Differentialgleichungen

Differentialgleichungen 

Differentialgleichung von y/x 

In[53]:= DE = y'@xD == 

Out[53]= y £ yHxL + x 

HxL 

yHxL - x 

y@xD + x 

y@xD − x 

In[54]:= DSolve@DE, y@xD, xD 

Out[54]= ::yHxL Ø x - ‰ 2 c 1 + 2 x 2 >, :yHxL Ø ‰ 2 c 1 + 2 x 2 + x>> 

schrittweise Lösung 

In[55]:= Gleichung = · 

1 

u+1 

− u 

u−1 

Out[55]= - 1 

2 logIu2 - 2 u - 1M logHxL 

In[56]:= Solve@Gleichung, uD 

Out[56]= ::u Ø x2 - 2 x 4 + x 2 

x 2 

Hausaufgabe: Beispiel 1.23 

u == ‡ 

1 

x x 

>, :u Ø x2 + 2 x 4 + x 2 

In[57]:= gleichung = 1 

2 ‡ 

2y− 1 

y2 − y − 2 y ‡ x x 

Out[57]= 

1 

2 logI-y2 + y + 2M x2 

In[58]:= Solve@gleichung, yD 

Out[58]= ::y Ø 1 

2 

2 

1 - 9 - 4 ‰x2 

>, :y Ø 1 

2 

In[59]:= DE = y'@xD x 2y@xD2− 2y@xD− 4 

2y@xD− 1 

Out[59]= y £ HxL x I2 yHxL2 - 2 yHxL - 4M 

2 yHxL - 1 


Out[60]= ::yHxL Ø 1 

2 1 - 9 - 4 ‰c1+x2 x 2 

9 - 4 ‰ x2 

>, :yHxL Ø 1 

2 

>> 

+ 1 >> 

9 - 4 ‰ c1+x2 + 1 >>

2 MatheIII03-.nb 

In[61]:= DSolveB:y'@xD x 2y@xD2− 2y@xD− 4 

,y@x0D y0>, y@xD, xF 

2y@xD− 1 

Solve::ifun : 

Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; 

use Reduce for complete solution information. à 

Solve::ifun : 




2 1 - 9 - I-4y02 + 4y0+ 8M ‰ x2-x02 >, :yHxL Ø 1 

2 

In[62]:= DSolveB:y'@xD x 2y@xD2− 2y@xD− 4 

,y@0D 3>, y@xD, xF 

2y@xD− 1 

9 - I-4y0 2 + 4y0+ 8M ‰ x2 -x0 2 

Solve::ifun : 



Solve::ifun : 



DSolve::bvnul : For some branches of the general solution, 

the given boundary conditions lead to an empty solution. à 

Solve::ifun : 



General::stop : 

Further output of Solve::ifun will be suppressed during this calculation. à 


2 

16 ‰ x2 

+ 9 + 1 >> 

In[63]:= DirectionField@DE_, y_@x_D, 8x_, a_, b_

MatheIII03-.nb 3 

In[64]:= plot1 = DirectionField@DE, y@xD, 8x, −2, 2


Out[65]= 


Further output of Solve::ifun will be suppressed during this calculation. à 








Further output of DSolve::bvnul will be suppressed during this calculation. à 

Part::partw : Part 1 of 8< does not exist. à 

ReplaceAll::reps : 

88


In[66]:= Show@plot1, plot2, PlotRange → 80, 5


In[69]:= FullForm@%D 

Out[69]//FullForm= 

List@List@Rule@y@xD, Plus@-1, Times@-2, ProductLog@Times@Rational@-1, 2D, 

Power@Power@E, Plus@-1, Times@-1, xD, Times@-1, C@1DDDD, Rational@1, 2DDDDDDDD, 

List@Rule@y@xD, Plus@-1, Times@-2, ProductLog@Times@Rational@1, 2D, 

Power@Power@E, Plus@-1, Times@-1, xD, Times@-1, C@1DDDD, Rational@1, 2DDDDDDDDD 

In[70]:= ? ProductLog 

ProductLog@zD gives the principal solution for w in z we w . 

ProductLog@k, zD gives the k th solution. à 

Zum Schluss noch ein Beispiel, bei welchem Mathematica fälschlicherweise keine korrekte 

Fallunterscheidung vornimmt. 

In[71]:= DE = y'@xD x 1 + y@xD 

Out[71]= y £ HxL x yHxL + 1 



16 I4 c1 x 2 2 4 

+ 4 c1 + x - 16M>>


In[73]:= plot1 = DirectionField@DE, y@xD, 8x, −5, 5


In[75]:= Show@plot1, plot2, PlotRange → 8−1, 5> 

1


à Beispiel 1.12 

In[78]:= DSolve@y'@xD Sin@xD y@xD, y@xD, xD 

Out[78]= 99yHxL Ø c1 ‰ -cosHxL == 

In[79]:= DSolve@8y'@xD Sin@xD y@xD, y@0D 1


Diese einfache Differentialgleichung für K[x] können wir aber durch Integration lösen und wir 

erhalten 

In[100]:= spezielleLösung = y@xD → KExpB‡ −a@xD xF ∗ ‡ b@xD ExpB‡ a@xD xF xO 

Out[100]= yHxL Ø‰ -Ÿ aHxL „x ‡ bHxL ‰ Ÿ aHxL „x „ x 

Test: 

In[101]:= test = DE ê. 8spezielleLösung, D@spezielleLösung, xD< 

Out[101]= True 

DSolve kann dies auch alleine, liefert aber wieder eine kompliziert aussehende Lösung. 


Out[102]= ::yHxL Ø‰ Ÿ x x 

-aHK@1DL „K@1D 

1 

‡1 bHK@2DL ‰ -Ÿ 

K@2D 

-aHK@1DL „K@1D 

1 

„ K@2D + c1 ‰ Ÿ x 

-aHK@1DL „K@1D>> 

1 

Beispiel 1.16 

In[103]:= DE = y'@xD y@xD + x 

Out[103]= y £ HxL yHxL + x


In[104]:= plot1 = DirectionField@DE, y@x D, 8x, −5, 5


In[106]:= plot2 = PlotB 

Out[106]= 

Evaluate@Table@y@xD ê. DSolve@8DE, y@0D k


In[107]:= Show@plot1, plot2, PlotRange → 8−5, 5< D 

Out[107]= 

4 

2 

0 

-2 

-4 

nach unserer Formel: 

In[108]:= a =−1; b = x; 

-4 -2 0 2 4 

Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung: 

In[109]:= hom = y1 → K ∗Ÿ−a x 

Out[109]= y1 Ø K ‰ x 

Variation der Konstanten: 

In[110]:= ‡ b Ÿ a x x 

Out[110]= ‰ -x H-x - 1L 

Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: 

In[111]:= var = y2 → Ÿ −a x ∗ ‡ b Ÿ a x x 

Out[111]= y2 Ø-x - 1 

Allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:


In[112]:= lösung = y → y1 + y2 ê. 8hom, var< 

Out[112]= y Ø K ‰ x - x - 1 

Wir lösen das Anfangswertproblem mit y(x0)=y0: 

In[113]:= Solve@Hlösung@@2DD ê. 8x → x0

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