfestigkeitsdiagramm 278 

Federteller ohne Auflagefläche 282 

Federungsarbeit 283 

Federvolumen 275 

Federweg 200, 273, 275, 279, 281, 284 

Feinkornbaustahl, schweißgeeigneter 100 

Feldkonstante, elektrische 59, 125 

–, magnetische 59, 128 

Feldstärke 128 ff. 


Ferroelektrika 125 

ferromagnetisch 128 

Fertigung, spanende 340 

Festigkeitseigenschaften der Schraubenstähle 

nach DIN EN 20898 269 

Festigkeitshypothese 239 

Festigkeitskennwert 239 

Festigkeitsklasse 259 

Festigkeitsnachweis 269 

–, statische Belastung 284 

Festsitz 254 

Flächen 12 f. 

Flächenberechnung 45 

– in Polarkoordinaten 46 

Flächeninhalt eines Dreiecks 27 

Flächenintegral (bestimmtes Integral) 37 

Flächenmoment 228 f., 232, 237 

–, axiales 218, 219, 233 


–, polares 196, 219 

– 2. Grades, Widerstandsmoment, Trägheitsradius 

56, 219, 231 

Flächenpressung 241, 244, 267, 311 f., 316 

– an der Nabe, vorhandene 315 

– an der Welle, vorhandene 315 

– der Prismenführung 241 

– ebener Flächen 241 

–, Grenzwert 312 

–, Herleitung der Gleichungen 315 

– im Gewinde 242, 259 

– im Gleitlager 242 

– im Kegelzapfen 241 

– in Kegelkupplung 242 

–, mittlere 187 

–, zulässige 301, 309, 315 f. 

Flächenschwerpunkt 183 

Flachkeil 310 

Flachschleifen (Umfangsschleifen) 368 f. 

Flankendurchmesser 260, 272 

Flankenradius 186 

Flaschenzug (Rollenzug) 188 

Fliehkraft 202, 240 

Fließgrenze, Sicherheitsnachweis 296 

Fluss, magnetischer 58 

Flussdichte 128 ff. 


Flüssigkeitsvolumen, verdrängtes 206 

Form, konkave 370 

–, konvexe 370 

Formänderung 215 f. 

Formänderungsarbeit 200, 217, 236 

Formänderungsgleichungen 280 

Formeln von Euler 33 

Formelzeichen und Einheiten 280 

Formfaktor 139 f., 275 f., 287 

Formfräser 349 

Formschlussverbindung 299 

Formtoleranz 252 

Formzahl 325 

Fourier-Entwicklung 195


Fräsen 337 

Fräserüberstand 351 

Fräserzugabe 352 

Freimachen 177 

Freiwinkel 335 

Frequenz 55, 139, 141, 195 

Fügefläche 300 

Fügen 300 

–, hydraulisches 300 

Fugendruck 300 f., 303, 309 

– (Pressungsgleichung), erforderlicher 301 

Fugendruck, Einpresskraft 307 

–, Verteilung 309 

–, vorhandener 309 

Fugendurchmesser 301 

Fugenfläche 309 

Fugenlänge 300 f., 307 

Fugenpressung, vorhandene 307 

Fügespiel, erforderliches 304 

Fünfeck 14 


Funktionen der halben Winkel 22 

– für Winkelvielfache 22 

Funktion, gerade 44 

–, inverse trigonometrische 12 

–, logarithmische 11 

–, trigonometrische 11, 20, 22, 25 

–, ungerade 45 

–, unecht gebrochene rationale 48 

Funktionswerte 20 

Fußhöhe 327 

Fußkreis 318 

Fußkreisdurchmesser 321, 326, 327 

Fußwinkel 326 

Gangzahl der Schnecke 325 

–, Erfahrungswerte 325 

Ganze Zahlen 1 

Gas 69 

Gas, vollkommenes 162 

Gasgemisch, Gleichungen 171 

Gaskonstante 171 

–, individuelle 166 

–, spezifische 57, 166, 176 

–, universelle 57, 59, 166 

Gasmechanik 166 

Gegenkraft 188 

Gegenlaufschleifen 368 

Gegenlaufverfahren 346, 349 

Gegenüberstellung einander entsprechender 

Größen und Definitionsgleichungen für 

Schiebung und Drehung 204 

Gemischpartner 171 

Gemischvolumen 171 

Generatorregel 133 

geometrische Größe, Sechskantschraube 246 

– Grundkonstruktion 49 

– Reihe, Definition 32 

geometrisches Mittel 4, 32 

Gerade 10 

Geradstirnrad 318 

– -Nullgetriebe 320 

– -V-Getriebe 320 

– -V-Nullgetriebe 320 

Geradverzahnung 321 

Geradzahn-Kegelräder 319, 324 

Gesamtdruck 171 

Gesamteinflussfaktor 295 

Gesamtfederkraft 282 

Gesamtfederweg 282 

Gesamtmasse 171 

Gesamtresultierende 179 

Gesamtrundlauftoleranz 252 

Gesamtschwerachse 220 

Gesamtschwerpunkt 220 

Gesamtspannkraft, erforderliche axiale 312 

Gesamtüberdeckung 322 

Gesamtvolumen 171 

Gesamtwirkungsgrad 200, 327 

Geschwindigkeit 55, 204, 209, 367 

–, gemeinsame 198 



– nach dem Stoß 198 

– nach dem vollkommen elastischen Stoß 198 

Geschwindigkeitsänderung 190 

Geschwindigkeitsdruck 207 

Geschwindigkeitsverhältnis, Richtwerte 366 

Geschwindigkeitszahl 208 

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 196 

Gesetz von Boyle-Mariotte 163 

– – Dalton 171 

– – Gay-Lussac 163 

Gestalt-Ausschlagfestigkeit 293 

Gestaltfestigkeit 277, 296 

–, Ermittlung 293 

–, Gleichungen 295 

Getriebestufe, Gesamtwirkungsgrad 328 

Getriebewelle, Konstruktionsentwurf 289 

–, Stützkräfte und Biegemomente, Kräfte am 

Zahnrad 291 

Getriebewirkungsgrad 330, 339, 363, 370 

Gewichtskraft 56, 185 f., 218 

Gewinde, eingängiges 272 

–, zweigängiges 272 

Gewindedurchmesser 272 

Gewindereibmoment 186, 268 

Gewindesteigung 259, 266 

Gewindesteigungswinkel 260 

Glätten 300 

Glättung 300, 303 

Gleichanteil 140 

Gleichgewicht, chemisches 81 

Gleichgewichtskraft 235 

Gleichgewichtslage 195 

Gleichlaufschleifen 368 

Gleichlaufverfahren 346, 349 

Gleichrichtung 140 

Gleichrichtwert 139 f. 

Gleichsetzen 48 

Gleichstromtechnik 118 ff. 

Gleichung, goniometrische 9 

–, logarithmische 9 

–, quadratische 8 f.


Gleitfeder 315 

Gleitgeschwindigkeit 327 

Gleitlager 327 

Gleitpassfeder 299 

Gleitreibkraft 185 

Gleitreibung und Haftreibung 185 

Gleitreibzahl 190, 268, 326 

Gleitsitz 254 

Gleitung 215 

goniometrische Gleichungen 9 

Grad Celsius 172 

– Fahrenheit 172 

– Kelvin 172 

– Rankine 172 

Grammäquivalent 89 

Gravitationskonstante 59 

Grenzabmaß, Eintragung 250 

Grenzdurchmesser 342 f. 

Grenzdurchmesserbereich 342 

Grenzflächenpressung, Richtwerte 267 

Grenzschlankheitsgrad 233 f. 

Grenzwert 2, 43 

Grenzwinkel 185 

Grenzzähnezahl 320 

griechisches Alphabet 2 

Größen und Einheiten 275 

Größeneinflussfaktor 295 

–, technologischer 293, 296 f. 

Grundbohrung 364 

Grundeigenschaft der Ellipse 30 

– – Hyperbel 30 

Grundintegral 38 

Grundkreis 318 

Grundkreisdurchmesser 321 

Grundkreisradius 320 

Grundreihe 331 

Grundtoleranz 248 

– der Nennmaßbereiche 250 

Gruppe 66 

–, funktionelle 77 

GTO-Thyristor 159 

Guldin'sche Regeln 184 

Gummifeder 287 

Gurtscheibe 298 

Gusseisen mit Kugelgraphit 103 

– – Lamellengraphit 102 

– – Vermiculargraphit 104 

– -Nabe 309, 313, 316 

Gusseisensorten, Bezeichnung 101 

Gütefaktor 141 

Haftbeiwert 301 

–, trocken 301 

Haftkraft 302 

Haftmoment 302 

Haftreibkraft 185 

Haftreibwinkel 185 

Haftreibzahl 185, 190 

Haftsitz 254 

Halbleiterdiode 151 f. 

Halbparameter 30 

Halogen 69 

Haltekraft 185, 187 

Haltepunkt 97 

Haltespannung 157 f. 

Haltestrom 157 f. 

Handspindelpresse 268 

harmonisches Mittel 4 

Härteprüfung nach Brinell 93 

– – Rockwell 94 

– – Vickers 94 

Hauptflächenmoment 220 

Hauptnutzungszeit 341, 364, 370 

– beim Aufbohren 364 

– – außermittigen Stirnfräsen 353 

Hauptnutzungszeit beim Bohren ins Volle 364 

– – mittigen Stirnfräsen 354 

– – Rundschleifen (Längsschleifen) 370 f. 

– – spitzenlosen Rundschleifen (Durchgangsschleifen) 

371 

– – spitzenlosen Rundschleifen (Einstechschleifen) 

372 

Hauptquantenzahl 66 

Hauptscheitel 30 

Hauptschneide 330, 335, 361 

Hauptspannung 216 

Hauptwert der spezifischen Schnittkraft 362 

– – spezifischen Schnittkraft, Richtwerte 336 

Hefnerkerze 59 

Heizwert 92 

Herstell-Eingriffswinkel 317, 320 

Hertz 274 

Hesse'sche Normalform 27 f. 

Hinterschliff 361 

Hirthverzahnung 299 

Hobeln 337 

Höchstpassung 305 

Hohlkeil 310 

Hohlkugel (Kugelschale) 203 

Hohlwelle 296 

Hohlzapfen 187 

Hohlzylinder 203 

–, umlaufender 241 

Hohlzylinder unter Druck 243 

Hooke`sches Gesetz 95 

horizontaler Wurf (ohne Luftwiderstand) 192 

Hubhöhe 199 

Hubspannung 279 

Hüllkegelwinkel 361 

Hülsenfeder, Beanspruchung 287 f. 

Hund’sche Regel 66 

Hyperbel 11, 30 

–, gleichseitige 31 

Hyperbelfunktion 11 

–, Definitionen 25 

–, inverse 12 

Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie 

239 f. 

Impedanz 141 

Impulserhaltungssatz 204 

Impulserhaltungssatz (Antriebssatz) 201 f. 

Induktanz 141 

Induktion 128 f.


Induktionsgesetz 130 

Induktionskonstante 128 

Induktivität 58, 129, 135 ff. 

Inkreis 17 

Inkreisradius 13 

Innendrehen 337 

Innenkegelhöhe 326 

Innenkreis 51 

Innenpressung 243 

Innenrundlängsschleifen 369 

Innenrundschleifen 367, 371 

Innen-Sechskantschraube 246, 270 

Innenwiderstand 118, 121, 123 

Integral 37 

–, bestimmtes 2 

–, unbestimmtes 2 

Integrale algebraischer Funktionen 38 

– transzendenter Funktionen 40 

–, häufig vorkommende 38 f. 

–, uneigentliche 42 

Integrand 42 

Integrationsregeln 36 

Integrationsweg 42 

inverse trigonometrische Funktionen 12 

Ionenbindung 70 

Ionenprodukt 83 

Ionenwertigkeit 71 

ISO-Regelgewinde, metrisches 266 

– -Toleranz 250 

– -Toleranzlagen 305 

Isotope 63 

I-Träger nach DIN, warmgewalzte schmale 231 

–, mittelbreiter, Bezeichnung 232 

–, schmaler, Bezeichnung 231 

–, warmgewalzte 232 

Joule 163, 199 

Kapazitanz 141 

Kapazität 125 ff. 


Kegel, Begriffe 306 

–, gerade und schiefe 184 

–, Normen 306 

–, Vorzugswerte 307 

Kegelbuchse 298 

Kegeldurchmesser, mittlerer 306 

Kegelmantel und Pyramidenmantel 183 

Kegelmantelschliff 360 

Kegelmaße 306 

Kegelpasssystem 306 

Kegelräder, Einzelrad- und Paarungsgleichungen 

323 

Kegelring 309 

Kegelstift 313 

Kegelstumpf 183 

–, gerader und schiefer 184 

Kegeltoleranzpasssystem 306 

Kegelverhältnis 306 f. 

Kegelwinkel 306 f. 

Keil 14, 184, 310 

Keilgetriebe 187 

Keilsitzverbindung 298, 310 

Keilwelle, Werte 308 

Keilwellenprofil 299 

Keilwellenverbindung 316 

– mit geraden Flanken (Übersicht) 316 

Kelvin 161 

Kennzeichnung der Oberflächenbeschaffenheit 

nach DIN EN ISO 1302 253 

Kerbschlagarbeit 95 

Kerbschlagbiegeversuch 95 

Kerbstift 299, 313 

Kerbverzahnung, Werte 308 

Kerbwirkung, Einflussfaktor 295 

Kerbwirkungszahl 269 


Kerbzahnprofil 299 

Kerndicke 361 

Kerndurchmesser 272 

Kernquerschnitt 272 

–, erforderlicher 268 

Kesselbetrieb (Mittelwerte) 176 

Kettenregel 35 

Kilomol 57 

Kippspannung 157 f. 

Kippstrom 157 

Kirchhoff'sche Sätze 119 

Klammerregeln 3 

Kleinstübermaß 305 

Klemmenspannung 118 

Klemmkraft 264 

–, erforderliche 267 f. 

Klemmlänge 263 

Klemmsitzverbindung 298, 309 

Knickkraft nach Euler 233 

Knicklänge, freie 233 

Knicksicherheit 233 

Knickspannung 233 f. 

Knickung 217, 233, 362 

Knotenpunkt 181 

Knotenpunkt-Satz 119 

Koaxialitätstoleranz 252 

kohärente Einheit (gesetzliche Einheit, zugleich 

SI-Einheit) 199 

– – des ebenen Winkels 19 

Kolbenbeschleunigung 197 

Kolbengeschwindigkei 197 

Kolbenkraft 205 

Kolbenweg 197, 205 

Kolkverschleiß 335 

Kombination geschichteter Tellerfedern 281 

Kompensation 147 

Kompensationskapazität 147 

komplexe Zahlen 1, 7 

Kompression, adiabate 171 


Kondensanz 141 

Kondensator 125 ff. 

Konduktanz 115, 141 

Konduktivität 115 

Konstanten, allgemeine und atomare 59 

–, häufig gebrauchte 2 

Konstantenregel 36


Konstruktionsentwurf, Zusammenstellung wichtiger 

Normen 289 

Kontinuitätsgleichung 207 

Kontraktionszahl 208 

Konvektion 164 

Konvergenzbereich 33 

Konzentration 81 

Koordinationszahl 72 

Kopfauflagefläche 270 

Kopfhöhe 327 

Kopfkegelwinkel 326 

Kopfkreis 318 

Kopfkreisdurchmesser 321, 325 ff. 

–, innerer 326 

Kopfkürzung, erforderliche 321 

Kopfspiel 320, 324, 326 

– einer Radpaarung 322 

Kopfwinkel 326 

Kornabstand, effektiver 366, 369 

Körper 14 

Körperschwerpunkt 183 f., 202 

Kosecans 20 

Kosinus 20 

Kosinussatz 18 

Kotangens 20 

Kraft 56 

Krafteck 181 

Krafteinleitung, zentrische 263 

Krafteinleitungsfaktor 262, 264 

Krafteinleitungsfall, allgemeiner 264 

Krafteinleitungskreis 281 

Kräftemaßstab 219 

Kräfteplan 180, 219 

Kräftesystem, allgemeines ebenes 178, 180 

–, – räumliches 178, 181 

–, zentrales 181 

–, – ebenes 178, 180 f. 

–, – räumliches 178, 180 f. 

Kraftfahrzeugkupplungen 299 

Kraft-Linie 200 

Kraftmoment 235 

Kraftteinleitungspunkt 264 

Kraftverhältnis 263 

Kraftweg 188 

Kraft-Weg-Diagramm 199 

Kraftwirkung im elektrischen Feld 125 f. 

– – magnetischen Feld 132 ff. 

Kreis 10, 13, 29 

Kreisabschnitt 13 

Kreisabschnittsfläche 182 f. 

Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunigte 

(verzögerte) 193 

Kreisbogen 52, 182 

Kreisevolvente 12 

Kreisfläche 45 

Kreisfrequenz 139, 195 

Kreisfunktion 23 

Kreisgleichung in Parameterform 29 

Kreiskegel 203 

–, gerader 15 

Kreiskegelstumpf 203 

Kreiskegelstumpf, gerader 15 

Kreisprozessarbeit 171 

Kreisradius 13 

Kreisring 13 

Kreisringstückfläche 183 

Kreisringtorus 15 

Kreisröhre 206 

Kreissektor 13 

Kreiszylinder 14, 203 

–, abgeschrägter gerader 183 

–, schief abgeschnitten 15 

Krümmung 44 

Krümmungskreis 31 

Krümmungsradius 30, 44, 201 

Kugel 15, 203 

–, kegelig durchbohrte 15 

–, zylindrisch durchbohrte 15 

Kugelabschnitt 184 

Kugelausschnitt 15, 184 

Kugelsektor 15 

Kugelstrahl 294 

Kugelvolumen 46 

Kühlschmierungs-Korrekturfaktor 337 

Kunststoffe, thermoplastische 112 

Kupfer und Kupferlegierungen, Bezeichnung 106 

Kupfergusslegierungen 107 

Kupferknetlegierungen 107 

Kupplung 298 f. 

Kurbelradius 197 

Kurvendiskussion 47 

Kurvenlänge 46 

Kurzschlussspannung 120, 138 

Kurzschlussstrom 116, 118, 120 

Kurzzeichen für Kunststoffe und Verfahren 110 

Ladung, elektrische 58 

Ladungszahl 71 

Lageplan 219 

Lager, zweiwertiges 180 f. 

Lagerkraft 180 

Lagermetalle und Gleitwerkstoffe 109 

Lagerreibung 187 

Lagetoleranzen 252 

Längenausdehnungskoeffizient 162, 174, 218, 

304 

Längenmaßstab 219 

Längenzunahme 162 

Längsdehnung 302 

Längslager (Spurzapfen) 187 

Längspressverband 298, 300 f. 

Längsschleifen, Richtwert 371 

Längsstiftverbindung 313 

Längsvorschub der Maschine 330 

Lastdrehzahl 331 

Lastweg 188 

Laufsitz 254 

–, enger 254 

–, leichter 254 

–, weiter 254 

Lauge 78 

Leerlaufspannung 118, 120 

Leerlaufstrom 120 

Leichtmetalle 68


Leistung 56, 200, 204 

– bei Drehstrom 149 

– des Generators 116 

–, elektrische 116 f. 

–, Übersetzung und Wirkungsgrad 200 

Leistungsanpassung 117 

Leistungsbedarf 339, 352, 363 

Leistungsfaktor 115, 141, 147 

Leistungsverlust 115, 147 

Leiter im elektrischen Feld 126 

– – magnetischen Feld 131 ff. 

–, paralleler 135 f. 

Leitfähigkeit 115 

Leitstrahl 47 

Leitwert 115 

–, elektrischer 58, 120 f. 

Lenz'sche Regel 130, 133 

Leuchtdichte 59 

Lichtausbeute 59 

Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum 59 

Lichtmenge 59 

Lichtstärke 59 

Lichtstrom 59 

Limes 1 

linearer Mittelwert 140 

– Widerstand 153 

Linkehandregel 134 

Lochleibungsdruck, Flächenpressung am Nietschaft 

242 

Logarithmus 1, 6 

–, dekadischer (Briggs'scher) 6 

–, natürlicher 6 

Logarithmensysteme 6 

logarithmische Funktionen 11 

– Gleichungen 9 

Löslichkeitsprodukt L 84 

Lösung, molare 88 

Lösungsformel 8 

Lot fällen 49 

Luftdruck 207 

Luftspule 135 f. 

Luftwiderstand 187 

Mach'sche Zahl 206 

magnetische Flussdichte, Induktion 58, 128 ff. 

magnetisches Feld 128 ff., 135 

Magnetquantenzahl 66 

Manometer 209 

Mantel der Kugelzone und der Kugelhaube 183 

– des abgestumpften Kreiskegels 183 

Mantelfläche 14 

Mantelschwerpunkt 183 

Maschen-Satz 119 

Maschinendiagramm 332 

Maschinendrehzahl 331 

Maschinenöl 328 

Maße für keglige Wellenenden mit Außengewinde 

308 

– – zylindrische Wellenenden mit Passfedern 

und übertragbare Drehmomente 314 

Masse, äquivalente 89 

–, molare 57, 87 

Masseneinheit, atomare 63 

Massenstrom (praktischer) 207 ff. 

Massenwirkungsgesetz 82 

Massenzahl 63 

mathematische Zeichen (nach DIN 1302) 1 

Maximalspannungen, vorhandene 296 

Maximum 43, 48 

mechanische Arbeit 199 

– Teilarbeit 199 

Messbereichserweiterung 123 

Messerkopf nach M. Kronenberg 349 

Messschaltung 123 

Messung des Gesamtdrucks 207 

– – Staudrucks (Prandtl'sches Staurohr) 207 

Metallbindung 70 

Metalle 67 

–, hochschmelzende 68 

–, höchstschmelzende 68 

Metallfeder 275 

Metrisches ISO-Feingewinde 246 

Metrisches ISO-Gewinde nach DIN 13 271 

– –, Bezeichnung des Regelgewindes 244 

– ISO-Trapezgewinde nach DIN 103 272 

– –, Bezeichnung eingängiges Gewinde 245 

– –, Bezeichnung zweigängiges Gewinde 245 

Metrisches Regelgewinde, Bezeichnung 271 

–, System 60 

Mindestpassung 305 

Mindest-Profilverschiebungsfaktor 326 

Mindeststandzeit 332 

Minimum 43, 48 

Mischelement 63 

Mischgröße 140 

Mischungskreuz 90 

Mischungsregel 90 

Mischungstemperatur, (Gemischtemperatur) 161 

Mittel, geometrisches 4, 32 

–, harmonisches 4 

Mittellage 195 

Mittellinie, seitenhalbierende 17 

Mittelpunkt eines Kreises 50 

Mittelpunktsgleichung 31 

Mittelspannungsempfindlichkeit 295 f. 

Mittelwert 139 f. 

–, statistischer (nach J. Peklenik) 366 

Mittenkreisdurchmesser 326 f. 

Mittenrauwert 253 

Mittenspanungsdicke 347, 369 

Mittenversatz 353 

Modul für Schnecke und Schneckenrad 327 

– -Verhältnis 217 

Mohr'scher Spannungskreis 216 

Molarität 88 

Molekülmasse, relative 87 

Mollweide'sche Formeln 18 

Molvolumen 88 

Moment, inneres 235 

Momentanbewegung 331 

Momentangeschwindigkeit 332, 357 

Moment-Drehwinkel-Diagramm 199 

Momentenfläche 219 

Momentengleichgewicht 215


Momentenlinie 200, 222 

Momentensatz 179 

Momentenstoß 204 

Momentenverlauf 222 

Montagevorspannkraft 265 

Montagevorspannung 266 

Morsekegel 307 

Motorleistung 339, 352, 363 


Motorregel 134 

Mutterauflage 263 

Mutterhöhe, erforderliche 268 

Nabe, geschlitzte 309 

–, geteilte 298 

Nabenabmessung, Richtwerte 308 

Nabendicke 313, 316 

Nabenlänge 316 

Nabennut 315 

Nabensprengkraft 304 

Nabenverbindung, formschlüssige 299 

–, kraftschlüssige 300 

–, reibschlüssige, (Beispiele) 298 

Nachweis bei schwingender Belastung, (Dauerfestigkeit) 

284 

Nasenflachkeil 310 

natürliche Logarithmen 6 

– Zahlen 1 

Nebenquantenzahl l 66 

Nebenscheitel 30 

Nebenschneide 335, 361 

Neigungswinkel 185, 334 f., 349, 360 f. 


Nennmaßbereich 305 

Nennmaß für Welle 316 

Neuneck, regelmäßiges 52 

Neutralleiter 148 

N-Gate-Thyristor 159 

nichtlinearer Widerstand 153 

Nichtmetalle, feste 69 

NiCrMo-Einsatzstähle 294 

Nitrieren 294 

Nitrierstahl 101, 293 

Normalengleichung 29 f. 

Normalform 8 

– der Geraden 27 

Normalkraft 185, 187, 189, 241, 318 

Normallösung 89 

Normalmodul 321, 324, 327 

Normalmodul, äußerer 324 

Normalpotential 85 

Normalschnitt 318, 320 

Normalspannung 215, 217, 239 f. 

–, Hooke'sches Gesetz 216 

Normalteilung 327 

Normdrehzahl 357 

Normen 247 

– (Auswahl) und Richtlinien 273 

–, Bezugsliteratur 259 

Normfallbeschleunigung 201 

Normgewichtskraft 201 

Normvolumen 161 f. 

– idealer Gase, molares 59 

–, molares 88, 166 

–, spezifisches 172 

Normzahlen 247 

– der Reihe R5 261 

Normzustand, physikalischer 166 

NPN-Transistor 155 

Nulldurchgang 219 

Nullgetriebe 323 

Nullkippspannung 157 f. 

Nulllage 195 

Nullpunkt 45 

Nullsetzung 48 

Nullstelle 42 

Numerus 6 

Nutzarbeit 200 

Nutzleistung 200 

Nutzung, ökonomische 330 

Oberfläche 14, 184 

Oberflächenbeiwert 269 

Oberflächenrauheit 294 

–, Einflussfaktor 294 

Oberflächentemperatur 163 

Oberflächenverfestigung, Einflussfaktor 294 

Oberspannungsfestigkeit, Dauerfestigkeitsdiagramm 

279 

Ohm'sches Gesetz 118 

– – des Magnetkreises 128 

Öl, Dichte 328 

–, spezifische Wärmekapazität 328 

Ölumlaufkühlung, erforderlicher Kühlöldurchsatz 

328 

Optik 59 

Orbital 66 

Ordinatenabschnitt 27 

Ordnungszahl 63 

Original-SCHNORR Tellerfedern 285 

orthogonal 1 

Orthogonalfreiwinkel 334 f., 360 


Orthogonalkeilwinkel 334 f., 349, 360 

Orthogonalspanwinkel 334 f., 360 


Oxydationszahl 71 

Parabel 10, 30 

–, kubische 10 

–, semikubische 10 

Parabelfläche 183 

Parallele 51 

Parallelogramm 12 

Parallelogrammumfang und -fläche 182 

Parallelschaltung von Blindwiderständen 144 ff. 

– – Induktivitäten 138 

– – Kondensatoren 127 

– – Widerständen u. Quellen 120 ff. 

Parallelschub 287 

paramagnetisch 128 

Parameterdarstellung 44 f., 47 

Partialdruck 171 f. 

Pascal 205


Passfeder 298, 308, 310, 314 

–, tragende Länge 315 

Passfederlänge 314 f. 

Passfedermaß 314 

Passfederverbindung 299, 314 

– (Nachrechnung) 315 

Passivkraft 337, 351, 362 

Passtoleranzen, empfohlene 257 

Passtoleranzfelder, ausgewählte 255 

Passungsart 249 

Passungsauswahl 257 

–, (Toleranzfeldauswahl) 248 

Passungsgrundbegriffe 249 

Passungsspiel 312 

Passungssystem Einheitsbohrung 248 

– Einheitswelle 248 

Pauli-Prinzip 66 

Pendelart 196 

Pendelgleichung 196 

Pendelstütze 181 

Periode 66 

Periodendauer 139, 194 

– (Schwingungsdauer) 195 

periodische Schwingung 194 

Permeabilität 58, 128, 130, 136 

Permeanz 128 

Permittivität (früher Dielektrizitätskonstante) 58, 

125 

Permittivitätszahl 125 

P-Gate-Thyristor 159 

Phase 195 

Phasenanschnitt 140 

Phasenanschnittsteuerung 160 

pH-Wert 84 

Physikalische Größen, Definitionsgleichungen 

und Einheiten 55 

Planck-Konstante 59 

Plandrehbearbeitung 342 

Plandrehen einer Kreisringfläche 343 

– – Vollkreisfläche 343 

–, Hauptnutzungszeit 341 f. 

Plan-Kerbverzahnung 299 

Planrad, Zähnezahl 324 

Plantschverluste 328 

Planvorschub 341 

Plastomere, thermoplastische 112 

Plattenkondensator 127 

PNP-Transistor 155 

Poisson-Zahl 216 f., 240 f., 280, 283 

Polabstand 219 

Polargleichung 31 

Polarkoordinaten 44, 47 

Polstelle 42, 48 

Polyamide 113 

Polycarbonat 113 

Polyester, linear 113 

Polyethylen 112 

Polyetrafluorethylen 112 

Polygonprofil 299 

Polymethylmetacrylat 113 

Polynom 3 

–, quadratisches 11 

– dritten Grades 11 

Polyoxymethylen 113 

Polyphenylensulfid 113 

Polypropylen 112 

Polystyrol-Copolymere, schlagfeste 112 

Polystyrol 112 

Polyvinylchlorid 112 

Potenzen von Funktionen 22 

Potenzfunktionen 10 f. 

Potenzieren 4 

Potenzrechnung 4 

Potenzreihe 33 f. 

Presse, hydraulische 205 

Presspassung 300 

–, festlegen 305 

Presssitz 254 

Pressung, Kugel gegen Ebene 242 

–, Kugel gegen Kugel 242 

–, Walze gegen Ebene 243 

–, Walze gegen Walze 243 

Pressungsfaktor 312 

Pressungsgleichung, Herleitung 302 

Pressverband 300, 304 

–, Berechnung 301 

–, Formänderungs-Hauptgleichung 302 

–, (Fügeart), Herstellung 300 

–, kegliger, Berechnungsformeln 307 

–, – (Kegelbuchse) 298 

–, – (Wellenkegel) 298 

–, (Kegelsitzverbindungen), kegliger 306 

– mit Vollwelle, Formänderungsgleichungen 

303 


– (Presssitzverbindungen) 298 

– (Spannungsbild) 303 

–, zylindrischer 298, 300, 309 

Prinzip des kleinsten Zwanges 81 

Prisma (und Zylinder) mit parallelen Stirnflächen, 

gerades und schiefes 183 

Prismatoid 14 

Prismoid 14 

Probestab, gekerbter 294 

Produkt von Funktionen 22 

Produktregel 35 

–, (partielle Integration) 37 

Profilüberdeckung 322 

Profilumfang 228 ff. 

Profilverschiebung 320, 326 f. 

Profilverschiebungsfaktor 320, 322 f. 

Profilwellenverbindung 299 

Projektionssatz 18 

proportional 1 

Punkt-Steigungsform der Geraden 27 

Pyramide 14 

–, gerade und schiefe 184 

Pyramidenstumpf 14 

–, mit beliebiger Grundfläche 184 

Pythagoras 16 

Quader 14 

Quellenspannung 118 f. 

Querdehnung 216 f., 302


Querdehnzahl 302 

Querkraft 235, 239 

Querkraftfläche 219 

Querkraft-Schubspannung 239 

Querlager (Tragzapfen) 187 

Querpressverband 298, 301 

Querschneide 361 

Querschneidenwinkel 360 f. 

Querschnitt, erforderlicher 217, 235 

–, gefährdeter 235 

–, unsymmetrischer 220 

– für Biegung und Knickung 225 

Querschnitts-Abmessungen, Gleichungen 221 

Querschnittsnachweis 217 f., 235 f. 

Querstiftverbindung 313 

Quotientenregel 35 

Radialkraft 242, 318 

–, Achsenwinkel 319 


–, resultierende 291 f. 

Radialspannung 241, 243 

Radialvorschub 365, 371 


Radialvorschubgeschwindigkeit 368 

Radnabe 299 

Randfaser 235 

Randschicht, gehärtete 297 

Rationale Zahlen 1 

Rauheitsklasse 253 

Rauigkeiten, körnige 210 

Räumen 337 

Raumschaffungsarbeit 166 

Raumwinkel 55 

Rautiefe 330 

–, gemittelte 294, 300, 303, 312 

–, vorgegebene 330 

Reaktanz 141 

Reaktion, endotherme 91 

–, exotherme 91 

–, umkehrbare 81 

Reaktionsenthalpie 91 

Reaktionsgleichung 80 

rechnerische Bestimmung unbekannter Kräfte 

(rechnerische Gleichgewichtsaufgabe) 181 

Rechteck, Quader 203 

Rechteck-Blattfeder 275 

Rechtehandregel 133 

Rechtsschraubenregel 133 

rechtwinkliges Dreieck, allgemeine Beziehungen 

16 

Reduktion der Trägheitsmomente, Getriebe 202 

reelle Zahlen 1 

Regel, logarithmische 35 

Reibarbeit 201 

Reibkraft 185 

Reibleistung 187 

Reibmoment 187 

Reibschluss 310 

Reibung 185 

– auf schiefer Ebene 185 

– in Maschinenelementen 186 

Reibungsarbeit 199 

Reibungswinkel, Trapezgewinde 269 

Reibungszahl, Trapezgewinde 269 

Reibwinkel 185, 190, 307 

– im Gewinde 260, 269 

Reibzahl 185, 188, 199 

– der Mutterauflage 186 

– im Gewinde 186 


Reihen 32 

–, Definition 32 

Reihenschaltung von Blindwiderständen 142 f. 

– – Induktivitäten 138 

– – Kondensatoren 127 

– – Widerständen u. Quellen 122 

Reinelemente 63 

Rekursionsformel 41 

Relationen, graphische Darstellung 10 

Reluktanz 128 

Resistanz 115, 141 

Resistivität 115 

Resonanzbedingung 141 

Reststrom 156 

Resultierende aus Schnittkraft 337 

–, rechnerische Bestimmung 178 

–, zeichnerische Bestimmung 178 

Reynolds'sche Zahl 206 

Reynoldszahl, kritische 207 

Re-Zahl, Umstellung 210 

Rhombus 12 

Richtwert, spezifische Schnittkraft 362 

Richtwerte für die Schnittgeschwindigkeit beim 

Drehen 333 

– – – – und den Vorschub 358 

– – – spezifische Schnittkraft beim Drehen 

338 

– – Fräswerkzeuge aus Schnellarbeitsstahl 

345 

– – Schnittgeschwindigkeit 345 

– – spezifische Schnittkraft 359 

– – Vorschub des Stechwerkzeugs 344 

–, Neigungswinkel 349 

–, Orthogonalfreiwinkel 349 

–, Orthogonalspanwinkel 349 

–, Umrechnung 331 

–, Vorschub 346 

Riemenscheibe 298 f. 

Ring 203 

Ring, umlaufender 241 

Ringbreite 13 

Ringfeder 277 

Ringfederspannelement 298 

Ringfederspannverbindung 298, 310 

–, Einbau und Einbaubeispiel 310 

–, Maße, Kräfte und Drehmomente 311 

Ringpaar 310 

Ritzel 318 

Rohrreibungszahl 209 f. 

Rohteilstange 344 

Rollbedingung 187 

Rolle (Leit- oder Umlenkrolle), feste 188 

–, lose 188


Rollen- und Flaschenzüge 188 

Rollenzug, Wirkungsgrad 190 

Rollkraft 187 

Rollreibung 187 

Rollwiderstand 187 

Rotationskörper, Mantelflächen 47 

–, Volumen 46 

Rotationsparaboloid 46 

Rp 0,2 0,2-Dehngrenze 259 

– – der Schraube 269 

Rücksprunghöhe 198 

Rückstellkraft 196 

Rückstellmoment 196 

Ruhemasse des Elektrons 59 

– – Protons 59 

Runddrehen 330 

–, Hauptnutzungszeit 341 

Rundheitstoleranz 252 

Rundvorschub 365 f. 

Rundvorschubbewegung 367 

Rutschbeiwert 301, 303, 307, 309 

–, geschmiert 301 

Sacklochgewinde, Einschraublänge 271 

Säure 80 

Schallgeschwindigkeit 206 

Scheibenfeder, Beanspruchung 287 f. 

Scheibenfräser 349 

Scheinwiderstand 141 ff. 

Scheitel 30 

Scheitelfaktor 139 f. 

Scheitelgleichung 29 ff. 

Scheitelradius 31 

Scheitelwert 139 

Schema einer arithmetischen Stufung 32 

– – geometrischen Stufung 32 

Schenkeldicke 230 

Schiebergeschwindigkeit 192 

Schieberweg 192 

Schiebesitz 254 

Schiebung 217 

schiefe Ebene 185 

schiefwinkliges Dreieck, allgemeine Beziehungen 

17 

Schlankheitsfaktor 279 

Schlankheitsgrad 233 f. 

Schleifbreite, wirksame 369 

Schleifen 365 

Schleifhub 371 

Schleifscheibentopografie 368 

Schleusenspannung, Schwellspannung 151 

Schlichten 353 

Schlichtschleifen 365 

Schlichtzerspanung 346 

Schlüsselweite 263 

Schlusslinien-Verfahren 181 

Schmelzenthalpie 162, 173 

Schmelzpunkt fester Stoffe 174 

Schmelztemperatur 162 

Schmierart, erforderliche 328 

Schmierung, Art 328 

Schnecke 325, 327 

– und Schneckenrad 319 

–, mehrgängige 325 

–, Steigungshöhe 325 

–, treibende 326 

Schnecken-Abmessungen 327 

Schneckengetriebe 328 

–, Einzelrad- und Paarungsgleichungen 325 

–, Gesamtwirkungsgrad 325 

Schneckenlänge 327 

Schneckenrad 325, 327 

–, treibend 326 

–, Zähnezahl 325 

Schneckenwelle 327 

Schneidenpunkt 332, 335, 355 

Schneidenzugabe 344, 364 

Schneidkeil 334, 368 

Schneidkeilgeometrie 368 

Schneidkeilschwächung 335 

Schneidstoff-Korrekturfaktor 337 

Schnittbreite 345 

Schnittgeschwindigkeit 330 f., 339, 342, 367 

–, empfohlene 331, 348 

–, Richtwerte 331, 356, 368 

–, Umrechnung (Bohrarbeitskennziffer) 356 

–, wirkliche 332 

Schnittgeschwindigkeitsempfehlungen 356 

Schnittgeschwindigkeits-Korrekturfaktor 336 

Schnittgrößen 329, 345, 355, 365 

– beim Umfangsschleifen 365 

Schnittkraft 337, 339, 362, 369 

– (nach Kienzle) 336 

– am Einzelkorn 369 

– an der Einzelschneide 363 

– je Einzelschneide 362 

–, spezifische 330, 336, 339, 351, 362, 369 

–, – (rechnerisch) 336 

Schnittkraftverlauf, theoretischer 350 f. 

Schnittleistung 339, 352, 363, 370 

Schnittmoment 362 f. 

Schnittpunkt zweier Geraden 27 

Schnitttiefe 330, 339, 342, 345, 351 

–, (Schnittbreite) 355 

Schnittvorschub 345 f. 

Schnittwinkel 28, 216 

Schrägstirnrad 318 

– -Nullgetriebe 320 

– -V-Getriebe, Berechnungsgleichungen 320 

– -V-Nullgetriebe 320 

Schrägungswinkel 321 f. 

– am Teilkreis 320 

Schrägzahn-Kegelrad 319 

Schraube 186 

–, Abmessungen 261 

–, Axialkraftanteil 263 

Schraubendruckfeder, zylindrische 273, 278 

Schraubenfederpendel 196 

Schraubenkraft 264 

Schraubenlängskraft 267 

Schraubenverbindung 259, 261 

–, vorgespannte 262 

–, zentrisch vorgespannte 262 

Schrauben-Zugfeder, zylindrische 280


Schrumpfen 235 

–, Fügetemperatur 304 

Schrumpfmaß, Pressverbindung 243 

Schrumpfring 309 

Schrumpfverbindung 298 

Schruppen 353 

Schruppschleifen 365 

Schruppzerspanung 335, 346 

Schub 240 

Schubbeanspruchung 289 

Schubkurbelgetriebe 197 

Schubmodul 56, 196, 217, 236, 275, 278 

Schubspannung 215, 235, 239 f., 279 

–, Hooke'sches Gesetz 217 

–, ideelle 278 

–, maximale 216, 238 

Schubspannungshypothese (Mohr) 239 

Schubspannungsverteilung 235 

Schubstangenverhältnis 197 

schwarzer Körper, Strahlungskonstante 57 

Schwellbelastung 313 

Schwellfestigkeit 269 

Schwerachse 202, 206, 219 

Schweredruck 207 

Schwerependel 196 

Schwerlinie 183 

Schwermetalle, niedrigschmelzende 68 

Schwerpunkt 182 

– eines Dreiecks 27 

Schwerpunktslage 220 

Schwingung, lineare 194 

–, periodische 194 

–, ungedämpfte 195 

Schwingungsbeginn 195 

Schwingungsdauer 194 

–, gemessene 197 

Schwingungsgehalt 140 

Schwingungsweite 195 

Schwingungszahl 195 

Schwungrad 298 

Sechseck 14 

–, regelmäßiges 13, 52 

Sechskantsäule 14 

Sechskantschraube M10, Bezeichnung 270 

–, Bezeichnung 246 

–, Dehnlängen 262 

–, Dehnquerschnitte 262 

–, elastische Nachgiebigkeit 262 

–, F-Kontrolle 263 

–, geometrische Größen 270 

Sehnenlänge 13 

Seileck 181 

Seileckfläche 219 

Seileckverfahren 178 

Seilreibung 188 

Seilstrahl 181 

Seitenfreiwinkel 360 f. 

Seitenhalbierende 182 

Seitenkeilwinkel 360 f. 

Seitenkraft 206 

Seitenspanwinkel 360 f. 


Seitenvorschub 368 

Sekans 20 

Selbsthemmung 185 ff., 310 

Selbsthemmungsbedingung 185 

Selbstinduktion 131 

seltene Erden (Lanthanoiden) 67 

Senkrechte im Punkt P 49 

Senkschraube, Bezeichnung 270 

– mit Schlitz 270 

Senkung 270 

Setzbeträge, Richtwerte 265 

Setzkraft 264 f., 267 

Shore-Härte 287 

Shunt 123 

Sicherheit 296 

Siebeneck, regelmäßiges 52 

Siede- und Kondensationspunkt 174 

Siedetemperatur 162 

SI-Einheit 55 

Sinus 20 

Sinussatz 18 

Sinusschwingung 195 

– (harmonische Schwingung) 194 

Spanfläche 335 

Spannelement 311 f. 

– der axialen Spannkraft, Ermittlung der Anzahl 

312 

Spannhülse 298 f. 

Spannkraft 188 

–, axiale 312 

Spannkraft, gegebene 259 

Spannsatz 310 f. 

Spannschloss 259 

Spannschraube 310 

Spannung am Innenrand 243 

–, elektrische 58, 115 ff. 

–, rechnerische 283 

Spannungserzeugung 130 f. 

Spannungsfall 115 

Spannungsfehlerschaltung 123 

Spannungsgleichungen (siehe Spannungsbild) 

304 

Spannungshubgrenze 284 

Spannungsnachweis 217 f., 235 f. 

Spannungsquelle 119 f. 

Spannungsquerschnitt 260, 266 

–, erforderlicher 259 f., 261, 268 

Spannungsreihe 85 

Spannungsteiler 124 

Spannungsverlust 115 

Spannungsverteilung 235, 303 

– bei Biegebeanspruchung 228 

Spannungszustand, ebener 215 

–, einachsiger 215 

–, mehrachsiger 239 

Spannute 360 

Spannweg 311 

Spanungsbedingung 331, 356 

Spanungsbreite 330, 346, 356 

Spanungsbreitenexponent 340 

Spanungsdicke 330, 347, 356


Spanungsdickenexponent 336, 340, 351, 362, 

369 

Spanungsgröße 329, 345, 355 

Spanungsquerschnitt 330, 336, 339, 346, 356 

Spanungsverhältnis 330, 347 

Spanungsvolumen 339 

Spanwinkel 335, 368 

Spanwinkel-Korrekturfaktor 336 

Sperrbereich 151 

Spielpassung 249 

Spieltoleranzfeld 254, 257 

Spinquantenzahl 66 

Spiralbohrer, Richtwerte 357 

–, zweischneidige 355 

Spiralfeder 276 

Spitzenwinkel 360 f., 364 

– des Gewindes 186 

Sprengkraft 309 

–, (gesamte Verspannkraft) 309 

Sprungüberdeckung 322 

Stahl- und Stahlguss-Nabe 313, 316 

Stähle, Bezeichnungssystem 97 

Stahlflansch 263 

Stahlguss 101 

Stahl-Nabe 309 

Standardpotentiale 85 

Standgeschwindigkeit, Berechnung 341 

Standgleichung 340 

Standlänge 356 f. 

Standlängenexponent 357 

Standverhalten 340, 349 

Standweg 356 

Standzeit 331, 340, 357 


–, wirkliche 332 

Standzeitexponent 331 f., 340 

Standzeitforderung, vorgegebene 331 

Standzeitvorgaben 331 

Statik der Flüssigkeiten 205 

statisch bestimmt 181 

– unbestimmt 181 

Staudruck 207, 211 

Staurand nach Prandtl 208 

Stefan-Boltzmann-Konstante 59 

– – Gesetz 165 

Steighöhe 190 

Steigung 272 

Steigung und Steigungswinkel 27 

Steigungswinkel 31, 269, 272 

– am Flankenradius 186 

– des Gewindes 266 

–, mittlerer 325 

Stellring 299 

Sternpunktleiter 148 f. 

Sternschaltung 148 ff. 

Sternspannung 148 

Steuerstrom 157 

Stiftverbindung 299 

Stirnfräsen 345 ff., 350 

–, außermittiges 351 

–, mittiges 351 

–, Schnittkraft 351 

Stirnmodul 321, 324 

Stirnschnitt 318, 320 

Stirnverzahnung 299 

Stoffmenge 87 

Stoffmengenkonzentration 88 

Stokes 206 

Stoß, gerader zentrischer 198 

–, vollkommen elastischer 198 

–, vollkommen unelastischer 198 

Stoßabschnitt 198 

Stoßanfall 315 

Stoßkraft 198 

Stoßlinie 198 

Stoßzahl 198 

Stoßzahlbestimmung 198 

Strahlungsaustauschzahl 165 

Strahlungsfluss 165 

– des wirklichen Körpers 165 

Strahlungskonstante 57 

–, allgemeine 165 

Strahlungszahl 176 

Strangspannung 148 

Strangstrom 148 

Strecke halbieren (Mittelsenkrechte) 49 

Streckenlast 219, 222 

Streckgrenze 95, 259 f., 293, 297, 315 

–, Rp 0,2 0,2-Dehngrenze 312 

Stromdichte 115 

Stromfehlerschaltung 123 

Stromflusswinkel 140, 160 

Stromstärke 115, 118 


Strömung, gestörte 207 

–, laminare 207, 210 

–, turbulente 207, 210 

Strömungsgeschwindigkeit 206 f. 

–, kritische 206 

Strömungsgleichungen 206 

Strömungsrichtung 207 

Stufensprung 331 

Stülpmittelpunkt 281 

Stützfläche 177 

Stützkraft 181, 222 

– bestimmen 219 

–, Biegemomente und Durchbiegungen 222 ff. 

Stützwirkung, statische 297 

Substitutionsgleichung 37 

Summenbremse 189 

Summenformel 21 

Summenregel 36 

Suszeptanz 141 

Symbole für Form und Lagetoleranzen nach DIN 

ISO 1101 252 

System, metastabiles 96 

–, metrisches 60 

–, stabiles 96 

systematische Benennung anorganischer Verbindungen 

73 

– – organischer Verbindungen 74 

– – von Säuren und Säureresten 74 

Tangens 20


Tangenssatz 18 

Tangente 51 

Tangentengleichung 29 ff. 

Tangentialbeschleunigung 194 

Tangentialkraft 200, 235 

Tangentialspannung 235, 240 f., 243 

Tangentialverzögerung 194 

Tangentkeil 298 

technische Stromrichtung 118 

Teilkegellänge 324 


Teilkegelwinkel 323 

Teilkreis 318 

Teilkreisdurchmesser 321, 324, 327 

Teilkreisgeschwindigkeit 328 

Teilkreisradius 320 

Teilkreisteilung 320 

–, Normalschnitt 321 

Teilkreisteilung, Stirnschnitt 321 

Tellerfeder 280, 284 

–, Auflagefläche 282 


–, Querschnitt 281 

Tellerhöhe, lichte 281 

Tellerrad am Kraftfahrzeug 267 

Temperatur, thermodynamische 57, 163 

Temperaturänderung 218 

Temperaturbeiwert 116 

Temperatur-Fixpunkte 172 

Temperatur-Linie 163 f. 

Temperatur-Umrechnungen 172 

Tetmajer 233 

– -Gleichungen für Knickspannung 233 f. 

Thyristor 157 ff. 

Toleranzeinheit 248 

Toleranzen in Zeichnungen, Eintragung 250 

– und Passungen, Grundbegriffe 247 ff. 

Toleranzklasse, Eintragung 250 

Torsion und Abscheren 238 

Torsionsbeanspruchung, reine, Sicherheitsnachweis 

293 

Torsionsbeanspruchung, Sicherheit 296 

Torsionsmoment 239, 290 

–, zulässiges 236 

Torsionspendel 196 

Torsionsschubspannung 239 

Torsionsspannung 260, 266 

–, vorhandene 236 

Torsionswechselfestigkeit 294 

Totlage 197 

Träger 221 

Tragfähigkeit, Berechnung nach DIN 743 293 

Trägheitskreis 220 

Trägheitsmoment 56, 195 f., 202 ff., 274 

–, Definitionsgleichung 202 

– für gegebene parallele Drehachse 202 

– für parallele Schwerachse 202 

– (Massenmomente 2. Grades), Gleichungen 

203 

Trägheitsradius 202, 219, 228 ff. 

Tragtiefe 244, 246, 271 f. 

Transformator, einphasig 138 

Transistor 155 f. 

–, Kennwerte, Grenzwerte 156 

–, Verstärkung 156 

–, Vierquadranten-Kennlinienfeld 155 

Trapez 13 

Trapez-Blattfeder 275 

Trapezfläche 182 

Triac 159 f. 

Triebkraft (Kolbenkraft) 205 

trigonometrische Funktionen, Grundformeln 21 

Tripel 1 

Überdruck 209 

Übergangspassung 249 

Übergangstoleranzfeld 254, 257 

Überlaufweg 342, 344, 352, 364 

Übermaß 300, 303 

– (Haftmaß) 301 

–, errechnetes 305 

Übermaßpassung 249 

Übermaßtoleranzfeld 254, 257 

Übermaßverlust 300 

überschlägige Ermittlung des erforderlichen 

Spannungsquerschnitts und Wahl des Gewindes 

260 

Übersetzung 200, 320, 323, 325 

Übersetzungsverhältnis, Trafo 138 

Umdrehungsparaboloid 184 

Umfangseinstechschleifen 366 

Umfangsfräsen 345 ff., 350, 352 

–, Schnittkraft 350 

Umfangsgeschwindigkeit 55, 192 f., 197, 202, 

370 

– (Zahlenwertgleichung) 327 

– der Schleifscheibe 367 

– des Werkstücks 367 

Umfangskraft 188, 319 


–, Teilkreis 318 

Umfangslängsschleifen 365 

Umfangsschleifen, Einstechschleifen 367 

–, Längsschleifen 367 

Umfangsstirnfräsen 352 

Umkehrfunktion 6 

Umkreis, Radius 17 

Umkreisradius 13 

Umlaufdurchmesser 342 

Umlaufsinn 119 

Umrechnung von km/h in m/s 190 

– – Winkeleinheiten 19 

Umrechnungstabelle für Leistungseinheiten 60 

– – metrische Längeneinheiten 60 

Umschlingungswinkel 188 

Umwandlung, passiver Wechselstromzweipole 

146 

–, Stern-Dreieck 150 

Unendlichkeitsstelle 43, 48 

Unterdruck 161 

Unterspannung 279 

Unterspannungsfestigkeit 279 

U-Stahl, Bezeichnung 228 

–, warmgewalzter rundkantiger 228


v, t-Diagramm 190 

VDI-Richtlinie 2230 261 

Ventil 210, 212 

Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie 174 

Verdampfungsenthalpie 162 

Verdrehschub 287 f. 

Verfahrensfaktor, Aufbohren 362 

–, Bohren ins Volle 362 

Vergleichsmittelspannung 296 

Vergleichsmoment 240, 290 

Vergleichsspannung 239 f., 260, 290 

– (reduzierte Spannung) 266, 268 

–, Bestimmung 239 

Vergütungsstahl 100, 294 

Verlängerung 216 f. 

Verlustfaktor 141 

Verlustleistung 115 f., 151, 156 f. 

Verlustleistung im Antrieb 339 

– – Getriebe 339 

– – Motor 339 

Verschiebekraft 185 


Verschieberäder 299 

Verschieberädergetriebe 299 

Verschiebesatz von Steiner 202, 220 

Verschleißmarkenbreite 340 

Verspannkraft 309 

–, zentrische 263 

Verspannungsbild 264 

Verspannungsdiagramm 262, 264 

Verzögerung 191 

Vickershärte 94 

Vieleck 13 


Viereck (Quadrat) 13 

Vier-Kräfteverfahren 180 

Vierschichtdiode 158 

Viéta 9 

Viskosität, dynamische 56 

–, kinematische 56 

V-Nullgetriebe 323 

Vollwelle und gleichelastische Werkstoffe, Formänderungsgleichung 

303 

Vollwinkel und rechter Winkel 19 

Vollzapfen 187 

Volumen 14, 184 

–, spezifisches 161, 166 

Volumenänderungsarbeit 167 

Volumenausdehnungskoeffizient 162 f., 174 

Volumendehnung 217 

Volumenstrom 207, 209 

–, (theoretischer) 208 

Volumenzunahme 162 

Vorschub 330, 335, 345 

– je Einzelkorn (Rundvorschub) 365 f. 

– – Schneide 355 

– pro Schneide 345 

–, Richtwerte 346, 355 

– DIN 803 (Auszug) 330 

Vorschubgeschwindigkeit 332, 339, 348, 357 

Vorschubkraft 337, 339, 351, 362 

Vorschubleistung 339, 363 

Vorschub-Normalkraft 351 

Vorschubreihe 330 

Vorschubrichtung 330 

Vorschubrichtungswinkel 346, 347 

Vorschubstufung 330 

Vorspannkraft 262, 264 

– für Riemen, Bezeichnungen 291 

–, gegebene axiale 260 

Vorspannung, innere 280 

Vorspannungskraftverlust 265 

Vorzeichenregeln 3 

ω, t-Diagramm 193 

Walzenfräser, drallverzahnter 349 

–, geradverzahnter 349 

–, zylindrischer 348 f. 

Wälzlager 298, 327 


Wälzpunkt 318 

Wandrauigkeit, absolute 211 f. 

–, relative 210 

Wärme 57, 161 

–, spezifische 57, 161 

–, zu- oder abgeführte 168, 170 

Wärmeausdehnung 162 

– fester Körper 162 

– flüssiger Körper 162 

– von Gasen 162 

Wärmedurchgang 164 

Wärmedurchgangskoeffizient 57, 165 

Wärmedurchgangszahl 165, 176 

Wärmekapazität 118 

–, mittlere spezifische 161, 173 

–, spezifische 57, 166, 172 

Wärmeleitfähigkeit 57, 163 

Wärmeleitung 163 

Wärmeleitzahl fester Stoffe 175 

– von Flüssigkeiten 175 

– von Gasen 175 

Wärmemenge 57, 118, 161 

Wärmespannung 218 

Wärmestrahlung 165 

Wärmestrom 163 ff. 

Wärmeübergang 164 

Wärmeübergangskoeffizient 57, 164 

Wärmeübergangszahl 164, 175 

–, Formeln 164 

Wärmeübertragung 163 f. 

Wärmewirkungsgrad 118 

Wattsekunde 199 

Wechselbelastung 313 

Wechselgrößen, Kennwerte 139 f. 

–, Mischgrößen 140 

Wechselpermeabilität 136 

Wechselstromtechnik 139 ff. 

Weg 191 

Weitwinkelfräsen 349 

Welle 289 f. 

–, Toleranzfeld 305 

–, unteres Abmaß 305 

–, Normen (Auswahl) 288


Welle-Nabe-Verbindungen, Kerbwirkungszahlen 

295 

Wellenbund 299 

Wellendrehmoment 301 

Wellendrehzahl 315 

Wellendurchmesser 290 

–, rechnerischer 290 

–, überschlägige Ermittlung 290 

Wellenende, kegliges 298, 306, 308 

Wellenentwurf 290 

Wellenleistung 188 

Wellenmaße 248 

Wellennut 315 

Wellennuttiefe 315 

Welligkeit 140 

Wendepunkt 43, 48, 222 

Wendeschneidplatte 333 

Werkstoffe, anorganisch nichtmetallische 108 

–, kurzspanende 336 

–, langspanende 336 

Werkstoffvolumen 339 

Werkstück, Momentangeschwindigkeit 348 

Werkstückdrehzahl 331 

Werkstückform-Korrekturfaktor 337 

Werkzeug-Anwendungsgruppen 361 

– – Richtwerte 360 

Werkzeugbewegung relativ zum Werkstück 

353 f. 

Werkzeug-Bezugsebene 334 

– -Bezugssystem 334 

Werkzeugdrehzahl 357, 363 

–, erforderliche 348, 357 

Werkzeugkegel 307 

Werkzeug-Orthogonalebene 335 

Werkzeug-Schneidenebene 334 

Werkzeugverschleiß-Korrekturfaktor 337 

Werkzeugwinkel 334, 348, 360, 368 

– am Bohrwerkzeug (Spiralbohrer) 360 

– am Messerkopf 348 

Wertigkeit, stöchiometrische 71 

Wichte 161 

Wickelverhältnis 278 ff. 

Widerstand, elektrischer 58, 115 

– in Rohrleitungen 209 f. 

–, linearer 153 

–, magnetischer 128 

–, nichtlinearer 153 

–, spezifischer 115 f. 

–, temperaturabhängiger 116 

Widerstandsmoment 229 ff., 237 

–, axiales 218, 220, 289 


–, – polares (Zahlenwertgleichung) 236 

–, polares 220, 266, 272 

Widerstandszahl 210 

– von Leitungsteilen 212 

Windungssteigung 277 

Winkel halbieren 50 

–, ebener 55 

Winkelbeschleunigung 55, 193 f., 202, 204 

Winkelgeschwindigkeit 55, 187, 192 f., 200, 202, 

204, 240 


Winkelgeschwindigkeitslinie 193 

Winkelhalbierende 17, 28, 183 

Winkelstahl, Bezeichnung 229 

–, ungleichschenkliger, Bezeichnung 230 

–, warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger 

229 

–, – ungleichschenkliger rundkantiger 230 

Winkelverzögerung 194 

Wirkabstand 179, 235 

– der Auflagereibung 186 

Wirkdruck 208 

Wirkgeschwindigkeit 332, 347f., 357 

Wirkgröße 141 

Wirkleistung 363 

– (Zerspanleistung) 339 

Wirkrichtungswinkel 347 

Wirkungsgrad 117 f., 188, 200, 205, 269, 326 

– bei Lastheben 187 

– des Rollenzugs 188 

–, Kühlöldurchsatz und Schmierarten der Getriebe 

328 

–, thermischer 162, 171 

Wirkwiderstand 115, 141 

Wurf schräg nach oben (ohne Luftwiderstand) 

192 

–, senkrechter 190 

Wurfdauer 192 

Würfel 14 

Wurfgleichungen 192 

Wurfhöhe 192 

Wurfweite 192 

Wurzelgleichung 9 

Wurzelrechnung (Radizieren) 5 

Zähigkeit, dynamische 206, 210 f. 

–, kinematische 206, 210 f. 

–, Umrechnungen 206 

Zahl, komplexe 1, 7 

–, rationale 1 

–, reelle 1 

Zahlenpaar, konjugiert komplexes 7 

Zahlenwertgleichung 200 

Zahn im Normalschnitt 318 ff. 

– – Stirnschnitt 320 

Zahnbreite 320, 326 

Zahndicke 320 

–, Kopfkreis 323 

Zahndickennennmaß, Normalschnitt 323 


Zähnezahlverhältnis 320, 323 

Zahnfußhöhe 325 

Zahnhöhe 327 

Zahnkopfhöhe 322, 324 

Zahnrad 298 f. 

–, Kräfte 317 

Zahnradgetriebe 317 


Zahnvorschub 346 

Zapfen 290 


Zapfenradius 187


Zapfenreibzahl 187 

Z-Diode 154 

Zehneck 14 

Zehnerpotenz 5 

zeichnerische Bestimmung unbekannter Kräfte 

(zeichnerische Gleichgewichtsaufgabe) 180 

Zeichnung, Eintragung von Toleranzen 250 

Zeigerdiagramm 139, 148 

Zeit 191 

Zeitabschnitt 190 

Zeitdiagramm 139 

Zeitfestigkeit, Nachweis 284 

Zeitfestigkeitsdiagramm 284 

Zentipoise 206 

Zentrifugalmoment 219 

Zentripetalkraft 201 

Zentriwinkel 182 

Zerreißfestigkeit 287 

Zerspankraft 336 f., 350 f., 362, 369 

– am Einzelkorn 369 

– beim Umfangsschleifen 369 

–, Komponente 337 

Zerspantechnik 329 

–, Grundbegriffe 329 


Zug und Biegung 238 

Zug- und Druckbeanspruchung 217 

Zug/Druck und Torsion 240 

Zug/Druckwechselfestigkeit 294 

Zugbeanspruchung 287 

Zugfeder 273 

–, innere Vorspannkraft 280 

–, zylindrische 273 

Zugfestigkeit 95 

Zughauptgleichung 260 

Zugkraft 188, 260 

– wirkt parallel zur Ebene 185 

– – waagerecht 185 

Zugspannung 240, 259 f., 284 

–, größte 218 

–, mittlere tangentiale 304 


Zugversuch 95 

Zündspannung 159 

Zündstrom 159 

Zündwinkel 140, 160 

Zustandsänderung, adiabate 170 f. 

–, Carnot'scher Kreisprozess, Gleichungen 167 

–, isobare 168 

–, isochore 167, 169 


–, isovolume 167 

–, polytrope 170 

–, polytrope, Sonderfälle 170 

Zustandsgleichung idealer Gase, allgemeine 166 

Zweigelenkstab 177 

Zwei-Kräfteverfahren 180 

Zweipunkteform der Geraden 27 

Zweirichtungs-Diode 158 

– -Thyristordiode, Diac 158 

– -Thyristortriode, Triac 159 

Zweiweg-Gleichrichtung 140 

Zykloide 12 

Zykloidenbogen 45 

Zylinderdeckel-Verschraubung 261 

Zylinderführung 186 

Zylindermantel 203 

Zylinderspule 136 

Zylinderstift 299, 313

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