49 Geometrische geometrische Reihen - Die Antonkriegergasse

Mathematik <strong>Geometrische</strong> Beispiele mit <strong>geometrische</strong>n <strong>Reihen</strong><br />

<strong>Geometrische</strong> Beispiele mit <strong>geometrische</strong>n <strong>Reihen</strong><br />

Eine „Schlangenlinie“ besteht aus unendlich vielen aneinander<br />

gehängten Halbkreisen. Der Durchmesser des ersten<br />

beträgt 9 cm, jeder folgende Halbkreis ist um ⅓ kleiner<br />

als sein Vorgänger.<br />

• Berechne die Länge dieser Schlangenlinie.<br />

Für diese Aufgabe sind zwei Formeln notwendig:<br />

1. Umfang des Kreises: u = 2rπ<br />

2. Summe der unendlichen Reihe:<br />

s = b 1<br />

1− q<br />

Da jeder folgende Durchmesser mit ⅔ multipliziert werden muss, handelt es sich um eine <strong>geometrische</strong> Folge.<br />

1. Schritt: Länge des 1. und 2. Halbkreises berechnen<br />

d1 = 9 → r1 = 4,5 →<br />

2. Schritt: d2/d1 = q<br />

q = 3π 30 2<br />

= =<br />

4,5π 45 3<br />

u 2⋅ 4,5π<br />

= = 4,5π d2 = ⅔·d1 = 6 → r2 = 3 →<br />

1<br />

2<br />

u 2⋅3π<br />

= = 3π<br />

2<br />

2<br />

Somit ist bekannt: b1 = u1 = 4,5π und q = ⅔. Das in die Formel<br />

s = b1 4,5π<br />

=<br />

1− q<br />

1− 2<br />

3<br />

= 4,5π<br />

1<br />

3<br />

= 3⋅ 4,5π = 13,5π<br />

<strong>Die</strong> Länge aller unendlich vielen Halbkreise beträgt 13,5π.<br />

• Berechne die Flächeninhalte aller Halbkreise.<br />

Für diese Aufgabe musst du noch zwei Dinge wissen:<br />

s = b 1<br />

1− q<br />

eingesetzt, ergibt:<br />

3. Flächeninhalt des Kreises: A = r2π 4. Muss man in derselben Aufgabe ein Mal eine Länge und dann einen Flächeninhalt ausrechnen, braucht<br />

man für den Flächeninhalt lediglich das q der Längenberechnung quadrieren.<br />

4<br />

Für unser Beispiel bedeutet das, dass in dieser Aufgabe q = ist. Es fehlt also nur mehr b1, und das ist hier der<br />

9<br />

Flächeninhalt des ersten Halbkreises:<br />

b 1 = A 1 = 4,52 ⋅ π<br />

2<br />

= 10,125π Und somit:<br />

s = b1 10,125π<br />

=<br />

1− q<br />

1− 4<br />

9<br />

= 10,125π<br />

5<br />

9<br />

Der Flächeninhalt aller unendlich vielen Halbkreise beträgt 18,225π.<br />

= 9 ⋅10,125π<br />

5<br />

= 18,225π<br />

Löse die folgenden Aufgaben selbst:<br />

Eine Treppe in die Hölle besteht aus unendlich vielen Stufen, die aus lauter Quadraten<br />

zusammengesetzt sind. <strong>Die</strong> erste Stufe ist 24 m lang, jede folgende Stufe<br />

ist um ¼ kleiner als die vorhergehende.<br />

•Wie weit (in der Horizontalen gemessen) ist der Weg<br />

in die Hölle?<br />

•Wie groß ist der Flächeninhalt aller Quadrate?<br />

Seite 1 von 2

---

Mathematik <strong>Geometrische</strong> Beispiele mit <strong>geometrische</strong>n <strong>Reihen</strong><br />

Zwecks Übersicht noch mal die Aufgabe:<br />

Eine Treppe in die Hölle besteht aus unendlich vielen Stufen, die aus lauter Quadraten zusammengesetzt sind.<br />

<strong>Die</strong> erste Stufe ist 24 m lang, jede folgende Stufe ist um ¼ kleiner als die vorhergehende.<br />

• Wie weit (in der Horizontalen gemessen) ist der Weg in die Hölle?<br />

b1 = 24 b2 = ¾·24 = 18 q = 18/24 = 0,75<br />

s = b1 1− q =<br />

24 24<br />

= = 96 m<br />

1− 0,75 0,25<br />

Bis zur Hölle sind es 96 m.<br />

• Wie groß ist der Flächeninhalt aller Quadrate?<br />

q = 0,75 2 = 0,5625<br />

b1 = 24 2 = 576<br />

s = b1 1− q =<br />

576 576<br />

= ≈ 1316,6 m2<br />

1− 0,5625 0,4375<br />

Alle Quadrate haben zusammen einen Flächeninhalt von 1316,6 m².<br />

Einem gleichschenkeligen Dreieck mit Basis 6 cm und Höhe 10 cm werden wie in<br />

der Abb. rechts angedeutet unendlich viele Quadrate eingeschrieben.<br />

• Berechne die Summe aller Quadratumfänge.<br />

<strong>Die</strong>ses Beispiel erfordert einiges Nachdenken. Es gibt mehrere Lösungswege, die<br />

praktisch alle mit ähnlichen Dreiecken funktionieren. Folgende Strategie führt<br />

zum Ziel:<br />

Beachte die folgende Abbildung: <strong>Die</strong> Seiten des Blauen Dreiecks links verhalten<br />

sich wie 10 : 3, die grünen Dreiecke rechts sind alle dem blauen<br />

ähnlich.<br />

Da das erste (unterste) grüne Dreieck die Abmessun-<br />

gen b1 und<br />

3− b 1<br />

2<br />

10 : 3 = b 1 : 3− b 1<br />

2<br />

10 ⋅(3− b 1<br />

2 ) = 3⋅b 1<br />

30 − 5b 1 = 3b 1<br />

hat, gilt:<br />

Jetzt lässt sich b1 leicht berechnen.<br />

| Außenglieder = Innenglieder<br />

Mit ähnlichen Überlegungen gelangt man zu b2 und damit zu q. Damit hat man alles, um in die Formel für die<br />

unendliche Reihe einsetzen zu können. Zu bedenken ist jetzt noch, dass in der Aufgabe die Umfänge gefragt<br />

waren, hier aber nur eine Seite ausgerechnet wurde, man muss das Ergebnis am Schluss also noch mit 4 multiplizieren.<br />

Lösung zum Kontrollieren: <strong>Die</strong> Summe aller Quadratumfänge beträgt 40 cm.<br />

Seite 2 von 2