Teil 8.pdf - von Gunthard Kraus

Dr. Lothar Wenzel 

Digitale Signalverarbeitung 

ist keine Hexerei 

Teil 8: Datenfitting und Vorhersage 

Bei zahlreichen Anwendungen der 

digitalen Signalverarbeitung muß 

man die Struktur des vorliegenden 

Datenmaterials mit Hilfe einer 

Modellvorstellung vereinfachen. 

Damit sind im Regelfall Ziele wie 

Datenreduktion, Rauschunterdrückung 

oder Eliminierung unerwünschter 

Übertragungseffekte 

verbunden. Die Resultate derartiger 

Manipulationen sind darüber 

hinaus auch im Sinne der Interbzw. 

Extrapolation zu nutzen. 

Letzterer Begriff ist vielleicht besser 

unter dem Namen „Vorhersage“ 

bekannt. Einige der wichtigsten 

Verfahren und deren Anwendungen 

schildert dieser Teil unserer 

DSP-Serie. 

Fittingroutinen findet man in der Signalverarbeitung sowohl 

im Zeit- als auch im Frequenzbereich vor. Bekannter 

dürfte die erste Variante sein. Im Normalfall ist 

eine Menge von Wertepaaren (x[n], y[n]) vorgegeben. Interpretiert 

werden diese Daten als Meßwert y[n] zum Zeitpunkt 

x[n]. Die Zeiten können dabei gleichmäßig verteilt, 

manchmal aber auch regellos angeordnet sein. Ein Beispiel 

für die zweite Möglichkeit sei vorweggenommen, da es im 

weiteren Verlauf noch benötigt wird. Wechselkurse wie die 

des Schweizer Franken zur Deutschen Mark (siehe auch [5]) 

Grundlagen 


werden an den Währungsbörsen zu zeitlich nicht fixierbaren 

Kursen gehandelt. Die Abstände zwischen den verschiedenen 

Notierungen reichen von einigen Sekunden bis 

zu vielen Minuten (Bild 1). Nachts und außerhalb der Handelstage 

liegen überhaupt keine Daten vor. 

Neben den Wertepaaren ist eine Modellgleichung vorgegeben, 

die in bestimmter Weise Zeitpunkte und Meßwerte 

miteinander verbindet. Arbeitet man z.B. innerhalb der 

Klasse der Polynome, so wird der Grad der Einfachheit 

durch die Ordnung des Polynoms charakterisiert. Ziel der 

Fittingroutine ist es nun, Modell und Realität möglichst in 

Einklang zu bringen. Das läuft auf ein Optimierungsproblem 

hinaus, wobei es zahlreiche Zielfunktionale gibt, die 

nicht immer zu denselben Resultaten führen werden. Das 

am häufigsten verwendete Verfahren ist die Methode der 

kleinsten Quadrate, bei der man versucht, den Wert folgender 

Summation zu minimieren: 

[ [ ] ] 2 

∑ fa,xn ( [ ] ) − yn 

Das Symbol f steht hierbei für die Modellgleichung, a beschreibt 

einen Satz von zu bestimmenden Parametern. 

Wird polynomial gefittet, steht a gerade für die Menge der 

zu ermittelnden Koeffizienten des Polynoms. 

Es gibt Standardmethoden zur Lösung des Optimierungsproblems 

(1). Im Falle von Polynomen als Modellgrundlage 

führen diese Strategien auf direktem Wege zu linearen 

Gleichungssystemen mit den Koeffizienten des gesuchten 

Polynoms als unbekannte Größen. Diese Eigenschaft 

ist vielleicht das stärkste Argument für den Einsatz 

derartiger Modelle. Später wird anhand von Modellvorstellungen, 

die auf Linearkombinationen periodischer Schwingungen 

aufbauen, gezeigt, daß im allgemeinen Fall eine 

kompliziertere Numerik erforderlich ist. 

Polynomiale Fits sind mit größter Vorsicht zu genießen, 

da dieser Ansatz nur höchst selten etwas mit einem realen 

Prozeß zu tun haben wird. Man nutzt Polynome auch nur 

62 Elektronik 11/1999 

(1)

dann, wenn sich kein besseres Modell anbietet oder falls 

klar ist, daß ein Polynom garantiert der richtige Ansatz ist. 

Zudem muß man die Ordnung des Polynoms möglichst gering 

halten, da ansonsten unschöne Oszillationen auftreten. 

Für die Vorhersage zukünftiger Daten sind eigentlich nur 

lineare Fits wirklich im Einsatz. Man bedenke, daß sich alle 

Polynome jenseits der konstanten Funktion für immer 

größer werdende Zeiten im Unendlichen verlieren. Diese 

Eigenschaft steht in scharfem Kontrast zum realen Verhalten 

aller Meßwerte. 

Grundlagen 


Bild 1. Aktienkurse und andere Notierungen folgen aus Sicht der Taktraten keinem 

festen Schema. Die zeitlichen Abstände können im Sekunden- aber gegebenenfalls 

auch im Stundenbereich liegen. 

Auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussieht, die 

Fouriertransformation ist ein polynomialer Fit im Frequenzraum. 

Allerdings muß man hier mit komplexen Zahlen 

hantieren und es geht um Polynome in der komplexen 

Variablen exp(jω), wobei ω für die Frequenz steht. 

Die Methode nach Levenberg-Marquardt 

Die gebräuchlichste Methode für eindimensionale Fittingprobleme 

mit beliebig umfangreichen Parametersätzen 

ist das Verfahren nach Levenberg-Marquardt. Diese Methode 

arbeitet iterativ und läßt allgemeine Modellgleichungen 

zu. Die Qualität des Verfahrens hängt in starkem Maße 

von den Anfangswerten der Parameter ab. Anders gesagt: 

Es muß keine Konvergenz gegen den optimalen Parametersatz 

vorliegen. Bei praktischen Anwendungsfällen verfügt 

man allerdings relativ oft über gute Abschätzungen für die 

Parameter, so daß Levenberg-Marquardt als das Mittel der 

Wahl bei allgemeinen Modellansätzen gelten darf. 

Das Programm LEVENBERG ist eine voll funktionsfähige 

Umsetzung dieses Algorithmus. Man kann Werte künstlich 

mit Hilfe von Formeln produzieren. Das ist schon deshalb 

lehrreich, weil sich die Modellgleichung mit dieser Formel 

abstimmen läßt. In diesem Fall kennt man die Lösung, und 

es läßt sich überprüfen, ob das Programm in Abhängigkeit 

von verschiedenen Startwerten zum korrekten Resultat 

führt. Es empfiehlt sich die Addition eines Zufallstermes, 

was Rauscheffekte simuliert. Die zu beachtenden 

Regeln für die Formeleingaben 

finden sich in [1]. 

Filterung statt echtem Fitting 

Digitale Filter kann man nicht direkt zu 

den Fittingstrategien zählen, manchmal 

leiten sie jedoch die eigentliche Optimierung 

ein, oder man begnügt sich mit den 

gefilterten Daten, ohne eine genaue Modellvorstellung 

ins Spiel zu bringen. Letzteres 

ist z.B. ein Standardwerkzeug bei 

der technischen Analyse von Aktienkursen. 

Verschiedenste gleitende Mittelwerte 

sind hierbei im Einsatz, die zur Herausarbeitung 

von Trends dienen. Gleitende 

Mittelwerte sind nichts anderes als sehr 

spezielle digitale Filter mit einem Tiefpaßeffekt. 

Als flankierende Maßnahme bei Fittingroutinen 

sind Filter insbesondere deshalb 

von Interesse, weil man mit ihrer Hilfe bestimmte 

Störfrequenzen oder ganze Störbänder 

ausblenden kann, so daß das reine 

Meßsignal übrigbleibt. Verfahren wie 

das nach Levenberg-Marquardt arbeiten 

auf diesem verbesserten Datenmaterial 

weitaus stabiler und auch schneller. 

Gewöhnlich ist man an der Aufrechterhaltung 

der äußeren Form eines Signals 

bei Fittingoperationen interessiert. Insofern 

muß man mit linearphasigen Filtern 

arbeiten, die, wie im Abschnitt der Serie über digitale Filter 

beschrieben [3, 4], weitgehend formkonservierend arbeiten. 

Fitting mit periodischen Funktionen 

Die klassische Fittingstrategie mit periodischen Schwingungen 

basiert auf der Fouriertransformation. Hierbei 

schneidet man mehr oder weniger viele Glieder der Fourierentwicklung 

ab. Bei zahlreichen Anwendungsfällen genügen 

bereits einige wenige Komponenten, um den Signalverlauf 

fast vollständig zu reproduzieren. Diese Methode 

eignet sich auch für unstetige Kurvenverläufe, allerdings 

hat man dann das Gibbs’sche Phänomen des Überschwingens 

an den Unstetigkeitsstellen in Kauf zunehmen. Bild 2 

erläutert den Annäherungsprozeß in letzterem Fall. 

Typisch für zahlreiche Aufgabenstellungen in der Praxis 

ist, daß man weiß, daß sich ein gegebenes Signal aus eini- 

Elektronik 11/1999 63

gen periodischen Schwingungen zusammensetzt. Normalerweise 

sind aber weder Frequenz, Amplitude noch Phase 

bekannt. Ein wichtiges Beispiel ist das Doppler-Radar. Infolge 

des Doppler-Effektes treten hierbei charakteristische 

Frequenzen in Erscheinung, die zur 

Geschwindigkeitsermittlung von Objekten 

benutzt werden. Ein anderes 

Beipiel bezieht sich auf ein Spezialproblem 

von digitalen Bildverarbeitungskarten. 

Ziel ist es dabei, Zeilenfrequenzen 

sehr präzise zu erfassen und in einer 

anschließenden Phase eine Sinusschwingung 

mit eben dieser Frequenz 

zu generieren. Da hardwaremäßig 

alles auf einfach aufgebauten 

FPGAs beruht, müssen die zu 

entwickelnden Algorithmen ebenfalls 

sehr geradlinig sein. In diesem Fall 

geht es also um das Fitting von Daten 

mit Hilfe eines sinusförmigen Modells, 

wobei Phase und Frequenz un- 

bekannt sind. Eine ähnliche Situation liegt vor, wenn ein 

Generator eines Kraftwerkes dem Landesnetz zugeschaltet 

werden soll. Genaueste Angaben über zeitliche Spannungsverläufe 

sind dann zwingend erforderlich. 

Der Fall einer einzigen Schwingung 

Die naheliegendste Methode, nämlich die Fouriertransformation, 

ist bei den geschilderten Aufgabenstellungen 

nicht einsetzbar. Der Grund dafür liegt darin, daß die Abtast- 

und die gesuchte Frequenz nicht multiplikativ auseinander 

hervorgehen müssen. Sind mehrere Frequenzen zu 

ermitteln, ist die Situation noch ungünstiger, da keinerlei 

Beziehungen zwischen diesen bestehen müssen. Eine viel 

genutzte Methode bei der Suche nach einer einzigen Sinusschwingung 

im Signal beruht aber insofern doch auf einer 

Fouriertransformation, weil man den größten Peak im Leistungsspektrum 

als Näherungswert für die gesuchte Frequenz 

nutzt. Die vollständige Methode trägt den Namen 

Buneman und wurde bereits im fünften Teil dieser Serie 

vorgestellt [5]. Bemerkenswert ist, daß die dort (leider fehlerhaft) 

dargestellte Formel (in ihrer richtigen Form, s. Kasten 

„Errata...“) völlig exakt ist, wenn das Signal wirklich 

nur aus einer einzigen periodischen Schwingung besteht. 

Schrittweise herantasten 

Ein anderes Verfahren zur Bestimmung der Frequenz 

und der Phase einer zunächst unbekannten Sinusschwingung 

(die Größe der Amplitude sei als gegeben vorausgesetzt) 

arbeitet iterativ. Das ist z.B. dann vorteilhaft, wenn 

man Anwendungen wie die weiter oben genannte Bildverarbeitungskarte 

im Auge hat. 

Nach jeder Erfassung eines neuen Meßwertes kann etwas 

gerechnet werden, woraus sich Schritt für Schritt die 

gesuchte Lösung zusammensetzt. Insgesamt gesehen läßt 

sich hierbei auf eine Reglerstruktur aufbauen, die die Differenz 

zwischen Meßwert und vorhergesagtem Sinuswert 

Grundlagen 


Bild 2. An Unstetigkeitsstellen tritt das 

Gibbs’sche Phänomen des Überschwingens 

auf. 

zur Korrektur der Frequenzschätzung nutzt. Da Regler rechentechnisch 

äußerst effizient umgesetzt werden können, 

entsteht insgesamt gesehen eine zufriedenstellende Implementierung. 

Die zugrundeliegende Theorie trägt den 

Namen Phasenregelschleife (PLL – 

phase-locked-loop). 

Prony-Algorithmus 

Von Prony (bereits 1795!) stammt 

die allgemeine Lösung für das Fittingproblem, 

basierend auf beliebig 

vielen Sinusschwingungen. Es erweist 

sich als vorteilhaft, stets im Bereich 

der komplexen Zahlen zu agieren, 

auch dann, wenn man es eigentlich 

mit reellwertigen Signalen zu tun 

hat. Insofern bestehen die einzelnen 

Schwingungen aus Komponenten 

wie A⋅exp(jBt). B steht für die Frequenz, 

die komplexe Zahl A verschlüsselt 

sowohl die Phase als auch die Amplitude. Die 

Idee des Prony-Algorithmus besteht darin, daß man die Ermittlung 

der As von der der Bs trennt. Letztere werden 

zunächst als Nullstellen gewisser Polynome ermittelt, woran 

sich in einer zweiten Etappe die Bestimmung der As 

anschließt. Hierzu ist ein passendes lineares Gleichungssystem 

zu lösen. 

Errata im fünften Teil der Serie 

Leider haben sich zwei Fehler in den fünften Teil dieser Serie in 

Elektronik 5/1999 eingeschlichen. Wir bitten unsere Leser um 

Entschuldigung. 

● In der Formel auf S. 64 dürfte kein „m“ auftreten. Statt dessen 

muß es „n“ heißen. Richtig lautet sie: 

fGrund = f + n 

π arctan 

sin π ⎛ ⎞ 

⎜ 

⎝ n 

⎟ 

⎠ 

cos π 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

⎟ 

FT( x) 

( f ) 

⎜ 

⎟ mit W = 

⎜ ⎛ ⎞ ⎟ FT 

⎜ ⎜ 

⎝ n 

⎟ + W 

( x) 

f + 1 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎠ 

● In Bild 6 wurde der Doppler-Winkel falsch dargestellt. 

Natürlich liegt der Doppler-Winkel zwischen den beiden 

Schenkeln „Fließrichtung“ und „Messung“. 

Messung 

Doppler-Winkel 

Fließrichtung 

64 Elektronik 11/1999 

( )

Das Verfahren nach Prony zählt zu den sogenannten indirekten 

Methoden, da man die eigentlich erforderliche Optimierung 

durch andere Berechnungen ersetzt. Direkte 

Verfahren gibt es auch, jedoch geht es dann um Optimierungen 

nichtlinearer Art, die äußerst rechenaufwendig und 

darüber hinaus numerisch instabil sein können. Ferner betrifft 

das ausschließlich die Grundsituation, d.h., es liegt akkurates 

Datenmaterial ohne Rauschen vor. Sind die Verhältnisse 

ungünstiger, muß der Algorithmus von Prony 

passend modifiziert werden. 

ARMA-Prozesse 

Von kaum zu unterschätzender Bedeutung sowohl für 

die komprimierte Datenbeschreibung als auch für die Vorhersage 

sind die sogenannten ARMA-Prozesse. ARMA ist 

die Abkürzung für Auto Regressive Moving Average. Der 

erste Teil des Namens legt Zusammenhänge mit der Autokorrelationsfunktion 

von Signalen nahe, gleitende Mittelwerte 

erinnern an die bereits behandelten digitalen Filter. 

Beide Komponenten spielen in der Tat auch eine entscheidende 

Rolle bei der Behandlung von ARMA-Prozessen. 

Zur Erläuterung der zugrundeliegenden Theorie lassen 

sich exemplarisch die täglichen Schlußkurse einer bestimmten 

Aktie an der Börse heranziehen. Viele Theoretiker 

gehen davon aus, daß diese Werte durch einen reinen 

Zufallsprozeß generiert werden. Es ist aber sehr gut denkbar, 

daß nicht die Börsenkurse der ursprüngliche Zufallsprozeß 

sind. Vielmehr können sie als Ergebnis einer 

Übertragungsfunktion aus den wahren zufälligen Ereignissen 

heraus generiert sein (vergleiche auch [5]). Mit anderen 

Worten, man ist daran interessiert, aus zufällig vorliegenden 

Daten x[n] auf das unbekannte Systemverhalten zu 

schließen. Da fast alles und jedes in unserer Welt als System 

deutbar ist, liegt somit eine sehr allgemeine Problemstellung 

vor, der man in Technik, Wissenschaft, Finanzwesen, 

Biologie und in vielen weiteren Gebieten begegnen 

kann. 

Die allgemeine Formulierung stützt sich auf die Bestimmung 

von a- sowie b-Koeffizienten gemäß dem Ansatz: 

xn [ ]=−a1xn− [ 1]−...−apxn− 

[ p]+ 

boen [ ]+...+bqen− [ q] 

(2) 

Das Symbol e steht hierbei für den ursprünglich vorliegenden 

Zufallsprozeß, x bezeichnet die Meßwerte. Vom 

Signal e sei bekannt, daß es sich ausschließlich um 

Gauß’sches weißes Rauschen handelt (Bild 3), der Mittelwert 

von e sei 0, die Varianz sei mit s bezeichnet. 

Diese Aufgabe ist zwar prinzipiell lösbar, sprengt jedoch 

den hier gesteckten Rahmen. Eine Beschränkung auf die 

wichtige Spezialklasse der AR-Prozesse ist sinnvoll, da einerseits 

zahlreiche praktische Einsatzfälle damit abgedeckt 

werden können und andererseits eine relativ überschaubare 

und geschlossene Theorie vorliegt. Der AR-Ansatz geht 

davon aus, daß in der Formel (2) keine a-Koeffizienten vorliegen, 

es geht demnach um die reine Ermittlung eines Satzes 

von b-Werten. Diese b-Koeffizienten lassen sich mit Hilfe 

der Yule-Walker-Gleichung ermitteln. Die Yule-Walker- 

Gleichung ist ein lineares Gleichungssystem, dessen dazu- 

Elektronik 11/1999 Für schnelle Anfragen: Elektronik-Leserservice Seite118 verwenden 

65

gehörige Matrix aus Elementen der Autokorrelationsfunktion 

des Signals x besteht. Nun kennt man diese Autokorrelationsfunktion 

nicht exakt, da man es beim praktischen Einsatz 

nur mit endlichen Signallängen zu tun hat. Die Formel 

stellt aber einen hervorragenden Ersatz dar, d.h., 

die Schätzwerte stimmen im Regelfall sehr gut mit den 

wahren Werten überein. Die Summation läuft in Abhängigkeit 

von k jeweils von n = 0 bis n = N – 1 – k. 

Eine weitere kritische Stelle bei ARMA- oder AR- 

Prozessen ist die Ordnung des Yule-Walker-Systems. 

Die Fixierung einer passenden Ordnung ist eine nicht 

zu unterschätzende Schwierigkeit bei diesem Verfahren. 

Es gibt einige Berechnungsvorschriften für diese 

Ordnung, manchmal besitzt man auch andere Informationsquellen 

über das zugrundeliegende System. 

Sehr oft bleibt aber nichts weiter übrig, als ein bestimmtes 

Maß an Subjektivität in Kauf zu nehmen und 

zu hoffen, daß die Lösung dem wahren System weitgehend 

entspricht. 

Der zweite Spezialfall der ARMA-Prozesse liegt dann 

vor, wenn in Formel (2) keine b-Koeffizienen vorkommen. 

Die Lösung dieses Problems läßt sich in gewisser 

Hinsicht auf die AR-Aufgabenstellung zurückführen. 

Grob gesagt löst man dann ein AR-Problem sehr hoher 

Ordnung und verwendet eine passende Polynomdivi- 

Grundlagen 


Bild 3. Zur Definition des Gauß’schen weißen Rauschens: Im oberen Teil ist die Konstruktion 

eines Gauß-verteilten Zufallssignals gezeigt, sofern man ein gleichverteiltes Signal als 

Grundlage hat. Unten sieht man ein Signal (links), das eine Standardabweichung von 1,0 

hat. Nur ganz wenige Werte liegen außerhalb der 3-Sigma-Grenze. Rechts daneben findet 

man das dazugehörige Powerspektrum. Es treten alle Frequenzen energetisch gesehen mehr 

oder weniger gleichstark auf. 

∑ xn [ ]xn+ [ k] 

für k = 0, 1, 2,..., N − 1 (3) 

sion. Die Lösung des allgemeinen 

ARMA-Systems ist, wie bereits gesagt, 

sehr kompliziert und numerisch 

aufwendig. 

Savitzky-Golai-Filter 

Die Verwandtschaft zwischen 

digitalen Filtern und Fittingstrategien 

ist eng. Ein prägnantes Beispiel 

hierfür ist das Savitzky-Golai-Filter, 

das dem Wesen nach ein 

geschickt ausgeführter polynomialer 

Fit ist. Anzuwenden ist dieses 

Filter immer dann, wenn das Signal 

langsam erfolgenden Änderungen 

unterworfen ist, wobei zufällig 

verteilte Störanteile zugelassen 

sind. Im Regelfall geht man 

hierbei von der Annahme aus, daß 

die Rauschanteile normalverteilt 

sind. An Glättungsfiltern stehen 

zwei verschiedene und konkurrierende 

Lösungsansätze bereit. 

Mathematisch und numerisch 

anspruchsvoller sind die sogenannten 

Least-Square-Filter, deren 

Ziel darin besteht, global gesehen 

möglichst perfekt ein vorgegebenes 

Signal zu repräsentieren. 

Alle Signalwerte stehen somit in 

Beziehung zu allen anderen, was gerade die Komplexität 

der auszuführenden Berechnungen ausmacht. Neben dem 

relativ hohen Rechenaufwand kommt hinzu, daß an ein 

Echtzeit-Verhalten dieser Filter nicht zu denken ist, da vor 

den auszuführenden Operationen zunächst das Gesamtsignal 

bekannt sein muß. 

Beide genannten Nachteile werden vom Savitzky-Golai- 

Filter vollständig vermieden. Die Grundidee ist mit dem Begriff 

des gleitenden Mittelwertes gut umschrieben. Man fixiert 

hierzu sowohl eine bestimmte Anzahl an linken und 

Bild 4. Polynome werden gut durch Nachbarschaftswerte bestimmt. 

Ziel ist es, möglichst nahe an allen Punkten gleichzeitig zu bleiben. Im 

Beispielfall besteht die linke Nachbarschaft aus zwei und die rechte 

aus drei Punkten. Der Polynomgrad ist drei. 

66 Elektronik 11/1999

an rechten Nachbarpunkten als auch den Grad des einzusetzenden 

Polynoms. Hierauf aufbauend läßt sich dann ein 

Polynom des genannten Grades finden, das möglichst gut 

alle Nachbarwerte und den Signalwert an der fixierten Stelle 

repräsentiert (Bild 4). Im Normalfall wird das so ermittelte 

Polynom durch keinen Punkt direkt gehen, aber im Mittel 

ist die Annäherung perfekt. Der Polynomwert an der betrachteten 

Stelle ist gerade der neue gefilterte Signalwert. 

Aus numerischer Sicht ist der Savitzky-Golai-Algorithmus 

äußerst effizient. Es kommt hinzu, daß sich die aufwendigen 

Teile der Berechnung vor der eigentlichen Filteroperation 

erledigen lassen. 

Das kommt naturgemäß 

dem Echtzeit-Verhalten 

sehr entgegen. Die 

Filteroperation im engeren 

Sinne erfordert dann nur 

noch die Bestimmung eines 

einzigen Skalarproduktes 

per Signalwert, wobei die 

Länge dieses Skalarproduktes 

durch die Größe der 

angesprochenen Nachbarschaft 

determininiert ist. 

Es zeigt sich, daß man 

keineswegs immer durch 

Erhöhung des Polynomgrades 

oder unter Verwendung 

von ausgedehnteren 

Nachbarschaften die Güte 

der Lösung des Savitzky- 

Golai-Verfahrens verbessert. 

Alles hängt von der 

konkreten Anwendung ab. 

In jedem Fall läßt sich Zusatzwissen 

über den das Signal 

produzierenden Prozeß 

in bessere Qualität des 

Fits ummünzen. 

Exakte 

Peakbestimmung 

Manchmal ist man gar 

nicht daran interessiert, ein 

gesamtes Signal zu fitten, 

vielmehr geht es nur um einen 

wohldefinierten Abschnitt 

davon. Ein prägnantes 

Beispiel hierfür ist 

die Kreuzkorrelation zweier 

Signale (Bild 5). Aufgabe 

sei es, die genaue Verschiebung 

zwischen den beiden 

gegebenen Signalen zu ermitteln. 

Die Kreuzkorrelation 

ist hierbei ein adäquates 

Hilfsmittel, weil die Position 

des Maximalwertes der 

Kreuzkorrelation als genau 

diese Verschiebung inter- 

Grundlagen 


pretiert werden kann. Leider liegen die Dinge in der Praxis 

ungleich komplizierter, in erster Linie deshalb, weil die Abtastung 

nicht selten zu grob ist und die Signale mannigfachen 

Störungen unterworfen sind. Die Kreuzkorrelation 

selbst kann beispielsweise eine potentiell gewünschte Genauigkeit 

im Subpixelbereich nicht produzieren. Das sieht 

aber bereits anders aus, wenn man neben dem Spitzenwert 

der Kreuzkorrelation auch die unmittelbaren Nachbarn 

mit berücksichtigt. Legt man eine quadratische Kurve 

durch diese drei Werte, kann man den genauen Spitzenwert 

als qualitativ bessere Positionsbestimmung ansehen. 

Elektronik 11/1999 Für schnelle Anfragen: Elektronik-Leserservice Seite 118 verwenden 

67

Im übrigen ist der hierdurch generierte Schätzwert für den 

Grad der Übereinstimmung der beiden Signale ebenfalls 

besser. Die Genauigkeit im Subpixelbereich kann mit dieser 

Methode durchaus bis auf 1/3 bis 1/4 gebracht werden. 

Das ist schon deshalb eine gute Botschaft, weil man nicht 

in jedem Fall ausreichend Freiheitsgrade bezüglich der Abtastrate 

hat. Ein klassisches Beispiel hierfür ist die Bildverarbeitung, 

da die Pixelauflösung im wesentlichen fixiert ist. 

Trotzdem lassen sich mit geeigneten Verfahren Genauigkeiten 

bis zu 1/20 Pixel und zuweilen besser generieren. 

Auch hier gilt die Regel: Je mehr man über die zugrunde- 

Bild 5. Einsatz der Kreuzkorrelation bei der Ermittlung der Übereinstimmung 

zweier Signale. Das zweite Exemplar ist leicht geschwächt 

und gegenüber dem ersten Signal verschoben. Die 

Kreuzkorrelation (nicht-zyklisch im vorliegenden Fall) kann den 

Betrag dieser Verschiebung anhand des Maximums leicht rekonstruieren. 

liegenden Signale weiß, um so zuverlässiger werden die 

Endergebnisse sein. Im Idealfall sind hierunter Modelle zu 

verstehen, deren Eigenschaften direkt in die Lösungsstrategie 

einfließen. Will man in einem Bild beispielsweise geradlinige 

Kanten bestimmen, bieten sich die zugeordneten Fittingstrategien 

geradezu an. 

Ausgerollte Scheiben 

Generell ist die zweidimensionale Signalverarbeitung 

reich an Fittingproblemen. Eine weitere interessante Anwendung 

ist das automatische Lesen von Beschriftungen 

auf kreisförmigen Trägern (Bild 6). OCR-Algorithmen (Optical 

Character Recognition) können hierbei nicht direkt zum 

Einsatz kommen, da derartige Programme von geradlinig 

orientierten Zeichenketten ausgehen. Gewöhnlich besitzt 

man allerdings ausreichend Informationen über die zugrundeliegende 

kreisförmige Struktur. In Bild 6 ist das an 

den konzentrisch liegenden Ringen zu erkennen. Gelingt 

es, diese sicher aufzuspüren, kann man Fittingroutinen 

zum Einsatz bringen, die hochgenau die Geometrie der 

Scheibe beschreiben. Dann fehlt eigentlich nur noch ein 

einziger Schritt. Man bestimme einen konzentrisch liegenden 

Ring, der den Schriftzug ganz enthält und strecke die- 

Grundlagen 


Bild 6. Die Lösung des OCR-Problems auf ringförmigen Trägern 

erfordert zusätzlichen Aufwand. Gezeigt ist das „Ausrollen“ des 

originalen Schriftzuges. Erst daran anschließend kann die OCR- 

Routine zur Anwendung kommen. 

sen so, daß das wohlvertraute OCR-Problem zum Vorschein 

kommt. Der Kern dieser Vorgehensweise liegt in der 

geeigneten Fittingstrategie. Diese kann im vorliegenden 

Fall deshalb erfolgreich zum Einsatz kommen, weil man 

perfektes Wissen über das dahintersteckende Modell besitzt 

(konzentrische Kreise). 

Thema des nächsten Teils 9 werden Anwendungen der 

vorgestellten Methoden sein. gs 

Literatur 

[1] Wenzel, L.: Digitale Signalverarbeitung ist keine Hexerei, Teil 1. 

Elektronik 1998, H. 23, S. 96ff. 













[8] Die im Text angegebenen Programme stehen zum Download bereit 

unter: www.natinst.com/germany 

Dr. Lothar Wenzel ist gebürtiger Berliner 

und hat Mathematik und Informatik in 

Greifswald und Dresden studiert. Nach 

Tätigkeiten in einem Kernkraftwerk und 

bei der BASF AG, Ludwigshafen, beschäftigt 

er sich z.Zt. bei National Instruments 

in Austin, Texas, mit dem Design 

von Algorithmen auf den Gebieten Simulation, 

Regelung, Mathematik und Bildverarbeitung. 

68 Elektronik 11/1999

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